等差等比数列练习题

等差等比数列练习题（精选11篇）

篇1：等差等比数列练习题

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1．已知数列an是首项为a1，公比q141的等比数列，bn23log1an 44(nN*)，数列cn满足cnanbn．

（1）求证：bn是等差数列；

2ana2,aa6a6(nN)，n1nn2．数列满足1设cnlog5(an3)．

（Ⅰ）求证：cn是等比数列；

*3．设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)．（2）求证：数列Sn2是等比数列； 4．数列{an}满足a11,an12n1an(nN)nan22n（1）证明:数列{}是等差数列；

an2Sn25．数列an首项a11，前n项和Sn与an之间满足an(n2)

2Sn1（1）求证：数列1是等差数列

Sn2，an16．数列{an}满足a13，an1（1）求证：{an1}成等比数列； an2*7．已知数列{an}满足an13an4，(nN)且a11，（Ⅰ）求证：数列an2是等比数列；

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8． 数列{an}满足:a11,nan1(n1)ann(n1),nN*（1）证明：数列{an}是等差数列； n9．已知数列{an}的首项a1=

22an，an1，n=1，2，… 3an1（1）证明：数列11是等比数列； an1,Snn2ann(n1),n1,2,L． 210．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1（1）证明：数列n1Sn是等差数列，并求Sn； n11．（16分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn2ann（1）证明：an1为等比数列；

12．数列{an}满足：a12,a23,an23an12an(nN)（1）记dnan1an，求证：数列{dn}是等比数列；

13．已知数列{an}的相邻两项an，an1是关于x方程x22nxbn0的两根，且a11．（1）求证：数列{an2n}是等比数列；

14．（本题满分12分）已知数列{an}中，a15且an2an12n1（n2且nN*）． 13a1（Ⅰ）证明：数列nn为等差数列；

215．已知数列an中,a11,an1an(nN*)an3（1）求证:11是等比数列,并求an的通项公式an;an235，a3，且当n2时，2416．设数列an的前n项和为Sn，n．已知a11，a24Sn25Sn8Sn1Sn1．

（1）求a4的值；

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（2）证明：an11an为等比数列； 217．设数列an的前n项和为Sn，且首项a13,an1Sn3n(nN).n(Ⅰ)求证：Sn3是等比数列； 18．（本小题满分10分）已知数列an满足a11，an1a2（1）求证：数列n是等比数列；

n(3n3)an4n6,nN*．

n

参考答案

1．（1）见解析；（2）Sn2(3n2)1n()；（3）m1或m5 3342n12．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．（1）

an511Tn2n.3.；459（Ⅲ）a24,a38；

（2）见解析；（3）5

2nn14．（1）详见解析；（2）an；（3）2n326

n11(n1)23． 5．（1）详见解析；（2）an；（3）2(n2)3(2n1)(2n3)6．（1）证明{an1}成等比数列的过程详见试题解析； an2答案第3页，总5页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）实数t的取值范围为7．详见解析

8．（1）见解析；（2）Sn1331． t222n13n13 49．（1）详见解析（2）Sn21nnn1 2n12n2210．（1）由Snn2ann(n1)知，当n2时，Snn，即(SnS(n1)n1)n(n21)Snn2Sn1n(n1)，所以所以n1n11SnSn11，对n2成立．又S11，nn11n1n1Sn1(n1)1，即Sn是首项为1，公差为1的等差数列．所以nnn2Sn．

n1（2）因为

bnSn1111()32n3n(n1)(n3)2n1n3，所以b1b2Lbn． 11111111115115(L)()22435nn2n1n326n2n312k18k6k411．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，或或．

m5m2m1812．（1）dn12n1（2）an2n11

2n12n为偶数3313．（1）见解析；（2）Sn，（3）(,1)

n121n为奇数3314．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）Snn2n1 15．（1）证明详见解析；（2）23．

7116．（1）；（2）证明见解析；（3）an2n18217．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)(9,3)(3,)

n1．

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18．（1）详见解析（2）详见解析

答案第5页，总5页

篇2：等差等比数列练习题

值时，n＝()A．11a＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正a10

anB．17C．19D．21 2.已知公差大于0的等差数列{

求数列{an}的通项公式an． }满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，3.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．

4.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．是否存在实数k，使4Sn＝(k＋an)2对一切正整数n成立？若存在，求出k的值，并求相应数列的通项公式；若不存在，说明理由．

答：存在k＝0，an＝0或k＝1，an＝2n－1适合题意．

5.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan﹣2n(n﹣1)，(n∈N*)(Ⅰ)求证数列{an}为等差数列，并写出通项公式；(Ⅱ)是否存在自然数n，使得S1S22S3

3Sn

n400?

若存在，求出n的值；若不存在，说明理由；

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求数列{an}的通项公式；

a(2)设bnm、k(k>m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比数列？若存在，an＋1

求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

2a1＋9d＝11a1＝1，解：(1)设等差数列{an}的公差为d，即，解得所以an＝a1＋(n－1)d2a1＋19d＝21d＝1.**2＝n(n∈N)．(2)假设存在m、k(k>m≥2，m，k∈N)，使得b1、bm、bk成等比数列，则bm＝

an1mkm21kb1bk.因为bn＝，所以b1＝，bm＝，bk＝所以(＝×.整理，22k＋1an＋1n＋1m＋1k＋1m＋1

2m2

得k＝－m＋2m＋1

以下给出求m、k的方法：因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－2

已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)＝3x2－2x,.数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上

3m(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所20anan＋1

有n∈N*都成立的最小正整数m.17．已知点(1是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)3

－c，数列{bn}的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1Sn＋Sn＋1(n≥2)．(1)求数列{an}

11000和{bn}的通项公式；(2)若数列{前n项和为Tn，问Tn>n是多少？ 2009bnbn＋1

8.已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为4，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0

篇3：一道经典等差数列习题的研究

等差数列{xn}的前10项的和S10=100, 前100项的和S100=10, 求S110。

有道是“说起来容易, 做起来难”, 能正确求出x1, d的同学寥寥无几, 好像是走进死胡同了, 其实不解方程组, 也能“柳暗花明又一春”! (这是兴趣小组的同学共同摸索出来的)

【法三】设等差数列{xn}的前n项的和为Sn=an2+bn, 则

法四毫无疑问是法二的类比产物。比较一下, 就可以发现, 数学的知识面越广, 解题思维越灵活, 视野自然也越开阔……

其实等差数列的性质非常多, 如果用得恰到好处, 自然会让人耳目一新。

众所周知, 二次函数或二次方程的计算量远远大于一次的, 解答此题能否像孙悟空一样也变出个花样来呢?

这个命题不仅可以一题多解, 而且其推广命题用得也非常广泛:

推广命题:若m≠n时, 等差数列{xn}的前m项的和Sm=n, 前n项的和Sn=m, 则Sm+n=-m-n。

其证明方法也是“八仙过海, 各显神通”。这里用法四的方法, 水到渠成地证一下:

但学生往往把等差数列中的另一个命题与上述推广命题混淆。

干扰命题的证明非常容易, 在此略过。笔者想强调的是, 区分这两个命题的最佳方法是用特殊值法, 进行辨别:

篇4：等差等比数列练习题

1.复习回顾（意在进一步掌握等差数列的相关知识，为学习等比数列做铺垫）

教师：在等差数列的学习中，我们学习了哪些内容？哪些方法？请填在下表第二列，

2.新课引入（意在引导学生类比联想，通过探讨发现特殊数列除了等差数列外，还应有等和数列、等积数列、等比数列）

教师：等差数列是指后项与前一项的差的运算，能否将差的运算替换为其它运算呢？请同学们思考，这样的数列是否存在，若存在，请举出具体的例子，5分钟后，

学生l：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等和数列，这个常数称为公和，这种数列很简单，比如首项为l，公和为3的等和数列为：1，4，1，4，1，4，......它的通项公式及前n项和公式都比较简单，

学生2：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的积都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等积数列，这个常数称为公积，这种数列也很简单，比如首项为l，公积为3的等积数列为：1，3，1，3，1，3，…，它的通项公式及前n和公式也都比较简单，

学生3：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的商（或比）都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等商（比）数列，这个常数称为公商（比），这种数列有点类似等差数列，但又不同，比如由定义，在等比数列中任意一项都不为0且公比也不为0，

笔者肯定了学生的想法，并指出：由于等和数列和等积数列比较简单，我们很容易利用定义根据它的首项、公和（或公积）给出它的通项公式和前”项和公式，因此教材中没有涉及，但在一些考卷中出现过，主要考查考生们的阅读理解能力和数学能力，从刚才同学们的回答我们已经解决了这两类数列的基本问题，而等比数列和等差数列很类似，但又有区别，下面我们类比等差数列的研究方法来学习研究等比数列，

3.新课探究（意在放手学生，让他们大胆猜想、探索）

教师：请同学们独立思考，类比第2列填写上表的第3列，要求先填写自己能独立解决的问题，然后以小组为单位，交流、思考、补充，

临近下课时，经过学生的共同努力，完成了除前”项和公式外的所有内容（见表格），教师表扬了同学们，并要求学生课后试着推导等比数列前”项和公式（要求如果直接讨论有难度的话，可以先讨论：

这3个练习的目的是：（1）判断是否为等比数列；（2）如果是等比数列，公比是否为l；（3）满足等比数列求和公式时，一定要注意求多少项的和；（4）独立思考：一个数列有等比数列的背景时，求和是否可考虑错位相减法；（5）理解错位相减法：步骤：列式、错位、相减，“错位”的目的是对其同类项，是为了后面计算不错，

4.课后反思

篇5：等差数列练习题

班级：＿＿姓名：＿＿＿＿

1．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为()A．130B．260C．156D．168

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于()

A．1B.5

C．2D．3

3．设Sa55S9

n是等差数列{an}的前n项和，若a＝9，则S()

A．1B．－1C．2D.1

4．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A.18B.20C.22D.24

5．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是()A．4B．5C．6D．7

6.在等差数列{aaa1

n}中，若4＋a6＋a8＋10＋a12＝120，则a9－3

11的值为()

A．14B．15C．16D．17

7．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是()

A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值C．S30＝0D．S60＝0

8．已知两个等差数列{aAn7n＋45an

n}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且B＝＋3，则使得bnnn

整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5 9．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________． 10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__15______.11.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为

SSn

n，则数列

n的前

10项和

为________.12.若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数为________.13.已知数列{an}是等差数列．(1)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；(2)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．

14.已知数列a的前n项和为SS

nn，点n,nn1

（nN）均在函数y3x2的图像上，求数列{an}的通项公式。

15.(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和。

16.在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

(1)证明数列{1

a是等差数列；(2)求数列{an}的通项。

篇6：等差数列练习题

甲、乙二人是朋友，他们都住在同一条胡同的同一侧，甲住11号，乙住189号。甲、乙二人的住处相隔几个门?

答案

甲、乙二人的家之间所有的门牌号组成了一个等差数列：11、13、15、17、……、189。它的首项a1=11，公差d=2，末项an=189。这串数列的项数，可由等差数列通项公式的变形公式求出：n=(an-a1)÷d+1=(189-11)÷2+1=89+1=90由此可知，从门牌11号到189号共有90个门牌号，所以甲、乙二人住处相隔90-2=88个门。

篇7：等差、等比数列的性质及配套练习

等

定 义 式：an 等差数列的概念 an1d(d为常数，n2,nN*)，或an1and(nN*).递 推 式：an1and(nN*).

ab.2等差中项：任何两个数a,b都有且仅有一个等差中项AA

通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d（广义）.特征：an

前n项和：Snknb，其中kd,ba1d.(a1an)nn(n1)n(n1)na1dnand.22

2特征：SnAn2Bn，其中Add,Ba1.22

注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n项和的特征，都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式.2.对任何数列，都有ann1,S1,SnSn1,n2,nN*.等差数列的性质

1.若an为等差数列，则anam(nm)d(m,nN*).2.若an为等差数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq.3.若an为等差数列，则S2n1an(2n1)中间项 项数.S奇n14.若等差数列an共有2n1项，则①S奇S偶a中；②.S偶n

S偶an15.若等差数列an共有2n项，则①S偶S奇nd；②.S奇an

6.若an为各项均不为零的等差数列，前n项和为Sn,，则

anS2m

1.2n1

amS2m12n1

anS2n1

.

bnT2n1

7.若an、bn均为各项非零的等差数列，前n项和分别为Sn,Tn，则8.在等差数列an中，若amn,anm(mn)，则amn0.9.在等差数列an中，若Smn,Snm(mn)，则Smn(mn).10.在等差数列an中，若SmSn(mn)，则Smn0.11.若an为等差数列，则kanb仍为等差数列，其中k和b是常数.12.若an、bn为等差数列，则anbn仍为等差数列.13.若an为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若an为等差数列，bn为

正整数等差数列，则

a为等差数列.bn

14.Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列

Sn

为等差数列.n

15.若an为等差数列，则an依次k项和仍为等差数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k.…仍为

等差数列.等比数列

等比数列的概念

an1an

q(nN*).q(常数q0,n2,nN*)，或定 义 式：

anan

1递 推 式：an1

anq(nN*).等比中项：两个同号的实数a,b才有但有两个等比中项GGab.通项公式：an



a1qn1，anamqnm（广义）.前n项和：当q1时，Snna1，a1(1qn)a1a1qna1an1an(1qn)

当q1时，Sn.1

1q1q1q1q

特征：SnA(qn1)(A0).注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.等比数列的性质

1.若an为等比数列，则an

amqnm(m,nN*).2.若an为等比数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq.3.若an为等比数列，则kan仍为等比数列，其中k是非零常数.．．

4.若an为等比数列，则当an恒有意义时an仍为等比数列，其中k是任意常数.k



k



5.若an、bn为等比数列，则anbn、

an

仍为等比数列.bn

6.若an为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若an为等比数列，bn为

正整数等差数列，则

a为等比数列.bn

7.Tn为正项数列an的前n项积，则an为等比数列

为等比数列.n

8.若Sk为等比数列an的前n项和，且Sk0，则an依次k项和仍为等比数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k.…仍为等比数列.注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.等差数列与等比数列的联系

1.非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。

2.等差数列与等比数列可以相互转化.事实上，若an是等比数列，则logcan是等差数列；

若an是等差数列，则c

是等比数列，其中c是常数，且c0,c1.an

3.等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的运算有类似的性质.等差、等比数列性质配套练习

一、选择题：

1.在正整数500至1000之间能被11整除的个数为（）A.34B.35C.36D.37 2．等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99的值为()

214

5A.60B.85C.D.75

3.设函数f(x)满足f(n+1)=A.95

2f(n)n

(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（）2

C.105

D.192

B.97

4.若an是等差数列，首项a10,a2011a20120,a2011a20120,，则使前n项和Sn0成 立的最大自然数n是（）A．4021B．4022C．4023D．402

45.在等差数列an中，若S918,Sn240 ,an430，则n的值为（）A.14

B.15

C.16

D.17

6．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首项为1，公比为的等比数列，则

3an(n∈N*)等于（）3131212

1)B.(1n1)C.(1)D.(1n1)A.(1

2323333n3nn

7．已知数列前n项和Sn=2-1(n∈N*)，则此数列奇数项的前n项和为()

1111

A.(2n11)B.(2n12)C.(22n1)D.(22n2)

3333

8．若正数a、b、c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax、logbx、logcx()

A.依次成等差数列B.依次成等比数列

C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列

9．正项等比数列｛an｝的首项a1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的 几何平均数仍是25,则抽去一项的项数为()A.6B.7C.9D.1

1(a1a2)

210已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值

b1b

2范围是()A.RB.(0,4C.［4,+D.(-∞,0］∪［4,+∞)

二、填空题：

11.在等差数列an中,若s1560,则a8等于________________.12.在等差数列an中,a10a2a8, ,则使它的前n项和Sn取最大值的自然数n.13.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn、Tn,若

Sna2n

=,则11=_________.Tn3n1b1

114.在等比数列bn中,b1b1

52,则b3b13的值等于______________.b4b8b1

215.设an为公比大于1的等比数列，若a2009,a2010是方程4x8x30的两根，则

a2011a201216.某等比数列中, 前7项和为48, 前14项和为60,则前21项和为________________.17.已知f(x)

三、解答题：

18.在等差数列an中，若a1=25且S9=S17,问：数列an前多少项的和最大？

2x，当x11,xnf(xn1)(n2,nN*),则x2012___________.x2

3n217n

19.若数列an的前n项和Sn=-(n∈N*)，求数列｛|an|｝的前n项和Tn.22

20.若等比数列an的公比q1,又a17a24,求使a1a2an

111 a1a2an

成立的自然数n的取值范围.21.在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等比数列.(1)求证:2a≥b+c;

(2)求证:(a+1)≥(b+1)(c+1).22.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2),a1(1)求证：

1.2

1

（2）求an表达式.是等差数列；

篇8：等差等比数列的性质

性质1 an=am+ (n-m) d;$d=\frac{a{}_n-a{}_m}{n-m}.$

性质2 若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq, 若2m=p+q, 则2am=ap+aq.

性质3 若{an}, {bn}是等差数列, 公差分别为d1, d2, 则{pan}, {an+p}, {an+bn}也是等差数列, 公差分别为pd1, d1, d1+d2.

性质4 若{an}是等差数列, 则an, an+m, an+2m, an+3m, an+4m, …也是等差数列, 公差为md.

性质5 若{an}是等差数列, 则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, S4n-S3n, …也是等差数列, 公差为n2d.

性质6 若{an}是等差数列, 则S2n-1= (2n-1) an;当项数为偶数2n时, S偶-S奇=nd;当项数为奇数2n-1时, S奇-S偶=an.

二、等比数列的性质

性质7 an=amqn-m.

性质8 若m+n=p+q, 则aman=apaq, 若2m=p+q, 则2am=apaq.

性质9 若{an}, {bn}是等比数列, 公比分别为q1, q2, 则$\{pa{}_n\},\{\frac{1}{a{}_n}\},\{a{}_{n}b{}_n\},\{\frac{a{}_n}{b{}_n}\}‚\{|a{}_n|\}$也是等比数列, 公比分别为$pq{}_1,\frac{1}{q{}_1},q{}_1+q{}_2,\frac{q{}_1}{q{}_2},|q{}_1|.$

性质10 若{an}是等比数列, 则an, an+m, an+2m, an+3m, an+4m, …也是等比数列, 公比为qm.

性质11 若{an}是等比数列, 则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, S4n-S3n, …也是等比数列, 公比为qn.

性质12 若{an}是等比数列, 则Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm;当项数为偶数2n时, S偶=qS奇;当项数为奇数2n-1时, S奇=a1+qS偶.

三、例题

例1 (1) 设{an}为等差数列, 已知a5=2, a3=1, 求通项公式.

(2) 设{an}为等差数列, 已知a3=5, a17=11, 求S19.

(3) 已知等比数列{an}的前m项和Sm=10, 前2m的和S2m=30, 求S3m.

$\begin{array}{l}\text{解}\text{析}(1)a{}_5=a{}_3+2d,a{}_5=2‚a{}_3=1,2d=1‚d=\frac{1}{2},a{}_n=a{}_5+(n-5)d=\frac{1}{2}(n-1).\\ (2)S{}_{19}=\frac{19(a{}_1+a{}_{19})}{2}=19(a{}_3+a{}_{17})2\\ =19(5+11)2=19\times 8=152.\end{array}$

(3) Sm, S2m-Sm, S3m-S2m成等比数列, 10 (S3m-30) =400, S3m-30=40, S3m=70.

点评 灵活运用等差等比数列的性质, 的确可以达到简捷运算, 化难为易的目的.

例2 (2009年广东省) 已知等比数列{an}满足an>0, n=1, 2, 3, …, a5a2n-5=22n (n≥3) , 则当n≥1时, log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1等于 ( ) .

A.n (2n-1) B. (n+1) 2C.n2D. (n-1) 2

解析 ∵a5a2n-5=22n (n≥3) ,

∴a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=…=22n=a${}_n^2$.

令S=log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1,

S=log2a2n-1+…+log2a5+log2a3+log2a1,

2S=log2[ (a1a2n-1) (a3a2n-3) (a5 (a2n-5) …·

log2 (a2n-3a3) (a2n-1a1) ]=log2 (22n) n,

∴2S=2nn, S=n2.

答:C.

点评 难点是要找出条件与目标之间的联系, 运用等差等比数列的性质解题.

例3 已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数, 数列{yn}满足ynlogxna=2 (a>0, a≠1) , y3=18, y6=12.

(1) 求数列{yn}的前多少项和最大, 最大值是多少?

(2) 试判断是否存在自然数, 使当n>M时, xn>1恆成立?若存在, 求出相应的M值;若不存在, 请说明理由.

(3) 令an=logxnxn+1 (n>13, n∈N*) , 试判断数列{an}的增减性?

解析 (1) 由已知得, yn=2logaxn, 设等比数列{xn}的公比为q (q≠1) , 由$y{}_{n+1}-y{}_n=2(\log {}_{a}x{}_{n+1}-\log {}_{a}x{}_n)=2\log {}_a\frac{x{}_{n+1}}{x{}_n}=2\log {}_{a}q$, 得{yn}为等差数列, 公差为d.由y3=18, y6=12, 得d=-2, yn=y3+ (n-3) d=24-2n.设前k项的和最大, 则yn+1≤0且yn≥0, 11≤k≤12, y12=0, 所以前11项与前12项的和最大, 最大值是132.

(2) xn=a12-n, n∈N*, 若xn>1, 则a12-n>1.

当a>1, n<12时, xn>1不成立;

当0<a<1, n>12时, xn>1恒成立.

(3) 由$\frac{x{}_{n+1}}{x{}_n}=q$, 得

$\begin{array}{l}x{}_{n+1}=qx{}_n,x{}_{n+2}=q{}^{2}x{}_n(n>13‚n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}).\\ \frac{a{}_{n+1}}{a{}_n}=\frac{\log {}_{x{}_{n+1}}^{x{}_{n+2}}}{\log {}_{x{}_n}x{}_{n+1}}=\frac{\log {}_{x{}_n}x{}_{n+2}}{(\log {}_{x{}_n}x{}_{n+1}){}^2}\\ =\frac{\log {}_{x{}_n}q{}^{2}x{}_n}{(\log {}_{x{}_n}qx{}_n){}^2}=\frac{1+2\log {}_{x{}_n}q}{(1+\log {}_{x{}_n}q){}^2}<1‚a{}_{n+1}<a{}_n.\end{array}$

数列{an}是单调减少的.

点评 主要考查等差等比数列性质的综合运用;考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及解决问题的能力.

摘要：数列的相关知识在数学学习和教学中占有相当重要的位置, 正确而熟练地掌握数列的性质对于解决数列问题有很大的帮助

篇9：等差、等比数列考点全析

1. 对等差、等比数列基本概念及运算的考查

本部分内容在高考中大都以填空题的形式出现，题目难度不大，属于中、低档题，主要涉及到数列的基本概念及基本的公式运算问题。

【例1】 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则S4a2= .

解析 解法一：利用公式S4=a1(1-q4)1-q,a2=a1q，则S4a2=a1(1-q4)1-qa1q=1-24-2=152.

解法二：由题意，知S4=a1+a2+a3+a4=a22+a2+2a2+4a2，得S4a2=152.

点拨

本题在解法一中直接选择公式，求解S4较繁琐，而解法二中从定义出发，围绕a2 展开，可顺利解决此题，方法简捷方便。

2. 等差、等比数列基本性质的考查

本部分是高考的必考内容，主要以填空题的形式出现，一般为中、低档题，有时也在难度较大的解答题中出现性质的应用。

【例2】 已知{an}是等比数列，a2=2，a5=14，则a1a2+a2a3+…+anan+1= .

解析 本题主要考查等比数列通项的性质，由a5=14=a2•q3=2•q3，解得q=12.

数列anan+1仍是等比数列:其首项是a1a2=8，公比为14.

∴a1a2+a2a3+…+anan+1=81-14n1-14=323(1-4-n).

点拨

对于数列问题化归到基本量a1,d(q)是通法，但有时运算量较大，熟练运用性质能大幅度简化运算。

3. 等差、等比数列的综合应用

本内容往往出现在解答题的压轴题中，具有较高难度。

【例3】 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1．Sn为数列{bn}的前n项和，且满足2bnbnSn-S2n=1(n≥2)．

(1) 证明数列1Sn成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；

(2) 上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=-491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

解析 (1) 证明：由已知，当n≥2时，2bnbnSn-S2n=1，又Sn=b1+b2+…+bn，

∴2(Sn-Sn-1)(Sn-Sn-1)Sn-S2n=12(Sn-Sn-1)-Sn-1Sn=11Sn-1Sn-1=12，

又S1=b1=a1=1．所以数列1Sn是首项为1，公差为12的等差数列．

由上可知1Sn=1+12(n-1)=n+12Sn=2n+1．

∴当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2n+1-2n=-2n(n+1)．

因此bn=1，n=1，-2n(n+1)，n≥2. 

(2) 设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0．

因为1+2+…+12=12×132=78，

∴表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，

因此a81=b13•q2=-491．又b13=-213×14，所以q=2．

记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

则S=bk(1-qk)1-q=-2k(k+1)•(1-2k)1-2=2k(k+1)(1-2k)(k≥3)．

点拨

本题中已知an,Sn的等量关系，根据目标，统一到Sn上，用定义判断1Sn为等差数列，先确定Sn，由Sn求bn时，要紧扣定义，不要忽视验证n=1时是否满足通项公式，故本题用分段函数表示。

牛刀小试

1. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=12，S4=20，则S6= .

2. 数列{an}是等差数列，公差d≠0，且a2 046＋a1 978-a22 012＝0，{bn}是等比数列，且b2 012＝a2 012，则b2 010•b2 014＝ .

3. 已知数列{an}和{bn}满足：①a1<0，b1>0；②当ak-1+bk-12≥0时ak=ak-1，bk=ak-1+bk-12；当ak-1+bk-12<0时，ak=ak-1+bk-12，bk=bk-1(k≥2,k∈N*).

(1) 如果a1=-3，b1=7，试求a2，b2，a3，b3；

(2) 证明：数列{bn-an}是一个等比数列；

(3) 设n(n≥2)是满足b1>b2>b3>…>bn的最大整数，证明：n>log2a1-b1a1.

【参考答案】

1. 48.

2. 4.

3. (1) 因为a1+b12=2>0,所以a2=a1=-3,b2=a1+b12=2.

因为a2+b22=-12<0，所以a3=a2+b22=-12，b3=b2=2.

(2) 当ak-1+bk-12≥0时,bk-ak=ak-1+bk-12-ak-1=bk-1-ak-12;

当ak-1+bk-12<0时,bk-ak=bk-1-ak-1+bk-12=bk-1-ak-12.

因此不管哪种情况,都有bk-ak=bk-1-ak-12，所以数列{bn-an}是首项为b1-a1，



公比为12的等比数列.

(3) 由(2)可得bn-an=(b1-a1)12n-1 ，

因为b1>b2>b3>…>bn(n≥2),所以bk≠bk-1(2≤k≤n)，

所以ak-1+bk-12<0不成立，所以ak-1+bk-12≥0. 

此时对于2≤k≤n,都有ak=ak-1,bk=ak-1+bk-12,

于是a1=a2=…=an,所以bn=a1+(b1-a1)12n-1.

若an+bn2≥0,则bn+1=an+bn2，bn+1=a1+(b1-a1)12n，

所以bn+1-bn=a1+(b1-a1)12n-a1+(b1-a1)12n-1=-(b1-a1)•12n<0，

所以bn>bn+1，这与n是满足b1>b2>b3>…>bn(n≥2)的最大整数相矛盾，

因此n是满足an+bn2<0的最小整数. 

an+bn2<0a1+(b1-a1)12n<0b1-a1-a1<2nlog2a1-b1a1

篇10：数学等差数列练习题

1、已知等差数列的首项a1，项数n，公差d，求末项an

公式：末项=首项+（项数-1）×公差an= a1+（n-1）×d

（1）一个等差数列的首项为5，公差为2，那么它的第10项是（）。

2、已知等差数列的首项a1，末项an，公差d，求项数n

公式：项数=（末项-首项）÷公差+1n=（an－a1）÷d+1

（1）等差数列7、11、15……、87，问这个数列共有（）项。

（2）等差数列3、7、11…，这个等差数列的第（）项是43。

3、已知等差数列的首项a1，末项an，项数n, 求公差d

公式：公差=（末项-首项）÷（项数-1）d=（an－a1）÷（n－1）

（1）已知等差数列的第1项为12，第6项为27。求公差（）。

4、已知等差数列的末项an，项数n, 公差d，求首项a1

公式：首项=末项-（项数-1）×公差a1=an-（n-1）×d

（1）已知一个等差数列的公差为2，这个等差数列的第10项是为23，这个等差数列的首项是（）。

（2）一堆木料，最下层有24根，往上每一层都比下一层少2根，共10层，最上层有（）根木料。

5、把70拆成7个自然数，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都相等，那么，中间的数是（）。

6、5个连续奇数的和是35，其中最大的奇数是（）。

第二类：已知等差数列的首项a1，末项an，项数n,求和用公式：sn=（a1+ an）×n÷2［或 sn=中间数×项数］

1、已知等差数列2，5，8，11，14，17，20，求这个数列的和是（）。

2、等差数列7+11+15+19+23+27+31+35的和是（）。

3、求1+2+3+4+5+6+7+……+20=4、1+3+5+7+9+11+……+19=

5、已知等差数列的首项是5，末项是47，求这个数列共有8项求这个数列的和是（）。

6、王师傅每天工作8小时，第一小时加工零件5个，从第二小时起每小时比前一小时多加工相同的零件，第8小时加工了23个，王师傅一天加工零件（）个。

等差数列分组练习题

已知等差数列的首项a1，末项an，项数n,求和用公式：sn=（a1+ an）×n÷2

如果题中有缺项，需要先求缺项再求和

第一类缺项是（）

1、已知等差数列2，5，8，11，14…，求前11项的和是多少？

2、数列1、4、7、10、……，求它的前21项的和是多少？

第二类缺项是（）

1、等差数列7，11，15，……… 87，这个数列的和是多少？

2、已知等差数列5，8，11…47，求这个数列的和是多少？

第三类缺项是（）

1、一个剧场设置了16排座位，后每一排都比前一排多2个座位，最后一排有68个座位，这个剧场共有多少个座位？

2、有10个数，后一个比前一个多5，第10个数是100，求这10个数的和是多少？ 第四类缺项是（）

篇11：等差数列基础练习题

2、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第53 项比第28 项________(多或少)______个公差。

3、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第55 项比第37 项________(多或少)______个公差。

4、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第55 项比第83 项________(多或少)______个公差。

5、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第28项比第73项________(多或少)______个公差。

6、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第90项比第73项________(多或少)______个公差。

7、一个递增(后项比前项大)的等差数列，首项比第73 项________(多或少)______个公差。

8、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第87 项比首项________(多或少)______个公差。

9、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第18项比第 32 项________(多或少)______个公差。

10、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第32项比第 18 项________(多或少)______个公差。

11、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第74项比第26项________(多或少)______个公差。

12、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第74项比第91 项________(多或少)______个公差。

13、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第29项比第 86 项________(多或少)______个公差。

14、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第123 项比第86项________(多或少)______个公差。

15、一个递减(后项比前项小)的等差数列，首项比第76 项________(多或少)______个公差。

16、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第76项比首项________(多或少)______个公差。

17、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第________项比第75项多19 个公差。

18、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第________项比第75项少19 个公差。

19、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第________项比首项多19个公差。

20、一个递增(后项比前项大)的等差数列，比第92 项少 19 个公差是第________项。

21、一个递增(后项比前项大)的等差数列，比第92 项多 19 个公差是第________项。

22、一个递增(后项比前项大)的等差数列，比首项多19个公差是第________项。

23、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第________项比第58项多17个公差。

24、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第________项比第58项少17个公差。

25、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第________项比首项少 17 个公差。

26、一个递减(后项比前项小)的等差数列，比第67 项少28 个公差是第________项。

27、一个递减(后项比前项小)的等差数列，比第67 项多28 个公差是第________项。

28、一个递减(后项比前项小)的等差数列，比首项少28个公差是第________项。

29、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是3，第 28 项比第53项________(多或少)______。

30、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是4，第 53项比第28项________(多或少)______。

31、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是5，第55项比第37项________(多或少)______。

32、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是6，第55项比第83项________(多或少)______。

33、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是7，第28 项比第73项________(多或少)______。

34、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是8，第90 项比第73项________(多或少)______。

35、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是8，首项比第73 项________(多或少)______。

36、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是4，首项比第26 项________(多或少)______。

37、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是9，第 18 项比第32 项________(多或少)______。

38、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是4，第32 项比第18 项________(多或少)______。

39、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是3，第 74 项比第26项________(多或少)______。

40、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是7，第 74 项比第91 项________(多或少)______。

41、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是8，第 29 项比第86 项________(多或少)______。

42、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是9，第123 项比第86项________(多或少)______。

43、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是9，第23 项比首项________(多或少)______。

44、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是6，第46 项比首项________(多或少)______。

45、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是3，有一项比第34项大57，这一项比第34项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

46、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是4，有一项比第78项小56，这一项比第78项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

47、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是5，有一项比第46项大60，这一项比第46项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

48、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是6，有一项比第64项小72，这一项比第64项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

49、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是5，有一项比首项大70，这一项比首项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

50、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是7，有一项比第34项大91，这一项比第34项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

51、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是8，有一项比第74项小96，这一项比第74项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

52、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是9，有一项比第87项大72，这一项比第87项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

53、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是6，有一项比第59 项小 84，这一项比第59 项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

54、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是6，有一项比首项小 84，这一项比首项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

55、一个递增的等差数列公差是3，第34 项是 123，第91项是________。

56、一个递增的等差数列公差是6，第21 项是 192，第52项是________。

57、一个递增的等差数列公差是3，第91 项是 336，第23项是________。

58、一个递增的等差数列公差是4，第87项是523，第33项是________。

59、一个递增的等差数列公差是4，首项是9，第91项是________。

60、一个递增的等差数列公差是6，首项是3，第67项是________。

61、一个递增的等差数列公差是4，第65 项是579，首项是________。

62、一个递增的等差数列公差是4，第78 项是491，首项是________。

63、一个递减的等差数列公差是3，第34 项是 923，第91项是________。

64、一个递减的等差数列公差是6，第21 项是 492，第52项是________。

65、一个递减的等差数列公差是3，第91 项是 336，第23项是________。

66、一个递减的等差数列公差是4，第87项是523，第33项是________。

67、一个递减的等差数列公差是4，首项是529，第91项是________。

68、一个递减的等差数列公差是6，首项是431，第67项是________。

69、一个递减的等差数列公差是4，第65 项是 312，首项是________。

70、一个递减的等差数列公差是4，第78 项是 336，首项是________。

71、一个递增的等差数列公差是3，第23 项是89，332是这个数列的第________项。

72、一个递增的等差数列公差是4，第23 项是 97，341是这个数列的第________项。

73、一个递增的等差数列公差是6，第59 项是489，63是这个数列的第________项。

74、一个递增的等差数列公差是7，第78 项是667，282 是这个数列的第________项。

75、一个递增的等差数列公差是3，首项是8，182 是这个数列的第________项。

76、一个递减的等差数列公差是3，第23 项是 89，122是这个数列的第________项。

77、一个递减的等差数列公差是4，第23 项是97，153是这个数列的第________项。

78、一个递减的等差数列公差是6，第29 项是623，95是这个数列的第________项。

79、一个递减的等差数列公差是7，第18 项是565，285 是这个数列的第________项。

80、一个递减的等差数列公差是4，首项是565，281 是这个数列的第________项。

81、一个递增的等差数列，第23项是98，第61项是250，这个等差数列公差是________。

82、一个递增的等差数列，第34项是298，第52 项是 334，这个等差数列公差是________。

83、一个递减的等差数列，第18项是298，第51项是67，这个等差数列公差是________。

84、一个递减的等差数列，第58项是332，第92 项是94，这个等差数列公差是________。

85、一个等差数列的公差是3，第23项是85，末项是361，这个数列的项数是________。

86、一个等差数列的公差是4，第18项是85，末项是 261，这个数列的项数是________。

87、一个等差数列的公差是5，首项是3，末项是253，这个数列的项数是________。

88、一个等差数列的公差是6，首项是4，末项是340，这个数列的项数是________。

89、一个等差数列的公差是3，第18项是100，末项是10，这个数列的项数是________。

90、一个等差数列的公差是4，第18项是102，末项是6，这个数列的项数是________。

91、一个等差数列的公差是5，首项是223，末项是8，这个数列的项数是________。

92、一个等差数列的公差是6，首项是206，末项是14，这个数列的项数是________。

93、已知一个等差数列第13 项等于 71，第61项等于 263.(1)这个等差数列的公差是多少?()

(2)首项是多少?()

(3)第 100 项是多少?()

(4)前100 项的和是多少?()

(5)47是这个数列的第几项()

(6)303 是这个数列的第几项?()

94、已知一个等差数列的第31项为840，第36项为 9(1)这个等差数列的公差是多少?()

(2)首项是多少?()

(3)第 60 项是多少?()

(4)前50 项的和等于多少?()

(5)1020 是第几项()

95、已知一个等差数列的第19项等于217，第82 项等(1)这个等差数列的公差是多少?()

(2)首项是多少?()

(3)第 60 项是多少?()

(4)前30 项的和等于多少?()

96、一个等差数列的第20 项和第35 项分别是200和(1)这个等差数列的公差是多少?()

(2)第 5项是多少?()

(3)第 50 项是多少?()

(4)92是这个数列的第几项?((5)302 是这个数列的第几项?()

(6)前100 项的和等于多少?()

97、有一个等差数列，4、10、16、22、…、370.(1)第26项是多少?()

(2)52是第几项?()

(3)所有项的和等于多少?()

(4)前40 项的和等于多少?()

98、数列3，6，9，…300，303 是一个等差数列。

(1)第43 项是多少?()

(2)90是第几项?()

(3)这个等差数列中所有数的和是多少?()

(4)前40 项的和等于多少?()

99、已知等差数列2、9、16、23、30、…、709.(1)第 26项是多少?()

(2)142 是第几项()

(3)这个等差数列中所有数的和是多少?()

(4)前30 项的和是多少?()

100、等差数列可以写成：4、13、22、31、40…、364.(1)第15 项是多少?()

(2)184 是这个数列的第几项?()

(3)所有项的和是多少?()