导数应用教学设计

导数应用教学设计（共9篇）

篇1：导数应用教学设计

一、学习目标

1、知识与技能（1）掌握利用导数研究函数的单调性、极值、闭区间上的最值的方法步骤。

（2）初步学会应用导数解决与函数有关的综合问题。

2、过程与方法

体验运用导数研究函数的工具性，经历运用数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法解决有关函数问题的过程。

3、情感态度与价值观

培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。

二、重点、难点

重点：应用导数解决与函数的单调性、极值、最值，零点等有关的问题。难点：深刻理解运用导数研究函数的工具性以及应用导数解决与函数有关的综合问题。

三、学习过程 １．知识梳理：

函数的单调性与导数

（１）设函数 y=f(x)在某区间可导，若f ´(x)>0,则y=f(x)在该区间上是_____________． 若f ´(x)<0,则y=f(x)在该区间上是_____________． 若f ´(x)=0,则y=f(x)在该区间上是_____________．

（２）函数 y=f(x)在某区间可导，f ´(x)>0（f ´(x)<0）是函数 y=f(x)在该区间上单调增（减）的____________________条件

函数的极值与导数

（１）函数f(x)在点

附近有定义，如果对

附近的所有点都有f(x)

如果对

附近的所有点都有f(x)>f（）则f（）是函数f(x)的一个________；

求函数y=f(x)的极值的方法是 当f ´()=0时，如果在 x0 附近的左侧f ´(x)>0,右侧 f ´(x)<0,那么f（）是___________．

如果 附近的左侧f ´(x)<0,右侧 f ´(x)>0,那么f（）是______________．（２）f ´(x)=0是函数 y=f(x)在 处取得极值的_______________条件.函数的最值与导数

函数f(x)在［a,b］内连续，f(x)在（a,b）内可导，则函数f(x)在［a,b］内的最值是求f(x)在（a,b）内的极值后，将f(x)的各极值与___________比较，其中最大的一个是_________,最小的一个是__________.师生活动：学生课前自主探究，课上教师点评。

[设计意图]：知识梳理,辨识易错点，帮助学生形成良好的认知结构。2.自主探究，成果展示

问题

1、求下列函数的单调区间（1）.㏑x（2）

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数单调性的方法与解题步骤，这类问题容易忽略函数的定义域;单调区间的规范定写法（不用“ ∪ ”）以及使导数为零的点的处理（导数大于零是函数为增函数的充分不必要条件），因此针对以上可能出现的问题，首先让学生独立思考，针对出现的问题，然后通过生生和师生的交流，共同分析正确的解题方法，完善对问题的全面和完整的解决

问题

2、已知 在R上是单调减函数，求 的取值范围。

变式1 若函数f(x)= x³-3ax+2的单调递减区间为(0,2)，求实数a的取值范围； 变式2 若函数f(x)= x³-3ax+2在区间(0,2)上单调递减，求实数a的取值范围.[设计意图]：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考查，“函数在某区间内单调”和“函数的单调区间是某区间”，前者说明所给的区间是该函数单调区间的子集，后者说明所给的区间是恰好是函数的单调区间，因此在解题中一定要养成认真审题的好习惯。

问题

3、已知函数f(x)=x³-ax²-bx+ 在x=1处有极值10，（1）求a、b的值;

（2）函数f(x)是否还有其它极值？（3）求函数f(x)在区间[-1，4]上的最值。

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数极值、最值的方法与解题步骤，导数为零是函数有极值的非充分非必要条件。首先让学生独立思考，此题很多同学可能求出a、b的值后忘记检验，针对出现的问题，通过学生讨论，争论，教师讲评，达到对问题的共识。

问题4、试讨论函数f(x)=x³-6x²+9x-10-a(a ∈R)零点的个数

[设计意图]：此题旨在培养学生运用导数解决与函数有关的综合问题。函数、方程、不等式是相互联系不可分割的一个整体，导数作为研究函数的一种工具，必然也是研究方程、不等式的工具，讨论函数零点的个数也是利用导数求函数极值深层次的应用，应让学生细心体会，并能灵活运用。

问题

5、已知函数f(x)=x³-x²-2x+5当x ∈[-1，2]时，f(x)

变式：（1）若将f(x)m呢？

（3）若将f(x)

（4）若将当x ∈[-1，2]时，f(x)

[设计意图]：运用导数研究与函数有关的恒成立问题也是利用导数求函数极值深层次的应用，是非常重要的一种题型，在高考题中经常出现，对培养学生的思维能力及解决综合题的能力很有帮助。

3、当堂检测、巩固落实

（1）、函数f(x)= 3x³-x+1的极值为_________________________（2）函数f(x)=㏑x-ax(a>0)的单调增区间为_________________________（3）函数f(x)=x³-6x²+9x-10零点的个数为________________________（4）已知函数f(x)=x³-12x+8在区间[-3, 3 ],上的最大值为M最小值为m则M-m=______

（5）已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx 在x=1处存在极小值-1，求a、b的值，并求f(x)的单调区间

（6）已知函数 f(x)=x³+ax²+bx+c 在x=-与x=1时都取得极值． ⑴ 求a、b的值与函数f(x)的单调区间;

⑵ 若对x  [-1, 2 ],不等式 f(x)

[设计意图]：强化训练，巩固所学知识。

四、小结与反思

通过本节课的学习你学到了哪些知识？

掌握了那些数学思想方法？

你认为解题中易出错的地方在哪里？

五、作业 P31第2T,6T.六、课后反思_______________________________________________________

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[设计理念]：体现“生本”理念，从学生的已有经验出发设计问题，让学生经历知识的发生发展过程，在合作交流中形成能力，增长智慧。

[设计亮点]：根据学生的实际情况，设计问题从基础入手，抓住“核心”知识，逐步加深难度，针对在利用导数解决函数的单调性、极值、最值等问题和解题中常见的错误设计一系列的“变式”问题，环环相接，使学生始终处于积极的思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础。

[设计中遇到的问题及解决办法] 在设计的过程中，由于导数在函数中的应用较广泛，如何在有限的时间内使学生高效率的掌握这些知识，形成基本能力成为设计的难点，为了解决上述问题，本文在设计中选取了有利于学生能力形成的核心知识，通过变式整合知识，从而达到提高课堂教学效率的目的。

[教学效果] 课堂上学生积极参与，在师生合作交流中完成知识的建构和能力的提升，课堂教学效果良好。

[教后反思]：

本节课围绕“核心”知识点及学生的易错点设计、变换问题，引导学生思考讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自已的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新课改的课堂理念，以培养学生能力为主，学生是课堂的主体，也突出了数学复习课的特点：梳理知识，强化应用。本设计中的问题对中上等的的同学比较适合，对部分学困生学起来有一定的难度，尤待进一步改进。

篇2：导数应用教学设计

在导数的概念建立之后，引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式，要求学生注意形式化训练中的规范要求，从而加深对导数概念的认识和理解，并从中领悟求导数这一算法的基本思想。这里的常见初等函数指：在推导导数的过程中，不仅巩固导数的概念，而且规范了利用导数定义求导数的具体解题的过程和规范，让学生亲身感受导数的意义。

在教学中，不仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，更注重它的思想和价值，注意严格控制难度，避免过量的形式化的运算练习。遇到推导过程中学生容易犯错的地方，及时与以纠正，有5位同学展示自己推导公式的过程，巩固了导数的概念.

篇3：导数应用教学设计

一、知识与能力

1.本节课是高三复习课.通过对“导数、平均变化率”的复习, 明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.

2.利用割线逼近的方法直观定义切线, 概括导数的 几何意义.

3.通过例题分类解析, 让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题, 加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受数形结合、极限思想方法.

二、过程与方法

1.学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的 动手和动脑的能力.

2.分类探究和分层练习, 各种层次的学生都可以凭 借自己的知识能力独立解决问题.

3.学生通过思考探究的3个问题, 深化对切线定义 的认知, 小结形成求切线的步骤.

三、情感、态度与价值观

1.在探究过程中渗透极限思想, 体验数形结合思 想.

2.采用示范剖析、学生自主实践的方式, 让学生理 解和掌握基本数学技能、思想方法.

【教学重难点】

重点:理解和掌握切线的定义、导数的几何意义.

难点:体会数形结合、极限思想;利用导数的几何意义求曲线的切线.

【教学方法】分层探究、自主实践.

【教学过程】

一、回顾旧知, 引入新课

二、引导探究, 获得新知

1.动画演示, 得到切线的新定义

已知曲线上点P处的切线PT和割线PQ, 动画演示Q点无限逼近P点, 即Δx→0, 割线PQ的变化趋势. 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系? 并体会从割线到切线的变化过程:

学生观察, 得出一般曲线的切线的定义:

曲线上Q点无限逼近P点, 即Δx→0, 割线PQ趋近于确定的位置PT, 这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.

2.数形结合, 概括导数的几何意义

三、分层解析, 巩固理解

师:由导数的几何意义, 我们可以解决“切点—斜率—切线”知一求二问题, 接下来我们重点研究曲线求切线问题.

1.分类解析 (四种常见的类型)

题型一:已知切点, 求曲线的切线方程.

此类题只需求出曲线的导数得到斜率, 并代入点斜式方程即可.

题型二:已知斜率, 求曲线的切线方程.

此类题可利用斜率求出切点, 再用点斜式方程加以解决.

题型三:已知过曲线上一点, 求切线方程.

过曲线上一点的切线, 该点未必是切点, 故应先设切点, 再求切点, 即用待定切点法.

题型四:已知过曲线外一点, 求切线方程.

2.动手实践

【例4】已知曲线f (x) =x2+1.

(1) 求曲线在点 (2, 5) 处的切线方程;

(2) 求曲线过点 (2, -11) 的切线方程.

3.方法总结

曲线y=f (x) “过”点P (x0, y0) 与“在”点P (x0, y0) 处的切线的区别:

①曲线y=f (x) 过点P (x0, y0) 的切线, 是指切线经过P点, P点可以是切点, 也可以不是切点, 而且这样的直线可能有多条;

②曲线y=f (x) 在点P (x0, y0) 处的切线是指P为切点, 若切线斜率存在时, 切线斜率为k=f′ (x0) , 有唯一的一条切线.那么如果切线斜率不存在时, 又会怎么样呢?请看思考探究.

四、思考探究, 深化理解

1.如果曲线y=f (x) 在x0处的导数不存在, 那么曲 线y=f (x) 在x0处还存在切线吗, 若存在, 是什么?

2.曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共 点吗?

3.说说曲线的切线定义与初中学习圆的切线定义 有什么不同.

五、归纳总结, 深化认识

1.知识:

(1) 切线的定义;

(2) 函数f (x) 在x=x0处的导数f′ (x0) 的几何意义.

2.思想:体会数形结合、极限等思想方法.

3.应用:

(1) “切点—斜率—切线”知一求二;

(2) 学生归纳出求切线的一般步骤.

【教学反思】

本节课是高三第一轮的复习课, 学生对导数的概念及其几何意义都有了一定的认识, 但很多学生由于初学时对知识掌握不牢固或理解不到位, 往往知其然, 而不知其所以然.因此, 本节课从导数概念的复习入手, 利用多媒体技术动画展示从割线到切线的形成过程并概括导数的几何意义, 既让学生理解了曲线切线的定义, 又让学生明确了探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.利用数形结合思想方法让学生理解了割线通过无限逼近的方法, 得到割线斜率的极限就是曲线在该点处的切线的斜率, 深化了学生对导数几何意义的理解, 突出了重点, 突破了难点, 更体现了新课程背景下对知识发生过程推导所占据的举足轻重的作用.

篇4：《导数及其应用》单元教学设计

【关键词】单元教学设计

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0182-02

“单元教学设计”就是根据整套教材的结构体系和课程标准的要求，从模块章节、关联知识、数学方法等角度出发，按照数学分析、课标分析、学生分析、教材分析、重难点分析、教学安排等方面，对相关内容或方法优化整合，形成完整、总体的教学设计。“单元教学设计”体现整体性、相关性、阶梯性、综合性的基本要求。实现教师整体把握高中数学课程，不断开拓视野和提高教学能力。例如，高中数学教材中所涉及到的垂直关系、函数单调性、常用逻辑用语等，都可作为一个“单元”，教师从不同角度和层次进行教学设计。这种系统教学设计的方法，既帮助了教师整体把握章和单元的教学内容与教学形式，也更方便学习者理清知识点之间的关系，形成体系更加完整、结构更加坚固的知识结构。根据单元教学设计的理念，结合教学实际，对人教版选修2-2《导数及其应用》本章为单元，浅谈如何整体把握和实施教学过程。

一、单元教学目标

1.了解微积分概念的实际背景和几何意义，能够利用微积分解决简单与函数性质有关的问题和某些实际问题。

2.通过丰富的实际背景创设情境，教学中重现新概念的背景、产生、发展、完善的过程，呈现数学的本来面目。通过学习微积分，体会从局部到整体，再由整体到局部的思想方法，学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上。

3.通过数学文化的学习，可以使学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，并从中受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。

二、要素分析

1.数学分析

《导数及其应用》在整个高中数学教材中占有非常重要的地位和作用。它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。

2.标准分析

《导数及其应用》内容要求注重对导数本质的认识（要求把导数作为一种重要的数学思想、方法来学习），提高对导数应用性的要求，降低了对求导计算和定积分计算的要求。

3.学生分析

（1）学习水平分析：学生学习水平和能力比较好。

（2）知识储备分析：学生已经学习函数的相关性质，而且能够利用性质解决一些函数综合性问题，但学生没有学习数列的极限、函数的极限、函数的连续性等知识的基础上具体、直观的认识微积分的数学思想。

4.重难点分析

教学重点：导数概念的建立及其几何意义；简单函数的导数运算；利用导数研究函数的单调性，极值、最值等性质。

教学难点：在没有极限的条件下建立导数的概念；体会极限意义下的数学与精确意义下的数学的区别和联系；利用导数研究函数的性质；微积分基本定理。

5.考点分析

函数与导数应用客观题主要考察导数的计算；导数的几何意义；单调区间、极值、最值的求解；分段函数、函数定义域、函数性质、函数图像与变换、函数零点；已知函数的单调性、最值、极值等求参数的取值范围以及与不等式的综合应用；定积分的运算；利用定积分求平面图形的面积。函数与导数解答题，主要考查单调性、极值点、导数公式与运算、函数方程的思想，灵活运用导数分析问题、解决问题的能力。以导数的综合应用为主，函数、方程、不等式、曲线切线等综合命题。

6.教学方式分析

应用现代教育技术，通过实例分析法、探究式教学法、直观教学法进行教学设计。

三、教学流程设计

四、典型案例设计（重点教学设计）1.5.2汽车行驶的路程

创设情境

问题1：汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为S=vt.如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v（t）=0.6（单位：km/h），那么它在0≤t≤1（单位：h）这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？

学生活动：通过确定汽车以速度v作匀速直线运动的路程，利用速度--时间函数图像发现路程的几何意义，其几何意义就是： t=0， t=1，v=0，v=0.6所围成的图形面积。

问题2：如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度v（t）=0.6 t（单位：km/h），那么它在0≤t≤1（单位：h）这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？

学生活动：根据物理知识，确定汽车在这段时间内行驶的路程，结合速度—时间函数图像发现由t=0， t=1，v=0，v= 0.6 t所围成的图形面积在数值上与汽车行驶路程的关系，进一步明确路程的几何意义是对应图形的面积。

分析：通过探究1、2发现路程的几何意义，为探究3汽车作变速运动时，其路程的确定问题化归到曲边梯形面积的方法上。

新课探究

问题3：如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为（单位：km/h），那么它在0≤t≤1（单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？

分析：利用问题1、2得到路程s的几何意义，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.所以与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题.把区间分成n个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值.（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）。

五、反思与改进

1. 理解课程标准的要求，把握课堂教学主线——逼近思想、以直代曲思想、数形结合思想。

2. 寓德教学于数学教学之中。激发学生的学习兴趣，培养民族责任感，激发学生的热情，树立为振兴中华，开创未来的崇高理想和为科学献身的远大志向。

3. 在教学中传授给学生知识的过程中，应培养学生自主学习的能力和思维品质。

参考文献：

[1]曹莉莉.《新课程理念下课堂教学评价的标准》[J].教育科学研究，2003.7：8—12.

[2]高慎英.《“有效教学”的理想》[J].课程·教材·教法，2005.8：12-19.

[3]何克抗.现代教育技术培训教程[M].北京：高等教育出版社， 2005：10-13.

[4]季苹.《如何落实三维目标？（二）——对“单元教学设计”的探讨》[J].基础教育课程，2005.09

[5]管锡基.《“和谐高效思维对话”型课堂教学研究综述》[J].当代教育科学，2010年第12期.

[6]夏清.《单元教学设计背景下的课堂有效教学》[J].科学教育，2010年第6期.

篇5：导数应用教学设计

教学目标：

1、知识与技能目标：通过实例，借助图形直观探索并了解导数与函数单调性的关系，理解并掌握利用导数研究函数的单调性以及求解函数单调区间；

2、过程与方法目标：会用导数研究函数单调性，并会用导数求解函数单调区间；

3、情感态度与价值观目标：探究导数与函数单调性关系的过程中培养学生数形结合思想和从特殊到一般的数学思想，以及发现问题、解决问题的能力。教学重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间； 教学难点：发现和揭示导数值的符号与函数单调性的关系； 教学方法与手段：探究式教学模式；利用多媒体现代设备教学 教学过程：

一、复习回顾：

我们知道平均变化率可以刻画函数的变化趋势，大家还记得 问题1：函数yfx在区间x1,x2上平均变化率的数学表达式吗？

fx2fx1生1：（教师板书），x2x1师：那你能给出这个二次函数fxx4x3在x1,x2上的平均变化率吗？

2问题2：导数的概念和它的几何意义？

生2：x2x1时，fx2fx1fx1（教师板书）

x2x1师：这个导数又有什么几何意义？

生2：曲线yfx在点x1,fx1处切线的斜率

师：这个二次函数fxx4x3，它对应的fx1又是什么？

2生3：fx12x14

师：今天我们一起来学习导数在研究函数中的应用，导数作为函数变化率比较精确地刻画了函数的变化趋势，（板书“导数在研究函数 中的应用”）

二、建构数学 师：观察二次函数fxx24x3图象，请大家给出在对称轴左右两侧函数的变化趋势 生：对称轴x2左边下降趋势，对称轴x2右边上升趋势，师：也就是在,2为减函数，在2,为增函数，这也是函数的单调性 师：你是怎样判断函数单调性的？ 生：图象法（教师板书）

师：我们曾经还学习过判断函数单调性还有什么方法？ 生：定义法（教师板书）问题3：那函数单调性定义又是什么？

生：函数yfx的定义域为A，区间IA，任取x1,x2I，当x1x2时，fx1fx2，则yfx在区间I上是单调增函数； fx1fx2，则yfx在区间I上是单调减函数。

师：回答的非常好！请大家用定义法证明二次函数fxx4x3在2, 为增函数

2生： x1,x22,，不妨设x1x2，则fx2fx1x2x1x1x240，所以fx1fx2，所以函数在2,为增函数。

问题4：大家注意观察，从形式上你发现定义法和平均变化率对应的两式之间有关系吗？

f(x2)f(x1)x1x24，f(x2)f(x1)x2x1x1x24

x2x1生：有关系

师：说的很好！我们发现平均变化率与定义法之间存在某种密切的关系

问题5：当自变量的改变量无限趋近于0时平均变化率无限趋近于导数，而定义法可以判断函数的单调性，大家发现了什么？

生：导数与单调性之间可能也有关系

师：说的太好了！同学们发现了导数与函数单调性之间可能也有着某种密切的关系，这个问题的发现是很非常了不起的，那今天我们就来学习导数在研究函数的单调性中的应用。（教师补全课题）

问题6：导数与单调性之间究竟什么关系？

师：请大家结合切线斜率来观察这个二次函数fxx4x3在对称轴左右两侧导数值有

2什么不同特点？切线在对称轴左侧移动时，观察导数值特点并记录你所观察到的结果，切线在对称轴右侧移动时，同样也观察导数值特点并记录你的观察结果。

yfxx24x3x

生： 在区间,2上，fx0函数在该区间为减函数；

在区间2,上，fx0函数在该区间为增函数。（教师板书）师：我们通过图形直观观察得出结论，请大家回到导数定义中来，o2fx2fx1不妨假设x1x2，x2x1时，fx12x14

x2x1问题7：你能从“数”的角度解释为什么在2,上，fx0得到在该区间为增函数？

生：小组交流讨论 教师点评归纳：

不妨设x1x2，当x2x1时，fx2fx1x1x24fx12x14，x2x1fx2fx10，所以 fx2fx1，x2x1若fx10，得到x12，x1x240，得到在2,为增函数。

师：对于这个二次函数我们体会到平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过这四者之间的关系，我们从图形直观观察得到结论，又结合导数定义从“数”的角度解释了结论，做到了数形的完美结合。更一般地，我们也可以用导数值的符号来判断函数的单调性，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 生：对于函数yfx，在某个区间上fx0函数在该区间上为增函数； 在某个区间上fx0函数在该区间上为减函数

师：归纳的很好！这样大家便有了一种研究函数单调性新的方法——导数法。尤其对于那些很难作出图象，或者用定义法也很难判断单调性的函数，我们就可以选择导数法（板书）。

三、数学运用：

例1：用导数法确定函数fxx2x3在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？

2解：fx2x2，令fx0，解得x1，即在区间,1上为增函数

令fx0，解得x1，即在区间1,上为减函数（教师板书）师：结合这道例题，你能归纳出利用导数求解函数单调区间的主要步骤吗？ 生：回答 教师点评步骤：

（1）求导数fx；（2）解fx0和fx0；（3）写出单调区间。最后不忘函数定义域

四、课堂练习：

例2：用导数法确定函数fx2x6x7在哪些区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？

32（请学生板演）

解：fx6x12x6x(x2)2令fx0，解得x0或x2，令fx0，解得0x2，因此函数在,0和2,上为增函数，在0,2上为减函数

教师追问：你能根据函数单调性在演练纸上作出反映三次函数fx2x36x27单调性变化趋势的简图吗？（实物投影学生演练纸）

生：解释怎样做出函数简图：（1）找导函数零点；（2）分区间；（3）由单调性作图

师：我们利用导数值的符号来研究了函数的单调性，体会到导数法可以作为研究函数单调性的一般方法，那对于这个结论请大家思考：

问题8：若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上必有fx0吗？大家请结合函数fxx3来思考

生：fx3x2，发现 f00

师：由此看来若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上不一定有fx0。师：通过这节课的学习，你学习了哪些知识？体会了哪些数学思想？

五、回顾小结：

生1： 学习到利用导数值的符号来判断函数的单调性，及利用导数求解函数的单调区间； 生2：在探究导数与函数单调性之间的关系时，通过图形直观观察，体会到了数形结合的数学思想和特殊到一般的数学思想。

师总结归纳：平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过四者关系我们得到了一个结论，学习了判断函数单调性新的方法—导数法，在探究这个结论的过程中，以一个二次函数为例，先从图形直观观察得出结论，然后结合导数定义从“数”的角度解释结论，最后将结论一般化，渗透了两种思想：数形结合、研究问题从特殊到一般，利用导数求解函数单调区间时把握三个主要步骤“一求，二解，三写”最后不忘定义域，利用导数研究函数单调性是非常重要的，为后面用导数研究函数的极值、最值打下基础，对后续学习非常重要。

六、课外作业：

1、课本29页第1题（必做题）

篇6：导数在高中数学教学中的应用

【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率的有力工具。

【关键词】导数函数曲线的斜率极值和最值导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值，用导数证明不等式。这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求函数的切线

例1：已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。

分析：根据导数的几何意义求解。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用导数判断函数的单调性

例2：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。

由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。

故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

三、用导数求函数的极值

例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.当x变化时，y′、y的变化情况如下：

当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。

四、用导数证明不等式

证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。

例(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a?x022ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。

分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x)=ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证

(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证

由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值，满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna

在0-lna时,t′(x)>0

t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数

则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数

则p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一个常数x0=-lna(0

篇7：导数应用教学设计

1.教学目标

（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤

2.教学重点/难点

【教学重点】：

利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】：

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤

3.教学用具

多媒体

4.标签

1．3．3函数的最大（小）值与导数

篇8：导数应用教学设计

一、高中学生学习数学的思维特点

高中学生在进行数学学习的过程中通过对问题进行深入分析,明确问题之后提出更加深入内容的假设,通过针对假设提出的相关方案,运用所掌握的知识和查阅到的相关资料在对方案进行佐证的这个过程中,寻找出解决相关问题的办法,从而达到对数学课程的相关学习任务.在这个学习过程中的那个体现出学生发现问题的预见性,对问题进行分析之后提出的正确的假设性,通过思维灵活运用的过程中所表现出的内省性,以及在学习过程中所表现出的差异性等都是学生学习的特性.

在学习的过程中,有的学生能够根据教材的顺序对问题进行深入的研究探讨,有的则是需要老师对问题进行讲解,然后才能找到问题的答案,也有的学生是能全面地思考问题,由浅入深,由实到虚地对问题进行研究,那么也有的学生无法进行这种思考,他们的学习方式就是单纯的获得知识,并且只能将所得到的知识进行简单的运用,并不能深入了解知识的内涵.有的学生能够通过图表和相关数据进行深入的处理,从而进行分析比对,也有的学生对于图表数据之流束手无策,从而无法解决问题.一般情况下,学生初中阶段形象思维是发展得比较好的,但是到了高中阶段,特别是高一的时候,其形象思维发展减弱,而学生的逻辑思维反而开始增长,这就导致了大部分学生在高一阶段对于数学的学习十分困难.不过经过高一一年的学习之后,高二的学生对于数学学习就更加适应,并且其逻辑性思维也在不断地加强,到了高三的时候,学生的逻辑思维已经逐渐完善并且趋向于成熟.

二、高中导数教学内容

课堂教学并不是教师单向性地向学生传输知识,传统的教学活动中,只有老师一个人唱独角戏,课堂气氛低迷,效率低下.为了能吸引学生的注意力,激发学生的好奇心从而促使学生具有良好的学习兴趣,人教社在编写教材的时候根据内容的具体情况加上了“阅读思考”“实习作业”等项目,通过对这些内容的学习,使学生具有主动探究的意识,养成具有科学性的思维方式,通过对资料的收集和整理,深刻体会导数学习的价值,并在实际情况中运用学到的知识.

通过数形结合,使抽象的知识以具体的方式呈现出来,导数的学习过程本身就是一种数形结合的学习方式.在教学过程中,深刻贯彻对数据和图形的应用,通过这种有机结合的方式,在将繁复的推导过程简单化的同时,也可以让学生更好地对导数进行认识.教师通过这种方式给枯燥复杂的数学注入活力,降低数学学习的难度,提高学生的学习兴趣.

三、高中导数教学策略

教师在对导数的教学过程中,根据学生的实际情况对教学顺序、教学活动等问题进行全面透彻的思考,从主观条件和客观因素出发,完成原有的教学课程,达到教学目的,这就是教学策略的含义.通过教学活动中实际的经历、问卷结果等不同的教学方式的组合,寻找最适合学生的教学方式,科学地为学生解决在导数学习中遇到的各种困难,鼓励学生通过自己的努力和深入的研究学习跨越导数这个阻拦其学习的障碍.通过开展学习小组,将学生们进行合理的分配组合,以确保每名学生的长处都能在学习过程中发挥出来.使学生对合作性的乐趣产生深刻的体会,并合理地引导其在合作学习的过程中创造性思维的发展.另外,还要对总体教学和学习小组的时间进行合理的安排,使学习小组的相关活动在不影响整体教学的情况下展开.

结束语

对导数教学内容进行深入的研究,针对“导数及其应用”在学生学习过程中的衔接进行思考,使用科学合理的教学方式引导学生更好地进行高中导数的学习.导数具有在生活中广泛应用的特性,这就奠定了导数在数学学习过程中的重要地位,通过对学生个体差异和学习习惯等方面的考量,针对学生的接受能力和认知能力进行合理的教学改革,以适应目前大环境下的整体基础教育课程的改革潮流.

参考文献

[1]闫伟.高中数学“导数及其应用”教学研究[D].长春:东北师范大学,2015.

[2]许梦日,任传贤.“导数及其应用”部分教学高校与高中衔接问题探究[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2014(03):84-87.

篇9：导数应用教学设计

一、知识与能力

1.本节课是高三复习课.通过对“导数、平均变化率”的复习，明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.

2.利用割线逼近的方法直观定义切线，概括导数的几何意义.

3.通过例题分类解析，让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受数形结合、极限思想方法.

二、过程与方法

1.学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的动手和动脑的能力.

2.分类探究和分层练习，各种层次的学生都可以凭借自己的知识能力独立解决问题.

3.学生通过思考探究的3个问题，深化对切线定义的认知，小结形成求切线的步骤.

三、情感、态度与价值观

1.在探究过程中渗透极限思想，体验数形结合思想.

2.采用示范剖析、学生自主实践的方式，让学生理解和掌握基本数学技能、思想方法.

【教学重难点】

重点：理解和掌握切线的定义、导数的几何意义.

难点：体会数形结合、极限思想；利用导数的几何意义求曲线的切线.

【教学方法】分层探究、自主实践.

【教学过程】

一、回顾旧知，引入新课

1.师：平均变化率Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx的几何意义是什么？

生：割线的斜率.

2.函数在x=x0处的导数f′（x0）的定义：

f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx.

（即Δx→0，平均变化率趋于的确定常数就是该点导数.）

师：那么当Q点无限逼近P点时（Δx→0）即lim1Δx→0Δy1Δx，在图中又表示什么呢？今天我们就一起来探究导数的几何意义及应用.

二、引导探究，获得新知

1.动画演示，得到切线的新定义

已知曲线上点P处的切线PT和割线PQ，动画演示Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ的变化趋势.教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系？并体会从割线到切线的变化过程：

k割线=Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

↓

当 Q点无限逼近P点时，即Δx→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率.

↓

k切线=f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

学生观察，得出一般曲线的切线的定义：

曲线上Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ趋近于确定的位置PT，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.

2.数形结合，概括导数的几何意义

导数f′（x0）的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，即k=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx=f′（x0）.

三、分层解析，巩固理解

师：由导数的几何意义，我们可以解决“切点—斜率—切线”知一求二问题，接下来我们重点研究曲线求切线问题.

1.分类解析（四种常见的类型）

题型一：已知切点，求曲线的切线方程.

此类题只需求出曲线的导数得到斜率，并代入点斜式方程即可.

【例1】曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）.

A.y=3x-4B.y=-3x+2

C.y=-4x+3D.y=4x-5

答案：B.

题型二：已知斜率，求曲线的切线方程.

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.

【例2】与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）.

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0

答案：D.

题型三：已知过曲线上一点，求切线方程.

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.

【例3】求过曲线y=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程.

题型四：已知过曲线外一点，求切线方程.

【变式训练】求函数y=x3-2x过点（0，16）的切线方程.

2.动手实践

【例4】已知曲线f（x）=x2+1.

（1）求曲线在点（2，5）处的切线方程；

（2）求曲线过点（2，-11）的切线方程.

3.方法总结

曲线y=f（x）“过”点P（x0，y0）与“在”点P（x0，y0）处的切线的区别：

①曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点，P点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条；

②曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f′（x0），有唯一的一条切线.那么如果切线斜率不存在时，又会怎么样呢？请看思考探究.

四、思考探究，深化理解

1.如果曲线y=f（x）在x0处的导数不存在，那么曲线y=f（x）在x0处还存在切线吗，若存在，是什么？

2.曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？

3.说说曲线的切线定义与初中学习圆的切线定义有什么不同.

五、归纳总结，深化认识

1.知识：

（1）切线的定义；

（2）函数f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义.

2.思想：体会数形结合、极限等思想方法.

3.应用：

（1）“切点—斜率—切线”知一求二；

（2）学生归纳出求切线的一般步骤.

【教学反思】

本节课是高三第一轮的复习课，学生对导数的概念及其几何意义都有了一定的认识，但很多学生由于初学时对知识掌握不牢固或理解不到位，往往知其然，而不知其所以然.因此，本节课从导数概念的复习入手，利用多媒体技术动画展示从割线到切线的形成过程并概括导数的几何意义，既让学生理解了曲线切线的定义，又让学生明确了探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.利用数形结合思想方法让学生理解了割线通过无限逼近的方法，得到割线斜率的极限就是曲线在该点处的切线的斜率，深化了学生对导数几何意义的理解，突出了重点，突破了难点，更体现了新课程背景下对知识发生过程推导所占据的举足轻重的作用.

同时，为了适应高考对解题能力的要求，对导数几何意义的应用做了分类训练，便于学生理清思路，让学生在主动实践中归纳方法，举一反三，提高效率.通过“在”某点处和“过”某点的切线的对比，明确求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.最后，通过思考探究的3个问题的探讨，进一步深化对切线形成及导数几何意义的理解.