构造函数证明不等式(精选6篇)
篇1:构造函数证明不等式
构造可导函数证明不等式
◎李思阳本溪市机电工程学校 117022
【内容简要】构造辅助函数,把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式。而如何构造一个可导函数,是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考题及模拟题中选出四种类型题供师生们参考。
【关键词】构造辅助函数;导数;不等式。
一.直接作差
1(2011·辽宁文科)设函数f(x)xax2blnx,曲线yf(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)2x2。
(1)解:f(x)=1+2ax1a0b.由已知条件得f(1)0,f(1)=2,即 x12ab2
解得a1。
b3
(2)证明:因为f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知f(x)xx23lnx。
设g(x)f(x)(2x2)=2xx3lnx,则g(x)=12x23(x1)(2x3)=。xx
当0<x<1时,g(x)>0,当x>1时,g(x)<0。
所以g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减。而g(1)=0,故当x>0时,g(x)≤0,即f(x)2x2。
总结:直接作差g(x)f(x)(2x2),用导数得gmax(x)g(1)=0,从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。
二.分离函数
2.(2011·课标全国卷文科)已知函数f(x)
处的切线方程为x2y30。
(1)求a,b的值;
(2)证明:当x>0,且x1时,f(x)>
(1)解:略a1,b1。alnxb,曲线yf(x)在点(1,f(1))x1xlnx。x1
lnx1lnx1x21,所以f(x)(2lnx)。(2)证明:由(1)知f(x)=x1xx11x2x
x21考虑函数h(x)=2lnx(x>0),则 x
22x2(x21)(x1)2
=。h(x)=22xxx
所以当x1时,h(x)<0,而h(1)0
当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得,故 1h(x)>0; 21x
1h(x)>0。当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得1x2
lnx从而当x>0,且x1时,f(x)>。x1
总结:作差后的函数如可分为两个函数的积,直接求导很繁,可取其中一个函数求导,再讨论证明。
三.巧妙变形
3.(2010·辽宁文科)已知函数f(x)(a1)lnxax21。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设a2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)f(x2)4x1x2。解:(1)略。
(2)不妨设x1≥x2,由于a2,故f(x)在(0,+∞)减少。所以
f(x1)f(x2)4x1x2等价于f(x2)f(x1)≥x1-x2,即f(x2)x2≥f(x1)x1。
a12ax24xa12ax4=令g(x)f(x)x,则g(x)=。于是 xx
4x24x1(2x1)2
g(x)≤≤0。xx
从而g(x)在(0,+∞)单调减少,故g(x1)≤g(x2)。即f(x1)x1≤f(x2)x2,故,对任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)f(x2)4x1x2。
总结:通过等价变形,构造函数g(x),利用g(x)的单调性得证。
四.作函数积
12。exex
1212证明: 对任意的x(0,﹢∞),lnx1>xx(lnx1)>x(x)exexee
x2设函数f(x)=xlnxx,g(x)=x+。ee
111f(x)=lnx2,f(x)=0,得x2,易知fmin(x)=f(2)=—2。eee4.(2011·本溪一中模拟)对任意的x(0,﹢∞),求证:lnx1>
1exxex
,=0,得1,易知==。g(1)g(x)=g(x)g(x)xmaxee2x
11,∴fmin(x)>gmax(x),∴f(x)g(x)。ee2
x212∴xlnxxx+。因此lnx1>x。exeee∵
总结:直接做不好做,不等式两边同乘以一个函数,先进行证明,得到结果后再同除以这个函数,从而证得。
篇2:构造函数证明不等式
例1.设:a、b、c∈R,证明:a2acc23b(abc)0成立,并指出等号何时成立。
解析:令f(a)a2(3bc)ac23b23bc
⊿=(3bc)24(c23b23bc)3(bc)2 ∵b、c∈R,∴⊿≤0 即:f(a)0,∴a2acc23b(abc)0恒成立。
当⊿=0时,bc0,此时,f(a)a2acc23ab(ac)20,∴abc时,不等式取等号。
4例2.已知:a,b,cR且abc2,a2b2c22,求证: a,b,c0,。
3abc222解析:2 消去c得:此方程恒成立,a(b2)ab2b10,22abc2∴⊿=(b2)24(b22b1)3b24b0,即:0b4同理可求得a,c0,
34。3② 构造函数逆用判别式证明不等式
对某些不等式证明,若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数:f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2
由f(x)0,得⊿≤0,就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题,获得简捷明快的证明。
例3.设a,b,c,dR且abcd1,求证:4a14b14c14d1﹤6。解析:构造函数:
f(x)(4a1x1)2(4b1x1)2(4c1x1)2(4d1x1)
2=8x22(4a14b14c14d1)x4.(abcd1)由f(x)0,得⊿≤0,即⊿=4(4a14b14c14d1)21280.∴4a14b14c14d142﹤6.例4.设a,b,c,dR且abc1,求解析:构造函数f(x)(=(1axa)2(149的最小值。abc2bxb)2(3cxc)2
1492)x12x1,(abc1)abc111由f(x)0(当且仅当a,b,c时取等号),632149得⊿≤0,即⊿=144-4()≤0
abc111149
∴当a,b,c时,()min36 632abc
构造函数证明不等式
1、利用函数的单调性
+例
5、巳知a、b、c∈R,且a bmb[分析]本题可以用比较法、分析法等多种方法证明。若采用函数思想,构造出与所证不等式密切相关的函数,利用函数的单调性来比较函数值而证之,思路则更为清新。
ax+,其中x∈R,0
bxbx证明:令 f(x)= ∵b-a>0 ba+ 在R上为减函数 bxba+从而f(x)= 在R上为增函数
bx∴y= ∵m>0 ∴f(m)> f(0)
∴ama> bmb例
6、求证:ab1ab≤
ab1ab(a、b∈R)
[分析]本题若直接运用比较法或放缩法,很难寻其线索。若考虑构造函数,运用函数的单调性证明,问题将迎刃而解。
[证明]令 f(x)=
x,可证得f(x)在[0,∞)上是增函数(证略)1x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
得 f(∣a+b∣)≤ f(∣a∣+∣b∣)
即: ab1ab≤
ab1ab
[说明]要证明函数f(x)是增函数还是减函数,若用定义来证明,则证明过程是用比较法证明f(x1)与f(x2)的大小关系;反过来,证明不等式又可以利用函数的单调性。
2、利用函数的值域
例
7、若x为任意实数,求证:—
x11≤≤ 221x2[分析]本题可以直接使用分析法或比较法证明,但过程较繁。联想到函数的值域,于是构造函数f(x)= x11,从而只需证明f(x)的值域为[—,]即可。
1x222x2证明:设 y=,则yx-x+y=0 21x ∵x为任意实数 ∴上式中Δ≥0,即(-1)-4y≥0 1 411得:—≤y≤
22x11 ∴—≤≤
21x22 ∴y≤2[说明]应用判别式说明不等式,应特别注意函数的定义域。
另证:类比万能公式中的正弦公式构造三角函数更简单。
例
8、求证:必存在常数a,使得Lg(xy)≤ Lga.lg2xlg2y
对大于1的任意x与y恒成立。
[分析]此例即证a的存在性,可先分离参数,视参数为变元的函数,然后根据变元函数的值域来求解a,从而说明常数a的存在性。若s≥f(t)恒成立,则s的最小值为f(t)的最大值;若 s≤f(t)恒成立,则s的最大值为f(t)的最小值。
22证明:∵lgxlgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可变形为:Lga≥
lgxlgylgxlgy22
2(lgxlgy)2lgxlgy 令 f(x)= == 1222222lgxlgylgxlgylgxlgylgxlgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴lgx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgxlgy ∴ 1 从而要使原不等式对于大于1的任意x与y恒成立,只需Lga≥2即 a≥10 2即可。 故必存在常数a,使原不等式对大于1的任意x、y恒成立。 3、运用函数的奇偶性 xx<(x≠0)12x2xx 证明:设f(x)=-(x≠0)x122 例 9、证明不等式: xxx2xx ∵f(-x)=-= x+ x122212xxx [1-(1-2)]+ 12x2xx =-x+= f(x)x122 = ∴f(x)的图象关于y轴对称 例1 (2011年辽宁文科) 设函数f (x) =x+ax2+blnx, 曲线y=f (x) 过P (1, 0) , 且在P点处的切线斜率为2. (1) 求a, b的值; (2) 证明:f (x) ≤2x-2. 解 (1) f' (x) =1+2ax+ 由已知条件, 得f (1) =0, f' (1) =2, 证明 (2) ∵f (x) 的定义域为 (0, +∞) 由 (1) 知f (x) =x-x2+3lnx. 设g (x) =f (x) - (2x-2) =2-x-x2+3lnx, 当0 ∴g (x) 在 (0, 1) 内单调递增, 在 (1, +∞) 内单调递减.而g (1) =0, 故当x>0时, g (x) ≤0, 即f (x) ≤2x-2. 总结直接作差g (x) =f (x) - (2x-2) , 用导数得gmax (x) =g (1) =0, 从而得证.直接作差是证这类题最常用的方法. 二、分离函数 例2 (2011年课标全国卷文科) 已知函数曲线y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为x+2y-3=0. (1) 求a, b的值; (2) 证明:当x>0, 且x≠1时, f (x) 解 (1) 略, a=1, b=1. 证明 (2) 由 (1) 知f (x) = ∴当x≠1时, h' (x) <0, 而h (1) =0, 故 当x∈ (0, 1) 时, h (x) >0, 可得 当x∈ (1, +∞) 时, h (x) <0, 可得 从而当x>0, 且x≠1时 总结作差后的函数如可分为两个函数的积, 直接求导很繁, 可取其中一个函数求导, 再讨论证明. 三、巧妙变形 例3 (2010年辽宁文科) 已知函数f (x) = (a+1) lnx+ax2+1. (1) 讨论函数f (x) 的单调性; (2) 设a≤-2, 证明:对任意x1, x2∈ (0, +∞) , |f (x1) -f (x2) |≥4|x1-x2|. 解 (1) 略. (2) 不妨设x1≥x2, 由于a≤-2, 故f (x) 在 (0, +∞) 内单调递减. ∴|f (x1) -f (x2) |≥4|x1-x2|等价于f (x2) -f (x1) ≥x1-x2, 即f (x2) +x2≥f (x1) +x1. 令g (x) =f (x) +x, 则 从而g (x) 在 (0, +∞) 内单调递减, 故g (x1) ≤g (x2) . 即f (x1) +x1≤f (x2) +x2, 故对任意x1, x2∈ (0, +∞) , |f (x1) -f (x2) |≥4|x1-x2|. 总结通过等价变形, 构造函数g (x) , 利用g (x) 的单调性得证. 四、作函数积 例4 (2011年本溪一中模拟) 对任意的x∈ (0, ﹢∞) , 求证: 证明对任意的x∈ (0, ﹢∞) , 总结 一、移项即可产生 例1 当 时,求证: . 分析:这是一个特殊的不等式,用常规的方法无效,因此,我们试用导数来证. 证明:设 ,则 因为 ,得 ,于是 , 即 时, 为增函数, 于是 时, ,而 ,于是 , 即 ,故 . 点评:本题的函数在构造上较为简单,只需要将其移项就产生了.这是用导数证明不等式构造函数的重要方法之一,我们必须掌握. 二、变形之后产生 例2 已知 是正整数,且 ,证明: . 分析:由 解:设 = ,则 由 ,得 ,而 , 所以 ,得 为单调递减函数; 因为 且 是正整数,所以 , 那么,所以 , 即 . 点评:本题初看与导数无关,也无法构造函数.但当我们对欲证不等式进行变形之后,让我们感觉到了函数 的存在,有了这个函数,一切都变得轻松、自然. 三、转化途中产生 例3 设数列 满足 , ,试证: . 分析:由已知得 , ,那么,原不等式即为 . 证明: 设 ( ),则 ,得 ,函数 在 上单调递减, ∴ ,即 在 恒成立,又 ,则有 , 即 . 点评:本题证明的技巧性很强,在产生 之后,首先要说明 ,然后再结合 构造函数,最后还有函数的定义域由 决定.三处有一处上不去,就別想完成本题的求解. 四、挖掘隐含产生 例4 设函数 有两个极值点 ,且 ,求证:. 分析: 是什么?将 代入到 中去以后,又多出了字母 ,如何处理字母 呢?能不能用 表示出字母 ?我们知道 ,作出以下证明。 证明:由于 , 令 ,其对称轴为 . 由题意知 是方程 的两个均大于 的不相等的实根,那么 , , 显然,当 时, 在 单调递增; 点评:本题的难度很大,函数隐藏较深.也许有的学生能产生 的结果,也能顺利代换掉字母 ,由于 与想象中的函数不一致,最终前功尽弃. 五、借助已知函数产生 例5 已知函数 . 求证:若 ,则对任意x ,x ,xx ,有 . 分析:本题的式子很特别,从给出的式子中隐约感觉到要用导数进行证明,但如何构造函数呢?由于待证式子中既有 又有 ,是不是与 及 有关联的式子呢? 证明:设函数 , 则 , 由于 ,得 ,即 在(4,+∞)单调递增, 从而当 时,有 ,即 , 故 , 当 时,有 点评:本题的结构很简练,可以说“清脆透明”,一看就能理解题意,如何下手呢?从开始证明到结论产生,不过几行而已.但对大多数考生来说,这几行字的书写并非是一件易事. 通过上述几例可以看出:导数在证明不等式中的作用是非凡的,有些看似难以下手或结论十分特别的式子,通过利用导数都能顺利获解,因此,高考偏爱导数是正常的,将它放在压轴题的位置上也是应该的.当然,面对导数这块“硬骨头”,我们必须“啃”掉它. 责任编辑李婷婷 湖北省天门中学薛德斌2010年10月 例 1、设当xa,b时,f/(x)g/(x),求证:当xa,b时,f(x)f(a)g(x)g(a). 例 2、设f(x)是R上的可导函数,且当x1时(x1)f/(x)0. 求证:(1)f(0)f(2)2f(1);(2)f(2)2f(1). 例 3、已知m、nN,且mn,求证:(1m)(1n). nm 例 4、(2010年辽宁卷文科)已知函数f(x)(a1)lnxax21,其中a2,证明: x1,x2(0,),|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例 5、(2010年全国Ⅱ卷理科)设函数fxxaIn1x有两个极值点x1、x2,且 2x1x2,证明:fx2 12In2.4a0,b0,例 6、已知函数f(x)xlnx,求证:f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x; 1x 11112ncln(2)设c0,求证:.2cn1cn2c2ncnc例 龙源期刊网 http://.cn 构造函数证明不等式的方法探究 作者:赵久勇 常国庆 来源:《新高考·高三数学》2012年第02期 【构造函数证明不等式】相关文章: 构造函数证明不等式08-13 构造函数法证明不等式12-09 构造函数,结合导数证明不等式04-16 导数证明不等式构造函数法类别(学生版)08-13 构造函数巧证不等式09-13 构造法之构造函数09-09 构造函数05-09 构造函数05-27 复制构造函数04-26 拷贝构造函数范文05-29篇3:构造可导函数证明不等式
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