中考数学高频考点

中考数学高频考点（精选6篇）

篇1：中考数学高频考点

中考数学高频考点

一、代数

（一）、数与式子、实数分类、相反数、绝对值、倒数、无理数、算术平方根、立方根、零指数、幂的运算（+、—、乘方）、单项式乘单项式、单项式乘多项式、乘法公式计算、分解因式、分式基本性质（含符号法则）、分式计算、二次根式有意义范围、合并同类二次根式、增长率的计算、利润的计算

（二）、方程与不等式

列一元一次方程（二元一次方程组）解应用题、解不等式（组）

（三）、函数

象限点坐标符号、函数图像转化为实际问题、求一次函数（直线）解析式、求反比例函数解析式、反比例函数图像性质、求二次函数解析式及抛物线顶点坐标或对称轴、求直线或抛物线在区间内最值（取值范围）、关于x轴对称点坐标特征

二、几何

（一）、几何基础

三视图、余角、相交线平行线性质、角平分线性质与判定

（二）、三角形

三角形内角和外角和、外角性质，多边形内角和外角和、轴对称性质、中心对称性质、等腰三角形性质与判定、等腰三角形分类讨论计算、等边三角形性质、特殊三角函数值、直角三角形性质与判定、三角形全等的性质与判定、三角形相似的判定与性质（关注母子三角形、广义母子三角形）、解直角三角形、勾股定理

（三）、四边形

特殊四边形性质、平行四边形的判定、矩形的判定、直角梯形性质、等腰梯形性质、（四）、圆

求弧长、扇形面积，垂径定理、切线性质与判定、直径上的圆周角是直角、同弧上的圆周角相等、三、统计

调查、样本容量、条形图、扇形图、求平均数众数中位数、方差、样本估计总体、四、概率

事件、求概率。

篇2：中考数学高频考点

1、相似三角形(5个考点)

考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理。

考点3：相似三角形的概念。

考点4：相似三角形的判定和性质及其应用。

考点5：三角形的外心、内心、重心。

2、锐角三角函数(2个考点)

考点6：锐角三角形(锐角的正弦、余弦、正切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值。

考点7：解直角三角形及其应用。

3、二次函数(4个考点)

考点8：函数以及自变量、因变量等有关概念，函数的表示法。

考点9：用待定系数法求二次函数的解析式(一设、二代、三列、四还原)。

考点10：画二次函数的图象。

(1)知道函数图象的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图象。

(2)理解二次函数的图象，体会数形结合思想。

(3)会画二次函数的大致图象。

考点11：二次函数的图象及其基本性质。

(1)借助图象的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;

(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质。

4、圆的相关概念(5个考点)

考点12：圆心角、弦、弦心距的概念。

考点13：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

考核要求：

认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明。

考点14：垂径定理及其推论。

考点15：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系。

考点16：正多边形的有关概念和基本性质。

考核要求：

熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题。

5、数据整理和概率统计(9个考点)

考点17：确定事件和随机事件。

(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系。

(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件。

考点18：事件发生的可能性大小，事件的概率。

考点19：等可能试验中事件的概率问题及概率计算(树状图、列表法)。

考点20：数据整理与统计图表。

(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别。

(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息。

考点21：统计的含义，认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法。

考点22：平均数、加权平均数的概念和计算。

考点23：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算。

考点24：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图。

篇3：中考数学高频考点

考点1 由数列的前几项求通项公式

根据数列的前几项求它的一个通项公式, 通过观察每一项的特点, 分析出项与n之间的关系、规律, 可使用添项、通分、分割等办法, 转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号的变化, 可用 (-1) n或 (-1) n+1来调整.

例1写出下面各数列的一个通项公式:

(2) 3, 33, 333, 3333, ….

解析: (1) 奇数项为负, 偶数项为正, 因此通项公式的符号为 (-1) n;各项绝对值的分母组成数列2, 4, 6, 8, …;而各项绝对值的分子组成的数列中, 奇数项为1, 偶数项为3, 即奇数项为2-1, 偶数项为2+1, 所以该数列的一个通项公式为.

(2) 这个数列的前4 项可以写成 (1/3) (10-1) , (1/3) (100-1) , (1/3) (1 000-1) , (1/3) (10 000-1) , 所以该数列的一个通项公式为.

考点2 由an与Sn的关系求通项公式

有些数列给出{an}的前n项和Sn与an的关系式Sn=f (an) , 利用该式写出Sn-1=f (an-1) (n≥2) , 两式作差, 再利用an=Sn-Sn-1导出an与an-1 (n≥2) 的递推式, 从而求出an.请注意:对n=1时的情况的讨论.

例2 若各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn, 且, 其中a1=1, 求an.

因为an≠0, 所以an+1-an-1=2.

从而a2 m+1=1+2 (m+1-1) =2m+1, a2 m=2+2 (m-1) =2m, m∈N*.

综上可知, an=n (n∈N*) .

考点3 由递推公式求通项公式

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法, 它们都可以确定数列中的任意一项, 只是由递推公式确定数列中的项时, 不如通项公式直接.由递推公式求通项公式常见的方法有:累加法、累乘法以及构造法等.

例3已知数列{an}中, a1=1, an+1=2an+3, 求an.

所以{bn}是以b1=4为首项, 2为公比的等比数列, 则bn=4×2n-1=2n+1.

所以an=2n+1-3.

考点4 等差数列的基本运算

等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1, an, d, n, Sn, 如果知道其中三个就能求另外两个.

例4已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 且满足, 则数列{an}的公差是____.

考点5 等差数列的判断和证明

判断数列{an}为等差数列的常见方法有四种:

(1) 定义法:对于n≥2的任意自然数, 验证an-an-1为同一常数. (2) 等差中项法:验证2an-1=an+an-2 (n≥3, n∈N*) 成立. (3) 通项公式法:验证an=pn+q. (4) 前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.其中在解答题中常应用定义法和等差中项法, 而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.

又, 所以数列{bn}是以为首项, 1为公差的等差数列.

考点6 等差数列的性质

等差数列的常见性质有: (1) an=am+ (n-m) d (n, m∈N*) . (2) 若{an}为等差数列, 且k+l=m+n (k, l, m, n∈N*) , 则ak+al=am+an. (3) 若{an}是等差数列, 公差为d, 则ak, ak+m, ak+2m, … (k, m∈N*) 是公差为md的等差数列. (4) 数列Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, … 也是等差数列.

例6已知等差数列{an}中a4=2, an+2+an+5=2an+1+10, 则{an}的通项公式an=_____.

解析:令数列{an}的公差为d.

由an+2+an+5=2an+1+10, 得an+1+d+an+1+4d=2an+1+10, 即5d=10, 得d=2.

又a4=2, 所以an=a4+ (n-4) d=2+ (n-4) ×2=2n-6.

考点7 等差数列前n项和的最值

求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法: (1) 函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn, 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. (2) 邻项变号法:①当a1>0, d<0时, 满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;②当a1<0, d>0时, 满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.

例7 已知数列{an}的通项公式是an= (1-k) n+13k-3, bn=an2-a2n+1.若数列{bn}的前n项和为Sn, 是否存在实数k, 使Sn当且仅当n=12时取得最大值?若存在, 求出k的取值范围;若不存在, 说明理由.

解析:存在满足题意的实数k.

由题意, 得bn=a2n-a2n+1= (an+an+1) (an-an+1) =-2 (1-k) 2n+25k2-30k+5.

由题意知, 当且仅当n=12时Sn最大, 则b12>0, b13<0,

故k的取值范围为 (- ∞, -19) ∪ (21, +∞) .

考点8 等比数列的基本运算

等比数列中有五个量a1, n, q, an, Sn, 一般可以“知三求二”, 通过列方程 (组) 求关键量a1和q, 问题可迎刃而解.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论, 当q=1时, {an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时, {an}的前n项和.

例8 设数列{an}是等比数列, 前n项和为Sn, 若S3=3a3, 则公比q=____.

解析:当q=1时, 满足S3=3a1=3a3.

当q≠1时, S3=a1 (1+q+q2) =3a1q2, 解得.

综上, 或q=1.

考点9 等比数列的判定与证明

等比数列的常用判定方法有: (1) 定义法:若 (q为非零常数, n∈N*) 或 (q为非零常数, 且n≥2, n∈N*) , 则{an}是等比数列. (2) 等比中项法:若数列{an}中, an≠0且a2n+1=an·an+2 (n∈N*) , 则数列{an}是等比数列. (3) 通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn-1 (c, q均是不为0的常数, n∈N*) , 则{an}是等比数列. (4) 前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k (k为常数且k≠0, q≠0且q≠1) , 则{an}是等比数列.其中前两种方法是判定等比数列的常用方法, 常用于证明, 而后两种方法常用于选择题、填空题中的判断.

例9 已知数列{an}中, a1=1, , 又bn=a2n+a2n-1, n∈N*.判断数列{bn}是否为等比数列.

又, 所以{bn}是以3/2为首项, 1/2为公比的等比数列.

考点10 等比数列的性质

等比数列的常用性质有: (1) 若m+n=p+q=2k (m, n, p, q, k∈N*) , 则am·an=ap·aq=ak2; (2) 若数列{an}, {bn} (项数相同) 是等比数列, 则{λan} (λ≠0) , , {an2}, {an·bn}等仍然是等比数列; (3) 在等比数列{an}中, 等距离取出若干项也构成一个等比数列, 即an, an+k, an+2k, an+3k, … 为等比数列, 公比为qk; (4) 公比不为-1 的等比数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n仍成等比数列, 其公比为qn, 当公比为-1时, Sn, S2n-Sn, S3n-S4n不一定构成等比数列.

例10 等比数列{an}中, 前n项和为Sn, 且S10=10, S30=70, 则S20=____.

解析:易得等比数列{an}中, q≠ -1, S10, S20-S10, S30-S20成等比数列,

所以 (S20-S10) 2=S10 (S30-S20) , 即 (S20-10) 2=10 (70-S20) , 解得S20=30或-20.

又S20= (1+q10) S10>0, 所以S20=30.

考点11分组法求和

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时可用分组求和法, 分别求和后再相加减.

例11 等比数列{an}中, a1, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且a1, a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 若数列{bn}满足bn=an+ (-1) nln an, 求数列{bn}的前n项和Sn.

解析: (1) 当a1=3时, 不合题意;当a1=2时, 当且仅当a2=6, a3=18时, 符合题意;当a1=10时, 不合题意.

因此a1=2, a2=6, a3=18, 所以公比q=3.

故an=2·3n-1 (n∈N*) .

(2) 因为bn=an+ (-1) nln an=2·3n-1+ (-1) nln (2·3n-1) =2·3n-1+ (-1) n[ln 2+ (n-1) ln 3]=2·3n-1+ (-1) n (ln 2-ln 3) + (-1) nnln 3,

所以Sn=2 (1+3+…+3n-1) +[-1+1-1+…+ (-1) n]· (ln 2-ln 3) +[-1+2-3+…+ (-1) nn]ln 3.

综上所述,

考点12错位相减法求和

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个数列的前n项和即可用此法来求, 如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.在应用错位相减法求和时, 若等比数列的公比为参数, 应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

例12 已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 且满足a2=3, S6=36.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 若数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3, b4+b5=24, 设数列{an·bn}的前n项和为Tn, 求Tn.

解析: (1) 因为数列{an}是等差数列, 所以S6=3 (a1+a6) =3 (a2+a5) =36, 则a2+a5=12.

由于a2=3, 所以a5=9, 从而d=2, a1=a2-d=1, 所以an=2n-1.

(2) 设数列{bn}的公比为q.

因为b1+b2=3, b4+b5=24, 所以, 得q=2.

从而b1+b2=b1 (1+q) =3b1=3, 所以b1=1, bn=2n-1.

所以an·bn= (2n-1) ·2n-1.

所以Tn=1×1+3×2+5×22+…+ (2n-3) ·2n-2+ (2n-1) ·2n-1,

则2Tn=1×2+3×22+5×23+ … + (2n-3) ·2n-1+ (2n-1) ·2n.

两式相减, 得 (1-2) Tn=1×1+2×2+2×22+…+2·2n-2+2·2n-1- (2n-1) ·2n,

即-Tn=1+2 (21+22+ … +2n-1) - (2n-1) ·2n=1+2 (2n-2) - (2n-1) ·2n= (3-2n) ·2n-3.

所以Tn= (2n-3) ·2n+3.

考点13裂项相消法求和

裂项相消法是指把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和. 常见的裂项方法有:.

例13 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn, 且满足a2·a4=65, a1+a5=18.设, 是否存在一个最小的常数m, 使得b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立?若存在, 求出常数m;若不存在, 说明理由.

解析:因为{an}为等差数列, 所以a1+a5=a2+a4=18.

又a2·a4=65, 所以a2, a4是方程x2-18x+65=0的两个根.

又数列{an}的公差d>0, 所以a2<a4.所以a2=5, a4=13.可知a1=1, d=4.

所以Sn=2n2-n.

所以存在m=1/2使得b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立.

考点14 等差数列与等比数列的综合问题

解决等差数列与等比数列的综合问题, 关键是厘清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列, 部分项成等比数列, 就要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来, 研究这些项与序号之间的关系;如果两个数列是通过运算综合在一起的, 就要从分析运算入手, 把两个数列分割开, 再根据两个数列各自的特征进行求解.

例14 已知{an}是等差数列, 满足a1=3, a4=12, 数列{bn}满足b1=4, b4=20, 且{bn-an}为等比数列.

(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2) 求数列{bn}的前n项和.

解析: (1) 设等差数列{an}的公差为d.

所以an=a1+ (n-1) d=3n.

设等比数列{bn-an}的公比为q.

所以bn-an= (b1-a1) qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1.

(2) 由 (1) 知bn=3n+2n-1.

令cn=3n, dn=2n-1.

数列{cn}的前n项和为, 数列{dn}的前n项和为.

所以数列{bn}的前n项和为.

考点15 等差数列与等比数列的实际应用

数列应用题的常见模型有:等差模型、等比模型以及递推数列模型等.建模思路是:从实际出发, 通过抽象概括建立数学模型, 通过对模型的解析, 再返回实际中去.

例15 为了加强环保建设, 提高社会效益和经济效益, 某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车, 则淘汰一辆旧车, 更换的新车为电力型车和混合动力型车.第一年年初投入了电力型公交车128辆, 混合动力型公交车400辆, 计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50% , 混合动力型车每年比上一年多投入a辆.

(1) 求经过n年, 该市被更换的公交车总数S (n) ;

(2) 若该市计划用7年的时间完成全部更换, 求a的最小值.

解析: (1) 设an, bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量.

依题意知, 数列{an}是首项为128, 公比为1+50% =3/2的等比数列;数列{bn}是首项为400, 公差为a的等差数列.

数列{bn}的前n项和.

所以经过n年, 该市更换的公交车总数

又a∈N*, 所以a的最小值为147.

配套练习:

1.若数列{an}的前n项和, 则{an}的通项公式是an=____.

2.若数列{an}中, a1=3 且an+1=an2 (n是正整数) , 则它的通项公式是an=____.

3.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和, 若a1=2a8-3a4, 则.

4.已知数列{an}中, 若a1=1, (n ∈ N*) , 则该数列的通项为.

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a1=-11, a4+a6= -6, 当Sn取最小值时, n=____.

6.已知{an}是等差数列, a1=1, 公差d≠0, Sn为其前n项和, 若a1, a2, a5成等比数列, 则S8=____.

7.已知等比数列{an}的首项a1=1, 公比q=2, 则a12+a22+…+an2=___.

8.写出下面各数列的一个通项公式:

(2) a, b, a, b, a, b, … (其中a, b为实数) .

9.设{an}是等差数列, 且a1-a4-a8-a12+a15=2, 求a3+a13及S15的值.

10.已知{an}是等比数列, Sn是其前n项和, a1, a7, a4成等差数列, 求证:2S3, S6, S12-S6成等比数列.

11.已知等比数列{an}中, 首项a1=3, 公比q>1, 且3 (an+2+an) -10an+1=0 (n∈N*) .

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 设是首项为1, 公差为2的等差数列, 求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.

12.设等差数列{an}的公差为d, 点 (an, bn) 在函数f (x) =2x的图象上 (n∈N*) .

(1) 若a1=-2, 点 (a8, 4b7) 在函数f (x) 的图象上, 求数列{an}的前n项和Sn;

(2) 若a1=1, 函数f (x) 的图象在点 (a2, b2) 处的切线在x轴上的截距为, 求数列的前n项和Tn.

13.正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn2- (n2+n-1) Sn- (n2+n) =0.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 令, 数列{bn}的前n项和为Tn, 证明:对于任意的n∈N*, 都有Tn< (5/64) .

14.设数列{an}的前n项和为Sn, 点 (an, Sn) 在直线上.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 在an与an+1之间插入n个数, 使这n+2个数组成公差为dn的等差数列, 求数列的前n项和Tn.

15.自祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来, 在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园, 台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂, 第一年各种经费12万美元, 以后每年增加4万美元, 每年销售蔬菜收入50万美元, 设f (n) 表示前n年的纯利润 (f (n) =前n年的总收入-前n年的总支出-投资额) .

(1) 从第几年开始该台商获利?

(2) 若干年后, 该台商为开发新项目, 有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万美元出售该厂;②纯利润总和最大时, 以16万美元出售该厂, 问哪种方案最合算?

参考答案:

8. (1) 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数, 且奇数项为正, 偶数项为负, 所以它的一个通项公式为.

(2) 这是一个摆动数列, 奇数项是a, 偶数项是b,

所以此数列的一个通项公式为

9.a3+a13=-4, S15=-30.

10.证明略.

12. (1) 由已知, 得.解得d=a8-a7=2.

所以.

(2) 函数f (x) =2x在 (a2, b2) 处的切线方程为, 它在x轴上的截距为.由题意, 得, 解得a2=2.

所以d=a2-a1=1.从而an=n, bn=2n.

13. (1) 由Sn2- (n2+n-1) Sn- (n2+n) =0, 得[Sn- (n2+n) ] (Sn+1) =0.

由于{an}是正项数列, 所以Sn+1>0.所以Sn=n2+n.

当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n,

当n=1时, a1=S1=2适合上式.

所以an=2n.

14. (1) 由Sn=23an-1, 得.

两式相减, 得, 即an=3an-1 (n∈N*, n≥2) .

又, 得a1=2.

所以数列{an}是首项为2, 公比为3 的等比数列.

所以an=2·3n-1 (n∈N*) .

(2) 由 (1) 知an+1=2·3n, an=2·3n-1.

因为an+1=an+ (n+1) dn,

15.由题意知, 每年的经费是以12为首项, 4为公差的等差数列.

由题意, 得.

(1) 获取纯利润就是要求f (n) >0, 因此有-2n2+40n-72>0, 解得2<n<18.

又n∈N*, 可知从第三年开始获利.

(2) ①平均利润为, 当且仅当n=6时取等号.

故此方案共获利-2×62+40×6-72+48=144 (万美元) , 此时n=6.

②f (n) =-2n2+40n-72=-2 (n-10) 2+128, 当n=10时, [f (n) ]max=128.

故此方案共获利128+16=144 (万美元) , 此时n=10.

比较两种方案, 第①种方案只需6年, 第②种方案需要10年, 故选择第①种方案.

(安徽余其权)

六、不等式部分

考点1 比较两个数的大小

作差比较法的目的是判断差的符号, 而作商比较法的目的是判断商与1的大小, 两种方法的解题关键是变形.

例1 设a, b∈[0, +∞) , , 则A, B的大小关系是 ( ) .

(A) A≤B (B) A≥B

(C) A<B (D) A>B

解析:由题意, 得, 且A≥0, B≥0, 可得A≥B.故选B.

考点2 不等式的性质

不等式的性质是判断不等式是否成立的重要依据.

例2 若a>b>0, c<d<0, e<0, 求证:.

证明:因为c<d<0, 所以-c>-d>0.

又因为a>b>0, 所以a-c>b-d>0.

所以 (a-c) 2> (b-d) 2>0.

考点3 一元二次不等式的解法

若一元二次不等式含有参数, 则需要进行分类讨论, 讨论的顺序是:二次项的系数、根的存在、两根的大小关系.

例3 关于x的不等式x2- (a+1) x+a<0的解集中, 恰有3个整数, 则a的取值范围是 ( ) .

(A) (4, 5)

(B) (-3, -2) ∪ (4, 5)

(C) (4, 5]

(D) [-3, -2) ∪ (4, 5]

解析:原不等式可能为 (x-1) (x-a) <0, 当a>1时, 得1<x<a, 则4<a≤5;当a<1时, 得a<x<1, 则-3≤a< -2.所以a∈[-3, -2) ∪ (4, 5].故选D.

考点4一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立的条件:

(1) 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0) 对任意实数x恒成立, 则

(2) 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0) 对任意实数x恒成立, 则

例4 “0<a<1”是“ax2+2ax+1>0 的解集是实数集R”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分又不必要条件

解析:当a=0时, 1>0, 显然成立;

所以ax2+2ax+1>0的解集是实数集R的充要条件为0≤a<1.

所以“0<a<1”是“ax2+2ax+1>0的解集是实数集R”的充分不必要条件.故选A.

考点5 二元一次不等式 (组) 表示的平面区域

确定二元一次不等式 (组) 表示的平面区域的方法是“直线定界, 特殊点定域”;注意:当不等式中带等号时, 边界为实线, 不带等号时, 边界应画为虚线, 特殊点常取原点.

考点6 求目标函数的最值

求目标函数的最值的一般步骤为:一画、二移、三求.常见的目标函数有: (1) 截距型:形如z=ax+by. (2) 距离型:形如z= (x-a) 2+ (y-b) 2. (3) 斜率型:形如.

解析:由约束条件所得的可行域如图2所示, 而z=x2+y2+2x +2y +2= (x+1) 2+ (y+1) 2表示可行域内一点 (x, y) 到点 (-1, -1) 的距离的平方.由图易知点A (1, 2) 是满足条件的最优解, 则z= (x+1) 2+ (y+1) 2的最小值为13.

考点7 线性规划的实际应用

解线性规划应用题的基本步骤是: (1) 转化———设元, 写出约束条件和目标函数, 从而将实际问题转化为线性规划问题; (2) 求解———解这个纯数学的线性规划问题; (3) 作答———将数学问题的答案还原为实际问题的答案.

例7 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元, 每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中, 要求每天消耗A, B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划, 从每天生产的甲、乙两种产品中, 公司共可获得的最大利润是 ( ) .

(A) 1 800元 (B) 2 400元

(C) 2 800元 (D) 3 100元

解析:设某公司生产甲产品x桶, 生产乙产品y桶, 获利为z元, 则x, y满足的线性约束条件为目标函数z=300x+400y.

作出可行域, 如图3中四边形OABC的边界及其内部整点.作直线l0:3x+4y=0, 平移直线l0经可行域内点B时, z取最大值.由得B (4, 4) , 满足题意.

所以zmax=4×300+4×400=2 800.故选C.

考点8 利用基本不等式证明不等式

利用基本不等式证明不等式时要从整体上把握运用基本不等式, 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换, 常见的变形技巧有:拆项, 并项, 也可乘上一个数或加上一个数, “1”的代换法等.

例8 已知a>0, b>0, a+b=1, 求证:.

证明:因为a+b=1, a>0, b>0,

考点9 利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”, 即: (1) 非零的各数 (或式) 均为正, (2) 和或积为定值, (3) 等号能否成立, 这三个条件缺一不可.

例9 若点A (1, 1) 在直线2mx+ny-2=0 上, 其中mn > 0, 则的最小值为____.

解析:因为点A (1, 1) 在直线2mx+ny-2=0上, 所以2m+n=2.

考点10 基本不等式的实际应用

利用基本不等式求解实际应用题需认真阅读, 从中提炼出有用信息, 建立数学模型, 转化为数学问题求解.当运用基本不等式求最值时, 若等号成立的自变量不在定义域内时, 就不能使用基本不等式求解, 此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.

例10 在一个交通拥挤及事故易发生路段, 为了确保交通安全, 交通部门规定, 在此路段内的车速v (单位:km/h) 的平方和车身长l (单位:m) 的乘积与车距d成正比, 且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为l (单位:m) 且当车速为50km/h时, 车距恰为车身长, 问交通繁忙时, 应规定怎样的车速, 才能使在此路段的车流量Q最大? (车流量=车速/ (车距+车身长) )

解析:由题意, 得d=kv2l.因为当v=50时, d=l, 所以l=k×502l, 得.所以.又当.

综上所述, 当且仅当v=50km/h时, 车流量Q取得最大值.

配套练习:

1.已知c>0, 0<b<a<1, 且M=abc, N=bac, 则M, N的大小关系是 ( ) .

(A) M>N (B) M<N

(C) M=N (D) 不能确定

2.已知函数f (x) = (x-2) (ax+b) 为偶函数, 而且在 (0, +∞) 上单调递增, 则f (2-x) >0的解集为 ( ) .

(A) {x|x>2或x<-2}

(B) {x|-2<x<2}

(C) {x|x<0或x>4}

(D) {x|0<x<4}

3.已知存在实数a满足ab2>a>ab, 则实数b的取值范围是____.

4.在平面直角坐标系中, 不等式组 (a为常数) 表示的平面区域的面积是9, 那么a=____.

5.实数x, y满足不等式组, 则z=|x+2y-4|的最大值为____.

6.已知A, B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时, 在乙机器上加工1小时;B产品需要在甲机器上加工1小时, 在乙机器上加工3小时.在一个工作日内, 甲机器至多只能使用11小时, 乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300元, B产品每件利润400元, 则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是____元.

7.已知不等式mx2-2x-m+1<0, 是否存在实数m对所有的实数x, 不等式恒成立?若存在, 求出m的取值范围;若不存在, 请说明理由.

8.设a, b∈R+, 且a+b=1, 求证:.

9.已知x>0, y>0, 且满足3x+2y=12, 求lg x+lg y的最大值.

10.小王大学毕业后, 决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查, 生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元, 每生产x万件, 需另投入流动成本W (x) 万元, 在年产量不足8万件时, ;在年产量不小于8万件时, .每件产品售价为5元, 通过市场分析, 小王生产的商品能当年全部售完.

(1) 写出年利润L (x) (万元) 关于年产量x (万件) 的函数解析式 (注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) .

(2) 年产量为多少万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

参考答案:

1.A. 2.C. 3.b<-1.

4.1.在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域, 如图1.

直线x+y=0与直线x-y+4=0的交点坐标是 (-2, 2) , 点 (-2, 2) 到直线x=a (其中a>-2) 的距离为a+2.

直线x=a与x+y=0, x-y+4=0的交点坐标分别是 (a, -a) , (a, 4+a) .

结合图形及题意知, 即 (a+2) 2=9.又易知a>-2, 因此a=1.

5.21.作出不等式组表示的平面区域, 如图2中阴影部分所示.

, 即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0 的距离的槡5倍.由得点B的坐标为 (7, 9) , 显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大, 此时zmax=21.

6.1 700.设生产A产品x件, B产品y件, 则x, y满足约束条件生产利润为z=300x+400y.画出可行域, 如图3中阴影部分 (包含边界) 内的整点.

显然z=300x+400y在点A处取得最大值, 由方程组解得则zmax=300×3+400×2=1 700.故最大利润是1 700元.

7.不存在满足题意的m (理由略) .

8.因为a, b∈R+, 且a+b=1,

故原不等式得证.

9.lg x+lg y的最大值是lg 6.

10. (1) 已知每件商品售价为5元, 则x万件商品销售收入为5x万元.

依题意得, 当0<x<8 时, ;

此时, 当x=6时, L (x) 取得最大值L (6) =9万元.

此时, 当且仅当时, 即x=10 时, L (x) 取得最大值15万元.

因为9<15, 所以当年产量为10 万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大, 最大利润为15万元.

(安徽王刚)

七、立体几何部分

考点1 考查空间几何体的结构特征

主要考查柱、锥、台等几何体的结构特征或其中基本的线面关系, 题型一般为选择题或填空题.求解时, 须严格依据相关几何体的结构特征.

例1 如图1, 若 Ω 是长方体ABCD -A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体, 其中E为线段A1B1上异于B1的点, F为线段BB1上异于B1的点, 且EH∥A1D1, 则下列结论中不正确的是 ( ) .

(A) EH∥FG

(B) 四边形EFGH是矩形

(C) Ω是棱柱

(D) Ω 是棱台

分析:判断选项A是否正确, 只需依据线面平行的判定和性质定理.运用其中判定出的位置关系和棱柱的结构特征, 进而可以判定选项C正确.判断选项B是否正确, 需运用空间垂直关系.判断选项D是否正确, 可依据棱台的结构特征.

解:因为EH ∥A1D1, B1C1∥A1D1, 所以EH ∥B1C1.因为B1C1平面BCC1B1, 所以EH∥平面BCC1B1.因为平面EFGH ∩ 平面BCC1B1=FG, 所以EH∥FG.因此A正确.又由棱柱的结构特征, 易知C也正确.

易知四边形EFGH是平行四边形.因为A1D1⊥ 平面ABB1A1, 所以A1D1⊥EF.因为EH ∥ A1D1, 所以EH ⊥ EF, 所以四边形EFGH是矩形.因此B正确.

无论 Ω 怎么放置, 都不能做到所有的侧棱交于一点, 所以 Ω 不是棱台.所以D不正确.

故选D.

评注:研究几何体的结构和截面问题, 一要依据相关几何体的结构特征;二要依据空间位置关系的判定和性质定理.

考点2 考查三视图

三视图是高中数学的新增内容, 因而其中的考查题型也比较丰富, 主要有:简单几何体的三视图问题、三视图的识别问题、三视图的应用问题.其中, 运用三视图求几何体的表 (侧) 面积、体积是三视图中的一类热点题型.求解上述问题的主要依据是三视图的画法规则, 主要运用的数学思想是转化思想和数形结合思想.

例2 某三棱锥的三视图如图2所示, 则该三棱锥最长棱的棱长为____.

分析:依据三视图画出该三棱锥的直观图, 即可确定最长棱的棱长, 进而依据空间位置关系, 运用勾股定理求解.

解:观察三视图, 可知该三棱锥的直观图如图3 所示, 其最长棱为VC.

由三视图中的数据可知, .

例3某几何体的三视图如图4所示, 则它的体积是 () .

分析:先由三视图确定几何体的形状, 然后由三视图中的长度得出几何体中的相应长度, 即可运用相关几何体的体积公式求这个几何体的体积.

解:观察三视图可知, 该几何体为一个组合体, 它是一个四棱柱正中挖去一个圆锥, 如图5所示.

又由三视图可知, 四棱柱与圆锥的高都是2, 四棱柱的底面是边长为2的正方形, 圆锥的底面是半径为1的圆.

所以该几何体的体积是.故选A.

考点3 考查几何体的表面积和体积

主要考查求柱、锥、台、球或简单组合体的表 (侧) 面积、体积或其他特征量问题, 题型多为选择题或填空题, 有时也作为解答题的一步.解答此类问题的主要依据是相应的计算公式, 主要的求解方法是代入法和解方程法.

例4 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1, S2, 体积分别为V1, V2.若它们的侧面积相等, 且.

分析:先由侧面积相等, 得出两个圆柱底面半径与高之间的关系式, 进而由底面积之比得出两底面半径之间的关系式, 即可求出它们的体积之比.

解:设甲圆柱的半径和高分别为r1, h1, 乙圆柱的半径和高分别为r2, h2.依题意, 可得2πr1h1=2πr2h2, 所以r1h1=r2h2.由.

例5 一个六棱锥的体积为2 槡3, 其底面是边长为2的正六边形, 侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧面积为____.

分析:先求出六棱锥的底面积, 进而求出它的高, 再求出它的斜高 (即侧面等腰三角形的底边上的高) , 即可求其侧面积.

解:该六棱锥的底面积为, 所以它的高h=.它的侧面是由6个全等的等腰三角形组成的, 其中每个三角形底边上的高, 所以该六棱锥的侧面积为.

例6 圆柱形容器内盛有高度为8cm的水, 若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同) 后, 水恰好淹没最上面的球 (如图6所示) , 则球的半径是____cm.

分析:先设出球的半径, 然后根据球的体积与水的体积之和等于圆柱的体积, 列方程求半径.

解:设球的半径为r, 依题意, 得, 即, 解得r=4cm.所以球的半径是4cm.

考点4 考查异面直线

主要考查异面直线的判断和两条异面直线所成的角的求解, 题型多为选择题或填空题, 有时也命制解答题.求解的主要依据是相关的定义, 运用的主要数学思想是转化思想.

例7 直三棱柱ABC-A1B1C1中, 若∠BAC=90°, AB =AC=AA1, 则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( ) .

(A) 30° (B) 45°

(C) 60° (D) 90°

分析:作出图形, 并在其中作出两条异面直线所成的角, 进而运用三角形知识求解.

解:作出直三棱柱ABC-A1B1C1, 如图7所示.

延长CA至点D, 使得AD=CA, 连结BD, A1D.

因为C1A1=AD, C1A1∥AD, 所以四边形ADA1C1是平行四边形.所以A1D∥C1A.所以∠DA1B (或它的补角) 就是异面直线BA1与AC1所成的角.

设AB=AC=AA1=a, 则可求得, 所以△A1BD是正三角形.所以∠DA1B=60°.

所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.故选C.

评注:求两条异面直线所成的角的一般步骤是:找 (作) ———说———求.若所给的图形中有两条异面直线所成的角, 则要先把它找出来, 若没有, 则需先作出来, 然后再说明哪个角是两条异面直线所成的角, 最后根据平面几何知识把它求出来.两条异面直线所成的角的范围是 (0, π/2], 即两条异面直线所成的角只能是锐角或直角.求解时, 一定要注意依据此范围, 准确确定两条异面直线所成的角.

考点5 考查空间中点、直线、平面位置关系的判定

主要考查空间平行与垂直的判定, 题型多为选择题, 多以判断命题正误的形式出现.判断时, 可以依据相关位置关系的定义、判定或性质定理, 也可以依据其他已被证明了的正确的结论.

例8 设l, m是两条不同的直线, α是一个平面, 则下列命题正确的是 ( ) .

分析:先把题中的符号语言翻译成文字语言, 然后借助空间想象进行判定.

解:选项A中命题可叙述为:若一条直线垂直于一个平面内的一条直线, 则这条直线垂直于这个平面.这个命题显然错误, 因为这条直线有可能在平面内、与平面平行或相交但不垂直.选项B中命题可叙述为:若两条平行线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于同一平面.这个命题正确.选项C中命题可叙述为:若一条直线平行于一个平面, 则它与这个平面内的任意一条直线都平行.这个命题不正确, 因为这两条直线还有可能是异面直线.选项D中命题可叙述为:平行于同一个平面的两条直线平行.这个命题不正确, 因为这两条直线还有可能相交或是异面直线.故选B.

考点6 考查空间中点、直线、平面位置关系的证明

主要考查空间平行与垂直的证明, 题型为解答题, 这类问题是高考立体几何解答题的一个考查热点.解答此类问题主要依据空间平行与垂直的定义、性质、判定和性质定理, 运用的主要数学思想是转化思想.

例9 如图8, 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF∥AC, , CE=EF=1.

(1) 求证:AF ∥ 平面BDE;

(2) 求证:CF⊥平面BDE.

分析: (1) 欲证AF∥平面BDE, 只需在平面BDE内找到一条与AF平行的直线即可. (2) 欲证明CF⊥平面BDE, 只需证明CF垂直于平面BDE内的两条相交直线, 可用菱形的性质和面面垂直的性质定理寻找这两条直线.

证明: (1) 如图8, 设AC ∩BD =O, 连结OE.

因为, 所以AC=2.所以OA=1.所以EF=OA.

又因为EF∥OA, 所以四边形OAFE是平行四边形.所以AF∥OE.

因为AF平面BDE, OE平面BDE, 所以AF∥平面BDE.

(2) 连结OF.

因为EF =OC, EF ∥OC, 所以四边形OFEC是平行四边形.又因为CE=EF, 所以四边形OFEC是菱形.所以CF⊥OE.

因为平面ACEF ⊥ 平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC, BD⊥AC, 所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.

因为OE∩BD=O, 所以CF⊥平面BDE.

考点7 考查空间位置关系的证明与计算的综合问题

主要考查空间平行与垂直关系的证明与几何体表 (侧) 面积或体积的计算, 大都是这两类问题的拼盘问题, 各个击破即可.题型一般为解答题.

例10 在如图9所示的几何体中, 四边形ABCD是正方形, MA⊥平面ABCD, PD∥MA, E, G, F分别为MB, PB, PC的中点, 且AD=PD=2 MA.

(1) 求证:平面EFG⊥平面PDC;

(2) 求三棱锥P - MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.

分析:要证明平面EFG⊥平面PDC, 根据面面垂直的判定定理, 只需在一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.经考察, 平面EFG中的直线GF可当此任.四棱锥P-ABCD的体积易求, 求三棱锥P-MAB体积的关键是找出它的高, 找高时, 需用定理:若一条直线与一个平面平行, 则该直线上所有的点到平面的距离相等.

解: (1) 证明:因为MA⊥平面ABCD, PD∥MA, 所以PD⊥平面ABCD.所以BC⊥PD.

又因为四边形ABCD是正方形, 所以BC⊥CD.

因为PD∩CD=D, 所以BC⊥平面PDC.

因为G, F分别为PB, PC的中点, 所以GF∥BC.所以GF⊥平面PDC.

因为GF平面EFG, 所以平面EFG⊥平面PDC.

(2) 设MA=a.

因为PD⊥平面ABCD, 所以.

因为DA⊥AB, DA⊥MA, MA∩AB=A, 所以DA⊥平面AMB.

易知PD∥平面AMB, 所以DA等于三棱锥P-MAB的高.

所以三棱锥P - MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比为1/4.

考点8 考查空间角的求解

主要考查求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角 (三角函数值) , 题目多为解答题, 偶尔也命制填空题或选择题, 其中二面角是个考查重点.求空间角, 一般常用向量法, 即把空间角转化为相关向量所成的角.具体转化途径如下:设直线l, m的方向向量分别为a, b, 平面α, β的法向量分别为u, v.如果l, m是两条异面直线, 那么它们所成的角θ (余弦值) 可用cosθ=|cos〈a, b〉|求解, 此处之所以取cos〈a, b〉的绝对值, 是因为两条异面直线所成的角只能是锐角或直角, 而两个方向向量所成的角有可能是钝角, 故只有加上绝对值, 才能确保求出的角 (余弦值) 是两条异面直线所成的角 (余弦值) ;直线l与平面α 所成的角θ (正弦值) 可用sinθ=|cos〈a, u〉|求解, 此处取绝对值的理由同前;平面α, β构成的二面角θ 可用cosθ=±|cos〈u, v〉|求解, 取“+”号还是“-”号, 要视二面角是锐角还是钝角来确定.

例11 如图10, 在长方体ABCD -A1B1C1D1中, E, F分别是棱BC, CC1上的点, CF=AB=2CE, AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.

(1) 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值;

(2) 证明:AF ⊥ 平面A1ED;

(3) 求二面角A1-ED-F的正弦值.

分析:建立空间直角坐标系. (1) 异面直线EF与A1D所成角的余弦值是它们的方向向量夹角的余弦值的绝对值. (2) 先证明与平面A1ED内的两个不共线的向量垂直, 进而依据线面垂直的判定定理证明AF⊥ 平面A1ED. (3) 先求出二面角A1-ED-F的两个半平面所在平面的法向量, 进而求出这两个法向量的夹角的余弦值, 再将其转化为二面角的余弦值, 最后求其正弦值.

解:建立如图10所示的空间直角坐标系.不妨设AB=1, 则A (0, 0, 0) , D (0, 2, 0) , E (1, 3/2, 0) , F (1, 2, 1) , A1 (0, 0, 4) .

(1) 设异面直线EF与A1D所成的角为α.

由 (2) 可知是平面A1ED的一个法向量.

考点9 考查空间位置关系的探索性问题

主要考查空间平行或垂直的探索性问题, 题型多为解答题.立体几何中常见的探索性问题有四类: (1) 条件反溯型.此类问题是根据某一结论, 反溯应具备的条件.即具备什么条件 (如:点在何处、某线段多长或某数值是多少) 时, 才能有某平行或垂直关系.解法是先以结论为条件, 反向分析, 分析出条件后, 再正向论证. (2) 结论探索型.即在某些条件下, 能否推出某一结论或具有怎样的结论.解法是直接推证或检验. (3) 存在判断型. (4) 条件重组型.即给出一些条件, 把它们组成一个真命题.解法是依据有关定理进行试验、重组.

例12 如图11, 在正方体ABCD -A1B1C1D1中, E是棱DD1的中点.

(1) 求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值.

(2) 在棱C1D1上是否存在一点F, 使B1F∥ 平面A1BE?证明你的结论.

分析:建立空间直角坐标系. (1) 直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值, 是直线BE的方向向量与平面ABB1A1的法向量夹角的余弦值的绝对值. (2) 先假设点F存在, 并设出其坐标.因为当B1F∥平面A1BE时, 与平面A1BE的法向量垂直, 据此可求点F坐标中的参数.若能求出适合题意的坐标, 说明存在;否则, 不存在.

解:建立如图11所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2, 则A (0, 0, 0) , B (2, 0, 0) , D (0, 2, 0) , E (0, 2, 1) , A1 (0, 0, 2) , B1 (2, 0, 2) .

(1) 易知是平面ABB1A1的一个法向量, .设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ, 则.

所以直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为2/3.

设在棱C1D1上存在一点F (t, 2, 2) (0≤t≤2) , 使B1F∥平面A1BE, 则有.

因为, 所以 (t-2, 2, 0) · (1, 1/2, 1) =0, 即, 解得t=1.所以F (1, 2, 2) , 即点F是棱C1D1的中点.

所以在棱C1D1上存在一点F, 使B1F∥平面A1BE, 它是棱C1D1的中点.

评注:本题是一个存在判断型的探索性问题, 解答此型问题的一般思路是:假设存在, 然后采用反探法探求.反探法的起点可以是已知条件, 也可以是要探求的位置关系.总之, 从哪儿开始探求方便, 就从哪儿开始.

配套练习:

1.如图1, 已知点E, F分别是正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB, AA1的中点, 点M, N分别是线段D1E与C1F上的点, 则与平面ABCD垂直的直线MN有 ( ) .

(A) 0条 (B) 1条

(C) 2条 (D) 无数条

2.已知平面α, β和直线l, 若α⊥β, α∩β=l, 则 ( ) .

(A) 垂直于平面β的平面一定平行于平面α

(B) 垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

(C) 垂直于平面β的平面一定平行于直线l

(D) 垂直于直线l的平面一定与平面α, β都垂直

3.在空间中, 已知直线a, b和平面α, β, 下列命题中正确的是 ( ) .

(A) 若a∥α, b∥a, 则b∥α

4.一个几何体的三视图如图2所示, 其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆, 则这个几何体的体积是 () .

5.如图3, 在四面体ABCD中, 若截面PQMN是正方形, 则下列命题中错误的是 () .

(A) AC⊥BD

(B) AC∥平面PQMN

(C) AC=BD

(D) 异面直线PM与BD成45°角

6.在如图4 所示的空间直角坐标系O-xyz中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2) , (2, 2, 0) , (1, 2, 1) , (2, 2, 2) .给出图5所示的四个图, 则该四面体的正 (主) 视图和俯视图分别为 ( ) .

(A) ①和② (B) ③和①

(C) ④和③ (D) ④和②

7.如图6, 在平面四边形ABCD中, AB=AD=CD=1, , BD⊥CD, 将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD, 使平面A′BD⊥平面BCD, 若四面体A′-BCD的顶点在同一个球面上, 则该球的体积为 () .

8.如图7, 在直棱柱ABC-A1B1C1中, 点D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点, 若BC=CA=CC1, 则BD1与AF1所成角的余弦值是 ( ) .

9.如图8, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1⊥平面ABC, AA1=AC=2, BC=1, , 则此三棱柱的侧 (左) 视图的面积为____.

10.如图9, 在四面体ABCD中, E, F分别为AB, CD的中点, 过EF任作一个平面α 分别与直线BC, AD相交于点G, H, 则下列结论正确的是____ (填序号) .

①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD相交于同一点;

②存在一个平面β, 使得点G在线段BC上, 点H在线段AD的延长线上;

③对于任意的平面α, 都有S△EFG=S△EFH;

④对于任意的平面α, 当G, H在线段BC, AD上时, 几何体ACEGFH的体积是一个定值.

11.如图10, 在 △ABC中, ∠ABC=45°, ∠BAC=90°, AD是BC上的高, 沿AD把△ABD折起, 如图11, 使∠BDC=90°.

(1) 证明:平面ADB⊥平面BDC;

(2) 设BD=1, 求三棱锥D-ABC的表面积.

12.如图12, AB是圆的直径, PA垂直于圆所在的平面, C是圆上的点.

(1) 求证:平面PAC⊥平面PBC;

(2) 若AB=2, AC=1, PA=1, 求二面角C-PB-A的余弦值.

13.如图13, 在角梯形ABCD中, AB ⊥AD, AD∥BC, F为AD的中点, E在BC上, 且EF∥AB, 已知AB=AD=CE=2, 现沿EF把四边形CDFE折起, 如图14, 使平面CDFE⊥平面ABEF.

(1) 求证:AD∥平面BCE;

(2) 求证:AB⊥平面BCE;

(3) 求三棱锥C-ADE的体积.

14.如图15, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形, PD⊥底面ABCD, AD=PD=2, CD=4, E为CD的中点.

(1) 在棱PB上是否存在一点F, 使得直线EF∥平面PAD;

(2) 求直线AE与平面PAB所成的角.

15.如图16, 正方形ABCD所在的平面与圆O所在的平面相交于CD, 线段CD为圆O的弦, AE垂直于圆O所在的平面, 垂足E是圆O上异于C, D的点, AE=3, 圆O的直径为9.

(1) 求证:平面ABCD⊥平面ADE;

(2) 求二面角D-BC-E的余弦值.

16.如图17, 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱AA1⊥ 底面ABCD, AB∥DC, AA1=1, AB=3k, AD=4k, BC=5k, DC=6k, k>0.

(1) 求证:CD ⊥ 平面ADD1A1;

(2) 若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为6/7, 求k的值.

17.已知某几何体的直观图和三视图如图18所示, 其正 (主) 视图为矩形, 侧 (左) 视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形.

(1) 求证:BN⊥平面C1B1N;

(2) 求二面角C-NB1-C1的余弦值.

18.如图19, 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2 的正方形, PD ⊥ 底面ABCD, E, F分别为棱BC, AD的中点.

(1) 若PD=1, 求异面直线PB和DE所成角的余弦值.

(2) 若二面角P-BF-C的余弦值为, 求四棱锥P-ABCD的体积.

19.如图20, 在梯形ABCD中, AD=DC=CB=1, ∠ABC=60°, 四边形ACFE为矩形, 平面ACFE⊥平面ABCD, CF=1.

(1) 求证:BC ⊥ 平面ACFE;

(2) 点M在线段EF上运动, 设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ (θ≤90°) , 试求cosθ的取值范围.

参考答案:

1.B. 2.D. 3.D. 4.B. 5.C.

6.D.先在坐标系中作出一个以O为一个直角顶点, 且棱长为2的正方体, 然后在这个正方体中作出这个四面体, 不难发现该四面体的正 (主) 视图和俯视图分别为④和②.

7.A.依题意可知, A′B⊥A′C, 所以BC是外接球的直径, 且.所以球的半径为.所以球的体积为.

8.A.

9 .分别过C, C1点作CD⊥AB, C1D1⊥A1B1于D, D1, 则此三棱柱的侧 (左) 视图与矩形CDD1C1全等.因为AC=2, BC=1, , 所以 △ABC是直角三角形.所以.所以矩形CDD1C1的面积, 即侧 (左) 视图的面积为.

10.③④.

11. (1) 证明略.

(2) 三棱锥D-ABC的表面积为.

12. (1) 证明略.

(2) 二面角C-PB-A的余弦值为.

13. (1) 证明略.

(2) 证明略.

(3) 三棱锥C-ADE的体积为2/3.

14. (1) 建立如图1 所示空间直角坐标系Dxyz, 则E (0, -2, 0) , P (0, 0, 2) , A (2, 0, 0) , B (2, -4, 0) .

假设在棱PB上是否存在一点F, 使得直线EF∥平面PAD, 设.

易知是平面PAD的一个法向量, 所以EF⊥AB.

所以, 解得λ=1/2.

所以在棱PB上存在一点F, 它是棱PB的中点, 使得直线EF∥平面PAD.

(2) 由 (1) 可知, 当点F是PB的中点时, , 所以.所以EF⊥BP.

因为AB∩BP=B, 所以EF⊥平面PAB.所以是平面PAB的一个法向量.

设直线AE与平面PAB所成的角为θ.

所以直线AE与平面PAB所成的角是30°.

15. (1) AE垂直于圆O所在的平面, CD在圆O所在的平面上, 所以AE⊥CD.

又因为CD⊥AD, AD∩AE=A, 所以CD⊥平面ADE.

⊥ADE.因为CD平面ABCD, 所以平面ABCD⊥平面ADE.

(2) 因为CD⊥平面ADE, DE平面ADE, 所以CD⊥DE.

所以CE为圆O的直径, 即CE=9.

设正方形ABCD的边长为a, 则在Rt△CDE中, DE2=CE2-CD2=81-a2, 在Rt△ADE中, DE2=AD2-AE2=a2-9.所以81-a2=a2-9, 解得a2=45.所以.

如图2, 建立空间直角坐标系Dxyz, 则A (-6, 0, 3) , , E (-6, 0, 0) .

设二面角D-BC-E的大小为θ, 观察图2, 易知θ为锐角.

所以二面角D-BC-E的余弦值为.

16. (1) 如图3, 过点B作BE∥AD, 交DC于点E.

因为AB∥DC, BE∥AD, 所以四边形ABED是平行四边形.

所以DE=AB=3k, BE=AD=4k, 所以EC=6k-3k=3k.

所以BE2+EC2=BC2.所以 △BEC是直角三角形, 且∠BEC是直角.所以CD⊥BE.

又因为BE∥AD, 所以CD⊥AD.

因为AA1⊥底面ABCD, 所以CD⊥AA1.

因为AA1∩ AD = A, 所以CD ⊥ 平面ADD1A1.

(2) 建立如图4 所示的空间直角坐标系Dxyz, 则A (4k, 0, 0) , C (0, 6k, 0) , A1 (4k, 0, 1) , B1 (4k, 3k, 1) , 所以.

整理, 得k2=1.

因为k>0, 所以k=1.

17. (1) 如图5, 建立空间直角坐标系Bxyz, 则B1 (0, 8, 0) , C (0, 0, 4) , C1 (0, 8, 4) , N (4, 4, 0) .

所以.所以BN ⊥B1N, BN⊥C1N.

因为B1N ∩C1N = N, 所以BN ⊥ 平面C1B1N.

(2) 由 (1) 可知C1B1N的一个法向量为.

设平面CNB1的一个法向量为n= (x, y, 1) .因为, 所以由解得x=y=1/2.所以.

设二面角C-NB1-C1的大小为θ, 观察图形, 易知θ为锐角.

所以二面角C-NB1-C1的余弦值为.

18.如图6, 建立空间直角坐标系Dxyz, 则B (2, 2, 0) , C (0, 2, 0) , E (1, 2, 0) , F (1, 0, 0) .

(1) 若PD=1, 则P (0, 0, 1) , 所以.

设异面直线PB和DE所成的角为θ, 则.

所以异面直线PB和DE所成角的余弦值为.

(2) 设PD=h, 则P (0, 0, h) , 所以, 它是平面CBF的一个法向量.

所以四棱锥P-ABCD的体积为.

19. (1) 在梯形ABCD中, 因为AB∥CD, AD=DC=CB=1, ∠ABC=60°, 所以AB=2.

所以AB2=AC2+BC2, 则BC⊥AC.

因为平面ACFE ⊥ 平面ABCD, 平面ACFE∩平面ABCD=AC, BC平面ABCD, 所以BC⊥平面ACFE.

(2) 建立如图7 所示的空间直角坐标系Cxyz, 令, 则, B (0, 1, 0) , M (λ, 0, 1) , 所以.

所以.

易知n= (1, 0, 0) 是平面FCB的一个法向量, 所以.

因为, 所以当λ=0时, cosθ取得最小值;当时, cosθ取得最大值1/2.

所以cosθ的取值范围是.

(山东马继峰)

八、平面解析几何部分

考点1 直线与圆的方程

直线与圆的方程是进一步研究圆锥曲线的基础.纵观近年来全国各地高考对该部分内容的考查, 充分体现了课标和考纲的要求, 考查的重点:一是依据给出的几何要素求直线、圆的方程 (多是直线与圆、圆锥曲线的综合) ;二是判断直线与圆、圆与圆的位置关系, 讨论直线与圆的相交、相切问题;三是计算弦长、面积, 考查与圆有关的最值;四是求以圆为载体的曲线轨迹方程等.题型多为考查“三基”的中、低档客观题, 也有难度较大的综合性解答题.注重基础知识之间的内在联系, 注重挖掘基础知识的能力因素, 注重运算推证的准确熟练程度, 注重对数形结合、化归与转化等数学思想方法的考查.

例1过点引直线l与曲线相交于A, B两点, O为坐标原点, 当△AOB的面积取最大值时, 直线l的斜率等于 () .

评注:本题关涉圆的弦长的计算问题, 是直线与圆的方程中的常见题型.弦长可以通过求出直线与圆的交点坐标, 利用两点间的距离公式直接求得;抑或在直线斜率存在的前提下设其为k, 将直线与圆的方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程, 则弦长 (x1, x2为方程的两根) , 间接求出;还可以像本例那样, 利用半弦、弦心距及半径构成的直角三角形, 借助勾股定理解得.

例2 过点 (3, 1) 作圆 (x-1) 2+y2=1的两条切线, 切点分别为A, B, 则直线AB的方程为 ( ) .

(A) 2x+y-3=0 (B) 2x-y-3=0

(C) 4x-y-3=0 (D) 4x+y-3=0

解析:经判断切线的斜率存在, 设切线的方程为y-1=k (x-3) .由圆心 (1, 0) 到切线的距离, 可求得k=0或k=4/3.于是可求得两个切点A, B的坐标分别为 (1, 1) , , 所以直线AB的方程为2x+y-3=0.故选A.

例3 圆心在曲线 (x>0) 上, 与直线2x+y+1=0相切, 且面积最小的圆的方程为 ( ) .

(A) (x-1) 2+ (y-2) 2=25

(B) (x-1) 2+ (y-2) 2=5

(C) (x-2) 2+ (y-1) 2=25

(D) (x-2) 2+ (y-1) 2=5

解析:先探求半径最小时的条件, 由此确定圆心和半径即可.设圆心的坐标为 (a>0) , 则半径, 当且仅当, 即a=1时取等号, 也就是当a=1时圆的半径最小, 此时, C (1, 2) , 可得符合条件的圆的方程为 (x-1) 2+ (y-2) 2=5.故选B.

评注:上述求解过程中, 首先根据点到直线的距离公式表示圆的半径, 再利用基本不等式求出半径的最小值, 从而突破了圆的面积最小这一关键要素.如果不能将“直线与圆相切”与“圆的面积最小”二者有机勾连, 就难以找到问题的解决路径, 并且容易陷入盲目与混乱.

例4 已知过点A (0, 1) 且斜率为k的直线l与圆C: (x-2) 2+ (y-3) 2=1交于M, N两点.

(1) 求k的取值范围;

(2) , 其中O为坐标原点, 求|MN|.

解析: (1) 由题意, 可设直线l的方程为y=kx+1, 即kx-y+1=0.因为直线l与圆C: (x-2) 2+ (y-3) 2=1交于M, N两点, 所以圆心C (2, 3) 到直线l的距离小于半径1, 即.解得.所以k的取值范围是.

(2) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) .将y=kx+1代入方程 (x-2) 2+ (y-3) 2=1, 整理, 得 (1+k2) x2-4 (k+1) x+7=0, 所以.因为, 所以, 解得k=1.所以l的方程为y=x+1.易知圆心在直线l上, 故|MN|=2.

评注:解决此类问题可通过直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来探求.

例5 在平面直角坐标系xOy中, 点A (0, 3) , 直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1, 圆心在l上.

(1) 若圆心C也在直线y=x-1上, 过点A作圆C的切线, 求切线的方程;

(2) 若圆C上存在点M , 使MA=2 MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围.

解析: (1) 易得圆心坐标C (3, 2) , 圆的方程为 (x-3) 2+ (y-2) 2=1.由于切线斜率不存在时, 不合题意, 因此可设切线方程为y=kx+3.所以.解得k=0或.故切线的方程为y=3或.

(2) 设C (a, 2a-4) , 则圆C的方程为 (x-a) 2+ (y-2a+4) 2=1.设M (x0, y0) , 由题意 (x0-a) 2+ (y0-2a+4) 2=1.因为MA =2 MO, 所以x02+ (y0-3) 2=4x02+4y02, 即x02+ (y0+1) 2=4.又因为点M存在, 圆 (x-a) 2+ (y-2a+4) 2=1 与圆x2+ (y+1) 2=4 有交点, 即两圆相交或相切, 所以 (2-1) 2≤d2≤ (2+1) 2, 即1≤ (a-0) 2+[ (2a-4- (-1) ]2≤9, 解得, 即为所求.

评注:这是一道涉及直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题.第 (1) 问考查求圆的切线方程的一般方法;第 (2) 问解法比较灵活, 需将几何等式MA=2 MO转化为代数等式 (即一个圆的方程) , 进而把所求问题转化为“已知两圆的位置关系, 通过圆心距变化范围, 探求参数取值范围”问题, 这要求我们熟练掌握知识、技能和相关思想方法.

例6 已知动圆过定点A (4, 0) , 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(2) 已知点B (-1, 0) , 设不平行于y轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是"PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.

解析: (1) 设圆心C的坐标为 (x, y) , MN的中点为E, 则由CA2=CM2=ME2+EC2, 得 (x-4) 2+y2=42+x2, 即y2=8x.

(2) 证明:设P (x1, y1) , Q (x2, y2) .由题意, 知y1+y2≠0, y1y2<0, 不妨设y2<0.又因为x轴是∠PBQ的角平分线, 所以tan∠PBO=tan∠QBO, 即.又y21=8x1, y22=8x2, 所以y1y2=-8.①

由①和②两式, 解得b=-k, 代入直线l的方程, 得y=k (x-1) .

故直线l恒过 (1, 0) 点, 结论获证.

评注:本例第 (1) 问是以动圆为背景, 探求抛物线的方程.求轨迹方程的常用方法有直接法、待定系数法、定义法、代入法 (相关点法) 、参数法等.第 (2) 问属于证明动直线过定点问题, 其一般方法是运用已知条件将直线方程变换成含有一个参数的点斜式形式, 进而找到直线所过的定点坐标.

考点2 圆锥曲线

圆锥曲线是高考的重点考查内容, 在近年来全国各地的高考试卷中, 该部分内容的题量大都保持一小一大或两小一大的格局, 分值在17分与24分之间.重点考查圆锥曲线的定义、方程和几何性质, 其中大多数试题的背景仍以椭圆居多, 抛物线次之, 双曲线最少.对定义、方程内容的考查注重基础.从知识点看, 在注重考查基本概念和几何性质的基础上, 加大了学科内的知识综合.从数学思想方法看, 在重视解析几何本质的同时, 既强调通性通法, 淡化特殊技巧, 又注重提供灵活运用坐标法解题的空间.文、理科试卷在圆锥曲线试题上的差异也越来越明显, 所采用的方式有:小题相同但大题不同, 曲线相同但难易有别, 题目相同但排序不同, 背景相同但设问不同, 起点相同但终点不同, 且往往以“姊妹题”的方式呈现.

例7设F1, F2是双曲线C: (a>0, b>0) 的左、右焦点, P是C上一点, 若|PF1|+|PF2|=6a, 且△PF1F2的最小内角为30°, 则C的离心率为_____.

评注:题目中的△PF1F2称为焦点三角形, 处理与其相关的问题时, 通常要用到双曲线 (椭圆) 的定义和余弦定理等知识.

例8 如图1, 在正方形OABC中, O为坐标原点, 点A的坐标为 (10, 0) , 点C的坐标为 (0, 10) .分别将线段OA和AB十等分, 分点分别记为A1, A2, …, A9和B1, B2, …, B9, 连结OBi, 过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi (i∈N*, 1≤i≤9) .

(1) 求证:点Pi (i∈N*, 1≤i≤9) 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线E的方程;

(2) 过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M , N, 若△OCM与△OCN的面积比为4∶1, 求直线l的方程.

解析: (1) 依题意, 过Ai (i∈N*, 1≤i≤9) 且与x轴垂直的直线方程为x=i.因为Bi (10, i) , 所以直线OBi的方程为.设点Pi的坐标为 (x, y) , 由得, 即x2=10y, 所以Pi (i∈N*, 1≤i≤9) 都在同一条抛物线上, 且抛物线E的方程为x2=10y.

(2) 易知直线l的斜率存在, 设其方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0, 此时, Δ=100k2+400>0, 直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M, N.设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 则因为S△OCM=4S△OCN, 所以|x1|=4|x2|.又因为x1·x2<0, 所以x1=-4x2.代入解得.所以直线l的方程为, 即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.

评注:本题立意于抛物线的一种几何生成方式, 以求抛物线方程和直线方程设问, 需要抓住抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系, 以化归与转化、数形结合以及函数与方程思想为指导, 顺利推理运算求解.

例9 如图2, 椭圆的中心为原点O, 长轴在x轴上, 离心率, 过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A, A′两点, |AA′|=4.

(1) 求该椭圆的标准方程;

(2) 取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P′, 过P, P′作圆心为Q的圆, 使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P′Q, 求圆Q的标准方程.

(2) 设M (x, y) 是椭圆上任意一点, 由椭圆的对称性, 又设Q (x0, 0) , 则. (*)

设P (x1, y1) , 由题意, P是椭圆上到Q的距离最小的点, 因此, (*) 式当x=x1时取最小值.

又因为x∈ [-4, 4], 所以 (*) 式当x=2x0时取最小值, 从而x1=2x0, 且|QP|2=8-x02.

因为PQ⊥P′Q, 且P′ (x1, -y1) , 所以, 即 (x1-x0) 2-y21=0.

评注:本题考查椭圆和圆的方程的求法, 对数学综合能力的要求较高.运用圆锥曲线的知识, 准确迅速地将曲线的几何特征转化为数量关系 (方程、函数等) , 是解答此类问题的关键.

考点3 圆锥曲线的综合应用

高考数学试卷对知识、方法和能力的考查不可能孤立进行, 要充分体现各要素之间的关联和综合性.依托知识之间、思想方法之间或者能力之间的交会命题, 成为体现高考考查全面性、达成考查目标的必然选择.对于解析几何内容的考查当然也概莫能外, 通常的做法是通过坐标思想一线穿珠, 动态变化蕴含其中, 自然地将圆锥曲线、直线与圆的方程、其他模块内容以及平面几何的知识进行内外交会整合, 充分彰显几何、代数与坐标方法三位一体的立体命题特色, 考查对数形结合、化归与转化等数学思想方法的理解和掌握的程度.

例10如图3, F1, F2是椭圆C1:与双曲线C2:的公共焦点, A, B分别是C1, C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形, 则C2的离心率是 () .

解析:设AF1=m, AF2=n, 则m+n=4, , 可得mn=2.在双曲线中, , 因为m-n=2a, 所以 (2a) 2= (m-n) 2=m2+n2-2mn, 解得.所以C2的离心率.故选D.

评注:对于圆锥曲线问题, 利用定义法求解通常是首选之举.

例11已知F1, F2分别是椭圆E:的左、右焦点, F1, F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.

(1) 求圆C的方程;

(2) 设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a, b, 当ab最大时, 求直线l的方程.

解析: (1) 由题意易知, F1 (-2, 0) , F2 (2, 0) , 圆C的半径为2, 圆心C为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心C (x0, y0) , 则有

故所求圆C的方程为 (x-2) 2+ (y-2) 2=4.

(2) 设直线l的方程为x=my+2, 则圆心到直线l的距离为, 所以.

故直线l的方程为.

评注:本题以椭圆为背景, 创设了求圆和直线方程的综合问题.解决第 (1) 问的关键是求对称点的坐标;第 (2) 问考查了圆、椭圆中弦长的求解方法, 由于涉及“最值”, 因此探求参数取值范围时, 应考虑利用基本不等式或函数.另外, 将直线l的方程设为x=my+2, 巧妙地避开了对斜率存在与否的讨论.

例12 如图4, 已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O, 长轴均为MN且在x轴上, 短轴长分别为2m, 2n (m>n) , 过原点且不与x轴重合的直线l与C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小依次排列为A, B, C, D.记 λ=m/n, △BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

(1) 当直线l与y轴重合时, 若S1=λS2, 求λ的值.

(2) 当λ变化时, 是否存在与坐标轴不重合的直线l, 使得S1=λS2?并说明理由.

同理可得, .

又因为△BDM和△ABN的高相等, 所以.如果存在非零实数k使得S1=λS2, 则有 (λ-1) yA= (λ+1) yB, 即, 解得.所以当时, k2>0, 存在这样的直线l;当时, k2≤0, 不存在这样的直线l.

评注:本题以椭圆离心率的几何性质为背景, 将控制椭圆扁平程度的伸缩量融入三角形的面积关系之中进行设问, 主要考查运用方程与不等式等基础知识和坐标法研究直线与椭圆的位置关系问题.尽管伸缩量λ 和直线方程中的参数k都在变化, 但只要抓住两个三角形始终保持等高的特征, 借助图形的对称性, 就能将其面积比S1∶S2转换成对应线段长的比|BD|∶|AB|, 再逐步将k用λ 表示出来, 就可对直线l的存在条件作出准确的分析判断.

例13如图5, 已知曲线C1:, 曲线C2:|y|=|x|+1, P是平面上一点, 若存在过点P的直线与C1, C2都有公共点, 则称P为“C1-C2型点”.

(1) 在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时, 要使用一条过该焦点的直线, 试写出一条这样的直线的方程 (不要求验证) ;

(2) 设直线y=kx与C2有公共点, 求证|k|>1, 进而证明原点不是“C1-C2型点”;

(3) 求证:圆x2+y2=1/2内的点都不是“C1-C2型点”.

解析: (1) C1的左焦点为, 过F的直线与C1交于, 与C2交于, 故C1的左焦点为“C1-C2型点”, 且直线可以为.

(2) 证明:直线y=kx与C2有交点, 则由得 (|k|-1) |x|=1.若方程有解, 则须|k|>1.直线y=kx与C1有交点, 则由得 (1-2k2) x2=2.若方程有解, 则须k2<1/2.故直线y=kx至多与曲线C1和C2中的一条有交点, 即原点不是“C1-C2型点”.

(3) 证明:显然过圆x2+y2=1/2内一点的直线l若与曲线C1有交点, 则斜率必存在;根据对称性, 不妨设直线l的斜率存在且与曲线C2交于点 (t, t+1) (t≥0) , 则l:y- (t+1) =k (x-t) , 即kx-y+ (1+t-kt) =0.若直线l与圆内部有交点, 则, 化简得.①

由① ②, 得, 推得k2< 1, 但此时, 因为t≥ 0, [1+t (1-k) ]2≥1, , 即 ① 式不成立.

当k2=1/2时, ①式显然不成立.

综上, 若直线l与圆x2+y2=1/2内有交点, 则不可能同时与曲线C1和C2有交点, 即圆内的点都不是“C1-C2型点”.

评注:本例利用双曲线和四条射线作背景, 将直观与对称、具体与抽象完美结合, 把射线、直线、圆和双曲线融为一体, 起点的举例说明、中间的衔接过渡、终点的结论证明, 从特殊到一般、从具体到抽象、从尝试到论证, 体现着数学探究的具体过程.该题又属信息迁移型题目, 主要考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力和后续学习的潜能.

配套练习:

1.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A, B两点, 则“k=1”是“△ABC的面积为1/2”的 () .

(A) 充要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充分不必要条件

(D) 既不充分又不必要条件

2.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是 ( ) .

3.已知F是双曲线C:x2-my2=3m (m>0) 的一个焦点, 则点F到C的一条渐近线的距离为 ( ) .

4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F, 准线为l, P是l上一点, Q是直线PF与抛物线C的一个交点, 若, 则|QF|= ( ) .

5.已知圆C1: (x-2) 2+ (y-3) 2=1, 圆C2: (x-3) 2+ (y-4) 2=9, M, N分别是圆C1, C2上的动点, P为x轴上的动点, 则|PM|+|PN|的最小值为 ( ) .

6.若圆C经过坐标原点和点 (4, 0) , 且与直线y=1相切, 则圆C的方程是____.

7.一个圆经过椭圆的三个顶点, 且圆心在x轴的正半轴上, 则该圆的标准方程为____.

8.已知椭圆C: (a>b>0) 的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连结AF, BF.若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=4/5, 则C的离心率e=___.

9.已知F是双曲线C:的右焦点, P是C左支上一点, , 当△APF的周长最小时, 该三角形的面积为____.

10.如图, 抛物线E:y2=4x的焦点为F, 准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上, 以C为圆心, CO为半径作圆, 设圆C与准线l交于不同的两点M , N.

(1) 若点C的纵坐标为2, 求|MN|;

(2) 若|AF|2=|AM|·|AN|, 求圆C的半径.

11.已知点P (2, 2) , 圆C:x2+y2-8y=0, 过点P的动直线l与圆C交于A, B两点, 线段AB的中点为M , O为坐标原点.

(1) 求M的轨迹方程;

(2) 当|OP|=|OM|时, 求l的方程及△POM的面积.

12.已知点A (0, -2) , 椭圆E: (a>b>0) 的离心率为, F是E的右焦点, 直线AF的斜率为, O为坐标原点.

(1) 求E的方程;

(2) 设过点A的动直线l与E相交于P, Q两点, 当△OPQ的面积最大时, 求l的方程.

参考答案:

1.C. 2.A. 3.D. 4.B.

5.A.如图1, 作圆C1关于x轴的对称圆C1′: (x-2) 2+ (y+3) 2=1, 则|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|.由图可知, 当C2, M′, P, N, C1′在同一直线上时, |PM|+|PN|=|PM′|+|PN|取得最小值, 即为.

8.5/7.

9..设双曲线的左焦点为F1, 由双曲线的定义知, |PF|=2a+|PF1|, 所以△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a, 由于|AF|+2a是定值, 要使△APF的周长最小, 需|PA|+|PF1|最小, 即P, A, F1共线.因为, F1 (-3, 0) , 所以直线AF1的方程为, 即, 代入, 整理, 得, 解得 (舍去) , 所以

10. (1) 易知圆心C (1, 2) , 半径为, 圆心到直线MN的距离为2, 所以可得弦长|MN|=2.

(2) 设C (a2/4, a) , M (-1, y1) , N (-1, y2) , 则圆C的半径, 从而圆C的方程为, 与准线方程x=-1联立并消去x, 得, 于是.由|AF|2=|AM|·|AN|, 易得|y1y2|=4, 所以.

11. (1) 圆C的方程可化为x2+ (y-4) 2=16, 所以圆心为C (0, 4) , 半径为4.设M (x, y) , 则, 由题设知, 所以x (2-x) + (y-4) (2-y) =0, 即 (x-1) 2+ (y-3) 2=2, 此即为M的轨迹方程.

(2) 由 (1) 可知M的轨迹是以点N (1, 3) 为圆心, 为半径的圆.由|OP|=|OM|, 得O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上, 从而ON⊥PM, 如图2.因为ON的斜率为3, 所以l的斜率为, 直线l的方程为.又因为, 原点O到l的距离为, 所以.故△POM的面积为.

12. (1) 直线AF的方程为.因为, 所以a=2.又b2=a2-c2=1, 所以椭圆E的方程为.

(2) 当l⊥x轴时不符合题意.设直线l的方程为y=kx-2, P (x1, y1) , Q (x2, y2) .由.由Δ=162k2-4×12× (1+4k2) =16 (4k2-3) >0, 得.

故满足题意的直线l的方程为.

篇4：中考英语高频考点错误分类详解

I.“蛇足”类错误例析

“蛇足”类错误就是“画蛇添足”，在句中出现一些不应有或本应省略的成分。反之，一些应有的成分也不能省略。

例1.

Though traveling by air is fast and comfortable, but it costs too much money. ( ×)

Traveling by air is fast and comfortable, but it costs too much money. (√)

Though traveling by air is fast and comfortable, it costs too much money. (√)

例2.

Because he was ill yesterday, so he didnt go to work. ( ×)

Because he was ill yesterday, he didnt go to work. (√)

He was ill yesterday, so he didnt go to work. (√)

【析】 用though, but表示“虽然……但是…… ”或用because, so 表示“因为……所以……”时，though和but及because和so 都只能择一而用，不能两者同时使用。

例3.

More than three hundreds people died in the oil well accident in Chongqing in 2003.

( ×)

More than three hundred people died in the oil well accident in Chongqing in 2003. (√)

【析】 hundred, thousand, million, billion等词前有具体数词修饰用来表示“确数”时，无论数词大小，hundred等词都要用单数形式。

例4.

My English teacher is a 38years old man. ( ×)

My English teacher is a 38yearold man. (√)

【析】 句中的38yearold是由数词、名词和形容词一起构成的复合形容词，在句中充当定语，修饰名词man。复合形容词作定语时, 其中的名词要用单数形式, 且各词之间要有连字符“‘”。

例5.

The Smiths have moved Beijing. ( ×)

The Smiths have moved to Beijing. (√)

【析】 不及物动词后接名词或代词作宾语时，要在动词之后加上适当的介词；但不及物动词后接home, here, there等副词作宾语时，动词之后不必加任何介词。

例6.

The box is too heavy for him to carry it.

( ×)

The box is too heavy for him to carry. (√)

【析】 the box既是这句话的主语, 也是不定式to carry的逻辑宾语，若句末再加上it，就和the box重复了。

II. “主谓不一致”类错误例析

主谓不一致类错误指的是句子的主语和谓语动词在人称和数上不一致而形成的错误。

例1.

Each of the boys have a pen. ( ×)

Each of the boys has a pen. (√)

【析】 复数名词前有表个体的each of, one of, every，either of等修饰，或有表否定的neither of, none of 等词组修饰时，谓语动词要用单数形式。

例2.

Neither he nor you is good at English. ( ×)Neither he nor you are good at English. (√)

【析】 either... or..., neither... nor..., not only... but also... 等词组连接句子的两个主语时，谓语动词遵循“就近原则”, 即由靠近谓语的那个主语决定谓语的人称和数用何种形式。

例3.

Two months are quite a long time. ( ×)

Two months is quite a long time. (√)

【析】 当时间、体积、距离、重量等名词作句子主语时，常将其看作一个整体，谓语动词要用单数形式。

例4.

Ten minus three are seven. ( ×)

Ten minus three is seven. (√)

【析】 用英语表示加（plus）、减(minus)等数学运算时，谓语动词也用单数形式。

例5.

Watching TV too much are bad for your eyes. ( ×)

Watching TV too much is bad for your eyes. (√)

【析】 不定式、ving形式充当句子主语时，谓语动词用单数形式。

例6.

The number of the workers in this factory are about 5,000. ( ×)

The number of the workers in this factory is about 5,000. (√)

【析】 the number of表示“……的数量”，谓语动词用单数形式； anumber of的意思是“若干”或“许多”，相当于some或a lot of，和复数名词连用，谓语动词用复数形式。

III. “词序”、“语序”类错误例析

词序、语序类错误指的是单词或句子在排列顺序上不正确，也表现为该用陈述句语序的用了疑问句语序，或该用疑问句语序的用了陈述句语序等情况。

例1.

Hello! I have important something to tell you. ( ×)

Hello! I have something important to tell you. (√)

【析】 形容词或动词不定式修饰不定代词作定语时，修饰成分要置于不定代词之后。

例2.

His son is enough old to go to school. ( ×)

His son is old enough to go to school. (√)

【析】 enough作形容词修饰名词时，可以放在名词前，也可放在名词后；作副词修饰形容词或副词时，只能放在形容词或副词之后。

例3.

Here is your sweater. Put away it. （×）

Here is your sweater. Put it away. (√)

【析】 put away, pick up, put on等“动词+副词”构成的词组后接代词作宾语时，代词只能放在动词和副词之间。

例4.

I dont know where is he going. （×）

I dont know where he is going. (√)

【析】 在含宾语从句的复合句中，从句要用陈述句语序。

例5.

Look! Here the bus comes. ( ×)

Look! Here comes the bus. （√）

【析】 在以here, there引起的陈述句中，若句子的主语是名词，要用倒装语序，即用“Here/ There+动词+名词”结构；但主语若是代词时，则不用倒装语序, 即用“Here/ There +代词+动词”结构。

例6. I do well in playing football,_____________. (我妹妹也是。)

A. so my sister does ( ×)

B. so does my sister （√）

例7. —Li Lei is really a football fan.

—_____________. (确实这样。)

A. So is he ( ×)

B. So he is（√）

【析】 “so+be动词/助动词+主语”的倒装结构表示前面所述情况也适用于后者，意为“……也是这样”；“so+主语+be动词/助动词”的陈述结构表示对前述情况的肯定，意为“……确实如此”。

IV. “逻辑”类错误例析

逻辑类错误是指用英语表达某一思想时，犯了逻辑推理错误，导致句子语法成分不全，句意表达上前后矛盾等方面的失误。

例1. 重庆比中国的其他城市都大。

Chongqing is larger than any city in China. ( ×)

Chongqing is larger than any other city in China. (√)

【析】 “any city in China”包括了重庆这座城市, 同一事物自己与自己不能作比较，只有在city 前加上other才能表示重庆和中国的其他城市比较大小。

例2. 广州的天气比北京的天气更暖和。

The weather in Guangzhou is warmer than Beijing. ( ×)

The weather in Guangzhou is warmer than that in Beijing . (√)

【析】 表示比较时，句子中的两个比较对象必须一致，不同类的比较对象不能作比较。错误句的比较对象分别为the weather in Guangzhou和Beijing，这两个不同类的事物之间不能作比较。

V. “受汉语思维方式影响”类错误例析

受汉语思维方式影响类错误是指用英语表达某个意思时，受了汉语表达的影响而导致犯错。

例1.

Mr Wu teaches our English. ( ×)

Mr Wu teaches us English. (√)

【析】 “teach sb sth”句式中的sb和 sth是teach的双宾语，因此teach后的人称代词要用宾格，而不能受汉语影响使用形容词性物主代词。

例2.

His sister married with a teacher last summer.( ×)

His sister married a teacher last summer. (√)

【析】 表达“A和B结婚”，要用A married/will marryB。这时务必要避免受汉语影响使用A married/will marry with B。

例3.

There is going to have a film tonigh. ( ×)

There is going to be a film tonight. (√)

【析】 一般将来时用在 There be 句式中时，be going to或will之后的动词原形只能用be,也就是说要用There is /are going to be...； There will be...。

例4.

Ill go hiking if it wont rain next Sunday. ( ×)

Ill go hiking if it doesnt rain next Sunday. (√)

【析】 习惯上在含有时间状语从句和条件状语从句的复合句中，如果主句的谓语动词用了一般将来时，从句的谓语动词要用一般现在时表示将来。

例5.

Teacher told us yesterday that the earth went around the sun.( ×)

Teacher told us yesterday that the earth goes around the sun.(√)

【析】 习惯上在含有宾语从句的复合句中，主句的谓语动词用了一般过去时，从句的谓语动词要用过去的某种时态。但如果从句表述的是一客观事实或客观真理时，则不受主句时态的影响，而用一般现在时。

例6.

All the balls are not round. 翻译成汉语：

所有的球都不是圆的。( ×)

并不是所有的球都是圆的。(√)

【析】 all, every, both等词和not连用时，若not放在all, every, both的后面，则表示部分否定，意为“并非……都……”。

例7.

Do you know the way of the park? ( ×)

Do you know the way to the park? (√)

【析】 习惯上表示无生命名词的所有格常用“... of...”； 但表示“通往……的路”要用“the way to...”, 而不能用“the way of...”。类似的结构还有 the key to the lock (这把锁的钥匙), the answer to this question(这个问题的答案), the ticket to the concert (音乐会的票)等。

例8.

— He didnt go to school yesterday, did he?

—__________, though he didnt feel very well.

A. No, he didnt ( ×)

B. Yes, he did(√)

例9.

—Dont you usually come to school by bike?

—__________. But I sometimes walk.

A. No, I dont ( ×) B. Yes, I do (√)

【析】 习惯上英语中的yes意为“是的”，no意为“不”，但在“前否后肯”的反意疑问句或否定疑问句中，yes意为“不”，no意为“是的”。

篇5：中考英语高频考点知识

1.stop to do sth。 和stop doing sth。

“stop to do sth。” 表示停止做其它事情而去做“to do sth。”所表示的事情，可以将“to do sth。”理解成“stop”的目的状语;“stop doing sth。”表示不做“doing sth。”所表示的事情。

例如： “Stop talking。 Let’s begin our class。” said theteacher。 老师说：“别说话了，让我们开始上课。”

We have kept doing our homework for along time。 Let’s stop to listen to music。 我们做家庭作业很长时间了，让我们停下来听听音乐。

2.forgetto do sth。和forget doingsth。 (remember to do sth。 和remember doing sth。)

“forget to do sth。”表示将来不要忘记做某事，谈的是未来的事情;“forget doing sth。”表示忘记过去应该做的事情。

例如： “Don’tforget to do your homework。” said theteacherbeforethe class was over。

老师在下课前说：“不要忘记做家庭作业。”

“I’m sorry。 Iforgot doing my homework。 May I hand it in this afternoon， Mr。 Chen?” said LiMing。

李明说：“对不起，我忘记做家庭作业了。我今天下午交好吗，陈老师?”

3.havesth。 done。(过去分词)(让别人)做某事

例如：I had my hair cut yesterdayafternoon。 我昨天下午理了发。

My computer can not work now。 I musthave it repaired。 我的电脑有故障了，我必须让人修好它。

4。 感官动词后接不带to的不定式或者现在分词的区别

例如：see sb。 do sth。看见某人(经常)做某事 和see sb.doing sth。看见某人(正在)做某事。

I often see him do exercise in themorning。 我经常在早晨看见他锻炼身体。

When I was walking in the park， I sawhim drawing a picture there。 当我在公园散步的时候，我看见他正在那里画画。

5。 在主动语态中，感官动词(see， hear， feel， watch等)和使役动词(make， have， let等)要求接不带to的不定式做宾语补足语，而在被动语态里，不定式要带上to。

例如：The boss often made the workerswork 10 hours a day。

The workers were made to work 10 hoursa day。

Shewas heard to use strong language。 听说她骂人了。

6。常用的几个和不定式有关的句型：

Why not do sth? 为什么不做某事?

It takes/took sb。 some time to do sth。做某事花了某人多长时间。

It is/was +形容词+(forsb。) +to do sth。 做某事(对某人来说)怎么样。

7。 介词后面一般接动名词。同学们要特别注意介词to和不定式符号to的区别，例如下面的词组一定要记清：

prefer doing sth。 to doing sth。 喜欢做……不喜欢做……

look forward to doing sth。 期待/盼望做某事。

make a contribution to doing sth。 为……做出贡献。

8。 现在分词和过去分词做定语的区别

A。 现在分词含有正在进行的意思，而过去分词含有被动或者已经完成的意思，如：

a developing country 发展中国家 a developed country 发达国家。

boiling water 正在沸腾的水(一般情况下水温为100℃)boiled water 开水(已经烧开的水，水温可以依然很高，也可以是凉白开)。

a boy named Jim 一个叫Jim的男孩。

B。 有些动词的现在分词和过去分词都具有形容词特征，但是它们的意思有区别。它们的-ing形式往往用来说明事物的特征;他们的-ed形式表示被动的意思，用来说明人的情况。

I am interested in this interestingstory。 我对这个有趣的故事感兴趣。

I am moved at the moving sight。 我被这动人的情景感动了。

They were amazed at the amazing facts。 他们对那些令人惊异的事实感到惊奇。

中考英语固定搭配

和to do 连用的固定搭配

ask sb。 to do sth。 请求某人做某事。

be pleased /be glad to do sth。很高兴做某事。

can‘t wait to do sth。 迫不及待地做某事。

can‘t afford to do sth。 不能担负起干某事。

decide to do sth。 决定做某事。

do/try one‘s best to do sth。尽全力做某事。

do nothing to do sth。 对……无能为力。

deserveto do sth。 值得干某事。

形容词/副词+enoughto do sth。 足以做某事。

encourage sb。 to do sth。 鼓励某人做某事。

find + it + 形容词 +to do sth。 发现做某事……

get ready to do sth。 准备做某事。

go on to do sth。 继续做某事。

hope to do sth。 希望做某事。

improve sth。 to do sth。 改善/提高某物来干某事。

invite sb。 to do sth。 邀请某人干某事。

It‘s better to do sth。 干某事比较好。

It‘s time to do sth。 到该做某事的时间了。

like to do sth。 喜欢做某事……

like sb。 to do sth。 喜欢某人做某事。

loveto do sth。 爱做某事。

learn to do sth。 学会做某事。

make one‘s mind to do sth。 下决心做某事。

make a list of five ways to do sth。 列出干某事的五种方式的清单。

need to do sth。 需要做某事。

plan to do sth。 计划干某事。

prefer to do sth。+ rather than do sth。喜欢……不喜欢……

refuse to do sth。 拒绝干某事。

remember to do 记得要去做某事。

The best time to do sth。 is… 干某事的最佳时间是……

stop to do sth。 停下来去做另一件事。

start/begin to do sth。 开始做某事。

seem to do sth。 似乎要做某事。

set one‘s mind to do sth。 一心要做某事。

tell sb。 to do sth。 告诉某人做某事。

too…to do sth。太……以致于不能……

try to do sth。 努力/试着去做……

think it nessary for sb。 to do sth。 认为某人有必要干某事。

There‘s no time to do sth。 没时间做某事。

teach sb。 (how) to do sth。 教某人干某事。

used to do sth。 过去常常干某事 wish sb。 to do sth。 希望某人做某事。

wouldloveto do sth。 很愿意做某事。

would like (sb。) to do sth。 想让某人做某事。

want to do sth。 想做某事。

和doing 连用的固定搭配

watch sb。 doing sth。 观看某人正在做……

stop doing sth。 停止做某事。

remember doing sth。 记得已做过某事。

try doing sth。 努力/试着去做……

like doing sth。 喜欢做某事。

forgetdoing sth。 忘记已做过某事。

go on doing sth。 继续做某事。

be busy doing sth。 忙于做某事。

be worth doing sth。 某事值得一做。

carry on doing sth。 继续做某事。

篇6：中考英语高频考点句型

1.keep sb. doing sth. 让某人一直做某事

不可和keep sb.from doing sth.结构混淆。

例如：Why do you keep me waiting for a long time? 你为什么让我等了很长时间?

2.make sb. do sth. 使某人干某事

make意为“使”时，其后要有不带to的动词不定式。

例如：He made me work ten hours a day. 他让我每天工作10小时。

注意：上句如改为被动语态，则work 前的to不能省略。例如：

I was made to work ten hours a day.

3.neither…nor… 既不……也不……

当连接两个并列主语时，谓语动词与邻近的主语取得一致(就进一致原则)。例如：

Neither we nor Jack knows him. 我们和杰克都不认识他。

He neither knows nor cares what happened. 他对发生的事情不闻不问。

4.not…until… 直到……才……

until后可跟名词或从句，表示时间。例如：

He didn’t come until late in the evening.他直到晚上很迟才来。

He didn’t arrive until the game began. 直到比赛开始他才来。

5.sb. pays money for sth. 某人花钱买某物

此句型主语是人。例如：

I’ve already paid 2,000 yuan for the motor bike. 我已经花了元买这辆摩托车。

6.spend time/money on sth./(in)doing sth. 花费(时间、钱)在某事上/做某事

其中in可以省略，通常主语为“人”。例如：

I spent five yuan on this book. 我在这本书上花了五元钱。

I spent two hours (in) doing my homework yesterday. 昨晚我花了两个小时做作业。

7.so…that… 太……以至于……

用于复合句，that引导的是结果状语从句。so是副词，后面应接形容词或副词，如果接名词，应用such。 例如：

The ice is so thin that you can’t walk on it. 冰太薄了，你不能在上面走。

He is such a kind man that we all like him. 他是一个非常好的人，我们都很喜欢他。

8.stop to do sth., stop doing sth.

stop to do sth. 意为“停下来去做另一件事”，stop doing sth.意为“停止正在做的事”例如：

You’re too tired. You’d better stop to have a rest. 你们太累了，最好停下来休息一会儿。

The teacher is coming. Let’s stop talking. 老师来了，咱们别说话了。

9.Thank you for doing sth. 感激你做了……

for之后除了加动名词doing外，还可以加名词。例如：

Thank you for giving me the present. 谢谢你给我的礼物。

Thank you for your help. =Thank you for helping me.谢谢你的帮助。

10.thanks to 多亏……，由于……

thanks后的s不能省略，to是介词。例如：

Thanks to my friend Jim, I’ve worked out this problem. 多亏了我朋友吉姆的帮助，我已经解决了这个问题。

11.There be句型

①在此结构中，there是引导词，在句中不能充当任何成分，也不必翻译出来。句中的主语是某人或某物，谓语动词be要与主语的数保持一致。例如：

There is a man at the door. 门口有一个人。

当主语是由两个或者两者以上的名词充当时，谓语动词be要跟它邻近的那个名词的数一致(就近一致)。例如：

There are two dogs and a cat under the table.桌下有两只狗和一只猫。

比较：There is a cat and two dogs under the table.

②There be 句型中的be不能用have来代替，但可以用lie(位于，躺)，stand(矗立)，exist(生存)，live(生活)等词来替换。例如：

There stand a lot of tall buildings on both sides of the street. 街道两旁矗立着许多高楼。

There lies lake in front of our school.我们学校前面有一个湖。

Once there lived a king here. 这儿曾经有一个国王。

There is going to be a sports meeting next week. 下周准备开一个运动会。

there be 的拓展结构： there seem(s)/happen(s) to be…

There seems to be one mistake in spelling.

似乎有一处拼写错误。

There happened to be a ruler here. 这儿碰巧有把尺子。

There seemed to be a lot of people there. 那儿似乎有很多人。

12.The + adj.比较级， the + adj.比较级 越……，越……

此句型表示一方随另一方的变化而变化。例如：

The harder he works, the happier he feels.他工作越努力，就感到越幸福。

The more, the better. 多多益善。

13.too+adj./adv. +to do sth. 太……以至于不能……

此句型为简单句，后面的to表示否定含义。例如：

The ice is too thin for you to walk on. 这冰太薄，你不能在上面走。

The bag is too heavy to carry. 这个袋子太重搬不动。

14.used to do sth. 过去常常做某事

used to是情态动词，表示过去的习惯动作或状态，现在已不存在，因此只用于过去时态。例如：

He used to get up early. 他过去总早起。

When I was yong, I used to play tennis very often. 我年轻时经常打网球。

否定形式有两种：didn’t use to;used not to,例如：

He didn’t use to come. = He usedn’t to come. 他过去不常来。

15.what about…? ……怎么样?

后面可接名词、代词、动名词等。与“how about…?”同义。例如：

We have been to Hainan. What about you? 我们去过海南，你呢?