椭圆的对偶性质总结

椭圆的对偶性质总结（共10篇）

篇1：椭圆的对偶性质总结

椭圆的简单几何性质中的考查点:

(一)、对性质的考查：

1、范围：要注意方程与函数的区别与联系;与椭圆有关的求最值是变量的取值范围;作椭圆的草图。

2、对称性：椭圆的中心及其对称性;判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据;如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性;注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。

3、顶点：椭圆的顶点坐标;一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点;椭圆中a、b、c的几何意义(椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示)。

4、离心率：离心率的定义;椭圆离心率的取值范围：(0，1);椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平;当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆;当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。

(二)、课本例题的变形考查：

1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p(x，y)到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标;

2、椭圆的第二定义及其应用;椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。

3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。

4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：

5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。

篇2：椭圆的对偶性质总结

性质1(对称性)对偶问题的对偶问题是原问题

证明

设原问题为

max z CX

AXbs.t.X0

(1)

对偶问题为

min w Yb

YACs.t.X0

(2)

对偶问题的对偶问题为

max  CU

AUbs..tU0

(3)

比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证.性质2(弱对偶性)设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X是原问题的任意一个可行解,Y是对偶问题的任意一个可行解,那么总有

CXYb

(4)

证明

根据式(1), 由于AXb, 又由于Y0, 从而必有

YAXYb

(5)

根据式(2), 由于YAc, 又由于X0, 从而必有

YAXCX

(6)

结合式(5)和式(6), 立即可得CXYb,命题得证.性质3(最优性)设X*原问题式(1)的可行解,Y*是对偶问题式(2)的可行解,当是CX*Y*b时,X*是原问题式(1)的最优解,Y*是对偶问题式(2)的最优解.证明

设X是式(1)的最优解, 那么有

CXCX*

(7)

由于CX*Y*b,那么

CXY*b

(8)

根据弱对偶性质, 又有

CXY*b

(9)

从而CXCX*, 也就是X*是原问题式(1)的最优解。同理，也可证明Y*是对偶问题式(2)的最优解。

性质4(无界性)设原问题为无界解，则对偶问题无解。

证明

用反证法证明。

设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。

假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y。这时对偶问题的目标函数值为YbT。由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X满足CXT，因此CXYb。

而根据弱对偶性，又有CXYb，发生矛盾。从而对偶问题没有可行解。

性质5(强对偶性、对偶性定理)若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。（复习矩阵算法）

证明

设B为原问题式(1)的最优基，那么当基（1）实地访谈。选择不同地区、不同行业、不同发展规模、不同历史、不同风

格的企业高层管理人员或技术部门负责人，进行半结构化的访谈，进一步收集信息 并完善研究思路。

（2）协同学方法。运用协同学方法对装备制造业突破性创新系统的演进进行仿 真研究，通过对系统演化的轨迹及过程进行分析，从产业生命周期的四阶段提出装 备制造业突破性创新机制系统根据生命周期发展过程的不同策略。

（3）结构方程模型。通过规范的问卷调查程序和数据处理方法，建立起合乎研 究要求的数据库，再通过对获得的数据采用结构方程模型(SEM)等统计分析方法，以验证提出的概念模型与假设是否成立。为B时的检验数为CCBB1A，其中CB为由基变量的价值系数组成的价值向量。

既然B为原问题式(1)的最优基，那么有CCBB1A0。

令YCBB1，那么有CYA0YAC，从而YCBB1是对偶问题式(2)的可行解。

这样一来，YCBB1是对偶问题的可行解，XBB1b是原问题的最优基可行解。

1Bb 由于CXCBXBCNXNCBB1b，而YbCB，从而有CXYb。根据性质3，命题得证。

ˆ, Yˆ分别是原问题和对偶问题的可行解，性质6(对偶松弛定理、松弛性)若Xˆ0和YXˆ0，当且仅当Xˆ, Yˆ为最优解。那么YXss证明

设原问题和对偶问题的标准型是

原问题

对偶问题 max z CXAXbs.t.X0 min w Yb

YACs.t.X0

将原问题目标函数中的系数向量C用CYAYs代替后，得到

ZCX(YAYs)XYAXYsX

(10)将对偶问题的目标函数中系数列向量，用bAXXs代替后，得到

YbY(AXXs)YAXYXs

(11)

ˆYAXˆˆYbˆ，由最优性可知Xˆ0，YXˆ0，则CXˆ, Yˆ分别是原问题和对偶问若YXss题的最优解。

篇3：对偶空间的一些新性质

关键词：对偶空间,对偶基

1. 引言

求线性空间的基所对应的对偶基, 有时很麻烦, 特别是子空间所对应的对偶空间以及子空间之间的运算. 例如, 求V1 * ∩V2 * 的基, 首先要求V 1 , V 2 的基, 然后求出V1 * , V2 * , 最后取交集, 这样比较繁琐, 但求 ( V 1 ∩V 2 ) *的基, 则相对要方便一些. 下面我们看对偶空间的一些新性质, 以及用它们来简化对偶空间的运算.

2. 对偶空间的一些新性质

对偶空间的一些新性质:

证明 ( 1) 设V 1 的基为α 1 , α 2, …, αk , 将其扩充为V的一组基, 设为α 1 , α 2 , …, α k , α k +1 , α k +2 , …, α n . 所对应的对偶基为f 1 , f 2 , …, f k , f k +1 , f k +2 , …, f n . 易知f 1 , f 2 , …, f k 是α 1 , α 2 , …, α k 的对偶基.又因为

( 2) 如果V 1 或V 2 有一个是空集, 则结论显然成立. 如果V 1 , V 2 都非空, 设dimV 1 = n 1 , dimV 2 = n 2 , 则取V 1 的基α1 , α 2 , …, α n1 , 取V 2 的基β 1 , β 2 , …, β n2 因为V 1 ∩V 2 = , 则V 1 ∪V 2 的基为α 1 , α 2 , …, α n1 , β 1 , β 2 , …, β n2 , 将其也扩充为V的基的一组基

α1 , α 2 , …, α n1 , β 1 , β 2 , …, β n2 , γ 1 , γ 2 , …, γ n -n1-n2 .

由定理知, 存在唯一的对偶基

f 1 , f 2 , …, f n1 , g 1 , g 2 , …, g n2 , h 1 , h 2 , …, h n -n1-n2 .

由对偶基的定义知, f1 , f 2 , …, f n1是V1 * 的基, g1 , g 2 , …, g n2 是V2 * 的基, 显然可以看出

设的基为α1, α2, …, αm, 于是将其扩充V1的基α1 , α2 , …, αm , β1 , β2 , …, βn1-m , 将其也扩充为V2 的基α1 , α2 , …, αm , γ1 , γ2 , …, γn2-m , 也将其扩充为V的基α1 , α2 , …, αm , δ1 , δ 2 , …, δ n -m .

α1 , α2 , …, αm , β1 , β2 , …, βn1-m , 将其也扩充为V2 的基α1 , α2 , …, αm , γ1 , γ2 , …, γn2-m , 也将其扩充为V的基α1 , α2 , …, αm , δ1 , δ 2 , …, δ n -m .

由定理知, 存在唯一的一组对偶基f1, f2, …, fm, fm+1m +1, …, fn.

不妨设V 1 的对偶基为f 1 , f 2 , …, f m , f` m +1 , …, f` n1 , V 2 的对偶基为f 1 , f 2 , …, f m , g m +1 , …, g n2 .

证明 ( 1) 用数学归纳法来证明. 当n = 2时, 由上面的性质知道, 结论成立.

( 2) 也用数学归纳法来证明. 当n = 2时, 由上面性质知道, 结论显然是成立的.

参考文献

[1]徐振民.对偶空间的性质[J].太原师范学院学报 (自然科学版) , 2010 (1) .

[2]何锦荣.对偶空间的一些性质及其应用[J].广西师院学报 (自然科学版) , 1994 (2) .

[3]李容录.赋范线性空间的第二对偶空间[J].数学研究与评论, 1981 (2) .

[4]周光实. (op) 型空间的对偶空间[J].河北大学学报 (自然科学版) , 1984 (2) .

篇4：椭圆的对偶性质总结

如果先以中心在原点，焦点在x轴上的标准椭圆为载体进行研究，可以得到如下结论：

图1

性质1 如图1，若P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，如果两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，设过P（x0，y0）的椭圆的切线l的斜率为k，则1k（1k1+1k2）为定值，且定值为-2λ.

为了证明上面结论，先不妨证明以下结论.

结论1 若P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上异于长轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，设两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，则（1k1+1k2）=2x0y0.

证明 设椭圆的两焦点F1（-c，0），F2（c，0）（其中c=a2-b2），

则1k1=x0+cy0，1k2=x0-cy0，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0.

得到这个结果的过程比较容易，从这个结果可以看出，过焦点在x轴上的标准椭圆上异于长轴端点外的任意一点所得两条焦半径（斜率都存在）的斜率的倒数和与点的横纵坐标有关.

结论2 设P（x0，y0）为椭圆x2λb2+y2b2=1（b>0，λ>1）上异于长轴端点外的任意一点，l为过P（x0，y0）的椭圆的切线，则其斜率k与点P坐标有关，且k=-x0λy0.

证明 λ>1，曲线表示以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上的椭圆，

设过P（x0，y0）的直线斜率为k，则l的方程为y-y0=k（x-x0）.

联立方程组：x2λb2+y2b2=1，

y-y0=k（x-x0），

消去y得：

（1+λk2）x2+2（λky0-λk2x0）x+（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0. （1）

因为l为过P（x0，y0）的椭圆的切线，

所以有Δ=4（λky0-λk2x0）2-4（1+λk2）（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0

整理得：

λ（λb2-x20）k2+2λx0y0k+

λ（b2-y20）=0.（2）

又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以x20λb2+y20b2=1.

所以λb2-x20=λy20，b2-y20=x20λ.

将结果代入（2）式，得到λ2y20k2+2λx0y0k+x20=0，

也即（λy0k+x0）2=0，所以k=-x0λy0.

可以看出：过焦点在x轴上的标准椭圆上异于长轴端点外的任意一点所做椭圆的切线的斜率与坐标有关，也与a2，b2的比值有关系.

在结论1和结论2的支持下，我们来证明性质1就不难了.

因为a>b>0，a2b2=λ，所以椭圆方程即x2λb2+y2b2=1，

P（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，

所以由结论2，过P所做椭圆的切线的斜率k=-x0λy0，所以1k=-λy0x0.

焦半径PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，所以由结论1得：1k1+1k2=2x0y0，

由上面的结果，容易得到：1k1k1+1k2=-λy0x02x0y0=-2λ，性质1得到证明.

有些与直线和圆锥曲线的位置关系有关的题目中，经常进行一些类似的定量计算，如2013年高考山东卷理科数学试题22题第三问，就考查了如下问题：

椭圆C：x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，P（x0，y0）为其上异于长轴端点外的任意一点，过点P做斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个交点.设PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明：1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

可以看出，这是以上性质的特殊情形，单从结论的角度，不难得到：a2=4，b2=1，λ=a2b2=4，所以1k（1k1+1k2）=-2λ=-8.计算过程参照定理的证明，不难得到结果.

如果椭圆是中心在原点，焦点在y轴上的标准椭圆，模仿以上结论，进行以上步骤的计算研究，不难得到上面定理的另一种形式下的结论： 图2

性质2 如图2，若P（x0，y0）为椭圆y2a2+x2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上异于长轴、短轴端点外的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，如果两焦半径PF1，PF2的斜率存在且分别为k1，k2，设过P（x0，y0）的椭圆的切线l的斜率为k，则k（k1+k2）为定值，且定值为-2λ.

定理2的算式部分形式与定理1稍有区别，但最后的结果完全一样.证明过程与定理1的证明类似，从略.

综合性质1和性质2，可以看出，它们的共同特点是：结果形式简单，关系直接明确，易于理解掌握，便于实践应用.

圆锥曲线的学习过程中，老师们经常会遇到大量的涉及直线和圆锥曲线的定量运算的题目，解答这些题目的过程中，多加用心反思和对比，也许就会发现一些隐藏其中的有用的规律，规律的探索过程和成就感也是数学美的重要方面吧.

参考文献

[1] 杨云显，孟艳双.直线和椭圆相交状态下的一个通用性质[J].中国数学教育，2012（6）：21-22.

篇5：椭圆的基本性质教学设计

信丰二中

邓丽华

一、教学目标：、知识掌握目标：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形。、基本技能和一般能力培养目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。、创新素质和创新人格的培养目标：培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。、德育目标：通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

三、教学难点：利用椭圆方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

四、教材分析：

德育点：在研究性质的过程中，培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受。

创新点：①教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。在范围这一性质的教学中，鼓励用多种方法推倒，培养学生的创新思维；②在反馈训练中，让学生自己编拟方程并研究其性质。③留研究性作业，鼓励学生进一步探索。

空白点：①研究性过程中多处留白，鼓励学生大胆猜想并根据方程给予论证②反思性小结中设计表格留空白，调动学生积极参与。

五、教学过程、创设情境引导目标与内容

教师： 2003 年 10 月 15 日是每一个中国人为之骄傲的日子（课件展示飞船绕地球运行模拟图），大家还记得这一天吗？

学生：神州五号飞船发射成功。通过前面的学习我们知道，飞船在变轨前是沿着地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船的轨道方程，你怎样作出飞船的轨迹呢？这个问题的实质是什么？

学生：已知一个椭圆的方程，画出这个椭圆。

教师：让学生拿出预习中用描点法画出 所示的图形，同时计算机给出作图过程，纠正学生作图中存在的问题后给出：这种作图方法虽然比较准确，同学们通过作图体会到了什么？

学生：麻烦。

教师：有简单的方法吗？如果有，需要知道什么呢？ 学生：研究曲线的特点。

教师：对，如果我们能根据椭圆的方程，探讨出它的几何特征，那么作图就很方便了。这节课我们就一起来学习椭圆的简单几何性质（引出课题）

教师：前面我们学习了椭圆的哪些知识？ 学生：学习了定义和标准方程。教师：你还记得标准方程吗？ 学生： 或

教师：这节课就以（a ＞ b ＞ 0）为例来研究。2、教师点拨、指导，学生研究、合作、体验（1）对称性

教师：（大屏幕展示所示的图形）请同学们观察这个图形在 x 轴的上方、下方，y 轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？（此处是空白点，激发学生思考）

学生：有对称性，关于 x 轴、y 轴、原点都对称。

教师：正确。那么一般的椭圆 是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？

学生： A ：（充分讨论后）也有同样的对称性。在 上任取一点 P（x,y）则 P 点关于 x 轴、y 轴和坐标原点的对称点分别是（x,-y）（-x，y）、（-x，-y），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点 P 关于 x 轴、y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。

教师：回答得非常正确。

课件展示对称过程后总结： 所表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心，椭圆是有心曲线。做人应向椭圆学习，做一个有心之人。

（2）顶点

教师：（大屏幕展示 所表示的图形）请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？

学生 B ：与坐标轴有四个交点。

教师：对，一般的椭圆 与坐标轴有几个交点呢？ 学生 B ：同样是四个。

教师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与 x 抽的交点分别是、，与 y 轴的交点分别是、）

学生 B ：分别令 x=0,y=0，得(-a,0)、（a,0）、（0,-b）（0,b）.教师：回答得很好。这四个点是椭圆与坐标轴的交点，也是椭圆与其对称点的交点。

及时总结并给出顶点的定义（强调是与对称轴的交点）。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中 a、b 的几何意义。

教师：（根据课件中的图）如果过、、分别作 y 轴的平行线，过、分别做 x 轴的平行线，则这四条直线将构成----？

学生：一个矩形。

教师：椭圆在矩形----？ 学生：内部

教师：正确，这说明了什么？

学生：有的说有界，有的说有范围。

教师：指出椭圆是有范围的，根据前面求得的、、、的坐标，你能说出 x、y 的范围吗？

学生 C ：-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ b.教师：完全正确。那么你根据方程 研究 x、y 的取值范围吗？请同学们想一想，并互相讨论讨论。（此处既是空白点、又是创新点，学生能够动脑思考，动手实践，亲身体验，积极地投入到“创新性研究”中，把数学的重点放在了学生的学习过程，而不是获得一个简单的结果）

（3）范围

引导学生用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。学生 D ：由 利用两个实数的平方和为 1，结合不等式知识得 ≤ 且 ≤，则有-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ b.教师：很好，谁还有不同意见？

学生 E ：利用三角换元，令 θ，θ，θ∈ R。由弦函数有界可得范围。教师：这个想法也不错，谁还有不同见解？

学生 F ：从 中解出，利用 ≥ 0 可得 y 的取值范围，同样可得 x 的取值范围。

教师：这种想法也不错，谁还有不同见解？ 此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、植域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？

学生议论纷纷，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。

教师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。学生 G ：（实物展台展示）由 则 y= ±，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。

教师： y= ± 是函数吗？

学生 G ：（思考后）说不是。教师：怎么处理呢？

学生 G ：把 y= 和 y=-分别看作是一个函数。教师：正确。往下怎么研究呢？

学生 G ：先求函数 y= 的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得-a ≤ x ≤ a，0 ≤ y ≤ b，同样得 y= 中-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ 0，于是得到范围。（课堂响起一片掌声，表示对这位同学的支持、肯定与鼓励

教师：前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生 G 的推导过程呢？ 学生 H ：老师，我想只需求 y=(0 ≤ x ≤ a)的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。

教师：很好。教师：通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内。有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了教师在黑板上示范作图（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，光滑曲线连接，并注意对称性）

教师：请同学们根据这种作图方法，在同一坐标系下画出方程 和 所示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同？

学生 M ：实物展台展示画图，指出一个扁一些，一个圆一些。教师：（追问）圆扁与什么有关系？（提示学生注意两个方程）学生 M ：与 b 有关系。教师：是这样吗？

学生 N ：在 a 不变的情况下与 b 有关系，b 大则圆，b 小则扁，因此与 a、b 有关系。教师课件动画展示（a 不变，随 b 变化，椭圆形状的变化）印证学生的猜测是正确的，同时提出问题：在推导方程中曾令，这又意味着形状还与什么有关系呢？

学生有的说与 b、c 有关，有的说与 a、b、c 有关。（鼓励学生大胆猜测）

教师：在给出椭圆的定义中，大家还记得吗？影响椭圆形状的最关键的要素是什么？

学生：是 a 和 c 教师：下面我们就一起看一下在 a 不变的情况下，随 b 的变化 c 是如何变化的（动画演示）。从而引出离心率。

（4）离心率

教师在动画演示过程中，引导学生发现 a 不变，b 大则 c 小，椭圆较圆，b 小则 c 大，椭圆较扁，特别当 a=b 时，c=0 椭圆为圆。教师指出：当 a 不变，b 大则 c 小，此时 也变小，学生通过观察指出此时椭圆较圆，反之较扁，c=0 时变成了圆。及时总结并给出离心率的定义、符号和范围及特例。（强调离心率是焦距与长轴长之比，与坐标系选取无关，并引导学生分析出：固定 a、b、c 中任何一个量，改变另外两个量可得到同样的结论，即 e 大则扁，e 小则圆，特别 e=0 时为圆）

因此离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量。（此处是难点，教学中借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响）、巩固与创新应用

请你自己设计一个焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，并指出它的几何性质。（此题把主要权交给学生，提高学生的参与意识）

利用本节所学的知识，说出椭圆 的简单几何性质。（此处也是一个创新点，培养学生运用类比化归的思想解决实际问题的能力，也通过本题使学生体验这节课所学的性质是椭圆自身固有的性质与坐标系的选取无关）

椭圆(k ＞ 0)的长轴是短轴的 2 倍，则 k= 如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个三角形，求椭圆的离心率，（通过第（3）（4）两题巩固本节所学知识）、反思与小结

教师引导学生从知识、思想方法和研究问题的方法三个方面进行总结。教师：通过这节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？ 学生讨论、反思。师生合作：

（1）知识总结：教师设计关于性质的表格，学生填表，并总结：记住这些性质的关键是抓住两条线（对称轴），一个框（范围），七个点（一个中心、两个焦点、四个顶点）和用 e 刻画圆扁。思想方法总结：本节课主要利用了数形结合的思想和类比化归的思想研究性质的，平时学习中要注意数学思想方法的运用。

（2）掌握利用曲线方程研究曲线性质的基本方法，即通过研究曲线的对称性、顶点、范围、离心率等，这样就可以从整体上把握曲线了。

六、板书设计：

椭圆的简单几何性质 1、对称性； 4、离心率、顶点； 5、板书学生推导 3、范围； 6、作图

七、教后反思 ：

1、渗透教学思想方法重在平时 当学生有一天不再学习数学了，我们给学生留下的是什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式和解决问题的方法。本节课始终是引导学生观察图形后研究方程，即数形结合的思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此在平时教学中，要注意渗透数学思想方法的教学。、信息技术走进课堂 在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。

不足：在对具体例子 的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。

感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。面对新课改教师惟有主动适应，创造新生。

篇6：椭圆的简单几何性质教学设计

山西省运城中学

赵彦明

一、教学分析：

（一）教学内容分析

椭圆是生活中常见的曲线，是学生学习第二章所接触到的第一个重要的圆锥曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有着重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

（二）教学对象分析

本节课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。

（三）教学环境分析

因为本节内容比较抽象，再者学校条件的有限所以利用电脑模拟动点运动,增强直观性,激励学生的学习动机,培养学生的观察能力、数学想像能力和抽象思维能力。

二、教学目标

（一）知识与技能

掌握椭圆的简单的几何性质，学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质的一般方法与步骤。

（二）过程与方法

通过实际活动培养学生发现、观察、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学能力的培养；经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。

（三）情感与态度

通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究椭圆的几何性质的积极性。

三、教学重难点及教具

（一）教学重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质

（二）教学难点：椭圆离心率几何意义的理解

（三）教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片，学生每人一个椭圆形纸板（同桌相同），直尺

四、教学方法过程及整合点

（一）教学方法：讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流

（二）教学过程： １.创设情境，欣赏倾听

这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识，在进入本节课的知识之前，我们先看一段视频短片：

（整合点：播放中央电视台新闻中关于国家大剧院外部景观介绍的视频短片）﹝设计意图:提高学生的学习兴趣﹞

提出问题：为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢？ ﹝设计意图:激发学生的求知欲，引入课题﹞

教师指出其根本原因是椭球形非常美观，这源于椭圆的美！那么椭圆到底美在何处？它又具有哪些特性？让我们一起来研究一下——椭圆的几何性质，以方程x2y21(ab0)为研究对象。a2b2（板书）12.1.2 椭圆的几何性质

2．探究问题，观察发现

从哪几方面研究研究椭圆的几何性质呢?学生纷纷讨论之后老师确定从椭圆的 2

对称性、顶点、范围、离心率来探究。探究一：椭圆的对称性

问题1：你能找到椭圆纸板的中心吗？

﹝设计意图:让学生直观感知，操作确认，更深入认识椭圆的对称性﹞

学生活动:用手中的纸板折纸——把椭圆纸板折叠，使两部分完全重合，两条折痕的交点，即为椭圆纸板的中心，两条折痕为对称轴。实物演示部分可以由学生同桌两两一组共同完成（整合点：学生通过实物投影仪展示活动成果，教师通过几何画板演示 “椭圆的对称性.gsp”）

得出结论：椭圆具有对称性。

①两条折痕为对称轴——椭圆是轴对称图形，它关于x轴和y轴对称； ②实物演示：椭圆绕中心旋转180后与原椭圆重合——椭圆也是中心对称图形，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

问题2：从方程看如何判断椭圆的对称性？

﹝设计意图:经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。﹞

学生讨论：设P（x，y），则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对称点也在曲线上，即（x，-y）满足方程。同理可以推出另外两种情况。问题3：通过上面研究同学们归纳出方程要满足什么条件曲线才具有这些对称性？

﹝设计意图: 为培养学生观察、分析、归纳问题的能力。为进一步的学习打下良好的基础。﹞

学生讨论得出：以-x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称；以-y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称；同时以-x代x、以-y代 y，方程不变，则曲线关于原点对称。

（板书）椭圆的对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点对称。探究二：椭圆的顶点

问题4：椭圆与它的对称轴有交点吗？若有，那么椭圆与它的对称轴有几个交点？你能求出交点的坐标吗?

学生易得：椭圆与对称轴有交点，有四个交点。问题5：从方程看如何求出椭圆的顶点？ ﹝设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程﹞ 令x=0则有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教师指出：其实，我们把椭圆x2y21(ab0)与坐标轴的交点

abA1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)就叫做椭圆的顶点。

其中线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长轴在x 轴上。（整合点：教师通过ppt演示 “椭圆的顶点”）

（板书）椭圆的顶点：A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)。探究三：椭圆的范围

问题6：请同学们拿起手中的作业纸，思考如果在一张矩形纸上作椭圆，要求所作椭圆尽可能最大，应如何做？

﹝设计意图: 让学生通过动手操作更深入认识椭圆的范围﹞

学生活动:分小组讨论，并动手解决本问题，尽量使回答准确、精练。得出结论：椭圆是有范围的。

教师引导学生动手动脑，将具体实例抽象成数学图形，数学问题，在平面直角坐标系内来研究：如下图，﹝设计意图:利用“椭圆的顶点.ppt”课件展示，使学生直观

感性认识椭圆范围所在区域﹞

学生得出：椭圆位于直线xa,yb所围成的矩形内。

问题7：如何从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论呢？

﹝设计意图:体验用代数的方法研究几何问题过程，体会数形结合的思想﹞

（整合点：用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。）学生可能有如下方法: 方法1：由且，则有

利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得

。那么它的范围就是直线所围成的区域。

方法2：从中解出，利用可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。

方法3：把和分别看作是一个函数，只需求范围。的定义域、值域即可，然后利用对称性可得(板书)教师指出椭圆的范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：椭圆的离心率

椭圆的简单的几何性质中，比较抽象的难于理解的就是椭圆的离心率问题。为了能将抽象的问题形象化，利于学生的理解与接受，设计如下的课堂活动，让全体学生参与到课堂中来，在自己的探究中获得学习的乐趣，学习的快乐，并且可以使不同程度的学生都有所收获。

问题8：请同学们举起手中的椭圆，大家观察它们的形状有何不同？圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？

﹝设计意图:在同学们参与到课堂活动中的时候，在自己举起自己手的椭圆的时候希望得到大家的关注想与大家交流，同时，在其他同学们举起手中的椭圆的时候，他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的形状，进而与自己手中的椭圆进行比较。在比较的过程中就会发现椭圆形状的变化，引起思考。﹞

有的同学手中的椭圆形纸板扁长，有的同学手中的椭圆形纸板稍圆，有的同学手中的椭圆更接近于圆形。

本过程中，由具体的同学们的手中的椭圆形状的变化到抽象的平面直角坐标系中椭圆形状的变化的过程中，几何画板的强大功能会发挥巨大的作用。在几何画板中展示椭圆的形状变化的同时，还可以让学生观察到椭圆中a,b,c三个参量的变化，进而对椭圆的离心率充分了解。观看课件演示，加深对离心率问题的直观认识。

(整合点：展示“椭圆的离心率.gsp”几何画板，取椭圆的长轴长不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭圆形状的变化。)

教师指出：在刚才的演示中，我们发现在椭圆长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度不一样，可以用离心率来描述

1）概念：椭圆焦距与长轴长之比。2）定义式：问题9：那么离心率与椭圆的扁圆程度有什么关系呢？

﹝设计意图:学生通过观察动画更容易找出椭圆图形随e的变化而变化的规律，他到突破难点的效果﹞

再一次演示几何画板。学生发现不变时，c变大，即离心率变大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。

从式子上看：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时

时的特例。，此时也可认为线段为椭圆也可认为圆为椭圆在椭圆变扁，直至成为极限位置线段在时的特例。

(板书)椭圆的离心率：3．反思构建，性质应用，1）求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长，离心率、交点和顶点的坐标。2）下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？

x2y2(1)4x9y36与12520x2y222(2)9x4y36与11216223）请你动手用尺子测量一下你手中的椭圆的长轴长和短轴长，写出该椭圆的标准方程。

由于每个同学手里的椭圆长轴与短轴长度不一样，因此在这个过程中学生都热情非常高的参与到这个测量的活动中来，进而写出其手中的椭圆的标准方程。

本过程两个方面考察学生对于椭圆及其几何性质的掌握,应用2)更是突出了对学生的实际动手能力和观察能力的培养。4．课堂小结，竞争合作

请你谈谈通过这节课的学习,你学习到了什么?并且请各组成员互相评价。5．首尾呼应, 解决问题

我们对于椭圆的几何性质的探索由来已久，现在椭圆的几何性质也正在被广泛的应用于各种设计中，国家大剧院是其中最典型的代表之一。当然,国家大剧 7

院之所以会选择了椭球形的设计，还有其他方面的考虑，例如很多科技方面的因素,感兴趣的同学可以自己课下查找一些资料,对这个问题全面了解。6．课后作业，巩固提高

1）求出你的椭圆的焦点、顶点的坐标，离心率，并通过测量将焦点坐标标在你的椭圆上；

2）完成焦点在y轴上的椭圆的几何性质的研究。

篇7：2、椭圆的简单几何性质复习教案

一、知识归纳：

1、几何性质：

2、椭圆的

三、强化训练：

1、求下列各椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图。（1）4x2y216

（2）9x2y24

2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆经过两点P(22,0),Q(0,5)；（2）长轴是短轴的3倍，椭圆经过P(3,0)；（3）离心率等于0.8，焦距是8。

3、若直线4x3y120过椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)的一个焦点，离心率e35，求该椭圆的方程。

225xy4、椭圆，那么P到右焦点的距离1上有一点P，它到左准线的距离等于

2259是。

5、在椭圆x225为

。y291上有一点P，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的3倍，则P的坐标

6、过椭圆4x22y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成ABF2，那么ABF2的周长是

（）A.2B.2

C.2

D.1

7、若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为

A．14（）

xB．222 1和

x2C．y224 D．

8、已知k＜4，则曲线

9k4k94A.相同的准线

B.相同的焦点

C.相同的离心率

D.相同的长轴

x2y21有

（）

9、若点P在椭圆2积是

（）y21上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF290，则F1PF2的面

A.2

B.1

C.22

D.10、方程2(x1)(y1)|xy2|的曲线是（）A.椭圆 B.线段 C.抛物线 D.无法确定

x3cos

11、曲线（为参数）的准线方程是。

ysin

12、若实数x,y满足

13、椭圆x2x216y2251，则y3x的最大值为。

128m2y291的离心率是2，则两准线间的距离是。

篇8：与椭圆离心率有关的两个性质

笔者阅读后，很受启发，对椭圆进行了研究探索，发现了形式相似的两个性质.

性质1已知F1, F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，且|PF1|=k|PF2| (k>0且k≠1) ，则椭圆离心率的取值范围为

证明设椭圆的方程为|PF2|=m (m>0) ，∠F1PF2=θ (0≤θ<π) ，当P在左右顶点处时，θ=0，在△PF1F2中，由余弦定理得 (2c) 2=m2+ (km) 2-2km2cosθ，由椭圆定义，得2a=km+m，则

又∵-1

所以椭圆离心率的取值范围为

性质2已知F1, F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，∠F1PF2=θ (0<θ<π) ，则椭圆离心率的取值范围为

证明设椭圆的方程为=1 (a>b>0) , |PF1|=m (m>0) , |PF2|=n (n>0) .

在△PF1F2中，由余弦定理得 (2c) 2=m2+n2-2mncosθ.

由椭圆定义，得2a=n+m,

又∵=a2 (当且仅当n=m时取等号) , ∴4a2-4c2≤2a2 (1+cosθ) ,

整理得:

参考文献

篇9：椭圆的对偶性质总结

[关键词]椭圆双曲线 焦点三角形面积离心率

【中国分类法】：G633.6

正文：椭圆（或双曲线）上一点与它的两个焦点的连线构成的三角形称之为焦点三角形。

椭圆（或双曲线）中焦点三角形问题是一类常见的圆锥曲线题型，教学中有两个极富魅力的性质，这些性质有趣地揭示了解析几何的性质特征。

性质1：①证明：设 ， 由椭圆的定义：

例1：设椭圆 的两个焦点为 ，椭圆上 点满足 ，则

△F1PF2的面积是

解析：本题属于焦点三角形问题，

例2：已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为9，则 =__________

解析：本题属于焦点三角形问题，

例3．已知点 是中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点,离心率为 ,椭圆的左右焦点分别为F1和F2 .试探究椭圆上是否存在一点P,使 ,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解析：本题属于焦点三角形问题，依题意，可求得椭圆方程是： ，设上顶点为 ， ，当 与 重合时， 达到最大，此时在△F1BF2由中由余弦定理可知： ，故椭圆上存在四个点使得 ，设 使得 ，由等面积法得：

代入 得

故 ， ， ，

性质1：②证明：设 ， 由双曲线定义：

例4．已知 为双曲线 的两个焦点，P在双曲线上，且 =32。

则 （）（A） （B）（C） （D）

解析：本题属于焦点三角形问题，由面积公式：

另外故 所以易知选（B）

例5.已知双曲线 的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且 则点M到x轴的距离为（）

（A）（B） （C）（D）

解析：本题属于焦点三角形问题，由面积公式：

而故 所以易知选（C）

例6【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.

【解析】焦点三角形面积公式求解：

性质2：③证明：设 ，

由椭圆的定义：

性质2：④证明：设 ，由双曲线的定义：

例7．（2013年高考湖南（文））设F1,F2是双曲线C,(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为___________.

解析：本题考查的是双曲线中焦点三角形的离心率。

对应的

例8．椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为 ．若直线

经过点 且与椭圆 有一个交点 ，满足 ，则该椭圆的离心率等于

【解析】本题考查的是椭圆中焦点三角形的离心率．由题意可知， 中，

结束语：我们对焦点三角形问题的研究，不仅可以深入了解圆锥曲线的有关性质特征，还可以有利于解决与焦点三角形有关的问题。能够熟练运用这两组性质，既方面解题又可增强我们在教学活动中对问题的研究。

参与文献：

[1] 2004年05期《数学通报》, 熊光汉，“椭圆焦点三角形的若干性质”；

[2] 《考试》，朱益民 ，“独具魅力的焦点三角形”；

[3] 《数学通讯》2000年12期, 魏华， “关于焦点三角形面积的求法”。

篇10：椭圆的对偶性质总结

例

1椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A2，0为长轴端点时，a2，b1，x2y21； 椭圆的标准方程为：41（2）当A2，0为短轴端点时，b2，a4，x2y21； 椭圆的标准方程为：

416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

a212

∴3c2a2，解：2cc3∴e13． 33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x22解：由题意，设椭圆方程为2y1，axy10222由x2，得1ax2ax0，22y1a1x1x21a22，yM1xM∴xM，1a22a kOMyM112，∴a24，xMa4x2y21为所求． ∴4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

x2y9例4椭圆1上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，0的2595距离成等差数列．

（1）求证x1x28；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

证明：（1）由椭圆方程知a5，b3，c4． 由圆锥曲线的统一定义知：2AFa2x1cc，a∴

AFaex15同理

CF54x1． 54x2． 59，5∵

AFCF2BF，且BF∴

54418x15x2，555即

x1x28．

（2）因为线段AC的中点为4，1yy2，所以它的垂直平分线方程为 2

yy1y2x1x2x4． 2y1y2又∵点T在x轴上，设其坐标为x0，0，代入上式，得

2y12y

2x04

2x1x2又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，925x12 2592225x2

y2 25922x1x2x1x2． ∴ y1y225∴ y12将此式代入①，并利用x1x28的结论得

x0436 2∴ kBT 9055．

4x04x2y例5 已知椭圆1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到43左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M存在，设Mx1，y1，由已知条件得

2a2，b3，∴c1，e∵左准线l的方程是x4，∴MN4x1． 又由焦半径公式知：

1． 21x1，21MF2aex12x1．

2MF1aex12∵MN2MF1MF2，2∴x142211x12x1． 22整理得5x132x1480． 解之得x14或x112．

① 5另一方面2x12．

②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

x211例6 已知椭圆y21，求过点P，且被P平分的弦所在的直线方程．

222分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y整理得

11kx．代入椭圆方程，并2212kx2k222132kxk2k0．

222k22k由韦达定理得x1x2． 212k∵P是弦中点，∴x1x21．故得k所以所求直线方程为2x4y30．

分析二：设弦两端坐标为x1，y1、x2，y2，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：

1． 2y1y2．

x1x21122解法二：设过P，的直线与椭圆交于Ax1，y1、Bx2，y2，则由题意得

x122y，1122x22y21，2x1x21，y1y21.①② ③④2x12x22y12y20．

⑤ ①－②得2将③、④代入⑤得

1y1y21，即直线的斜率为．

2x1x22 所求直线方程为2x4y30．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点2，6；

（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

x2y22分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由221求出a148，abx2y2y2x21． 1后，不能依此写出另一方程b37，在得方程

14837148372x2y2y2x2解：（1）设椭圆的标准方程为221或221．

abab由已知a2b．

① 又过点2，6，因此有

22662221或221．

② a2bab22由①、②，得a148，b37或a52，b13．故所求的方程为 2222x2y2y2x21． 1或521314837x2y22（2）设方程为221．由已知，c3，bc3，所以a18．故所求方程abx2y21． 为189说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置

x2y2y2x2是否确定，若不能确定，应设方程221或221．

abab

x2y21的右焦点为F，例8 椭圆过点A1点M在椭圆上，当AM2MF，3，1612为最小值时，求点M的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率e最小值．一般地，求AM1，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得21MF均可用此法． e1解：由已知：a4，c2．所以e，右准线

2l：x8．

过A作AQl，垂足为Q，交椭圆于M，故显然AM2MF的最小值为AQ，即MMQ2MF．为所求点，因此yM3，且M在椭圆上．故xM23．所以M23，3．

说明：本题关键在于未知式AM2MF中的“2”的处理．事实上，如图，e1，2即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．

x2y21上的点到直线xy60的距离的最小值． 例9 求椭圆3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

x3cos，解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为

ysin.直线的距离为

3cos，sin，则点到d2sin63cossin63． 221时，d最小值22． 3当sin说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e33，已知点P0，到22这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

x2y2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是221，其中ab0待定．

abc2a2b2b212可得 由e2aa2a2b311e21，即a2b． a42设椭圆上的点x，y到点P的距离是d，则

3y2922dxya1y3y 224b22291

4b3y3y3y4b23

42222其中byb． 如果b12，则当yb时，d（从而d）有最大值． 2由题设得731137b，由此得b7，与b矛盾．

222222因此必有b由题设得112成立，于是当y时，d（从而d）有最大值． 2224b23，可得b1，a2．

x2y21． ∴所求椭圆方程是41由y111及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点3，，点3，到点222 3P0，的距离是7． 2解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是xacos，其中ab0，待定，ybsin02，为参数．

c2a2b2b2由e21可得 2aaab311e21，即a2b． a42设椭圆上的点x，y到点P0，的距离为d，则

2223233d2x2ya2cos2bsin

22

4b3bsin3bsin22229 41

3b2sin4b23

2b如果111，即b，则当sin1时，d2（从而d）有最大值． 2b2由题设得成立． 311137b，由此得b7，与b矛盾，因此必有12222b222于是当sin由题设知12时d（从而d）有最大值． 2b724b23，∴b1，a2．

∴所求椭圆的参数方程是x2cos．

ysin由sin 1311，cos，可得椭圆上的是3，，3，． 2222例11 设x，yR，2x3y6x，求xy2x的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x3y6x与椭圆方程的结构一

222222致．设x2y22xm，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由2x23y26x，得

3xy221

9324可见它表示一个椭圆，其中心在，0点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．

设x2y22xm，则

x1y2m1 2232它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m1m1．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m11，此时m0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m14，∴m15．

∴xy2x的最小值为0，最大值为15． 22

x2y2例12 已知椭圆C：221ab0，A、B是其长轴的两个端点．

abb如何变化，APB120．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP，求证：不论a、（2）如果椭圆上存在一个点Q，使AQB120，求C的离心率e的取值范围．

 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足

的不等式，只能是椭圆的固有性质：xa，yb，根据AQB得到120a222ay22b、3，将xa2y代入，消去x，用a、以便利用ybc表示y，bx2y2a2列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设Fc，0，Aa，0，Ba，0．

xcb2Pc，

222222 abxayab于是kAPb2b2，kBP． acaaca∵APB是AP到BP的角．

b2b22a2acaaca∴tanAPB2

b4c122aca2∵ac ∴tanAPB2

故tanAPB

3∴APB120．（2）设Qx，y，则kQA22yy，kQB． xaxa由于对称性，不妨设y0，于是AQB是QA到QB的角．

yy2aya∴tanAQBxax 2222yxya12xa2∵AQB120，∴2ay3

x2y2a2整理得3x2y2a22ay0 a22∵xa2y

b22 a22∴31b2y2ay0

2ab2∵y0，∴y 23c2ab2∵yb，∴b 23c2ab3c2，4a2a2c23c2

∴4c4ac4a0，3e4e40 ∴e2422442362或e2（舍），∴e1． 231x2y21的离心率e，求k的值． 例13 已知椭圆

2k89分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x轴上时，ak8，b9，得ck1．由e当椭圆的焦点在y轴上时，a9，bk8，得c1k．

2222221，得k4． 211k15，即k．，得29445∴满足条件的k4或k．

4由e说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．

x2y2例14 已知椭圆221上一点P到右焦点F2的距离为b(b1)，求P到左准线4bb的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

x2y23解法一：由221，得a2b，c3b，e．

24bb由椭圆定义，PF1PF22a4b，得

PF14bPF24bb3b．

由椭圆第二定义，PF1d1e，d1为P到左准线的距离，∴d1PF1e23b，即P到左准线的距离为23b．

解法二：∵PF2d2PF2ee，d2为P到右准线的距离，e23b． 3c3，a2∴d2a283又椭圆两准线的距离为2b．

c3∴P到左准线的距离为

8323bb23b． 33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

x4cos,例15 设椭圆(为参数)上一点P与x轴正向所成角POx，求

3y23sin.P点坐标．

分析：利用参数与POx之间的关系求解．

解：设P(4cos,23sin)，由P与x轴正向所成角为

，3∴tan323sin，即tan2．

4cos525，sin，55而sin0，cos0，由此得到cos∴P点坐标为(45415,)． 55x2y2例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆221(ab0)上的一点，P到左焦

ab点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2，求证：r1aex0，r2aex0．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．

a2a2解：P点到椭圆的左准线l：x的距离，PQx0，cc由椭圆第二定义，PF1PQe，∴r1aex0． 1ePQaex0，由椭圆第一定义，r22ar说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．

x2y21内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点例17 已知椭圆95P是椭圆上一点．

P坐标；(1)求PAPF1的最大值、最小值及对应的点(2)求PA3PF2的最小值及对应的点P的坐标． 2分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

(1)如上图，2a6，F2(2,0)，AF22，设P是椭圆上任一点，由，∴PF1PF22a6，PAPF2AF2PAPF1PF1PF2AF22aAF262，等号仅当PAPF2AF2时成立，此时P、A、F2共线．

由PAPF∴PAPF1PF1PF2AF22aAF262，等2AF2，P、A、F2共线． 号仅当PAPF2AF2时成立，此时建立A、F2的直线方程xy20，解方程组xy20,5x9y4522得两交点

9***P(2,2)P(2,2)．、127***P点与P2重合时，综上所述，P点与P1重合时，PAPF1取最小值62，PAPF2取最大值62．

(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a3，c2，∴ePF2232．由椭圆第二定义知，∴PQPF2e32PQ3，∴3PF2PAPQ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右29准线方程为x．

2PA∴A到右准线距离为

7．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条2

件的点P坐标(65,1)． 51PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧e说明：求PA用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．

x2y21的参数方程； 例18(1)写出椭圆94(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

x3cos解：(1)(R)．

y2sin(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设

(3cos,2sin)为矩形在第一象限的顶点，(0)，2则S43cos2sin12sin212

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF260．(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

x2y221（ab0），P(x1,y1)（y10）． 2ab思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60KPF2KPF11KPF2KPF13，设P(x1,y1)，F1(c,0)，F2(c,0)，化简可得3x13y12cy13c20．又x1y1222，两方程联立消去得1x3cy12b2cy13b40，由y1(0,b]，可以122ab确定离心率的取值范围；解出y1可以求出PF1F2的面积，但这一过程很繁．

思路二：利用焦半径公式PF在PF1F2中运用余弦定理，1aex1，PF2aex1，求x1，再利用x1[a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出PF1F2的面积．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1PF22a求解． 2222

x2y2解：(法1)设椭圆方程为221（ab0），P(x1,y1)，F1(c,0)，F2(c,0)，abc0，则PF1aex1，PF2aex1． 在PF1F2中，由余弦定理得

1(aex1)2(aex1)24c2，cos6022(aex1)(aex1)4c2a2解得x1． 23e2(1)∵x1(0,a2]，24c2a2a2，即4c2a20． ∴023e∴ec1． a212故椭圆离心率的取范围是e[,1)．

4c2a2x2y2(2)将x1代入221得 2ab3e2b4b2y12，即y1．

3c3c2∴SPF1F211b232F1F2y2cb． 2233c即PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设PF2F1，PF1F2，1m，PF2n，PF则120．

(1)在PF1F2中，由正弦定理得

mn2c． sinsinsin60 ∴mn2c sinsinsin60∵mn2a，∴2a2c，sinsinsin60∴ecsin60sin60 asinsin2sincos2211． 22cos2当且仅当时等号成立．

故椭圆离心率的取值范围是e[,1)．(2)在PF1F2中，由余弦定理得：

12(2c)2m2n22mncos60

m2n2mn (mn)23mn

∵mn2a，22∴4c4a3mn，即mn424(ac2)b2． 33∴SPF1F2132mnsin60b． 23即PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF1PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路．

x2y2例20 椭圆221(ab0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，ab使OPAP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OPAP，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．