线性代数试题答案

线性代数试题答案（精选8篇）

篇1：线性代数试题答案

线性代数习题和答案

第一部分

选择题

(共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12a13a22a23=m，=n，则行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n 1002.设矩阵A=020，则A-1等于（）

0031

3A.00012000

1

B.10001200013

1003

C.010

1002

12D.000010 3013123.设矩阵A=101，A*是A214的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.BC时A=0 D.|A|0时B=C 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A.A =0

C.A0时B=C

A.1 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全为

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

12128.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.设λ0是矩阵3是

A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属

0的线性无关的特征向量的个3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

A的特征方程的3重根，A的属于λ

B.k<3

D.k>3 数为k，则必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A.|A|2必为1

C.A-1=AT

B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）

A.23343426

B. 100

C.023035111D.120102

第二部分

非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.111356

.9253611111116.设A=，B=123.则

124A+2B=

.17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=

.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为

.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

.3 / 7

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=

.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为

.23.设矩阵0106A=133，已知α21082=12是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为

.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为

.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12025.设A=340121，B=1105231（2）|4A|..求（1）ABT；

24026.试计算行列式352112341313.42327.设矩阵A=110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.21301301.，α=28.给定向量组α1=，α，α23=4=22404193试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

12124229.设矩阵A=210333266.23340求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵022A=234432的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x12x223x34x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其导出组Ax=0的一个

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2线性无关。

337137

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1z22z3z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12022403425.解（1）AB=312110T

86=1810310（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=1203402.121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 352111051234131351105110511311300

/ 7

=5111111 55051162620301040.55550=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1223=1101211143153.164所以

B=(A-2E)-114342353110 A=116412338696.=2212928.解一 2130053213011301

0224011234190131121000100005111200088014140002101, 0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二

考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 2x1x23x30x3x112 2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解

对矩阵A施行初等行变换

121000A03209602628232

/ 7

212101210328303200000062000217000283=B.31000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.25/525/15经正交标准化，得η

1，η

25/5=5/15=4.05/3λ=-8的一个特征向量为

1/3ξ=13，经单位化得η2

3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为

T=.5/545/152/305/32/31对角矩阵

D=00010.00825/5215/151/3（也可取T=.）

05/32/35/545/152/331.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.y1x12x22x3x1y12设yy22x2x3，即x2y2y3xyy3x333因其系数矩阵C=12011可逆，故此线性变换满秩。0001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.证

由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0.所以η0，η1，η2线性无关。

/ 7，

篇2：线性代数试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且A.-108 B.-12 则（D）

C.12 D.108 2.如果方程组A.-2 B.-1 C.1 D.2 有非零解,则 k=（B）

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（D）

A.AB=BA B.C.D.4.设A为四阶矩阵，且则（C）

A.2 B.4 C.8 D.12 5.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是(B)A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）

6.向量组α1，α2，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（C）

A.α1，α2，…，αs 全是非零向量 B.α1，α2，…，αs 全是零向量

C.α1，α2，…，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D.α1，α2，…，αs 中至少有一个零向量

7.设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（C）

A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（D）

A.B.秩（A）=秩（B）

C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B 9.与矩阵A=相似的是（A）

A.B.C.D.10.设有二次型则（C）

A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.若则k=_______1/2____.12.设A=,B=则AB=___________.13.设A=, 则A-1=

14.设A为3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _____1______.15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___6_________.16.方程组的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量组α1 =(1,0,0)α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩阵A=的全部特征向量是.19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=__-16_________.20.矩阵A=所对应的二次型是.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算四阶行列式的值.=

22.设A=,求A.A =

23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X

(E-BA)

X= =

X==

24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.α1 α2 α4 为极大无关组。

25.求非齐次方程组的通解

通解

26.设A=,求P使为对角矩阵.=

P= =

四、证明题（本大题共1小题,6分）

27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系.证明α1，α1+α2，α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系．（答案~~略）

线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，R，则有AAAB0。（）

2．A，B是同阶方阵，且3．如果4．若

111(AB)BA。（），则A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

（）A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。

（）5．n维向量组1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

001100100010000020100(B)010(C)001(D)（A）2．设向量组（A）（C）

100012001

1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

12,23,31（B）1,2,31 1,2,2132（D）2,3,223）

12(A2E)（AA5E03．设A为n阶方阵，且。则(A)AE(B)EA(C)11(AE)(AE)33(D)

4．设A为mn矩阵，则有（）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解； A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

B，但|A-B|=0（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；

（C）若（D）若5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）

（A）A与B相似（B）A（C）A=B（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012nn101．。

2．A为3阶矩阵，且满足A3,则A1=______，3A*。

1021112423421570是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。3．向量组，，14241233444R(A)，Axb的三个解，其中A的秩，则方程组Axb的通解为。=3，4． 已知1,2,3是四元方程组

231A1a15．设503，且秩(A)=2，则a=。

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A3421．已知A+B=AB，且221，求矩阵B。2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而AT，求An。

x1x2ax31x1x22x31xax3.已知方程组12x3a2有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

f(x,x22212,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。

2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。

2）A是否可相似对角化？为什么？；（7

篇3：分类例析高考线性规划试题

一、抓思想方法———以不变应万变

数学思想不是凭空存在的, 简单线性规划是数形结合思想的天然载体之一.在复习时, 要明晰简单线性规划所运用的数学知识及渗透的数学思想, 要注意培养学生的迁移能力, 加强数形结合思想 (形神兼备, 有形才能行) , 并重视数学阅读, 渗透分类讨论和化归与转化的数学思想.能准确画出可行域, 掌握求目标函数的最值的方法, 切忌随手一画导致错解, 考试中常需利用目标函数或可行域的几何意义求解, 在复习时要加以关注.

二、聚焦高考线性规划的经典问题

(一) 考常规, 走平常路———“人易我易我不大意”

考查线性约束条件表示的平面区域的面积, 求线性目标函数的最优解等, 属于容易题, 要做到“人易我易我不大意”.

例1 (2016年全国卷Ⅲ) 若x, y满足约

(二) 关注应用

应用问题体现数学的实践性, 永远是热点.

例3 (2015年陕西卷) 某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示, 如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元, 则该企业每天可获得的最大利润为 () .

(A) 12万元 (B) 16万元

(C) 17万元 (D) 18万元

解析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨, 则利润z=3x+4y.

当直线3x+4y-z=0过点A (2, 3) 时, z取得最大值, 所以zmax=3×2+4×3=18.故选D.

(三) 参数化———动态风景

高考命题有意识让经典继续流行, 从而流行又成为经典, 线性规划中的含参问题便是一种流行的经典.常见类型有:已知可行域的形状或面积, 探究约束条件中参数的值或取值范围 (如例4) ;已知最优解或最优值, 探究目标函数中参数的值或取值范围 (如例5) ;已知最优解或最优值, 探究约束条件中参数的值或取值范围 (如例6) ;约束条件和目标函数中均有参数 (如例7) .

(C) 2或1 (D) 2或-1

解析:画出约束条件表示的平面区域, 如图4中阴影部分所示.z=y-ax取得最大值表示直线z=y-ax向上平移移动最大, a表示直线的斜率, 要使目标函数取得最大值的最优解不唯一, 则有两种情况:a=-1或a=2.故选D.

(A) -2 (B) -1

(C) 1 (D) 2

(A) -5 (B) 3

(C) -5或3 (D) 5或-3

(四) 顺水推舟, 适当拓展

例8 (2015年新课标全国卷Ⅰ) 若x, y

(A) 4 (B) 9

(C) 10 (D) 12

解析:不等式组表示的可行域是以A (0, -3) , B (0, 2) , C (3, -1) 为顶点的三角形区域, x2+y2表示点 (x, y) 到原点距离的平方, 最大值必在顶点处取到, 经验证最大值为|OC|2=10.故选C.

例10 (2015年浙江卷) 若实数x, y满足x2+y2≤1, 则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.

故填3.

评注:本题以线性规划为背景, 可行域是圆及其内部, 利用直线与圆的位置关系的判定, 将目标函数的两个绝对值符号中先去掉一个, 再利用分类讨论的思想去掉另外一个绝对值符号, 最后利用线性规划知识求解.

(五) 交汇成为主流

在“知识交汇处命题”的高考原则下, “学科内综合”成为追踪的热点, 从线性规划进入教材以来, 高考从简单平常走向“无极限”精彩, 线性规划与主干知识的交汇与“联姻”就是一种展示, 在纵横交错、多方联系中考查学生的综合与创新能力.线性规划可与命题 (如例11) 、函数 (如例12) “牵手”;可与向量 (如例13) 、程序框图 (如例14) “交叉渗透”;可与解析几何 (如例15) “联姻”;可与概率 (如例16) “嫁接”等等.

(A) 必要不充分条件

(B) 充分不必要条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

解析:如图9, (x-1) 2+ (y-1) 2≤2表示圆心为 (1, 1) , 半径为槡2的圆内区域所有点 (包括边界) ;

所以 (x, y) = (m+2n, 2m+n) .

例14 (2014年四川卷) 执行如图12所示的程序框图, 如果输入的x, y∈R, 那么输出的S的最大值为 () .

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 3

解析:将程序框图问题转化为最常见的线性规划问题.答案为C.

例16 (2015年湖北卷) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A, B两种奶制品, 生产1吨A产品需鲜牛奶2吨, 使用设备1小时, 获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨, 使用设备1.5小时, 获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍, 设备每天生产A, B两种产品的时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨) 是一个随机变量, 其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产, 使其获利最大, 因此每天的最大获利Z (单位:元) 是一个随机变量.求Z的分布列和均值.

解析:设每天A, B两种产品的生产数量分别为x吨, y吨, 相应的获利为z元, 则

目标函数为z=1 000x+1 200y.

所以最大获利Z的分布列为

所以E (Z) =8 160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9 708.

(六) 乔装———更显风采

乍一看是函数、导数、数列等问题, 脱下耀眼的其他章节知识形式的外衣, 它们具备线性规划的条件, 用线性规划一解即得正确答案, 这就是乔装打扮的“包装”线性规划问题.乔装的线性规划给人耳目一新、云开雾散之感, 培养学生的“智慧视力”, 让学生有一双“慧眼”.

例17 (2008年四川卷) 设等差数列{an}的前n项和为Sn, S4≥10, S5≤15, 则a4的最大值是.

(七) 隐藏性问题———“我难人难我不畏难”

近几年高考隐藏性线性规划崭露头角, 主要是隐藏约束条件或目标函数, 需要通过换元、搭桥、变形等价转化为熟悉的线性规划问题.考查学生的迁移能力、化归与转化思想和数形结合思想.

解析:条件5c-3a≤b≤4c-a, cln b≥a+cln c可化为

作出 (x, y) 所在的平面区域, 如图14中阴影部分所示.求出y=ex过原点的切线为y=ex.

易判断切点P (1, e) 在顶点A, B之间.

篇4：2015年高考线性规划试题研究

1 线性规划问题的常规求解

常规的线性规划问题求最优解，要明确线性规划问题求解的基本步骤，即在作出可行域，理解目标函数z的意义的基础上，通过平移目标函数所在直线，最终寻求最优解.

例1 （2015年陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（  ）.

A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元

甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128

解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y，

由题意可列3x+2y≤12，

x+2y≤8，

x≥0，

y≥0，该不等式组表示的平面区域如图1所示阴影部分：

图1

易知目标函数z=3x+4y所在直线y=-34x+z4过点A（2，3），即x=2，y=3时，z取得最大值，zmax=3×2+4×3=18，故选D.

实际问题涉及的线性规划问题求解，不同于纯数学形式的线性规划问题，尤其最优解，要遵循实际问题所在的意义.类似教材中钢板张数，人力资源分配，车辆配备等问题要寻求最优整数解等，都不同于一般的数学求实数解问题，这在求解过程中尤其注意.

练习 （2015年天津）设变量x，y满足约束条件x+2≥0，

x-y+3≥0，

2x+y-3≤0，则目标函数z=x+6y的最大值为（  ）.

A.3   B.4   C.18   D.40

（答案C.）

2 线性规划问题中的参数求解

在线性规划问题中，常常遇到借助于不等式组，或者目标函数设置一些参数，利用已知的目标函数z的最值，来求出参数值的题目.这类线性规划问题的求解，方法上仍要遵循线性规划问题的求解步骤，但在求解中涉及到分类讨论，数形结合等数学思想.

例2 （2015年山东）已知x，y满足约束条件x-y≥0，

x+y≤2，

y≥0.  若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）.

A.3  B.2   C.-2  D.-3

图2

解析 由z=ax+y得y=-ax+z，借助图形2可知：

当-a≥1，即a≤-1时，在x=y=0时有最大值0，不符合题意;

当0≤-a<1，即-1<a≤0时，在x=y=1时有最大值a+1=4，a=3，不满足-1<a≤0;

当-1<-a≤0，即0<a≤1时，在x=y=1时有最大值a+1=4，a=3，不满足0<a≤1;当-a<-1，即a>1时在x=2，y=0时有最大值2a=4，a=2，满足a>1;故选B.

本例中参数a在目标函数所在直线方程中的意义与斜率有关，即直线的斜率k=-a，故如何利用条件中的函数最大值4求参数a成为解题关键，或者说目标函数所在直线经过不等式组所示区域的哪一点取到最大值成为参数a分类讨论的依据.

3 非线性目标函数的最值求解

在线性规划问题中，我们常常会遇到一些非线性目标函数的求解问题.

例3 （2015年四川）设实数x，y满足

2x+y≤10，

2+2y≤14，

x+y≥6，

则xy的最大值为（  ）.

A.252  B.492

C.12  D.14  图3

解析 不等式所示平面区域如图3，

当动点（x，y）在线段AC上时，此时2x+y=10，据基本不等式知道，非线性目标函数z=xy=12（2x·y）≤12（2x+y2）2=252，当且仅当x=52，y=5时取等号，对应点落在线段AC上，故最大值为252，选A.

本例中，目标函数z=xy，借助于直线方程2x+y=10，通过变形xy=12（2x·y）联想到不等式2x·y≤（2x+y2）2，从而找到目标函数xy的最优解.类似非线性目标函数x2+y2，y-bx-a等形式都要在理解函数意义的基础上寻求最优解.

练习 （2015年新课标卷）若x，y满足约束条件x-1≥0，

x-y≤0，

x+y-4≤0， 则yx的最大值为   .

（答案3.）

4 线性规划问题的综合运用

有些数学问题如果转化为线性规划问题会得到简捷的解法，当然这要求对问题有着较深刻的理解，要善于利用转化和划归思想转化为线性规划问题.

例4 （2015年浙江理科）若实数满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是    .

解析 条件x2+y2≤1表示圆x2+y2=1及其内部，易得直线6-x-3y=0与该圆相离，故|6-x-3y|=6-x-3y，设函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|，

当2x+y-2≥0时，则x2+y2≤1，

2x+y-2≥0，所示平面区域如图4所示，可行域为小的弓形内部，易知目标函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，

故目标函数z=x-2y+4所在直线y=12x-z2+2过点A（35，45）时z最小，即x=35，y=45时，zmin=4;

图4

当x-2y+4<0时，z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域为大的弓形

内部，同理可知目标函数z=8-3x-4y所在直线y=-34x-z4+2过点A（35，45）时z最小，当x=35，y=45时，zmin=4.

综上，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.

本例中，利用直线与圆相离的位置关系，化简|6-x-3y|=6-x-3y，再利用分类讨论的思想将原来的问题化简|2x+y-2|+|6-x-3y|为目标函数z=x-2y+4或者z=8-3x-4y，就将较复杂的问题转化为线性规划问题从而求解.

篇5：线性代数试题答案

③A

④B

二、填空题： [教师答题时间：4分钟]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 线性相关

③ 0

④-8

三、计算题 [教师答题时间： 6 分钟]（共16分）

1、aDnbbbab......1bbababbab0n1a(n1)ba(n1)ba(n1)b......bb（4分）a......b0bab......bba解: [a(n1)b]111

＝[a(n1)b]00（2分）ab＝[a(n1)b](ab)（2分）

2、1解：A3100224011211202201110121(3分）514(3分）50 45(2分）2

四、综合题 [教师答题时间： 7 分钟]（共15分）

骣1çç(a1,a2,a3,a4)=ç1çççç-2桫骣1珑珑?珑0珑珑珑珑0桫骣1çç解：?ç0çççç0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16骣2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以极大无关组是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五题、综合题 [教师答题时间： 8 分钟]（共10分）

1解:A,b1110011(3)111111200(1)(4分）2(21)2∴当＝－3时，线性方程组无解（2分）

当0且3时，线性方程组有唯一解（2分）当＝0时，线性方程组有无穷解（2分）六题、解答题 [教师答题时间： 5 分钟]（共10分）

1A3510001025325(2分）310021021(2分）001(2分）0

00∴通解为x=c-1(2分），故基础解系为c-1(2分）11七题、解答题 [教师答题时间：10 分钟]（共12分）3解：E－ A012124101=(1)(45)(2分）所以A的特征值为11,23i2(2分）4当1，EA011202140000100200所以1对应的特征向量为C12(C10)(3分）11ii2时，A-E=01101i0i11i3140021i100104i32i32i20

i3所以i2时对应的特征向量为C22i2(C20)(3分）1显然A不能相似对角化(2分）八题、证明题 [教师答题时间： 7 分钟]（共13分）

11)证明：（1，，）＝（，，）22312301设K=2002310,显然K0,∴K可逆（2分）302310（2分）3-1 ∴（1，，）=（，，2）K2313

篇6：线性代数试题答案

解

设5A22 8B153------------2分

21则

1 8323----------6分 5212B15258A12125于是

5200210000850120010AA125003B1B0023200581-------10分

三、T设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知1 2 3

T是它的三个解向量 且 1(2 3 4 5) 23(1 2 3 4)求该方程组的通解（12分）

解：由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量

且由于1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得

21(23)(12)(13)(3 4 5 6)T

为其基础解系向量------10分

故此方程组的通解为：

xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T(kR)---------------------12分

四、TT已知R的两个基为

TTTT3a1(1 1 1) a2(1 0 1) a3(1 0 1)； b1(1 2 1) b2(2 3 4) b3(3 4 3) 求由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵P（12分）解：设e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则

1111-------111------4分(a1, a2, a3)(e1, e2, e3)100(e1, e2, e3)(a1, a2, a3)100111111于是

111123---------------------------10分 123-----------(b1, b2, b3)(e1, e2, e3)234(a1, a2, a3)1002341431111431由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵为

111123234-----------------------12分

P100234010111143101

1五、设 x1x2x31问为何值时 此方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解?（15分）x1x2x32x1x2x3解

----------6分 111112rB11~ 011(1)11200(1)(2)(1)(1)2

(1)要使方程组有唯一解 必须R(A)3 因此当1且2时方程组有唯一解.-----9分

(2)要使方程组无解 必须R(A)R(B) 故

(1)(2)0(1)(1)20

因此2时 方程组无解--------------12分

(3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A)R(B)3 故

(1)(2)0(1)(1)20

因此当1时 方程组有无穷多个解.-15分

六、（1）判定向量组(1 3 1)(2 1 0)(1 4 1)是线性相关

还是线性无关；（2）试用施密特法把向量组TTT111 正交化（16分）。(a1, a2, a3)124139解：(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为

121r121r121---------------------------6分

A314~077~011101022000

所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关----------------------------8分（2）根据施密特正交化方法

1--------

1-----------------------------8分 1-----------[b1,a3][b2,a3]1[b1,a2]b1a11babb2b2a2b1033121[b,b][b,b]31[b1,b1]11221

七、已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3 求A35A27A（10分）

解

令()3527-----2分 则(-1)-13 (2)2 (3)3是(A)的特征值--------6分 故 |A35A27A||(A)|(1)(2)(3)-1323-78------------------------------10分

求一个正交变换将二次型解

二次型的矩阵为f(x1,x2,x3)2x13x23x34x2x3化成标准形（15分）

222由 200--------------------2分 A032023 200AE032(2)(5)(1)023得A的特征值为12 25 31-------------------------5分

当12时, 解方程(A2E)x0 由



000012A2E012~001021000得特征向量(1 0 0)T 取p1(1 0 0)T------------------7分

当25时 解方程(A5E)x0 由

300100A5E022~011022000得特征向量(0 1 1)T 取



p2(0, 1, 1)T--------9分

22100100AE022~011022000

当31时 解方程(AE)x0 由

得特征向量(0 1 1)T 取------11分 p3(0, 1, 1)T22

篇7：线性代数试题答案

A*试卷说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵（行列对换）；A表示A的伴随矩阵； A=（重要）

AT

*

-1求A-1 和A*时，可用这个公式，A*太复杂了自己看看

10020r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位矩阵。E010

2E020010000,每一项都乘2 2

一、单项选择题

[ ]表示矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵；|

|表示行列式，计算后为一个数值，行列式相乘为数值运算

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中α（为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=(C)ii=1,2,3）A.-12 C.6

B.-6 αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列 D.12 3 0 2 0 2 10 5 02.计算行列式=（A)=3*-2*10*3=-180

0 0 2 02 3 2 3A.-180 C.120

B.-120 D.180

33.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=（C)=2A.| A |=8*1/2=4 2B.2 D.8 C.4 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有（B)n+1个n维向量线性相关 A.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示

B.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

B.3

n-r(A)=解向量的个数=2,n=6 D.5 5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=（C)A.2 C.4 6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则（C)A与B合同 r(A)=r(B)PTAP=B, P可逆 A.A与B相似 C.A与B等价

B.| A |=| B | D.A与B合同

7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=（D)，| A |=所有特征值的积=0

A.0 C.3

B.2

A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2 D.24 8.若A、B相似，则下列说法错误的是（B)．．A.A与B等价 C.| A |=| B |

B.A与B合同

D.A与B有相同特征值

A、B相似A、B特征值相同| A |=| B | r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价）9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=（D)

A.-2 C.2

B.0 D.4

T0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=4

10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（B)，所有特征值都大于0，正定； A.A正定

B.A半正定

所有特征值都小于0，负定；

C.A负定

D.A半负定

所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。3 211.设A=0 1,B=2 42 1 10 1 0，则AB=（A的每一行与B的每一列对应相乘相加）

a12a13a22a如a21表示第二2下标依次为行列，3a32a333*22*03*12*13*12*0653a110*11*00*11*0=010

a21=0*21*02*24*02*14*12*14*0422a31行第一列的元素。

A为三行两列的矩阵即3×2的矩阵，B为2×3的矩阵，则AB为3×3的矩阵，对应相乘放在对应位置

12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A

-|= 33| A-1 |=27*

1=9 Ax1x2x3113.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.扩充为0x200，再看答案

00x3014.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_____跟高中单位向量相同____________.15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.116.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，1，则| 5A-1 |=____同12题__________.217.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.若矩阵A的行列式| A |0，则A可逆，即A A-1=E，E为单位矩阵。Ax=0只有零解| A |0，故A可逆

若A可逆，则r(AB)= r(B)=3，同理若C可逆，则r(ABC)= r(B) 2 1 02218.实对称矩阵A=1 0 1 所对应的二次型f(x1, x2, x3)=2x1x32x1x22x2x3

 0 1 1x12实对称矩阵A 对应于x1x2x1x3x1x22x2x2x3x1x3x2x3各项的系数 2x31119.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=2，α2= 2且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.3 3120.设α=2，则A=ααT的非零特征值是_______________.3

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21.计算5阶行列式D=

0 0 2 0 0 1 0 0 0 222.设矩阵X满足方程

2 0 01 0 01 4 3

0 1 0X0 0 1=2 0 1 0 0 20 1 01 2 0求X.23.求非齐次线性方程组

x1x23x3x413x1x23x34x44的x5x9x8x02341.24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组. 2 1 225.已知A= 5 a 3的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值1 b 2的全部特征向量.2 1 1 226.设A= 1 2 1 a，试确定a使r(A)=2. 1 1 2 2

四、证明题（本大题共1小题，6分）

篇8：线性代数试题答案

考试是学校教学工作的不可缺少的重要环节,组织考试是为了让学生通过这个形式来检验自己的学习成果和检查老师的教学质量。那么,它不仅仅是为了检查学生有没有达到目标而存在的,更是不断完善教学的过程以及对课程进行改进的最佳依据,指导学生更快的调整学习方向,并将获得的考试信息做进一步的加工后进行的反馈,这些就是教学和教务方面的常态,只有这样才能有效的通过考试这个手段真正有效的促进教学。那么,行之有效的试题分析系统就成为教学评价的不可缺少的助手了。实际上,单纯的考试分数并不一定能客观有效的评价学生的真实学习效果,就更难以成为促进教学水平提高的客观依据[1]。科学、量化的试题质量分析系统,能针对试题的内容、难易、结构和题型发现问题,发挥其指导意义。

2 线性回归分析

2.1 回归分析基础

回归分析[2]是确定两种或两种以上变量之间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法,即根据相关关系的具体形态,选择一个合适的数学模型,来近似地表达变量间的平均变化关系。

2.2 变量的设定

我们将考生的总分看作一个随机变量,用X来表示。将考点的得分看作另一个随机变量,用Y来表示。如表1所示,x1,x2,...,xm表示随机变量X的所有可能取值,y1y2,...,yn表示随机变量Y的所有可能取值,aji表示总分为xi且考点分为yj的考生人数或者是该人数占总人数的比例。

2.3 数据的预处理

数据来源是全国自考某门课程的考试成绩,选取了其中的两个考点进行分析,样本容量是714。

为了方便,对于总分X,将其可能区间[0,100]等分为10个小区间,即[0,9]、[10,19]、[20,29]、[30,39]、[40,49]、[50,59]、[60,69]、[70,79]、[80,89]以及[90,100],并依次用0至9进行标识。

对于考点2的得分,利用最小最大规范化[3]对原始得分进行变换,使取值全部落在[0,10]这个范围内,变换也是为了使其结果与总分具有可比性,变换的公式0 ,其中min和max分别是考点得分的最小值和最大值。

经过上述数据的预处理后,两个考点的相关性表见表1和表2,其中表1有11×10个元素,即 (xi,yj,aji) ,i = 1,2,...,10 ;j = 1,2,...,11。表2有10×10个元素,即 (xi,yj,aji) ,i = 1,2,...,10 ;j = 1,2,...,10。这里的aji即为 (xi,yj) 的权数wji。

2.4 数据的分析

从相关性表上可以看出,考点得分变量Y与总分变量X之间存在较为明显的线性关系。因此,我们首先利用线性回归的方法,求出Y对X的回归方程。

对于表1的计算结果,2阶格兰姆矩阵为:

从而,正规方程[4]的形式为Gα = d.

经过计算,正规方程的表达式为由此解得α0= 4.780, α1= 0.523.

于是回归方程为y = 4.780 + 0.523x. 从而y(xmax)= y(9)= 9.486.

另外,考点得分与总分之间的相关系数为:

平均值E(Y)= 7.436 ,故难度系数为

类似地,对于表格2的数据处理结果,回归方程为:

y = -2.739 + 1.178x. 即起步分为-2.739,区分度为1.178。

期望最高分为y(xmax)= y(9)= 7.863. 平均值为E(Y)= 3.251.()

难度系数为. 考点得分与总分之间的相关系数为ρXY= 0.81194.

2.5 结果的解释

上述求解的结果列在表格3中。

本例中的第一考点为判断题,第二考点为算法分析题,通过比较能明显看出第一考点的难度远远低于第二考点。

1) P(难度系数[5])值分析:判断题难度系数为0.2564,远小于算法分析的难度系数0.6749。这主要由于判读题的考查的内容难度较小,并且题目本身带有一定的偶然性,即使总分不高的考生也有机会选对正确的答案;但是算法分析题则不然,它对考生基础知识的掌握的广度和深度都有较高的要求,偶然性的得分概率非常低[6]。

2) α0起评分)值分析[7]:由于两题的难度系数的差异较大,从而导致起评分的差距也相应拉开,判断题的α0>0,表示起评分较高,算法分析题的α0<0表示起评分较低。α0值变化最好在0值附近,过小或者过大都不是理想的结果。

3) y(xmax) (期望最高分)值分析:由于判断题难度比较低,它的y(xmax) 值是9.486接近于10,并且远大于算法分析题的y(xmax) 值7.863,这对于总分较高的考生是有利的。

4) α1(区分度)值分析:算法分析题的区分度α1值为1.178更接近于1,远大于判断题的α1值为0.523,具有更好的区分度,总分较高的考生在此题上和总分较低的考生更容易拉开差距,这与算法分析题难度也有直接的关系,由此可以看出基础知识掌握更加全面和对考点知识理解更深的考生将得到更好的分数[8,9,10]。

5) ρXY(总分相关性)值分析:算法分析题ρXY值为0.81194远大于判断题的ρXY值0.60062,ρXY值越趋近1越好,由此能看出算法分析题和总分的相关性关联度更高,也更能反映出考生对课程知识的掌握程度和广度,可以更加完整的体现考生的总体水平[11,12]。

3 结论

本文利用线性回归模型对试题质量进行分析。所采用的数据选自某年的全国自考统计结果,数据真实有效,因此分析结果具有真实性和科学性。本章从中选取了两种类型的题目,由于数据的不规范性,首先通过最大最小规范化的方法对数据进行先期的预处理。然后从难度系数、起评分、期望最高分、区分度、总分相关性对两种题型进行了分析,最后得出结论:难度系数较大的题目起评分较低,期望最高分也较低,但是具有更好的区分度,同时与总分的相关性也更高。

摘要：现行指标都是根据不同的考生对同一题的答题结果来评价该题的难度、区分度,然后综合各题的难度、区分度得出整个试卷的难度和区分度。但是这些方法忽略了一个重要的问题,就是没有考虑同一考生对不同题间的难易感觉,从而没办法据此得出每个考生对不同知识点的掌握情况,不能据此因材施教。从不同考点的学生考试成绩入手,借助线性回归的数理统计方法,对试卷质量进行分析。提出的线性回归的方法在应用中取得了比较好的效果,为今后更好地编制试题和提高教学质量提供了更加有力的依据和方向。