浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

浅析基矩阵在线性代数教学中的应用（共7篇）

篇1：浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

湖州师范学院理学院 刘 东

摘要：本文主要研究基矩阵在线性代数中矩阵乘法运算的几何意义、乘法运算律、线性空间等方面的应用。

关键词：基矩阵，矩阵运算，线性空间 中图分类号：O151.2 文献标识码： A

1．引言

矩阵理论是线性代数的核心内容之一，也是高等数学后续学习的基础。因此，矩阵理论的学习是学生学好线性代数的关键。而在矩阵理论的教学中，基矩阵的有关应用往往被忽略，本文详细的谈谈基矩阵在线性代数教学中的应用。

所谓的基矩阵就是这样的一些矩阵，它们只有一个元素为1，其余元素为零，这些矩阵记为{Eij，1im,1jn}。之所以称它们为基矩阵，是因为任何一mn矩阵都可以被这些基矩阵唯一地线性表出。事实上，基矩阵的有关性质和运算在后续的学习中，特别是在《矩阵论》、《表示论》、《李代数》、《量子群》等学科的学习中起重要作用。即使它们在线性代数的学习中也起着较大的作用，这篇论文主要研究基矩阵的运算在矩阵乘法运算定义、运算律、线性空间等方面的应用，而这些正是现在的各种高等代数教材与辅导书中普遍所欠缺的。

2.在学习矩阵乘法时的应用

2.1 解释矩阵乘法的几何意义

矩阵乘法的法则一直是学生难以理解的，所以在教学过程中往往是以直接灌输为主。有些论文（如）也讨论了矩阵乘法的一些几何意义，但都是从变换的合成的角度来说明矩阵乘法（本质上是矩阵乘法与线性变换乘法的对应关系，见[1],[2]）。如果在教学中结合基矩阵的乘法法则，来解释矩阵乘法的几何意义，则学生更容易理解。容易看出，基矩阵的乘法公式如下：

EijEkljkEil---------------------------(1)用图形表示如下：

图1 用Eii表示第i个顶点，而当ij时，用Eij表示连接第i与j顶点的有向箭头，则上述乘法法则反映的就是图论中道路的乘法。作者简介： 刘东(1968---), 男，理学博士，副教授，主要从事李代数研究工作和代数学教学工作。本论文受浙江省自然科学基金(No.Y607136)、浙江省钱江人才计划(No.07R10031)和浙江省新世纪教改项目“高师院校数学系专业基础课的教学与教材改革”资助。应用此法则也可以倒推出矩阵乘法法则：设A(aij)mn,B(bkl)np，则Aa1im1jnijEij,Bb1km1lnklEkl，从而

nAB(a1im1jnijEij)(b1km1lnklEkl)a1im1km1jn1lnijbklEijEkla1im1km1jn1lnnijbkljkEil(a1im1lpk1ikbkl)Eil这就是矩阵乘法法则：设AB(cij)mp，则cijak1ikbkj。这样学生能更好地理解矩阵乘法的意义。

2.2 说明一些运算律

矩阵乘法的运算律与普通的乘法有很大不同，学生难以理解，如转用基矩阵来阐述则显得通俗易懂。例如从（1）很容易看出矩阵乘法交换律不再成立，乘法有非零因子。尤其强调的是在验证结合律时，如应用基矩阵则非常通俗易懂。因为任意一个矩阵都是基矩阵的线性组合，所以只需对基矩阵验证乘法满足结合律就可以了。而对于基矩阵，验证是很容易的：

(EijEkl)EpqjkEilEpqjklpEiq

Eij(EklEpq)lpEijEkqjklpEiq或者从图1中也容易直接看出。

3.求矩阵代数Mn(P)的中心

求矩阵代数Mn(P)的中心问题是高等代数的一道典型习题(见[3])，按照教材体系学生很难想到用基矩阵，如果我们在教学矩阵乘法之前介绍“任意一个矩阵都是基矩阵的线性组合”的思想，则“与任意矩阵可换”就转化为“与任意基矩阵可换”的等价命题。而根据Aa1in1jnijEij与任意Ekl可换，我们得到

a1in1jnijEijEkla1in1jnijEklEij，即a1inikEila1jnkjEkj.从而得到当ij时，aij0且aiiajj.因此，A 是一数量矩阵，即矩阵代数Mn(P)的中心为{kE|kP}。更进一步，在求矩阵代数的各种特殊子代数（见下一节）的中心时，也需要借助这些基矩阵。

4.刻画一些特殊矩阵构成的子空间 众所周知，刻画线性空间主要是刻画它的基，而基矩阵在刻画各种矩阵生成的线性空间起着重要作用。如在数域P上所有nn阶矩阵空间中，经常研究下列几种重要的子空间（矩阵代数Mn(P)的子代数）：（1）所有nn阶迹为零矩阵构成的子空间：它的一组基为{EiiEi1,i1,1in1, Eij,1ijn}，其维数为n21。

（2）所有nn阶上三角矩阵构成的子空间：它的一组基为{Eij,1ijn}，其维数为n(n1)。

21（3）所有nn阶对称矩阵构成的子空间：它的一组基为{Eii,1in，EijEji,1ijn}，其维数为n(n1)。

211（4）所有nn阶反对称矩阵构成的子空间：它的一组基为{EijEji,1ijn}，其维数为n(n1)。

2上述这些特殊子空间在后续学习中十分重要。

综上所述，基矩阵的性质与运算在线性代数的教学中起着重要作用，对学生建立线性空间的有关思想时起着决定作用。因此在教学中要特别注意强化基矩阵的教学与应用。

参考文献：

[1] 李长明.矩阵乘法的来源与意义[J].贵阳：贵州教育学院，2002，(04).[2] 刘学质.线性替换与矩阵乘法[J].重庆： 重庆教育学院学报，2005，(03).[3] 北京大学数学系几何与代数教研组编.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988.Study on some applications of basis matrices in

Linear Algebra

Liu Dong The School of Science, Huzhou Teachers college

Abstract：In this paper we mainly study somg applications of basis matrices in Linear algebra: the definition and laws of matrix multiplication, linear spaces and linear translations.Keywords：Basis matrices，matrix multiplication，linear spaces 3

篇2：浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

关键词 矩阵 行列式 线性方程组 二次型

线性代数是研究线性空间和线性变换的一门学科。

它具有很强的抽象性，而矩阵是由抽象转化为具体的重要桥梁与纽带，并把相关的运算转化为矩阵的简单运算，使线性代数的研究在一定程度上化复杂为简单、变抽象为具体和变散乱为整齐有序。

1 矩阵为行列式的计算提供了新的技巧和方法

我们计算行列式常常用定义法、化为三角形法、递推法、数学归纳法、加边法和降阶法但是在学习了矩阵理论知识后，矩阵为行列式的计算提供了新的技巧和方法.

注：此例的关键是利用分块初等变换把行列式化成容易计算的分块上三角形行列式。

由以上可以看出矩阵对行列式的计算具有一定的指导作用，应用矩阵可以使行列式的计算变的简单和容易操作。

2 矩阵是解线性方程组的最佳工具

故原方程组的一般解为，其中是自由未知量。

通过引入矩阵秩的概念，解决了线性方程组有解的判定问题;引入矩阵及矩阵的行(列)初等变换概念，使线性方程组与矩阵(增广矩阵)一一对应，将线性方程组的初等变换抽象为矩阵的行初等变换。

线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.从而用矩阵来研究线性方程组使得问题变得简单明了。

3 矩阵是化简二次型的“好帮手”

总之，矩阵理论在线性代数中具有重要的作用，对线性代数的学习有不可忽视的指导作用。

我们从对矩阵理论的认识和矩阵理论与线性代数的.联系来论述了矩阵理论的重要作用。

不仅加深了对矩阵理论的认识与掌握，而且得到了用矩阵理论来解决相关问题的重要方法和一般步骤。

矩阵理论不仅在线性代数中有重要的作用，还在图论、统计学和经济等许多科学中有重要作用。

矩阵理论中的许多思想和方法极大地丰富了数学的代数理论。

随着人们对科学研究的深入，矩阵理论的应用愈来愈广，作用越来越突出，矩阵理论自身的发展将会更加完善。

矩阵的其它理论在线性代数中的作用将有待于进一步来研究。

参考文献

[1] 胡金得，王飞燕.线性代数辅导(第三版)[M].北京：清华大学出版社，.

[2] 邓勇.矩阵：线性代数的重要工具[J].思茅师范高等专科学校学报，(3)：55-56.

[3] 朱仁先.关于矩阵若干问题的探讨[J].滁州学院学报，2005(3)：111-113.

[4] 北京大学数学系几何与代数教研室高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5] 胡金得，王飞燕.线性代数辅导(第三版)[M].北京：清华大学出版社，2003.

线性代数中矩阵的应用【2】

摘 要：伴随着社会经济的快速发展，信息技术的进步，数学应用领域也得到了扩展，已从传统物理领域扩展至非物理领域，于当前现代化管理、高科技的发展以及生产力水平的提升中有着非常重要的作用。

下面笔者就线性代数中矩阵的应用进行研究，借助于关于矩阵应用的典型案例来分析，以加深人们对矩阵应用领域的认识。

关键词：代数 应用 线性 矩阵

线性代数作为数学分支之一，是一门重要的学科。

在线性代数的研究中，对矩阵所实施的研究最多，矩阵为一个数表，该数表能变换，形成为新数表，简而言之就是若抽象出某一种变化规律，可借助于代数理论知识来对所研究的这一数表实施变换，以此获得所需结论。

近年来，随着社会经济发展速度的加快，科学技术水平的提高，线形代数中矩阵的应用领域也变得更为广泛，本文就线性代数中矩阵的应用进行详细地阐述。

1 矩阵在量纲化分析法中的应用

大部分物理量均有量纲，其主要分为两种，即基本量纲与导出量纲，其中基本量纲有社会长度L、时间T以及质量M，其他量均为导出量。

基于量纲一致这一原则，等号两端的各变量能构建一个相应的线性方程组，经矩阵变换来解决各量之间所存关系。

比如勾股定理证明，假设某RT△斜边长是c，两直角边长各为a和b，在此如果选△面积s，斜边c，两锐角a和β为需研究变量，则必定有以下关系，即，该公式中所存量纲有四个，其中有三个为基本量纲，则必然有一个量为无量纲，把上述量纲列成为矩阵，所获矩阵图形如，其中每一列表示一个变量量纲数据。

基于该矩阵，所获解线性方程为，综合上述方程可得解，即x11为2，x21为0，x31为0，因此，可得关系式，该公式中λ表示唯一需明确的无量纲量，从该公式可知RT△面积和斜边c平方之间成比例。

在此，于该三角形斜边做一高，把其划分为两个形似三角形，其面积各为s1与s2，此时，原RT△的边长a和b则是两个相似小三角形的斜边。

通过上述内容可知所获原理和结论相似，则有s1=λa2与s2=λb2，因s1+s2=s，对此，基于此，可证明勾股定理，即为。

由于量纲分析在运算上所涉及到的内容仅有代数，对此，若进行的试验十分昂贵，一般在实验前，人们倾向于事先在不同的假设下构建若干的相似模型，接着择优选择来进行实验。

从侧面上来讲，这种方法对于部分常数还起到一定的压缩或者恢复的作用。

2 矩阵在生产总值和城乡人口流动分析中的应用

2.1 生产总值

3 结语

综上所述，经线性代数中矩阵在不同领域中应用案例的分析可知，矩阵所具潜能非常的大，伴随着信息技术水平的提高，网络技术的进步，矩阵的应用也会更加深入。

由于各学科间、各行业之间的交叉变得越来越频繁，且界限也变得越来越模糊，在这种形势下，数学这门学科所具基础性也更为明显，对此，在学科研究与行业研究中融入数学，不仅可使研究更加具有说服力，同时还可使研究变得更为简洁，获得更为合理且科学的研究成果。

参考文献

[1] 侯祥林，张宁，徐厚生，等.基于动态设计变量优化方法的代数黎卡提方程算法与应用[J].沈阳建筑大学学报：自然科学版，，26(3)：609-612.

[2] 黄玉梅，彭涛.线性代数中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学学报：自然科学版，，45(Z1)：123-125.

[3] 殷婷，王杰.多机系统Hamilton实现的Hessian矩阵正定判定与应用[J].电力系统保护与控制，(23)：16-22.

[4] 朱瑞可，李兴源，赵睿，等.矩阵束算法在同步电机参数辨识中的应用[J].电力系统自动化，，36(6)：52-55，84.

篇3：矩阵理论在线性代数中的应用

1 矩阵为行列式的计算提供了新的技巧和方法

我们计算行列式常常用定义法、化为三角形法、递推法、数学归纳法、加边法和降阶法但是在学习了矩阵理论知识后,矩阵为行列式的计算提供了新的技巧和方法.

例1计算行列式:

解:由于原行列式的第行,第列元素可分解为:

故原行列式所对应的矩阵可分解为以下两个矩阵的乘积:

注:此例的关键是矩阵的分解。

注:此例的关键是利用分块初等变换把行列式化成容易计算的分块上三角形行列式。

由以上可以看出矩阵对行列式的计算具有一定的指导作用,应用矩阵可以使行列式的计算变的简单和容易操作。

2 矩阵是解线性方程组的最佳工具

例3解线性方程组

解:原线性方程组的增广矩阵进行初等变化

通过引入矩阵秩的概念,解决了线性方程组有解的判定问题;引入矩阵及矩阵的行(列)初等变换概念,使线性方程组与矩阵(增广矩阵)一一对应,将线性方程组的初等变换抽象为矩阵的行初等变换。线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.从而用矩阵来研究线性方程组使得问题变得简单明了。

3 矩阵是化简二次型的“好帮手”

根据初等矩阵有关性质(用初等矩阵左(右)乘矩阵相当于对作一次初等行(列)变换)。由于初等矩阵的转置还是初等矩阵,即:

例4化二次型(x1,x2,…xn)=x1x 2+x1 x3+x2x 3为标准形,并写出所用的非退化线性替换。

总之,矩阵理论在线性代数中具有重要的作用,对线性代数的学习有不可忽视的指导作用。我们从对矩阵理论的认识和矩阵理论与线性代数的联系来论述了矩阵理论的重要作用。不仅加深了对矩阵理论的认识与掌握,而且得到了用矩阵理论来解决相关问题的重要方法和一般步骤。矩阵理论不仅在线性代数中有重要的作用,还在图论、统计学和经济等许多科学中有重要作用。矩阵理论中的许多思想和方法极大地丰富了数学的代数理论。随着人们对科学研究的深入,矩阵理论的应用愈来愈广,作用越来越突出,矩阵理论自身的发展将会更加完善。矩阵的其它理论在线性代数中的作用将有待于进一步来研究。

参考文献

[1]胡金得,王飞燕.线性代数辅导(第三版)[M].北京:清华大学出版社,2003.

[2]邓勇.矩阵:线性代数的重要工具[J].思茅师范高等专科学校学报,2005(3):55-56.

[3]朱仁先.关于矩阵若干问题的探讨[J].滁州学院学报,2005(3):111-113.

[4]北京大学数学系几何与代数教研室高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.

篇4：浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

Mathematica在线性代数教学中的应用

本文介绍了数学软件的.重要性,探讨了数学软件在教学中的应用,在教学过程中使用数学软件可以优化教学效果,提高学生的计算机应用水平.

作 者：张坤 ZHANG Kun  作者单位：山东政法学院山东,济南,250014 刊 名：科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)： “”(7) 分类号：G64 关键词：线性代敷   数学软件   教学教学  

篇5：矩阵在高等代数中的应用

矩阵研究的历史悠久, 拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具, 矩阵也有不短的历史。1693年, 微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论。1750年, 加布里尔·克拉默在其后又定下了克拉默法则。在1814年于英格兰, 詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先引进了术语“M-atrix”, 作为一列数的名称, 这是胚胎的拉丁词。研究过矩阵论的著名数学家还有凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼等。著名的凯莱-哈密尔顿定理断言, 一个方阵是它的特征多项式的根。这个定理于1858年在凯莱的“关于矩阵理论备忘录”的著作里给出。代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的。

2 矩阵在高等代数中的应用

2.1 求解一般的线性方程组

在实际解线性方程组时, 比较方便的方法是消元法。但是, 当方程组的未知量及方程繁多时, 必须寻求快速简化方程组的方法——矩阵的初等变换。

2.2 求多项式的最大公因式、最小公倍式及组合系数多项式

性质1[2]一个矩阵可逆的充分必要条件是矩阵可表示成一系列初等阵的乘积。

性质2[2]对m×n矩阵A左乘一个m阶初等阵就相当于对A施行一次相应的初等行变换。

由性质1, 2和定理1得多项式的最大公因式、最小公倍式及组合系数多项式的统一求法:

以f (x) , g (x) , E2构造矩阵

3 判定向量组的线性相关性, 求极大无关组

定理2[1]一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数, 等于这个矩阵的秩。

定理3[1]初等变换不改变矩阵的秩。

定理4[1]一个m×n矩阵A总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵:

这里Ir是r阶单位阵, Ost表示s×t的零矩r阵, r等于A的秩。

应用时先以所给向量组为行作矩阵A, 用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 此时如果矩阵A的秩r小于向量的个数n时, 向量组线性相关, 当秩r等于向量个数n时, 向量组线性无关, 所以可以通过求矩阵的秩来判定向量组线性相关还是线性无关, 同时确定极大无关组。

摘要：高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程。在高等代数中, 应用最广泛的表示方法就是用矩阵来表示。因此矩阵在高等代数中的应用就显得极其重要。对其在高代中的应用概括为:求解一般的线性方程组;求多项式的最大公因式、最小公倍式及组合系数多项式;判定向量组的线性相关性, 求极大无关组;化二次型为标准形;求标准正交基;对称变换、正交变换的判断;欧氏空间中内积的表示。

关键词：矩阵,初等变换,高等代数

参考文献

[1]张禾瑞, 郝新.高等代数 (第4版) [M]北京:高等教育出版社, 1999.

[2]北京大学数学系.高等代数 (第3版) [M]北京:高等教育出版社, 2003.

篇6：线性代数教学中的矩阵应用实例

1、矩阵在密码学中的应用实例[2]

古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码:在保留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下,把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第4个字母。人们为了纪念恺撒德,就把这种密码称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷,即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。1929年,Hill提出了一种克服恺撒密码缺陷的密码,该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系,该方法的诞生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新阶段。

下面举两个利用二阶矩阵的例子来说明Hill密码的加密与解密:

例1请把General Roberts was shot按照Hill密码的方法加密

首先,把a,b,c,……,x,y,z分别编号为1,2,3,……,24,25,0;

其次,两两一组把明文分组,如果明文字母个数为奇数,则在最后随意加一字母;本例不妨在最后位置加一个字母t:Ou rm ar sh al wa ss ho tt;

第三,把分过组的字母按照编号转化为1×2数字矩阵qi:

第五,每个pi的分量对26取同余,得到pi(i=1,2,…1 1):

第六,把这些余数矩阵转化为英文字母,这就得到了利用Hill方法加密后的密文:Us pq bk j P sf ob hg qm ee xe hh。

例2请把刚才得到的密文Us pq bk j P sf ob hg qm ee xe hh解密。

所以，可见，史要求出mod26意义下A的逆矩阵，我们就可以得到明文。

化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题,但是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。

定义化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种原子的个数,排列成的数字表称为化学反应矩阵。

配平定理设某一化学反应中有n(n>2,n∈Z)个化合物,且n个化合物共由n-1个不同的原子组成,化学反应中各物质间的质量比为x1,x2…,xn,同时设该化学反应的反应矩阵为A,则在A中删去第l列后得到的n-1阶行列式Dl,l=1,2,…,n,就有配平化学反应公式:

例3配平化学方程式

解:该化学反应中共有6个化合物,这6个化合物共有5个不同的原子组成,令各物质间的质量比为x1,x2…,x6,于是,该化学反应的反应矩阵为:

分别删去第1,2,…,6列,得到6个矩阵:

3、矩阵在计算机科学中的应用实例[5]

“死锁”是计算机系统运行中经常出现的现象,至今仍然没有很好的办法来避免它。操作电脑时一般是多个进程同时工作,但是进程工作时需要申请一些资源,比如进程A占有资源R1且申请资源R2,而进程B占有资源R2且申请资源R1,于是进程A等着进程B释放资源R2,而进程B等着进程A释放资源R1,从而导致两个进程都无法进行工作,出现“死锁”现象。

系统中的进程可以用有向图表示,当有向图中存在回路时,就意味着系统可能出现“死锁”,而有向图又可以用矩阵表示,有向图中是否存在回路可以通过图矩阵的计算而得到,所以,利用矩阵的计算可以判断计算机系统中是否可能发生“死锁”。

例4设时刻t,某一计算机操作系统中有4个进程在工作,不妨设其构成的集合为P={P1,P2,P3,P4},此时系统资源集合为R={R1,R2,R3,R4},现在资源分配情况为:P1占用资源R4且申请资源R1;P2占用资源R1且申请资源R2,R3;P3占用资源R2且申请资源R3;P4占用资源R3且申请资源R1,R4。请判断时刻t系统是否产生死锁。

解:令资源集合R={R1,R2,R3,R4}为结点集合,当进程Pi占有资源Rj而又同时申请资源Rk时,则从结点Rj到Rk用一条有向边相连,于是,我们便可得到该计算机系统的资源分配图G,当然就能得到图G的邻接矩阵A,从而判断出该图中是否存在回路。

由于A2中对角线上至少有一个元素不为零,因此该图中存在回路,即时刻t系统会产生死锁。

在矩阵教学中,应该经常结合其在其他学科中的应用,讲解一些矩阵应用的实例.这样不仅能提高学生学习线性代数的兴趣,使学生在学习中体会到矩阵在解决问题中发挥的巨大作用,也能逐渐增强学生应用数学解决实际问题的意识,提高学生应用数学知识解决问题的能力。

摘要：给出线性代数教学中矩阵在密码学、化学和计算机科学中应用的几个实例。

关键词：矩阵,密码学,化学,计算机科学,应用

参考文献

[1]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2007.

[2]雷功炎.数学模型讲义.北京大学出版社[M].1994,99-107.

[3]耿济.反应矩阵在化学反应上的应用(一)—反应定理[J].海南大学学报.2003,21(1):11-16.

[4]耿济.反应矩阵在化学反应上的应用(二)—配平定理[J].海南大学学报.2003,21(4):319-325.

篇7：浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

震陷的问题属于土体永久变形研究的范畴, 这种变形分析的基本假定是将土体作为连续介质处理, 现已提出了软化模量法和等价结点力法二种方法。前者认为地震作用下土体的静剪切模量降低, 使用地震前后的剪切模量进行两次静力计算, 得到竖向位移, 其差为震陷;后者则需寻求动荷载作用下残余剪应变的各种经验公式, 通过对地震期间每个时段的静、动力反应分析来计算地震永久变形, 有利于研究地震发展过程的优点。由于残余剪应变经验公式的确定涉及到不同土性在一定的静应力条件下受到不同动应力作用时所产生的复杂反应, 因此, 宜通过试验获得。

1 土体静动力反应分析

依据室内试验的成果和参照土性相近土层的数据, 运用经典的邓肯-张模型对土体进行静力非线性分析, 通过静力有限元计算, 可以得到土体内的初始法向应力σv和初始剪应力比α=τ0/σv两个对土体动力特性有重要影响的因素 (τ0为初始剪应力) 。地基在强震作用下, 土体一般都具有非线性的应力应变关系, 但若完全依据土体的非线性进行反应分析, 工作量势必很大, 实际上不采用。曾用两个基于非曼辛准则的土动弹塑性模型对地震荷载的情况进行了土体反应分析, 并与通常采用的等效线性模型作了比较。结果表明, 二种模型的结果是相近的。故本文拟采用等效线性模型。

地震作用下, 土体中产生的孔隙水压力是影响其变形的重要因素, 依据合适的孔压发展规律, 进行有效应力动力反应分析, 无疑会得到比较真实的结论。由于地震持续时间很短, 地震期间饱和软粘土中孔压上升很不明显, 在循环单剪试验中也测不出粘土试样中的孔压, 故籍助于Seed、Chang等提出的经典砂土类的孔压增长模式得到:

其中, N与N350分别表示加荷周数与孔隙水压力达到0.5倍破坏孔隙水压力时的加荷周数;土性参数α=2.25-2.53*50%/ (1+kc) Dr, kc、Dr分别为固结应力比与相对密实度, 依据几何关系, 此处α可修正为:

其中, e为孔隙比, 本文实例中取11807;而对于正常固结的软粘土来说, 破坏时孔压uf可改为:

其中, σ3为侧向固结压力;φcu、φd分别为固结不排水剪与固结排水剪内摩擦角, 本文实例中分别取为15.3°与28.9°。

通过非线性的有效应力动力反应分析, 运用等价结点力得出的震陷值比总应力分析方法稍小, 对工程来说是可行且偏于经济的。

2 模型计算参数

地震作用前, 土体呈固结排水状态, 其静力计算邓肯-张模型参数可由三轴排水剪试验得到。

共振柱试验和循环单剪试验可分别确定土体在小应变和大应变下的剪切模量G与阻尼比D, 查取该试验关系曲线可得到程序计算中所需要的软土动力特性参数。

用等价结点力法计算时, 首先要根据固结排水试验和固结不排水试验分别确定地震前后土体的本构关系, 由静力分析得到构筑物各单元的主应力差, 作为地震时的初始应力差, 以及依据动力反应分析和室内震陷试验确定的应变势, 得到相应的主应力差增量Δσd。因为构筑物在地震时的变形以水平剪切分量为主, 从而近似地认为水平 (竖向) 剪应力增量为最大剪应力增量, 即主应力差增量的一半, Δτxy=Δτmax=1/2Δσd。当单元足够小时, 可认为应力分布均匀, 从而水平、竖向的等价结点力分别为Fh=ΔτxyLh/2=1/4Δσd Lh, Fv=ΔτxyLv/2=1/4Δσd Lv (Lh、Lv分别为单元的水平、竖向边长) 。

谷口等曾给出了一种在初应力条件q0/p′0下残余剪应变γR与动、静应力幅值之间的经验关系:

其中q=q0+qd

式中, σ′10、σ′30为初始有效主应力;σd为动应力幅值;a、b为试验常数。其中, 因地震作用期间饱和软粘土孔隙水压力的不确定性及试验的难度, 故采用循环三轴试验结果来近似。

这种方法认为, 由土体动力反应分析得出的动应力确定等价结点力后, 将土体静力计算结束时的模量作为初始剪切模量, 形成刚度矩阵, 计算各单元的动位移、动应变、动应力, 再依据该动应力-残余剪应变关系, 求出新的剪切模量, 通过迭代运算, 使得前后两次计算出的剪切模量足够接近, 则认为此时的剪切模量为所求的动剪切模量, 而由单元的残余剪应变就可求出地震永久变形。

3 结论

3.1路堤高度、软土的动模量系数与饱和重度、竖向与水平向地震加速度放大系数之比和水平向地震系数等5个因素对路堤软基震陷变形有显著的影响, 回归分析关系, 与竖向、水平向地震加速度放大系数之比、水平向地震系数呈指数关系。

3.2地震对路堤的作用体现在震级、历时与频谱三方面, 三者的综合效应表现为地震的烈度, 正是由于地震动参数的多元性, 在地震时程曲线形状相似、历时相等时, 使得震陷量与地震的峰值加速度并非成简单的线性增长关系, 而是开始增加很快, 然后增加渐缓, 当震陷达到极大值后反而会稍微减小。基于等价结点力总应力法计算了最大地震加速度、历时与地震时程曲线形状均不同的二种人造地震波和1940年埃尔森特罗地震波作用下路堤的震陷, 结果表明, 频谱对震陷变形的影响较大。

摘要：在公路建设中, 为了预防或降低震陷的危害, 除了加强抗震设施外, 通过数值计算来估算震陷量, 具有一定的社会效益与经济效益。通过有效应力等效线性动力反应分析, 运用等价结点力法分析了高速公路软粘土路基震陷随地震最大加速度的变化趋势, 建立了震陷同路堤高度、软土动模量系数、饱和重度、遭遇的竖向与水平向地震加速度放大系数之比和水平向地震系数等因素的相关关系式。