椭圆形面积计算公式

椭圆形面积计算公式（精选13篇）

篇1：椭圆形面积计算公式

圆的面积

把一个圆沿直径剪开，分成若干份，拼成一个近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半（二分之c）宽相当于圆的半径（r）。

因为：长方形的面积=长x宽=圆的面积。

所以：圆的面积=长x宽=2/C=兀r的平方。

既公式为:兀r的平方。

圆的基本性质

圆的`确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

篇2：椭圆形面积计算公式

教学内容：圆形面积的计算。教学目标：

1.通过操作，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。

2.激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。

3.渗透转化的数学思想和极限思想。教学重点：正确计算圆的面积。教学难点：圆面积公式的推导。

学情分析：本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。学法指导：教学本课时，重点引导学生提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念。

教具准备：多媒体课件，圆片。

学具准备：把圆片分成十六等分，并按课本图所示，剪拼并贴成近似长方形。教学设计：

一、复习旧知，导入新课

1.前面我们学习了圆、圆的周长。如果圆的半径用r表示，周长怎样表示？周长的一半怎样表示？

2.课件：出示一块圆形的桌布。如果要给这块桌布的边缝上花边，是求什么？ 3．课件：出示一块圆形的镜框。如果要镜框配一块玻璃，至少需要多大？是求什么？

谁能指出这个圆的面积？谁能概括一下什么是圆的面积？请同学们用手摸出学具圆的面积。

3.提问：如果圆的半径是2分米，你能猜猜这块玻璃到底有多大？这块圆形玻璃有多大，就是指“这块玻璃所占平面的大小”即圆形的面积，这节课我们一起来研究怎样计算圆的面积。（板书课题：圆形面积的计算）

二、动手操作，探索新知

1.回忆平行四边形、三角形、梯形面积计算公式推导过程。

（1）以前我们学习了平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。请同学们回想一下，这些图形的面积计算公式是怎样推导出来的？

（2）通过回忆这三种平面图形面积计算公式的推导，你发现了什么？（3）能不能把圆转化为学过的图形来推导出它的面积计算公式呢？ 那么同学们想一想，圆可能转化为什么平面图形来计算呢？ 2.推导圆面积的计算公式。

（1）拿出已准备好的学具，说说你把圆剪拼成了什么图形？（2）学生小组讨论。

看拼成的长方形与圆有什么联系? 学生汇报讨论结果。

（3）课件演示：请看大屏幕，把圆分成16等份，拼成了近似平行四边形，再分成32等份，拼成近似的平行四边形，再分成64等份，拼成近似长方形，你发现什么？（如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。）

（4）你能根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式吗？小组讨论一下。生边答师边演示课件。生答：因为拼成的长方形的面积与圆的面积相等，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。

因为长方形的面积=长×宽

所以圆的面积=周长的一半×半径

S=

πr

× r

S=πr2

小结公式 S=πr2，让学生小组内说说圆的面积是怎样推导出来的？（5）读公式并理解记忆。（6）要求圆的面积必须知道什么？

3.利用公式计算。

（1）用新的方法算一算：刚才的玻璃到底有多大？看谁刚才猜得较接近。（学生计算并汇报）

（2）出示例3，学生尝试练习，反馈评价。

提问：如果这道题告诉的不是圆的半径，而是直径，该怎样解答？不计算，谁知道结果是多少吗？

（3）完成第95页做一做的第1题。（4）看书质疑。

三、运用新知，解决问题

1.求下面各圆的面积，只列式不计算。（课件出示）2.测量一个圆形实物的直径，计算它的周长及面积。

3.课件演示： 用一根绳子把羊栓在木桩上，演示羊边吃草边走的情景。（生看完提问题并计算）（羊吃到草的最大面积即最大圆面积是多少？）

四、全课小结

这节课你自己运用了什么方法，学到了哪些知识？

五、布置作业

1.第97页的第3题和第4题。

2.找出身边的圆，同桌合作量一量半径，算一算面积（完成实验报告单）测量物 直径（厘米）半径（厘米）面积（平方厘米）板书设计：

圆形面积的计算

圆的面积就是指圆所占平面的大小

长方形的面积=长×宽

圆的面积=周长的一半×半径

篇3：椭圆形面积计算公式

在教学环形的面积时, 我们直观地看出环形的面积应该是外圆面积减去内圆面积, 即S环形=πR2-πr2=π (R2-r2) 在圆的面积公式推导的启发下, 我们猜想能不能把环形像分圆一样分成若干份, 当分的份数很大时把它的每一份可近似地看成是一个梯形, 如果把这些梯形拼在一起就可以近似地得到一个更大的梯形, 如图:

上底:内圆周长2πr;下底:外圆周长2πR;

高:半径之差 (R-r) .

这种想法是否正确, 我们就想用实践法进行验证:

设R=3, r=1, 由梯形公式得:

外圆面积-内圆面积=πR2-πr2=3.14×32-3.14×12=3.14×8=25.12.实践成功.

这样的实践是否带有偶然性呢?

设R=6, r=5, 由梯形公式得:

外圆面积-内圆面积=3.14×62-3.14×52=3.14×36-3.14×25=3.14×11=34.54.

这样的实践不能代表这种想法完全正确, 我又用公式进行了以下推导:

通过上面推导可以看出对于任意半径的环形都是成立的, 从而证明, 环形可以看作是一个上底长等于内圆周长, 下底长等于外圆周长, 高等于两圆半径之差的梯形, 从而利用梯形面积公式计算.

这种近似处理问题的方法和极限的数学思想, 能够很好地解决许多数学问题, 提高学生的数学思维能力.教师在教学过程中要根据教学内容和学生的实际情况, 合理地运用到教学中, 能够提高教学效果, 使学生在学习数学上由直观形象思维逐步向抽象思维过渡, 为学生高年级学习数学打下坚实的基础.

摘要：在教学环形的面积时, 我们直观地看出环形的面积应该是外圆面积减去内圆面积, 即S环形=πR2-πr2=π (R2-r2) .在圆的面积公式推导的启发下, 我们猜想能不能把环形像分圆一样分成若干份, 当分的份数很大时把它的每一份可近似地看成是一个梯形, 如果把这些梯形拼在一起就可以近似地得到一个更大的梯形.

篇4：用物理方法证明椭圆的面积公式

关键词：开普勒定律；椭圆的面积公式；物理方法

在数学中有很多方法可以推导出椭圆的面积计算公式，比如，仿射变换法、二重定积分法，其中二重定积分法已超出高中生的能力。本文给出从物理角度证明椭圆的面积表示式的计算过程，切入点是开普勒第二定律，再将开普勒第二、第三定律与机械能守恒定律结合起来，很自然地得出了正确结果。笔者的教学实践说明，只要事先给出有关预备知识（引力势能表示式及其物理意义），再对物理推理思路稍作提示，大部分学生都能完成证明过程。这不仅让学生拥有了理论探究的成就感，还使学生深深地体会到数学与物理学之间的紧密联系。

众所周知，开普勒行星运动三定律是开普勒仔细分析研究大量天文观测数据后得出的著名物理定律。第一定律即说明行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，第二定律给出了行星运行速率与行星太阳距离的关系，第三定律揭示了行星轨道的几何尺寸与行星公转周期的关系，三个定律将时空、物質和运动完美地融合在一起。

下图所示为行星绕太阳运动的椭圆轨道，太阳静止不动位于该轨道的一个焦点。开普勒第二定律告诉我们，行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等。这提示我们，如果能算出行星的公转周期（绕太阳一圈的时间）以及行星太阳连线在单位时间内扫过的面积，那么椭圆轨道包围的面积就等于这两个量的乘积。为方便先给出下文涉及的：①椭圆轨道的几何参量及其表示符号：焦距c，半长轴a，半短轴b，近日点距离r1，远日点距离r2，面积S；②有关物理量及其表示符号：万有引力常量G，太阳质量M，行星质量m，行星绕太阳的公转周期T，行星经过近日点、远日点时的速率v1、v2，行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积λ（也叫掠面速度）。具体思路和计算过程如下：

（1）设法找出用椭圆半长轴表示的行星公转周期公式。据开普勒第三定律可知，各行星轨道的半长轴的立方与行星公转周期的平方成正比，即a13∶T12=a23∶T22=a33∶T32=…=k，比值k是一个仅与太阳质量有关的常数；若某颗行星的轨道是圆，则公式中相应的a表示该圆轨道的半径。要得到周期公式就必须求出k值，该值可利用圆轨道方便地求到。设某一行星m0的轨道是半径为R0的圆，其公转周期为T0，该行星绕太阳作匀速圆周运动所需向心力由行星太阳间的万有引力提供，所以有

开普勒第三定律告诉我们，k值对所有行星都相等，所以有：

由上式解得轨道半长轴等于a的行星公转周期的计算式：

该式显示行星公转周期与行星的轨道大小以及太阳质量大小有关。

篇5：梯形面积计算公式的推导

编排意图

这部分内容的教学是在学习了平行四边形和三角形面积计算的基础上进行的。与前两节一样，教材先通过小轿车车窗玻璃是梯形的这样一个生活实例引入梯形面积计算。然后通过学生动手实验探索出面积计算公式，最后用字母表示出梯形的面积计算公式。但是要求又有提高，不再给出具体的方法，而是要求用学过的方法去推导梯形面积计算公式。这里仍然要运用转化成已学过图形的方法，但是从教材中学生的操作可以看出，方法与途径多了，可以用分割的方法，也可以用拼摆的方法；可以转化为三角形进行推导，也可以转化成平行四边形进行推导。教学建议

学生经过平行四边形和三角形面积公式的推导，已经知道要把梯形转化为学过的图形进行推导。前面平行四边形和三角形转化的方法不同，平行四边形主要是用割补的方法，而三角形主要用拼摆的方法。本课要求用学过的方法去推导，没有指明具体的方法。在学生操作实验前，可以先回忆一下前面运用过的两种方法，有条件的可以把前面推导的过程制成课件，进行展示，加以回顾。在此基础上放手让学生自己去做，教师不必提出统一的操作要求。2． 梯形面积计算公式推导有多种方法，教材显示了三种方法。（1）两个一样的梯形拼成一个平行四边形。推导过程：

两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的（上底+下底），这个平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2(2)把一个梯形剪成两个三角形（见下左图）。推导：

梯形的面积＝三角形1的面积＋三角形2的面积

＝梯形上底×高÷2＋梯形下底×高÷

2＝（梯形上底＋梯形下底）×高÷2

（3）把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形（见上右图）。推导：

梯形的面积=平行四边形面积＋三角形面积

=平行四边形的底×高＋三角形的底×高÷2 =（平行四边形的底＋三角形的底÷2）×高 =（平行四边形的底＋三角形的底÷2）×高×2÷2 =（平行四边形的底×2＋三角形的底÷2×2）×高÷2 =（平行四边形的底＋平行四边形的底＋三角形的底）×高÷2

因为 梯形的上底=平行四边形的底

梯形的下底=平行四边形的底＋三角形的底 所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2

第（1）种方法比较容易推导和理解，（2）和（3）因为涉及乘除法运算定律、性质和等式变形，学生的推导会有困难。教学中要鼓励学生用多种方法进行推导，在此基础上进行汇报和交流。可以第（1）种方法为研究重点，让学生叙述推导的过程，得出梯形面积计算公式。（2）和（3）种方法可视学生接受能力，不做统一要求。

学生在操作实验中，可能会出现更多的方法。例如教材第96页的方法，注意给学生留有较充分的操作和交流时间。推导过程：

从梯形两腰中点的连线将梯形剪开，拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于（梯形的上底＋梯形的下底）平行四边形的高等于梯形的高÷2 梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积 所以 梯形的面积＝（上底 ＋下底）×高÷2 3．例3及“做一做”。编排意图

（1）例3应用梯形面积计算公式解决实际问题。

（2）“做一做”是计算引入部分提出的车窗玻璃的面积，注意是求两个梯形的面积。教学建议

（1）例3可结合图片和横截面的示意图帮助学生理解横截面的含义，找到直角梯形的高也是它的一个腰长，再应用公式进行计算。

（2）结合例3和“做一做”，检查学生运用公式计算的情况，强调计算时不要忘记除以2。4．关于练习十七一些习题的说明和教学建议。

第1、3题是应用梯形面积计算公式求面积。第1题需要先测量计算所需条件的长度，再计算；第3题要选择条件进行计算，有些是间接条件要转化为直接条件。通过练习可以加深学生对梯形面积计算公式的理解和记忆。

第2、4、5、6题都是应用梯形面积计算公式解决实际问题。

第2题，飞机模型的机翼是两个完全相同的梯形。求机翼的面积，可以先求出一个梯形的面积，再乘2；也可以根据梯形面积公式的推导经验，设想把两个梯形拼成一个底长100mm＋48mm，高250mm的平行四边形，求出它的面积。

第4题，注意让学生观察图示找到计算所需条件。花坛的三面围篱笆，形成一个直角梯形。20m就是它的高，用46m-20m可以得到梯形上底与下底的和。

第5题，要结合示意图先让学生理解水渠的横截面。水渠的渠口宽、渠底宽和渠深分别是梯形的上底、下底和高，再计算出梯形的面积。

第6题，可结合教材中的图使学生理解圆木堆的横截面可以看作一个梯形，梯形的上底长相当于顶层的根数，梯形的下底长相当于底层的根数，梯形的高相当于圆木的层数。所以可以借助梯形面积计算公式计算出圆木的总根数。

第8*题是选作题。首先要考虑如何剪去一个最大的平行四边形。应该是以梯形上底长度为底长的平行四边形。

剩下的是三角形，可以用两种方法求面积。方法一 梯形的面积－剪去的平行四边形的面积（2＋3.5）×1.8÷2－2×1.8＝1.35(cm)

2方法二用梯形的下底长减去梯形的上底长得到剩下三角形的底长，乘梯形的高, 再除以2,得到剩下的三角形的面积。(3.5－2)×1.8÷2 = 1.35(cm)

《梯形面积的计算》 教案1

教学目标：

（1）理解梯形面积公式的推导过程，会应用公式正确计算梯形的面积。

（2）培养学生合作学习的能力。

（3）继续渗透旋转、平移的数学思想。教学重点：理解并掌握梯形面积公式的计算方法。教学难点：理解梯形面积公式的推导过程。教学过程：

一、复习旧知

1．求出下面图形的面积。

2．回忆三角形面积公式推导过程（演示课件：拼摆三角形 下载）

二、设疑引入

教师出示一个梯形和一个三角形（已标出底和高）。这个梯形比三角形的面积大还是小？相差多少呢？要想得到准确地结果该怎么办？

板书课题：梯形面积的计算

三、指导探索

第一部分：梯形面积公式的推导。1．小组合作推导公式。

教师谈话：利用手里的学具，仿照求三角形面积的方法推导梯形面积的计算公式

提纲：

2．（演示课件：拼摆梯形 下载）

电脑演示转化推导的全过程。

3．由学生自己说明“梯形面积＝（上底+下底）×高÷2”的道理。4．概括总结、归纳公式。

提问：（1）（上底＋下底）×高求的是什么？

（2）为什么要除以2？

板书：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2

第二部分，应用公式计算。

1．出示例

1、一条新挖的渠道，横截面是梯形，渠口宽2.8米，渠底宽1.4米，渠深1.2米。它的横截面的面积是多少平方米？

2．提问：已知什么？求什么？怎样解答？

3、列式解答

（2.8＋1.4）×1.2÷2

＝4.2×1.2÷2

＝2.52（平方米）

答：它的横截面的面积是2.52平方米。

四、巩固练习

1、计算下面梯形的面积。

2．动手测量学具（梯形）的相关数据，并计算梯形学具的面积。

3．下面是一座水电站拦河坝的横截面图，求它的面积。

五、质疑总结。

1．师生共同回忆这节课所学习的内容。

提问：求梯形的面积为什么要除以2？

求梯形面积需知哪些条件？

2．引导学生质疑，组织学生解题。

篇6：平行四边形的面积计算公式

在教学设计方面，我先是让学生大胆猜测两块草地（等底等高的长方形与平行四边形）的面积哪一个大，再让学生通过动手操作、验证平行四边形的面积，其实它们的面积是一样大的。

二、注重学生数学思维的发展

数学教学的核心是促进学生思维的发展。教学中，通过学生学习数学知识，全面揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。在这节课中，我设计了剪一剪、拼一拼等学习活动，逐步引导学生观察思考：长方形的面积与原平行四边形的面积有什么关系？长方形的长和宽与平行四边形底和高有什么关系？充分利用多媒体课件演示，形象、直观，使学生得出结论：因为长方形的面积=长乘宽，所以平行四边形的面积=底乘高。在此，我特别注意强调底与高应该是相对应的，通过观察、交流、讨论、练习等形式，让学生在理解公式推导的过程中学会解决问题。学生掌握了平行四边形的求证方法，也为今后求证三角形、梯形等面积公式和其他类似的问题提供了思维模式。这个求证过程也促进了学生猜测、验证、抽象概括等思维能力的发展。

三、注重了师生互动、生生互动

新课程标准提倡学生的自主学习，在课堂教学中主张以学生为主体，注重师生互动和生生互动。师生应该互有问答，学生与学生之间要互有问答。在这节课中，我能始终面向全体学生，以学生为主体，教师为主导，通过教学中师生之间、同学之间的互动关系，产生教与学之间的共鸣。

四、我的遗憾

篇7：椭圆形面积计算公式

(3)布置动手操作要求：

师述：“以组为单位按步骤利用学具一起想办法推导出梯形面积计算公式，要求合理的分工、合作，操作学具要麻利。”

2、学生分组动手操作推导出梯形面积的计算公式

(教师行间巡视和学生一起探究，对学生在探究过程中出现的问题进行指导)

可能遇到的问题：找关系

割补法中：为什么“平行四边形的高=梯形的高÷2”学生理解起来可能出现困难。

3、各小组汇报探究成果，师给予适当补充。

(1)将两个完全一样的普通梯形转化为平行四边形

1、转化：

梯形平行四边形

2、找关系：

平行四边形面积=2个梯形面积

底=上底+下底

高=高

3、推导公式：

平行四边形面积 = 底 ×高

‖ ‖ ‖

2个梯形面积 = (上底+下底)× 高

梯形面积 = (上底+下底)× 高 ÷ 2

4、方法：

拼摆法

师问：“其他同学哪儿不懂?”

师问：“为什么要除以 2?”

(2)将两个直角梯形转化为长方形

1、转化：

梯形长方形

2、找关系：

长方形面积=2个梯形面积

长=上底+下底

宽=高

3、推导公式：

长方形面积 = 长 × 宽

‖ ‖ ‖

2个梯形面积 = (上底+下底)× 高

梯形面积 = (上底+下底)× 高 ÷ 2

4、方法：

拼摆法

(3)将两个直角梯形转化为正方形

1、转化：

梯形正方形

2、找关系：

正方形面积=2个梯形面积

边长=上底+下底

边长=高

3、推导公式：

正方形面积 = 边 长× 边长

‖ ‖‖

2个梯形面积 = (上底+下底)× 高

梯形面积 = (上底+下底)× 高 ÷ 2

4、方法：

拼摆法

(4)将普通梯形转化为三角形

(沿一腰中点和左上角顶点之间的连线剪开，将梯形分成一个四边形和一个三角形，以一腰中点为轴顺时针转动小三角形，最后转化为三角形。)

1、转化：

梯形三角形

2、找关系：

三角形面积=梯形面积

底=上底+下底

高=高

3、推导公式：

三角形面积 =底× 高÷ 2

‖ ‖‖‖

梯形面积 = (上底+下底)×高 ÷ 2

4、方法：

旋转法

师问：“其他同学哪儿不懂?”

师问：“为什么要除以 2?”

(5)将普通梯形转化为平行四边形

(沿高的中点做上底的平行线，沿平行线剪开，将两部分图形转化为平行四边形)

1、转化：

梯形平行四边形

2、找关系：

平行四边形面积=梯形面积

底=上底+下底

高=高 ÷ 2

3、推导公式：

平行四边形面积 =底 ×高

‖ ‖ ‖

梯形面积 = (上底+下底)×(高 ÷ 2)

梯形面积 = (上底+下底)× 高 ÷ 2

4、方法：

割补法

师问：“其他同学哪儿不懂?”

师问：“(高 ÷ 2)高 ÷ 2，为什么可以去括号? ”

师问：“为什么要除以 2?”

4、小结公式及字母表示

(1)师述：“同学们你们真了不起你们合作想办法自己推导出了梯形面积的计算公式，一起告诉老师梯形面积的计算公式是?”

生边说师边板书：梯形面积 = (上底+下底)× 高 ÷ 2

(2)介绍字母表示形式

师述：“如果面积用字母S表示，a表示上底,b表示下底，h表示高，那么梯形面积的计算公式可以写成?”

生边回答师边板书：↓↓ ↓ ↓

S =( a + b )× h ÷ 2

板书为：梯形面积 = (上底+下底)× 高 ÷ 2

↓ ↓ ↓↓

S =( a + b ) × h ÷ 2

(三)、练习

1、反馈练习

师述：“算一算 这块绿地需要铺草坪多少平方米?要求梯形面积得知道什么?”

生答：“上底、下底、高分别是多少?”

给出：下底=50米上底=34米 高=10米

学生计算

2、巩固练习

计算下列图形的面积

80分米

30分米

15厘米 25厘米

40分米

14厘米

(四)总结：

师述：“通过这节课的学习你有哪些收获?还有什么不懂的问题?”

生应回答到的知识点：1、梯形面积计算公式及字母表示形式

2、推导图形面积计算公式的基本思路及方法步骤

师总结：“同学们你们在今后的学习和生活中还会遇到很多的问题、困难，你们要善于用转化的思想利用旧知识解决新问题、新困难。当遇到不会、不懂的地方还要学会和同学、朋友一起合作解决。”

(五)作业

篇8：解析法面积计算公式的探讨

1 图形顶点按顺时针编号的情况

1) 如图1所示, 五边形各顶点按顺时针编号, 各顶点坐标见图1, 按公式 (1) 计算图形面积见表1。

$S=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i(y{}_{i+1}-y{}_{i-1})$或

$S=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y}{}_i(x{}_{i-1}-x{}_{i+1})$ (1)

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

2) 如图1所示, 同样的图形, 按公式 (2) 计算图形面积见表2。

$S=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i(y{}_{i-1}-y{}_{i+1})$或

$S=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y}{}_i(x{}_{i+1}-x{}_{i-1})$ (2)

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

3) 如图1所示, 同样的图形, 按公式 (3) 计算图形面积见表3。

$S=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i(y{}_{i-1}-y{}_{i+1})$或

$S=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y}{}_i(x{}_{i-1}-x{}_{i+1})$ (3)

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

4) 如图1所示, 同样的图形, 按公式 (4) 计算图形面积见表4。

$S=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i(y{}_{i+1}-y{}_{i-1})$或

$S=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y}{}_i(x{}_{i+1}-x{}_{i-1})$ (4)

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

2 图形顶点按逆时针编号的情况

1) 如图2所示, 五边形各顶点按逆时针编号, 各顶点坐标见图2, 按公式 (1) 计算图形面积见表5。

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

2) 如图2所示, 同样的图形, 按公式 (2) 计算图形面积见表6。

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

3) 如图2所示, 同样的图形, 按公式 (3) 计算图形面积见表7。

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

4) 如图2所示, 同样的图形, 按公式 (4) 计算图形面积见表8。

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

3 结语

通过汇总表9可以看出, 对图形顶点2种不同方向编号, 4种不同计算公式进行探讨, 计算结果均相同。由此得出, 利用测量坐标计算图形面积与图形顶点编号方向无关, 与坐标同时递增、同时递减或一递增一递减无关的结论。这一结论对运用解析法计算面积提供了多种灵活公式, 大家不必死记第一种计算公式, 也不必死记其他公式, 只要编号确定, 按递增还是递减或一递增一递减计算, 结果都一样, 极大地帮助了大家理解公式, 解析法面积计算就显得更高效, 更准确了。

参考文献

[1]周建郑.工程测量[M].郑州:黄河水利出版社, 2006:8.

篇9：椭圆形面积计算公式

“圆的面积”是小学数学几何教学中重要的课程内容，它是平面图形的认识和测量中，由直线图形变为曲线图形的关键点，从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一个很大的跨跃。人教版教材采用实验的方法推导圆的面积计算公式。推导出圆的面积计算公式之后，教材安排了两道例题，应用圆的面积计算公式解决实际问题。例1是已知直径，先求出半径，再求面积；例2是求圆环的面积。在这样的教学后，笔者对“圆的面积”进行了教学后测。

后测试题：

（1）已知正方形的面积为36平方厘米，求圆的面积。（见下图）

（2）已知正方形的面积为20平方厘米，求圆的面积。（见上图）

笔者对两个班级82名学生进行了测试，答题情况见表1。

二、分析与诊断

透过错例现象，经过思辨加工，从中梳理归纳其产生问题的原因。

（一）缺少面积意义的感悟体验

在学习“圆的面积”之前，学生已经学习了正方形、长方形等平面图形的周长与面积，学生能用自己的语言表述出什么是图形的周长，什么是图形的面积。因此，教师在教学“圆的面积”时会觉得学生对圆的面积意义的理解已经没有困难了，无须加以体会。从上述的后测中可以看到，正方形的面积为20平方厘米，学生想到了边长为5厘米。由此可见，在小学图形与几何教学中，往往容易混淆圆的周长和面积的概念。

（二）缺少公式本质的推理分析

从上述的后测中可知，学生会根据“36”这个特殊的数据很快知道正方形的边长是6厘米，正方形的边长也就是圆的半径，然后运用圆面积公式S=πr²顺利地求出圆的面积。但把题中的“36”改成“20”后，学生就显得束手无策了。学生总是试图先求出半径，再利用S=πr²这一公式得出圆的面积。可在我们的教学中却忽视了“圆的面积是r²的π倍”，其实圆的面积与r²有着更为直接的倍数关系。

（三）缺少丰厚多样的探究经历

在教学中，很多教师考虑到小学生的认知发展规律，认为小学阶段学生只要能认同圆的面积公式就可以了，不需要经历过长的探索过程。“圆的面积”一课教材只要求学生把圆分成若干（偶数）等份，剪开后用近似等腰三角形拼成一个近似的平行四边形（长方形），由平行四边形或长方形面积公式推导出圆面积公式。在几何图形面积公式的推导过程中，不能简单地用单一的方法获取计算公式，还应加强推导过程中求异思维训练，让学生经历异中求同的探究计算公式的过程。

（四）缺少过程理解的运用练习

在探究出圆的面积计算公式后，很多教师就把主要精力放在套用公式的计算上。在练习设计中，总是设计一些已知半径或是直径可以直接套用公式求圆面积的题目，或者是设计一些已知圆的周长求圆面积的题目。这样一来，通过观察、操作、推理等手段推导出的计算公式，在练习中缺少了过程理解的运用，只是机械地套用公式进行计算，不利于学生对计算公式的深入理解，这不是我们教学的最终的目的。

三、对策和措施

新课改的数学课堂注重过程性学习，提高学生思维能力，关注学生个性体验，可在几何图形计算公式教学中，还陷入“公式化”教学模式：追求快速推导出公式，拘泥于“套用公式”的练习。怎样才能真正让几何图形计算公式“灵活”起来。现以六年级上册“圆的面积”一课为例，谈谈笔者的一些尝试。

（一）重视情境操作，感悟“面积意义”

研究表明，适当的操作和具体的图像对小学生的数学学习，特别是对图形的周长、面积和体积等概念的理解是非常有帮助的。教学中应重视结合一些具体操作情境，使学生对所要测量的量（如长度、周长、面积、体积）的实际意义与变化本质加以体会。在“圆的面积”一课的导入环节中，笔者设计这样的活动：描一描下面图形的周长与面积，想一想圆的面积大小与什么有关？（见下图）

1.描绘，感悟周长、面积概念的本质区别

导入活动中利用4个大小不一的圆，让学生用喜欢的方式表示圆的周长与面积。学生能用多种表征方式（用笔来描、用线绕圆形、用手指笔画、语言描述）来感悟圆的周长；再用（用阴影表示、用手摸、语言描述）来理解圆的面积。通过用线绕圆形后将线拉直表示圆周长与用阴影表示圆面积进行比较，让学生再次感受周长与面积的本质区别。

2.比较，感悟面积大小变化的主要因素

导入活动中4个大小不一的圆也为学生“主动地进行观察、实验、猜想、验证”提供了充分的准备。学生通过观察、比较，引发学生进行思考：“圆的面积的大小跟圆的什么有关？”在交流中初步发现引起圆的面积大小变化的主要因素——直径和半径。在教学中充分运用比较的方法，有助于凸显面积变化的主要因素，提高辨别能力，发展逻辑思维能力。

通过描绘、比较活动，帮助学生建立图形认知，丰富学生的表象，以进一步理解图形中周长与面积的概念，更为学生深入地探究圆的面积计算公式奠定基础。

（二）借助几何直观，聚焦“公式本质”

在“圆的面积”探究中设计揭示圆面积与正方形面积的关系的几何直观活动，深入计算公式的知识本质。

1.猜想，初步感知圆与正方形面积的关系

研究圆与正方形之间的面积关系，有助于学生更好地理解圆面积公式的本质，同时拓宽解题的路径。教学时设计了这样一个活动：先后出示三个大小不等的正方形和一个圆，猜测它们之间的面积关系。（见下图）

先让学生比比图2、图3分别与图1的面积关系，学生运用计算、剪拼等方法得出图2面积是图1面积的4倍，图3面积是图1面积的2倍。进而引起学生猜想，“图4面积与图1面积有什么关系？”发现正方形的边长与圆的半径长度相等，引发学生用重叠、比较等方法进行估测。

2. 估测，深入感知圆与正方形面积的关系

“课件出示一个正方形，再以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画一个圆，估测：圆的面积大约是正方形面积的几倍？（见下图）

从学生熟悉的“数方格”初步验证猜想，借助圆内接正方形，圆外切正方形得出圆的面积是正方形面积的（2～4）倍，让学生理解，圆的面积与r²有着更为直接的倍数关系，同时所得结论与接下来用转化推导出来的公式相互印证，能使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。

（三）凸显多维策略，注重“探索验证”

推导圆面积计算公式这一环节是本节课的重点，也是难点，凸显多维策略，注重动手操作、直观演示、抽象概括等探索验证活动，才能引导学生理解和掌握圆的面积公式。

1.转化，形式多样的探索中体会数学思想

教学中笔者直接提示学生“你能用剪拼的方法把圆转化成我们已经学过的图形吗？以小组为单位先讨论方法，再把4个大小不一的圆进行转化”。由于圆的大小不同和平均分割的份数不同，给学生提供了丰富的研究素材。学生通过观察、比较、分析发现，虽然圆的大小不一，但都可以转化成近似长方形。相等的圆等分的份数加倍与拼成图形的变化趋势，想象等分份数无限加倍时的“极限状态”。学生通过观察圆在转化成近似长方形的过程中，发现了变与不变的关系，从而得出圆面积的计算公式。

2.验证，方法多样的推算中明确计算公式

作为教材，仅呈现了将圆等分拼成近似长方形推导出圆的面积公式，教材提供的仅是一种研究方法。因此，在教学了这种研究方法后，笔者引导学生继续探索：“将圆形16等分后还能转化成我们学过的什么图形？你们能运用转化的图形推算出圆形的面积公式吗？以小组为单位进行探索研究。”（见下图）

学生通过将圆转化成三角形、梯形，呈现多种方法验证圆面积计算公式，既丰富了课程资源，更重要的是，让学生经历了更多探索圆面积的公式推导过程，进行了有效的思考，更好体现转化的数学方法，验证了圆的面积是正方形面积的π倍，即≈π。

（四）运用创意练习，体现“过程理解”

教材练习题的编排层次分明：基本图形求面积（直接应用公式）—文字信息求面积（正、逆间接运用公式）—应用圆面积公式解决实际问题。这样的练习巩固了面积公式，但缺少了过程理解的运用，只是机械地应用公式进行计算，不利于学生对计算公式推导过程的深入理解。在这一课的巩固练习中，笔者在原有教材练习题的基础上进行了创新练习的设计，体现计算公式的“过程理解”。

1.再现，设计注重推导过程的练习

“圆的面积”一课，设计了再现推导过程的创新练习。

练习1：把一个圆沿着半径剪成若干等份，拼成一个近似长方形（见下图），这个近似长方形的长是12.56厘米、宽是8厘米。你能求出圆的面积是多少平方厘米吗？

这个练习的设计让学生再次回顾了圆面积公式的推导过程，加深对转化前后图形一一对应关系的理解，通过长方形长、宽与圆的周长、半径之间的关系计算圆的面积。通过在多种方法的展示比较中，既是对所学圆面积公式的推导过程的有效巩固，又是对新知的拓展与延伸。

2. 追溯，设计凸显知识本源的练习

推导出圆面积计算公式后，教材练习题的编排都是两类练习：一类运用计算公式求图形面积；另一类运用计算公式解决生活中的问题。缺少凸显知识本源的变式练习。为了突破单一思维习惯，达到多维目的，笔者设计了凸显知识本源的练习。

练习2：下面三幅图中正方形的面积都是20平方米（见下图），每个圆的面积各是多少平方米？

这个练习的设计是引导学生克服思维定势，进行多维思考。追问学生“要求出圆的面积，需要先找到什么条件？”给学生解决问题提供了广阔的空间，求圆的面积可以先找半径，也可以先找半径的平方是多少。知道了半径的平方是多少（即图中正方形的面积），再直接乘π的值就可以轻松求出圆的面积。这个练习深化了对圆与正方形面积比的理解，使学生意识到方法灵活运用的重要性，真正关注公式本质，打破了套用公式的思维定势。

四、结束语

几何图形面积计算公式教学是“图形与几何”的重要支撑点，是小学数学教学中一项重要的内容。我们唯有抓住教学的要义，深刻理解教材编写目的，创新练习设计，让学生经历凸显知识本质的探索过程，通过观察、实践、猜测、想象等探究方法，从而让几何图形面积计算公式“活”起来，灵活地运用计算公式解决问题，有效形成解决问题的基本策略。

篇10：椭圆形面积计算公式

长方形面积=长×宽 梯形面积 =（上底+下底）×高÷2 步骤：

正方形面积=边长×边长↓ ↓ ↓ ↓ 1、转化

平行四边形面积=底×高S =（ a + b ）×h÷22、找关系

三角形面积=底×高÷23、推导公式

篇11：梯形的面积计算公式的教学案例

一、谈话质疑

师：同学们已经掌握了推导平行四边形、三角形面积计算公式的方法，那你能把梯形转化成已学过的平面图形并推导出面积的计算公式吗？

生1：可以转化成长方形吧。

生2：也可能转化成平行四边形。

生3：也许三角形呢？

……

师：那好，就请你们利用准备好的学具，小组内先议一议，然后剪一剪、拼一拼，看看有什么发现？

（学生合作讨论，然后动手操作）

二、动手操作，探索梯形的面积计算公式。师：通过刚才的动手操作，大家有什么发现吗？

生1：我们组发现用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

S=(a+b)·h÷2

生2：我们组还发现用两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。

S=(a+b)·h÷2 生3：我们是沿着一条对角线剪开，分割成两个三角形。

S=a·b÷2+b·h÷2=(a+b)·h÷2

生4：如果是等腰梯形，沿上下底的中点的连线剪开，可以拼成一个长方形。

S=(a+b)·h÷2

……

（学生想出了很多方法）

师：同学们真了不起，想出了这么多的好办法来推导梯形的面积计算公式，希望在今后的学习中，继续发扬这种精神。反思：

篇12：椭圆形面积计算公式

教学设计理念：

培养学生的创新思维，在学生已有认知结构和经验的基础上，有计划地培养学生分析、综合、比较、概括、判断、推理等能力，提高学生思维的发展水平。教学设计：

一、创设情境，揭示课题

师：同学们，我们前面学习的平行四边形，三角形的面积公式是怎样推导出来的？

生：平行四边形垢面积是用割补法把它变成与它面积面积相等的长方形，由长长方形面积推导出平行四边形的面积计算公式。

生：三角形的面积是把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，因为三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以由此推导出三角形的面积计算公式。

生：三角形也可以用割补法把它拼成一个平行四边形，面积也是这个平行四边形的一半。师：同学们能不能用学过的这些方法，设计一种推导方案，推导出梯形的面积计算公式呢？

[评析：通过上面的教学揭示课题，提示学生可以把已学过的学习方法运用到新的学习情境中，激发了学生的学习动力，使学生有解决问题的兴趣与信心。]

二、学生操作实验，主动探究

让学生先自己设计推导方案，再汇报交流

生1：我把梯形分割成两个三角形，因为这两个三角形的高相等，所以一个三角形的面积是上底×高÷2，另一个三角形的面积是下底×高÷2，由此推导出梯形面积计算公式=上底×高÷2+下底×高÷2。

生2：我把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。因为平行四边形的面积是下底×高，三角形的面积是（下底--上底）×高÷2，所以梯形的面积计算公式=下底×高+（下底-上底）×高÷2。

生3：我把梯形分割成两个等高的小梯形，（把上面小的梯形倒过来和下面的梯形）拼成一个平行四边形，因为平行四边形的底就是梯形的上底和下底的和，高是原来的一半，所以梯形的面积计算公式=（下底+上底）×（高÷2）。

生4：我把两个相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是梯形的上底和下底，高没有变，所以梯形的面积计算公式=（下底+上底）×高÷2 [评析：学生调动已有的知识和经验，通过操作，验证等活动，概括出一个计算程序，就是公式，教师为学生提供充分的机会，使学生在交流的过程中理解和掌握了数学知识与技能，数学思想与方法。]

三、比较分析，优化方法

师：同学们想出了这么多个推导方法，更重要的是掌握解决问题的方法，能把一个新问题转化成旧问题解决。这么多的推导方法中，哪些更容易理解、计算更简便呢？

经过学生充分讨论，汇总出下面方法： 1．梯形面积=下底+上底）×高÷2 2．梯形面积=（下底+上底）×（高÷2）。

师：这两个公式计算进更简便快捷，同学们可以用这两个公式来计算梯形的面积。

[评析；通过学生讨论、分析、比较、选择出最佳方法。在实际应用中，教师应提倡算法多样化，这样不至于抑制学生的灵感和创造。] 总评：

篇13：椭圆形面积计算公式

关键词：地下圆形连续墙,弹性薄壁圆筒,平而应变,水平位移

由于圆形地下连续墙支护结构有着合理的受力性能,其“拱效应”可将结构体上可能出现的弯矩转化成轴力,因此常用于超深基坑.为了充分发挥“拱效应”,利用结构的截面尺寸和材料的抗压性能,一般要求结构和土压力应基本对称[1].

为确保安全和经济的有机统一,必须进行合理的设计计算,尤其对变形必须严格控制以防倒塌[2].一般而言,对地下连续墙的内力和位移计算方法通常有简化法(包括弹性线法和等值梁法等),弹性地基梁法[3]或有限单元法[4],简化法计算过于简略,难以反映地下墙的实际位移情况,弹性地基梁法是采用有限元法的支护墙设计软件来求解的,有限单元法虽然能对墙体的整体变形进行分析,能够反映墙侧土体的位移规律,但分析工作量大、计算成本高,在实际工程中难以应用.为此,本文在通过弹性地基梁法计算出土压力,得到受力边界条件的基础上,将圆形地下连续墙视为一弹性薄壁圆筒,利用弹性力学的相关理论[5],对圆形地下连续墙进行分析,推导出圆形连续墙的水平位移解析公式,并结合实例加以比较分析.

1 基本假定

圆形地下连续墙维护结构,非开挖侧受水土压力,开挖侧承受被动土压力及内衬支撑作用,墙底受下伏土的约束作用,墙顶面自由,根据这一受力特点求其变形的严密解是非常困难的.为解决这一问题,必须作某些合理的假设,为此在分析时作如下基本假设:

(1)按照弹性地基梁法,沿横向按平面应变取单元宽度,沿竖向将单元宽度的地连墙视为弹性梁,变形为小变形.

(2)由于墙厚与墙体跨度、高度相比小得多,故视连续墙整体为弹性轴对称薄壁圆筒(见图1).

(3)圆形地下连续墙内外壁受到的土压力值q1(z)和q2(z)随深度z的变化而变化,在同一深度处均匀分布(见图2).

(4)钢筋混凝土内衬可简化为弹性支撑,其刚度系数为k(z).

2 位移分析

土压力模式的选取对基坑变形分析的影响很大,大量的监测数据表明围护结构的位移直接影响到土压力的分布和大小.由于尚未有成熟的考虑桩体位移和土体参数的土压力解析表达式,本文中土压力计算方法的选取参照文献[6].

定义ea(z,u(z))和ep(z,u(z))为主动土压力强度和被动土压力强度,选为深度z和墙体水平位移u(z)的函数,分别采用郎肯土压力理论和线弹性“m”法计算.假设连续墙总深度为H,开挖深度为h.弹性模量为E,截面惯性矩为I,计算简图如图3所示.

地连墙背侧主动土压力计算公式:

(1)计算点位于开挖面以上

(2)计算点位于开挖面以下

式中,

开挖面一侧被动土压力计算公式

式中,m为地基土水平抗力系数的比例常数.

内衬简化为弹性支撑,其作用在连续墙上的压力为

假设图2所示的弹性轴对称薄壁圆筒内半径为r,外半径为R,取圆筒距离地面深度为z,单位厚度的隔离体为研究对象.以圆筒中心o为原点,建立平面极坐标系,从隔离单元内割出一个夹角为dφ的两个径向平面围成的微分单元体,不考虑单位体积的体力,将空间问题转化为平面应变问题.

建立极坐标形式的平衡微分方程为

几何方程为

物理方程为

在满足应力形式的协调方程的条件下,采用应力解法求得极坐标形式的双调和方程为

由假设可知道,圆筒同一深度处内外壁分别受到均匀分布的压力q1(z)和q2(z)作用,显然该问题是应力轴对称.

因此应力函数U和φ无关,解方程(8)得其通解为

令t=Inρ,解得应力表达式

将式(10)代入式(7),并利用式(6)得

在该平面中,截取的单位厚度薄壁圆环的几何形状和受力均为轴对称,所以位移也是轴对称的,这时,隔离微分单元体内uφ=0.因此,式(11)的第2式中,有B=H=I=K=0.

这时,式(10)简化为

式(11)简化为

根据前面所求得的土压力及内衬支撑力可知,该问题的边界条件为:

(1)在开挖面以上

由式(1),(4),(12),(14)得

(2)在开挖面以下

由式(2),(3),(12),(16)解得

由于墙体厚度与跨度、高度相比很小,可视为,墙体位移变形为小变形,地连墙水平位移u(z)=uρ=ur=uR,将式(15)和(17)化简得

3 实例分析

广州珠江黄埔大桥北锚碇基坑工程的围护结构为外径73m,壁厚1.2m的圆形地下连续墙,采用C30水下钢筋砼,墙深39 m,嵌入弱风化砾岩的深度在3m左右;地下连续墙施工完成后,分层开挖土体,分层施工钢筋混凝土内衬,土体分层厚度及一次浇筑内衬高度为3m,内衬厚度由上而下依次为:0～15m深度内衬厚度2.0m,超过15～30m深度内衬厚2.5 m.内衬采用C30钢筋砼,各土层分布和物理力学参数如表1所示.

将基坑开挖到底后,将本文方法所解得的水平位移值与利用有限元软件SAP2000建立三维空间模型所得解进行比较,从图4中可以看出,本文方法与按照有限元法计算的墙体水平位移比较接近,说明本方法在理论上正确,且精度较高.从图5可知,本文方法计算值大体接近于实测值,最大误差在墙底处及最大水平位移发生位置;墙底处计算值大于实测值,最大水平位移位置计算值发生在开挖界面处,而实测值在开挖部位以上6m左右而非开挖界面处,这均由于连续墙的嵌岩作用.应该指出,因为弹性薄壁圆筒为小变形,假设土体为弹性体,而实测变形较大时,此时土体已处于塑性状态,实测值与计算值的误差也是很自然的.

4 结语

通过系统地分析及推导,得出了弹性薄壁圆筒理论计算圆形地下连续墙水平位移的思路和解析公式.算例分析表明了该方法比较符合工程实际,可为圆形地下连续墙的变形控制理论提供依据.

参考文献

[1]徐伟，李响．武汉阳逻长江公路大桥南锚碇施工过程结构分析．施工技术，2005，34(1)：10～13(Xu Wei，Li Xiang．Structure analysis of Wuhan Yangluo Changjiang bridge construction process.Construction Technology,2005,34(1):10～13(in Chinese))

[2] Bolton MD,Powrie W.Behavior of diaphragm walls in clay prior to collapse.1988,38(2):167～189

[3]罗汀．圆形地下连续墙施工阶段受力分析．西安冶金建筑学院学报，1994，26(1)：76～81(Luo Ting．Force analysis of underground circular continuous wall during the construc- tion.Xi'an Metallurgy Architecture College Journal,1994, 26(1):76～81(in Chinese))

[4]王树和，李伟，汪洋．圆形地下连续墙开挖过程的有限元模拟．港口工程，1997，(3)：30～33(Wang Shuhe，Li Wei，Wang Yang.The finite analysis of underground circular continu- ous wall during the excavation progress.Port Engineering, 1997,(3):30～33(in Chinese))

[5]吴家龙．弹性力学．北京：高等教育出版社，2001(Wu Jialong．Elasticity.Beijing:High Education Publishing Press,2001 (in Chinese))