《三角形的边》教学设计

《三角形的边》教学设计（通用9篇）

篇1：《三角形的边》教学设计

《三角形的边》教学设计 作业名称：《三角形的边》教学设计 课题名称：三角形的边 设计者：何厚伦

作者单位：兴仁县第十一中学

一、教材内容分析

1、教材内容地位：本章首先介绍三角形的有关概念和性质。例如，在了解三角形的高的基础上，了解三角形的中线、角平分线，又如，在知道三角形的三个内角的和等于180°的基础上，了解这个结论成立的道理。通过本章内容的学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识；另一方面，这些内容是以后学习各种特殊三角形（如等角三角形、直角三角形）的基础，也是研究其它图形的基础知识。以三角形的有关概念和性质为基础，本章接着介绍多边形的有关概念和多边形的内角和，这是利用三角形进行推理而得到的。通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。

2、课时安排：9课时，但本次只上传讲开始第1课时的教案。

3、编写特点：与原教材的对比，“三角形”这一章的章节结构是“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”“多边形及其内角和”“课题学习镶嵌”。这与以往的内容安排有所不同。按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分属于不同年级，而新的结构是一种专题式设计，以内角和为主题，先研究三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌。联系现实情景和实际操作认识三角形及其基本特征，联系现实世界具体感知——形成表象——抽象出图形，空间与图形的概念教学,一般要让学生经历感知——表象——形成概念的过程,教材注意按学生的认识规律安排教学过程。在P22例题认识三角形时,先观察现实情景中的三角形,并联系生活里的三角形进行交流,感知三角形;接着让学生想办法做一个三角形,在小组里交流,进一步强化表象;在此基础上抽象出三角形的图形让学生认识,并观察三角形图形的特征。教学时要注意让学生充分感知,促进形成表象,在图形出示以后要通过观察,明确三角形是由三条线段围成的图形。

二、学生学情分析 我认为，进一步对学生进行学情分析有一定的必要性，特别是这些刚刚进入中学阶段的孩子，对于他们学习数学爱好、兴趣、动手操作能力及思维能力等方面的了解更为重要，同时能很好地让他们自己了解自己学习状况，以便能在课堂的学习中找到更好的学习方法。对于这些边远山区的孩子来说学习数学是非常的吃力。全班学生总体来看都比较善良、可爱，可能因为我是班主任的缘故，对数学课都比较喜欢，学习积极性很高，绝大部分同学都善于动脑筋，动手操作，所以课堂气氛比较活跃。但是也有十来个同学较懒，学习习惯不好，不愿意思考问题，书写不认真，做作业粗心大意。由于在这次的培训中听了培训授课老师的课后，我问卷调查得出我班（七年级（2）班学生总数43人，女生23人，男生20人，少数民族19人。）学生几个方面的信息：很喜欢数学课的人占80%，喜欢老师在课上安排讨论的占60%，老师安排讨论时，会积极地和同学一起讨论的占45%，课余时间会阅读一些数学课外书籍的占28%，回家做课外辅导资料的占55%，上课时会积极发言的占55%，有45%的人上课从不主动发言，对于课堂作业，65%的人会及时独立完成。把解决数学问题当作是一种乐趣的占33%。从以上调查的数据中可以看出学生对数学学习兴趣还算高的，这就需要我在教学中要以更加独特新颖的教学方式来把同学们的学习兴趣提高到一个更高的层次。教学过程中的培养，帮助学生建立良好的学习行为和学习方法。要求学生先端正学习态度，再到怎样学习数学，最后到提高数学能力。激发学习兴趣，养成自主学习的习惯和方法。帮助学生找到学习数学的乐趣所在，多鼓励和表扬学生，对优秀的学生，鼓励他们还要刻苦学习，努力进步，要致力于发展性思维训练，不光是为了考试考高分，更主要的是掌握学习方法和学习过程。

三、教学目标：

（一）知识与技能：

1、结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素。

2、会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类。

3、理解三角形任何两边之和大于第三边的性质，并会初步运用这一性质来解决问题。

4、理解三角形具有稳定性，以及这一性质在生活中的应用。

（二）过程与方法：

在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、实验、推理、交流等活动，培养学生的空间观念和推理能力。

（三）情感、态度与价值观：

在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的与他人沟通的能力及动手能力。

四、教学重难点

1、重点：三角形的三边关系

2、难点：三角形的三边关系

五、教具准备

多根不同颜色直线型小棒，三角尺，细线2米若干条，硬纸板若干个。

六、教学方法选择分析

1、问题推进式。课堂教学是在教师不断地提出问题，学生不断地解决问题的过程中进行的。对学生来说，解决问题所用的知识是已经学过的，要让学生在解决问题的过程中发挥最大的潜能，教师只是相机给予适当的点拨，这样做对培养学生分析和解决问题的能力是至关重要的。问题推进式的教学基础是知识建构理论。新知识是建立在旧知识的基础之上，它们之间有内在联系可以建构学科知识体系。问题推进式的教学结构是：设置情境——提出问题——解决问题——归纳总结。

2、启发讨论式。这是一种以问题为核心，在学生自主学习的基础上通过师生间和学生间相互研讨为主的一种教学法。它为学生创造了一个发挥各自才能和多向交流的条件，能较好地发挥学生的主体作用。

3、实践探究式。在教学中把社会调查、实验操作作为提出问题、探索问题的途径和手段，创造条件，提供器材，使学生有动手实践的机会，进行观察测量、分析研究。这种教学方式能激发兴趣、展开思维变被动地学习为主动地学习。这种教学方式的实质：实践——认识——再实践——再认识的过程，强调理论和实践相结合，为培养学生的辩证思维提供了确切方法。

七、教学过程设计：

（一）、创设情境，引入新课

教师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：

小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义? 教师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义。由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

[设计意图]通过小学知识，引入新的知识，温故而知新。通过教具观察，引起学生的注意，引发学生的学习兴趣。

（二）、探究三角形的有关概念

1、三角形的顶点及符号表示方法。

2、三角形的内角。

3、三角形的边。

教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念。学生注意记忆相关的概念。学生感受数学概念名称的由来，更好地理解概念，享受成功的愉快。然后教师出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念。

[设计意图]直截了当地向学生指明相关的概念，之后借助练习巩固。

（三）、探究三角形的分类

问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类? 问题2：如何将三角形按边分类? 教师提出问题，学生举手回答。教师提示，分类的标准是什么？ 学生回答：按角进行分类。

教师进一步提出新的问题，并进一步讲解，等边三角形，等腰三角形的有关概念．然后给出三角形的按边分类方法： 不等边三角形

三角形底边和腰不相等的等腰三角形,又分为两类： 等腰三角形 等边三角形

之后师生共同归纳三角形的分类方法．按不同的标准分类，可以有不同的分法。[设计意图]在三角形的分类学习过程中，让学生体会分类的思想，即：统一标准，不重不漏。

（四）、探究三角形的三边关系

探究：画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗? 教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题。（1）小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线．

a.从B→C b.从B→A→C（2）从B→C路线短。

然后教师进一步提出问题：这条路径为什么是最短的？ 学生举手回答：“两点之间，线段最短。”

设计此问题的思考：用生活中的故事情境迅速吸引了学生，激发了学生的学习兴趣，主动积极地建构他们的数学认知结构。亲身体会了数学与生活密切关系。然后师生共同归纳得出： AC+BC＞AB AB+AC＞BC AB+BC＞AC 即：三角形的两边之和大于第三边.教师出示教材64页例题.分析：（1）“用一条长18cm的绳围成一个等腰三角形”这句话有什么含义.（2）有一边长为4cm，是什么意思，哪一边的长度是4cm？师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程.[设计意图]借助旧的知识，解决新的问题，从学生的探究入手，得出三角形的三边之间的关系.问题的解题思路，一方面涉及方程思想的运用，另一方面涉及分类讨论的思想，故教师的讲解与点拨是必要，也是必需的.逐步向学生渗透教学中的思想方法，教给学生解决问题的技能是教学过程中更应该关注的问题.过程中的反思：通过实际操作体验三角形边的长短之间的关系，按照课程标准具体目标,要使学生了解三角形中任意两边之和大于第三边。教材通过学生的具体体验来使学生知道这一点。如，在P23例题中,要求学生从指定长度的小棒中任意选三根围三角形,充分交流围成和围不成的情况,感受当两根小棒长度和大于第三根时才能围成三角形,体会不能围三角形时三根小棒长度关系的原因,讨论有什么发现,得出三角形两边长度的和大于第三边。

（五）、练习巩固

练习：教材练习第1,2题.教师在布置练习，学生举手回答即可，第2题注意让学生说明理由.解决完以后，教师利用投影出示补充练习，学生独立完成.补充练习：一个三角形有两条边相等，周长为20cm，一边长是6cm，求其他两边长.[设计意图]补充练习的安排是为了检测学生对本课例题的掌握情况.这是本节课的重点，也是本节课的难点.应当通过练习达到掌握了目的。

（六）、回顾小结与整体感知

1、小结：谈谈本节课的收获：

教师引导学生主要从对三角形的分类和三边关系的认识方面进行小结.[设计意图] 回顾本节课的知识，形成知识网络.2、布置作业：习题7.1第1，2，7题.板书设计

一、创设情境，引入新课

二、探究三角形的有关概念

三、探究三角形的分类

四、探究三角形的三边关系

五、练习巩固

六、小结与作业

七、课外拓展：乡村老式住房设计观察有感，提出问题房屋设计与三角形三边关系应用。

八、教学反思录

1、按照课程标准具体目标,要使学生了解三角形中任意两边之和大于第三边。教材通过学生的具体体验来使学生知道这一点。

2、引导学生分类并体验各类三角形特征，在学生观察分析的基础上,引导学生根据表内三角形内角大小的情况,讨论

可以怎样分类,探索和交流分类结果,获得直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的认识,掌握不同三角形的特点。

3、学生在看、围、折、剪等活动中获得各类三角形特征的直接体验，在空间与图形的学习中,引导学生实际操作,具体感受所学图形,积累对其形状、大小、位置关系的的感性认识,可以发展空间观念。

4、联系现实情景和实际操作认识三角形及其基本特征，联系现实世界具体感知——形成表象——抽象出图形，空间与图形的概念教学,一般要让学生经历感知——表象——形成概念的过程,教材注意按学生的认识规律安排教学过程。

篇2：《三角形的边》教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

三角形中相关元素的概念、按边分类及三角形的三边关系.2.内容解析

三角形是一种最基本的几何图形，是认识其他图形的基础，在本章中，学好了三角形的有关概念和性质，为进一步学习多边形的相关内容打好基础，本节主要介绍与三角形的的概念、按边分类和三角形三边关系，使学生对三角形的有关知识有更为深刻的理解.本节课的教学重点：三角形中的相关概念和三角形三边关系.本节课的教学难点：三角形的三边关系.二、目标和目标解析

1.教学目标

(1)了解三角形中的相关概念，学会用符号语言表示三角形中的对应元素.(2)理解并且灵活应用三角形三边关系.2.教学目标解析

(1)结合具体图形，识三角形的概念及其基本元素.(2)会用符号、字母表示三角形中的相关元素，并会按边对三角形进行分类.(3)理解三角形两边之和大于第三边这一性质，并会运用这一性质来解决问题.三、教学问题诊断分析

在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、探究、推理、交流等活动过程，培养学生的和推理能力和合作学习的精神.四、教学过程设计

1.创设情境，提出问题

问题 回忆生活中的三角形实例，结合你以前对三角形的了解，请你给三角形下一个定义.师生活动：先让学生分组讨论，然后各小组派代表发言，针对学生下的定义，给出各种图形反例，如下图，指出其不完整性，加深学生对三角形概念的理解.【设计意图】三角形概念的获得，要让学生经历其描述的过程，借此培养学生的语言表述能力，加深学生对三角形概念的理解.2.抽象概括，形成概念

动态演示“首尾顺次相接”这个的动画，归纳出三角形的定义.师生活动：

三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【设计意图】让学生体会由抽象到具体的过程，培养学生的语言表述能力.补充说明：要求学生学会三角形、三角形的顶点、边、角的概念以及几何表达方法.师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，让学生学会由文字语言向几何语言的过渡.【设计意图】进一步加深学生对三角形中相关元素的认知，并进一步熟悉几何语言在学习中的应用.3.概念辨析，应用巩固

如图，不重复，且不遗漏地识别所有三角形，并用符号语言表示出来.1.以AB为一边的三角形有哪些?

2.以∠D为一个内角的三角形有哪些?

3.以E为一个顶点的三角形有哪些?

4.说出ΔBCD的三个角.师生活动:引导学生从概念出发进行思考，加深学生对三角形中相关元素概念的理解.4.拓广延伸，探究分类

我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，如果要按照边的大小关系对三角形进行分类，又应该如何分呢?小组之间同学进行交流并说说你们的想法.师生活动：通过讨论，学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类，接着引出等腰三角形及等边三角形的概念，引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系，强化学生对三角形按边分类的理解.三角形按边分类：

【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生分类讨论和归纳概括的能力，加深学生对三角形按边分类的理解.5.联系实际，突破难点

情境引入：如右图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可选择?各条路线的长一样吗?

师生活动：引导学生讨论分析，得到两条路线：

(1)B直接到C即BC;

(2)先由B到A再到C即BA+AC.显然，路线(1)中的BC要短一些，即：BC

最后，师生共同得到：

BC

即三角形的两边之和大于第三边.【设计意图】根据“两点之间线段最短”这一几何公理，推理出三角形任意两边之和大于第三边，让学生亲历知识的形成过程，同时加深对 “三角形两边之和大于第三边”的理解.6.应用巩固

例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少?

(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?为什么?

解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm.x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.(2)因为长为4的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则 4+2x=18

解得x=7.如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则 2×4+x=18

解得x=10.因为4+4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.引导学生通过解决这样的应用问题，特别是(2)中思想方法，让学生学会什么情况下要用到分类讨论的思想，并通过问题的解答过程加深对三角形三边关系理解.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用知识的能力，培养学生分类讨论的数学思想，还能突破难点加深学生对三角形三边关系的理解，一举多得.补充说明：应用三角形的三边关系时要灵活应变，最简洁的方法只需判断两小边之和大于最大边即可组成三角形.师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，活学活用.7.总结反思

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.(1)三角形的定义?三角形的相关元素的概念(边、顶点、角)?三角形的表示方法.(2)三角形按边的分类.(3)三角形三边之间的关系.师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重难点.8.布置作业

篇3：《三角形的边》教学设计

预习任务主要包括三个知识点：三角形的定义、三角形的分类、三角形的三边关系．在预习过程中要注意结合具体图形进行预习和理解．

在学生预习过程中，教师应做到以下两点：1．要根据不同的知识内容，指导学生自学的方法．2．要求学生把预习中有疑问的问题做好记录，让学生带着问题走向课堂．这样做，一方面能逐步培养学生自主学习的能力，使学生逐步养成良好的预习习惯和正确的自学方法，而良好的预习习惯和正确的自学方法一旦形成，往往能使学生受益终身．

二、教学目标具体化、显性化

在课堂上，出示教学目标，能把教学目标转化为教与学的共同目标，从而调动学生学习的主动性、积极性，提高课堂效率．展示教学目标的方法有很多，在《三角形的边》的教学设计中，笔者在对比实验中发现，教学目标呈现的方式不同，收到的教学效果也会有所不同．以下是笔者设计的教学目标的两个方案．

方案1:

【教学目标】认识三角形的概念及基本要素，学会三角形的表示方法，会用三角形三边之间的关系判断任意三条线段能否构成三角形．

方案2:

【学习目标】你能说出什么是三角形吗？三角形有哪些基本要素？你知道三角形的表示方法吗？你知道三角形有哪些分类吗？给你任意三条线段，你怎样判断它们能否构成三角形？为什么？

在教学中，用方案1呈现教学目标的班级，学生明确了学习目标，能够带着目标学习，听课有较强的目标指向．方案2采用提出具体问题的形式展示教学目标，使学生带着问题进行本节课的学习，极大地激发了学生的学习兴趣和愿望，在整个教学过程中，学生学习始终围绕着如何解决学习目标中的几个问题而展开，达到了很好的引导效果．

三、课堂学习体验化

数学课堂中注重培养学生的“体验学习”不仅能使学生在体验中逐步掌握数学学习的一般规律和方法，而且还能让学生感受到成功的喜悦，增强学习数学的信心．在《三角形的边》的教学设计中，笔者主要从以下两个方面让学生获得学习的体验．

1．联系生活实际，让学生体验“用数学”

在课堂上联系生活实际，让学生学会用数学知识分析、解决生活中的现象和问题，使学生体会到数学在实际生活中的价值，提高数学的学习兴趣．在三角形任意两边之和大于第三边的运用中，笔者这样进行设计：（1）小明要从点B出发沿着三角形的边走到点C，有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？哪一条最近？你能用数学知识解释一下吗？（2）商店和学校分别位于两条交叉的大路边，可是有些学生去商店不是走大路而是走草地，走得多了就走出一条小路来．你说这些同学为什么会这样走呢？

2．重视实践操作，让学生体验“做数学”

在课堂上让学生动手操作，进而分析思考、总结归纳，有利于提高学生的动手能力、总结归纳能力．

为了让学生了解三角形的两种分类方法，深刻体会三角形三边关系定理，笔者让学生通过实践操作，自主得出三角形的两种分类、体会三角形三边关系定理．具体操作过程如下：

【活动一】动手摆一摆，请把你手中的小棍子摆成三角形，并说说这是什么三角形．

【设计意图】引导学生从最大的角的度数来观察，得出三角形按角分类的情况；接着再引导学生从三角形的边长出发，得出三角形按边长分类的情况，有利于提高学生的总结归纳能力，培养学生分类讨论的思想，让学生在“做数学”中“学数学”．同时设计了摆不成三角形的情况，为下一步探究做好铺垫．

四、习题训练题组化、层次化

题组训练，是指围绕训练目标或知识点，精选一批有代表性、系统性的问题或习题．将知识、方法、技能融合在其中，让学生在解题的过程中去感知题组内在的规律，探究发现其中蕴含的知识和方法，达到培养能力和发展思维的目的．教师应根据教学实际情况，设计相似性、对比性、变化性、拓展性题组，促使学生思考，充分调动学生的积极性．让学生站得高、看得远、想得深、反应快、面对新的问题应变力强．

设置题组训练要求教师在平时教学中多积累、多总结、多归纳，认真筛选习题，认真设计，把更多习题重组拆分，在使用质量上下工夫，达到精讲精练的效果．

篇4：三角形的边与角

一、三角形三边关系的应用

例1△ABC中，三边长为3，x，8，求x的取值范围.若三角形周长为偶数，求周长的最大值.

分析：可以根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”来解．

解：因3，x，8是△ABC的三边长，故8-3

因周长是偶数，3+8=11为奇数，故x只能取奇数.

而5

∴△ABC的周长的最大值为11+9=20.

∴x的取值范围为5

点拨：在应用三角形三边关系解题时，应注意是“任意两边”． 求周长的最大值有些技巧性，也可用比较“笨”的方法，把x从大到小依次代入，看是否让周长成为偶数.

二 三角形内角和定理的应用

例2如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，试说明∠BPC与∠A之间的关系.

分析：∠BPC在△BPC中，与∠1和∠2的和为180°．而∠1、∠2和∠ABC、∠ACB又有明显的关系，进而可以和∠A建立联系．

解：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=1/2∠ABC，∠2=1/2∠ACB.

又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠1+∠2=1/2（180°-∠A）.

∵∠BPC=180°-（∠1+∠2），

∴∠BPC=90°+1/2∠A.

点拨：同学们可研究同类的问题“三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角与第三个内角的关系”，“两个同侧外角的平分线的夹角与第三个内角的关系”，如图2、图3．

三 全等三角形的识别

例3如图4，四边形ABCD中，AB>AD，AC平分∠BAD.若∠B+∠D=180°，求证：CD=CB.

分析：要证CD=CB，可设法把CD、CB放在两个全等三角形中.又因为AC是∠BAD的平分线，因此可以以AC为桥梁构造两个全等三角形．

证明：作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，如图5，则△ACE≌△ACF（AAS），CE=CF.

∵∠CDE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，

∴∠CDE=∠B.

∴△CDE≌△CBF（AAS）.

∴CD=CB.

点拨：题中有角平分线与其他直线的交点时，经常过交点作角两边的垂线.

四 综合应用

例4如图6，在△ABC中，AB=BC=CA.在△ABC的顶点A、C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，以相同速度由A向B和由C向A爬行.经过t s后，它们分别爬行到了D、E处.设CD与BE的交点为F.

（1）证明△ACD≌△CBE.

（2）在小蚂蚁爬行过程中（不考虑起点、终点处），CD与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由.

分析：两只小蚂蚁同时出发以相同速度运动，所以AD=CE.又因为AC=CB，∠A=∠ACB，所以△ACD与△CBE全等，进而得角之间的关系，可知∠BFC的大小不变．

解：（1）略．

（2）∵△ACD≌△CBE（已证），

∴∠BFC=180°-∠EBC-∠BCD=180°-∠ACD-∠BCD=180°-∠ACB=180°-60°=120°.

∴∠BFC的大小不变.

篇5：三角形的边(教学设计说明)

古县渡中学 李春辉

一、授课内容的数学本质与教学目标定位 教学内容：

本节课是人教版教材八年级（上）第十一章《三角形》第一节“三角形的边”的第一课时．主要内容是经历探索三角形定义、认识三角形边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形，并由此探索了三角形三边不等关系，应用三角形三边不等关系性质解决一些简单问题．

一、教学目标

1、知识与技能

1、了解三角形的有关概念，能用符号语言表示三角形，会对三角形进行分类。

2、掌握三角形三边关系，并能运用它解决有关问题。

2、过程与方法

经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系

3、情感价值观

1、经历探索三角形概念、分类及三边关系的过程，渗透分类思想，发展数学思维、情感、态度与价值观。

2、通过具体问题情境的创设，使学生在生活中发现数学问题，并认识到数学在生活中的重要应用，激发学习热情。

二、教材的地位及作用

《三角形的边》是初等数学的基础知识，三角形是最简单也是最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形，在平面图形里，三角形是由3条线段围成，但并不是任意3条线段都能围成三角形。所以学好这部分内容，不仅可以进一步丰富学生对三角形的认识和理解，也为今后进一步学习习近平面几何图形打下基础。

三、教学诊断分析

1.在学习三角形按边分类的时候,学生习惯将三角形分成熟悉的等腰三角形和等边三角形,因此,在本节课的教学过程中作了特别给予注明；

2.在遇到三条线段组成三角形的时候，学生忽视验证三角形三边关系，因此必须告诫学生三角形三边关系是三角形成立的前提。

四、教学设计说明 1．根据新课堂教学理念——充分调动学生的能动性施展教师的主体性。让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验” ．本节课的设计遵循了这一理念，通过画三角形和找一找什么样的三条线段才能组成三角形等活动激发学生学习本课的积极性，注意让学生动手操作实践，在操作中进行自主探索和生生、师生互动交流，从而使学生能很好地掌握三角形的概念，并获得三角形的三边得符合不等关系的活动经验．

2．在本节课的教材内容处理上，注重教材的基本性，它是初中阶段学生最基本的知识内容，又加强习题的巩固，做到讲完一个知识点紧跟着相应的习题，而且增加了反馈练习活动，让学生独立自主解决问题．

3．本节课在教法上选用了“探究——发现——巩固”教学模式，这是基于本节课的知识内容，有实践背景，适用于让学生动手操作探究．因此本节课在教学活动设计中，注意突出学生活动，设置了四个活动：①动手活动：让学生画一画三角形；②表述活动：师生共同归纳三角形的定义；③探究活动：在以往“两边之和大于第三边”的基础上联系三角形得出三角形的三边关系；④小结活动：通过介绍《三角学》的相关知识，提高学生的兴趣，增强民族自豪感，加强德育影响 4．教材中给出了三角形符号语言的表述，三角形内容贯穿整个初中阶段，因此在这里，我引导学生将文字语言转化为符号语言后结合图形语言，并应用三角形的三边关系将课本例题加以详细，规范的说理过程，引导学生自己写出过程，养成严谨求实的作风。5．评价方式

篇6：《三角形的边》教学设计

教学目标

1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.重点、难点

重点:

1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.2.能从图中识别三角形.3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系.难点:

1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.教学过程

一、看一看

1.投影:图形见章前P68-69图.教师叙述: 三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可, 可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P68-69的图,到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中.学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形.(2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.ABABD(1)C

B(2)C

A(3)EC

EDCAD(4)BA(5)B

(1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC、CB、AB是否首尾顺序相接.(是)

(2)观察发现,以上的图,哪些是三角形?

(3)描述三角形的特点:

板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视.学生回答:

a.不在一直线上的三条线段.b.首尾顺次相接.二、读一读

指导学生阅读课本P71,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题:

(1)什么叫三角形?

(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?

(3)三角形ABC用符号表示________.(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三、做一做

画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?

同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题:

(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.a.从B→C

b.从B→A→C

(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的.四、议一议

1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?

2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?

3.三角形三边有怎样的不等关系?

通过动手实验同学们可以得到哪些结论?

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.五、想一想

三角形按边分可以,分成几类?按角分呢?

(1)三角形按边分类如下:

三角形  不等三角形

 等腰三角形  底和腰不等的等腰三角形 

 等边三角形 

(2)三角形按角分类如下:

三角形

 直角三角形

 锐角三角形  斜三角形 

 钝角三角形 

六、练一练

有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?

分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和8cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.错导:∵3cm+6cm>2cm

∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.七、忆一忆

今天我们学了哪些内容:

1.三角形的有关概念(边、角、顶点)

2.会用符号表示一个三角形.3.通过实践了解三角形的三边不等关系.八、作业

1.课本P71练习1.2,P75练习7.1 1.2.CD相交于点O，2.补充：如图，线段AB、能否确定ABCD与ADBC的大小，并加以说明．

篇7：《三角形的边》教学设计

从前老听人说这句，人生是长跑，不在一时一刻的胜负。良久以前我以为这个见解挺客观，是啊，那么多对手，不一定哪时哪刻谁在你前头，赢到最后的才算赢。

现在我觉得，这句话也有很大问题。

人生的过程只管充斥了竞争，但是其目的相对不是竞争。我们辛劳地学习、工作，一直空虚和进步自己，终极的目标不应该是为了超过别人多少，而是应当为了达成自己心中对自我实现的请求。这活儿你喜欢做，乐意做，那就多花时间和精力，砸多少都值得，最后迎来多少播种，自己心中有秤；这事儿你不那么喜欢，考虑其主要水平，投相应精神时间，最后做成多少成就，也是因果使然，完整不用和别人比拟。

人有优劣之分，不必为自己比谁人在那件事情上强出半头觉得沾沾自喜，也不必因为自己在某件事情上差人半步就汗颜无地。管好自己即可。人的精力何其有限，天资差别何其大，若能舍弃细枝末节，捉住极要害的几点，已是难能；要是能除却争竞的心态，只是惊魂未定应用天资和相应的勤恳去处置，才是宝贵。

良多时候，大家自怨自艾，更多的是由于没有想清楚自己想要什么不想要什么。人生就算是长跑，也只是一场不对手的长跑，假如有对手也只是你自己，在这个进程中，你只须要关注本人的进度即可。

2、no pay, no gain

在我目前还不算太长的人生阅历中，当代中国社会中的很多一般人对“捷径”的寻求，切实是让我难以苟同。

从逃票、插队这种占小廉价的,修辞手法，到不愿起早挂号又嫌病院号难挂的，从永远考前常设抱佛脚的，到古玩市场等待捡漏的，诸此种种，说白了都是在以小博大，甚至是不劳而获。

我所能设想的任何一种情况，我们付出的辛苦成本和失掉的实质性的收益都是亲密相干的（留神我说的是本质性的收益，靠要挟导师要自残最后混个学位那种不算）。兴许两者的比例有差异，但这更多是因为我们处于好处链条的不等同级。当我们都还在极低的等级时，就开始空想付出极少的本钱去取得极大的收益，这确切是件异常荒谬的事情。

十二岁的时候，我盼望找一个工作可能让我在三十岁之前赚够足够花的钱，而后三十岁退休，之后天天花钱玩儿。念了多少年中学我就明确这个欲望是如许傻X了。到了当初，我以为找到一件我爱好的工作，始终在这件工作上倾泻血汗，直到我和工作之间有一方不再需要另一方为止，这是极其幸福的事件，旁边换来的必要的钱财和声誉，只是从属品，而且绝大多数情形下这些货色跟你的兴致和时光无奈统筹。（）反过来讲，一个小孩儿上来就想找一个轻松、赚钱、受尊敬、自己喜欢的工作，然后轻松一辈子，这实在也十分扯淡。

很简略，多少付出就有多少收成，颠扑不破的真谛，至少在我这里是。

3、群体和自我的认同

这个事情早也想说，我的中学是陕西省中学中每年上清华北大的学生算是最多的，时不断蹦出个状元。我在中学的时候，时常会因为这种数据觉得自我膨胀，觉得自己是这个学校的成员，所以特殊牛，看其余学校学生都感到高人一头。

上了大学我破马明白，自己中学那状况几乎如小丑个别。

我必需否认群体和群体比拟，是有优劣之分的，但是决议一个群体优劣的本源还是个体。一个大学之所以杰出，是因为有大师或者曾经有大师，假设一个名牌大学一代人甚至几代人不再出巨匠，不再出翘楚，那所谓名牌实已色厉内荏，甚至只是被后人当做资本夸耀和招摇。

我们老是习习用所在的绝对优秀的群体来标志自己，好像算是某种认同，从中学到大学再到工作的单位，好像有了这种群体的认同自己就变得很保险，很有品质保障，好像只要是这个群体出去的，我就一定是素质过硬业务精熟。其实，因果颠倒了。你最初能跻身这一群体，是因为最初你努力了，提高了，在阶段转换的时候才干跳入相对优秀的群体，如果进来之后就放荡就开始颓丧，即使被打上标签也只是残次品了。

对于那些始终努力人们，我很尊重他们。我想这些人不会在乎自己被扣上了什么标签，而只是在乎自己的努力。只有没停下，就必定会持续做大做强自己。如果有一天，现在的群体已经包容不下自己，已经不能为自己供给足够辽阔的舞台，不要紧，他们会进入新的更加优良的群体中去。

这些人，不重视群体的认同，只要要认同自己的努力。

4、没人是?丝，就要做精英

最开端的时候，我和许多协和八年制的学生一样，不喜欢学校造就打算中说要把咱们培育成精英的提法，认为和实际的教养情况太不一致了，而且在中国这样一个崇尚中庸的处所，旗号赫然地喊出精英很轻易遭人嫉恨和攻打，枪打出头鸟嘛。很长一段时间内，我都是这么认为的。然而直到近期?丝文明的呈现，越来越多的人开始争着说自己是?丝，我感到反而需要提一提精英这俩字了。

一个人，不论他聪慧程度有多少，只要是足够踏实和努力，把本职的工作踏实做到自己能做的极致，在我看来那就算是精英了。《舌尖上的中国》里的拉面师傅、做馍馍的老汉，他们爱好自己的工作，当真做到最好，他们就是精英。从这种意思上说，没人应当是?丝。也许你会说这是大家的玩笑话，心里仍是要努力的。我也愿望是这样的。我害怕的是，大家彼此影响你说自己?丝他说自己无能我说自己二，最后全是给懈怠给混找理由，似乎因为有什么先天不足，所以萎靡一点就很有情理一样。

这个真心是扯淡。勇敢吼一句，我要把手里的事情做到自己能做的最好，很艰苦吗？会觉得很假很装逼吗？

我不会，我就是要尽我努力做好手里的事情，如果这是精英的表示，那我就要做精英！

最后，用一句久长以来我无比喜欢但不晓得出自哪里的话来结尾，每次我累了烦了想偷个勤的时候，看见这句话，总能再挺个一年半载的：

曾经我以为自己很努力，其实我连努力的边都没看到。

篇8：平面图的边分解探讨

本文所研究的图均为简单无向图。如果没有特殊说明,所有的定义和术语均可参考。

我们首先将给出一些常用的定义。

设G是一个图,若能把图G画在一个平面上,使任何两条边除了端点外都不相交,就称G可嵌人平面,或称G是可平面图。对于一个平面图G,我们用V(G),E(G),F(G),Δ(G),δ(G),d(v)分别表示图G的顶点集、边集、面的集合、最大度、最小度和顶点度。对f∈F(G),用f=[u1u2 Auk]以顺时针顺序表示f的边界。f的边界的长度称为f的度,记为d(f)。如果v∈V(G)且d(v)=k,则称v是一个k度点,同理,可以定义k度面。

一个顶点v被称为k+-(或k--)点,如果d(v)≥k(或d(v)≤k)。类似我们可以定义k+(或k-)度面。对v∈V(G),NG(v)表示v在图G中的邻点集合。图G中最短圈的长度称为G的围长,记为g(G)。给定一个图G,如果它不含任何回路,我们就叫它为森林,记为F。如果G又是连通的,即只有一个连通分支,就称它为树,记为T。也就是说树是不含任何回路的连通图。如果森林中的每棵树的顶点的最大度都不超过2,那么又称这个森林为线性森林。

对于图G的边集E的一个子集M,若M中的任意两条边都不相邻,即没有公共端点,则称为G的一个匹配。长久以来,图的边分解问题一直是学者们致力研究的一个重要课题。所谓图的边分解就是将图分解为若干互不交的边导出子图。它与顶点的度,围长等有着紧密的联系。

Nash-Williams证明了每个平面图可以被分解为3个森林。J·Balogh等人进一步证明了每个平面图可以被分解为3个森林,并且其中一个森林满足Δ≤8。他们猜想Δ≤8可以改进到Δ≤4。Concalves证实了这个猜想。

W·He等人证明了一类关于指定围长条件的平面图分解成一个森林和最大度不会太大的图的结论。具体的,他们证明了每个平面图G可以将边分解为一个森林和一个子图H,满足:如果g(G)≥5,则Δ(H)≤4;如果g(G)≥7,则△(H)≤2;如果g(G)≥11,则Δ(H)≤1。

Kleitma证明了一个围长至少为6的平面图可以分解为一个森林和一个最大度达到2的图,改进了的结果。W·He等人证明了一个围长至少为11的平面图可以被分解为一个森林和一个匹配;Kleitman等人证明了围长至少为10的平面图也有这样的性质,后来Borodin等人证明了围长至少为9的平面图分解为一个森林和一个匹配,改进了Kleitman的结论。

2 证明

定理1:如果一个Δ≤3图可以被分解为匹配M和线性森林F,则顶点数n与边数m满足以下关系:证明:图G被分解为匹配和森林,设匹配所含的边数为m1,森林所含的边数为m2。我们知道,最大匹配所含的边数最多,且不会超过顶点数的一半,所以就有;而m2≤n-1,从而,。

定理2:如果G是平面图,且满足g(G)≥12,△≤3,m≤,则G可被分解为匹配M和线性森林F。

证明:反正法。假设结论不成立,则设图G是一个顶点数最少的反例,即图G满足△≤3且,但是它的边不能被分解为匹配M和线性森林F。然而G的任一真子图都能被分解为匹配M和线性森林F。

显然,G是连通图,否则考虑G的连通分支即可。

引理1:图G中不存在1-点。

证明:如果G中存在1-点,假设v是G中的1-点,v1为v的邻点。v1为2-点或3-点。

如果v1为2-点,设v2是v的另外一个邻点。考虑G'=G{v},由G的最小性,G'存在MF-染色。如果vv2染颜色M,则用颜色F染v v1,这样可以得到图G的MF-染色,与假设矛盾。同理,如果v v2染颜色F,则用颜色M染v v1,可以得到图G的MF-染色,与假设矛盾。

如果v1为3-点,设v2,v3是v的其余两个邻点。考虑G'=G{v},由G的最小性,G'存在MF-染色。由G'的任何一个MF-染色都能扩充到G的一个MF-染色。事实上,如果vv1,vv2都染颜色F,则用颜色M染vv1,可以得到图G的MF-染色;如果vv1,vv2只有一条边染颜色F,则用颜色F染vv1,这样可以得到图G的MF-染色,与假设矛盾。

综上,引理1得证。

引理2:图G中不存在相邻2-点。

证明:假设u,v是G中相邻的2-点。设u1,v1分别是u,v的另一邻点。显然u1,v1是2+-点。我们分以下情形讨论:

(1)u1,v1都为2-点。u2,v2是u1,v1的另一邻点。考虑图G'=G{u,v}。由G的最小性,G'存在MF-染色。并且G'的任何一个MF-染色都能扩充到G的一个MF-染色。事实上,如果u1 u2与v1 v2染颜色M,我们可用颜色F染uv,uu1,vv1。如果u1u2与v1v2染颜色F,则用颜色F染uv,用颜色M染uu1,vv1。如果u1u2与v1 v2所染颜色不同,不妨设u1 u2染颜色M,v1 v2染颜色F,则我们分别用颜色F,F,M染uu1、uv、vv1,即可。这样可以得到图G的MF-染色,与假设矛盾。

(2)u1,v1都为3-点。u2,u3和v2,v3分别是u1,v1的其余邻点。考虑图G'=G{u,v}。由G的最小性,G'存在MF-染色。并且G'的任何一个MF-染色都能扩充到G的一个MF-染色。事实上,如果u1 u2,u1 u3,v1v2,v1v3染颜色F,则可用颜色M,F,M分别染uu1,uv,vv1即可。如果u1u2,u1u3和v1v2,v1v3这两组边中,若一组都染颜色F,另一组中有一条染颜色M,设u1u2,u1u3,v1 v3染颜色F,v1 v2染颜色M,则可以用颜色M染uu1,用颜色F染uv,vv1。如果u1u2,u1u3和v1v2,v1v3这两组边中,每一组中有一条边染颜色M,假设u1u2和v1v2染颜色M,v1 v3和u1u3染颜色F,则可用颜色F染uu1,uv,vv1。这样可以得到图G的MF-染色,与假设矛盾。

(3)u1,v1中一个2-点一个3-点。不妨设u1为2-点,v1为3-点,则u2为u1的邻点,v1,v3为v1的邻点。考虑图G'=G{u,v}。由G的最小性,G'存在MF-染色。并且G'的任何一个MF-染色都能扩充到G的一个MF-染色。事实上,如果u1u2染颜色M,v1v2,v1v3中有一条染颜色M,设v1 v2染颜色M,v1 v3染颜色F,则可以用颜色F染uu1,uv,vv1。如果u1u2染颜色M,v1 v2,v1v3都染颜色F,则可以用颜色F,F,M分别染uu1,uv,vv1。如果u1u2染颜色F,v1 v2,v1 v3中有一条染颜色M,设v1v2染颜色M,v1 v3染颜色F,则可以用颜色F染uu1,uv,vv1。如果u1u2染颜色F,v1 v2,v1 v3都染颜色F,则可以用颜色F,F,M分别染uu1,uv,vv1。这样可以得到图G的MF-染色,与假设矛盾。

综上,引理2得证。

对x∈V(G)∪F(G)定义一个权值ω,令ω(x)=5d(x)-12如果x∈V(G);ω(x)=d(x)-12;如果x∈F(G)。

由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2,可得=-24,对通过转移元素之间的权值则可以得到新的权值ω*(x),并且应同样的有,而如果通过权值的转移之后,则我们可以得出矛盾,从而结束定理的证明。权值的转移按照以下的规则:

(R):G中每个3度点转移权值1至其每个相邻的2度点。

令f是图G的一个k-面,由g(G)≥12,w*(f)=d(f)-12=0。

令v是是图G的一个k-点。3≥k≥2。

当k=2时,由(R)及引理2,w*(v)=w(v)+2=0。

当k=3时,v至多与3个2-点相邻,由(R),w*(v)≥w(v)-3=0。

综上,得≥与=-24矛盾。定理得证。

3 结论

当△≤3且g(G)≥12,此时,任何平面图都可以分解为匹配和森林。

参考文献

[1]C.St.J.A.Nash-Williams,Decompositions of finite graphs into forests,J.London Math.Soc.39(1964)12.

篇9：《三角形的边》教学设计

对于如何得到更加准确的运动矢量仍是生成高质量边信息非常重要的因素。Aaron等人提出了基于运动补偿时域内插[3]，首先对已解码的关键帧进行运动估计，然后计算帧间的运动轨迹，再依据在很短时间内物体做匀速直线运动假设的原理来估计边信息。为了获得更加准确的运动估计矢量，L.Natario和J.Ascenso等人提出对前后已解码的关键帧进行前向和双向运动估计[4,5]，并利用空间矢量平滑技术来平滑运动矢量场，进一步优化运动矢量。纪涛等人提出了一种基于混合模型的边信息预测算法[6]，该方法通过对块匹配效果较差的区域采用光流法重新估计其运动矢量从而获得效果较好的边信息。S.Ye等人结合传统运动估计，对已解码的WZ帧重新进行运动估计[7]，得到更加精准的运动矢量。后来研究者们对于高质量边信息的生成都是基于怎样才能进行精确的运动估计，使得到的运动矢量更加接近真实的运动矢量。

以上这些方法都必须假设每个划分的像素块在很短的时间内进行匀速直线运动，但现实生活中的视频序列帧几乎没有这样假设的视频，所以对于运动画面较为剧烈的区域，就会造成生成的边信息中宏块与宏块之间不连续和重叠的问题。针对上述问题，本文提出了一种可变块运动矢量的边信息生成算法，通过把宏块划分为尺寸更小的匹配块进行搜索，以获取更多运动矢量的细节，实验结果表明，本文提出的改进算法能够使生成的图像质量有所提高。

1 分布式视频编码系统

1.1 基于像素域的分布式视频编码系统

像素域的分布式视频编码系统基于信源有损编码理论，Aaron等人提出了利用帧内编码和帧间解码的DVC结构[8]，如图1所示。系统按照奇偶数将视频序列分为关键帧(K帧)和Wyner-Ziv帧(WZ帧)两种类型。在编码端，K帧采用帧内编码方式;WZ帧进行编码时，应将对应位置的DCT转换系数经过量化器进行量化，产生量化符号流，然后将量化符号流通过LDPC编码器生成校验比特，缓冲器会暂时存储系统的校验码。在解码端，K帧只需要普通的帧内解码即可，然后通过已解码的K帧得到边信息。然后，解码器再利用收到的校验比特和边信息进行重构。在达到良好的解码效果时所需的校验比特就越少，系统的压缩性能就越好。

1.2 传统边信息生成算法

边信息是指对原始WZ帧的估计，生成方法中比较典型的有运动补偿内插法和运动补偿外推法，通过研究发现，内插法充分利用前后相邻帧之间的相关运动信息，产生的边信息较外推法效果更理想[9]。

1.2.1 前向运动估计法

生成前向运动估计的方法如图2所示，Y2k表示需要生成的边信息帧，X2k-1表示前关键帧，X2k+1表示后关键帧。为了预测插值帧Y2k中的块B2k的运动矢量，首先在后一关键帧中找到与块X2k+1相同位置的块B2k，用B2k+1在前一关键帧X2k-1进行匹配计算，找到最佳匹配块，通过B2k+1与B2k-1之间的位移矢量得出前后关键帧间前向运动矢量MV2k，由于宏块的运动连续且视频帧的时间间隔相同，因而B2k的前向运动矢量MVf2k为MV2k的一半，即满足表达式(1)

边信息帧Y2k可由式(2)得到

式中:p是边信息中像素的坐标。

1.2.2 双向运动估计法

由于前向运动估计获得的图像容易发生相邻块区域的不连续和重叠现象，从而使获得的运动矢量误差较大，针对这一现象，J.Ascenso等人以前向运动估计为基础，提出了双向运动估计方法[10]，如图3所示。

双向运动估计假设插值帧到前一关键帧的运动矢量和到后一关键帧的运动矢量是对称的，即满足式(3)和式(4)

式中:(x1,y1)和(x2,y2)分别表示X2k-1帧和X2k-1帧中相应宏块的坐标;(xk,yk)生成的边信息相应宏块的坐标;MV(Bk)表示在前向运动估计中得到的运动矢量的一半。由于插值帧Y2k到前后两个关键帧的时间间隔是相等的，从而可以得到估计的预测帧，如式(5)所示

1.2.3 自适应加权运动场滤波

通过双向运动估计得到的运动矢量容易使某一块的运动矢量的方向和周围块的运动方向不一致，从而使获得的内插帧出现严重的块效应问题，如图4所示，获得的运动矢量比较混乱，当前宏块B0的运动矢量方向与其相邻八个方向的宏块的运动矢量截然相反，所以可以判断B0宏块的运动矢量很可能是一个局部最优值，不能反映运动场的实际情况，会严重影响边信息重建质量。为了改善这一缺陷，可以通过采用空域平滑算法来修正错误的运动矢量，因此卿粼波等人提出了一种自适应加权运动场滤波算法[11]，该算法通过有效利用块匹配度和相邻运动矢量的局部相关性，进而达到优化孤立异常运动矢量的目的。

如图4中为MVi(i=0,1，…，8)为B0块及其相邻8个块的运动矢量，则B0块进行自适应加权运动场滤波后输出的运动矢量MV满足式(6)

式中:权重wi由式(8)决定，将每个MVi(i=0,1，…，8)作为当前块的运动矢量，由式(7)计算双向运动矢量残差D(MVi)

式中:(MVix,MViy)是候选块的运动矢量。

显然，当D(MVi)越大，则权重wi越小，MVi输出的可能性也就越小，反之亦然。

2 基于可变块运动矢量的边信息生成算法

运动估计的基本思想是将每一帧图像分成多个互不重叠的宏块，然后对每个宏块进行运动搜索，找出与当前块的相似度最高的宏块，该块即为匹配块。然而对于区域运动丰富且变化多的视频帧图像，多个不同方向的运动矢量就可能存在于同一个宏块里，导致宏块的实际运动轨迹并非一个运动矢量就能表示。为了使得到的运动矢量场更加接近真实运动矢量场，可以考虑把这个宏块划分为尺寸更小的匹配块进行搜索，以获取更多运动矢量的细节[12]。所以本文提出了一种基于可变块的运动矢量优化算法。

2.1 对块进行分类

本文采用的块大小是16×16，将视频序列的前关键帧X2k-1进行分块，并将对应的像素块标记为B2k-1,j，对后关键帧X2k+1进行分块，并将对应的像素块标记为B2k+1,j，同时将边信息帧对应像素块标记为B2k,j。

将前后关键帧X2k-1、X2k+1的对应像素块B2k-1,j,B2k+1,j按照式(9)分别进行求和绝对误差SAD计算，当SAD值越小时表明其相关性越强

由于视频序列的运动复杂度不一样，所以对于前后运动一致性较好的区域(如静止的背景)采用较大的块;而对于前后运动变化较大的区域(如运动的物体)采用较小的块，并重新对这些小块进行运动估计。通过以上分析，首先设定阈值T1，然后对求和绝对误差值SAD和T1进行比较，将像素块分为运动块和保留块两类，如图5所示。具体计算步骤如下:

1)计算各对应块的SAD并与T1进行比较。若SAD大于T1，则认为像素块对B2k-1,j和B2k+1,j的运动剧烈程度较大，将其像素块对判定为运动块，否则将其判定为保留块。

2)对于运动块，将该16×16的块继续划分为8×8的子块，并对这些块做运动估计，重新计算SAD'的值，重新设定新的阈值T2，比较SAD'和T2的大小，若SAD'大于T2，则转到第3步，并判定该子块也是运动块，否则是保留块。

3)将8×8的运动子块再划分为4×4的子块，并对这些块做运动估计，算法结束。

2.2 计算子块初始运动矢量

由于运动矢量在空域上是高度相关的，因此可以根据式(7)，分别计算当前子块B0的8个相邻子块的双向运动矢量残差D(MVi)，并认为该子块的初始运动矢就是D(MVi)值最小的那个块的运动矢量。但是如图4所示，由于这8个子块里面有的子块可能来源于同一个父块，会发生重复现象，但是以当前子块为中心的两条对角线上对应的4个子块可以替代所有的8个相邻块，所以只要选取两条对角线上的4个子块即可[13]。具体计算步骤如下:

1)将内插帧16×16的图像运动块划分为8×8的子块，并把16×16块的运动矢量设定为其对应的4个8×8子块运动矢量，记为MV0。

2)对于每一个8×8子块B0，只考虑当前块为中心的2条对角线上的4个空间相邻块的运动矢量并把它们作为B0块的候选运动矢量，记为MVi(i=1,2,3,4)，然后计算每个MVi的D(MVi)，从而当前块B0的初始运动矢量MV'0就是取D(MV)值最小的MVi。

3)比较MV0和MV'0，若MV0=MV'0，则判定当前块B0处于运动一致较好的区域，所以不需要对MV'0做优化处理;若MV0≠MV'0，则判定当前块B0存在于运动较为复杂的区域，因此必须对MV'0进行优化，以MV'0为中心做小范围内的双向对称运动估计。

4)经过步骤1)～3)，内插帧运动矢量场已由16×16的块表示成8×8的块，保证了运动矢量的精度，提高了图像的主观质量，重复步骤1)～3)，可以获得更加平滑、精确的4×4级运动矢量场。

2.3 多候选运动补偿

因为视频运动具有不确定性、复杂性以及图像噪声等原因，通过以上步骤计算获得的运动矢量会存在一定的误差，会使生成的边信息帧中出现严重的块效应。为了克服上述缺陷，重叠块运动补偿方法可以减少块效应和改善图像质量，但是容易产生模糊和过平滑现象。因此，本文采用一种基于多候选运动矢量的加权自适应运动补偿算法来得到质量更高的边信息。

由于都是根据多假设运动补偿的方法，因此本文提出的补偿算法与重叠块运动补偿原理一样。多假设运动补偿是基于去噪的思想，选择多个质量差不多的运动补偿预测信号作为原始信号的候选信号，然后将多个预测信号加权线性组合处理，就达到去噪的目的，从而获得了更加精确的预测值[14]。

如图6所示，由当前块及其相邻块的运动矢量一起当着当前块的候选运动矢量集，每个候选矢量都可以生成一个预测信号Yi，如式(10)所示

式中:(m,n)表示当前块;i∈[0,N]是候选块的系数索引;(MVkx,MVky)是候选块的运动矢量。当进行线性组合时，各个预测信号的质量决定预测信号的权值wk，通常情况，双向预测误差越小，表示前向和后向运动补偿块的匹配度越高，生成当前块的预测质量效果就越佳，因此wk由式(11)表示为

加权自适应的运动补偿插值结果Y2k(m,n)如式(12)所示

3 实验结果及分析

本文分别选择对Foreman序列和Coastguard序列的前100帧进行编码测试，其中Foreman序列背景时有镜头摇晃的场景，前景运动强度中等，Coastguard纹理丰富细节变化多，运动强度中等。实验条件及假设:序列格式均为QCIF(176×144)，设置系统GOP为2，且认为K帧能完好地传到解码端。为更好地说明算法的优越性，在进行测试过程中只考虑WZ帧亮度分量部分。实验结果如图6和图7所示。图6a和图7a分别表示Foreman序列和Coastguard序列的第25帧(前关键帧)，图6b和图7b分别表示Foreman序列和Coastguard序列的第27帧(后关键帧)，图6c和图7c分别表示Foreman序列和Coastguard序列的第26帧(WZ帧)，图6d和图7d分别表示Foreman序列和Coastguard序列用本文算法生成的边信息。从图中可以看出本文算法生成的边信息帧基本上与原始帧没有差别。

计算边信息的PSNR值采用如下方式:1)单向运动估计;2)双向运动估计;3)AWMFF;4)可变宏块大小法。测试结果如表1所示。

如图8和图9所示，Foreman序列和Coastguard序列对应3种不同方法下的PSNR分布曲线。

从图表可以看出，相比单向运动估计，采用双向运动估计方法可以使块效应减少，更加接近真实的图像效果。由于AWMFF方法剔除了运动估计环节产生的部分错误运动矢量，使运动矢量更接近真实的运动轨迹，从而提高了图像的PSNR值。另外，通过图表可以发现，本文提出的改进算法生成的边信息质量，在整个视频序列上几乎都要优于其他方法。在码率相同的情况下，对于Foreman序列，改进的算法相比单向运动估计和双向运动估计，分别提高了1.27 dB和0.98 dB。而对于Coastguard序列，改进的算法相比单向运动估计和双向运动估计，分别提高了1.33 dB和1.14 dB。如图10和图11所示，还可以通过边信息的运动矢量图来分析物体的运动情况，结合图6和图7，可以发现运动矢量图与Foreman序列和Coastguard序列的运动情况基本保持一致。由此可见，本文算法通过在解码端进行更为精确可靠的运动估计，使产生的边信息图像与原始帧误差最小，即效果最好。

4 结束语