关于自然数数列前n项和公式证明

关于自然数数列前n项和公式证明（共15篇）

篇1：关于自然数数列前n项和公式证明

自然数平方与立方数列前n项和公式证明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。

一、证明：Sn=k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2证：(略)

二、证明：Sn=k2=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k1k1nn

证：(n＋1)³－n³=(n³＋3n²＋3n＋1)－n³=3n²＋3n＋1，则：

2³－1³=3×1²＋3×1＋1（n从1开始）

3³－2³=3×2²＋3×2＋1

4³－3³=3×3²＋3×3＋1

5³－4³=3×4²＋3×4＋1

6³－5³=3×5²＋3×5＋1

…

(n＋1)³－n³=3×n²＋3×n＋1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n＋1)³－1³=3×[1²＋2²＋3²＋…＋n²]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n (n＋1)³－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

Sn=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、证明：Sn=k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k1n

证：(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1则：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n从1开始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(1²＋2²＋3²＋…＋n²)+4*(1+2+3+...+n)+n4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2

篇2：关于自然数数列前n项和公式证明

n项和

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、等比数列的前n项和公式：

当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由 n1aaq1n2n2n1a1qSna1a1qa1qa1q得

23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qn(1q)Sna1a1q

∴当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，a2a1a3a2anan1q

根据等比的性质，有a2a3ana1a2an1Sna1Snanq

即 Sna1Snanq(1q)Sna1anq（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

课题: §2.5等比数列的前●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sna1(1q)1qnn项和

①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

课 题：数列复习小结

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] an2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。[等差数列的通项公式]

如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和] 1．Snn(a1an)2a1S1(n1)SnSn1(n2)[数列的前n项和] Sna1a2a3an

2.Snna1n(n1)2d

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab2或2Aab

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2.对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。

3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即G2ab。[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列an，若an1anq(q0)，则数列an是等比数列。

22．等比中项：对于数列an，若anan2an，则数列an是等比数列。1[等比数列的通项公式]

n1如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1q。

[等比数列的前n项和] Sna1(1q)1qn(q1)Sna1anq1q(q1)当q1时，Snna1

[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：anamqnm

2． 对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

4．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示：

4、数列前n项和（1）重要公式：

123n123n222n(n1)22；

； n(n1)(2n1)612n333[121n(n1)] 2（2）裂项求和：

篇3：关于自然数数列前n项和公式证明

1高斯算法———千古佳话存局限

“高斯算法”的智慧在于把“不同数的求和问题”转化成了“相同数的求和问题”,策略是“首尾等距配对”.方法的局限性是当项数是奇数个时,无法实现“首尾等距配对”,这一关键问题往往被教学者忽略,事实上可能没有找到更好 的方法予 以突破,只好仁者 见仁[1].

2钢管算法———触及实质不自然

“钢管算法”的本质就是梯形的面积公式的推导过程.“钢管算法”是一个对学生提供感知等差数列前n项和公式的绝好的生活素材,体现了数学来自于生活,数学是自然的,数学是有用的等新课程的理念.“钢管算法”的缺点是“倒 放钢管”的 设计似乎 有些牵强[1].在生活中有谁会“倒放钢管”呢?钢管是堆放的,倒放的住吗?如何想到呢?只好由教师直接告诉学生,学生恍然大悟,佩服老师高明.这样的数学学生能学到手吗?

3棋子算法———文章天成偶得之

以上两种方法的不足,留下了缺憾.为此笔者受古希腊人玩三角形点阵的启发,设计了一种“棋子算法”,现介绍如下:

问题情境小聪和小明坐在桌子两边,模仿古希腊人玩三角形点阵.他们用围棋子替代石子,小聪用黑子,小明用白子,分别摆出了如图1的三角形点阵.

问题1如果小聪摆上100层,共需要多少颗黑棋子?如果小明也摆上100层,共需要多少颗白棋子?

设计意图引出高斯算法,增加知识的趣味性和文化性.本人教学证明学生很容易想到高斯算法,教学趣味盎然.

问题2如果小聪摆上101层,共需要多少颗黑棋子?

设计意图揭示高斯算法方法的 局限性,当项数是奇数个时,无法实现“首尾等距配对”.高斯算法失灵.本人教学中学生想出利用“1+2+3+ … +100”的结果,再加上101;或在“1+2+3+…+100+101”的前面加一个0,实现“首尾等距配对”等方法.可以引导发现“首尾等距配对”没有直接实现,留下了遗憾.能否弥补这一遗憾呢?此时如图2,已有学生自然的想到把小聪和小明的棋子放一块算,可以说是倒序相加法水到渠成了.如果学生还想不到.就给出问题3.

问题3如果小明也摆上101层,共需要多少颗白棋子?可以把小聪和小明的棋子放一块算吗?

设计意图一般来说,这一问题估计用不上.就算用的上,也是自然的,不会再有牵强之感.至此,倒序相加法就很自然的水到渠成了.

问题4求1+2+…+n=?

设计意图用倒序相加法求正整数数列的前n项和,强化对倒序相加法的理解.

问题5为了研究的方便,我们记等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=a1+a2+a3+… +an-1+an.正整数数列是特殊的等差数列,以上方法对求一般的等差数列前n项和也适用吗?自己研究一下,看可以得出什么结论?

设计意图由特殊到一般,是本节课研究问题的一般方法,及时的把特殊问题中得到的方法应用到一般的问题,是提升学生能力的好时机.本问题一定要舍得花时间,让学生自己去探究,否则效果会大打折扣.

教学预设1用“倒序相加法”求等差数列的前n项和.由

教学预设3公式Sn=n(a1+an)/2的记忆:构造以a1为上底,以an为下底,n为高的梯形求面积.

公式Sn=na1+n(n-1)d/2的记忆:把以a1为上底,以an为下底,n为高的梯形划分成一个以a1为一边,n为一边的一个平行四边形,和一个以(n-1)d为一边,以n为高的等腰三角形,然后求面积和.

本人的教学效果证明以上设计确实弥补了高斯算法和钢管算法中的遗憾.

篇4：关于自然数数列前n项和公式证明

1 匀变速直线运动的位移公式

现行高中物理教材是利用“v—t图象下的面积表示物体运动的位移”推导匀变速直线运动位移公式的.那么，我们能否用数学方法来推导出这个公式呢？

2 弹性势能公式

弹簧具有的弹性势能等于克服弹簧弹力所做的功.

所以弹簧拉伸具有的弹性势能为

Ep=12kx2.

3 大量原子跃迁产生的谱线条数公式

原子从能级为n的激发态向低能态跃迁时，可产生（n—1）条谱线

跃迁到（n—1）激发态上的原子仍会向低能态继续跃迁，又可产生（n—2）条谱线

跃迁到（n—2）激发态上的原子还会向低能态继续跃迁，继续产生（n—3）条谱线

……

以此类推，处在能级为n激发态上的大量原子，发生跃迁总共可产生的谱线条数为

篇5：关于自然数数列前n项和公式证明

一、教学目标的反思

本节课的教学设计意图：

1。进一步促进学生数学学习方式的改善

这是等比数列的前n项和公式的第一课时，是实践二期课改中研究型学习问题的很好材料，可以落实新课程标准倡导的“提倡积极主动，勇于探索的学习方式;强调本质，注意适度形式化”的理念，教与学的重心不只是获取知识，而是转到学会思考、学会学习上，教师注意培养学生以研究的态度和方式去认真观察、分析数学现象，提出新的问题，发现事物的内在规律，引导学生自觉探索，进一步培养学生的自主学习能力。

2。落实二期课改中的三维目标，强调探究的过程和方法

“知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值”这三维目标是“以学生的发展为本”的教育理念在二期课改中的具体体现，本节课是数学公式教学课，所以强调学生对认知过程的`经历和体验，重视对实际问题的理解和应用推广，强调学生对探究过程和方法的掌握，探究过程包括发现和提出问题，通过观察、抽象、概括、类比、归纳等探究方法进行实践。

在此基础上，根据本班学生是区重点学校学生，学习勤恳，平时好提问，敢于交流与表达自己想法，故本节课制定了如下教学目标：

(l)、通过历史典故引出等比数列求和问题，并在问题解决的过程中自主探索等比数列的前n项和公式的求法。

(2)、经历等比数列的前n项和公式的推导过程，了解推导公式所用的方法，掌握等比数列的前n项和公式，并能进行简单应用。

二、教材的分析和反思：

篇6：关于自然数数列前n项和公式证明

教学案例：

一、教学设计思想

本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。

本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。

在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

二、学生情况与教材分析

1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课；

2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2、能力目标

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点、难点

1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

五、教学流程图

六、教学过程

1、引入新课（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=，通项公式an=”（见黑板）生：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和，我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3、、、、、+99+100”（见课件）高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生：5050 师：看来我们班还是有不少高斯的。继续努力，说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生：（说明如何进行首尾配对进行求和的。）

师：根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过，对于以下的题，“例：求等差数列8、5、2、、、、的前20项的和（见课件）”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

2、探究等差数列前n项和公式一

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

生：利用刚才的方法.(略)师：想一想，除了刚才的首尾配对求和的方法外，还有没有其他的方法呢？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和sn等于多少？ 生：

师：这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书：把上式的次序反过来又可以写成

两式相加：

所以

看来，我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。

3、学生合作学习，运用公式一解题，并从练习中探索得到求和公式二。学生练习一：

1、在等差数列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求s10

2、求正整数列是前1000个数的和； 学生小组合作练习，分组进行交流。

师：看来，大家对公式的掌握还是不错的。下面，我们再来看一道练习。

学生练习二：在等差数列｛an｝中，已知a1=1，d=-2，求s10；

学生思考，并讨论解答。

学生讲解如何进行求解这题。

师：刚才那道题给出了a1，d和n=10，a10没有给出，但我们一样可以将s10求出，那我们能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

学生根据求和公式一和通项公式导出公式二：

学生练习三：求正整数中前500个偶数的和（用多种方法求解）学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。

4、总结

师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一，并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二，希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。

【教学反思】：

综观本节课，存在有特点主要有以下几点：

1、合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导。例如：等差数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出；而第二个公式并不象书本上那样直接给出，而是让学生从习题中进行归纳总结得到的。这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼。

篇7：关于自然数数列前n项和公式证明

安徽五河一中邢文举、杨梅玲

由数列前n项和构成的不等式是一种非常重要的题型，常在高考题中出现，由于不等式证明本身就是一个难点，再加数列的各种变形应用，不少学生对该题型束手无策，不知从何处去分析寻求解题思路，该题型一般有三种解题思路：第一，若数列an是可求和数列，应先求和Sn，再证明不等式；第二，若数列an是不可求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式；第三，若数列是不可求和数列，对通项的放缩又有一定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式，当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明，下面以例说明。

例

1、各项均为正数的等差数列an，a1=3前n项和为Sn，等比数列bn中，b1=1，且b2S2=64，ban是公比为64的等比数列。

（1）求an、bn；

（2）证明1113 S1S2Sn4

解：（1）设an的公差为d，bn的分比为q（d>0,q>0）

则an=3+(n-1)dbn=q n-1

ban1qan11

an1qan1anqd64 banq

又b2S2=q(6+d)=64

可求得：d=2，q=8

∴an=2n+1，bn=8n-1

（2）由（1）知Sn=n(n+2)11111()Snn(n2)2nn2

1显然是可求和数列，先求和，再证明不等式

Sn

∴11111111111(1)()()() S1S2Sn232435nn2

1111113=(1)(1) 22n1n2224

∴原不等式对nN成立

例

2、等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上。

（1）求r的值；

（2）当b=2时设bnn11(nN)，数列bn的前n项和为Tn，证明Tn 4an2解：（1）由已知有Sn=bn+r，当n≥2时，Sn-1=bn-1+r

∴an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn-1

又a1=b+ra2=(b-1)b ∴a2(b1)bb∴r=-1 a1br

（2）由b=2，故（1）有：an=2n-1bn=n1 n12

由于bn是可求和数列，先求和后证明不等式

Tn=b1+b2+b3+…+bn 234n1∴Tn234n1① 2222

123nn1Tn34n1n2② 22222

12111n1①-②得：Tn234n1n2 222222

3n3∴Tnn1 22

∵Tn为递增数列 ∴TnT1

∴Tn311 221对nN成立

221

31

n2(n11)（nN）例

3、证明不等式：1

1证明

（一）∵数列是不可求和数列，应先放缩再证明不等式。n

∵

∴

11

21n2nn2n1n2(n1n)1

1

n2(21)(32)(4)(n1n)

=2（n11）∴11

21

1

n2(n11)对nN成立

（二）数学归纳法证明

（1）当n=1时，12(21)，即n=1不等式成立。

（2）假设当n=k(nN)时不等式成立 即：11

21

1

k2(k11)

当n=k+1时

11

21



k111k12(k11)1k11k1 =2k12(2k1)22 =4(k1)4124(k1)42 k1

=2((k1)11)

即n=k+1时，不等式成立。

由（1）（2）知，原不等式对nN均成立

例

4、已知数列an前n项和为Sn，点(n,Sn)在函数y=3x-1的图象上，bn=n(n1)an，bn前n项和为Bn，证明：Bn

解：由已知：Sn=3n-1

当n=1时，a1=3-1=2

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×3n-1

∴an=2×3n-1（nN）∴bnn(n1)23n1

法

（一），显然bn是不可求和数列，先放缩，再证明不等式。∵bnn(n1)23n1=4n24n3n1(2n1)23n1

=(2n+1)×3n-1

∴Bn=b1+b2+b3+…+bn

<3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

令Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

由错位相减法可求得Tn=n×3n

∴Bn< n×3n n(n1)2n1对bn进行放缩。22n法

（二）用数学归纳法证明：Bn< n·3 注：也可用均值不等式：n(n1)

①当n=1时，B1=b1=2222<1×31=3

即n=1时，不等式成立

②假设当n=k+1时，不等式成立，即Bk

当n=k+1时）(k2)23k Bk+1=Bk+bk+1

(k1)(k2)23k 2k=(3k+3)×3=(k+1)×3k+1

即n=k+1时不等式成立< k·3k+

由①②知：Bn< n·3n对nN均成立

由以上例题可知，对于由数列an的前n项和Sn构成的不等式证明，首先考查an是否可求和，若能求和，先求出Sn再证明不等式，若不可求和，要么先将an进行放缩成可求和数列，再求和证明不等式；要么利用数学归纳法进行证明，当然还可构造函数来证明，在这就不说了，希望通过本文，对同学们解答这类题有一定的启发。

篇8：等差数列前n项和公式的两个侧重

关键词：等差数列,思想,前n项和公式

我们知道, 教材就等差数列前n项和给出了两个公式:设等差数列{a n}的前n项和公式和为Sn, 公差为d, n∈N*, 则

这两个公式在解决问题时如何使用, 下面举例说明。以下m, n, p, q∈N*, 不再说明。

一、侧重于函数方程思想的公式一

1、方程思想

所谓方程思想就是将题目条件运用前n项和公式, 表示成关于首项a1和公差d的两个方程, 通过解决方程来解决问题。

例1已知{an}为等差数列, 前10项的和S10=100, 前100项的和S100=10, 求前110项的和S110.

方程的思想, 将题目条件运用前n项和公式, 表示成关于首项a1和公差d的两个方程.

解析:设{an}的首项为a1, 公差为d, 则

拓展:观察结构特点, 将公式一做如下变形:

题是会更方便。

例2如果等差数列{}na的前4项和是2, 前9项和是-6, 求其前n项和公式。 () ⎧-=-SS194 ()

将S4=2，S9=-9代入(1)，(2)得：

2、函数思想

将, 当d=0, 数列{an}为常数列;当d≠0, 则Sn是关于n的二次函数, 若令则Su=An2+Bn。此时可利用二次函数的知识解决。

例题3设等差数列{an}满足3a8=5a13, 且a>10, 则{an}的前多少项的和最大?

解析:思路一:由3a8=5a13得:, 若前n项和最大, 则

又a1>0得:, ∴n=20, 即{an｝的前20项和最大

这一做法为通法。

思路二:, 当且仅当n=20时Sn n最大。

思路三:

由 3a8=5a13得, 又∵a1>0,

∴Sn的图象是开口向下的抛物线上的点列, 对称轴恰为n=20, 故n=20时Sn最大。

点评:这一做法中几乎没有运算, 抓住了题目条件, 结合数列的函数特性做处理, 显得十分巧妙。

二、侧重于等差数列性质的公式二

1、侧重于性质:若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq。

有些涉及等差数列前n项和的题目, 常与等差数列的上述性质融合在一起, 将a1+an与其他条件进行转换。

例题4一个只有有限项的等差数列, 它的前5项的和为34, 最后5项的和为146, 所有项的和为234, 则它的第七项等于 ()

A.22 B.21 C.19D.18

解:设该数列有n项且首项为a1, 末项为an, 公差为d,

(1) + (2) 结合上述性质可得

a1+an=36

代入 (3) 有n=13

从而有a1+a13=36

又所求项恰为该数列的中间项, 故选D

点评:依题意能列出3个方程, 若将作为一个整体, 问题即可迎刃而解。在求时, 巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用, 来源于对知识系统的深刻理解。

2、侧重于等差中项

利用等差中项, 可以实施等差数列前n项和Sn与其通项an的转换：

例题5在等差数列{an}和{bn}中, 它们的前n项和分别为, Sn Tn, 且的值是多少?

篇9：关于自然数数列前n项和公式证明

【关键词】 等差数列；前n项和公式；倒序相加；驾驭课堂

最近笔者有幸担任我市招聘教师评委，聆听了十七位应聘者关于《等差数列前n项和》的讲课比赛，听后感慨颇多，特别是在许多教学环节的呈现上，怎样才能自然和谐地推进而不生搬硬套，怎样才能突出数学的逻辑美，并且利于学生数学思维能力的培养，利于学生数学学习兴趣的激发等.因此本文欲从等差数列求和的教学中如何更好地驾驭课堂，如何根据课堂教学的实际情景灵活应对，谈一点个人的思考与体会.

1 以高斯故事引入

大多教师在教学等差数列求和公式时都用高斯求和的故事引入.高斯故事在全世界广为流传，版本较多，最值得信赖的说法有两种：一是高斯10岁时算出他的老师布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案.二是据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899.当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）.E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他在老师刚写完题时就在小石板上写出了正确答案，而其他的孩子们都错了.可是高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题.数学史家们推测，高斯当时用的方法可能是：首尾配对法或倒序相加法.虽然两种方法本质都是配对凑成相同的数，变多步求和为一步相乘，但在方法的应用上是有区别的.作为时间宝贵的课堂教学当然宜采用第一种说法.

2 公式推导方法探究

4 教学难点的确定

本课难点常见的说法有三种：第一种，获得等差数列前n项和公式推导的思路；第二种，等差数列前n项和公式的推导及从函数角度理解该公式；第三种，①对公式推导过程中归纳出一般规律的理解与领会，②灵活应用公式解决一些简单的有关问题.不同学生的认知水平不同，不同教师的教学风格不同，理解角度不同，对难点的确定和教学安排多少都会有些许差别，属于正常现象.其实结合课标要求和课程内容特点，概括地讲难点就是：获得公式的推导方法及公式的理解应用.对于理解应用公式，值得参考的题目，如：

题1 求正整数中前500个偶数的和.

评注 可以用两个公式求和，也可以用公式推导过程中使用的方法，倒序相加或首尾配对等多种方法求解.此题难度不大，但接地气，能有效的回顾复习当堂所学的知识.

题2 计算：1-2+3-4+…+（2n-1）-2n.

评注：本题可使学生进一步理解求和的意义，及对等差数列求和公式中基本量的理解和刻画.其次，公式推导中的配对，实质是一种并项法，宏观上也可以看作是分组求和，那么本题你是采用并项法，还是分组运用公式求和，是又一仁者见仁，智者见智的好题.题3 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：

5 结束语

等差数列求和的两个公式，体现了数学知识的多样性和简洁性.公式Sn=n（a1+an）2的结构呈现对称美及与项的关系，同时也方便了记忆，如类比梯形的面积公式增强记忆.公式Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，当d≠0时，Sn可看作是n的二次函数式，方便了从函数的角度进一步认识和理解等差数列的前n项和，特别是为求Sn的最值提供了新思路.普通高中《数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，等差数列求和公式的教学便是体现这一思想的良好素材，教学中应注重公式推导的来龙去脉，切莫囫囵吞枣，直接给出公式，然后布置大量习题，把学生赶进题海，将学生变成做题的机器，从而白白浪费了一次培养思维和提升数学文化价值的良机.另外，随着“以学生为主体，教师为主导”的教学理念逐步深入，学生自主探索、合作交流、观察发现的能力在不断加强，课堂教学情境千变万化，随机生成的问题将会越来越多，教师“以本论教，经验定教”是远远不能迎接新挑战的，正如时下流行的说法那样：过去的教师，要给学生一碗水，教师应有一桶水，现在的教师，要给学生一滴水，自己必须是长流水.因此，教师只有不断学习，不断钻研，教学相长，才能更好的活跃在课堂舞台上.作者简介

篇10：关于自然数数列前n项和公式证明

河南省开封市第二十五中学 姜黎黎

《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。

教材分析

等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

学情分析

就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。

教学目标 在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

重点难点

重点：使学生掌握等比数列的前项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。

情境创设

《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.我选择的问题情景是国王赏麦的故事.国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。当时的国王大为赞赏，就问他想要什么。达依尔说：“请在棋盘的64个方格上，第一格放1颗麦粒，第二格放2颗麦粒，第三格放4颗麦粒，依次类推，每一格放的麦粒数都是前一格的两倍，直到第64格，请您给我足够的麦粒以实现上述要求。”选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.其次,将学生的角色设计成国王的谋士，更加激发了学生的探究热忱，同时也让学生明白数学和生活息息相关，把学以致用的思想渗透到课堂中。最后,通过让学生大胆预测麦粒的重量产生悬念,在公式推导后让学生运用公式解决问题,收尾呼应.在教师的引导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起等比数列的数学模型。数列是以1为首项，2为公比的等比数列。当学生跃跃欲试要求这个数列的前64项和时，课题的引入水到渠成。

公式推导

丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念.《数学课程标准》明确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.公式推导是这节课的重难点突破的地方，是整节课的核心。我进行了深入的思考,以教学实践与经验为基础,设计的教学方案是通过复习类比等差数列求和方法寻求等比数列求和的突破，重点主要是为什么要在等比数列前n项和这一等式两边同乘以公比q。首先推导等差数列前n项和公式，形式上采用倒序相加法，本质上是根据等差数列的定义发，抓住倒序后两式中上下对应项的和均为，从公差为

这一特性出

这个特点，构造相同项，进而化繁为简，推得公式。由此学生自然会联想等比数列是不是也可以用倒序相加法求和?学生进行尝试发现时行不通的.在此情景下引领学生透过现象看本质，如何在等比数列前n项和中构造相同项，从而化繁为简是解决问题的关键。引导学生抓住等差数列求和是根据定义，由公差据定义，由公比来探究。

切入。自然，等比数列求和也应根关注等比数列的定义： 即等比数列中的每一项乘以，如果对其稍加变形，就会发现=

都等于其后项，由于这是每一项共有的特点，所

。这样一来，等式两边为何乘，迎以将这一特点应用在前n项和上，即刃而解。通过如上分析，学生也体会到：这两种数列求和公式的推导方法，从数学思想上来讲是一致的，将不同项转化为相同项，从而将不易求转化为易求，只是具体的处理形式略有差异。正是由于这些异同，学生数学思维深刻性、广阔性等品质就得到了提高，思维能力得到了锻炼。

下面如何对这一等式进一步的化简整理，由学生分析思考，合作完成。在整合的过程中，学生会出现两个问题。

第一： 由此，学生会发现②式中的前（n-1）项与①式中的后（n-1）项对应相同，这样一来就构造出了相同项。但是，在表征形式上的处理有差异。有些学生注意到如果将等式右边各项均往后错一位，那么两式中相同项的对应就更加清晰，在此基础上，用①式减②式，这些相同的（n-1）项立即抵消为0，得到,从而完美的达到了化繁为简的目的。因此，对于学生深入细致的思考应给予高度的肯定和赞赏。同时，强调指出，这样的处理方法被形象的喻为：错位相减法。

第二：进一步化简，有些学生容易忽视：等式两边同时除以（1—数要求不为0，因此要特别强调对1—数列为常数列，当1—

做分类讨论，当1—≠0即

=0即）时除=1时，≠1时，从而通过错位相减法推出公式。在此基础上，≠1时，引领学生由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

在探究的过程中，学生还有其他的推导公式的想法，我们都给予了学生高度的肯定，并且让学生在课下整合自己的探究过程，在班级的学习园地中展示，同学们共享研究成果。同时，错位相减法是解决一类求和问题的重要基础和有力工具。要引起学生的高度重视。

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功能良好的认知结构.在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程,深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”.公式应用

公式推出后,又通过对公式特征的分析帮助学生弄清公式形式和本质，明确其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础。

首先回到国王赏麦的故事中，我给学生提供了相应的数据，让学生运用公式解决问题，从数据出发，用事实说话。同时再次使学生明确学习的意义在于学以致用。退去故事的外衣，就是等比数列求和的问题，所以在此基础上的变式练习就是公式的直接应用，目的是加强对公式的认识和记忆，帮助学生明确解题步骤，规范解题格式，提高运算能力。例2是关于“知三求二”的应用问题，目的是深化公式本质，渗透方程思想。

教学反思

结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在公式的推导及证明中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与创新，它就像一缕温暖的阳光，不一定能唤醒万物，却能催开人世间最绚丽的花朵。

整节课采取了“情境——问题”的教学模式，以实际问题作为背景创设教学情境。在具体问题上，抽象出解决一般问题的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，让学生亲历提出问题，解决问题，反思总结的全过程。在已有知识和经验的基础上主动建构新知识。同时，运用了学案，成果展示等新的教学理念。既保留了传统教学的优势，又增添了新式教学的辅助。新老结合，效果显著。

从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了等比数列前n项和的学习，在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的提高时有限的，特别是数学思想的渗透。但是，我们能够从一节课中吸取精华，让一节又一节的课堂活动连贯起来，促进学生学习能力的提高，数学素养的提升。

在整个过程当中，从开始准备到此刻，我深刻的体会到了钻研教材的艰辛与快乐，解惑授业时的责任与幸福。学无止境，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

篇11：等差数列前n项和教案

一、教学目标：

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能熟练应用等差数列前n项和公式。过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法的原理。

情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

二、教学重难点：

教学重点: 探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

三、教学过程：

（一）、创设情景，提出问题

印度著名景点--泰姬陵，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？从而提出问题怎样快速地计算1+2+3+…+100=？（学生思考），著名的数学家高斯十岁时就用简便的方法计算出1+2+3+…+100=5050，介绍高斯的算法。

（二）、教授新课：

数学的方法并不是单一的，还有其他的方法计算1+2+3+…+100吗？（学生思考）

①老师介绍倒序相加求和法，记S=1+2+3+…+100 S=100+99+98+…+1 可发现上、下这两个等式对应项的和均是101，所以 2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+ … +（100+1）2S=101100=10100 S=10100=5050 2②如果要计算1,2,3,…,(n-1),n这n个数的和呢？（学生独立思考），老师引导，类似上面的算法，可得S=

1nn2

③1,2,3，…,(n-1),n这是一个以1为公差的等差数列，它的和等于S=1nn2，对于公差为d的等差数列，它们的和也是如此吗？

首先，一般地，我们称a1a2a3an 为数列an的前n 项和，用Sn表示，即Sna1a2a3an

类似地：

Sna1a2a3an①

··a1② Snanan1an2· ①+②： 2Sna1ana2an1a3an2ana1

∵a1ana2an1a3an2ana1

∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)公式1 2由等差数列的通项公式ana1n1d有，Snna1

（三）、例题讲解：

nn12d 公式2（1）、利用上述公式求1+2+3+…+100=?（学生独立完成）

（2）、例：等差数列an中，已知： a14,a818,n8,求前n项和Sn及公差d.（教师引导，师生共同完成）

选用公式：根据已知条件选用适当的公式 Sn变用公式：要求公差d，需将公式2Snna1n(a1an)求出 Sn 2nn12d变形运用，求d 知三求二 等差数列的五个基本量知三可求另外两个

（四）、课堂小结：

1、公式的推导方法:倒序求和

2、等差数列的前n项和公式

Snn(a1an)2Snna1nn12d

3、公式的应用。

（五）、作业

篇12：《等比数列前n项和》说课稿

《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数;公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到.具有一定的探究性。

二、学情分析

在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运

用等差数列和等比数列解决问题的能力;但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。在情感态度上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。

三、教学目标分析：

知识与技能目标：

(1)能够推导出等比数列的前n项和公式;

(2)能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。体会公式探求

过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。

情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。

四、重难点的确立

《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。

五、教学方法

为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。

六、教学过程

为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：

1、创设情境：

创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天给八戒投资1万元，以后每天比前一天多1万，连续30天，但有一个条件：第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分后一天返还数为前一天的2倍.假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒决策.这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，营造了积极、和谐的学习气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活.

2、探究问题，讲授新课：

根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。提出如何求等比数列前n项和的问题，从而引出课题。通过回顾等差数列前n项和公式的推导过程，类比观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一项都乘以2，则每一项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学生自然就会想到把两式相减，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入本节课的重点等比数列的前n项和，请学生用错位相减法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生一起探讨两个问题，一是当q=1时Sn又等于什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列前n项和公式，二是结合等比数列的通项公式,引导学生得出公式的另一形式。

3、例题讲解：

我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：

1)例1是公式的直接应用，目的是让学生熟悉公式会合理的选用公式

2)等比数列中知三求二的填空题，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.

4.形成性练习：

练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。

5.课堂小结

本节课的小结从以下几个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式

(2)推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。

6.作业布置

篇13：关于自然数数列前n项和公式证明

关键词：数列,通项公式,前n项和

这一种特殊的数列具有两个特点:

(1) 它的所有项的各个数位上的数字都相同;

(2) 从第二项起, 每一项的数位个数都比它的前一项多1。

亦即具有如下四种形式:

(1) a, aa, aaa, aaaa, … , aa…a, …;

(2) 0.a, 0.aa , 0.aaa, 0.aaaa , … , 0.aa…a, …;

(3) -a, -aa, -aaa, -aaaa, … , -aa…a, …;

(4) -0.a, -0.aa, -0.aaa, -0.aaaa, … ,

-0.aaaa, … , -0.aa…a, …

其中, 1≤a≤9, a∈N (自然数) 。

下面, 谈一谈它们的通项公式及前n项和的求法。

首先讨论数列 (1) , 即

a, aa, aaa, aaaa, … , aa…a, …

当a=9时, 形式为

9, 99, 999, 9999, … , 99…9, … (1)

它可以变为

(10-1) , (102-1) , (103-1) , (104-1) , …, (10n-1) , …

因此, 其通项公式为

an=10n-1 (1.1)

前n项和为

undefined

即undefined

当a=1时, 数列 (1) 的形式为

1, 11, 111, 1111, …, 11…1, … (2)

它可以化成式 (1) 的问题来解决, 把它的各项都乘以9, 再除以9, 该数列就变为

undefined

利用公式 (1.1) 、 (1.2) 得, 该数列的通项公式为

undefined

前n项和为

undefined

当a≠1, 且a≠9时, 数列 (1) 的形式为

a, aa, aaa, aaaa, … , aa…a, …

即a×1, a×11, a×111, a×1111, … , a×11…1, …

各项乘以9, 除以9, 化为

undefined

因此, 利用公式 (1.1) 和 (1.2) 得数列

a, aa, aaa, aaaa, … , aa…a, …的通项公式为

undefined

前n项和为

undefined

显然, 当a=1, a=9时, 公式 (2.3) 和 (2.4) 也是成立的, 即公式 (2.3) 和 (2.4) 分别是数列 (1) 的通项公式和前n项和的公式。

关于数列 (2)

0.a , 0.aa, 0.aaa, 0.aaaa, … , 0.aa…a, …

的问题可采取以下办法来解决:

第步化为

第2步化为 (若a=1, a=9该步可以省略)

第3步化为 (若a=9该步可以省略)

易知, 数列 (2) 的通项公式为

前n项和为

数列 (3) 、数列 (4) 的问题可以分别转化为数列 (1) 数列 (2) 的问题得以解决。

利用公式 (2.3) 和 (2.4) 得数列 (3) 的通项公式为

前n项和为

利用公式 (3.1) 、 (3.2) , 得数列4的通项公式为

前n项和为

篇14：关于自然数数列前n项和公式证明

【关键字】等比数列前n项和;公式;推导方法

【中国分类号】O13

在中学数学中,等比数列前n项和公式是学习等比数列知识中重要的內容，在现实生活中也有着广泛的作用，比如：储蓄、分期付款。其公式

， ，

当q=1时，Sn=na1

不仅蕴含着分类讨论的思想，在推导过程中渗透的数学思想、方法，都是学生今后学习和工作中必需的素养。其中所用的错位相减法，更是体现了方程和整体的思想，本文变换角度、转换思维，从不同的视角重新推导，发现以下几种方法。

一、利用数学整体思想

方法1:整体代入

这里是初中数学中的常见的一道题 :已知平方差公式：(1-x)(1+x)=1-x2，立方差公式：(1-x)(1+x+x2)=1-x3，(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4，猜想(1-x)(1+x+x2+x3+…+xn)=?

这道题的解决往往考察的是学生的观察、比较、猜想的能力。通过观察已知条件的特点，类比可得如下结论：

(1-x)(1+x+x2+x3+…+xn)=1-xn+1

从而可得①

对于猜想的结论，在数学上一般需要给出验证，当然这个结论是成立。这里不再证明，我们需要的是用这个结论来证明等比数列前n项和公式。

假设一个等比数列{an},首项a1，公比q，求前n项和Sn。

由于Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…a1qn-1

等号右边提取公因子a1，得到

Sn=a1(1+q+q2+q3+…qn-1)

利用①式带入可得公式

（q≠1）

这里体现的是数学中的整体代入法，虽然是给予一个猜想，但这个猜想是易于证明的。

方法2：在两边同时除以公比q：

在前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…a1qn-1两边同时除以q，得到如下关系：

两式错位相减后得到： ，

整理得到

方法3：在两边同时乘以“－q”：

在前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…a1qn-1两边同时乘以-q，得到如下关系：

两式错位相加后得到：(1-q)Sn=a1-a1•qn，

整理得到：

方法4：在两边同时除以“－q”

在前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…a1qn-1两边同时除以-q，得到如下关系：

两式错位相加后得到：： ，

整理得到

对于求和方法2、3、4，和我们一贯用的错位相减法类似，其本质依旧是数学整体思想，然而通过这种反复的推导，可以拓展学生思路，使学生能够活学活用数学错位相减法，真正内化数学整体思想。

二、利用数学方程思想

方法1：提公比

对前n项和式子Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…a1qn-1作如下整理：

我们会发现，这个等式变成了一个以Sn为未知量的方程，借这个方程得到(1-q)Sn=1-a1•qn

方法2：利用等比定理：

依据等比数列的定义，我们有

利用等比定理，分子分母的和依旧满足上述关系即

观察分子分母可以发现，分子是前n项和Sn去掉第一项a1，分母是前n项和Sn去掉最后一项an，从而得到

这又是一个一个以Sn为未知量的方程，借这个方程得到

在解决数列问题中经常要用到方程的思想和函数的思想，因此在推导前n项和公式的过程中，尽可能多的让学生来体会这种思想的运用，将对学生学习数列，解决数列问题有很大的帮助。

篇15：等比数列前n项和作业

一、选择题

1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则a5＝()A.1B.2C.4D.8

2.[2013·安徽名校联考]已知等比数列{a的前n项和为S39

n}n，a32S3＝2，则公比q＝()

A.1或－1B.－1C.1D.－1或1222

3.[2013·泉州五校质检]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5的值为()

A.33B.72C.84

D.189

4.[2013·合肥质检]已知数列{an}满足a1＝1，an＝2n

(n∈N*

＋1·an)，则a10＝()A.64B.32C.16D.8

5.[2013·衡阳三联]设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2·a4＝1，S3＝7，则S5＝()

A.33B.31171544C.2D.2

6.[2013·湖南重点中学调研]若等比数列{an}的公比q＝2，且前12项的积为212，则a3a6a9a12的值为()

A.24B.26C.28D.212

二、填空题

7.已知等比数列{a}中，a5

n1＋a3＝10，a4＋a6＝4，则等比数列{an}的公比q＝________.8.[2013·金版原创]设等比数列{an}的前n项之和为Sn，已知a1＝2011，且 an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2012＝________.9.[2013·南京模拟]记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知

am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.三、解答题

10.[2013·锦州模拟]设Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求a2的值；

(2)若{an}是等比数列，且an＋1

11.[2013·湖州模拟]已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；

(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.12.[2013·浙江模拟]已知公差不为0的等差数列{a(a∈R)，且11

n}的首项a1为aa1

a2，a4

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对n∈N*，试比较11111