二次根式的复习与小结

二次根式的复习与小结（精选4篇）

篇1：二次根式的复习与小结

二次根式

复习题

二次根式

四种运算

加、减、乘、除

三个概念

两个公式

两个性质

二次根式

最简二次根式

同类二次根式

一．性质

1.当x满足条件

时，式子在实数范围内有意义。

当x

_________时,有意义;当x_______时,有意义

2.当x________时，式子有意义；假设式子有意义，那么x的取值范围是____。

3．以下二次根式有意义的范围为x≥3的是〔

〕。

(A)

(B)

(C)

(D)

4.当－1≤x≤1时，在实数范围内有意义的式子是〔

〕

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

二.化简

=；

=；

=

；=；

=；

=

；＝

；=。

1.假设，那么

；当a＜0时，化简=。

2.－1a0，化简：－=

.3.假设最简根式与是同类二次根式，那么x＝

．

4.假设最简二次根式与是同类根式，那么x=______，y=________

5.设a,b,c为三角形ABC的三边长,6．以下各式中，是最简二次根式的是〔

〕。

(A)

(B)

(C)

(D)

7．假设数轴上表示数a的点在原点的左边，那么化简的结果是〔

〕

A．

3a

B.—3a

C.a

D.8．当x<0时，那么的化简结果是〔

〕

Ａ．－x

B．－x

C．x

Ｄ．x

三.计算

〔1〕·

〔2〕

〔3〕÷

〔4〕(2+3)

〔5〕

〔6〕4－(－)

〔7〕

四.应用

1.用长3cm，宽2.5cm的邮票30枚刚好可以摆成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

2.设实数a,b，c在数轴上的位置如下图，试化简：

＋+

3.观察以下分母有理化的运算：

=－1+，=－+，=－+…

从上面的计算结果找出规律，并利用这一规律计算：

〔+++…+

+〕·〔1+〕

篇2：二次根式复习导航

知识归纳

1.二次根式的概念

2.二次根式的性质

3.最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式, 叫做最简二词根式。 (1) 被开方数不含分母; (2) 被开方数中不能含开得尽方的因式或因数。

4.二次根式的运算

二次根式加减时, 可以先将二次根式化成最简二次根式, 再将被开方数相同的二次根式进行合并。

考点攻略

考点1二次根式的非负性

答案:C.

考点2二次根式的意义

解析:代数式有意义的条件为:x﹣1≠0, x≥0.即可求得x的范围根据题意得:x≥0且x﹣1≠0.解得:x≥0且x≠1.故选D.

归纳总结:本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件。式子必须同时满足分式有意义和二次根式有意义两个条件:分式有意义的条件为, 分母≠0;二次根式有意义的条件为, 被开方数≥0。此类题的易错点是忽视了二次根式有意义的条件, 导致漏解情况。

考点3二次根式的性质运用

例3 (2013年日照) 实数a在数轴上的位置如图1所示, 则化简后为 ()

A.7B.-7C.2a-15D.无法确定

答案:-2b

考点4二次根式的化简

方法指导:分别对每个二次根式进行化简, 然后合并被开方数相同的二次根式。易错点警示:不会被开方数为分数的二次根式的化简。

变式练习5下列运算正确的是 ()

答案:D

考点5二次根式的估算

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

答案:C.

考点6二次根式的综合计算

解析:原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算, 同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算, 约分得到最简结果, 将x的值代入计算即可求出值。

篇3：二次根式的化简技巧

一､巧配方

例1 化简:.

解:原式==

=

=+-.

点评:此例没有直接分母有理化(那样会很麻烦),而是抓住式子的数值特征,运用配方迅速求解.

二､巧约分

例2 化简:.

解:原式===.

点评:此例先将分母和分子变换成含有相同因式的形式,然后约分,简化了运算过程.

三､逆用分式加减运算法则

例3 化简:.

解:原式==+

=+ =.

点评:此例把分子拆成两项之和,然后逆用分式加减运算法则.

四､倒数法

例4 化简:.

解:∵=

=+=+

=,

∴原式==.

点评:此例若直接分母有理化,运算相当复杂.这里先求它的倒数,再求其本身,就容易多了.

五､巧用“1”代换

例5 化简:.

解:原式=

= =+.

例6 化简:

+++…+.

解:==-.

同理,=-, =-, …

∴原式=-+-+-+…+-=-=1-=.

点评:以上两例均是把“1”与形如(+)(-)的式子互相进行了代换,值得注意.

六､运用换元法

例7 化简:+.

解:设x=n+2+,y=n+2-,则x+y=2n+4,xy=4n+8.

∴原式=+=-2=-2=n.

七､以退为进——先平方后开方

例8 化简:+.

解: +2 =10+5+2+10-5 =30.

∵+>0,

∴原式=.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

篇4：二次根式的求值技巧

一、利用二次根式的定义

例1 已知x、y为实数，且满足■-（y-1）■=0，则x2013-y2013=___。

分析 由二次根式的定义，得■≥0，■≥0，则有y-1≥0。

又1-y≥0，则可以求出y的值，从而x的值也可以求出。

解 已知等式即为■=（y-1）■。

因为■≥0，■≥0，

所以y-1≥0，即1-y≤0。

因为1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。

把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。

则原式=（-1）2013-12013=-2。

点评 若■有意义，则■中隐含着两个非负数：一个是被开方数a≥0，另一个是■≥0。

二、利用倒数关系

例2 已知a=2+■，b=2-■，试求■-■的值。

分析 由ab=1，得a和b互为倒数，那么■=a，■=b。

解 由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。

则原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。

点评 如果ab=1，那么a和b互为倒数，即有■=a，■=b。解题时我们要注意利用这一性质。

三、利用平方法

例3 若m=■，则m5-2m4-2013m3的值是______。

分析 因为m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。

解 因为m=■=■+1。

所以m-1=■，（m-1）2=2014。

所以m2-2m-2013=0。

所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。

点评 对于m=■+b的多项式求值问题，应先将这个条件变形为

m-b=■，然后两边平方，从而解决问题。

四、利用非负数和为零

例4 若■+（b-2）2=0，则a2+■-b=______。

分析 从已知等式出发，看看能否确定a2+■的值及b的值。

解 因为■≥0，（b-2）2≥0，所以a2-5a+1=0，b-2=0。

由a2-5a+1=0，得a2+1=5a，a+■=5；由b-2=0，得b=2。

则原式=a+■2-2a·■-b=21。

点评 常见的非负数有：实数的绝对值，实数的平方，非负实数的算术平方根。若其中任意两个或三个的和等于0，则每一个都等于0。

五、利用实数相等的性质

例5 已知a、b为有理数，m、n分别表示5-■的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a-b=______。

分析 先确定m、n的值，再将其代入已知等式中，可知左边有理数部分为1，无理数部分为0。由此可以确定a、b的值。

解 由2<5-■<3，得m=2，n=（5-■）-2=3-■。

因为amn+bn2=1，

所以23-■a+3-■2b=1。

所以（6a+16b）-（2a+6b）■=1。

所以6a+16b=1，2a+6b=0。

所以a=■，b=-■。

则2a-b=2×■-（-■）=■。

点评 任意一个实数都可写成m+n■的形式。其中m是它的有理数部分，n■是它的无理数部分。如果两个实数相等，那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等。

六、利用配方法

例6 如果a-b=■+■，b-c=■-■，那么2（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=______。

分析 根据已知两等式不可能单独确定a、b、c的值，只能确定a-b、b-c、a-c的值。因此，应将原式变形成关于a-b、b-c、a-c的式子。

解 已知两等式即为a=■+■+b，c=b-■+■，

所以a-c=2■。

则原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ca+c2）

=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2

=（■+■）2+（■-■）2+（2■）2=34。

点评 配方的实质是逆向应用完全平方公式，将形如a2±2ab+b2的式子化为形如（a±b）2的形式。

练习

1.计算2■-6■+■的结果是（ ）

A.3■-2■B.5-■ C.5-■ D.2■

2.如果■=1-2a，则（ ）

A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

3.已知6-3m+（n-5）2=3m-6-■，则m-n=（ ）

A.2 B.1 C.-1 D.-2

4.把二次根式a■化简后，结果正确的是（ ）

A.■ B.-■ C.-■ D.■

5.下列各式计算正确的是（ ）

A.■+■=■ B.2+■=2■

C.3■-■=2■ D.■=■-■

6.估计■×■+■的运算结果在（ ）

A.1到2之间 B.2到3之间

C.3到4之间 D.4到5之间

7.若a<1，化简■-1等于（ ）

A.a-2 B.2-a C.a D.-a

8.已知实数a满足2011-a+■=a，则a-20112的值是（ ）

A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

练习参考答案