二次函数最值问题

二次函数最值问题（共11篇）

篇1：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

篇2：二次函数最值问题

雷州市第一中学 徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

篇3：二次函数最值问题例谈

一、销售利润问题

例1 (2007年 贵州贵阳) 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果, 物价部门规定每箱售价不得高于55元, 市场调查发现, 若每箱以50元的价格调查, 平均每天销售90箱, 价值每提高1元, 平均每天少销售3箱。

(1) 求平均每天销售量y (箱) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(2) 求该批发商平均每天的销售利润w (元) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(3) 当每箱苹果的销售价为多少元时, 可以获得最大利润?最大利润是多少?

解: (1) y=90-3 (x-50) 化简得:y=-3x+240.

(2) w= (x-40) (-3x+240) =-3x2+360x-9600.

(3) w=-3x2+360x-9600.

∵a<0, ∴其图像抛物线开口向下.

当undefined时, w有最大值。

又∵x<60, w随x的增大而增大,

∴当x=55元时, w的最大值为1125.

∴当每箱苹果的销售价为55元时, 可以获得1125元的最大利润。

二、几何面积问题

例2 (2007年 福建龙岩) 如图1所示, 在△ABC中, ∠A=90°, AB=4, AC=3.M是边AB上的动点 (M不与A, B重合) , MN//BC交AC于点N, △AMN关于MN的对称图形是△PMN, 设AM=x.

(1) 用含x的式子表示△AMN的面积 (不必写出过程) ;

(2) 当x为何值时, 点P恰好落在BC上;

(3) 在动点M的运动过程中, 记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y, 试求y关于x的函数关系式;并求x为何值时, 重叠部分的面积最大, 最大面积是多少?

解:undefined;

(2) 如图4所示, 由轴对称性质知:

AM=PM, ∠1=∠2.

又∵MN//BC,

∴∠2=∠3, ∠1=∠B.

∴∠B=∠3.

∴AM=PM=BM.

∴点M是AB中点,

即当undefined时, 点P恰好落在边BC上。

(3) 以下分两种情况讨论:

第一种情况:

当0

当2

由 (2) 知ME=MB=4-x.

∴PE=PM-ME.

=x- (4-x) =2x-4.

undefined

第二种情况:

∵当0

∴易知undefined

又∵当2

undefined

∴当undefined时 (符合2

综上所述, 当undefined时, 重叠部分的面积最大, 其值为2.

备注:在求函数关系式时要分情况讨论。

三、动点题

例3 (2007年 山东济南) 已知:如图6直角梯形ABCD中 , undefined

(1) 求梯形ABCD的面积;

(2) 点E, F分别是BC, CD上的动点, 点E从点B出发向点C运动, 点F从点C出发点D运动, 若两点均以每秒1个单位的速度同时出发, 连接EF, 求△EFC面积的最大值, 并说明此时E, F的位置。

解: (1) 如图7, 过点D作DM⊥BC, 垂足为M,

在Rt△DMC中,

undefined

undefined

(2) 设运动时间为 x秒,

则有 BE=CF=x, EC=10-x,

过点F作FN⊥BC, 垂点为N,

undefined

当undefined时,

undefined

即△EFC面积的最大值为10, 此时点E, F分别在BC、CD的中点处。

篇4：二次函数的最值问题研究

一、 定轴动区间

点评：通过以上两个例题发现：区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值.那为什么求最值有时分三种情况讨论，有时候分两种情况讨论呢？通过观察发现：二次函数的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取到.在例1中，二次函数开口向上，最值在两个端点或函数顶点都可能取到，所以分三种情况讨论；而在例2中，最大值不可能在函数顶点时取得，只有可能在两个端点处取得，所以通过端点与区间中点距离的远近分两种情况来讨论.

点评：在例4中，是二次函数的开口方向和对称轴都在变化，区间不变的最值问题；在例5中，先转化为分段函数，两题都是再根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可.在求最值时，分类是关键，结合图形去确定最值比较直观，但对学生的画图能力要求较高.在求二次函数动轴定区间的最值问题时，本质还是研究对称轴与区间的位置关系.

三、 动轴动区间

反思：本题是变轴变区间的类型，仍然从轴与区间的位置关系入手展开讨论.

通过以上几个例题，对于可化为二次函数在某区间上的最值问题，基本分为动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间，三种题型解题思路都可以从二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系来进行讨论.讨论时要理清思路，必要时画出草图，借助数形结合，可以清晰地进行分类并解决问题.

篇5：二次函数最值问题参考答案

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数yx4x2(x2)2函数的最大值为f(2)2，最小值f(0)2。练习.已知2x23x，求函数f(x)xx1的最值。

解：由已知2x3x，可得0x222223，函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为2319。f2

42、轴定区间变

2例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

解：函数f(x)(x1)1 21t，当xt时，函数取得最小值f(x)minf(t)(t1)21。

t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1。t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21

综上讨论，f(x)min(t1)21,t1 1,0t12t1t02f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求对称轴为x1．

f(x)minf(t)tt21t3，f(x)maxf(t1)t22（1）当时，．（2）当t≤1≤t1，即0≤t≤1时，．

tt11即22tt111t≤12f(x)f(t1)t2max22即2若时，． 根据对称性，若

0≤t≤122时，f(x)maxf(t)t2t3．

f(x)maxf(t)t22t3t11t0（3）当即时，．

第1页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上，f(x)max12t2,t2 t22t3,t12

23、轴变区间定

例4.已知x21，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将

aa f(x)配方得：f(x)x32422aa2a二次函数f(x)的对称轴方程是x顶点坐标为，3，图象开口向上

422a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。2函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。由a2可得x

图3 例.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为xa，211即a时，f(x)maxf(2)4a5； 2211 当a即a时，f(x)maxf(1)2a2。

22当a综上所述：f(x)max12a2,a2。4a5,a12a2a2aaaa(2)函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，1即242222第2页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)（2）2a2；由图可知f(x)maxf()（3）a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2 24f(1),a2a1,a

2（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5.已知函数f(x)ax2ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

解：f(x)a(x1)1a,x[3,2]（1）若a0,f(x)1,，不符合题意。（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1 22由8a14，得a3 8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a 由1a4，得a3

第3页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上知a3或a3 8x2例6.已知函数f(x)x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：讨论对称轴中1与m,mn,n的位置关系。2①若，则f(x)maxf(n)3n

f(x)minf(m)3m 解得②若f(x)maxf(1)3nmn，无解 1n，则2f(x)minf(m)3mf(x)maxf(1)3nmn③若m1，则，无解

f(x)f(n)3m2min④若，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0 解析2：由f(x)1111(x1)2，知3n,n,，则[m,n](,1]，2226f(x)maxf(n)3n

f(x)f(m)3mmin又∵在[m,n]上当x增大时f(x)也增大所以解得m4,n0

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

篇6：二次函数最值问题的研究

（内江师范学院 内江 641100）

摘要：最值问题是中学数学的重要内容之一，中学数学最值问题遍及代数、三角函数、立体几何及解析几何各部分之一，最值问题为载体，利用数形结合的思想，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想考查二次函数的最值问题，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，遍及初高中数学代数和几何部分的几乎所有，利用数与形进行分类和分轴以及参数问题讨论出最值问题的变化，同时利用数学等优秀的数学思想，将观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法解决生活中遇到的最值问题。

关键字：数学 最值 数形结合 图像

1、前言

数学是一种古老而又年轻得文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不在受到数形结合和空中二次函数的思想的恩惠和影响，进入21世纪，我国数学课程中有关数学学习的理念时刻在发生变化，数学教学的主要目的和任务早已经不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识分方法的同时培养学生的数学能力，咋促进学生数学学习的过程中，加强数与行的结合，能化简为繁，对于帮助学生开阔思路，突破思维定势有积极地作用，能加深学生对知识的理解和掌握，学习二次函数的知识不仅是高中教材的内容，而且更是解决生活的实际问题有很大的帮助，但是二次函数包括的知识点不仅多，难度比较大之外，更重要的是具有可行性的量化和质变的本质区别，二次函数的最值问题作为研究二次函数的图像和性质，以及二次函数的区间最值问题都是需要学生去总结和探讨的。

作为初中和高中教材中的主要函数知识点的部分，学习二次函数起到一个承上启下的作用，同时二次函数也是中考和高考命题的重点，如何让初高中学生对二次函数了解的更加深刻和透彻，本文利用和数形结合的思想对初高中二次函数做了更深入的研究和讨论，主要运用数形结合的思想和分类讨论的思想以及根据二次函数的性质，从不同的角度进行分析二次函数的最值问题，利用二次函数的图像解决：定轴动区间、动轴动区间、动轴定区间的最值问题，以及根据开口方向、对称轴、所给区间确定；所给区间确定、对称轴位置变化；所给区间变化、对称轴位置确定；区间、对称轴位置都不确定，巧用二次函数的图像来进行讨论二次函数所遇到的最值问题，利用图像讨论含参数的问题，以及巧用二次函数图像讨论二次函数与一次函数交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2、国内外研究现状：

查阅相关文献，众多数学教育者和数学专家从不同角度和侧面探讨了二次函数的最值问题，同时结合教学、解题、以及函数的应用，王丰霞在文献[1]中浅谈了构造数形结合在二次函数中的培养创新思维，张冰、杨光在文献[2-3]中浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，孙雪梅、王雨来、朴林玉等文献[4-6]分析了二次函数的最值问题，周建涛、姚爱梅在文献[7]中二次函数在闭区间的最值问题的研究，陈晨在文献[8]闭区间上的二次函数的最值，张连友在文献[8]二次函数在最值求法例谈，陈林文在文献[9]巧解最值问题，黄小琴在文献[10]二次函数最值求法探索，张武在文献[11]中“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解和分析，通过观看以上等教育工作者的研究和对二次函数最值问题的研究，让我受益匪浅，从他们的研究中看到了对二次函数最值问题的深入剖析。

2、国内外研究现状评价

在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对在二次函数中最值问题的研究，只是针对了二次函数的某一些问题或是某一些最值问题探究的比较清楚，其中关于二次函数的深层次或是大学知识的解决办法未能够涉及到里面去，相对高思想高研究高知识层面的探讨问题研究的不是很充分，其次对于二次函数利用思想方法和数形结合的思想方法的分析缺乏深入的研究和探讨，数形结合的思想在初高中二次函数中是比较重要的一个内容，对数形结合的思想在高中二次函数中的综合运用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用二次函数的图像和数形结合的思想去进行二次函数的教学、解题、以及二次函数最值问题的分析在初高考的应用具有重要的意义。

3、提出问题：

二次函数最值问题是结合初高考的代数和几何进行考试的内容，同时也是大部分学生遇到的问题最多的地方，所以探讨二次函数的最值问题的具有可行性的，同时也是对函数部分的知识进行深入的剖析，在具体探讨二次函数的最值问题的时候加入一些数学思想和数学方法以及高等数学的解题方法，根据定义域的问题和对称轴的问题进行深入分析和探讨是有必要的数学研究，4、结束语：

通过对国内外数学中二次函数的了解和研究以及专家和教育学者的文献的分析，二次函数是初高中数学的重点和难点，贯穿高中知识的始终，同时二次函数与其他知识的综合也是高考的重点和难点，是解决很多复杂的数学问题的一把利刃，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，很多文献都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑,本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题的重点和难点。参考文献：

【1】 王丰霞，构造数形结合思想在二次函数中培养创新思维[J]，胜利油田专科学校学报，2001，（04）

【2】 张冰、杨光，浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，山西财经职业技术学院，2011，（7）

【3】 孙雪梅、王雨来、朴林玉，二次函数的最值问题[J]，2010,(11)：45-46 【4】 周建涛、姚爱梅，二次函数在闭区间的最值问题的研究[J],数学教学学报，2005，（12）：24-25 【5】 陈晨，闭区间上的二次函数的最值[J]，中学数学杂志，2004（12）【6】 张连友，二次函数在最值求法例谈[J]，黑河教育，2008（4）【7】 陈林文，巧解最值问题[J],时代教育，2007（7）

篇7：二次函数的最值问题的研究

（文献综述）

（内江师范学院数学与应用数学，四川 641100 王强）

摘 要函数的最值问题是高中阶段研究函数性质的一个重要指标，除了知道什么是函数最值如何求解最值这类高中生必须达到的基本要求外，能够精通求解函数最值的各种解法以及巧妙解答各类题型是对高中教师乃至高中学生的进一步要求。近年来，随着新课程的改革，教材中需要掌握的内容越加繁杂，对于知识的领悟程度也越发要求的高，高考中考查最值的题目难度增大，这不管是对于教师还是学生来说都是一个大的挑战，适应这一系列的变化，已经成为一种趋势，教师需要大量的学习、更精深的知识以及更多的方法来帮助学生度过难关，以达到一个高中生该具有的基本数学素养。

关键词 函数最值 解法 解题

前 言 最值问题是是高中数学乃至高考的热点以及重点，也是考察其他知识点的载体，它不但可以训练学生的逻辑思维，而且可以掌握很多的解题技巧，提高解决问题的能力，是解决函数问题的基准．如二次函数的最值问题可以更确切的认识图象，能够形象地判断所求闭区间内函数的最值．在实际生活中在具体问题中建立数学模型，解决高中数学建模中简单的最优化问题，以明确在生产生活中何时利润最大，成本最低，用料最省等等，它对其他学科也有辅助作用，如物理中的最短路线问题，经济学中的投资收益，航天发射计算最佳时间等．学习最值问题主要还是为了在高考中解决涉及最值问题的题型，如线性规划、三角函数、数列、圆锥曲线、导数等都会适当考查运用，是决战高考的基础知识。

1.高中生学习函数最值问题的困难

现在有很多学生遇到题目不会灵活应用，只会一味模仿以前做题的方式，用学到的很浅显的最值概念去解题，而没有作融会贯通，举一反三，计算能力以及解题技巧都还处在很基础的水平，在解题的时候很多学生搞不清已知条件所要传达的信息，无法正确的得出结论，更无法自如的应对结合诸多知识点的难题，亦或是高考．在平时的生活中，更是照本宣科，无法将学习到的最值问题，数学模型应用到实际生活中，当今时代，经济、金融已经是毕业生们想要争先步入的龙头行业，众所周知，学好经济学要很扎实的数学基础，由此看来，从长远考虑，最值问题是高中生在高中的一堂必修课。

2.先前研究成果

由于函数最值在高考以及日常生活的重要性，所以，对于函数的最值的研究也一直没有间断．如陈克胜于2005年在高等函授学报（自然科学版）发表的《求函数最值的方法举例》中为求解函数最值提供思路，重点是为了拓宽学生解决函数最值有关问题的视野，倡导应该通过解题，在解答过程中培育创新思维能力；游波平在《函数最值解法技巧探究》（《重庆文理学院》（自然科学版）2007.4）给出了一些求解函数最值的技巧，如数形结合思想这一类比较惯用的思想，并致力解决生产、生活和科学研究中的常见问题；王贵军2010年3月发表一篇题为《几何法在求解函数最值问题中的应用》的文章，旨在运用几何图形以及题目的几何意义来解决函数的最值问题，给我们以新的启迪．颜世序2012年3月在解题技巧与方法发表《浅谈导数在求函数最值中的应用》，将求函数最值的问题融入到求导的问题当中，导数也是高考的一个比较重要且相对较难的考点，笔者把函数最值与高考结合起来，更加说明函数最值的应用广泛性．2013年，张永红发表《新课标下高中数学应用题中的最值问题研究》，他在这项研究中紧密结合我国现阶段高中数学教学状况，精心挑选了部分高考题进行方法总结，并通过问卷调查得出实证，为读者分享了自己应对此问题的教学策略．陈荣灿在2010年发表毕业论文《高中数学最值问题的教学研究》，他主要指出了高中最值问题在教学过程中本身存在的一些不足，并且为了提高教学质量从例题的讲解、课时的安排、激发学生的学习兴趣、运用数学观点数学思想等方面给出建筑性的意见．

以上这些文献期刊都没有做到全面系统的给出有关最值的解题方面行之有效并且实用的方法。

3.二次函数最值问题的研究点

求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，前面的文献很多都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑，这样学生依然会陷入自己原有的思维定势，不懂得理论与实践的结合，在今后的做题中依然会遇到同样的问题．本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，主要针对做题，也给教师一些习题课的建议，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。函数最值的问题包括求解某初等函数在闭区间内的最值，复合函数的最值，经济生活中的最大收益、最小成本、最大期望等的最值，而求解函数最值的主要核心是解法，俗话说，凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，这样一来，学生多学习课外知识就显得尤为重要．眼观六路，容易充实人的大脑，耳听八方，可以丰富人的思维，高中生需要这样的实践来提升自己．文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题。

参考文献

【1】谭永基，俞红．现实世界的数学视角与思维［M］．上海：复旦大学出版社．2010：41-45．

【2】梁红．高考三年真题研究（文数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【3】梁红.高考真题超详解（理数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【4】陆军．三角函数最值问题的八种求解策略［J］．延边教育学院学报．2012，26（1）：46-53．

【5】游波平．函数最值解法技巧探讨［J］．重庆文理学院学报．2007，26(2)：108-110．

篇8：二次函数最值问题及其解决方法

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】求二次函数f (x) =x2-2x-3在以下区间上的最值.

(1) x∈[-2, 0]; (2) x∈[0, 3]; (3) x∈[2, 4].

分析:f (x) = (x-1) 2-4.

1若对称轴在给定区间的右侧或左侧, 此时函数在该区间上是单调函数, 最大值和最小值分别在区间端点处取得, 比如本题的 (1) (3) 小题;

2若对称轴穿过区间, 此时函数在该区间上先减后增, 最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可, 或比较哪个端点距离对称轴较远 (端点离对称轴越远, 函数值越大) 即可, 比如本题的 (2) 小题;

3函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】求二次函数f (x) =x2-2x-3在区间[t, t+2]上的值域.

分析:随着区间位置的改变, 对称轴和 区间的相 对位置对函数值域的影响便一目了然了.

1当对称轴位于区间的左侧, 即t≥1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为增函 数, 此时f (x) 的取值范 围是f (t) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

2当对称轴位于左半区间, 即t≤1≤t+1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上是先减后增, 右端点t+2距离对称轴较远, 此时f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

3当对称轴位于右半区间, 即t+1≤1≤t+2时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上也是先减后增, 此时是左端点t距离对称轴较远, 所以f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即t+2≤1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为减函数, 此时f (x) 的取值范围是f (t+2) ≤f (x) ≤f (t) .

部分学生可能只讨论了三种情况, 将2 3合并, 这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[-1, 1]上的值域.

分析:对称轴x=m可改变, 对称轴与区间[-1, 1]的相对位置也是变化的, 仿照例2可以求出函数的值域.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即m≤ -1时, 有f (-1) ≤f (x) ≤f (1) ;

2当对称轴 位于左半 区间, 即 -1≤m≤0时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (1) ;

3当对称轴位于右半区间, 即0≤m≤1时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (-1) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m≥1时, 有f (1) ≤f (x) ≤f (-1) .

4.轴变区间变问题

【例4】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[a, b]上的值域.

分析:还是同前面的例子相同的讨论.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即当m<a时, 有f (a) ≤f (x) ≤f (b) ;

2当对称轴位于 左半区间, 即a≤m≤a+b/2时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (b) ;

3当对称轴位于 右半区间, 即a+b/2≤m≤b时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (a) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m>b时, 有f (b) ≤f (x) ≤f (a) .

二、求二次函数值域的方法和技巧

要求二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在指定区间[m, n]上的值域, 归根结底是要求出函数在这个区域上的最大值和最小值, 而求函数在这个区间上的最值关键是看函数的对称轴x=-b/2a是否落在指定区间[m, n]内.

1当对称轴落在区间内, 即m≤-b/2a≤n时, 函数的值域为[min (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) , max (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) ].

2当对称轴落在区间外, 即-b/2a<n或-b/2a>m时函数的值域为[min (f (m) , f (n) ) , max (f (m) , f (n) ) ].

篇9：二次函数最值问题分类剖析

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

篇10：二次函数最值问题

二．填空题（共2小题）9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是

． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，点M在x轴负半轴上，S△ABM=6．当线段OM最长时，点M的坐标为

． 三．解答题（共3小题）11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m． 12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．

篇11：二次函数最值问题

摘要：对于二次函数的最值问题，我们在初中就开始接触，而且也是初中的重要教学内容，但也只是注重基础，涉及的也是简单的二次函数。随着知识的加深，二次函数的最值问题涉及的内容越发的广泛与深奥。作为二次函数中最基本的问题――最值问题，本文将从简易到复杂的知识进行剖析。

关键词：二次函数；最值

对于二次函数图象的最值问题，重点关注的主要是图象的对称轴和所给自变量的区间（即定义域）的界定。而且掌握二次函数的最值问题，首先需要将二次函数的图象形象的画出来。然后根据图象以及问题的条件界定来进行最值问题的求解。一、二次函数的图象

对于二次函数的图象，我们需要找到二次函数的对称轴，顶点以及开口方向，有时还需要界定某一到两个特殊的线与x-y轴的交点，才能较为准确的描绘出图象。

二次函数的的表达式有顶点式，交点式以及三点式，其一般的表达式为y=ax?+bx+c（a≠0），此图象的对称轴，开口方向以及顶点都取决于这一般表达式中的a、b、c三个系数。最重要的是求解对称轴，对称轴的计算公式为x=-b/2a。

其一般图形为： 二、二次函数图象的最值

1、二次函数在界定区间上的最值问题（最简单，直接的最值问题）

此类问题基本就是明确给定二次函数以及定义域区间的情况下，求最值的。解决方案就是找到此函数的对称轴，看其与定义区间的关系，在判断在此区间上函数的增减性，进而求出答案。

例如：已知二次函数y=x2-2x，求在区间[0，4]上的最值。

根据二次函数可以画出图象，对称轴为x=1，草图如下：

从图中可以看出在区间[0，4]上，y值先递减后递增，在对称轴x=1处取得最小值y=-1，在x=4处取得最大值y=8.2、二次函数在不定区间上的最值问题（相对上一个，有些复杂，需要分类）

此类问题是在明确给定二次函数，但是其自变量的定义区间是变动的（存在未知数）情况下求解最值的。然而此类问题的解决方法就是通过明确给定的二次函数画出图象，再根据对称轴与自变量的关系界定进行分类讨论，最后分别判断在此区间上的增减性，求得最值。

例如：已知二次函数y=x2/2-x-5/2，求在[t，t+1]上的最小值。

根据二次函数y=x2/2-x-5/2可以得出对称轴x=1，图象开口向上，再分类，画草图。

第一类：当对称轴x=1在所给区间的左侧，即t?R1，草图如下：

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上，函数递增，最小值为x=t时，y=t2/2-t-5/2。

第二类：当对称轴x=1在所给区间的右侧，即t+1?Q1→t?Q0，草图如下：

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上，函数递减，最小值为x=t+1时，y=t2/2-3。

第三类：当对称轴x=1在所给区间的内，即t<1

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上函数先减后增，最小值为x=1时，y=-3。

若是还需求最大值，前两种可以直观的看出，而最后一种需要对比在x=t以及x=t+1时y值得大小。此时t的范围还需划分。

当x1=t时，y1=t2/2-t-5/2，当x2=t+1时，y2=t2/2-3

y1-y2=1/2-t，从式子中可以看出当0

3、不确定的二次函数在固定区间下的最值问题

此问题是在明确给出定义域而二次函数存在未知系数（图象不确定）的情况下，求最值的问题。此类问题可以先将二次函数有一般形式转换为顶点式，找出其对称轴，开口方向以及区间位置。最重要的是找到其对称轴，然后根据未知系数分类进行求解，最后判断增减性，求最值。

例如：已知二次函数y=bx2+4bx+b2-1，求在区间[-4，1]上的最大值。

根据二次函数y=bx2+4bx+b2-1，写成顶点式y=b（x+2）2+b2-4b-1，可以看出对称轴为x=-2，在区间[-4，1]上，只需根据图象开口方向来判断区间的最大值。

第一类：当b=0时，y=-1，无最大最小值之说

第二类：当b<0时，图象开口向下，草图如下：

从图中可以看出，在区间[-4，1]上函数先增后减，最大值为当x=-2时，y=b2-4b-1。

第三类：当b>0时，图象开口向上，草图如下：

从图中可以看出，在区间[-4，1]上函数先减后增，最大值为区间的临界点，需要判定。

当x1=-4时，y1=b2-1

当x2=1时，y2=b2+5b-1

因为b>0，可以看出y1=b2-1

4、二次函数已知区间和最值求未知函数的系数（此类最为复杂，分类情况较多）

此类函数是在明确给出自变量区间，以及在区间内最值得一个（最大或最小），求解未知函数的系数。此类问题通常不会给定对称轴，因此需要进行分情况进行判定来求解，再根据其给出的最值来求出位置系数，此类问题通常的解有时会与条件分类的情况不相符，因此不要因为求出一个就大意，要注意情况与解的一致性。

例如：已知二次函数y=x2-2ax-1，已知函数在区间[0，2]上的最小值为-2，求a的值。

根据二次函数y=x2-2ax-1，写成顶点式y=（x-a）2-a2-1，对称轴为x=a，图象开口向上，然后进行分类

第一类：当a?Q0时，画出草图如下：

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是递增的，最小值为当x=0时，y=-1，与题中最小值为-2不相符。此分类舍弃。

第二类：当a?R2时，画出草图如下：

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是递减的，最小值为当x=2时，y=3-4a，因为题中给出最小值为-2，所以3-4a=-2求得a=5/4<2与条件不符的，舍弃。

第三类：当0

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是先减后增的，最小值为当x=a时，y=-a2-1因为题中给出最小值为-2，所以-a2-1=-2求得a=1或者-1，再根据分类条件0

综上得出a=1。

还存在第二种情况，图象的开口方向与未知参数有关，则划分情况求解释更需注意。

例如：二次函数y=ax2-2ax-1，已知函数在区间[0，2]上的最小值为-2，求a的值。

先根据二次函数y=ax2-2ax-1，将其换算成顶点式为y=a（x-1）2-a-1，可以得知对称轴为x=1，但开口方向不确定，需要分类进行求解。

第一类：当a=0时，y=-1与已知条件不相符，舍弃。

第二类：当a>0时，可以画出草图：

从图中可以看出，在区间[0，2]函数先减后增，最小值为对称轴即x=1时的y=-a-1，由已知条件最小值为-2，得出a的值为1，符合条件a>0。

第三类：当a<0时，可以画出草图：

从图中可以看出，在区间[0，2]上函数先增后减，最小值为区间端点值，需要进行比较。当x=0时，y=-1；当x=2时，y=-1，而此种情况下，最小值只能是-1，与已知条件相违背，舍弃。

所以综上得出a=1。

对于这两道题相对来说简单，要么给定了开口方向，要么给定了对称轴而且区间端点关于对称轴对称。但是有时题中既不会给定对称轴也不给定开口方向，就需要结合这两道题综合考虑未知系数的值，题目就会相对复杂。你只需要找准全部的区间，并且针对分类情况，将所有的值求出即可。

通过剖析二次函数图象的最值问题，可以看出关键点在于图象的对称轴以及区间的界定，以及在分情况求解中条件的限定。其实对于二次函数图象的最值问题，能画出大概的草图会有利于对于最值的把握，但是也不能一概而论，毕竟是草图，不能主观判断。记住这几点，然后在求解二次函数的图象的最值问题时就会显得游刃有余。

参考文献：

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[2]冯法.浅谈二次函数在高中数学中的重要作用[A].2015年9月现代教育教学探索学术交流会论文集[C].2015

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[4] 史建军.一道最值问题的推广、完善与另解[J].中学数学研究.2016

[5] 施伦.轨迹法求一类线段的最值[J].中小学数学（初中版）.2016