复变函数14套题目和答案

复变函数14套题目和答案（通用2篇）

篇1：复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若收敛，则与都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）.()5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点.()7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则.()9.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1.__________.（为自然数）2._________.3.函数的周期为___________.4.设，则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若，则______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：

1.设，求在内的罗朗展式.2.3.设，其中，试求 4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1.若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cos z与sin z在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.()8.若数列收敛，则与都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.()二.填空题.(20分)1.设，则 2.设，则________.3._________.（为自然数）4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设，则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一.判断题.(20分).1.cos z与sin z的周期均为.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.()4.若数列收敛，则与都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在上解析,且,则.（）8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点.()10.若是的可去奇点，则.()二.填空题.(20分)1.设，则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若，则__________.4.___________.5._________.（为自然数）6.幂级数的收敛半径为__________.7.设，则f(z)的孤立奇点有__________.8.设，则.9.若是的极点，则.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分：，其中是.4.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）一.判断题.(20分)1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）3.函数与在整个复平面内有界.（）4.若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有.（）5.若存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（）6.若函数f(z)在区域D内解析且，则f(z)在D内恒为常数.（）7.如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在.（）8.若，则为的n阶零点.（）9.若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则.（）10.若在内解析，则.（）二.填空题.(20分)1.设，则.2.若，则______________.3.函数ez的周期为__________.4.函数的幂级数展开式为__________ 5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.7.设，则.8.的孤立奇点为________.9.若是的极点，则.10._____________.三.计算题.(40分)1.解方程.2.设，求 3..4.函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.(20分)一.证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2.证明方程在内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）二.判断题.（20分）1.若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（）2.若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（）3.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.（）4.若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（）5.若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析.（）6.若存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点.（）7.若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析.（）8.设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数.（）9.若是的一级极点，则.（）10.若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则.（）二.填空题.（20分）1.设，则.2.当时，为实数.3.设，则.4.的周期为___.5.设，则.6..7.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

8.函数的幂级数展开式为_________.9.的孤立奇点为________.10.设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三.计算题.(40分)1.求复数的实部与虚部.2.计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3.求积分：，其中0

1.若函数在解析，则在连续.（）2.若函数在处满足Caychy-Riemann条件，则在解析.（）3.若函数在解析，则在处满足Caychy-Riemann条件.（）4.若函数在是区域内的单叶函数，则.（）5.若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）6.若在区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）7.若，则函数在是内的单叶函数.（）8.若是的阶零点，则是的阶极点.（）9.如果函数在上解析，且,则.（）10..（）三、填空题（20分）1.若，则___________.2.设，则的定义域为____________________________.3.函数的周期为_______________________.4._______________________.5.幂级数的收敛半径为________________.6.若是的阶零点且，则是的____________零点.7.若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________.9.方程在单位圆内的零点个数为___________.10.公式称为_____________________.四、计算题（30分）1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.五、证明题（20分）2、方程在单位圆内的根的个数为6.3、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.4、若是的阶零点，则是的阶极点.《复变函数》考试试题（七）一、判断题（24分）2.若函数在解析，则在的某个领域内可导.（）3.若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann条件.（）4.如果是的可去奇点，则一定存在且等于零.（）5.若函数是区域内的单叶函数，则.（）6.若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）7.若函数在区域内的解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数.（）8.若是的阶零点，则是的阶极点.（）二、填空题（20分）1.若，则___________.2.设，则的定义域为____________________________.3.函数的周期为______________.4._______________.5.幂级数的收敛半径为________________.6.若是的阶零点且，则是的____________零点.7.若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________.9.方程在单位圆内的零点个数为___________.10._________________.三、计算题（30分）1、求.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分：，.四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为7.2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.3、若是的阶零点，则是的阶极点.五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的单位圆盘 《复变函数》考试试题（八）一、判断题（20分）1、若函数在解析，则在连续.（）2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件，则在处解析.（）3、如果是的本性奇点，则一定不存在.（）4、若函数是区域内解析，并且，则是区域的单叶函数.（）5、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）6、若函数是单连通区域内的每一点均可导，则它在内有任意阶导数.（）7、若函数在区域内解析且，则在内恒为常数.（）9.存在一个在零点解析的函数使且.（）10.如果函数在上解析，且，则.（）11.是一个有界函数.（）二、填空题（20分）1、若，则___________.2、设，则的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、若，则_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、函数的幂级数展开式为______________________________.7、若是单位圆周，是自然数，则______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.10、若，则的孤立奇点有_________________.三、计算题（30分）1、求 2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为7.2、若函数在区域内连续，则二元函数与都在内连续.4、若是的阶零点，则是的阶极点.六、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题（九）一、判断题（20分）1、若函数在可导，则在解析.（）2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件，则在处解析.（）3、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大.（）4、若函数在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）5、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（）6、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域内恒为常数.（）7、若是的阶零点，则是的阶极点.（）8、如果函数在上解析，且，则.（）9、.（）10、如果函数在内解析，则（）二、填空题（20分）1、若，则___________.2、设，则的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、若是的阶零点且，则是的____________零点.7、若函数在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.10、_________________.三、计算题（30分）1、2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分.四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为6.2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.7、若是的阶零点，则是的阶极点.五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题（十）一、判断题（40分）：

1、若函数在解析，则在的某个邻域内可导.（）2、如果是的本性奇点，则一定不存在.（）3、若函数在内连续，则与都在内连续.（）4、与在复平面内有界.（）5、若是的阶零点，则是的阶极点.（）6、若在处满足柯西-黎曼条件，则在解析.（）7、若存在且有限，则是函数的可去奇点.（）8、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）9、若函数是单连通区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）10、若函数在区域内解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数.（）二、填空题（20分）：

1、函数的周期为_________________.2、幂级数的和函数为_________________.3、设，则的定义域为_________________.4、的收敛半径为_________________.5、=_________________.三、计算题（40分）：

1、2、求 3、4、设 求，使得为解析函数，且满足。其中（为复平面内的区域）.5、求，在内根的个数 《复变函数》考试试题（十一）一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）1．当复数时，其模为零，辐角也为零.（）2．若是多项式的根，则也是的根.（）3．如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数.（）4．设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的，有.（）5．若是函数的可去奇点，则.（）二、填空题.（每题2分）1． _____________________.2．设，且，当时，________________.3．函数将平面上的曲线变成平面上的曲线______________.4．方程的不同的根为________________.5．___________________.6．级数的收敛半径为____________________.7．在（为正整数）内零点的个数为_____________________.8．函数的零点的阶数为_____________________.9．设为函数的一阶极点，且，则_____________________.10．设为函数的阶极点，则_____________________.三、计算题（50分）1．设。求，使得为解析函数，且满足.其中（为复平面内的区域）.（15分）2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分）（1）；

（5分）（2）.（5分）3．计算下列积分.（15分）（1）（8分），（2）（7分）.4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数.（10分）四、证明题（20分）1．设是上半复平面内的解析函数，证明是下半复平面内的解析函数.（10分）2．设函数在内解析，令。证明：在区间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则 常数.（10分）《复变函数》考试试题（十二）二、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）1．设复数及，若或，则称与是相等的复数。（）2．函数在复平面上处处可微。

（）3．且。

（）4．设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有。

（）5．若函数是非常的整函数，则必是有界函数。（）二、填空题。（每题2分）1． _____________________。

2．设，且，当时，________________。

3．若已知，则其关于变量的表达式为__________。

4．以________________为支点。

5．若，则_______________。

6．________________。

7．级数的收敛半径为________________。

8．在（为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若为函数的一个本质奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则是的________________奇点。

10．设为函数的阶极点，则_____________________。

三、计算题（50分）1．设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值连续解析分支在处之值。

（10分）2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分）（1）的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（10分）（2）求。

（5分）3．计算下列积分。（15分）（1）（8分），（2）（7分）。

4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。（10分）四、证明题（20分）1．讨论函数在复平面上的解析性。

（10分）2．证明：。

此处是围绕原点的一条简单曲线。（10分）《复变函数》考试试题（十三）一、填空题．（每题２分）１．设，则_____________________． ２．设函数，，则的充要条件是_______________________． ３．设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________． ４．设为的极点，则____________________． ５．设，则是的________阶零点． ６．设，则在的邻域内的泰勒展式为_________________． ７．设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_________________． ８．设，则的三角表示为_________________________． ９．___________________________． １０．设，则在处的留数为________________________． 二、计算题． １．计算下列各题．（９分）(1)；

(2);(3)2．求解方程．（７分）３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．（８分）４．计算积分．（10分）(1)，其中是沿由原点到点的曲线．(2)，积分路径为自原点沿虚线轴到，再由沿水平方向向右到． ５．试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级数．（８分）６．计算下列积分．（８分）(1)；

(2)． ７．计算积分．（８分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）(1)；

(2)． ９．讨论的可导性和解析性．（６分）三、证明题． １．设函数在区域内解析，为常数，证明必为常数．（５分）２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分 《复变函数》考试试题（十四）一、填空题．（每题２分）１．设，则___________________． ２．设函数，，则的充要条件______________________． ３．设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________． ４．设为的可去奇点，____________________． ５．设，则是的________阶零点． ６．设，则在的邻域内的泰勒展式为_________________． ７．设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_________________． ８．设，则的三角表示为_________________________． ９．___________________________． １０．设，则在处的留数为________________________． 二、计算题． １．计算下列各题．（９分）(1)；

(2);(3)2．求解方程．（７分）３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．（８分）４．计算积分，其中路径为（１）自原点到点的直线段；

(2)自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到．（10分）５．试将函数在的邻域内的泰勒展开式．（８分）６．计算下列积分．（８分）(1)；

(2)． ７．计算积分．（６分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）(1)；

(2)． ９．设为复平面上的解析函数，试确定，的值．（６分）三、证明题． １．设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数．（５分）２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分）试卷一至十四参考答案 《复变函数》考试试题（一）参考答案 8、判断题 1．×2．√　３．√　４．√　５．√ 　6．√　７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1.；

2.1；

3.，；

4.；

5.1 6.整函数；

7.；

8.；

9.0；

10..三．计算题.1.解 因为 所以.2.解 因为 ,.所以.3.解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内,.所以.4.解 令, 则.故 ,.四.证明题.1.证明 设在内.令.两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以.代入(2)则上述方程组变为.消去得,.1)若, 则 为常数.2)若, 由方程(1)(2)及 方程有 ,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加.所以 的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.《复变函数》考试试题（二）参考答案 一.判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×.二.填空题 1.1，；

2.；

3.；

4.1；

5..6.，.7.0；

8.；

9.；

10.0.三.计算题 1.解.2.解 令.则.又因为在正实轴去正实值，所以.所以.3.单位圆的右半圆周为,.所以.4.解 =0.四.证明题.1.证明(必要性)令,则.(为实常数).令.则.即满足, 且连续, 故在内解析.(充分性)令, 则 , 因为与在内解析, 所以 , 且.比较等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数.2.即要证“任一 次方程 有且只有 个根”.证明 令, 取, 当在上时, 有..由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相 同个数的根.而 在 内有一个 重根.因此次方程在 内有 个根.《复变函数》考试试题（三）参考答案 一.判断题 1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√.二.填空题.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.计算题.1.解.2.解.所以收敛半径为.3.解 令 , 则.故原式.4.解 令 ,.则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有.即在 内, 方程只有一个根.四.证明题.1.证明 证明 设在内.令.两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以.代入(2)则上述方程组变为.消去得,.1), 则 为常数.5.若, 由方程(1)(2)及 方程有 ,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明 取 , 则对一切正整数 时,.于是由的任意性知对一切均有.故, 即是一个至多次多项式或常数.《复变函数》考试试题（四）参考答案 一.判断题.1．√ ２．× ３．× ４．×　５．×　6．√ ７．×８．× ９．√10．√.二.填空题.1.,;2.;3.;4.;5.整函数;6.亚纯函数;7.0;8.;9.;10..三.计算题.1.2.解 ,.故原式.3.解 原式.4.解 =，令，得，而 为可去奇点 当时，而 为一阶极点.四.证明题.1.证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑.而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.2.证明 令, , 则与在全平面解析, 且在上, , 故在内.在上, , 故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.《复变函数》考试试题（五）参考答案 一.判断题.1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√.二.填空题.1.2, ,;2.;3.,;4.;5.0;6.0;7.亚纯函数;8.;9.0;10..三.计算题.1.解 令, 则.故 ,.2.解 连接原点及的直线段的参数方程为 , 故.3.令, 则.当时 , 故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有.4.解 令 则在内解析, 且在上, , 所以在内, , 即原方程在 内只有一个根.四.证明题.1.证明 因为, 故.这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.2.证明 取 , 则对一切正整数 时,.于是由的任意性知对一切均有.故, 即是一个至多次多项式或常数.《复变函数》考试试题（六）参考答案 一、判断题：1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 9.√ 10.× 二、填空题：1.2.3.4.1 5.1 6.阶 7.整函数 8.9.0 10.欧拉公式 三、计算题：

1.解：因为 故.2.解：

因此 故.3.解：

4.解：

5．解：设, 则.6．解：

四、1.证明：设 则在上，即有.根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设，则, 由于在内解析，因此有 ,.于是故，即在内恒为常数.3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.《复变函数》考试试题（七）参考答案 一、判断题：1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.× 二、填空题：1.2.3.4.1 5.1 6.阶 7.整函数 8.9.0 10.三、计算题：

1.解：

2.解：

因此 故.3.解：

因此 4.解：

由于，从而.因此在内 有 5．解：设, 则.6.解：设，则，故奇点为.四、证明题：

1.证明：设 则在上，即有.根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7.2.证明：设，则 已知在区域内解析，从而有 将此代入上上述两式得 因此有 于是有.即有 故在区域恒为常数.3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、计算题 解：根据线性变换的保对称点性知关于实轴的对称点应该变到关于圆周的对称点，故可设 《复变函数》考试试题（八）参考答案 一、判断题：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.√ 8.× 9.√ 10.× 二、填空题：1.2.3.4.5.1 6.7.8.9.5 10.三、计算题：

1.解：由于在解析，所以 而 因此.2.解：

因此 故.3.解：

因此 4.解：

由于，从而 因此在内有 5．解：设, 则.6．解：设, 则 在内只有一个一级极点 因此.四、证明：

1.证明：设 则在上，即有.根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7 2.证明：因为，在内连续, 所以, 当时有 从而有 即与在连续，由的任意性知与都在内连续 3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、解：1.设，则将区域保形映射为区域 2.设, 则将上半平面保形变换为单位圆.因此所求的单叶函数为.《复变函数》考试试题（九）参考答案 一、判断题（20分）1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√ 二、填空题（20分）1、2、3、4、1 5、1 6、7、整函数 8、9、8 10、三、计算题（30）1、解：

2、解：

因此 故.3、解：

4、解：

由于，从而.因此在内 有 5、解：设, 则.6、解：设则在内有两个一级极点，因此，根据留数定理有 四、证明题（20分）1、证明：设 则在上，即有.根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.2、证明：设，则, 由于在内解析，因此有 ,.于是故，即在内恒为常数.3、证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、计算题（10分）解：1、设则将区域保形变换为区域.2、设,则将区域保形变换为区域 3、设则将保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为 《复变函数》考试试题（十）参考答案 一、判断题（40分）：

1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.× 7.√ 8.√ 9.√ 10.√ 二、填空题（20分）：

1.2. 3.4.5.三、计算题（40分）1.解：在上解析，由积分公式，有 2.解：设，有 3.解：

4.解：，故，5.解：令，则，在内均解析，且当时 由定理知根的个数与根的个数相同.故在内仅有一个根.《复变函数》考试试题（十一）参考答案 一、1．×2．√３．×４．√５．√ 二、1． 1 2．３．４． ５． ６． ７．８．15 9.10.三、1．解：

.又.故.2.解:(1)奇点为对任意整数, 为二阶极点, 为本性奇点.(2)奇点为 为本性奇点,对任意整数,为一级极点,为本性奇点.3.(1)解: 共有六个有限奇点, 且均在内, 由留数定理,有 将在的去心邻域内作展开 所以.(2)解: 令,则 再令则,故 由留数定理,有 4.解：儒歇定理：设为一条围线，若函数与均在内部及上解析且，则与在内部的零点个数相同.令, 则在内解析且 当时 , 由儒歇定理的根个数与根个数相同 故在内有4个根.四、1.证明: 由在上半平面内解析,从而有 因此有 故在下半平面内解析.2.证明:(1)则 故,即在上为的上升函数.(2)如果存在及使得 则有 于是在内恒为常数,从而在内恒为常数.《复变函数》考试试题（十二）参考答案 一、判断题.1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 二、填空题.1.2.3.4.5.6.7.8.9.本性 10.三、计算题.1.解：

由 得 从而有 2.解：（1）的各解析分支为，.为的可去奇点，为的一阶极点。

（2）3.计算下列积分 解：（1）（2）设 令，则 4.儒歇定理：设是一条围线，及满足条件：

（1）它们在的内部均解析，且连续到；

（2）在上，则与在的内部有同样多零点，即 有 由儒歇定理知在没有根。

四、证明题 1证明：.设 有 易知，在任意点都不满足条件，故在复平面上处处不解析。

2.证明：于高阶导数公式得 即 故 从而 《复变函数》考试试题（十三）参考答案 一、填空题．（每题２分）1.2.及 3.4.5.6.7.椭圆 8.9.10.二、计算题． １．计算下列各题．（９分）解:(1)(2)(3)2.解: 故共有三个根: , , 3.解: 是调和函数.4.解(1)(2)5.解: 时 时 6.解:(1)(2)7.解: 设 和为上半平面内的两个一级极点,且 8.(1)(2)9.解: 设,则 当且仅当时,满足条件,故仅在可导,在平面内处处不解析.三、1.证明: 设,因为为常数,不妨设(为常数)则 由于在内解析,从而有, 将此代入上述两式可得 于是 因此在内为常数.2.解: 设,（，为实常数）则 故的轨迹是直线 《复变函数》考试试题（十四）参考答案 一、1、2、且 3、0 4、有限值 5、4 6、7、椭圆 8、9、10、二、计算题。

1、解（1）（2）（3）= 2、解：

故：方程共有三个根，分别为：

3、解：

故是调和函数。

4.解:(1)(2)5.解: = 6.解:(1)(2)7.解: 设 则, 令则在内只有一级权点, ,依离数定理有 8.解:(1)即.故(2)9.解 设, 则 因解析,由条件有,解得.三 1.证明 设,由 有, 又也在也解析,有, 由与得 故在内为常数.2.证明,设有 即点在直线上为实常数.

篇2：复变函数14套题目和答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）

因此，2．

将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4．设试用三角形式表示与

解：，所以，5．

解下列方程：

（1）

（2）

解：（1）

由此，（2），当时，对应的4个根分别为：

6．证明下列各题：（1）设则

证明：首先，显然有；

其次，因

固此有

从而。

（2）对任意复数有

证明：验证即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，由此得到：

由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。

（4）若则皆有

证明：根据已知条件，有，因此：，证毕。

（5）若，则有

证明：，因为，所以，因而，即，结论得证。

7．设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有，在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此，8．试用来表述使这三个点共线的条件。

解：要使三点共线，那么用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到：

三个点共线的条件是为实数。

9．写出过两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：，因而，复参数方程为：

其中为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）

（1）

（2）

（3）

解：只需化为实参数方程即可。

（1），因而表示直线

（2），因而表示椭圆

（3），因而表示双曲线

11．证明复平面上的圆周方程可表示为，其中为复常数，为实常数

证明：圆周的实方程可表示为：，代入，并注意到，由此，整理，得

记，则，由此得到，结论得证。

12．证明：幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。

证明：首先，在原点无定义，因而不连续。

对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时，而当由实轴下方趋于时，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。

13．函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？

解：对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得，因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得

即表示一个圆周。

对于，其方程可表示为

代入映射函数中，得

因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得，表示一半径为的圆周。

14．指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集，并做图：

解：（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。

（2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，即圆心为半径为的圆周及圆周外部的点集。

（3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入化为实方程得

（4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。

（5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。

15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。

（1），以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通

（2），顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通

（3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3

连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。

（4），显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。

（5），代入，化为实不等式，得

所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。

习题二答案

1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：

（1）处处解析，（2）处处解析，（3）的奇点为，即，（4）的奇点为，2．

判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根据柯西—黎曼定理：

（1），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函数在点可导，函数处处不解析。

（2），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函数在直线上可导，因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。

（3），四个一阶偏导数皆连续，因而

处处可微，并且

处处满足柯西—黎曼方程

因此，函数处处可导，处处解析，且导数为

（4），，因函数的定义域为，故此，处处不满足柯西—黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。

3．当取何值时在复平面上处处解析？

解：，由柯西—黎曼方程得：

由（1）得，由（2）得，因而，最终有

4．证明：若解析，则有

证明：由柯西—黎曼方程知，左端

右端，证毕。

5．证明：若在区域D内解析，且满足下列条件之一，则在D内一定为常数。

（1）在D内解析，（2）在D内为常数，（3）在D内为常数，（4）

（5）

证明：关键证明的一阶偏导数皆为0！

（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得

------------------------（1）

而由的解析性，又有

------------------------（2）

由（1）、（2）知，因此即

为常数

（2）设，那么由柯西—黎曼方程得，说明与无关，因而，从而为常数。

（3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得

----------------------------（1）

因解析，所以又有

-------------------------（2）

求解方程组（1）、（2），得，说明

皆与无关，因而为常数，从而也为常数。

（4）同理，两端分别对求偏导数，得

再联立柯西—黎曼方程，仍有

（5）同前面一样，两端分别对求偏导数，得

考虑到柯西—黎曼方程，仍有，证毕。

6．计算下列各值（若是对数还需求出主值）

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2），为任意整数，主值为：

（3），为任意整数

主值为：

（4）

（5），为任意整数

（6），当分别取0，1，2时得到3个值：，7．

求和

解：，因此根据指数函数的定义，有，（为任意整数）

8．设，求

解：，因此

9．解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）方程两端取对数得：

（为任意整数）

（2）根据对数与指数的关系，应有

（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为

因此

即，为任意整数

（4）由双曲函数的定义得，解得，即，所以，为任意整数

10．证明罗比塔法则：若及在点解析，且，则，并由此求极限

证明：由商的极限运算法则及导数定义知，由此，11．

用对数计算公式直接验证：

（1）

（2）

解：记，则

（1）左端，右端，其中的为任意整数。

显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在时的值为，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。

（2）左端

右端

其中为任意整数，而

不难看出，对于左端任意的，右端取或时与其对应；反之，对于右端任意的，当为偶数时，左端可取于其对应，而当为奇数时，左端可取于其对应。综上所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。

12．证明

证明：首先有，因此，第一式子证毕。

同理可证第二式子也成立。

13．证明

（即）

证明：首先，右端不等式得到证明。

其次，由复数的三角不等式又有，根据高等数学中的单调性方法可以证明时，因此接着上面的证明，有，左端不等式得到证明。

14．设，证明

证明：由复数的三角不等式，有，由已知，再主要到时单调增加，因此有，同理，证毕。

15．已知平面流场的复势为

（1）

（2）

（3）

试求流动的速度及流线和等势线方程。

解：只需注意，若记，则

流场的流速为，流线为，等势线为，因此，有

（1）

流速为，流线为，等势线为

（2）

流速为，流线为，等势线为

（3）

流速为，流线为，等势线为

习题三答案

1．计算积分，其中为从原点到的直线段

解：积分曲线的方程为，即，代入原积分表达式中，得

2．计算积分，其中为

（1）从0到1再到的折线

（2）从0到的直线

解：（1）从0到1的线段方程为：，从1到的线段方程为：，代入积分表达式中，得；

（2）从0到的直线段的方程为，代入积分表达式中，得，对上述积分应用分步积分法，得

3．积分，其中为

（1）沿从0到

（2）沿从0到

解：（1）积分曲线的方程为，代入原积分表达式中，得

（2）积分曲线的方程为，代入积分表达式中，得

4．计算积分，其中为

（1）从1到+1的直线段

（2）从1到+1的圆心在原点的上半圆周解：（1）的方程为，代入，得

（2）的方程为，代入，得

5．估计积分的模,其中为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。

解：在上，=1，因而由积分估计式得的弧长

6．用积分估计式证明：若在整个复平面上有界，则正整数时

其中为圆心在原点半径为的正向圆周。

证明：记，则由积分估计式得，因，因此上式两端令取极限，由夹比定理，得，证毕。

7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线皆为。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：各积分的被积函数的奇点为：（1），（2）

即，（3）

（4）为任意整数，（5）被积函数处处解析，无奇点

不难看出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。

8．计算下列积分：

（1）

（2）

（3）

解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：

（1）

（2）

（3）

9．计算，其中为不经过的任一简单正向闭曲线。

解：被积函数的奇点为，根据其与的位置分四种情况讨论：

（1）皆在外，则在内被积函数解析，因而由柯西基本定理

（2）在内，在外，则在内解析，因而由柯西积分

公式：

（3）同理，当在内，在外时，（4）皆在内

此时，在内围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

注：此题若分解，则更简单！

10．计算下列各积分

解：（1），由柯西积分公式

（2），在积分曲线内被积函数只有一个奇点，故此同上题一样：

（3）

在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

（4），在积分曲线内被积函数只有一个奇点1，故此

（5），在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

（6）为正整数，由高阶导数公式

11．计算积分，其中为

（1）

（2）

（3）

解：（1）由柯西积分公式

（2）同理，由高阶导数公式

（3）由复合闭路原理，其中，为内分别围绕0，1且相互外离的小闭合曲线。

12．积分的值是什么？并由此证明

解：首先，由柯西基本定理，因为被积函数的奇点在积分曲线外。

其次，令，代入上述积分中，得

考察上述积分的被积函数的虚部，便得到，再由的周期性，得

即，证毕。

13．设都在简单闭曲线上及内解析，且在上，证明在内也有。

证明：由柯西积分公式，对于内任意点，由已知，在积分曲线上，故此有

再由的任意性知，在内恒有，证毕。

14．设在单连通区域内解析，且，证明

（1）

在内；

（2）

对于内任一简单闭曲线，皆有

证明：（1）显然，因为若在某点处则由已知，矛盾！

（也可直接证明：，因此，即，说明）

（3）

既然，再注意到解析，也解析，因此由函数的解析性法则知也在区域内解析，这样，根据柯西基本定理，对于内任一简单闭曲线，皆有，证毕。

15．求双曲线

（为常数）的正交（即垂直）曲线族。

解：为调和函数，因此只需求出其共轭调和函数，则

便是所要求的曲线族。为此，由柯西—黎曼方程，因此，再由

知，即为常数，因此，从而所求的正交曲线族为

（注：实际上，本题的答案也可观察出，因极易想到

解析）

16．设，求的值使得为调和函数。

解：由调和函数的定义，因此要使为某个区域内的调和函数，即在某区域内上述等式成立，必须，即。

17．已知，试确定解析函数

解：首先，等式两端分别对求偏导数，得

----------------------------------（1）

-------------------------------（2）

再联立上柯西—黎曼方程

------------------------------------------------------（3）

----------------------------------------------------（4）

从上述方程组中解出，得

这样，对积分，得再代入中，得

至此得到：由二者之和又可解出，因此，其中为任意实常数。

注：此题还有一种方法：由定理知

由此也可很方便的求出。

18．由下列各已知调和函数求解析函数

解：（1），由柯西—黎曼方程，对积分，得，再由得，因此，所以，因，说明时，由此求出，至此得到：，整理后可得：

（2），此类问题，除了上题采用的方法外，也可这样：，所以，其中为复常数。代入得，故此

（3）

同上题一样，因此，其中的为对数主值，为任意实常数。

（4），对积分，得

再由得，所以为常数，由知，时，由此确定出，至此得到：，整理后可得

19．设在上解析，且，证明

证明：由高阶导数公式及积分估计式，得，证毕。

20．若在闭圆盘上解析，且，试证明柯西不等式，并由此证明刘维尔定理：在整个复平面上有界且处处解析的函数一定为常数。

证明：由高阶导数公式及积分估计式，得，柯西不等式证毕；下证刘维尔定理：

因为函数有界，不妨设，那么由柯西不等式，对任意都有，又因处处解析，因此可任意大，这样，令，得，从而，即，再由的任意性知，因而为常数，证毕。

习题四答案

1．考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限．

（1）

解：因为不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛．

（2）

解：，其中，则

．

因为，所以

由定义4.1知，数列收敛，极限为0．

（3）

解：因为，所以

由定义4.1知，数列收敛，极限为0．

（4）

解：设，则，因为，都不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛．

2．下列级数是否收敛？是否绝对收敛?

(1)

解：，由正项级数的比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛．

(2)

解：，因为是交错级数，根据交错级数的莱布尼兹审敛法知该级数收敛，同样可知，也收敛，故级数是收敛的．

又，因为发散，故级数发散，从而级数条件收敛．

(3)

解：，因级数发散，故发散．

(4)

解：，由正项正项级数比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛．

3．试确定下列幂级数的收敛半径．

(1)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(2)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(3)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(4)

解：令，则，故幂级数的收敛域为，即，从而幂级数的收敛域为，收敛半径为．

4．设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为．

证明：在点处，因为收敛，所以收敛，故由阿贝尔定理知，时，收敛，且为绝对收敛，即收敛．

时，因为发散，根据正项级数的比较准则可知，发散，从而的收敛半径为1，由定理4.6，的收敛半径也为1．

5．如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛．

证明：时，由阿贝尔定理，绝对收敛．

时，由已知条件知，收敛，即收敛，亦即绝对收敛．

6．将下列函数展开为的幂级数，并指出其收敛区域．

（1）

解：由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．根据例4.2的结果，可以得到

．

将上式两边逐项求导，即得所要求的展开式

=．

（2）

解：①时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．

===．

②时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．

=

=．

（3）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

．

（4）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

（5）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

=．

（6）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

=

==．

7．求下列函数展开在指定点处的泰勒展式，并写出展式成立的区域．

（1）

解：，．

由于函数的奇点为，所以这两个展开式在内处处成立．所以有：

．

（2）

解：由于

所以．

（3）

解：

=．

展开式成立的区域：，即

（4）

解：，，……，，……，故有

因为的奇点为，所以这个等式在的范围内处处成立。

8．将下列函数在指定的圆域内展开成洛朗级数．

(1)

解：，故有

(2)

解：

①在内

②在内

(3)

解：①在内，②在内

(4)

解：在内

(5)

解：

在内

故有

9．将在的去心邻域内展开成洛朗级数．

解：因为函数的奇点为，所以它以点为心的去心邻域是圆环域．在内

又

故有

10．函数能否在圆环域内展开为洛朗级数？为什么？

答：不能。函数的奇点为,，所以对于，内都有的奇点，即以为环心的处处解析的圆环域不存在，所以函数不能在圆环域内展开为洛朗级数．

习题五答案

1．求下列各函数的孤立奇点，说明其类型，如果是极点，指出它的级．

（1）

解：函数的孤立奇点是，因

由性质5.2知，是函数的1级极点，均是函数的2级极点．

（2）

解：函数的孤立奇点是，因，由极点定义知，是函数的2级极点．

（3）

解：函数的孤立奇点是，因，由性质5.1知，是函数可去奇点．

（4）

解：函数的孤立奇点是,①，即时，因

所以是的3级零点，由性质5.5知，它是的3级极点

②，时，令，因，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点

（5）

解：函数的孤立奇点是,令，①

时，，由定义5.2知，是的2级零点，由性质5.5知，它是的2级极点，故是的2级极点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点，故是的１级极点．

（６）

解：函数的孤立奇点是，令，①

时，因，所以是的2级零点，从而它是的2级极点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的１级极点．

2．指出下列各函数的所有零点，并说明其级数．

（1）

解：函数的零点是，记，①

时，因，故是的2级零点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点．

（2）

解：函数的零点是，因，所以由性质5.4知，是的2级零点．

（3）

解：函数的零点是，，记，①

时，是的1级零点，的1级零点，的2级零点，所以是的4级零点．

②，时，，由定义5.2知，是的1级零点．

③，时，，由定义5.2知，是的1级零点．

3．是函数的几级极点？

答：记，则，，，将代入，得：，由定义5.2知，是函数的5级零点，故是的10级极点．

4．证明：如果是的级零点，那么是的级零点．

证明：因为是的级零点，所以，即，由定义5.2知，是的级零点．

5．求下列函数在有限孤立奇点处的留数．

（1）

解：函数的有限孤立奇点是，且均是其1级极点．由定理5.2知，．

（2）

解：函数的有限孤立奇点是，且是函数的3级极点，由定理5.2，．

（3）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（4）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（5）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（6）

解：函数的有限孤立奇点是．

①，即，因为

所以是的2级极点．由定理5.2，．

②时，记，则，因为，所以由定义5.2知，是的1级零点，故它是的1级极点．由定理5.3，．

6．利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）．

（1）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，由定理5.1知，．

（2）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为1级极点，所以由定理5.1及定理5.2，．

（3）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，因为，所以由性质5.1知是函数的可去奇点，从而由定理5.1，由定理5.1，．

（4）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，由定理5.1，．

（5）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，由性质5.6知是函数的1级极点，由定理5.1，．

（6）

解：被积函数在积分区域内的有限孤立奇点为：，由定理5.3，这些点均为的1级极点，且

由定理5.1，．

7．计算积分，其中为正整数，．

解：记，则的有限孤立奇点为，且为级极点，分情况讨论如下：

①时，均在积分区域内，由定理5.1，故有．

②时，均不在积分区域内，所以．

③时，在积分区域内，不在积分区域内，所以

习题五

8．判断是下列各函数的什么奇点？求出在的留数。

解：（1）因为

所以，是的可去奇点，且。

（2）因为

所以

于是，是的本性奇点，且。

（3）因为

所以

容易看出，展式中由无穷多的正幂项，所以是的本性奇点。

（4）因为

所以是的可去奇点。

9．计算下列积分：

解：（1）

（2）

从上式可知，所以。

10．求下列各积分之值：

（1）解：设则。于是

（2）解：设则。于是

（3）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。在上半平面内只有一个奇点，且为2级极点。于是

（4）解：

显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。在上半平面内只有和二个奇点，且都为1

级极点。于是

所以

（5）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1

级极点。于是

（6）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1

级极点。于是

11．利用对数留数计算下列积分：

解：（1），这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

（2）

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数；为函数在内的零点数，为在内的极点数。

(3)

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

(4)

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

12．证明方程有三个根在环域内

证明：令。因为当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即4个。

又当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即1个。

综合上述得到，在环域内有3个根。

13．讨论方程在与内各有几个根。

解：令。因为当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即1个。

又当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即4个。

根据上述还可以得到，在环域内有3个根。

14．当时，证明方程与在单位圆内有n个根。

证明：令。因为当时，有

所以，当时，方程与在内根的数目相同，即n个。

习题七答案

1．试证：若满足傅氏积分定理的条件，则有

证明：根据付氏积分公式，有

2．求下列函数的傅氏变换：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

f(t)

(2)

(3)

(4)

由于

所以

3．求下列函数的傅氏变换，并推证所列的积分等式。

(1)

证明

(2)

证明。

解：(1)

由傅氏积分公式，当时

所以，根据傅氏积分定理

(2)

由傅氏积分公式

所以，根据傅氏积分定理

5．求下列函数的傅氏变换：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）

(2)

(3)

由于

所以

(4)

由于

所以

6．证明：若其中为一实函数，则

其中为的共轭函数。

证明：由于

所以

于是有

7．若，证明（翻转性质）。

证明：由于

所以

对上述积分作变换，则

8．证明下列各式：

(1)

（为常数）；

(2)

证明：（1）

（2）

9．计算下列函数和的卷积：

(1)

(2)

(2)

(2)

解:

(1)

显然，有

当时，由于=0，所以；

当时，（2）显然，有

所以，当

或

或

时，皆有=0。于是

当时，；

当时，；

当时。

又

所以

从而

当时，当时，总结上述，得。

10．求下列函数的傅氏变换：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）由于

根据位移性质

（2）

（3）根据位移性质

再根据像函数的位移性质

（4）由于

根据微分性质

再根据位移性质。

习题八

1．求下列函数的拉氏变换：

(1)

解：由拉氏变换的定义知：

(2)

解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：

2.求下列函数的拉氏变换：

(1)

解：由拉氏变换的线性性质知：

(2)

解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：

(3)

解：法一：利用位移性质。

由拉氏变换的位移性质知：

法二：利用微分性质。

令

则

由拉氏变换的微分性质知：

即

(4)

解：因为

故由拉氏变换的位移性知：

(5)

解：

故

(6)

解：因为

即：

故

(7)

解：

法一：利用拉氏变换的位移性质。

法二：利用微分性质。

令则

由拉氏变换的微分性质知：

又因为

所以

(8)

解：法一：利用拉氏变换的位移性质。

因为

故

法二：利用微分性质。

令，则

故

由拉氏变换的微分性质知：.故

3.利用拉氏变换的性质计算下列各式：

(1)

求

解：因为

所以由拉氏变换的位移性质知：

(2)

求

解：设

则

由拉氏变换的积分性质知：

再由微分性质得：

所以

4.利用拉氏变换的性质求

(1)

解：法一：利用卷积求解。

设

则

而

由卷积定理知：

法二：利用留数求解。

显然在内有两个2级极点。除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

(2)

解：法一：利用卷积求解。

设

则

而

由卷积定理知

法二：用留数求解。

显然在内有两个2级极点。除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

法三：利用拉氏变换积分性质求解。

由(1)题知

故

即

5.利用积分性质计算

(1)

解：设

由拉氏变换的微分性质得：

所以

(2)

解：在(1)题中取得

由拉氏变换的位移性质知：

再由拉氏变换的积分性质得

6.计算下列积分：

(1)

解：

由拉氏变换表知：取

则

(2)

解：

7．求下列函数的拉氏逆变换：

(1)

解：因

取得

故

(2)

解：因为

而

所以

(3)

解：设则是的四级极点。

除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

下面来求留数。

因为

故.所以

(4)

解：设

则在内具有两个单极点

除此外处处解析，且当时，故由定理8.3得：

(5)

解：设

分别为的一阶、二阶极点。显然满足定理8.3的条件，故由定理8.3知：

(6)

解：设

显然

查表知

故由卷积定理得：

(7)

解：设

则

因为

所以

故

(8)

解：，因为

所以

即：

8.求下列函数的拉氏逆变换：

(1)

解：

由拉氏变换表知：

所以

(2)

解：

而

所以

(3)

解：设

则

设

则

由卷积定理知，所以

(4)

解：设

则

设

则

故

所以

(5)

解：

因为

故由卷积定理知：

又因为

所以

(6)

解：

由拉氏变换表知：

所以

9.求下列卷积：

(1)

解：`因为

所以

(2)

（m,n为正整数）；

解：

(3)

解：

(4)

解：

(5)

解：因为

当时，故当

时，即

(6)

解：设

则

所以当

即

时，上式为0.当

即

时，由函数的筛选性质得：

10.利用卷积定理证明下列等式：

(1)

证明：因为

故由卷积定理：

也即，证毕。

(2)

证明：因为

故由卷积定理知：

证毕。

11.解下列微分方程或微分方程组：

(1)

解：设

对方程两边取拉氏变换，得

代入

得：

用留数方法求解拉氏逆变换，有：

(2)

解：设

对方程两边同时取拉氏变换，得

代入初值条件，得：

求拉氏逆变换得方程的解为：

(3)

解：设

用拉氏变换作用方程两边，得：

代入初值条件，有：

即：

因为

所以由卷积定理求拉氏逆变换得：

(4)

解：设

用拉氏变换作用在方程两边得：

将初始条件代入，得：

因为

所以

因此

故方程的解：

(5)

解：设

对方程两边取拉氏变换，得：

代入初始条件，整理得：

由例8.16知：

又因为

故

因为

所以方程的解

(6)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

求解该方程组得：

取拉式逆变换得原方程组的解为：

(7)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

整理计算得：

下求的拉氏逆变换：

因为

故由卷积定理可得

同理可求

所以方程组的解为

(8)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

解此方程组得：

取拉氏逆变换得原方程组的解为：

12.求解积分方程

解：令

由卷积定理

知

将拉氏变换作用于原方程两端，得：

也即：