平面向量基本定理证明

平面向量基本定理证明（通用9篇）

篇1：平面向量基本定理证明

一、教学目标：

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课

六、教 具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

.2.基底：

(1)不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底：不共线，不唯一，非零

(3)基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

5.作业

篇2：平面向量基本定理证明

教学设计

平面向量基本定理教学设计

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习习近平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习习近平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的应用； 教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法

1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导

1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程

针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。第一环节：问题导学 自主学习

首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境 导入课题

进入新课，引入课题采用问题情境的办法。通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。

第三环节：分组讨论 合作探究

提出问题，进入探究阶段。采用分组讨论，合作探究的方法，先让学生回顾知识-向量加法的平行四边形法则。进入小组讨论，共同讨论两个问题。

问题1：向量a与向量e1，e2共起点，向量a是同一平面内任一向量，e1与e2不共线，探究向量a与e1，e2之间的关系.问题2：向量e1与e2是同一平面内不共线的两个向量，向量a是同一平面内任一向量，探究向量a与e1，e2之间的关系.设计意图：各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.第四环节：成果展示 归纳总结

小组讨论完毕，由几个小组展示研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知识—平面向量基本定理。在定理中重点补充强调以下几点说明：（1）基底e1,e2不共线，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，实数1，2唯一；（3）1e1e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.第五环节：问题解决 巩固训练

引入定理后，应用定理解决学案例题与练习。例题1重在考查基底的概念，引导学生思考向量作为基底的条件，将问题转化为两个向量的共线问题。讲解完例题1之后，通过一个练习，巩固所学。通过两个问题，让学生认识理解基底的概念，把握基底的本质，突出重点——平面向量基本定理的应用。在例题2中继续强化对基底概念的理解，采用分组讨论，合作探究的教学方法，共同探讨解法，并由小组板演解题过程，最后强调解题步骤；此后，给出例2的一个变式题，让学生进一步深刻理解基底，体会基底的重要作用。解决本节难点——平面向量基本定理的理解，通过例题3对平面向量基本定理综合应用，解决三点共线问题。采用先启发引导后学生探究的方法，解决学生的困惑。例题讲解完毕后，对本题结论适当拓展，得到“当t11，点P是AB的中点，OP=（OAOB）”的重要结论。通过探究22本题，可以使学生深化对平面向量基本定理的理解，培养学生综合运用知识的能力.为了加强对定理的应用，在学案中设计了几个巩固练习，在课堂上当场完成，并及时纠错，巩固本节所学。

第六环节：拓展演练 反馈检测

为了攻克难点，检测效果，最后设计了几道课后习题进行拓展延伸，培养学生的综合能力。通过这些设计，可以增强教学的针对性，提高教学效果。在本节尾声，让学生回顾本节主要内容，完成小结，并在小结中强调转化的数学思想及方法。最后是布置课后作业及时间分配与板书设计。

六、评价感悟

本节教学设计在“学本课堂”的教学模式下，采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，引导学生自主学习，发现问题，小组讨论，合作探究，解决问题。在教学过程中，学生处于主体地位，教师充分发挥学生的积极性，力求打造高效课堂。

篇3：关于平面向量基本定理推论的思考

一、通过拼凑使向量前系数满足 λ + μ = 1

例1 在△ABC中, , P是BN上的一点, 若, 则实数m的值为多少?

如果此题用平面向量基本定理的推论去考虑, 就会省去大部分运算.

解延长CA到D, 使DA = AC,

平面向量基本定理的推论, 知O, E, B三点共线, 且当CE⊥DB时, 最小值为.

二、延长或缩短某条线段, 将问题转化为三点共线

例3 OM与BC平行, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内 ( 不含边界) , 且, 则实数 ( x, y) 的关系为_____.

解延长OP交AB延长线于D, 则

例4 已知△ABC, D为BC的中点, O为平面上任意一点, 存在一点P, 满足, 求△PAC得面积与△ABC的面积之比.

这种做法比较混乱, 更多的靠运气. 要跳出这个式子, 站在更高的位置整体看待它.

利用平面向量基本定理的推论

∴ 由平面向量基本定理的推论知, P, D, C三点共线, 且

篇4：平面向量基本定理探讨

一、定理再现

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，存在一对实数，使。

二、定理的认识

平面向量基本定理是向量理论中最重要的定理，是向量得以用数量进行计算的桥梁和纽带，是向量理论中的里程碑和标志性定理。

三、问题的提出

定理肯定了基底的存在性，并没有指明如何选择基底。在实际证明中，选择基底时，如果选择不当，可能导致证明过程过于冗长;如果选择恰当，将会使证明过程大大缩短。那么一般情况下如何选择恰当的基底呢？

四、选择基底的几条原则

1.起点重合。选择两个起点重合的向量作为基底，是选择基底的大原则。这样选择基底，可方便表示两个向量的和与差。

例1.的三边长满足，且BE、CF分别為AC、AB边上的中线，求证：。

证明：取，为一组基底，

并设，

即

2.便于表示。所取的基底必须便于表示所求向量。一般选取起点重合，且有已知点的两个向量作为一组基底。

例2.如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P，求证：BPCD.

证明：取为一组基底，

则

设即

………………….（1）

又设

………………….（2）

比较（1） （2）两式，得：

从而

=0

故：

3.联系密切。所取的基底必须于所求向量联系密切，这样便于表示所求向量。

例3.如图所示，一直线交 的三边 所在直线分别于点R、S、T.

求证：.

证明：取为一组基底

设

则

又

即

从而：

篇5：平面向量基本定理证明

《平面向量基本定理及坐标表示》是高中教学新课程必修4第二章《平面向量》中的内容，本课时安排的内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”。

xx老师这节课的教学设计注重体现新课程理念，准确把握教学要求，并结合学生的实际，精心设计教学过程，收到了良好的教学效果，受到普遍好评。这节课主要有以下几个特点：

1、脉络清晰。

通过问题引领，实现了知识结构与认知结构的和谐统一这节课的教学，从平面向量共线定理的一维量化出发，到平面向量基本定理的二维量化，再到基底的特殊化，进而得到向量的坐标表示，整体脉络清晰。这样设计不仅符合学生的认知规律，而且充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生领会数学思维的方式和方法，提高学生数学学习的能力。

“向量分解”是贯穿这节课的主线：从特殊向量在两个方向上的分解，到任意向量在两个方向上的分解，形成了平面向量基本定理。接下去，再由任意向量在两个特殊向量方向上的分解，有了向量的坐标表示，过程自然流畅。

在探究定理的过程中，设计了三个问题：

问题1： 设e平面内的两个不共线的向量，你能否作出该平面内的任一向量。

问题2： 将e类比。

问题3： 对于直角坐标平面内的`每一个向量，是否也有坐标表示呢？

逐步深入地展现思维过程，有利于学生的学习。

2、合理使用信息技术，整体优化教学过程，教学效果落实这节课在启发式讲授的同时，综合运用了探究学习与合作学习的教学方式。

在平面向量基本定理的教学中，结合教学目标以及学生的实际情况采用了小组合作学习与自主探究相结合的教学方式。对于问题1的处理，先由小组内每人任意选取方向、大小不同的向量进行分解，之后在组内交流，体验 “将任意向量在两个方向上分解”的多种情形，并获得初步结论，→仯幔溅耍保濉仯保λ2e→仯病＝幼磐ü质疑：λ1，λ2是否可以取到任意实数？让学生意识到实际操作的局限，借助几何画板课件来演示向量的任意情形，让学生直观感知对于平面内的任意向量都可以由e→仯保e→仯蚕咝员硎尽U庋的设计，让学生自主探究、小组合作学习，不仅有利于培养学生观察发现的能力，也体现了信息技术的作用。使得平面向量基本定理易于学生接受，既突出了重点，也突破了这节课的难点。

在向量的坐标表示的教学中，则以启发式讲授为主，通过教师的有效引导，使学生经历动手操作、类比归纳、抽象概括等一系列的学习活动，逐步形成对向量坐标表示的完整的认知。

3、设计内容详实，完整规范，充分体现了新课程理念和设计意图。

例如，教学设计中的“教学背景分析”，对教学内容、学生情况、教学方式、教学手段、技术准备等方面都做了详细的分析。特别是“教学反思”非常到位，不仅有对“教学整体设计”上的反思，同时有对“教学过程”的反思，还有对“个别教学环节”具体细致的反思。在每一点反思中都有深入的思考和改进的措施，详实具体，体现了教师科学的态度、深入的研究和敬业精神。这样做，既展现了校本教研的丰硕成果，也有利于教师的专业发展。

篇6：平面向量基本定理证明

【教学目标】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积

实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa.（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.2．运算定律 aaaaaa结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+b)=λa+λb.3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.新授课阶段

一、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.二、平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为 1

基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 axiyj…………○1○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作 2 a(x,y)…………○2○

2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2○式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y).特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算

（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j，即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2).（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB=OBOA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1).（3）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y).2

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC，得D1=(2，2).当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0).例4 已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0，得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)，即：32x0,x5, ∴ ∴F3(5，1).45y0,y1.例5 已知a=(2,1), b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.解：a＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，a－b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.例6 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标.解：设点D的坐标为（x,y）, AB(1,3)(2,1)(1,2)，DC(3,4)(x,y)(3x,4y)，且ABDC,(1,2)(3x,4 y).即 3-x=1,4-y=2.解得x=2,y=2.所以顶点D的坐标为（2，2）.3

另解：由平行四边形法则可得

BDBABC

(2(1),13)(3(1),43)

(3,1), ODOBBD (1,3)(3,1)(2,2).例7 经过点M(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B，且|AB|3|AM|，求点A,B的坐标.解：由题设知，A,B,M三点共线，且|AB|3|AM|，设A(x,0),B(0,y)，①点M在A,B之间，则有AB3AM，∴(x,y)3(2x,3).解之得：x3,y3，点A,B的坐标分别为(3,0),(0,3).②点M不在A,B之间，则有AB3AM，同理，可求得点A,B的坐标分别为(3,0)，2(0,9).综上，点A,B的坐标分别为(3,0),(0,3)或(3,0)，(0,9).2例8.已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AMABAC，试求实数的取值范围，使M落在第四象限.解：设点M(x,y)，由题设得(x2,y3)(3,)(5,7)(35,7)，∴x33,y4，要使M落在第四象限，则x330,y40，解之得14.例8 已知向量a(8,2),b(3,3),c(6,12),p(6,4)，问是否存在实数x,y,z同时满足两个条件：(1)pxaybzc;(2)xyz1？如果存在，求出x,y,z的值；如果不存在，请说明理由.4

1x,28x3y6z6,1解：假设满足条件的实数x,y,z存在，则有2x3y12z4,解之得：y，3xyz1.1z.6∴满足条件的实数x课堂小结

（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.作业 见同步练习拓展提升

1.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（）A.e1，e2 B.e1+e2，e2 C.e1，2e2 D.e1，e1+e2 2.设e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（）

A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e1-6e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2

111,y,z.2363.已知e1,e2不共线，a =1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是（）

A.1=1，B.1=2，C.1=3，D.1=4 4.设AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（）

A.A，B，C B.A，C，D C.A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列说法中，正确的是（）

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量.Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ①②③

６．已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（）①1e1+2e2（1，2为实数）可以表示该平面内所有向量；

②若有实数1，2使1e1+2e2＝0，则1＝2＝０.Ａ．①

Ｂ．②

Ｃ．①②

Ｄ．以上都不对

７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（）11aaＡ．（－ b）

Ｂ． －（－ b）2211Ｃ．－（a＋b）

Ｄ．（a＋b）

22８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB＝a，AE＝b，则BC＝（）11Ａ．（a－ b）

Ｂ． －（a－ b）

2211Ｃ．a＋b

Ｄ．（a＋b）

22９．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝，e2＝

.１０．已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为

.１１．当ｋ为何值时，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共线，其中e1、e2是同一平面内两个不共线的向量.１２．已知：e1、e2是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a＝ｋe1+e2与b＝e1＋ｋe2共线？  6

参考答案

1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9.－2a3b,11．②③⑤ 12.k=2

篇7：平面向量基本定理证明

要点透视：

1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C来解题．

2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式

BCAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运2

2用．

4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．

5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：

（1）根据题意画出示意图．

（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．

（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．

（4）给出答案．

活题精析：

例1．(2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．

要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．

解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积

11S=SABDSCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对

边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要点精析：（1）∵ a，b，c成等差数列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2c2a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin6032∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．

13要点精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c

当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.练习题

一、选择题

tanAa

21．在△ABC中，若，则△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

ABab2．在△ABC中，tan，则三角形中（）2ab

A．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a=b或c2=a2+b2

3．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）

1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三边分别为 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），则最大内角的度数为（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空题：

abc7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则 sinAsinBsinC

1138．△ABC的三边满足：，则∠B＝ abbcabc

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，则sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC边上的中线长是ma，用三边a，b，c表示ma，其公式是.三、解答题

11．设a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有两个相等实根，且sinCcosA－cosCsinA=0，试判断△ABC的形状。

12．已知⊙O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；

（2）求△ABC的面积S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；

（2）当a等于多少时，S有最大值并求出最大值；

（3）当a等于多少时，周长l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

CCCC15．在△ABC中，m(cos,sin)，n(cos,sin)，且m与n的夹角是． 22222

（1）求C；

篇8：平面向量基本定理证明

一、教学背景分析

教材分析:本节课是人教A版必修4第二章《平面向量》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》的第1课时, 本课时的内容为“平面向量基本定理”.平面向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础, 只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.因此平面向量基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识, 同时又为后继的内容作了奠基, 起到了承前启后的作用.

学生分析:本人所用授课班级为我校高一普通班学生, 因为我校为区示范性高中, 所以学生的数学基础较好, 有较高的学习积极性, 也具备一定的自主探究能力.在此节课之前, 学生已较好地掌握了向量的加减法则、线性运算及两个向量共线定理, 这些知识都为这节课的进行做好了知识上的铺垫.

二、教学目标构建

1.知识与技能目标

(1) 了解平面向量基本定理及其意义, 使学生知道平面向量既可以合成 (加法法则) 也可以分解 (基本定理) .

(2) 培养学生将一个向量用两个不共线的向量表示的能力.能够在具体问题中适当地选取基底, 使其他向量都能够用基底来表示, 为下一步学习平面向量的坐标作准备.

2.过程与方法目标

通过对平面向量基本定理的学习过程, 提高学生观察、分析、抽象、概括等方面的能力.并能在课堂学习中让学生体验数学定理的产生、形成过程, 体验定理蕴含的数学思想方法.

3.情感目标

通过对平面向量基本定理的学习, 激发学生的学习兴趣, 调动学习积极性, 增强学生向量的应用意识, 并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.

教学重点:对平面向量基本定理的探究.

教学难点:理解平面向量基本定理中的几个知识点:①“e1, e2”不共线;②有且只有一对实数λ1, λ2;③基底不唯一.

授课类型:新授课.

教具准备:直尺、投影仪、多媒体.

教学方式:结合教学目标以及学生的实际情况, 本节课以教师为主导, 以学生为主体, 采用启发教学法、讲授教学法, 并且在课堂教学中采用小组合作交流与自主探究相结合的教学方式.以教师引导为主, 学生经历了动手操作、合作交流、观察发现等一系列的学习活动.在本节课使用了实物投影仪, 将学生的实践成果展示出来, 并且运用多媒体辅助教学再现了向量分解过程中的一般情形, 加强了教学的直观性.

三、教学过程设计

1.创设问题, 引入课题

(1) 问题1:

前面的课程中我们学习了向量的加法、减法和实数与向量的积, 现在请大家思考一个问题:已知非零向量a, 那么同一平面内的任意向量b是否用a线性表示?

教学设计意图:问题的提出既巩固了上节课的共线定理, 也给学生留下了思维空间.如果平面内的向量不能由单个向量线性表示, 又该如何具体表示呢?此问题激发了学生的学习兴趣, 并蕴含着本课设计主线, 即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系.

(2) 问题2:

如果平面内的向量不能由单个向量线性表示, 又该如何具体表示呢?带着对这个问题的思考, 大家尝试解决以下问题:

例1 已知向量e1, e2, 求作向量-2.5e1+3e2.

教学设计意图:问题2的提出目的是让学生感知:由两个向量可以构造一个新向量 (向量加法法则) .

(3) 分组活动:

下面请同学们根据刚才的作图方法, 全班同学分两组进行活动.已给向量e1, e2, 求作下列向量①3e1-2e2;undefined. (每组作一图)

同学们作图后, 老师选择两名同学的作图结果用投影仪进行展示, 对作图结果进行评价.

教学设计意图:通过问题2的讲解和学生的亲自练习, 使学生感受到用已知的两个不共线向量确实能作出多个不同的向量, 并且在问题2与小组活动中选取求作的向量的方向指向是不同的, 这有利于学生发散思维的培养, 同时为后面“用两个不共线向量表示任意向量”的讲解作铺垫, 符合学生由特殊到一般的认知规律.

(4) 问题4:

通过刚才的亲身体验, 可以发现:给出一组不共线向量e1, e2, 能做出多个, 甚至无数多个不同的向量.现在请大家再来思考这样一个问题:对平面上任意一个向量a, 是不是都能用e1, e2来表示呢?

教学设计意图:前面的作图可以让学生感知:平面向量可以合成 (加法法则) .在此提出问题, 目的是培养学生的逆向思维, 让学生在探索中体会:向量也可以分解, 问题的提出也揭示了本节课所学习的主题内容.

2.共同探究, 解决问题

(1) 分组活动:

学生前后四人分小组讨论, “对平面上任意一个向量a, 是不是都能用e1, e2来表示呢?如果可以, 请说明操作步骤和理由.”在组内讨论时最好能选定不同方向、大小的向量分别进行研究.小组讨论后, 请小组内学生代表发表自己的观点, 另请同学进行补充.

教学设计意图:通过分组活动, 学生能更好的进行自主探究, 通过自身的体会感知到:对平面上任意一个向量a, 都能用e1, e2来表示, 这个过程就是向量的分解, 向量的合成与分解是互逆的过程.在活动中每个成员选定不同方向、大小的向量分别进行研究, 这样设计对单名学生而言, 体现向量的给定性, 而对一个小组来说, 又体现了向量的任意性.

(2) 学生探究, 教师概括:

可以尝试将e1, e2平移至共起点, 以此为邻边, a为对角线构造平行四边形.通过观察得到结论:a=λ1e1+λ2e2, 从而得到以下定理:

平面向量基本定理:如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数λ1, λ2使a=λ1e1+λ2e2, 不共线的向量e1, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

(3) 提出思考:

同学们自行阅读课本定理内容, 就定理内容寻找哪些内容是特别值得关注的?学生寻找结果归纳为:①“e1, e2”要求不共线;②有且只有一对实数λ1, λ2使a=λ1e1+λ2e2;③基底不唯一.

教学设计意图:得到定理后让学生自主阅读定理内容, 体会定理的重点难点, 培养学生发现问题的能力、积极思考勇于探索的求知精神.学生提出的问题应该正是定理内容中比较难理解的地方, 教师用现代技术手段, 借用几何画板演示力争突破本课难点.

(4) 多媒体演示:

教师通过演示几何画板内容引导学生通过观察, 解决定理中的几个问题:为什么e1, e2不共线?为何有且只有一对有序实数λ1, λ2使等式成立?基底是否唯一?

(如图1:e1, e2共线情形)

undefined

(如图2:基底e1, e2不唯一情形)

undefined

(如图3:任意a都对应唯一的一对实数对)

教学设计意图:学生通过观察老师的演示可以进一步的理解结论: (1) 基底不共线, 不唯一. (2) 给定基底, 若确定a时实数λ1, λ2有且只有一对.深化结论, 让学生再一次认识到平面内的任意一个向量都可以由一组基底表示, 而且表示的结果是唯一的.

3.例题讲解, 强化应用

(1) 例2

如图4, ▱ABCD的两条对角线交于点M, 且undefined, 用a, b表示undefined

教学设计意图:通过本例使学生初步掌握能够在具体问题中用基底来表示其他向量.上题中undefined的表示可以寻求不同的途径, 通过不同的途径undefined最终都可以用a, b表示, 而且a, b前的系数都相同, 这也再次体现了定理中的实数λ1, λ2的唯一性.

(2) 变式训练:

设▱ABCD的CD边中点为E, BC边上靠近B的三等分点为F, 且undefined, 用a, b表示: (1) AE;undefined;undefined

教学设计意图:变式训练目的使学生在掌握前面所学向量的加法、减法及实数与向量的积的知识基础上, 能够用基底来表示其他向量, 本题在难度上是一个提升.

4.课堂小结, 巩固新知

此环节先由学生自由发言, 谈谈本课的收获与体会, 再由教师总结:

(1) 通过平面向量基本定理能够将同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合, 简化了向量的研究.

(2) 在确定了一组基底之后, 对平面上任意一个向量a, 都有唯一的一组有序的实数对 (λ1, λ2) 与之相对应, λ1, λ2的引入为后面的向量的坐标运算打下了基础.

教学设计意图:课堂小结中采用了学生发言与教师总结相结合的办法, 学生的发言能使学生通过课堂的学习感悟到知识中蕴含的思想方法;获取学习方法.教师总结既强调了平面向量基本定理的作用, 也提及了它与后续知识的联系, 起到承上启下的作用.

四、“平面向量基本定理”的教学实践与反思

新课程标准指出:“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习, 高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……”“现代信息技术与数学课程有机整合……”结合新课标的要求, 在对本节课的教材地位、作用、学习者情况进行分析后, 本课教学设计提出了三维目标, 在坚持“教与学, 知识与能力的辩证统一”和“使每名学生都能参与课堂, 得到发展”的原则基础上, 注重从感性认识到理性认识, 从特殊到一般的认知规律, 注重学生的主体参与合作探究意识的培养.

由于平面向量基本定理内容本身比较抽象, 学生理解起来有一定困难, 为了在本节课中做到讲清重点, 突破难点, 在课堂教学的内容编排上将课堂框架分为四个部分:

1.创设问题, 引入课题

对于本课内容, 课本上教材编排的顺序是:先推导平面向量基本定理结论, 再讲解例题.本课突破传统, 直接抛出课本例题1, 求作向量-2.5e1+3e2.问题解决后, 学生亲自动手求作不同向量undefined, 这样既能锻炼学生的动手操作能力, 又使学生体会到用已知的两个不共线向量确实能作出无数个不同的向量, 为后面讲解任意向量的表示做好铺垫.课堂实践证明, 这样的引入更能激发学生的学习兴趣.

2.共同探究, 解决问题

这一部分是课堂的核心, 教学程序和教学方法的运用都是为了突出重点, 使学生清晰地知道定理的推导思路, 了解定理内容.在引导学生了解定理内容的同时, 还要能帮学生更好地理解定理、突破定理中的难点问题.在这一部分首先提出问题:对平面上任意一个向量a, 是不是都能用图中的e1, e2来表示?提问之后, 给予学生思考的时间, 进行小组讨论.目的在于培养学生的探索能力与团结协作的精神.在实际课堂教学中, 学生基本能发现可以用e1, e2表示a, 但是后面的表达式undefined, 主要依靠老师引导学生通过观察老师作出的图形而得到的.从课堂实际效果来看, 这一部分的教学基本达到了老师的教学设计目的.如果老师再多给学生一些时间, 让学生通过观察图形, 自己尝试推导e1, e2, a三者之间的表达式, 学生可能会留下更深的印象.

在新课讲授这一部分中, 另一个任务是教师引导学生理解平面向量基本定理中的几个问题:①“e1, e2”不共线;②有且只有一对实数λ1, λ2;③基底不唯一.这也是本节课的难点.为了使学生更容易理解, 这节课采用了几何画板的演示.老师的讲解结合几何画板的演示能让学生直观地感受到:对平面上任意一个向量a, 都能用图中的e1, e2来表示;平面上的基底不是只有唯一的一组;“e1, e2”不共线;有且只有一对有序实数λ1, λ2使等式成立.几何画板的演示是个动态过程, 学生容易被吸引, 教学效果很好.它的运用, 对这几个难点问题的解决有很大的帮助.从实际课堂教学的总体上来看, 这一部分的演示很能吸引学生的注意力, 较好地实现了教学目标.

3.例题讲解, 强化应用

前面两个部分的讲与练, 主要是使学生明白:对平面上任意一个向量a, 都能用两个共线的向量来表示.这一部分主要是通过例题讲解和学生自主练习, 培养学生能够在具体问题中用基底来表示其他向量的能力.变式训练的目的是使学生在掌握前面所学向量的加法、减法及实数与向量的积的知识基础上, 能够用基底来表示其他向量, 本题在难度上是一个提升.在课堂中这一环节留了较多的时间给学生自主练习, 选出代表到讲台板演过程并请同学评点.这样既可以当堂检验全班同学学习的效果, 又能通过个别学生的解题过程起到示范作用, 并能在他们的解题过程中发现学生的一些常见问题, 引起学生重视.由学生代表评判正误, 这对学生观察问题、分析问题的能力也是一种培养.本课中还要求学生完成课后自主训练及作业, 使得学生能通过一定量的练习感知:向量可以分解 (基本定理) , 并能更熟练掌握用基底来表示其他向量的方法, 提高运算能力.

4.课堂小结, 巩固新知

课堂小结中请同学们谈谈本课的收获与体会, 这一方式有利于学生思维的提升.教师的总结简短精练, 强调了平面向量基本定理的作用, 也提及了它与后续知识的联系, 起到承上启下的作用.

对于本节课, 从整堂课的整体设计来看, 基本做到了条理清晰, 重点突出, 难点突破, 而且能给予学生思考探求的时间, 尽量做到以教师为主导、以学生为主体参与整个教学活动当中.本节课的例题引入和几何画板的运用, 及学生点评练习结果等不同于传统的教材处理方式, 是一种创新的形式, 都收到了较好的课堂效果, 这也算是本课寻求的“亮点”.如果教师在课堂教学中再多给学生一些思考的时间, 多研究在有限的课堂时间内如何提升教学效果, 并有所改进, 本节课效果还会更理想.

参考文献

[1]喻平.数学教育心理学.广西:广西教育出版社, 2008.

篇9：平面向量基本定理证明

平面向量的基本定理是平面向量的重要定理，它是向量的坐标表示的理论基础.平面向量基本定理及坐标表示沟通向量与代数的桥梁，为解决向量问题提供了一种全新的方法——坐标化方法.平面向量基本定理和坐标表示大多数都是与向量的运算结合考查，考查它们的应用，基础题、中档题、难题都有可能.从考试内容来看，近三年湖北卷的考题只涉及到向量的坐标表示及坐标运算，属基础过关题，未涉及平面向量的基本定理的应用，预测2015年高考湖北卷在平面向量的基本定理的应用上会有所作为.

命题特点

1. 坐标表示考查重运算、重应用

平面向量的坐标表示的考查，以稳定为主，以基础为主，题型常规，难度不大，考查通性通法，考查运算能力.平面向量的坐标运算及用坐标表示向量共线的条件.以选择题、填空题的形式出现进行考查，以中低档题为主.向量的坐标运算及共线条件，常与三角函数、解析几何等知识结合，以解答题为主，属中档题.

例1 已知[A（-2，4）]，[B（3，-1）]，[C（-3，-4）]，设[AB=a]，[BC=b]，[CA=c]，且[CM=3c]，[CN=-2b].

（1）求[3a+b-3c]；

（2）求满足[a=mb+nc]的实数[m，n]；

（3）求点[M]，[N]的坐标及向量[MN]的坐标；

（4）若向量[d]满足[（a+c）]∥[（d-b）]，且[b+3d=35]，求[d].

解析 （1）∵[AB=OB-OA]，

∴[a=（3，-1）-（-2，4）=（5，-5）].

同理，[b=（-6，-3）]，[c=（1，8）].

∴[3a+b-3c=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（6，-42）].

（2）∵[mb+nc=（-6m+n，-3m+8n）]，

∴[-6m+n=5]且[-3m+8n=-5]，

解得[m=n=-1].

（3）∵[OM=OC+CM]，

∴[OM=（-3，-4）+3（1，8）=（0，20）]，即点[M]的坐标为[（0，20）].

同理点[N]的坐标为[（9，2）]，

所以向量[MN]的坐标为[（9，-18）].

（4）设[d]的坐标为[（x，y）]，

由题意得，[3（x+6）=6（y+3），（3x-6）2+（3y-3）2=35.]

解得，[x=y=0]或[x=4]，[y=2].

∴[d]为[0]或[（4，2）].

点拨 在向量的坐标表示中，要掌握向量坐标形式的线性运算法则，熟练掌握坐标形式的向量平行的充要条件.区分向量坐标与点的坐标的区别与联系，向量坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，只有当起点在坐标系原点时，终点坐标才等于向量坐标.区分向量平行条件的两种形式区别与联系：对应坐标成比例则两向量平行，反之不然；坐标交叉相乘相等是两向量平行的充要条件.由于数学中的向量是自由向量，所以平移对向量的坐标不影响.

例2 已知[a=cosα，sinα]，[b=cosβ，sinβ]，[0<β<α<π].

（1） 若[a-b=2]，求证：[a⊥b]；

（2） 设[c=0，1]，若[a+b=c]，求[α]，[β]的值.

解析 （1）法一：[∵a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），]

[∴（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2].

展开得[cosαcosβ+sinαsinβ=0]，

即[a·b=0]，[∴a⊥b].

法二：由已知得，[a=b=1]，又[a-b=2]，

所以[（a-b）2=2]，展开得[a2-2a·b+b2=2].

即[a·b=0]，[∴a⊥b].

（2）由[a+b=c]得， [cosα+cosβ=0，]且[sinα+sinβ=1]，

利用平方关系得，[sinα=sinβ=12].

又[0<β<α<π]，所以[α=5π6，β=π6].

点拨 平面向量的坐标表示与三角函数、解析几何结合，一直是近几年考查的重点和热点. 这类问题往往以向量为载体，考查三角函数或解析几何知识. 解决这类问题的一般方法：利用向量的坐标表示或坐标运算，脱去向量这件外衣，转化为三角问题或解析几何问题.

2. 基本定理考查重几何应用

平面向量基本定理的考查，稳中求新，稳中求活，以选择题或填空题为主，难度有加大趋势. 主要考查基本定理的应用，有两种方式考查：一是坐标形式，二是几何形式.

例3 设[D，E]分别是[△ABC]的边[AB，AC]上的点， [AD=12AB]，[BE=23BC]，若[DE=λ1AB+λ2AC]（[λ1，λ2]为实数），则[λ1+λ2]的值为 .

解析 如图，[DE=BE-BD=23BC-12BA]

[=23（AC-AB）+12AB=-16AB+23AC]，

又[DE=λ1AB+λ2AC]，且[AB]与[AC]不共线，

所以[λ1=-16]，[λ2=23]，即[λ1+λ2=12].

答案 [12]

点拨 平面向量基本定理反映了平面向量的基本性质，任一向量总可以用两个不共线的向量（基底）线性表示；体现了重要的数学思想——化归思想，即可以把同一平面内纷繁复杂的多个向量问题转化为两个向量的问题.平面向量基本定理也可以看作是向量分解定理，但要注意三点：一是基底不共线，否则不能作基底；二是基底不惟一，凡平面内不共线的两个向量均可作为基底；三是基底不同，表达式不同，基底一确定，表达式惟一.对于基本定理通过几何方式考查时，通常利用图形中三点共线，得到同一向量的两个表达式，由基本定理知对应系数相等，从而使问题获解.

nlc202309032007

3. 坐标法考查重交汇、重创新

坐标化思想的考查，力度在不断加大，题目灵活多变，推陈出新，综合性较强，难度较大.

例4 向量[a，b，c]在正方形网格中的位置如图所示，若[c=λa+μb（λ，μ∈R）]，则[λμ]= .

解析 以向量[a]的终点为原点，以水平方向和竖直方向的网格线分别x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，则[a=（-1，1）]，[b=（6，2）]，[c=（-1，-3）].

由[c=λa+μb]得，[-1=-λ+6μ，-3=λ+2μ，]

解得[λ=-2，μ=-12]，所以[λμ=4].

答案 4

点拨 某些以几何形式出现的向量问题，运用几何运算法则较复杂时，可考虑建系用坐标法来解决. 特别是图形中有垂直关系或特殊角时，建立直角坐标系，将向量运算转化坐标运算可使问题轻松获解.

备考指南

1. 加强平面向量的基本定理的理解，注意定理的条件和结论.加强基本定理的应用，就是用已知向量来表示未知向量，实质上就是利用平行四边形法则或三角形法则，进行向量的加减运算或进行数乘运算.在解决与向量有关的具体问题时，注意合理选择基底，如在解决与三角形有关的问题时，往往选择两边所在的向量作为基底.

2. 熟练掌握向量的坐标表示及坐标运算，特别是向量共线的坐标表示.解题过程中，利用“向量相等则坐标相同”这一原则列方程（组），注意方程思想的应用.

3. 深化对坐标化思想的认识，坐标法是解决向量问题的一种有效的方法，适用范围广，有很多无从下手或很复杂的纯向量问题，通过建系设坐标，可使问题简化.

限时训练

1. 已知点[A（1，3），B（4，-1）]则与[AB]同方向的单位向量是 （ ）

A. [（35，-45）] B. [（45，-35）]

C. [（-35，45）] D. [（-45，35）]

2. 已知[a，b]是不共线的向量，[AB=λa+b]，[AC=][a+μb][（λ，μ∈R）]，那么[A，B，C]三点共线的充要条件为 （ ）

A. [λ+μ=2] B. [λ-μ=1]

C. [λμ=-1] D. [λμ=1]

3. 已知向量[a=（2，1）]，[b=（x，2）]，若[a∥b]，则[a+b]= （ ）

A. （-2，-1） B. （2，1）

C. （3，-1） D. （-3，1）

4. 已知[OA=（1，-3），OB=（2，-1），OC=（m+1，m-2）]，若点[A，B，C]能构成三角形，则实数m应满足 （ ）

A. [m≠-2] B. [m≠12]

C. [m≠1] D. [m≠-1]

5. 已知正方形[ABCD]边长为1，[AB=a]，[BC=b]，[AC=c]，则[a+b+c]= （ ）

A. 0 B. 3

C. [2] D. [22]

6. 已知[OA=（2，1），OB=（1，2）]，将[OB]绕点O逆时针旋转[π6]得到[OC]，则[OA·OC]= （ ）

A. [23-32] B. [23+32]

C. [2-232] D. [2+232]

7. 已知向量[a=（5，-3）]，[b=（9，-6-cosα）]，[α]是第二象限角，[a∥（2a-b）]则[tanα=] （ ）

A. [43] B. [-43]

C. [34] D. [-34]

8. 已知向量[a，b，c]互不平行，且[λ1a+λ2b+λ3c=0，][（λ1，λ2，λ3∈R）]，则 （ ）

A. [λ1，λ2，λ3]不一定全为0.

B. [λ1，λ2，λ3]中至少有一个为0.

C. [λ1，λ2，λ3]全不为0.

D. [λ1，λ2，λ3]的值只有一组.

9. 给出以下结论：①在四边形[ABCD]中，若[AC=AB+AD]，则[ABCD]是平行四边形；②已知正方形[ABCD]的边长为1，[AB+BC+AC=22]；③已知[AB=a+5b，BC=-2a+8b]， [CD=3（a-b）]，则[A，B，D]三点共线.其中正确结论个数为 （ ）

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

10. 平面直角坐标系中，[O]为坐标原点，已知点[A（-2，1）][，B（-1，1），C（m-2，m）]若[α，β]满足[OC=αOA+βOB]且[0≤α≤1 ， 0≤β≤1]，则[α2+β2]的最大值为 （ ）

A. 1 B. [413]

C. [23] D. [21313]

11. 在[△ABC]中，[D为BC]边上的任意一点，[E]是[AD]上的点，且满足[AE=2ED]，若[AE=λAB+μAC]，则[λ+μ]的值为 .

12. 若D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足[PA+2BP+2CP=0]，设[APPD=λ]，则[λ]的值为 .

13. 如图，矩形[ORTM]内放置5个大小相同的正方形，其中[A，B，C，D]都在矩形边上，若向量[BD=xAE+yAF]，则[x2+y2=] .

14. 如图，己知[OA=2，OB=1]，[∠AOB]为锐角，[OM]平分[∠AOB]，点[N]为线段[AB]的中点，[OP=xOA+yOB]，若点[P]在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于[x，y]的式子中，满足题设条件的为 （写出所有正确式子的序号）.

①x≥0，y≥0； ②x-y≥0； ③x-y≤0；

④x-2y≥0； ⑤2x-y≥0.

15. [D是△ABC中BC]边上的中点，过[D]作一条直线分别交直线[AB，AC]于点[M，N]，设[AM=mAB]，[AN=nAC，][AB=a，AC=b]，且m>0，n>0.

（1）分别用向量[a，b]，表示向量[MD]与[MN]；

（2）求证：[1m+1n]是定值.

16. 平面内给定三个向量[a=（3，2），b=（-1，2），c=（4，1）]，回答下列问题：

（1）求满足[a=mb+nc]的实数m，n；

（2）若[（a+kc）∥（2b-a）]求实数k；

（3）若向量[d]满足[（d-c）∥（a+b）]，且[d-c=5]，求[d].

17. 已知向量[a=（sinθ，cosθ-2sinθ） ， b=（1，2）].

（1）若[a∥b]，求[tanθ]的值.

（2）若[a=b ， 0<θ<π]，求[θ]的值.

18. 如图在直角梯形[ABCD]中，[AD=DC=1，][AB⊥AD，][AB=3]，动点[P]在以点[C]为圆心且与[BD]相切的圆内运动，设[AP=αAD+βAB]，[α，β∈R]，则求[α+β]的取值范围.