极限定义的总结

极限定义的总结（精选14篇）

篇1：极限定义的总结

极限定义的总结

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量变化趋势limf(x)函数的变化趋势

自变量的变化趋势主要有六种：

x,x,x,xx0,xx0,xx0

函数的变化趋势主要有四种：

f(x)A,f(x),f(x),f(x) 自变量的描述格式如下：

X0,当|x|X时；（x）

X0,当xX时；（x）

X0,当x-X时；（x）

0,当0|x-x0|时；（xx0）

0,0, 当0x-x0时；（xx0）当0|x-x0|时；（xx0）

函数的描述格式如下：

0, ,

0, ,

0, , 恒时：|f(x)A|（f(x)A）恒时：|f(x)|M（f(x)）恒时：f(x)M（f(x)）

恒时：f(x)M（f(x)）0, ,

那么函数极限的定义可以是这C61C4124种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自

变量的变化不连续的特殊情形。

篇2：极限定义的总结

用定义证明函数极限方法总结:

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa

不同。

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xah()，从而得h()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xah()，从而得

h()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定0xa1，得f(x)cxa，解xa，得：xah()，取min1,h()。

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法： x

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xh()，从而得Ah()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xh()，从而得

Ah()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定xA1，得f(x)cxa，解xa，得：xh()，取AmaxA1,h()。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：lim(2x3)7。x2

证明：0，要使：

(2x3)72x2，只要 2x2，即0x2

取2，

2，即可。

x212。例2 证明：lim2x12xx13

x1x212x12分析：因为，放大时，只有限制22xx132x1332x1

0x1，即0x2，才容易放大。

证明：0，限制0x1，即0x2，要使；

x1x1x1x1x212x12

，只要

32x2x132x1332x132x13

即0x3，取min(1,3)，即可。

例3

证明：（a1）。

xa

证明：0，限制0xa

1a1a

1，要使：，所以x

22





，只要

1a,，即可。，取min，即0xa

22



x3,x1

例4 设f(x)，证明:limf(x)1。

x1

2,x1

证明：当x1时，f(x)1x1x1xx1

限制0x1，则xx112，xx17。0，要使：

f(x)1x1x2x17x1，只要7x，即x1



7，取



min，当0x1时，有：

7

f(x)，limf(x)1

x1

说明：这里限制自变量x的变化范围0x1，必须按自变量x的变化趋势来设计，xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！

错解：设x1，则xx13，要使：

f(x)1x1x2x13x1，只要0x1

，取min1,，3

当0x1时，有：f(x)1。limf(x)1。

x1

例5 证明:lim

1。

x12x1

2x11

证明：考察，2x12x1112x1 1

2x12x1

限制0x1

111，则2x112x11。0，要使： 422

2x1

4x1，只要4x，即x1，42x12x1

1

44

1，2x1

取min,，当0x时，有：lim

x1

1。

2x1

1，则4

说明：在以上放大f(x)A（即缩小2x1）的过程中，先限制0x1得：2x1

11。其实任取一个小于的正数1，先限制0x11，则22

0x1或0x1，则不2x1x1112m（如果是限制0

例6 证明:lim

能达到以上目的）。

x

2。

x24x7

证明：考察

7x271x，仅在x的邻域内无界，所以，限制2

44x74x74x7

171

0x2（此邻域不包含x点），则4x74x2114x2。

842

0，要使：

7x27x2x

只要14x2，即x2，214x2，144x74x714x2

取min,x1，当时，有：2，0x2

4x7814

x

2。

x24x7

x0

lim

x

例7 用定义证明极限式：lima1，（a1）

证明：0（不妨1），要使：

ax11ax1loga1xloga1（由对数函数

。于是，取minloga1, loga10，f(x)logax是单调增函数）

xx

当0x0时，有：a1。故lima1。证毕

x0

例8 设f(x)0，limf(x)

A，证明：lim

xx0

xx0



n2为正整数。

证明：（用定义证明）因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A0；当A0时，0，由limf(x)A，知：0，当0xx0时，有：f(x)A



xx0





f(x)A

n1





n2

n2



n1



f(x)A

n1





n1，故：lim

xx0



im(f)x0当A0时：0，由l

xx，知：

0，当0xx0时，有：

f(x)

 0lim

xx0

篇3：数列极限定义的等价定义及其作用

数列的极限, 是有限与无限、定性与定量、任意与确定等辩证思想在数学中的一个具体体现, 数列极限的概念是高等数学中一个非常重要的概念, 通过数列极限的学习, 将使我们对变量数学的认识步入新的层次。

2 数列极限定义的等价定义

在数学分析中, 数列极限的定义是最基础的内容, 它的等价定义以及等价定义在教学中的作用对以后的学习都是非常重要的, 甚至在整个大学的数学学习也都是非常重要的, 下面给出数列极限定义。

2.1 数列极限定义

设{xn}是数列, a是常数, 如果对任意e>0, 总存在自然数N, 使得n>N时, 有Áx-a

不等式xÁ-a0, 数列{xn}中恒存在一项xN, 在xN以后的所有xN+1, xN+2, xN+3…, 都要在数a-e与a+e之间[1]。

为了从直观上理解数列极限的定义, 我们来看一下定义的几何意义。

式子Áx-a表示数轴上动点Xn与定点a之间的距离, “当n>N时, 恒成立”是说xN项以后各项

对应的点都落在开区间内, 由此可见, 在区间内有数列的无穷多项, 而在此区间外只有数列的有限项 (至多可有N项) , 因为可以任意小, 则开区间的长度也任意小, 可见点xn凝聚在点a的近旁, 这就是limxn=a的几何意义。

为了对定义的本质有所认识, 我们做如下的几点说明:

(1) 正数的任意性

正数e的作用是控制的大小即点列{xn}与点a的接近程度。可见, 当e足够小时, xn与a就足够接近。由于可以任意小, 那么xn与a就可以接近到任意需要的程度, 也即“要多近有多近”。这就从数量上刻划了极限的本质特征。如果将数列极限描述为当n充分大后, xn越来越接近于a是不对的, 不能保证a是数列{xn}的极限。

(2) ε的确定性

正数ε虽然可以任意小, 就是说它是一个变量, 但一经给出, 它又是一个确定的值 (如同0.01>0.001等) , 应视为一个常数, 以便从不等式中求出N, ε的这种任意与确定两种性, 反映了极限概念的近似与精确的辨证关系。

(3) N与ε的相关性

正整数N表示数列中的某一项数, 其作用就是给出一个极限, 使得数列{xn}中xN项以后的各项, 都满足即

N的选取, 完全取决于ε, 一般来说, ε越小, N越大[6]。

(4) N的多值性

N虽然与ε有关, 但又不是唯一的, 即不表示N是ε的函数, 实际对给定的ε, 如果存在一个满足要求的N, 就必然有无限多个满足n要求的N, 换句话说, N就有无穷多个了。

(5) 趋于极限的多样性

当n无限增大时, 数列中各项可以从单侧, 也可以从两侧趋于a, 也可能时而接近于a, 时而远离a, 而趋于a不一定是“一项比一项接近a”。例如下述数列

的极限分别是0, 1, 0, 它们是上述所说的每一种情形的例子[3]。

2.2 数列极限定义的两个等价描述

1) 对任意的自然数k, 总存在自然数N, 使得当n>N时, 有

2) 对任意的r>0, 只有有限个xn位于 (a-r, a+r) 之外[2]。

证明1) 设对任意的1自然数k, 取则存在自然数N, 使得当n>N时, 有反之, 如果{xn}满足1) , 那么对任意正数总可以找到自然数k, 使得而对k总存在自然数N, 使得当n>N时, 有即

2.3 几个似是而非的问题

1) 如果对任意, 存在自然数N, 使当n>N时, 有, 是否?e>0Áx-a

2) 如果对无穷多个ε>0, 存在自然数N, 使当n>N时, 有是否

对上述问题的回答都是否定的, 逐一举例如下:

1) 令xn=-n, n=1, 2, 3, …, a=0, 则对任意ε>0, 只需取N=1, 当n>N时, 都有但是显见

3) 令则有但任意Áx¹0。

可见不意味着“随着n的增大, xn越来越接近于a”, 这一点往往被忽略[4]。

3 数列极限等价定义在教学中的作用

历史上, 人们研究的数列极限问题, 其实就是研究一给定的数列{an}当n变化时, 其相应项的变化趋势。而这一趋势, 当然是一个动态的过程。在通常的情况下, 这一动态的过程人们在直观上又往往觉得是“显然”的但仔细分析, 这样的直观又会把人引入歧途。

如当我们说时, (a为常数) , 常表示an与a的距离“越来越小”;与此同时, 我们必发现, 当an与a的距离“越来越小”时, an与另一个不等于a的常数a'的距离也是“越来越小” (如时, 的距离也可以说“越来越小”) 。

为了避免这种直观带来得不确定性 (教学中, 利用这种直观是重要的) , 人们将“越来越小”的直观改用“要多小有多小”来刻划, 这就导致在教学中我们要引导学生将数列极限定义与等价定义比较, 发现不仅使学生对数列极限的概念有了更加深刻的理解和认识, 同时运用等价定义证明教材中有关极限性质的定理时, 显得更加简洁、明了, 如证明“极限的唯一性定理”等, 以及一些极限不存在的问题, 较之传统的方法, 都有较大的优越性。

篇4：重新定义残缺的极限

高中时，她是学校里的垒球运动员、滑雪小能手；大学时，她参加了残疾人田径比赛，首次参赛就打破了国家纪录。1996年，她参加了美國亚特兰大残奥会，她穿着仿照猎豹的后腿制成的碳纤维假肢，创下了两项世界纪录，这之后，她来到乔治大学攻读外交专业。节假日的时候，就在五角大楼实习当情报分析员，249人的部门里，她是唯一一个女性。但没多久，她又为自己的人生选择了新的方向——靠腿吃饭的模特。

从小到大，父母给她配备了整整一打的假肢，假肢对她来说跟化妆品差不多，每天出门之前，她都会挑选出最搭的一双。假肢赋予她超能力——速度、美丽和额外6英寸的身高，它们让她重新定义了身体的极限。

1999年，亚历山大·麦昆时装秀上，她的表现赢得了全场掌声。走完秀回到后台，其他模特好奇地说：“高跟鞋这么难穿，台步还走得这么好。”她掀起裙子，给她们看那双手工雕刻的木制假肢。没有脸红，没有自卑。她叫艾米·穆林斯，一个可以改变自己身高的大美女。她从一个用“残疾”来形容的人，变成了一个拥有潜能的人，甚至可能有“超能力的人”。

极品咖啡摘自《润》

（心的选择，就是人生最正确的方向。本文适用于人生态度方面的作文。）

篇5：用极限定义证明极限

1、用数列极限定义证明：limn20 nn27

n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn

2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2

n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n[]，故取N=max{7, 2

44[]}。这样当n>N时，有n>7，n[]。因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n[]，所以不等号（3）成立的条件是1

|不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n20|。n27n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．

2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n40 nn2n

1n4n4n4时nn2n2(1)|20|22 nn1nn1nn1n2n

22不等号（1）成立的条件是n[],故取N=max{4, []},则当n>N时，上面的不等式都成例

2、用数列极限定义证明：lim

立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2n1n

2n2n1n

nnn22

n(n1)2n

1(1)n

例

3、已知an，证明数列an的极限是零。2(n1)

(1)n1(1)1(2)

证明：0(设01)，欲使|an0|||成立 22(n1)(n1)n1

11解得：n1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n1

1数n都是成立的，因此取N[1]，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式

和不等式均成立，所以当n>N时，|an0|。

在上面的证明中，设定01，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定01，则N[1]就有1



可能不是正整数，例如若＝2，则此时N＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01，这样就能保证N是正整数了。

那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当＝0.5时，有对应的N1，当n>N1时，|an0|＜0.5成立。因此，当n＞N1时，对于任意的大于1的，下列式子成立：

|an0|＜0.5＜1＜，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，则对于较大的．．．

篇6：关于数列极限的两个定义

定义1．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0N，对任意正整

数nN，有 ana，则称数列an的极限是 a。

定义2．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0，对任意正整数

nN，有 ana，则称数列an的极限是 a

定义1 是课本第46面的原文，定义2 是我讲课时用的。这两个定义的区别只在对N的要求：定义1 要求N是正整数，而定义2只要求N是实数，这是很低的要求，故定义2比定义1较便于应用。

由于两个定义对N的要求不同，易使人误认为两个定义界定的对象不一样，即：两个定义不等价。实际上，这两个定义完全是等价的！为说明这两个定义的等价性，我们需要两个显然的命题：

命题1．对于任意实数r均存在正整数n，使得nr。

命题2．对于任意实数r，若正整数n，成立nr，则对于每一个正整数m均有nmr。要证明定义1与定义2等价，我们只需证明这两个定义界定的极限一样即可。证明：设有数列an。

（1）若有限常数a是定义1 界定的极限，由于正整数N是实数，因此，常数a也

是定义2 界定的极限。

（2）若有限常数a是定义2 界定的极限，由定义2，对任意0，存在实数N，对任意正整数nN，有 ana；对于实数N，必有正整数M使得MN（命题1）；当nM时，必有nN；故对于正整数M，当nM时必有ana。因此，常数a也是定义1 界定的极限。

说明：（2）中的正整数M即是定义1 中的N。极限证明中关键是由 nN 保证

ana，而不是N是否是正整数。

篇7：§1-1 函数极限暂时的定义

近代微积分是建立在近代极限理论的基础上，可是近代极限理论对于刚步入大学的一年级大学生来说，是很难接受的。为了减少初学者学习微积分的难点，我们有意避开了近代极限理论，而用“无限接近”的说法，暂时定义了函数的极限。关于极限概念的这种“无限接近”说法，最早出现在法国数学家达朗贝尔(DAlembert，J.L.，1717-1783)的著作中。它的优点是直观明白，而缺点是简单粗糙，甚至连有关函数极限的简单结论，也无法用它来证明。幸好，这一章中那些应当用近代极限理论证明的结论也都是如此明白，读者凭借直觉也会相信它们都是正确的。关于极限概念的精确化，以及极限基本性质和连续函数主要性质的证明，那是微积分产生和发展了一百多年以后才逐步完成的。我们将在本书第二篇中讲述它。

§1-1函数极限暂时的定义

1.函数在某点的极限一个变量y能够无限制地接近某一个常量(数)C，就说“C是变量y的极限”。那么，“变量y能够无限制地接近C”是什么意思呢？它的的意思是说，“预先给出任何正数，不管它多么小，变量y在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值yC小于或不超过那个正数，即yC”。对于作为变量的函数yf(x)来说，设函数yf(x)在点c的近旁有定义。当自变量x无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C，简记成limf(x)C 或 f(x)C(xc)xc

则称“常数C为函数f(x)在点c的极限”(图1-1)。

类似地，设函数yf(x)在点c的左旁有定义。当自变量x从点c左边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数A(图1-2)，简记成limf(x)A xc

则称“常数A为函数f(x)在点c的左极限”。同理，设函数yf(x)在点c的右旁有定义。当自变量x从点c右边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数B(图1-2)，简记成xclimf(x)B

则称“常数B为函数f(x)在点c的右极限”。

§1-1函数极限暂时的定义

3函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。从图1-1和图1-2上看出，若函数f(x)在点c的两边近旁都有定义，则

limf(x)C的充分必要条件是limf(x)limf(x)C

xc

xcxc

例1证明：lim

sinx



1x0x

π

证如图1-3中的单位圆，当0x时，则有

sinxxtanx(见下注)

由此得

cosx

从而有

sinx

1 x

图1-3

xxsinx1

011cosx2sin22x20(x0)

2x22



可见，当x0时，函数值

sinxsinx

1；而左极限为 无限制地接近1，即得右极限lim

x0xx

sinxsin(x)sinx

limlim1 x0x0xxx

x0

lim

(sinx是奇函数)(用x替换x)

因此有 lim

sinx

。1（因为左右极限相等）

x0x

和EBED是因为点到直线的距离垂线最短；CBCEEB是因为右端是左端弧【注】ABCB

CEEBCEEDCD，即sinxxtanx。长的过剩近似值。因此，ABCB

【问与答】

问：圆弧长度是怎么定义的？

答：首先说一下实数基本性质之一，即“实数连续性质”。在§0-2中，我们曾形象地把它说成“实数能够一个挨一个地填满整个数轴，而不会留下一个空隙”，而在近代数学中是把它说成“有上界的（非空）实数集合必有最小上界”，或者“有下界的（非空）实数集合必有最大下界”（出现在§5-3中）。因为圆弧所有可能外切折线长度组成的集合有下界,所以它有最大下界。我们就把这个最大下界定义为圆弧的长度。

2.函数的连续点和间断点特别，若函数f(x)在含点c的某个区间内有定义，且满足条件limf(x)f(c)，则称点c为函数f(x)的连续点图1-4)；并称函数f(x)在点c是连续xc的。y

图1-

5令xxc(称为自变量x的增量)，其中是大写希腊字母delta（读作“得儿塔”），而把yf(cx)f(c)（图1-5）称为函数yf(x)在点c(相应于x)的增量。因此，limf(x)f(c)limf(cx)f(c)limy0

xc

x0

x0

这就是说，函数yf(x)在点c连续，说明自变量变化很小时，函数值的变化也很小。它表示自然界中变量连续变化的特征(不是跳跃式变化)。“连续”一词当初就来源于此。请读者特别注意，limf(x)C与limf(x)f(c)的明显区别是：前者不考虑函数f(x)

xc

xc

在点c是否定义有函数值f(c)；后者中函数f(x)不仅在点c定义有函数值f(c)，而且必须满足条件limf(x)f(c)。在函数极限limf(x)C的定义中，规定xc(xc)是想让极

xc

xc

限概念的“外延”（逻辑学中的术语）更加宽广，而有limf(x)f(c)仅是一种特殊情形。

xc

若函数f(x)在点c不能满足条件limf(x)f(c)，则称点c间断点。函数

xc的间断点可能是下面的情形之一：

可除间断点称点c为函数f(x)的可除间断点，若有极限limf(x)，且或者函数f(x)

xc

在点c没有定义函数值[但在点c近旁定义有函数值f(x)]，例如函数

sinx

有可除间断点0(图1-6)

yx或者函数f(x)在点c定义有函数值f(c)但limf(x)f(c)，例如函数

xc

x2,x2f(x)

1,x2

x2(x2)

x

2图1-6

有可除间断点2(图1-7)，因为limf(x)limx24f(2)1。

2图1-7

第一类间断点称点c为函数f(x)的第一类间断点，若在点c同时有左极限和右极限,f(x)limf(x)，例如符号函数sgnx(图1-8)，因为 但是lim

xc

xc

x0

limsgnx1limsgnx1

x0

所以点0是符号函数sgnx的第一类间断点。

§1-1函数极限暂时的定义

【注】有的教科书中把可除间断点也称为第一类间断点。

第二类间断点函数的其他间断点(即既不是可除间断点，又不是第一类间断点)，都称为第二类间断点。例如，图1-9和图1-10中点0都是第二类间断点(前者为无穷间断点，后者为摆动间断点)。函数在第二类间断点c处，f(x)和右极限limf(x)左极限lim

xc

xc

中，至少有一个不存在。

图1-10

图1-9

研究函数的间断点及其分类，目的是研究当函数有间断点时，它对函数的某些性质(譬如函数的可积性等)会造成多大的影响。

3.函数在无穷远的极限设函数yf(x)对于绝对值足够大的x有定义。当自变量x按绝对值无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C(图1-11)，简记成limf(x)C 或 f(x)C(x)

x

则称常数C为函数f(x)在无穷远处的极限或当x时的极限。

例如，极限lim

x

sinxsinx

0(见图1-6)。请你把它与极限lim1区别开来。

xxx0x

类似地，设函数yf(x)对于足够大的x有定义。当自变量x无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数A(图1-12)，简记成limf(x)A

x

则称常数A为函数f(x)当x时的极限。同理(图1-13)，我们可以定义记号

limf(x)B

x

并称常数B为函数f(x)当x时的极限。

x

极限limf(x)A和limf(x)B也称为单侧极限，并且也有结论：

x

有极限limf(x)C

x

 limf(x)limf(x)C

(充分必要)

xx

请读者注意，其中的“x”、“x”、“x”都是记号，依次读作“x趋．．．．．向无穷大”、“x趋向正无穷大”、“x趋向负无穷大”。再请读者注意，它们只有同函数的变化联系在一起时才有意义，而单独谈论它们是没有意义的！

例2函数

x

1

y1(x1或x0)x

1

属于幂指函数(图1-14)。当x或x时，函数y1的极限都是e，即

x1

lim1e(其中e是无理数，近似等于2.71828)。证明它属于高等微积分，你暂且记xx

住它就可以了。

x

图1-14

x

x

1

把数列极限看作函数极限的特殊情形时, 则也有lim1e。实际上，在近代极

nn11

限论中，先是证明数列极限lim1e，而后又证明了函数极限lim1e【证

xnxn

明在本书第二篇（§5-5）中】。

n

x

n

§1-1函数极限暂时的定义 7

1

根据极限lim1e，则有

xx

x

lim1x

x0

1

z1xx

1

lim1e zz

z

【问与答】

问：函数（或数列）在什么情形下才有极限？

篇8：数列极限定义的教学思考

一、介绍极限发展历史

极限思想的萌芽可以追溯到中国战国时期和古希腊时期, 但极限概念首次出现于沃利斯的《无穷算数》中, 牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。18世纪下半叶, 达郎贝尔等人认识到把微积分建立在极限概念的基础之上, 微积分才是完善的, 柯西最先给出了极限的描述性定义, 之后, 魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义。

教师通过对极限发展历史的简单介绍, 能加强学生对极限概念的感性认识。

二、列举极限相关的例子, 为引入极限定义作铺垫

例1[1]:古代哲学家庄周的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之棰, 日取其半, 万世不竭。其含义是:一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这样的过程可以无限制地进行下去。

例2[2]:介绍刘徽创立的“割圆术”。

我国古代杰出的数学家刘徽于魏景元四年 (公元263年) 创立的“割圆术”, 他通过借助于圆的一串内接正多边形的周长数列的稳定变化趋势定义了圆的周长。其作法是:首先作圆的内接正六边形, 其次平分每个边所对的弧, 作圆的内接正十二边形, 以下用同样的方法, 继续作圆的内接正二十四边形, 圆的内接正四十八边形, 等等。这样我们就得到了一串·圆的内接正多边形的周长数列:, 其中通项表示第n次作出的圆的内接正2n-1·6边形的周长。观察, 我们知道圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时, 这一窜圆的圆的内接正多边形的周长数列趋向于某个常数C。于是我们可以将C定义为该圆的周长。

通过对以上三个例题的分析, 让学生对数列极限有个初步认识。

三、数列极限定义

定义:设{an}为数列, a为常数。若对任给的正数ε, 总存在正整数N, 使得当n>N时有|an-a|<ε, 则称数列{an}收敛于a, a称为数列{an}的极限, 并记作nli→m∞an=a。若数列数列{an}没有极限, 则称{an}不收敛, 或称{an}为发散数列。

为了更好地理解极限的定义, 我们给出以下注意事项。

注:1.ε的双重性。首先ε具有绝对的任意性, 这样就保证了数列{an}无限趋向与a。另外一方面, ε具有相对的固定性, 一旦取定ε, 我们就可以估算an与a的接近程度。ε的双重性使得数列极限的ε-N定义, 既能从近似转化为精确, 又能从精确转化为近似, 它是掌握极限定义的关键。

2. N的存在性。在极限定义中, 重在N的存在性, 且N的存在性是与ε相关的。定义中并没有要求N的唯一性, 也就是说一旦ε任意给定后, 我们只要能够找到满足条件的N即可。

3. 极限的几何意义。在平面坐标系中, 数列{an}对应于数轴上的一窜点, 对于任意的ε, 存在正整数N, 使得当n>N时, 所有点an均在开区间 (a-ε, a+ε) 内。故至多N个点an在这区间外。

4.收敛与发散的数学符号叙述。

四、例题讲解

通过上面两个例题的详细讲解, 总结出求数列极限的一般步骤, 并强调证明数列极限过程重在寻找合适的, 我们可以采取“限定”和“放大”的方法来寻找N。然后再讲解几个求数列极限的证明题, 照总结的证明步骤, 一步一步证明, 以此加深学生对知识的理解。最后在学生对证明数列极限方法有了一定的熟练后, 再举两个证明数列发散的题目。通过严格的分析证明, 结出证明数列发散的一般步骤, 对比证明数列收敛的步骤, 找出他们各自的证明难点, 从而加深对数列极限的理解。

证明:限定n>7, 从而n3-3>0, 要使不等式

五、总结知识, 布置作业

教师要带领学生回顾数列极限的定义及其理解的难点, 理清证明数列收敛和发散的一般步骤, 让学生做到心中有数。最后, 教师布置几个证明数列极限收敛和发散的作业, 以此来考察学生对知识的掌握程度及其遇到的问题。

摘要：数列极限是数学分析课程中一个重要的概念, 它也是学好数学分析的必备知识。本文对数列极限定义的教学方法做了一些分析和思考。

关键词：数学分析,极限,定义,数列

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001.

篇9：谈数列极限定义的教学设计

【中图分类号】O171-4

极限是高等数学最重要的概念之一，它是研究微积分学的必备工具。怎样合理有效地讲授数列极限的定义，才能让学生真正理解和掌握其思想方法，而不只是简单地理解定义和形式地掌握使用方法？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向“ ”定义的过渡和转化。下面从七个环节对数列极限定义的教学过程进行设计。

一、无穷数列本质是整标函数

无穷数列 可以看作自变量只取正整数 的一类特殊函数，称为整标函数，即 ，其中 称为数列的通项或一般项。数列作为整标函数，也具有有界性和单调性。

二、从几何问题到代数问题，引出极限思想

先介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法-----割圆术。首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正八边形、内接正十边形…，从数值角度而言，当边数无限增大时，内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。再介绍公元前四世纪，我国古代哲学家庄周著作《庄子·天下篇》所引用一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，从数值角度而言每天截去一半所余的尺数为一等比数列 ，然后启发学生思考如何从数列 的变化趋势解释“万世不竭”的本质。通过讲授分析得出结论：“当 越来越大时， 越来越接近0，但永远不等于0，即万世不竭。”进而提出问题：对于数列 ，主要研究当 无限增大时，数列 无限接近于哪个数？这就是所谓极限存在性问题。

三、归纳给出数列极限的描述性定义

由第二环节现归纳出数列极限的描述性定义：“如果 无限增大时，数列 无限接近于一个常数 ，则称 为该数列的极限，记作 或 。否则，称 发散。

四、将描述性定义转化为“ ”定义

一般情况下描述性定义容易理解但并不精确，因此必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述用数学语言转换为定量描述。然后以数列 为例来探究怎样用精确的数学语言来阐述“当 无限增大时， 无限接近于常数1”变化趋势。首先，“ 无限接近于常数1”就是要 可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；“ 无限增大”就是要 充分大，大到足以保证 小于这个预先给定的、无论怎样小的正数。具体而言，就是对于任意给定的 ，无论怎样小，相应地总能找到一个大于或等于 的正整数 ，即 ，使当 时的一切 都满足 。

由于 的任意性，上述不等式就精确地刻画了数列 随 无限增大（记作 ）而无限接近于常数1这一变化趋势。也就是说，我们用 的数量关系把“当 无限增大时， 无限接近于常数1”的含义作了精确的描述。数列的极限概念就是来源于对数列进行这种变化趋向的研究，而运用 的数量关系就能对极限概念作精确的阐述，于是就给出数列极限的“ ”定义 。

五、几何解释

将“ ”定义的数学语言转化为几何语言：不管 多么小，总能找到一个正整数 從 项开始后面的所有项 都落在点 的 邻域内，而此邻域外最多只有有限项 。通过对极限定义的几何解释，使学生利用数形结合形式进行理解和掌握。

六、“ ”定义的进一步说明

为了更好理解“ ”定义，作以下几点说明。

（1）数列的敛散性与其前有限项的大小无关，而是由后面无限多项的大小而定。

（2） 具有三重性。一是任意性，它不是一个固定的常数，是用来刻画 无限接近于常数 的程度；二是固定性， 一旦给定就固定下来，以便去寻找与之有关的自然数 。三是表达式的多样性，定义中若取 、 、 也可。

（3） 的相应性。 依赖于 ，但并不唯一，因此也不是 的函数。事实上， 未必一定是正整数，若取正数显然也成立。当 给定后，才能找到与之有关的 ，当 满足 时，才有 ，一般情况下寻找到 即可。

（4）不等号的推广。由 的多样性和 的不唯一性，在“ ”定义中，若把“ ”变为“ ”，或把“ ”变为“ ”也成立。

七、举例说明如何使用“ ”定义证明极限

利用“ ”定义证明 ，关键是对于任意给定的正数 ，寻找一个与之有关的正整数 使得当 时恒有 。那么怎么寻找 呢？首先从这个关于 和 的不等式 出发，解出 的形式，其中涉及不等式适当放大的技巧，此时取 即可。事实上，若取 或其他也可，并不唯一。然后利用此方法证明几个常见极限，要求学员达到熟能生巧、举一反三的能力。

以上从七个环节介绍了数列极限定义的教学设计，采用两个学时授课，而收敛数列的性质下次课再讲授。在此教学过程中，将数列极限的“ ”定义内容进行了合理优化，学生充分理解和掌握极限的本质，而不是简单地理解定义和形式地掌握使用方法，同时为函数极限的讲授提供了有力的帮助，并奠定了坚实的基础。

参考文献

[1] 同济大学数学系. 高等数学[M].上册.第六版.高等教育出版社，2007：26.

基金项目：陕西省教育厅科研计划项目（编号：2013JK1098）

篇10：考研数学知识点：极限的定义

(1)数列的极限(ε-N语言)

(自然数)，使得当n>N时，|xn-A|<ε

极限存在时称为数列是收敛的.，极限不存在时称数列是发散的.

(2)函数的极限

・当x→∞时函数的(双侧)极限(ε-N语言)

，使得当|x|>X时，|f(x)-A|<ε.

・当x→x0时函数的(双侧)极限(ε-δ语言)

，使得当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε.

(3)函数的单侧极限

x→+∞(x→-∞)时函数的极限

，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε.

，使得当x>-X时，|f(x)-A|<ε.

・当时函数的极限

，使得当时，.

篇11：极限 定义证明

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于

2这两个用函数极限定义怎么证明?

x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),则x>sinx^2/ξ^2,∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<|x+1/2|<δ时，必有

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)

注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)

同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)

取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n

所以a/M<=^(1/n)

对n取极限，所以a/M<=g(x)N时成立;

令x趋于正无穷，a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;

注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令M趋于正无穷，b趋于a;

有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;

这表明limg(x)=a;

证毕;

证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是

max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，故极限可以放进去。

2一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

篇12：利用函数极限定义证明11

1.利用函数极限定义证明:

(3).limxsinx01x0;

x|1，则当 0|x| 时, 有 证明: 对于任意给定的正数 0, 取 , 因为 |sin

x1x1xxsin|x|sin|x|，所以limxsinx00.2．利用无穷大量定义证明：

（1）lim1x

4x；

1x

4证明：对于任意给定的正数 G0, 取 M4G1, 则当 |x|M 时, 有 |

所以 lim1x

4.|G，x

5．证明：若limf(x)A，则lim|f(x)||A|.xx0xx0证明：对于任意给定的正数 0, 由于limf(x)A，存在0，使得当

xx0

0|xx0|时, 都有|f(x)A|，而

篇13：关于数列极限定义教学的思考

一、“破俗立新”式的导入

学生在学习高等数学前对数列极限定义的认识都是建立在高中教材里对数列极限“通俗直观”定义的基础上的。数列极限的“通俗定义”:当n无限增大时, xn无限趋于常数A。这个基于直观的极限概念看起来好像很清楚, 也便于理解, 为什么需要另外建立严格的、精确的极限概念呢?我们可以从两个方面加以分析, 破除学生的“旧俗”观念。

1. 基本直观作出的判断实际上是一种“有限归纳”

有限归纳很难判断无穷的变化过程, 因为无论计算数列的多少项都不知道在这以后会发生什么情形, 正如克莱因所说, “因为发现苹果是红的, 就断定所有的苹果都是红的, 这就是有限归纳推理, 在数学上是不可靠的”[1]。我们可以用下面的例子验证。

例1令 (n为正整数) , 计算前100项得到x1=9550, x2=4356, x3=2069, x4=1170, x5=743, …x96=0.5642, x97=0.04379, x98=0.3186, x99=0.02061, x100=0.09999。如果仅仅观察前100项, 可能误以为这个数列的极限等于零, 但是实际上数列极限等于1。

再看下面这个例子:

例令 (n为正整数) , 通过计算前100项, 又发现该数列中的每一项随着n的增大, 数列中的数越来越小, 不断靠近零。学生从高中知识体系中易得出该数列的极限为零。一正一反的例子开始让学生感到困惑, 自然地引出了要给数列极限精确定义的另一个原因。

2. 直觉往往是靠不住的

我们用以下例子说明这个问题:

例3[2]某公司招聘新职员, 甲种岗位底薪是1000元/月, 每月加薪200元;乙种岗位底薪是600元/月, 每半月加薪60元, 两种岗位都是每半月发一次薪水。

可能很多人会很直观地选择甲岗位, 甲岗位真的就要比乙岗位的收益增长快吗?我们以列表来说明

从下表数据来看, 到了第22次发薪水时, 乙岗位的薪酬就超过了甲岗位。所以说我们的直觉是靠不住的。

“欲穷千里目, 更上一层楼。”学生自然开始动摇在以前概念基础上建立的思维方式, 进而开始关注新概念的学习。

二、“精俗并用”的教学过程

我们的目的是给学生介绍数列极限的精确定义, 前面的例子让学生对高中的通俗定义产生怀疑, 由于学生已在高中阶段形成固有的思维方式和认知习惯, 往往对通俗直观的教学方法容易接受, 所以在高等数学教学中我们依然要“精俗并用”。

现在我们来看看高等数学教材中关于数列极限的精确定义。

定义[3]:设为一数列, 如果存在常数A对于任意给定的正数ε (无论它多么小) , 总存在正整数N, 使当n>N时, 不等式|xn-A|<ε都成立, 那么就称常数A是数列的极限, 或者称数列收敛于A。记为

数列极限的这个定义有以下几个特点:

1. 用常量描述变量

极限是变量的一种特定的变化趋势, 但是在这个概念中使用的方法是用常量描述变量的变化趋势, 其中ε和N式两个相对的常量, 用ε和N两个常量以及关于它们的不等式|xn-A|<ε (n>N) 就能确定数列通项无限趋近A的事实。

2. 颠倒自变量与因变量的因果关系

数列可以看成以自然数n为自变量的函数, 即f (n) =xn, n∈N。描述通项xn无限接近A的方法不是紧盯因变量xn的变化趋势, 而是对数列通项提出要求|xn-A|<ε (n>N) 。然后寻找使得这个不等式成立的N。这是一种颠倒因果关系、“以静制动”的处理方法。

3. 概念直观性强

极限概念可以给出一个非常直观的解释:对于任意正数ε, 以点A为中心作任意开区间 (A-ε, A+ε) 。总存在一个正整数N, 当n超过N时, xn就会进入这个区间, 并且一旦进入就不再离开, 于是至多有N个数在开区间外, 于是我们看到一种无限追求和“义无反顾”的精神。

要使初学者很快地感到“ε-N”方法的思维方式和美学意境, 抓住定义中的三个重要因素“ε”“N”以及“|xn-A|<ε”, 并辅助性地赋予直观的、感性的称谓, 便能达到事半功倍的效果。

首先, 从“|xn-A|<ε”说起, 显然“|xn-A|<εA-ε

有了对以上三个重要因素直观、形象的称呼, 那么比较难以理解的数列极限的精确定义就显得通俗易懂了。实际上, 我们无法在数轴上准确地量化出数列中的数, 随着n的增大, 无限靠近数A。于是从另一个角度来刻画这个变化的过程, 即在数轴上, 任意给定一个以A为中心, ε为半径的邻域后, 它都能包含这个数列xn中某项后的无穷多个数, 也就是数列xn中有无穷多个数会密密麻麻地分布在A的周围, 哪怕这个邻域再小也是如此。有了以上的体会, 我们就可以把数列极限定义通俗形象地描述成:数列xn的极限为A, 也就是任意给定一个装有数A的半径口非常非常小的口袋 (即邻域U (A, ε) ) , 总可以找到一个与之对应的阀门 (即存在正整数“N”) , 过了这个阀门 (即当n>N) , 所有的数xn都装在这个“口袋”之中。口袋的大小是可以任意小的, 即便如此, 该数列中始终有无穷无尽的数会落进口袋。 (如图1所示)

这样的描述, 能加深对数列极限的理解, 从而能更好地运用该定义证明相关问题。下面通过使用以上对极限定义的描述, 补充说明高等数学教材中有关于数列极限唯一的证明。

性质1[4]如果数列xn收敛, 那么它的极限唯一。

分析:反证法, 假设同时有xn→a及xn→b且a

那么按照对数列极限定义的通俗描述, 对于“xn→a”, 则给定一个装有a的具有一定大小的“口袋”U (a, ε1) , 一定能找到与之对应的阀门N (ε1) , 过了此阀门N (ε1) , 数列中后面的所有项全部装进该口袋中。同时对于“xn→b”, 也给定一个装有b的具有一定大小的“口袋”U (b, ε2) , 一定能找到与之对应的阀门N (ε2) , 过了此阀门N (ε2) , 数列中后面的所有项全部装进该口袋中。只要我们想办法构造两个不同的“口袋”, 那么数列中的分别装到口袋1与口袋2共同的数就不应该同时在两个不同的口袋里。于是有如下证明 (如图2所示) :

取故ƎN1, 当n>N1时, 不等式成立。 (1)

同理, 因为, 故ƎN2, 当n>N2时, 不等式成立。 (2)

取, 则当n>N时, (1) 与 (2) 都成立。

由 (1) 式有, 由 (2) 式有, 这是不可能成立的矛盾。

三、“理性升华”提升自主学习能力

反复回味数列极限“形象”描述, 便可以不断升华对概念的理解, 进而达到对此概念的学以致用, 下面通过数列极限保号性的证明和分析加以说明。

性质2[5]:如果, 且a>0, 那么存在正整数N>0, 当n>N时, 都有xn>0。

很多初学者对教材证明中为什么可以取感到困惑。若深刻理解数列极限定义后, 不难发现要完成证明, 只需找到合适的口袋, 过了相应的阀门N后, 数列中所有的数都装在此口袋中。只不过这时口袋需要放在数轴原点的右边, 结合数轴可以看到, 因为a>0, 只需取口袋半径小于的数即可, 通常取便完成证明。

“ε-N”方法是一种寓意深刻且丰富的思维方式, 它以科学的方式陈述了数列极限的概念, 从而对于变量的变化趋势作出了定量的、可以观测的表述, 能够将以后教材中导数和积分等基本概念置于科学的基础上。介于它的重要性, 教师有必要采取适当的教学方法帮助初学者深入地理解数列极限的定义, 使其达到期望的教学目标。

摘要：本文阐述了在教学实践中如何引入对数列极限形象直观描述的教学方法, 丰富高等数学教学中的教学手段, 以帮助学生深刻理解数列极限的精确定义。

关键词：数列极限,邻域,口袋,阀门

参考文献

[1][2]克莱因.数学与知识的探求[M].刘志勇译.上海:复旦大学出版社, 2005.

篇14：函数极限定义缺乏一致性

关键词 函数;极限;一致性

中图分类号 O172 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2010)082-0163-01

《高等数学》是大学本科教学中的一门重要的基础课,微积分理论是这门课的主要内容。极限是微积分理论的基石,连续、导数和积分等等都是由它来定义;在教授《高等数学》下册有关多元函数极限、连续等内容和同学提问过程中,我们对比发现:一个一元函数在一点没有极限,而从二元函数角度考虑却是有极限的,即:一元函数和多元函数极限缺乏一致性。本文将对此问题进行认真讨论,并尝试对极限定义进行改进,让《高等数学》这门课程更加严谨完善。

1 问题提出

我们首先来对比同济第五版《高等数学》中,一元函数极限定义和多元函数极限定义(本文以二元函数极限为例):

定义1:设函数f (x)在点x0的某一去心领域内有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当满足不等式0<│x–x0│<δ时,对应的函数值f (x)都满足不等式

│f (x)–A│<ε

那么常数A就叫做函数f (x)当x→x0时的极限。

定义2:设二元函数f (p)=f (x,y)的定义域为D,p0(x0,y0)是D的聚点。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点(P0,δ)时,都有

│f (P)–A│=f (x,y)-A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

下面由上两定义来看下面两个例子,进行对比:

例1:y=f (x)=1,令定义域D={x│x∈Q}(这里Q表有理数,以下同),讨论。

例2:z=f (x,y)=1,D={(x,y)│x∈Q,y=0},讨论。

对于例1,由定义1知:因为不存在任何原点的去心领域,使得

f (x)在其上都有定義,从而得出不存在。对于例2,由定义2知:①(0,0)是D的聚点;②∀ε,δ=1,当δ)时,有

│f (x,y)–1<ε。从而。例1和例2中给出的虽一个是一元函数,一个是二元函数,但仔细分析容易发现:事实上,例2也是一个一元函数,只不过是例1的变形,与例1无本质区别,但却得出了不一致的结论。之所以出现这个情况,不难发现原因就在于两个定义的不一致性。能不能处理这个不一致性,值得探讨。

2 严谨的一元函数极限定义

首先,我们尝试修改一元函数极限定义。仔细对比例1和例2,所讨论极限结论之所以不同,直接原因在于二元函数极限是以所论极限点为聚点的基础上定义的,而一元函数极限的极限点必须是以其为中心的去心领域中函数都有定义。定义极限的先决条件很明显后者要比前者强多了。一个自然的想法,可不可以仿照多元函数对一元函数定义域上定义聚点。即:设ER,如果对于任意给定的δ>0,点x0的去心领域

内总有E中的点,则称x0是E的聚点。从而对一元函数极限重新定义如下:

定义3:设x0为f (x)定义域D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<│x–x0│<δ且x∈D时,对应的函数值f (x)都满足不等式

│f (x)–A│<ε

那么常数A就叫做函数f (x)当x→x0时的极限。

有了以上一元函数极限的重新定义,容易得到例1的极限存在,且。至此,问题似乎解决了;诚然,就例1和例2来说,我们取得

了极限定义的一致性。但仔细研究同济第五版《高等数学》上册连续、可导和积分等各处于极限有关的定义,进一步综合我们的教学实际,发现诸多问题,主要问题如下:

1)在定义3下,函数极限不存在左右之分,由此也不存在左右连续,左右可导等等这些同济第五版《高等数学》上册中大家熟知的很成熟的概念。

2)产生一些难以直观理解的结果。如:函数的连续。在定义3下,例1中函数在有理点是连续的,即这个函数在其定义域上处处连续。此结论难以令人在直观上接受,从而能否让学生接受,值得怀疑。且例2同样存在这个问题,由此启发我们考虑二元函数极限定义的改造。

3)定义3除了解决类似于例1和例2中极限问题,对教学和理论,尤其是教学,没有大的帮助,存在隐患。

事实上,一元函数极限的定义是非常严谨和完善的,是经过自牛顿和莱布尼兹发明微积分理论以及柯西和维尔斯特拉斯的工作之后千锤百炼的结果,不能随便轻易改动的。

3 完善多元函数极限

3.1 两个初步修改方案

由以上讨论不难发现一元函数的微积分极限理论非常经典,从一元函数方面不能解决问题,我们转向二元函数。总结几位同行讨论,对上面所出现问题的解决的初步想法是,主要有以下两种考虑:

①参照定义1,重新定义多元函数极限(以二元函数为例)。

定义4:设二元函数f (P)=f (x,y)在P0(x0,y0)某一去心领域有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点δ)时,都有

│f (P)–A│=│f (x,y)–A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

②多元函数极限是多元函数极限,一元函数极限是一元函数极限,规定不能把一元函数看成多元函数。

仔细分析发现两种想法都存在问题。针对①,我们举例:

例3:z=f (x,y)=1,D={(x,y)│x∈R,y=0},讨论。

由于不存在任何点(0,0)的去心领域,使得f (x,y)在其上都有定义,从而由定义3得出不存在,进一步可得出不连续。而事实上例3

中函数的图像可以容易做出来是一条连续的直线,这与一元函数的连续性相悖,函数极限的一致性问题仍然难以解决。针对②,稍加分析不难发现,这种考虑是在回避问题,并没有解决问题。

3.2 较理想方案

由以上讨论,不难看出极限不一致性这个问题的解决,没有想象的那么简单。通过认真研读同济第五版《高等数学》上、下两册和查找相关资料(如:[2]和[3]),同事间进行深入讨论,从科研和教学上进行反复论证和研究。还是从例1和例2入手,由定义2,例2中函数在定义域内任意点都有极限,且进一步都连续;但是直观上不容易理解,且与例1相悖。近一步分析,根源在聚点的定义。我们来看看同济第五版《高等数学》下册第2页中聚点的定义:如果对于任意给定的δ>0,点P的去心领域内总有E中的点,则称P是E的聚点。例2中定义域正是由于以上聚点定义,从而每个点都是聚点,进一步由定义2得出极限存在且连续。如果我们给出强聚点的定义:如果点P是E的聚点,且E中存在一条经过P的曲线,则称P是E的强聚点。我们可以得到以下较理想的方案:即给二元函数极限重新定义为:

定义5:设二元函数f (P)=f (x,y)的定义域为D,点P0(x0,y0)是D的强聚点。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点δ)时,都有

│f (P)–A│=│f (x,y)–A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

不难发现,以上强聚点概念完全可以推广到其他多元函数情况,从而进一步可获多元函数极限定义。对于以上多元函数极限的重新定义,有的老师可能担心,会不会出现问题,对同济第五版《高等数学》下册的教学影响大不大。事实上,仔细研读全书,只有第一章第一节二重极限和二元函数连续的定义中是以点为聚点定义的,从而新定义对原书影响可以说很小。但概念严谨和完善了,且较好地解决了一元函数和多元函数极限缺乏一致性的问题。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]李成章,黄玉民.数学分析[M].科学出版社,1999.