函数极限计算

函数极限计算（通用14篇）

篇1：函数极限计算

二元函数极限计算方法研究

本文主要讨论两个方面的问题.一是二元函数的重极限的计算方法,二是重极限的不存在判别法.

作 者：符兴安 作者单位：楚雄师范学院数学系,云南,楚雄,675000刊 名：楚雄师范学院学报英文刊名：JOURNAL OF CHUXIONG NORMAL UNIVERSITY年，卷(期)：200318(6)分类号：B171关键词：二元函数 重极限 两边夹

篇2：函数极限计算

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

篇3：函数极限计算

一、问题的提出

本例中数列极限许多学生认为是由于但这种想法似是而非, 严格地讲这是由得出来的, 同一个类型的例子基本上都是这样, 由此可见这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。

其中[x]表示x的整数部分, 令x->+∞时, 不等式左右两侧表现两个数列的极限再利用函数极限的夹逼定理得到

接下来我们重点了解一下能不能从数列极限求函数极限研究数列极限和函数极限时, 许多学生会想到海涅定理, 根据海涅定理, 的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n}都有。

二、得到的重要结果

通过上面的分析, 我们就可以提出下面的定理。

定理1设f (x) 在[a, +∞]上有定义, (a>0) , 如果存在数列{xn}, {yn}满足对于任意x>=a, 当n<=x

证明:对于任意A>0, 由于所以存在N∈N+ (假设N≥a) , 当n>N时, 就会有|xn-A|<ε且|yn-A|<ε取X=N+1, 当x>X时, 总可以找到满足n0>N且n0≤x≤n0+1, 由条件可得xn0≤f (x) ≤yn0, 所以xn0-A≤f (x) -A≤yn0-A, 于是|f (x) -A|≤max{|xn0-A|, |yn0-A|}<ε。

在学习定积分时且遇到下面的问题:

篇4：从事物的极限到函数的极限

每年秋季刚考进大学的非文科一年级新生们都要学习高等数学这门课程的。而高等数学里第一个概念就是数学极限的定义，这对于学生是非常难学的，老师也感到难教，这是一个历史现象。

目前高中阶段在学习变化率导数时，也是有意地绕过极限定义的。可见极限定义困难的程度。

极限的定义为什么这样难教难学，就是因为我们对于它挖掘认识的不够。

我经过很长一段时间对极限琢磨与研究着，而今我有个重大发现，我窥视到了函数y=f（x）的极限就是函数y=f（x）在某种条件下的极大值ak 极小值。因为极大值、极小值是此前中学阶段里很普通而又很熟练的知识，在这个很熟练的基础上，学习极限就一帆风顺了。下面是我的设计：

一、事物的极限

极限并不陌生和抽象，在生产生活中，我们身边存在和充满着许多通俗易懂极限的问题。

比如我们行走在一座桥的前面看见路旁有个交通警示牌，牌上写着20t，这是什么意思呢？这是告诉人们经过桥梁的车辆及其载物不能超过20吨重，超过了20吨，桥梁就有可能断裂或倒塌，酿成危险性事故。这是桥梁负荷的极大限制值。

用火箭发射人造卫星，火箭的发射速度不能小于7.9km/s，小于这个发射速度，卫星就上不了天，这是卫星上天时火箭发射速度的极小限制值。

严寒的冬天，千里冰封，万里雪飘……必须要到晴天气温才能不断升高，达到0℃以上的时候，冰雪才能融化。这个0℃是标准大气压之下冰雪融化温度的极小限制值。

上面的极大限制值、极小限制值。取极大值、极小值的“极”字，取限制的“限”字。简称为极限。反过来，以后看到“极限”一词也可顾名思义地联想起极限里的“极”字就是极大值或极小值。“限”字就是限制。

这样一来，我们得到了含有变量的事物的极限定义。

定义：含有变量的事物在某种条件下变化着，它的极大限制值或极小限制值，就叫做这事物在该条件下的极限。

于是，上面桥梁的负荷极限是20t，火箭发射人造卫星能上天速度的极限是7.9km/s，冰雪在其温度不断升高时，保持固体形状的极限温度是0℃。

化合物H2O在其温度下降时，保持液体状态的极限温度是0℃，在其温度不断上升时，保持液体状态的极限温度是100℃。

篇5：函数极限证明

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

篇6：二元函数的极限

(一)教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．

基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

(三)教学建议：

(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限： limf(x)A 的“” 定义(c31)：

xx0

0设函数f(x)在x0的某一空心邻域U(x0,1)内由定义，如果对

0,当 xU(x0,)，即 |xx0| 时，都有 |f(x)A|，0,1，则称xx0时，函数f(x)的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f(x,y)为定义在DR2上的二元函数，在点P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对 0,0，使得当 P(x,y)U(P0,)D 时，0都有 |f(P)A|，则称f在D上当 PP0时，以A为极限。记作

PP0PDlimf(P)A

也可简写为limf(P)A或

PP0(x,y)(x0,y0)

2limf(x,y)A 例1用定义验证

2lim(x,y)(2,1)2(xxyy)7 222证明:|xxyy7||xx6xyxy1|

|x3||x2||xy1||y1|

限制在（2，1）的邻域 {(x,y)||x2|1,|y1|1}

|x3|6,|xy1|6

取 min{1,/6}，则有

|xxyy|

由二元函数极限定义lim

(x,y)(2,1)

(xxyy)7

xy,(x,y)(0,0)xy22

例2 f(x,y)xy，0,(x,y)(0,0)

证明lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)0

xyxy

证|f(x,y)||xy

所以

lim

(x,y)(0,0)

||xy|

lim

(x,y)(0,0)

|f(x,y)|lim

(x,y)(0,0)

|xy|0

|f(x,y)|0

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：

PP0

limf(P)A 是指： P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。

对于一元函数，x 仅需沿X轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，P趋于P0的路线有无穷多条，只要有两条路线，P趋于P0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在P0点极限就不存在。

1,0yx2

例1 二元函数f(x,y)

0,rest

请看图像（x62），尽管P(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当P(x,y)沿抛物线 ykx,0k1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

(考虑沿直线ykx的方向极限).x2y,

例2设函数f(x,y)x2y2

0,

(x.,y)(0,0)(x,y)(0,0)

求证limf(x,y)0

x0

y0

证明因为|f(x,y)0|

x|y|xy



x|y|x

|y|

所以，当(x,y)(0,0)时，f(x,y)0。

请看它的图像，不管P(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。

通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两

PP0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 ,沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在.例3

设函数

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)

xy,22

f(x,y)xy

0,

证明函数 f(x,y)在原点处极限不 存在。

证明尽管 P(x,y)沿 ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线ymx 趋于原点时

xmxx(mx)

f(x,y)

mx

(1m)x



m1m

沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

非正常极限极限

lim

(x,y)(x0,y0)

判别函数f(x,y)

xy11xy

在原点是否存在极限.f(x,y)的定义:

12x3y

例1设函数f(x,y)证明limf(x,y)

x0y0

证|

12x3y

||

13(xy)

|

只要取

16M

|x0|,|y0|时，都有

|

12x3y16

||

13(xy)

|

M

12x3y

请看它的图象，因此是无穷大量。

例2求下列极限: i)

lim

xyxy

;ii)

(x,y)(0,0)(x,y)(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)(0,0)

lim

xy11xy

;iV)

(x,y)(0,0)

lim

ln(1xy)

xy

.二.累次极限: 累次极限

前面讲了P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时 f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)的累次极限由两个

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

yy0xx0

xx0yy0

例1

f(x,y)

xyxyxyxy

222, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22

例2 f(x,y), 求在点(0 , 0)的两个累次极限.例3 f(x,y)xsin

1y

ysin

1x, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。

例函数 f(x,y)

xyxy

xy

22的两个累次极限是 yyyxxx

limlim

xyxy

xyxyxy

xy

y0x0

lim

y0

lim(y1)1

y0

lim(x1)1

x0

limlim

x0y0

lim

x0

（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例f(x,y)

xyxy

xyxy，两个累次极限都存在limlim

y0x0

0,limlim

xyxy

x0y0

0

但二重极限却不存在，事实上若点P(x,)沿直线 ykx趋于原点时，kx

f(x,y)

x(kx)



k1k

二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)xsin

1yysin

1x

由|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x ,y)(0,0).可见二重极限存在 ,但

1x

limsin

x0

和limsin

y0

1y

不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim

(x,y)(x0,y0)

f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

xx0yy0

在 , 则必相等.(证)

（5）累次极限与二重极限的关系

篇7：函数极限连续试题

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim（2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim（ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.求n(a0).n

17.求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim（1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.41.设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.设f(x(0x

),求f(x).43.设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.

50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

篇8：浅谈函数极限计算的常用求法

1 利用极限的四则运算法则求解

利用商的极限法则

2 利用无穷大与无穷小的关系求解

利用无穷小与无穷大的关系

3 利用无穷小的性质求解

性质有界函数与无穷小量的乘积是无穷小

4 利用两个重要极限求解

4.1 第一个重要极限

4.2 第二个重要极限

利用这个重要公式求这类函数极限, 关键在于将所给函数凑成公式的形式, 然后再利用极限公式求出函数的极限

要给学5利用函数连续性求解

解:利用对数的性质, 并由复合函数的极限法则

5利用洛必达法则求解

注意: (1) 在用此方法求极限之前需先检验函数的极限是否为未定型。

(2) 洛必达法则可以多次使用, 每用一次法则之后, 要注意化简并分析所得式子, 直到所求函数不再是未定型为止。

6 利用等价无穷小的代换求解

注意:在利用等价无穷小代换求极限时, 只能对函数的因子或整体进行无穷小的代换。在分子或分母为和式时, 通常不能将和式中的某一项或若干项以其等价无穷小代换。

7 利用左右极限讨论分段函数在其分段点处的极限

以上8种方法是求函数极限的常用方法, 有些题目可能有多种解法, 只有不断地总结和摸索, 才能领悟各种方法的精髓, 为今后的高等数学的学习奠定良好的基础。

摘要：本文介绍了高等数学中极限计算的常用方法 , 并通过典型实例进行分析归纳, 针对其中需要注意的细节和技巧加以说明, 希望对高职院校的学生在高等数学的学习过程中有一定的指导意义。

关键词：函数,极限,无穷小,洛必达法则

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京:高等教育出版社.

[2]吴赣昌.高等数学[M].4版.北京:中国人民大学出版社.

篇9：复变函数求极限的方法

关键词 复变函数 极限 方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以 在点 z=0连续,从而 。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求 。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求 。

解 显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。

例5 求 。

解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以 既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

篇10：2.3函数极限

求第一类函数的极限

例

1、讨论下列函数当x,x,x时的极限：

1（1）f(x)1 2

（2）f(x)x1 x1

（x0）2（3）h(x)x2 x0）x

1求函数的左右极限

例

2、讨论下列函数在点x1处的左极限、右极限以及函数在x1处的极限：

x1(x1)f(x)（1）logx(x1)4

（2）g(x)x1(x1)

x(x1)2

1(x1)（3）h(x)x1

(x1)2(x1)

(x1)(x23x2)（4）(x) x

2判断函数的极限是否存在x21例

篇11：函数极限习题与解析

一、填空题

1、设f(x)2xlglgx，其定义域为。

2、设f(x)ln(x1)，其定义域为。

3、设f(x)arcsin(x3)，其定义域为。

4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为。

5、设yf(x)的定义域是[0，2]，则yf(x2)的定义域为。

x22xk4，则k=。

6、limx3x3x有间断点，其中为其可去间断点。sinxsin2x8、若当x0时，f(x)，且f(x)在x0处连续，则f(0)。

xnnn22)。

9、lim(2nn1n2nn7、函数y

10、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的条件。

(x31)(x23x2)。

11、limx2x55x312、lim(1)n2nkne3，则k=。

x2113、函数y2的间断点是。

x3x

214、当x时，1是比x3x1的无穷小。x15、当x0时，无穷小11x与x相比较是无穷小。

16、函数ye在x=0处是第类间断点。

31x17、设yx1，则x=1为y的间断点。x118、已知f13，则当a为时，函数f(x)asinxsin3x在x处连续。

333sinxx02x19、设f(x)若limf(x)存在，则a=。

1x0(1ax)xx0xsinx2水平渐近线方程是。20、曲线yx221、f(x)4x21x12的连续区间为。

xa,x022、设f(x) 在x0连续，则常数

cosx,x0a=。

二、计算题

1、求下列函数定义域（1）y

（3）ye ；

2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？（1）f(x)lnx

（2）f(x)x

（3）f(x)1, 21 ；（2）ysinx ； 1x21x,g(x)2lnx ； ,g(x)x2 ；

g(x)sec2xtan2x ；

3、判定函数的奇偶性

（1）yx2(1x2)；

（2）y3x2x3 ；

（3）yx(x1)(x1)；

4、求由所给函数构成的复合函数（1）yu

2（2）yu

（3）yu2,usinv,vx2 ； ,u1x2 ； ,uev,vsinx ；

5、计算下列极限（1）lim(1n111123(n1)n)；

（2）lim ；

n242n2

x25x22x1（3）lim ；

（4）lim ； 2x1x2x3x

111x32x2（5）lim(1)(22)；

（6）lim ； 2xx2xx(x2)

1x21（7）limxsin ；

（8）lim ； 2x0x

（9）2xlimx(x1x)；

6、计算下列极限（1）limsinwxx0x ；

（3）limx0xcotx ；

（5）limx1x(x1)x1 ；

7、比较无穷小的阶

（1）x0时，2xx2与x2x3 ；

（2）x1时，1x与1(1x22)；

x13x1x2）limsin2xx0sin5x ；

4）lim(xx1x)x ； 16）lim(1x)xx0 ；

（（（8、利用等价无穷小性质求极限

tanxsinxsin(xn)（1）lim ；

（2）limx0x0(sinx)msinx39、讨论函数的连续性

(n,m是正整数)；

x1,x1 f(x)在x1。3x,x

110、利用函数的连续性求极限

（1）limln(2cos2x)；

（2）lim(xxx2xx2x)；

6（3）limlnx0sinx12x ；

（4）lim(1)；

xxx

（5）设f(x)lim(1)nxnn,求limf(t11)； t

1（6）limxln(xx1)； x1

ex,x011、设函数f(x)

ax,x0应当怎样选择a，使得f(x)成为在(，)内的连续函数。

12、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

5（B）

1、设f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数定义域（1）yf(ex)

（2）yf(lnx)

0,xo2、设f(x)x,x0求

0,x0 g(x)2x,x0f[g(x)],g[f(x)] f[f(x)],g[g(x)]，3、利用极限准则证明：（1）lim1n11（2）limx[]1 ；

x0xn

（3）数列2,4、试比较当x0时，无穷小232与x的阶。

5、求极限

（1）limx(x1x)；

（2）lim(xx22,222,的极限存在 ；

xx22x3x1)； 2x

1（3）limx0tanxsinx ； 3x

axbxcxx（4）lim()x0

31(a0,b0,c0)；

1,x0xsin6、设f(x)

要使f(x)在(,)内连续，x2ax,x0应当怎样选择数a ？

x11,x0

求f(x)的间断点，并说明间断点类型。

7、设f(x)eln(1x),1x0

（C）

1、已知f(x)ex2,f[(x)]1x，且(x)0，求(x)并写出它的定义域。

2、求下列极限：

1x)coslnx] ；（1）、lim[cosln(（2）、milxx01xnisxcosx ；

xxax3x252)9，求常数a。sin ；（3）、求lim（4）、已知lim(x5x3xxax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)a,f(b)b，证明：在开区间(a,b)内至少存在一点，使f()。

第一章 函数与极限习题 解 析

（A）

一、填空题（1）(1,2]

（2）(1,)

（3）[2，4]

（4）x2kx(2k1)（6）-3

（7）xk,kz（10）充分

（11）,kz

（5）[2,;x0

（8）2（9）1

2]

3（12）

（13）x=1 , x=2（14）高阶 22（15）同阶

（16）二

（17）可去

（18）2

（19）-ln2（20）y=-2

（21）[2,1](1,2]

（22）1

二、计算题

1、（1）

(,1)(1,1)(1,)

（2）

[0,)

（3）(,0)(0,)

2、（1）不同，定义域不同

（2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同

3、（1）偶函数

（2）非奇非偶函数

（3）奇函数

24、（1）y(sinx2)

2（2）[y1x]

（3）[ye2sinx] 

5、（1）[ 2 ]

（2）[]

（3）-9

（4）0

（5）2（6）

（7）0

（8）2（9）

6、（1）w

（2）2121 2212

1（3）1

（4）e

（5）e

（6）e 5237、（1）2xx是xx的低阶无穷小

（2）是同阶无穷小

0,mn1

8、（1）

（2）1,mn

2,mn

9、不连续

10、（1）0

（2）1

（3）0

（4）e

（5）0

（6）-2

211、a=1

（B）

1、（1）提示：由0e1 解得：x(,0]

（2）提示：由0lnx1解得：x[1,e]

2、提示：分成xo和x0两段求。f[f(x)]f(x)，g[g(x)]0，xf[g(x)]0 , g[f(x)]g(x)

4、（1）提示：11111111

（2）提示：x(1)x[]x

xxxnn

（3）提示：用数学归纳法证明：an222

2x3x22x13x1x

5、提示：

令21t（同阶）

xxx（2）提示：除以2x ；e 21

（3）提示：用等阶无穷小代换 ；

26、（1）提示：乘以x21x ；axbxcxx（4）提示：()

33xxxxxxa1b1c1a1b1c113ax1bx1cx13x1（3abc）

7、提示：limf(x)limf(x)f(0)

（a0）

x0x0

8、x1是第二类间断点，x0是第一类间断点

（C）

1、解：因为fxe2(x)1x，故(x)ln(1x)，再由ln(1x)0，x0。得：1x1，即x0。所以：(x)ln(1x)1xsinxsin2x1xsinxcos2x2、解：原式=lim=lim

x0x0x(1xsinxcosx)2xsinx(xsinx)=0 x0x223、解：因为当x时，sin~，xx=lim123x2523x2526x2106sin=lim=lim2则lim=

x5x3xxx5x3x5x3x5a1xaxeax=a=e2a)=lim

4、解：因为：9=lim(aexxax1x所以e2ax9，aln3

5、证明：令F(x)f(x)x，F(x)在a,b上连续，且

篇12：函数极限与连续教案

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

篇13：函数极限计算

1.1 数列

初等数学中对数列这样定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义:若函数f的定义域是全体正整数集N+,则称f:N+→R或f(n),n∈N+为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列,所以数列f(n)也可写作a1,a2,…an…,或简单地记作{an},其中an是该数列的通项.看得出来,数列就是一正整数集为定义域的函数,即所有数列的定义域都是正整数集.

1.2 数列的极限的定义

定义1(1)设{an}为数列,a为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时,有|an-a|<ε,则称数列{an}收敛于a,定数a为数列{an}的极限,并记作.

2. 关于函数极限

2.1 x→∞时函数极限

定义2(1)设f为定义[a,+∞)在上的函数,A为定数,若对任给的正数ε,存在正数M(≥a),使得当x>M时有|f(x)-A|<ε,则称函数当x→+∞时以A为极限,记作.

现设f为定义在U(-∞)或U(∞)上的函数,当x→-∞或x→∞时,若函数值无限地接近某定数A,则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限,.

2.2 x→x0时函数极限

定义3(函数极限的ε-δ定义)(1)设函数f在点x0的某个空心邻域U0(x0;δ′)内有定义,A为定数,若对任给的正数ε,存在正数δ(<δ′),使得当0<|x-x0|<δ时有|f(x)-A|<0ε,则称函数f当x→x0时以A为极限,记作.

类似可定义及.

3. 数列极限与函数极限的异同及根本原因

从以上定义可以看出,数列极限与函数极限有相同点也有不同点,研究二者的方法大同小异,相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似,因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于,数列极限只有一种类型,就是n→∞时的极限;而函数极限细分有六种类型x→+∞;x→-∞;x→∞;x→x0;x→x0+;x→x0+的极限,分类的标准是根据的趋向的不同来分类.

二者的相同点源自二者都是函数,数列可以认为是特殊情况的函数,任何一个不同的数列都以正整数集为定义域;而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的,其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.

正因为将二者同看成函数的情况下,由于二者的定义域范围不同,导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集,那自变量的取值为1、2、3……,自变量的最小取1,因此不可能趋向于-∞,又因为数列各项必须取整数,所以它不可能趋近于某个定数,自变量n只可能有一种趋向于+∞;而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论,因此,自变量x既可以趋近于+∞,又可以趋近于-∞;如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在,则称x→∞时函数极限存在.同理,因为实数集的稠密性,自变量x会趋近于某个定数x0,根据自变量x趋近于x0的方向不同又可以分为x0点处的左极限和右极限,于是某定点处有三种类型x→x0;x→x0+;x→x0+函数极限.

综上,数列是特殊的函数,正因为数列作为函数的特殊性,使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质,收敛数列的所有性质都具有整体性;而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为,还要真正学透极限,一定要从本质上研究导致他们不同的原因,相同的理论完全可以通过类比的方式学习,而学习的重点应该放在二者的不同上,弄懂有什么不同,为什么不同,只有懂得了“为什么”,才能真正学懂相应知识.

摘要：极限理论是数学分析课程的理论依据,就因为引入极限思想,微积分才有了理论根基,从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此,教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验,谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.

关键词：极限,数列极限,函数极限

参考文献

篇14：浅析求函数 型极限的技巧

关键词：高等数学、函数极限、方法、技巧

极限是高等数学内容中一个重要的概念，它是研究微积分的基础和有效工具。熟练掌握求函数极限是学好微积分的前提，通过几年的教学实践和不断的验证，作者提出了求函数极限的新思路就是“看类型，找方法”的解题技巧，这种方法使用时，首先先分清该函数极限属于那种类型，然后在运用相应的方法。其实，高数中求极限的题很多，而函数极限类型却是有限的，只要着握住这几种类型的解法，那么所有问题就迎刃而解了。下面我就 型做如下分析。

型的函数极限是极限运算里最难求的一种类型，也是最经常见的类型，求解该类型的方法不固定，常见的求解该类型的方法有五种，每种方法都有其对应的技巧。

1）利用等价无穷小量求函数的极限。

该方法使用起来简洁方便，不宜出错，但是使用起来是有限制的，首先是在使用前必须事先掌握一些等价式子及其灵活变形式子，这些式子是很有限的几种，其次是这些等价式子只能在乘除之间运算时使用，加减运算中就失效了。

常见的等价无穷小式子有如下几种：前提当 时，

4）利用重要极限式子求解

该式子主要适用于含有三角函数或反正弦函数、反正切函数，且为 型的未定式.要牢记公式的结构特点： （方框 代表任意形式的同一变量）.

备注：对第一重要极限推广可以有这种形式 。

5）利用罗比达法则求极限

上面几种求 型的方法只是用来求一部分该类型，有很大一部分 型，上面的几种方法解決不了，则就要有新的方法解决，罗比达法则就是解决这类问题的新方法。

以上是求函数 型极限常见的几种技巧，对于其他类型的极限也可也参照类推。这些方法不仅应用于某一个题，对于复杂的题型也可以做，因此，对于函数极限的求法，只要掌握了要诀“看类型，找方法”六字方针，那么所有的问题就会迎刃而解。

参考文献：

1.华东师范大学数学系。数学分析（上册，第三版）北京，高等教育出版社

2.陈刚 关于高等数学中极限思想的研究 工科数学，2001

3.颜文勇，柯善军。高等应用数学。北京高等数学出版社，2004