有关三角形定理的应用

有关三角形定理的应用（精选10篇）

篇1：有关三角形定理的应用

课时5 正弦定理、余弦定理的应用

（一）教学目标

正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，学会在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用．培养学生空间想象能力和运算能力.教学过程: 解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 [例题分析]

例

3、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

课时5巩固练习

1.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是 2．一船以226km/h的速度向正北方向航行,在A处看灯塔S在船的北偏东45,1小时30分钟后航行到B处看灯塔S在船的南偏东15,则灯塔S与B之间的距离为.3、如图，两条道路OA、OB相交成60角，在道路OA上有一盏路灯P，00

第1题

OP10米，若该灯的有效照明半径是9米，则道路OB上被路灯有效照明的路段长度是 米。

第3题

4.已知△ABC中,BC=2,AB+AC=3,中线AD的长为y,若以AB的长为x,则y与x的函数关系式是 ,并指出自变量x的取值范围.5.某观察站C在城A的南20西的方向,由城A出发的一条公路,走向是南40东,在C处测得距C为31千米的公路B上有一人正沿公路向A城走去,走了20千米之后,到达D处,此时C、D之间的距离为21千米,试问此人还要走几千米可到达A城?

C 0

0

A D 第5题 B

篇2：有关三角形定理的应用

1.掌握正弦定理及其变形

2.了解正弦定理的证明方法与思想

3.会用正弦定理解三角形

4.能用正弦定理及三角公式进行恒等变形，实现边角互化，判断三角形的形状及恒等式的证明等

二 课前预习，夯实基础

1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝2，则(C)

A．B＝45°或135°B．B＝135°C．B＝45°D．以上答案都不对

解析：选C.sin B＝a＞b，∴B＝45°.2

2．．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(D)

22266A．－B.C．－333

31510解析：选D.由正弦定理得，sin 60°sin B

310×210·sin 60°3∴sin B.15153

∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．

326＝ 33

3.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(B)

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

ab解析：选B.b，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形． sin Asin B

sin Acos C4.在△ABC中，若C的值为(B)ac

A．30°B．45°C．60°D．90°

sin Acos Csin Aa解析：选B.∵＝，accos Ccasin Acsin C∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.15．在△ABC中，若tan A，C＝150°，BC＝1，则AB31解析：在△ABC中，若tan A＝C＝150°，3

1∴A为锐角，sin A＝BC＝1，10

BC·sin C则根据正弦定理知AB＝＝.sin A2

6.在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝1∶1∶3.解析：A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3.∴cos B＝1－sinB＝1－

三．预备知识

1.任意三角形三边满足：两边之和____第三边，三个角满足：内角和为_____

2．在Rt△ABC中，a、b分别为A与B所对的直角边的长，c为斜边的长，则sin A＝___，cos A＝___.3．对于两个向量a和b，有a·b＝|a|·|b|cos θ(其中θ为a与b的夹角)．

思考：为什么说大边对大角呢？如何定量解释这个数学问题呢？ 四． 基础回顾

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比值相等，即 ______ ＝______＝_______＝_______（）



定理证明：（思路一：）（代数法：向量法）过A作单位向量j垂直于AC 

由 AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB

则•+•=•



∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴

ac

= sinAsinC

cbabc

=∴== sinCsinBsinAsinBsinC



同理，若过C作j垂直于CB得：

（思路二：）（几何法：外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

aa

CD2R ∴

sinAsinD

bc

同理 =2R，＝2R

sinBsinC

注：1.变形：

2.正弦定理的数学意义：

3.功能：A 已知两角和任一边解三角形

B已知两边和其中一边对角解三角形（有两解，或一解或无解）⑴若A为锐角时:

无解absinA



一解(直角)absinA



bsinAab二解(一锐, 一钝)ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解

⑵若A为直角或钝角时:

ab一解(锐角)

C三角形的面积公式：

五 典例分析

例1(公式变形应用)在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a.abc

解：∵sin A∶sin B∶sin C＝∶a∶b∶c，2R2R2R

4∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×＝8.1

5例2（知两边和其中一边对角解三角形）ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450

3解： ,sinC

sinAsinCa2

2csinAac,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，sinCsin600

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0

sinCsin60

b31,B750,C600或b31,B150,C1200

ππ

例3（判断三角形的形状）．在△ABC中，acos(－A)＝bcos(B)，判断△ABC的形状．

ππ

解：法一：∵acos(－A)＝bcos(B)，22

ab

∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：ab

2R2R

∴a＝b，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．

ππ

法二：∵acos(A)＝bcos(－B)，22

∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得： 2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)故△ABC为等腰三角形． 变式：在△ABC中，已知（ab

+

22)sin(A－B)＝·（a

—

b)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状

解法一：已知即a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦定理，得

sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B，由0<2∠A<2π，0<2∠B<2π，得2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．

解法二：同上可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得

∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，例4(三角形面积)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π

3.(1)若△ABC3，求a，b；

(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC3，所以

12absinC3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，a＝ 解得2ab＝4，b＝2.a＝23解得

3，b＝33.所以△ABC的面积

S＝1124322absinC23323.综上：△ABC的面积为23

3六 巩固提高

1.△ABC中，a5，b＝3，sinB＝

则符合条件的三角形有(BA.1个

B.2个C.3个

D.0个

答案：B 解析：∵asinB＝

102，∴asinB2.(2010·湖南卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c2a，则(A A．a>bB．a

C．a＝b

D．a与b的大小关系不能确定

答案：A

解析：由正弦定理，得csin120°＝asinA，))

3a261

∴sinA＝＝2a

42∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.3.(2010·泉州模拟)△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(D)A.C.B.D.433或24

或32

答案：D

sinCsinB

解析：∵，13∴sinC＝3·sin30°＝

.2

∴C＝60°或C＝120°.13当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝13＝，2213

当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝13sin30°＝24即△ABC的面积为

.24

4.(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB2，则角A的大小为________．

π

答案：6

解析：∵sinB＋cosB＝2，π

∴sin(B＋)＝1.4π

又0

由正弦定理，知sinAsinAsinB2π

又a

B5.(2010·安徽卷)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sin3π

－B＋sin2B.sin3

(1)求角A的值；

→→(2)若AB·AC＝12，a＝27，求b，c(其中b

解：(1)因为sin2A＝

1B＋sinB

22

3B－1B＋sin2B＝3cos2B－1sin2B＋sin2B3，44422

所以sinA＝.2π

又A为锐角，所以A＝3

→→(2)由AB·AC＝12，可得cbcosA＝12.① π

由(1)知A＝cb＝24.②

由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝7及①代入，得c2＋b2＝52，③ ③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.因此c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根． 解此方程并由c>b知c＝6，b＝4.七，春风再度玉门关-------规律方法总结

1．在△ABC中，a、b分别为A、B的对边．由正弦定理：

ab，再由大角对大边知A＞B⇔a＞bsin Asin B

⇔sin A＞sin B，即三角形中大角的正弦值大．

2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状，常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公式)，得出角的大小或等量关系．

篇3：有关三角形定理的应用

1推广

如图1，已知P为△ABC的AB边上一（内分）点，求证：．

显然，当α=β时，则sinα=sinβ，所以．故该定理是三角形内角平分线定理的推广，而三角形内角平分线定理则是该定理的特例．

2应用

例1△ABC的3个顶点各与一点O连结的直线AO,BO及CO或其延长线交对边BC,CA,AB于X,Y,Z．求证：．（塞瓦Ceva定理）

证明α，β，θ如图2所示，则由推广得

由（1）×（2）×（3），得

例2求证三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．（三角形重心定理）

如图3，已知△ABC 3边的中线AD,BE,CF交于G，求证：GA=2GD,GB=2GE,GC=2GF.

证明α，β如图3所示，则由推广得

将（2）代入（1）即得GA=2GD.

同理可得GB=2GE,GC=2GF.

例3求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则过对角线的交点且垂直于一边的直线必平分其对边．（卜拉美古塔定理Brahmagupta)

证明如图4，设

则由推广得

又在Rt△AHD中，，代入（1）得

而由相交弦定理，得HB·HD=HC·HA，所以BF=FC.

例4如图5，已知四边型AKLC的两组对边的延长线交于点D和G,B为四边形对角线的交点，DB的延长线交KL于F，求证：．（射影几何基本定理）

证明α，β如图5所示，则由推广得

(1）÷（2）得

同理可得

(3）÷（4）得

又由梅涅劳斯定理知

故由（5）和（6）得.

例5以△ABC的AB,AC为边长分别在形外作正方形ABEF、正方形ACGH,AN⊥FH于N，设射线NA交边BC于M．求证：MB=MC.

证明如图6，由推广得

因为∠3+∠1=∠2+∠4=90°，

所以sin∠1=cos∠3,sin∠2=cos∠4．

又在Rt△ANF和Rt△ANH中，

而AB=AF,AC=AH，所以

从而代入（1）中即得MB=MC.

例6（上海市1986年度初中数学竞赛题）在△ABC中，P,Q两点皆在BC边上，满

足∠BAP=∠CAQ．求证：.

证明如图7，记∠BAP=∠CAQ=x，∠PAQ=y，则∠BAQ=∠CAP=x+y．视P为△ABC的BC边上一点，则由推广得

视Q为△ABC的BC边上一点，同样由推广得

(1)(2）两者相乘，即得

综上所述可知，应用三角形内角平分线推广定理证明上述几何题，关键在于根据结论寻找与线段比有关的三角形，然后结合三角、代数运算，通过化简使命题获证．

在平时教学过程中，注意对著名定理及其推广在几何中的应用的研究，符合新课程改革的理念要求，对于发展学生的逻辑思维能力和灵活运用所学基础知识，提高学生解决数学问题的能力大有禆益，为此笔者建议，加强这类专题的研究，很有必要．

参考文献

篇4：三角形内角和定理的应用

一、求三角形中角的度数

例1已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求各内角的度数.

分析：这个比例式是以后学习中经常遇到的.我们知道，三角形的内角和是180°，如果将角的比例式转化为每一个角的度数，问题就可解决.设参数是个好方法.

解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、3x、4x.

根据三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180°.

解得x=20°.

∴∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°.

二、求特殊图形中某些角的度数之和

例2如图1，求五角星的五个顶角的度数之和.

分析：观察图1可发现，∠2=∠B+∠D，∠1=∠E+∠C，这样将五个角的度数集中到一个三角形中.

解： 由三角形内角和定理的推论，得

∠B+∠D=∠2，∠C+∠E=∠1.

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠2+∠1

=180°.

三、确定角与角之间的关系

例3如图2，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，它们交于O点，则∠DOC与∠ABE的关系是（）.

A. 相等 B. 互余C. 互补D. 无法判断

分析：观察图2，∠1+∠2+∠ABE是△ABC内角和的一半，即90°.又∠DOC是△OAC的一个外角，所以∠DOC=∠1+∠2，那么∠DOC+∠ABE=90°.

解： ∵∠DOC=∠1+∠2

=∠BAC+∠BCA

=（180°－∠ABC）

= 90°-∠ABC

=90°-∠ABE，

∴∠DOC+∠ABE=90°， 即两角互余.故应选B.

篇5：全等三角形的判定定理

二、

全等三角形。 教学内容：探索三角形全等的判定（ASA，AAS），以及利用全等三角形证明。 学情分析：学生已经学习全等三角形的概念以及掌握了运用SSS与SAS来证明

教学目标： 三、

1、知识与技能：理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法；

2、过程与方法：经历探索“角边角”、“角角边“判定三角形全等的过程，能运用已学三角形判定方法解决实际问题；

3、情感态度与价值观：培养良好的集合推理意识，发张数学思维，感悟全等三角形的应用价值。

四、教学重、难点：

重点：掌握三角形全等的判定方法――“ASA”、“AAS”

难点：三角形全等判定“ASA”、“AAS”定理的应用。

五、

六、教学用具：电脑课件，三角板，纸片 教学过程：

（一） 创设情境

老师不小心将一个三角形玻璃打碎为两块，想要去商店配一块跟原来一样的三角形玻璃，要带两块去呢还是带一块就行了呢？如果带一块的话，要带那一块呢？

（引导学生思考，第一块不只能画一个三角形，第二块根据两边延伸只能确定一个三角形，所以只需要带第二块）

问：那我们从第二块玻璃可以得到关于三角形的什么信息呢？

学生答：两个角和一条边。

（此时教师应该强调是边是两个角的夹边）

师;那老师是不是可以不带然和一块玻璃，通过测量这两个角和它们的夹边就可以呢？我们根据这些信息买来的新三角形玻璃和原来的是不是就完全一样呢?也就是说，能不能通过“角边角“来判定两个三角形是否全等呢？

（二） 探究新知：

1、师：你们能画出两个内角分别是60°和45°它们的.夹边长是4cm的三角形吗？画完之后剪下来跟同桌比较一下，看有什么样的特点。（同时用几何画板演示）

2、师：这样我们就得到了证明三角形全等的另外一个判定定理，即“有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等”，要注意的是这条边必须是两个角所夹的边，同时要注意这三个元素一定要是对应相等的。

3、给出两个全等三角形规范证明过程；

书写格式：

证明：

在△ABC和△DEF中 （指明范围）

因为 ∠A=∠D

篇6：三角形的内角和定理教案

旧市学校 李姿慧

教学目标

1.知识与技能 ：

⑴掌握三角形内角和定理的证明。

⑵初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力 2.过程与方法 ：

经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。

3.情感态度与价值观：

通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的 积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。

教学重点

三角形内角和定理的证明及其简单的应用。

教学难点

在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线。

教学用具

多媒体、三角板、学生每人准备一个纸片三角板。

教学过程

一、引入新课

分享小故事：《内角三兄弟之争》

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了„„”“为什么？” 老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？从而引出本节课的课题《三角形的内角和定理》

二、合作探究

1、［师］现在，我们来看两个电脑的动画演示，验证这个结论是不是正确的。

动画演示一 ［师］先将△ABC中的∠A通过平移和旋转到如上图所示的位置，再将图中的∠B通过平移到上图所示的位置。

拖动点A，改变△ABC的形状，三角形的三个内角和总等于180°

2.动画演示二

［师］先将三角形纸片(图(1))一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(2))，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合(图(3)(4)。)［师］由电脑的动画演示可知：∠A、∠B、∠C拼成的角总是一个平角，由此得到三角形的三个内角之和等于180°。[让学生直观感受,调动其研究兴趣]

我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明。这就是我们这节课所要研究的内容。

3、定理证明

［师］接下来我们来证明这个命题：三角形的三个内角之和等于180°。这是一个文字命题，证明时需要先做什么呢?

［生］需要先画出图形、根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。[有本章前面几节作为基础，学生有能力画图，写已知，求证。] ［师］很好!怎样证明呢?[ 联想前面撕角拼角的方法，学生能想到。让学生体会转化的数学思想方法，把新知识化为旧知识。] ［生］添加辅助线，延长BC到点D，过点C作CE∥AB，∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，进而将三个内角拼成平角。[通过以上分析、研究，让学生讲解依据：根据平行线的性质，利用同位角,内错角把三角形三内角转化为一个平角。使学生亲身参与数学研究的过程，并在过程中体会数学研究的乐趣。] [实验法] 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB

∵CE∥AB

∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)

∵∠ACE+∠ECD+∠BCA=180°

∴∠A+∠B+∠BCA=180°(等量代换)

[教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。]

4、探究讨论：

五个学生为一组，探索三角形内角和定理的其它证法分析、证明方法。

［师］现在，各组派一名代表说明证明的思路。[学生自己得出的猜想和证明会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。]

证法1.［生1］过点A作直线PQ∥BC，使三个角凑到“A”处。[通过分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。]根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。

证明：过点A作直线PQ∥BC

∵PQ∥BC

∴∠B=∠PAB(两直线平行，内错角相等)

∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)

∵∠PAB+∠QAC+∠BAC=180°

∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)证法2：［生5］过点A作AD∥BC，有∠C=∠2，将三个内角拼成一对同旁内角。

证明：过点A作射线AQ∥BC

∴∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)

∠QAC+∠BAC+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)3 ［师］同学们讨论得真棒。我们由180°联想到一平角等于180°，一对邻补角之和等于180°，两直线平行，同旁内角互补。由此，大家提供了这么多的的证明方法，说明你们能学以致用。接下来，我们做练习以巩固三角形内角和定理。[根据以上几种辅助线的作法，选择一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主完成证明过程。目的是培养学生的思维能力和推理能力。进一步搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法，充分让学生表述自己的观点，这个过程对培养学生的能力极为重要，依据不充分时，学生可争论，师生共同小结。]

三、例题讲解

【例】在△ABC中，∠A=55°，∠B=25°，求∠C的度数。

变式一：∠A=40°，∠B比∠C大30°，求∠B、∠C的度数。

变式二：∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°, 求∠A、∠B、∠C的度数。

[学生自主探索，教师巡视、诊断，让学生上台板演，学生辨析，教师小结。] [使学生灵活应用三角形内角和定理。用代数方法解决几何问题（方程思想）是重要的方法。]

四、随堂练习

1.（苏州·中考）△ABC的内角和为（）

A．180° B．360° C．540° D．720°

2.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______°.3.（济宁·中考）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

五、师生共同小结

本节课你们收获了什么？

六、课外作业

1.教材课后练习1、2、2.学法大视野第三课时 教学反思

三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理。

本节课的教学实现以下特点：

（1）通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求。（2）充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。

篇7：相似三角形的判定定理及练习

(一)相似三角形

1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比.

3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 强调：

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE;

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的

应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”; ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”.

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE.

例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC , 求证：△ABC∽△DEF.

B

E

F

D

A

判定定理2：如果三角形的两组对应边的.比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗?说说你的理由.

例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。 (1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.

强调：

①有平行线时，用预备定理;

②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2;

③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.

2、直角三角形相似的判定：

斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.

例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由

.

例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，

EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC〃NB

强调：

①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似;

②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛.(直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似)

③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD. ④补充射影定理。

(1) 如图：称为“平行线型”的相似三角形

B

C

E

(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

A

E

1

B

DC

B

A

4

D

E

DC

A

B

C

A

EDE

(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

B

C

二、例题分析

1、下列说法不正确的是( )

A、两对应角相等的三角形是相似三角形; B、两对应边成比例的三角形是相似三角形; C、三边对应成比例的三角形是相似三角形; D、以上有两个说法是正确。 A 2、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有( )

D A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 E

3、如图，若P为△ABC的边AB上一点(AB>AC)，则下列条件不一定能保证△

ACP的有( ) A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C

、AC?AP D、PC?AC

ABACBCAB

C

4、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;ADAB

?③;其中正确的有 ( ) AEAC

A、3个 B、2个 C、1个 D、5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F 6、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是

;

7、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。

8、如图四，在平行四边形ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = _________cm

9、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.

C

10、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=

∠BAD

求证：△DBE∽△ABC

11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD A

D

CB

12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。

A

D

E13、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、

CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N. 求证：(1)AE?CG;(2)AN?DN?CN?MN. 14、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB， 求证：AD=BF

B

F

C

15、有一块三角形的土地，它的底边BC=100米，高AH=80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米(即DE=40米)，求这个矩形的面积。

△BBCEECABCD中，?BAD?32和H°，分别以BC、CD为边向外作△DCFF

，使BE?BCDF，DC?EBC，?CDF??.延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF. (1)求证：△ABE≌△FDA.

篇8：有关三角形定理的应用

如图1, 在梯形ABCD中, 点E、F分别在腰AB、CD%上, EF%∥AD, AE:EB=m:n%.求证: (m+n) EF=m BC+n AD。这是九年义务教材初中几何第二册第219页B组的第2题。

现先证明如下:过点A作DC的平行线, 交EF于点G, 交BC于点H.则由题设易知:

, 所以 (m+n) EG=m BH, % (1)

又因为HC=GF=AD, 那么 (m+n) GF= (m+n) HC, (2)

而EF=EG=GF,

所以 (1) + (2) 得 (m+n) EF=m BC+n AD.

如图2, 三角形ABC中任一平行于底边的直线截两腰于点E、F, 若AE:EB=m:n, 则

特别地, 若m=n, 则EF是三角形中位线, .

因此公式 (1) 可以看作是三角形中位线公式的推广, 解决有关问题时, 灵活运用公式 (1) 很方便、快捷。

接下来, 我们以中考试题为例说明这一公式的应用。

例1: (2008年沈阳市中考题) 如图3, 已知梯形ABCD的上底为7, 下底为16, 过AD、BC的各三等分点的连线为MN、PQ, 则长度等于13的线段是 ( )

(A) MN (B) PQ

解:作辅助线DG∥BC, 分别交MN、PQ、AB%于点E、F、G%.因为MD:MA=1:2, 那么由公式 (1) 得, PF=2ME=6.故MN=10, PQ=13, 选 (B) .

例2: (2008年辽宁大连中考题) 如图4, 已知AD%∥EF∥BC, 且AD=15, BC=21, 又EB=2AE, 则EF=.

解:作辅助线AH∥DC, 交EF、BC于点G、H.

因为EB=2AE, 所以AE:EB=1:2.

例3: (2008年江苏省徐州市中考题) 点E、F%分别是梯形ABCD两腰上的点, 且DC∥EF∥BC, 若%DC=12, EF=19, AB=12, 则DE:EA=.

解:如图5, 作辅助线DH∥BC, 交EF、AB于点G、H.

设DE:EA=m:n, 由公式 (1) ,

所以m:n=7:9.

例4: (2006年黑龙江省中考题) 如图6, DC∥AB, AC、BD交于点O, 过O作EF∥AB交AD、%BC于点E、F, 求证:.

解:设DE:EA=m:n, 因为EF∥AB∥DC,

由公式 (1) OE=%OF=m, OF=n%%

综上例题的解题过程可知:注意对三角形中位线推广定理应用的研究, 符合新课程改革关于“让学生的思维活跃起来”的理念要求, 有利于提高学生的专题总结水平和解题速度, 有利于学生在研究总结的过程中, 拓展视野、启迪思维, 有利于学生系统灵活地掌握所学的知识内容, 对于帮助学生理解课本内容, 培养探索精神和创新意识, 提高接替水平和发展思维能力, 均有益处。

摘要：三角形中位线定理揭示了中位线与第三边之间的位置关系与数量关系, 但是在解题过程中往往不能只通过单一的中位线定理来进行解题。本文对三角形中位线定理进行推广, 并结合一些题目予以说明推广定理在中考解题时的应用。熟练掌握三角形中位线推广定理, 能够大大缩短解题时间, 简化解题过程, 使学生在解答该类型题目时能够一目了然。

篇9：三角形内角和定理的应用

一、求角的度数

例1 （2012年广东省深圳市中考题）如图1所示，一个60 °角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）

A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°

分析 根据三角形内角和定理、平角定义可以求得∠1+∠2的度数。

解 如图2，根据三角形内角和定理，得∠3+∠4+60°=180°，

又根据平角定义，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，

所以180°-∠1+180°-∠2+60°=180°。

所以∠1+∠2=240°。故答案选C。

点评 本题考查了三角形内角和定理、平角定义、三角形外角性质。解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件：三角形内角和是180°。

二、判定三角形的形状

例2 （2012年山东省滨州市中考题）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

分析 已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型。

解 三角形的三个内角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形。故答案选D。

点评 本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×=105°>90°。

本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180°，解得x=15°，所以最大角为7×15°=105°。

三、用于解决实际问题

例3 （2012年宁夏回族自治区中考题）如图3，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB= 度。

分析 先求出∠CAB与∠ABC和的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答。

解 连接AB，因为C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，

所以∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°。

又因为三角形内角和是180°，

所以∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°。

故答案填70。

点评 本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出∠CAB与∠ABC和的度数是解答此题的关键。

练习

1.（2012年浙江省嘉兴市中考题）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）

A.40° B.60° C.80° D.90°

2.（2012年内蒙古自治区呼和浩特市中考题）如图4，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 。

参考答案

1.解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°。故答案选A。

2.解：因为三角形ABC的外角∠DAC的角平分线和∠ACF的角平分线交于点E，所以∠EAC=∠DAE，∠ECA=∠ECF。

又因为∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），

所以∠DAC+∠ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠ACB）==113.5°（外角和定理），

所以∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°。

篇10：三角形内角和定理的证明剖析

一、背景分析 1.学习任务分析

《三角形内角和定理的证明》是北师大版八年级下册第六章的第五节。本节课的主要内容是“三角形内角和定理”的证明及其简单应用。

三角形内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。它是对图形进一步认识以及规范证明过程的重要内容之一，也是《证明

（二）》《证明

（三）》中用以研究角的关系的重要方法之一，因此，本节课起着承上启下的作用。而通过添加辅助线，把未知转化为已知，用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础。三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。

2.学生情况分析

三角形内角和定理的内容，学生已经很熟悉，但以前是通过实验得出的，学生可能会认为这是已经学过的知识，因此在学习过程中要向学生说明证明的必要性，在前几节的学习中，学生基本上已经掌握了简单证明的基本方法和步骤，本节课再一次来熟悉证明的过程。而本节课要证明这个结论需要添加适当的辅助线，因而本节课也要渗透这样的思想:添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要手段之一。

二、教学目标分析

对于三角形的内角和定理，我们以前已通过量、折、拼的方法进行了合情推 理并得出了结论，本节课就一起对其进行数学证明。另外，通过前面几节课的学习，学生基本上也掌握了证明的基本步骤和书写格式，学生可以自己书写证明过程。因此，我依据《数学课程标准》，以教材的特点和学生的认知水平为出发点，确定以下三个方面为本节课的教学目标。

（1）知识技能目标：掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，初步学会利用辅助线来证明命题。

（2）过程与方法目标：经历探索“三角形内角和定理”的证明过程，学会与人合作，通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性。

（3）情感与态度目标：通过新颖、有趣的问题，来激发学生的求知欲，使学生乐于学数学，遇到困难不避让，在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

三、课堂结构分析

（一）问题引入→

（二）探究新知→

（三）定理应用→

（四）深化拓展→

（五）小结巩固

本节课首先回顾探索三角形内角和定理的过程，然后让学生动手实践，并对照实践，探求证明方法。方法多种，因此采用小组讨论全班交流的方式，激励学生展开积极的思维活动。通过几个练习再一次巩固了三角形内角和定理，在此基础上，深化拓展，使学生思维达到高潮，使其更进一步得到拓展。最后小结巩固，评价激励。

四、教学媒体设计

由于本节课是由动手操作转化为几何证明，由直观感受转化为逻辑思维，由感性认识到理性认识，因此，本节课所要借助的媒体是三角形卡纸，由剪纸的过 2 程联想到证明方法。

五、教学过程分析

（一）问题引入

三角形的内角和是多少呢？你如何验证这个结论呢？

由于三角形的内角和学生都知道，因此直接开门见山，将一个简单的问题抛给学生，让学生从熟知的问题开始这堂课的学习，能很快的激起学生学习的欲望，尤其是学有困难的学生。并且，从学过的知识引入符合学生的认知规律。

（二）探索新知

1.动手实验

请同学们将事先准备好的三角形卡纸的三个角剪下拼图，使三者顶点重合。你会发现什么？

通过动手操作验证结论，同时也培养学生自主动手解决问题的能力。2.探索交流

下面让学生对照刚才的动手实践，探求证明方法。此环节应留给学生充分的思考、讨论、发现、体验的时间，让学生在交流中互取所长，合作探索，找到证明的切入点，体验成功。对学有困难的学生要多加关注和指导，不放弃任何一个学生，借此增进教师与学有困难学生之间的关系，为继续学习奠定基础。合作探究后，汇报证明方法，注意规范证明格式。

（1）由实验可知：三角形的内角之和正好为1800．但实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明．那么怎样证明呢？

（学生会立即思考，若有困难，可以用下面的问题引导学生。）（2）看到1800你会想到什么? 3 这个问题的提出可以引导学生想到平角，继而利用平角来证明三角形的内角和是1800，也可能有学生会想到两平行线间的同旁内角，当然也可以。

（3）回顾刚才的实验操作，卡纸可以撕下来，可黑板上的三个角不能撕，那么如何把这三个角“搬”在一起呢？

学生通过刚才的动手操作，再加上上面的三个问题基本上已经给学生指明了方向，因此，学生自然而然会想到证明的基本思路是把分散的三个角“搬”到一起，构成一个平角。另有学生可能会想到拼成两平行线间的同旁内角。而作平行线则是“搬”角的基本途径。通过本环节，让学生体会转化的数学思想方法，把新知识转化为旧知识。

（4）分组讨论证明方法

在学生独立思考后，小组内讨论交流。

通过上面的环节，有些学生可能已经有思路了，再通过和同学的交流讨论，互取所长，可能会探究出不同的方法来，将会更完善。另外，刚才没有思路的同学也可以通过本环节向他人借鉴，理出思路来。教师这时候也可以深入到有困难的小组，引导他们解决问题。同时还可以促进师生之间的关系。

（5）全班交流

在小组讨论结束后，全班交流，大家共享。可能的证明方法如下 ：

AEPAQAD12D

BC

BC

BC

图1

图 2

图 3

①如图1，延长BC到D，以点C为顶点，以CA为一边，在△ABC的外部 作∠1=∠A。

②如图1，延长BC到D，过C作CE∥AB。③如图2，过点A作PQ∥BC。

④如图3，过C作CD∥AB，由同旁内角互补可以证明。

学生方法很多，在学生通过观察分析、归纳总结，最后全班交流，使思维达到高潮，由感性认识上升到理性认识。在交流方法的同时，让学生说明理由，培养学生合乎情理的思考和有条理的表达能力。而当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化为已经会解的情况，这是解决问题的常用策略之一。

（6）书写证明过程

根据以上几种方法，选择其中一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主选择其中一种，完成证明过程，培养学生严谨的逻辑思维能力和推理能力。

首先，师生一起画出图形，其次，分析命题的题设和结论写出“已知”、“求证”，把文字语言转化为几何语言，由于有本章前几节作为基础，因此学生有能力做到。最后，作出辅助线，写出规范的证明过程。

3.反思：（1）证明三角形内角和定理的基本思路是什么？

（2）三角形内角和定理的证明是借助于什么获得？平行线是以后几何中常作的辅助线。

（3）添辅助线的技巧：通过平行线把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角，即把未知的转化为已知的去解决。

引导学生进行总结和概括，培养学生的归纳概括能力。

（三）定理应用

1、例1 求证：四边形的内角和等于3600。

三角形内角和定理在这之前也会经常用到，但都是以计算的形式出现。而本题将四边形的内角和问题转化为三角形内角和问题，是三角形内角和定理的直接应用。同时，由三角形的内角和求四边形的内角和，也符合学生的认知规律，满足了学生的求知欲。另外，本命题的证明也需要添加辅助线，让学生体会到学以致用。

2.练习

（1）直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论。

（2）如图，已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=500

两个练习由学生自主完成，上面三个问题都是三角形内角和定理的简单应用，使全体学生特别是学有困难的学生都能够达到基本的学习目标，获得成功感。同时，激发学困生的兴趣。

(四)深化拓展

议一议：证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图（4）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图（5）），“凑”到三角形外一点呢？（如图（6）），你还能想出其他证法吗？

图（4）

图（5）

图（6）

本问题再一次强化学生“抓住根本”的意识，抓住把三个角“搬”到一起，以便利用平角定义这一基本思想。可以把三个角集中到三角形某一顶点;可以把他们集中到某一边上;集中到三角形的内部一点；还可以把它们集中到三角形外部一点。培养学生善于抓住不变的根本，又要善于灵活地在变化中认识、处理和解决问题的能力，同时，拓展了学生的思维。

（五）小结巩固 1.小结

（1）谈内容，谈思想，谈方法

（2）你还有什么收获？你还有哪些疑惑？你还想知道什么？

先让学生谈本节课所学内容，基本思想，各种方法，帮助学生形成总结归纳的好习惯。然后请学生谈谈还有哪些收获，通过学生的反思，感受到自己的成长与进步。请学生谈自己疑惑的地方，能够帮助教师全面的了解学生的学习状况，改进教学，为因材施教提供了重要的依据。最后，请学生们说说还想知道什么，激起学生的求知欲，并为下节课埋下伏笔。

2.读一读

你能想到什么

3.课后作业：（A类必做，B类选做）A类：P241数学理解1、2题

B类：（1）证明：五边形的内角和等于5400；

（2）证明：n边形的内角和等于(n2)1800。

六、教学方法分析

新课程明确倡导动手实践、自主探究、合作交流的学习方式。这就要求教师的角色，应当从过去知识的传授者转变为学生自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者。在本节课的教学方法上采用实验法和启发、诱导法。正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”，学生在已有经验的基础上，要在自己的思考过程中得到进步，加深对知识的理解，就必须在教师的引导下，通过同学间的互相探讨、启发，把课堂上所学的内容完全转化为他们自己的知识。在教学过程中，先让学生动手实践，然后对比撕纸的方法，引导学生独立探索证明的方法，之后分组合作、自主地去探究和发现方法。对定理的证明这一环节，通过一题多解，一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。

七、教学评价分析 1.关于教材的处理：

（1）通过“撕纸”这一实验活动，激发学生兴趣，吸引学生积极参与活动。对于三角形内角和是1800有了直观的感受，为下面的证明做了铺垫。

（2）通过分组讨论，全班交流两个活动，让所有同学都参与进来，各抒己见，互取所长。

（3）通过“深化拓展”这一环节，将问题深化，拓展了学生思维。2.关于课堂评价