导数应用复习

导数应用复习（精选9篇）

篇1：导数应用复习

班级第小组，姓名学号

高二数学导数复习题

8、偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求1．求下列函数的导数：

（1）y(2x23)(x24)（2）yexxlnx

（3）y1x2

sinx

（4）y1234xx2x32、已知f(x)xsinxx

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲线yx过点(4,2)的切线方程。

4、设曲线y

x1

x1

在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，求a的值。

5、函数yx3

3x的单调减区间是

6、已知函数f(x)x3

12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则Mm=。

7、当x[1,2]时，x3

12

x2

2xm恒成立，则实数m的取值范围是。

高二数学下导学案

函数yf(x)的解析式。

9.已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)，若f/(1)0，求函数yf(x)在R上极值。

10、（2007全国I）设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2处取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f(x)c2

成立，求c的取值范围。

11、已知函数f(x)

a3

x3

bx24cx是奇函数，函数f(x)的图像在(1,f(1))处的切线斜率为6，且当x2函数f(x)有极值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的单调区间。

篇2：导数应用复习

一、选择题

1．(2020·山东滨州三模)函数y＝ln

x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线方程为()

A．x＋ey－1＋e＝0

B．x－ey＋1－e＝0

C．x＋ey＝0

D．x－ey＝0

答案　D

解析　因为y＝ln

x，所以y′＝，所以y′|x＝e＝，又当x＝e时，y＝ln

e＝1，所以切线方程为y－1＝(x－e)，整理得x－ey＝0.故选D.2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()

A．1

B．2

C．3

D．4

答案　A

解析　如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.3．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()

A．y＝－2x－1

B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3

D．y＝2x＋1

答案　B

解析　∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，∴所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()

A．0

B．－5

C．－10

D．－37

答案　D

解析　由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0

x＋f′(x)的零点所在的区间是()

A.B．

C．(1,2)

D．(2,3)

答案　B

解析　∵f(x)＝x2－bx＋a，∴二次函数的对称轴为x＝，结合函数的图象可知，0

x＋f′(x)＝aln

x＋2x－b在(0，＋∞)上单调递增．又g＝aln

＋1－b<0，g(1)＝aln

1＋2－b>0，∴函数g(x)的零点所在的区间是.故选B.6．(2020·山东泰安二轮复习质量检测)已知函数f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax只有一个极值点，则实数a的取值范围是()

A．a≤0或a≥

B．a≤0或a≥

C．a≤0

D．a≥0或a≤－

答案　A

解析　f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax，令f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0，故x－aex＋＝0，当a＝0时，f′(x)＝xex，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f′(0)＝0，故函数有唯一极小值点，满足条件；当a≠0时，即＝ex－e－x，设g(x)＝ex－e－x，则g′(x)＝ex＋e－x≥2恒成立，且g′(0)＝2，画出函数g(x)和y＝的图象，如图所示．根据图象知，当≤2，即a<0或a≥时，满足条件．综上所述，a≤0或a≥.故选A.7．(多选)若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是()

A．直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3

B．直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln

x

C．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinx

D．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tanx

答案　ACD

解析　A项，因为y′＝3x2，当x＝0时，y′＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线．当x<0时，y＝x3<0；当x>0时，y＝x3>0，所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确；B项，y′＝，当x＝1时，y′＝1，在P(1,0)处的切线为l：y＝x－1.令h(x)＝x－1－ln

x，则h′(x)＝1－＝(x>0)，当x>1时，h′(x)>0；当0

x，即当x>0时，曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外)，结论错误；C项，y′＝cosx，当x＝0时，y′＝1，在P(0,0)处的切线为l：y＝x，由正弦函数图象可知，曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确；D项，y′＝，当x＝0时，y′＝1，在P(0,0)处的切线为l：y＝x，由正切函数图象可知，曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确．故选ACD.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln

x，且f＝，则()

A．f′＝0

B．f(x)在x＝处取得极大值

C．0

D．f(x)在(0，＋∞)上单调递增

答案　ACD

解析　∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln

x，即满足＝，∵′＝，∴′＝，∴可设＝ln2

x＋b(b为常数)，∴f(x)＝xln2

x＋bx，∵f＝·ln2

＋＝，解得b＝.∴f(x)＝xln2

x＋x，∴f(1)＝，满足0

x＋ln

x＋＝(ln

x＋1)2≥0，且仅有f′＝0，∴B错误，A，D正确．故选ACD.二、填空题

9．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.答案　1

解析　f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)曲线f(x)＝asinx＋2(a∈R)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋2，则a＝________.答案　－1

解析　f(x)＝asinx＋2(a∈R)，则f′(x)＝acosx，故当x＝0时，f′(0)＝a，又函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋2，所以a＝－1.11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20

cm，要使体积最大，则高为________

cm.答案

解析　设高为h

cm，则底面半径r＝

cm，所以体积V＝r2h＝h(400－h2)，则V′＝(400－3h2)．令V′＝(400－3h2)＝0，解得h＝.即当高为

cm时，圆锥的体积最大．

12．(2020·吉林第四次调研测试)若函数f(x)＝mx2－ex＋1(e为自然对数的底数)在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是________．

答案

解析　因为f(x)＝mx2－ex＋1，所以f′(x)＝2mx－ex，又函数f(x)在x＝x1和x＝x2两处取得极值，所以x1，x2是方程2mx－ex＝0的两不等实根，且x2≥2x1，即m＝(x≠0)有两不等实根x1，x2，且x2≥2x1.令h(x)＝(x≠0)，则直线y＝m与曲线h(x)＝有两交点，且交点横坐标满足x2≥2x1，又h′(x)＝＝，由h′(x)＝0，得x＝1，所以，当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)＝在(1，＋∞)上单调递增；

当x<0和0

当x2＝2x1时，由＝，得x1＝ln

2，此时m＝＝，因此，由x2≥2x1，得m≥.三、解答题

13．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．

解(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，则φ′(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

(2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；

②当x＞0时，分离参数a得a≥－，记g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1，则H′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故当x∈(0,2)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；

当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．

因此，g(x)max＝g(2)＝，综上可得，实数a的取值范围是.14．(2020·山东济南6月仿真模拟)已知函数f(x)＝aln

(x＋b)－.(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；

(2)当b>0时，讨论f(x)极值点的个数．

解(1)当a＝1，b＝0时，f(x)＝ln

x－，此时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，由f′(x)>0得04.所以f(x)在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．

所以f(x)max＝f(4)＝2ln

2－2.(2)当b>0时，函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝－＝，①当a≤0时，f′(x)<0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0；

②当a>0时，设h(x)＝－x＋2a－b，(ⅰ)当4a2－4b≤0，即0

时，f′(x)≤0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0；

(ⅱ)当4a2－4b>0，即a>时，令t＝(t≥0)，则h(t)＝－t2＋2at－b，t1＋t2＝2a>0，t1t2＝b>0，所以t1，t2都大于0，即f′(x)在(0，＋∞)上有2个左右异号的零点，所以此时f(x)极值点的个数为2.综上所述，当a≤时，f(x)极值点的个数为0；当a>时，f(x)极值点的个数为2.一、选择题

1．(2020·山东省实验中学4月高考预测)已知函数f(x)＝3x＋2cosx，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是()

A．a

B．cC．b

D．b答案　D

解析　根据题意，函数f(x)＝3x＋2cosx，其导函数f′(x)＝3－2sinx，则有f′(x)＝3－2sinx>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数．又由2＝log24A．有3个极大值点

B．有3个极小值点

C．有1个极大值点和2个极小值点

D．有2个极大值点和1个极小值点

答案　D

解析　结合函数图象可知，当x0，函数y＝g(x)－f(x)单调递增；当ag′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)<0，函数y＝g(x)－f(x)单调递减；当00,函数y＝g(x)－f(x)单调递增；当x>b时，f′(x)>g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)<0，函数y＝g(x)－f(x)单调递减，故函数在x＝a，x＝b处取得极大值，在x＝0处取得极小值．故选D.3．(2020·株洲市第二中学4月模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则()

A．4f(－2)<9f(3)

B．4f(－2)>9f(3)

C．2f(3)>3f(－2)

D．3f(－3)<2f(－2)

答案　A

解析　首先令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，当x>0时，g′(x)>0，g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(x)是偶函数，所以4f(－2)＝g(－2)＝g(2)

A．y＝2x＋1

B．y＝2x＋

C．y＝x＋1

D．y＝x＋

答案　D

解析　设直线l与曲线y＝的切点为(x0，)，x0＞0，函数y＝的导数为y′＝，则直线l的斜率k＝，直线l的方程为y－＝·(x－x0)，即x－2y＋x0＝0.由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，两边平方并整理得5x－4x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.故选D.5．(2020·山东青岛一模)已知函数f(x)＝(e＝2.718为自然对数的底数)，若f(x)的零点为α，极值点为β，则α＋β＝()

A．－1

B．0

C．1

D．2

答案　C

解析　∵f(x)＝∴当x≥0时，令f(x)＝0，即3x－9＝0，解得x＝2；当x<0时，f(x)＝xex<0恒成立，∴f(x)的零点为α＝2.又当x≥0时，f(x)＝3x－9为增函数，故在[0，＋∞)上无极值点；当x<0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(1＋x)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，∴当x＝－1时，f(x)取到极小值，即f(x)的极值点β＝－1，∴α＋β＝2－1＝1.故选C.6．(2020·山西太原高三模拟)点M在曲线G：y＝3ln

x上，过M作x轴的垂线l，设l与曲线y＝交于点N，＝，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为()

A．0

B．1

C．2

D．3

答案　C

解析　设M(t,3ln

t)，则N，所以＝＝，依题意可得ln

t＋＝0，设g(t)＝ln

t＋，则g′(t)＝－＝，当0时，g′(t)>0，则g(t)单调递增，所以g(t)min＝g＝1－ln

3<0，且g＝－2＋>0，g(1)＝>0，所以g(t)＝ln

t＋＝0有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.故选C.7．(多选)(2020·山东济宁邹城市第一中学高三下五模)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b，其中a，b∈R，则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有()

A．a

B．a＝ln

(b2＋1)

C．a＝－3，b2－4≥0

D．a＝－1，b＝1

答案　BD

解析　由题知f′(x)＝3x2＋a.对于A，由f(x)是奇函数，知b＝0，因为a<0，所以f(x)存在两个极值点，由f(0)＝0知，f(x)有三个零点，A错误；对于B，因为b2＋1≥1，所以a≥0，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，则f(x)仅有一个零点，B正确；对于C，若取b＝2，f′(x)＝3x2－3，则f(x)的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，此时f(x)有两个零点，C错误；对于D，f(x)＝x3－x＋1，f′(x)＝3x2－1，易得f(x)的极大值为f＝＋1>0，极小值为f＝－＋1>0，可知f(x)仅有一个零点，D正确．故选BD.8．(多选)(2020·山东省实验中学4月高考预测)关于函数f(x)＝＋ln

x，下列判断正确的是()

A．x＝2是f(x)的极大值点

B．函数y＝f(x)－x有且只有1个零点

C．存在正实数k，使得f(x)>kx成立

D．对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>4

答案　BD

解析　函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数f′(x)＝－＋＝，∴在(0,2)上，f′(x)＜0，函数单调递减，在(2，＋∞)上，f′(x)＞0，函数单调递增，∴x＝2是f(x)的极小值点，故A错误；y＝f(x)－x＝＋ln

x－x，∴y′＝－＋－1＝<0，函数在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)－1＝2＋ln

1－1＝1>0，f(2)－2＝1＋ln

2－2＝ln

2－1<0，∴函数y＝f(x)－x有且只有1个零点，故B正确；若f(x)＞kx，可得k<＋，令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令h(x)＝－4＋x－xln

x，则h′(x)＝－ln

x，∴在(0,1)上，函数h(x)单调递增，在(1，＋∞)上，函数h(x)单调递减，∴h(x)≤h(1)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)＝＋在(0，＋∞)上单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f(x)＞kx恒成立，故C错误；令t∈(0,2)，则2－t∈(0,2)，2＋t＞2，令g(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln

(2＋t)－－ln

(2－t)＝＋ln，则g′(t)＝＋·＝＋＝<0，∴g(t)在(0,2)上单调递减，则g(t)＜g(0)＝0，令x1＝2－t，由f(x1)＝f(x2)，得x2＞2＋t，则x1＋x2＞2－t＋2＋t＝4，当x2≥4时，x1＋x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞4，故D正确．故选BD.二、填空题

9．(2020·山东高考实战演练仿真四)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋f′x2－x，则f′(1)＝________.答案　0

解析　因为f(x)＝x3＋f′x2－x，所以f′(x)＝3x2＋2f′x－1.所以f′＝3×2＋2f′×－1，则f′＝－1，所以f(x)＝x3－x2－x，则f′(x)＝3x2－2x－1，故f′(1)＝0.10．若f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1对x∈R恒成立，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．

答案　10x＋4y－5＝0

解析　∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，①

∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，②

联立①②，得f(x)＝－x3－x＋，则f′(x)＝－x2－1，∴f′(1)＝－－1＝－，又f(1)＝－－1＋＝－，∴切线方程为y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0.11．(2020·广东湛江模拟)若x1，x2是函数f(x)＝x2－7x＋4ln

x的两个极值点，则x1x2＝________，f(x1)＋f(x2)＝________.答案　2　4ln

2－

解析　f′(x)＝2x－7＋＝0⇒2x2－7x＋4＝0⇒x1＋x2＝，x1x2＝2，f(x1)＋f(x2)＝x－7x1＋4ln

x1＋x－7x2＋4ln

x2＝(x1＋x2)2－2x1x2－7(x1＋x2)＋4ln

(x1x2)＝4ln

2－.12．(2020·山东济宁嘉祥县高三考前训练二)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)＝－f(x)(e是自然对数的底数)，且f(0)＝1，若关于x的不等式f(x)－m<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________．

答案(－e,0]

解析　∵f′(x)＝－f(x)，∴[f′(x)＋f(x)]ex＝2x＋3，即[f(x)ex]′＝2x＋3.设f(x)ex＝x2＋3x＋c，∴f(x)＝.∵f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝，∴f′(x)＝＝－.由f′(x)>0，得－2

由f′(x)<0，得x>1或x<－2，∴函数f(x)在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)和(1，＋∞)上单调递减，如图所示．

当x＝－2时，f(x)min＝－e2.又f(－1)＝－e，f(－3)＝e3，且x>0时，f(x)>0，由图象可知，要使不等式f(x)

三、解答题

13．(2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．

(1)求桥AB的长度；

(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)．问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？

解(1)由题意，得|O′A|2＝－×403＋6×40，∴|O′A|＝80.∴|AB|＝|O′A|＋|O′B|＝80＋40＝120.答：桥AB的长度为120米．

(2)设|O′E|＝x，总造价为f(x)万元，|O′O|＝×802＝160，f(x)＝k＋k

＝k(0＜x＜40)，∴f′(x)＝k.令f′(x)＝0，得x＝20(x＝0舍去)．

当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜40时，f′(x)＞0，因此当x＝20时，f(x)取最小值．

答：当O′E＝20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.14.(2020·四川成都石室中学一诊)设函数f(x)＝x－sinx，x∈，g(x)＝＋cosx＋2，m∈R.(1)证明：f(x)≤0；

(2)当x∈时，不等式g(x)≥恒成立，求m的取值范围．

解(1)证明：因为f′(x)＝－cosx在x∈上单调递增，所以f′(x)∈，所以存在唯一x0∈，使得f′(x0)＝0.当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以f(x)max＝max＝0，所以f(x)≤0.(2)因为g′(x)＝－sinx＋m，令h(x)＝－sinx＋m，则h′(x)＝－cosx＋m.当m≥0时，m≤0，由(1)中的结论可知，－sinx≤0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在x∈上单调递减，所以g(x)min＝g＝，满足题意．

当－0，所以存在唯一x1∈，使得h′(x1)＝0.当x∈(0，x1)时，h′(x)<0，g′(x)单调递减；

当x∈时，h′(x)>0，g′(x)单调递增．

而g′(0)＝－m>0，g′＝0，所以存在唯一x2∈，使得g′(x2)＝0.当x∈(0，x2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减．

要使当0≤x≤时，g(x)≥恒成立，即⇒m≥，所以≤m<0.当m≤－，x∈时，h′(x)≤0，所以当x∈时，g′(x)单调递减，又g′＝0，所以g′(x)≥0，所以g(x)在x∈上单调递增，所以g(x)≤g＝，与题意矛盾．

篇3：关于导数应用的复习备考

一、几种类型的解法

1. 求函数的单调性与最值 (极值)

求函数的单调性增减区间的方法是:

例1已知函数f (x) =-x3+6x2+9x+a; (1) 求f (x) 的单调减区间; (2) 若在区间[-2, 2]上最大值为20, 求它在该区间上的最小值。 (05年北京高考)

因为在 (-1, 3) 上f′ (x) >0, 所以f (x) 在[-1, 2]单调递增, 又f (x) 在[-2, 1]上单调递减, 因此f (2) 和f (-1) 分别是在区间[-2, 2]上单调递减, 因此f (2) 和f (-1) 分别是在区间[-2, 2]上的最大值和最小值。

于是22+a=20, 解得a=-2

故f (x) =-x3+6x2+9x-2, f (-1) =-7, f (x) 在区间[-2, 2]上的最小值为-7。

点评:本题由浅显走向深奥, 涉及求导, 分出单调区间, 在区间找最值。

变形题:设x=3是函数f (x) = (x2+ax+b) e3-x (x∈R) 的一个极值点, 求a与b的关系式 (用a表示b) , 并求f (x) 的单调区间。 (06年湖北高考)

(本题涉及可导函数在某一点取极值的条件, 答案:b=-2a-3;当a<-4时, f (x) 在 (-∞, 3]上为减函数, 在[3, -a-1]上为增函数, 在[-a-1, +∞) 上减函数;当a>-4时, f (x) 在 (-∞, -a-1]上为减函数, 在[-a-1, 3]上为增函数, 在[3, +∞) 上减函数。

2. 导数的几何意义

在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度, 就是该点或该时对应的导数, 高考常结合函数f (x) 在x0处的导数f′ (x0) 是曲线y=f (x) 在点 (x0, f (x0) ) 处切线的斜率来考查, 涉及求切线方程、面积等。

例2设t≠0, 点P (t, 0) 是函数f (x) =x3+ax与g (x) =bx2+c的图像的一个公共点, 两函数的图像在P点处有相同的切线, 用t表示a、b、c。 (05年湖南高考)

解:因为函数f (x) 、g (x) 的图象都过点 (t, 0) , 所以f (t) =0, 即t3+at=0, 因为t≠0, 所以a=-t2。

又g (t) =0, 即bt2+c=0, 所以c=ab。

所以3t2+a=2bt, 将a=-t2代入得b=t, 因此c=ab=-t3, 故a=-t2, b=t, c=-t3。

点评:以曲线为载体, 与其它数学分支融合为一体, 运用广泛。

二、2008年高考命题在导数部分趋势及备考建议

导数这一章仍将是2008年高考重点内容之一, 重点将在求导和导数应用, 若与不等式、数列有关, 以及关于离散型变量的计论, 作为解答题多为综合题, 为中档题或以上的难度。若是选择题、填空题多为中档题或以下难度, 涉及求导和导数几何意义、物理意义, 以及导数的定义等知识点的应用。

复习中要深入理解和掌握导数的定义、法则及求导公式, 复合函数的求导法则等方法求导, 掌握利用可导函数判断函数单调性的基本方法, 掌握利用可导函数求函数极值的基本方法, 掌握求和在闭区间连续的函数的最值的基本方法, 要准确理解利用导数定义求导, 区分极值和最值两个概念, 从图象上认识f (x) 与f′ (x) 之间的关系, 会利用导数的几何意义和物理意义, 关键要提高知识熟练程度, 从而加强理解。

篇4：导数及其应用复习指导

（1）导数概念及其几何意义．

（2）常见函数的导数与导数的运算.

（3）导数在研究函数中的应用：①了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．

二、高考分析：

在近几年的高考试题中有关导数应用的试题所占比重越来越大，考查形式也越来越灵活；主观题往往难度较大，以中高档题目为主；借助导数这个载体达到了对函数、方程、不等式、解析几何等多个知识点的综合考查，实现了数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归等多种数学思想的渗透．

近几年导数应用的综合题有以下特点：

１.借助导数研究函数的切线、单调性、极值、最值问题。以三次函数为原型的题目（即化为“三个二次”问题）占有较大比重，含 和 的函数出现频率越来越大。

2、通过构造函数，利用导数研究方程及不等式的综合问题。

3、题目通常含有参数，借助对参数的分类讨论拉开考生差距。

篇5：导数应用复习

【摘要】历届高三同学都有一个共同体会：高三的专项复习见效最快。高考一轮复习正是打基础，逐一击破的阶段。同学们一定要有一颗持之以恒的心，的高三数学一轮复习资料：导数的综合应用，帮助大家有效复习!

考纲要求

1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

3.会利用导数解决某些实际问题.

请点击下载复习资料完整版：

总结：上面的“高三数学一轮复习资料：导数的综合应用”供大家参考，希望网的高考第一轮备考可以给高三的同学们提供最优秀最有效的复习策略，感谢您参考！

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高考备战高三学生寒假学习计划

期末考试结束了，当我们还来不及喜或悲的时候，寒假就要来临了。如果把高三备考比作是一场马拉松比赛，可以说赛事已经进行了2/3。想想在你长跑时既看不到终点，又已经筋疲力尽时，你是什么心情？所以你现在的紧张、彷徨、忧虑是很正常的心理状态，千万别觉得天塌下来了。 寒假了，还是赶紧为自己订个详细的复习计划吧。

A 给高三学生的.八点复习建议

人的一生中有很多事情是我们依靠本人的力量不能实现的，我们也不可能改变所有的事，但高考的成败确是真真切切地把握在你手中。那就是努力就一定有收获。这是多么好的一件事呀。在18岁的时候，我们终于可以做自己的主，选择自己的生活了。

还有，我们并不孤独。和同学三年同窗，甚至更久，在这关键时刻，我们有同样的奋斗目标，还有关心我们的老师和家长的陪伴。这种感觉是无比幸福的，所以真的应该好好珍惜。

说了这么多，希望高三学生能够以愉快的心情迎接寒假的到来。另外，给大家提几点复习建议。

1.每天学习时间最少保持在7-8小时（上课时间包括在内）； 2.学习时间最好固定在上午830-1130，下午1430-1730；晚上1930-2130。既不要睡懒觉，也不要开夜车。

3.制定自己的学习计划，但主要是以保证每科的学习时间为主。例如你数学定的是2个小时，但2小时过后任务还没有完成，建议你赶快根据计划更换到其他的复习科目。千万不要出现计划总是赶不上变化的局面。

4.晚上学习的最后一个小时建议把安排设置为机动，目的是把白天没有解决的问题或没有完成的任务再找补一下。

5.每天至少进行三科的复习，文理分开，擅长/喜欢和厌恶的科目交叉进行。

6.不要前赶或后补作业。记住，完成作业不是目的，根据作业查缺补漏，或翻书再复习一下薄弱环节才是根本。

7.有自己解决不了的问题，千万不要死抠或置之不理，打电话请教一下老师或同学吧！

篇6：导数应用复习

解答下列各题。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

1、设a0，求函数f(x)

全解P2472、已知函数f(x)x

实验班P

53xxln(xa)(x(0,))的单调区间。2xa(2lnx),a0，讨论f(x)的单调性。

3、已知函数f(x)(xk)ek。2

（1）求f(x)的单调区间。

（2）若x(0,),f(x)

实验班P53

篇7：函数与导数二轮复习（共）

[考点分析预测]

考点一基本函数的图象与性质

考点二 分段函数与复合函数

考点三抽象函数与函数性质

考点四 函数图象及其应用

考点五 导数的概念与意义

考点六 利用导数研究函数性质

考点七函数与导数的综合应用

整体来看，考查的热点集中在三个方面。热点之一是考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数及函数图象；热点之二是利用函数、方程、不等式的相互关系，对具体问题具体分析，最终解决问题。热点之三是利用导数研究函数的性质，及函数与导数的综合应用

[考点透视]

函数是高中数学的重要内容，函数的观点和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题及其他问题。导数是分析和解决函数问题的便利的、必不可少的工具。纵观近几年的高考试题，函数与导数知识占有极其重要的地位，不仅形式多样,而且知识覆盖面广、综合性强、灵活性高，突出考查学生方程与函数、联系与转化、分类与讨论、数形结合等重要的数学思想、能力，是高考考查数学思想、数学方法、基础素质与综合能力的主阵地。

“函数与导数”的考查(文科)呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以多项式函数、尤其是三次函数为主要载体，考查的导数的几何意义与导数的应用；（4）解答题的重点仍将围绕二次函数及三次函数展开，考查三个“二次”问题、利用导数研究函数的单调性、极（最）值与解决与方程及不等式相关的综合问题等。解答题也可能在简单的指数、对数复合函数及应用题上设计试题。

“函数与导数”的考查（理科）呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以分式型函数、三次函数、“杂合型”函数为主要载体，考查函数的极限、导数的概念与几何意义、导数的应用；（4）解答题的考查重点是利用导数研究非初等函数的单调性、极值与最值、解决与方程及不等式相关的综合问题，压轴题中可能设计此部分与数列、三角、解析几何等知识的综合题来拔高难度；（5）三个“二次”的问题渗透在各类问题中进行综合、灵活考查。

备考指导

1．抓住两条主线，构建函数知识体系

一是“基本函数的图象及其性质”，要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等一些常见函数的图象性质，归纳提炼函数性质的应用规律。二是函数的概念与基本性质，熟练掌握函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数等基本求法与解题步骤，并会灵活应用。

2．依托基础知识，强化思想方法训练

函数是考查“数形结合”思想的重要载体，要熟练掌握基本函数的图象和性质，分析掌握基本函数图象间的关系。在此基础上，理解掌握常见的平移、对称变换方法，强化“由式到图”和“由图到式”的转化训练。原函数与反函数，原函数与导函数图象之间的关系常被设计成考点，要注意重点掌握。函数与方程思想是本章复习的另一个重点，要善于转化命题，引进变量建立函数，运用变量的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力。此外，分类讨论思想、特殊化思想、转化与化归思想等都应在复习中多加体悟与应用。

3．加强纵横联系，强化综合应用意识

篇8：导数应用复习

1洗课前教学过程简述

1.1复习引入

教师:导数是同学们在研究函数问题时特别喜欢使用的工具, 那么, 导数的应用有哪些呢?

学生: (1) 切线问题; (2) 单调性; (3) 极值; (4) 最值等.

1.2课前诊断

教师与学生共同解决课前诊断 (以问答式进行, 教学意图:通过小题覆盖知识点和注意点) .

诊断1函数f (x) =x3+ax在 (1, 2) 处的切线方程为______.

变式f (x) =x3+x过点P (1, 2) 的切线方程是______.

师点评:注“以P为切点”和“过P的切线”的区别.

诊断2求f (x) =ln x-2x的单调增区间______.

师点评:导数法研究函数单调性的步骤: (1) 先求定义域; (2) 令f′ (x) >0得增区间 (无需令f′ (x) ≥0) .

变式1已知函数f (x) =mx2+ln x-2x在定义域内是增函数, 则实数m的范围是______.

师点评:对f′ (x) ≥0对x>0恒成立.强调导函数在一些孤立的点处可取0.

变式2若函数没有极值点, 但f′ (x) 存在零点, 求a的值.

师点评:f (x) 可导, f′ (x0) =0是f (x) 在x0处取极值的必要不充分条件.

1.3例题探究

例1已知f (x) =x3-3x, 过A (1, m) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 则m的取值范围是______.

评:本题是导数对切线问题与函数性质研究的综合应用.

例2设a>0, 函数若对∀x1, x2∈[1, e], 都有f (x1) ≥g (x2) 成立, 求a的取值范围是______.

学生法1:f (x1) min≥g (x2) max, 在求f (x1) min时对a分情况讨论, 再对3种情况进行整合.

师点评:利用图像把问题转化为最值问题, 而f (x1) min通过分类将问题分解.这个问题难在对两个变量恒成立, 对一个变量恒成立问题我们比较熟悉, 那么这个问题能不能分步来解决呢?

师给出解法2:先将x1看做常量, 对∀x2∈[1, e], 都有f (x1) ≥g (x2) 成立, 得

f (x1) ≥g (x2) max=e-1,

即∀x2∈[1, e], x1+a2x1≥e-1.

变量分离得

a2≥-x21+ (e-1) x1,

而y=-x21+ (e-1) x1≤e-2.

2教后调查讨论

2.1教者教后感

本节课虽基本达到自己的预期, 但是总觉得缺点什么, 为什么课前做了精心设计, 几乎把课上要讲的每句话都备到了, 但课堂效果却不太理想, 发现课堂气氛有点沉闷, 学生与我配合不够默契, 我觉讲得挺累的.

2.2了解学生感受

老师讲的我们都能听得懂, 有的我们早就知道了, 有的我们还来不及再深入思考, 又到下一个问题了.而且思维跳跃太大, 从切线问题到单调性问题又到切线问题, 我们学起来有点乱.

2.3讨论产生共识

1) 教学案一般都分为课前诊断, 例题讲解这两个模块, 上课要不要一定按照这个顺序讲解.有时注重了形式, 使教学过程反而由简单变复杂, 知识与思想显得支离破碎, 造成了二轮复习课堂应有的专题味道的缺失.

2) 通过课前诊断及变式强调的那些注意点是想象中的学生在一轮复习中曾经存在过的问题, 现在还是不是学生共性的问题?有没有必要全都拿出来再强调?往往教师没有重点地强调得越多, 强调就越失去它的针对性.正因为太注重预设, 忽视了生成, 所以这节课课堂效果却不太理想.

3) 完整的上课, 应当是一个综合流程, 包括课前准备、课堂达成、课后反思.这节课因为教师准备与占有得太“充足”, 预设与预期得太“美满”.以致教学内容显得太多, 教师投入太高, 但学生参与如何呢?效果如何呢?能否这样说, “富态”的教也是一种浪费, 非但消耗了大量资源 (包括教师的劳动) , 而且还给学生的自主学习造成心理威压和空间侵占.教学的设计, 都要“量力而行”, 要为“学得” (而非“教得”) 着想, 要忍痛割爱, 重新“洗课”.

“淘尽黄沙始见金”, 洗课提炼的是质———课的含金量;洗课过滤的是量———课的掺水量.通过和教者的共同研究, 重新设计, 让这节课“瘦”下来, 并在另一个班级再重新上了这节课.

3洗课后教学过程简述

自主学习模块1:切线问题

(1) 函数f (x) =x2+ax在 (1, 2) 处的切线方程为_____.

(2) 函数f (x) =x3+x平行于直线y=2x+b的切线方程是_____.

(3) 函数f (x) =x3+x过点P (1, 2) 的切线方程是_____.

思考:请同学们比较一下上面的问题的区别, 研究切线问题的关键是什么?

教师引导:根据导数的几何意义, 切线问题关键抓住切点.

教学意图:通过 (1) (2) (3) 学生的自主练习, 教师不断巡视, 对学生的自主学习即时监控, 发现问题做个别辅导和提示.可以让学生对处理切线问题的思想与方法的内化与深化, 其中让学生对“在点”和“过点”的解题体验, 增强思维辨析能力.

拓展练习:已知f (x) =x3-3x, 过A (1, m) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 则m的取值范围是_____.

学生板演, 老师点评, 引导学生总结解题的思想与方法.

教学意图:通过在学生“最近发展区”进行拓展的设计, 从不同的角度揭示利用导数研究切线问题的本质, 让学生在变化的问题中, 寻找规律, 既培养学生思维的发散性、深刻性, 也培养学生分析问题和解决问题的能力, 使学生视野更宽广, 思维更活跃.

自主学习模块2:导数在研究函数单调性及极值中的应用

(1) 求f (x) =ln x-2x的单调增区间_____, 最大值为_____.

(2) 已知函数f (x) =mx2+ln x-2x在定义域内是增函数, 则实数m的范围是_____.

思考:在用导数法来研究函数函数、单调性及极值时, 有哪些要点?

教学意图:通过 (1) (2) 学生的自主练习, 教师不断巡视, 对学生的易错处 (如函数的定义域等) 即时监控, 发现问题做个别辅导和提示.可以让学生对处理函数单调性及极值的思想与方法的内化与深化, 其中让学生对在易错处的犯错体验, 增强自我批判能力.

自主学习模块3:开放设计能力提升

引导思考: (1) 题目中“∀x1, x2∈[1, e], 都有f (x1) ≥g (x2) 成立”, 如何理解?如何解决?

(2) 结合我们以前遇到的一些题, 你能用其它类似的数学符号语言来改编这一“对∀x1, x2∈[1, e], 都有f (x1) ≥g (x2) 成立”条件吗?

此问题设计较为开放, 学生的思维异常活跃, 问题的答案也精彩纷呈.学生除了回答了给出的问题, 还编制了多种问题, 并给出了解题思路及加以辨析.

自编问题1:∃x1, x2∈[1, e], 使得f (x1) ≥g (x2) 成立;

自编问题2:∀x1∈[1, e], ∃x2∈[1, e]使得f (x1) ≥g (x2) 成立;

自编问题3:∃x1∈[1, e], ∀x2∈[1, e]使得f (x1) ≥g (x2) 成立;

自编问题4:∀x1∈[1, e], ∃x2∈[1, e]使得f (x1) =g (x2) 成立;

自编问题5:∃x1∈[1, e], ∀x2∈[1, e]使得f (x1) =g (x2) 成立;

自编问题6:∀x∈[1, e], 都有f (x) ≥g (x) 成立;

自编问题7:∃x∈[1, e], 都有f (x) ≥g (x) 成立.

教学意图:从学生的实际出发将例题的内容、结构、呈现方式等进行再加工, 引导学生设计开放类问题, 多角度去分析、解决问题, 不仅有利于学生掌握所学知识 (如不等式或等式恒成立或存在性问题的处理) , 也有助于培养学生良好的思维品质和创新精神.

教后感:通过对课一番洗礼, 采用了对“自主学习”与“教师引导”合理搭配, 使其互为主导, 相互续接, 和谐发展, 这样上课老师感觉不那么啰嗦了, 学生也感觉收获挺多, 喜欢这种课, 而且整节课也更有专题的味道了.

4洗课实践的思考

1) 提高课堂教学的有效性是每一位教师永无止境的追求, 教学行为是一种有明确目的的认知活动, 有效教学是教师达成教学目的和满足学生发展需要的教学行为, 它是教学的社会价值和个体价值的双重体现.人教社章建跃博士指出教好数学的三个重要环节:一是理解数学, 老师首先要下水做题, 这样才能帮助学生跳出题海, 要研究考纲, 通过对教学案、课本、高考题的整合完成对每一节课的预设, 让每节课都有落实的核心内容;二是理解学生, 讲学生需要的, 有的放矢, 关注课堂生成, 那是教学中最鲜活的内容, 对提高学生解题的独立性, 创造性是很有帮助的;三是理解教学, 预设和生成其实并不矛盾, 详细地预设并不是坏事, 它可以帮助老师机智地发现意外的通道和美丽的图景, 但一成不变的把它搬到课堂上, 就算再好的预设, 不研究学生, 教师也会变成留声机.一定要留给时间让学生互动, 留给空间让学生思考, 留给机会让学生表达.

2) 什么样的课才算好课?这是一线教师心中永远的“结”.当我们把好课的标准设定在“多多益善”和“以腴为美”上, 教学所要做的事只能是加法以至乘法.盛宴之后何以会落得消化不良 (需要补课) .江苏省教育科学研究院杨九俊先生告诫教师要学会“洗课”, 就像洗菜去除泥沙、淘米去除杂质一样, 减少课堂的“冗余”.洗课, 不是要搞课堂颠覆, 而是要把教学规则中被忽视、被遗忘的减法和除法找回.该浓则浓、须淡则淡、能简不繁、当艳不让, 只有这样, 审美才是健全的, 教学才能臻于“完美”.

篇9：高考导数与微分复习要点

导数在研究函数的性态中有着广泛的应用，关键是它能使许多用初等方法研究非常困难的函数题变得较为容易，这已使之成为当今高考的一个新兴热点，考查题型涵盖选择、填空和解答题，应引起广大备考师生的足够重视。

1 高考大纲（理科数学）的要求

考试内容：导数的概念；导数的几何意义；几种常见函数的导数；两个函数的和、差、积、商的导数；复合函数的导数；基本导数公式；利用导数研究函数的单调性和极值；函数的最大值和最小值。

考试要求：1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。2）熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3）理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

2 高考试题解析