曼昆 微观经济学 第六版 第八章答案

曼昆 微观经济学 第六版 第八章答案（精选2篇）

篇1：曼昆 微观经济学 第六版 第八章答案

曼昆《经济学原理》第6版 微观经济学分册 第8章 课后习题答案P172-P174

第八章 应用：赋税的代价

复习题

1．当对一种物品征税时，消费者和生产者剩余会发生什么变动? 与税收收入相比较，消费者剩余和生产者剩余如何变动?解释原因。

答：当对一种物品征税时，消费者和生产者剩余都会减少。消费者剩余和生产者剩余的减少大于税收收入的增加。税收扭曲了消费者和生产者的激励，引起市场配置资源时的无效率。

2．画出有物品销售税的供求图。在图上标注无谓损失，标明税收收入。

答：如P163图8－3所示，对一种物品征税减少了消费者剩余(面积B+C表示减少量)和生产者剩余(面积D+E表示减少量)。生产者和消费者剩余的减少大于税收收入(用面积B+D表示)，税收引起了无谓损失(用面积C+E表示)。

3．供给与需求弹性如何影响税收的无谓损失?为什么有这种影响? 答：供给与需求曲线的弹性越大，税收的无谓损失越大；供给与需求曲线的弹性越小，税收的无谓损失越小。因为供给和需求弹性衡量买者和卖者对价格变动的反应程度，决定了税收扭曲会使市场结果有多大变动。

4．当税收增加时，无谓损失和税收收入有什么变动? 答：当税收增加时，无谓损失增加，并且无谓损失的增加要快于税收规模的增加。税收增加时，税收收入先增加，然后随着税收规模越来越大，市场收缩非常之大，以至于税收收入开始减少。

问题与应用

1．比萨饼市场的特征是需求曲线向右下方倾斜，供给曲线向右上方倾斜。

A．画出竞争市场均衡图。标出价格、数量、消费者剩余和生产者剩余。存在无谓损失吗？解释原因。

答：没有无谓损失。自由竞争市场使供给与需求达到均衡点，在均衡状态下，总剩余达到最大，如图8－2。

图8－2 比萨饼市场均衡图

B．假设政府令每个比萨饼店每卖出一个比萨饼交纳1美元税。说明这种比萨饼税的影响，确定并标出消费者剩余、生产者剩余、政府收入以及无谓损失。每块面积与税前相比有何变动? 答：这种比萨饼税使卖者得到的价格降低，买者支付的价格增加，销售量从Q1减少到Q2。消费者剩余由税收前的面积A+B+E 减少为税收后的面积A；生产者剩余由税收前的面积C+D+F 减少为税收后的面积D。税收收入为面积B+C。无谓损失为面积E+F。税收前没有税收收人和无谓损失(见图8－3)。

曼昆《经济学原理》第6版 微观经济学分册 第8章 课后习题答案P172-P174

图8－3 有税收时的均衡图

C．如果取消税收，比萨饼的买和卖者的状况变好，但政府会失去税收收入。假设消费者和生产者自愿把他们的部分收入给予政府。各方（包括政府）的状况能比有税收时更好吗？用你的图上所标出的面积做出解释。

答：如果取消税收，消费者和生产者自愿把收入交给政府，他们对市场的需求和供给就不会改变，市场仍处于原有的均衡状态。虽然买者实际支付的价格上升了，卖者实际得到的价格下降了，但是销售量不变。买者和卖者所得减少的部分都交给了政府，不存在无谓损失。各方的状况比有税收时好。如图8－3 所示，如果比萨饼的生产者交给政府的收入是面积C，消费者交的收入是面积B，此时的销售量仍是Q，生产者剩余是面积D+F，消费者剩余是A+E，没有无谓损失。

2．评价以下两句话。你同意吗？为什么? A．“一种没有无谓损失的税收不能增加任何政府收入。”

答：不同意。有些税收不会产生无谓损失，只会增加政府收入。例如庇古税，它是用于纠正负外部性的税收。征收庇古税使资源配置接近于社会最优，既增加了政府收入，又提高了经济福利。B．“不能为政府筹集收入的税收也不会有任何无谓损失。”

答：不同意。除极个别情况外，税收都会引起市场规模的缩小，造成无谓损失。如果政府对某种物品的销售额全额征税，这个市场的需求和供给就会变为零，此时政府没有税收收入，但却带来极大的无谓损失，这个市场的买者和卖者无法进行互利的贸易了。3．考虑橡皮筋市场。

A．如果这个市场供给非常富有弹性，而需求非常缺乏弹性，橡皮筋的税收负担将如何在消费者和生产者之间分摊？运用消费者剩余和生产者剩余工具来回答。

答：橡皮筋的税将会更多的落在消费者一方。假设这个市场的供给弹性为无限大，市场交易中就只有消费者剩余，即总剩余=消费者剩余。而税收是政府从总剩余中取走的一块，因此，此时只有消费者承担税负。

B．如果这个市场供给非常缺乏弹性，而需求非常富有弹性，橡皮筋的税收负担将如何在消费者和生产者之间分摊？把你的这个答案和A的答案进行对比。

答：橡皮筋的税将更多地落在生产者头上。假设橡皮筋的需求弹性为无限大，需求曲线是一条直线，市场上只有生产者剩余，即总剩余+生产者剩余。当税收使总剩余减少时，只能是生产者剩余减少，即生产者完全承担税负。4．假设政府征收燃油税。

A．这种税的无谓损失是在征税后第一年大，还是第五年大？解释原因。

答：这种税的无谓损失在征税后第五年大。在短期内，虽然税收使油价上涨，但人们不容易大幅度改变对燃料油的需求和供给，即供求弹性小；而在长期内，人们可以通过改装锅炉、改进燃油技术等大幅度减少对燃料油的需求，也可以通过关闭一些油田、油厂来大量减少油料供给，即供求弹性大。这样，一年后的燃料油的需求和供给弹性小于五年后的弹性。弹性越大，税收对市场的扭曲越大，引起的无谓损失越大。因此，在征税后第五年 2 曼昆《经济学原理》第6版 微观经济学分册 第8章 课后习题答案P172-P174 的无谓损失大于第一年的。

B．从这种税中得到的收入是在征税后第一年多，还是第五年多？解释原因。

答：从这种税中得到的收入在征税后第一年大。如第一问所述，短期内，市场规模不会有太大改变。而在长期内，由于税收扭曲了激励，人们有时间减少需求和供给，使市场规模大大缩小。政府所能得到的税收也会随着市场规模缩小而减少。所以，第一年的税收收入多。

5．有一天上完经济学课以后，你的朋友建议，对食物征税是增加收入的一个好方法，因为食物的需求是完全无弹性的。从什么意义上说，对食物征税是增加税收收入的“好”方法。在什么意义上说，这并不是增加税收收入的“好”方法。

答：因为食物的需求是完全无弹性的，对食物征税是增加税收的“好”方法，因为不引起过多的无谓损失。但从平等角度看，由于穷人要将收入中的大部分用于食物支出，因此对食物征税对他们的影响比对富人的影响大。

6．前纽约州参议员Daniel Patrick Moynihan曾以提出一个法案，该法案要对某种空心弹征收10000％的税。

A．你认为这种税能筹集到大量税收收入吗？为什么? 答：因为税率过高，生产者和消费者都没有剩余可言，市场规模会缩小为零，所以不能筹集到大量税收收人。

B．如果说这种税不能筹集到税收收入，Moynihan议员为什么还要提议征收这种税呢?? 答：Moynihan议员提出这种税应该是想减少甚至消除这种空心弹的使用。这种税可以达到这一目的。

7．政府对购买袜子征税。

A．说明这种税对袜子市场均衡价格和均衡数量的影响。确定在征税前后的以下面积：消费者总支出，生产者总收益和政府税收收入。

答：如图8－4，政府对袜子征税，会使袜子市场的均衡价格从P0上升到P1，均衡数量从Q0下降到Q1。税收前，消费者总支出是面积P0EQ0，生产者总收益是面积P0EQO。税收后，消费者总支出是面积P1OQ1H，生产者总收益是面积P2OQ1G，政府税收收入是面积P1HGP2。

图8－4 袜子市场均衡图

B．生产者得到的价格上升了还是下降了？你能判断出生产者的总收益是增加了还是减少了吗？解释原因。

答：生产者得到的价格下降了。生产者的总收益减少了。因为生产者得到的价格下降，销售量也下降。生产者总收益＝生产者得到的价格×销量，就会下降。

C．消费者支付的价格上升了还是下降了？你能判断出消费者的总支出增加了还是减少了？详细解释。（提示：考虑弹性。）如果消费者总支出减少了，消费者剩余增加了吗？解释原因。

曼昆《经济学原理》第6版 微观经济学分册 第8章 课后习题答案P172-P174 答：消费者支付的价格上升。

消费者的总支出与需求弹性有关：如果袜子的需求富有弹性，税收会使袜子价格上升的幅度小于销售量下降的幅度，消费者的总支出下降。如果袜子的需求缺乏弹性，税收会使袜子价格上升的幅度会大于销量下降的幅度，消费者的总支出上升。

如果消费者的总支出减少了，消费者剩余不会增加。因为，税收使袜子价格上升，一部分消费者退出市场交易。这些消费者的需求无法实现，减少了一部分消费者剩余。而且，仍留在市场中的消费者由于支付的价格上升，消费者剩余也会减少。

8．假设政府现在通过对每件小器具征收0．01美元的税而筹集了1亿美元的税收收入，又通过对每件小配件征收0．1美元的税筹集了另外的1亿美元的税收收入。如果政府对小器具的税率翻一番，而取消对小配件的征税，政府的税收收入比现在多了、少了，还是相同呢？解释原因。

答：政府的税收收入比现在少了。扩大对某种物品的税收，会进一步缩小该种物品的市场规模。对每件小器具征收0．01 美元的税会增加1 亿美元税收收入，可以求出小器具的销量是100 亿件(1÷0.01=100)。如果税收翻一番，达到0．02 美元每件，市场销量就会减少，达不到100 亿件。因为税收越高，对市场激励的扭曲越严重，市场规模会缩小。所以，政府此时的税收收入达不到2 亿美元了。

9．本章分析了对物品征税的福利影响。现在考虑相反的政策。假定政府补贴一种物品：每销售一单位该物品，政府向买者支付2美元。该补贴如何影响消费者剩余、生产者剩余、税收收入和总剩余？补贴会引起无谓损失吗？解释原因。

答：政府向买者支付的补贴使消费者剩余增加，生产者剩余不变，因为补贴降低了买者的价格，消费者购买意愿会增加，市场销量增加，从而政府税收收入增加，总剩余增加。补贴也会引起无谓损失。因为当补贴的对象是消费者不是生产者时，这种产品的市场规模会超出最优规模，使更多的资源集中用于生产这种物品，造成资源的无效配置。10．小镇的旅馆房间价格为每天每间100美元，一般每天租出去1000个房间。

A．为了增加收入，市长决定对旅馆每个租出去的房间收取10美元的税。在征税之后，旅馆房间的价格上 升到108美元，租出去的房间减少为900间。计算这种税为小镇筹集到多少收入，以及税收的无谓损失。

答：对每间租出去的房子征收10 美元的税的影响如图8－5所示。税收收入用图中的A+B 表示，即10×900=9000 美元。征税带来的无谓损失用图中的C+D 表示，即1/2×10×100=500 美元。

图8－5征税带来的无谓损失 图8－6对每间租出去的房子征收20美元的影响 B．市长现在把税收翻一番，即增加到20美元。价格上升到116美元，租出去的房间减少为800间。计算税收增加后的税收收入和无谓损失。税收收入和无谓损失是原来的两倍、4 曼昆《经济学原理》第6版 微观经济学分册 第8章 课后习题答案P172-P174 大于两倍，还是小于两倍？解释原因。

答：对每间租出去的房子征收20 美元的税的影响如图8－6所示。税收收入用图中的A+B 表示，即20×800=16000 美元。征税带来的无谓损失用图中的C+D 表示，即0.5×20×200=2000 美元。

由此可见，当税收翻一番时，税收收入增加小于原来的两倍，无谓损失大于原来的两倍。11．假设某个市场可由以下供给和需求的方程来描述：

Q=2P S QD=300-P A．求解均衡价格和均衡数量。

答：均衡价格＝100，均衡数量＝200。

B．假设对买者征收税收T，因此，新的需求方程式是：

Q=300-(P+T)求解新的均衡。卖者得到的价格、买者支付的价格和销售量会发生什么变动? 答：Q= Q,2P=300-(P+T), 两边各加一个P，3P=300-T，P=100-T/3,这是卖者得到的价格。买者得到的价格=卖者得到的价格+T=100+2T/3。销售量Q=2P=2*SD , D（100-T/3）=200-2T/3。

C．税收收入是T×Q。用你对问题B的答案求解作为T的函数的税收收入。画出T在00—300之间时这种关系的图形。

2答：税收收入=T×(200—2T／3)=200T－2T／3

图8－7 作为T函数的税收收入

D．税收的无谓损失是供给曲线和需求曲线之间三角形的面积。你还记得，三角形面积是：1/2×底×高，以此求解作为T函数的无谓损失。画出T 为0—300时这种关系的图形。（提示：从各个边看，无谓损失三角形的底是T，高是有税收时销售量与无税收时销售量之差。）

答：如图8－8所示，三角区域的面积表示无谓损失，三角形面积的计算公式为：1/2×底×高，底就是价格的变化，即税收的规模（T），高为减少的数量值（2T/3）。所以无谓损失＝（200－200+2T/3）×T/2＝T2/3，其范围在0（当T=0 时）与45,000（当T=300 时）之间。如图8－9所示。

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图8－8作为T函数的无谓损失 图8－9 作为T函数的无谓损失

E．现在政府对这种物品每单位征收200美元的税。这是一种好政策吗？为什么？你能提出更好的政策吗? 答：对这种物品每单位征收200 美元的税不是一种好政策。每单位税收为150 美元时，政府税收收入最高，且减少了无谓损失。再提高税收反而会减少税收收入。我建议每单位征收150 美元的税。

篇2：曼昆 微观经济学 第六版 第八章答案

一、向量的相关概念 1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作 7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行 10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作 注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算 1．向量的加减法(1).向量的加法 ①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律： 1°.交换律： 2°.结合律： 注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法 ①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作 ②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量 2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律： ①． 结合律：.②． 分配律：.(3).性质 ①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于 唯一的实数，使 ③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数 称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而

三、空间直角坐标系 解：由于，故

1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系 2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；； ；； ；； ； 4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标： 注：1°.面上点的坐标：； 2°.轴上点的坐标：； 面上点的坐标：； 轴上点的坐标：； 面上点的坐标：.z轴上点的坐标：

四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行： 注：1°.若，则 2.若，则 例2.已知，求线性方程组的解向量 解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得： 例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标 注：线段AB中点坐标公式

五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离： 推导：因为，所以 例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有 ； ；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量 解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.； 2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有 于是，，由此可得 例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有 由题可知，故，于是，故点A的坐 标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或 注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质： ①．.②． 例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在 解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积

一、两向量的数量积 1．常力沿直线所作的功： 2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作 注：1°.2°..3°..(2).运算规律 ①．交换律：.(由定义可知)②．分配律： ③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则 4.两非零向量夹角余弦的坐标公式： 例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即

例2.已知三点、和，求 解：由题可得，于是，故 例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为 解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积 1.力对支点的力矩： 模：； 方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律 ①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算 解：.例6.已知三角形ABC的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积 解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向 符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程

一、曲面方程的相关概念 1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状 例1.建立球心在点、半径为R的球面方程 解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得 例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得 例3.方程表示怎样的曲面？ 解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面 1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程： 曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁 推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有 注：1°.曲线C：绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程 ①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角 ②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中 推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得 注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中 2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程 ①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双 叶双曲面 ②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)

三、柱面 1.柱面的定义： 称由直线L沿定曲线C平行于定直线l移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y轴，准线为坐标面上的直线 四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面： 5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面： 7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面： §8.4空间曲线及其方程

一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程 1.一般式(面交式)方程： 例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交 线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程 解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为

三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面 2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影 3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为 2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为 例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z得 投影柱面方程：，于是所求投影方程为 例3.求由上半球面和锥面 所围成的立体在坐标面上的投影 解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线 影为圆域： §8.5平间及其方程

一、平面的点法式方程 1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量 2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面 推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程 解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程 解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程 1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为 2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程 解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程 解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程

三、两平面的夹角及点到平面的距离 得 1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角

为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为 推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于 于是，又点在平面 上，故有，从而 例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为 例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有； 由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得 另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线：称空间两平面

1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程 1.一般(面交式)方程： 2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零 2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线 3°.若，则直线L的方程为，即平面与 交线，过点且平行z轴 3.参数方程： 注：一般式对称式参数式 例1.用对称式方程以及参数方程表示直线

解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点 再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设 的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故