邹忌复习要点

邹忌复习要点（精选6篇）

篇1：邹忌复习要点

《邹忌讽齐王纳谏》复习教案

总课时数： 授课时间： 教学目标：

准确默写文言名句 识记文中重点词语的含义

理解常见文言词语在文中的基本用法 理解常见的文言句式 理解并翻译文中的句子

教学重点：同上 教学难点：

对梳理的知识点进行运用 教学方法：自主梳理 教师总结 讲授 高考动向：文言文阅读

一、重点词语解释

1、邹忌修八尺有余（修：长，这里指身高）

2、徐公何能及君也（及：比得上）

3、期年之后，虽欲言，无可进者（期：满；虽：即使）

二、通假字

1、邹忌修八尺有余（有通“又”）

2、明日，徐公来，孰视之（孰通“熟”）

三、多义词

1、朝：皆朝于齐（朝拜）

于是入朝见威王（朝庭）

朝济而夕设版焉（早晨）

2、孰：我孰与城北徐公美（谁）

孰视之，自以为不如（同“熟”，仔细）

是可忍，孰不可忍（什么）

3、诚：心之不虚，由好学之不诚也（诚意，真心）臣诚知不如徐公美（实在，确实）

今诚以吾众诈自称公子扶苏（果真，表假设）

4、善：若有作奸犯科及为忠善者（善良，善事）

择其善者而从之（好）

京中有善口技者（擅长）

王曰：善（可以）

5、间：奉命于危难之间（期间）

数月之后，时时而间进（间或）

肉食者谋之，又何间焉（参与）

中间力拉崩倒之（夹杂）

四、词类活用

1、群臣吏民能面刺寡人之过者（面：名作状，当面）

2、朝服衣冠（朝：名作状，在早上；衣：名作动，穿）

3、吾妻之美我者，私我也（美：意动，以„„为美）

4、闻寡人之耳者（闻：使动，使„„听闻）

5、王之蔽甚矣（蔽：形作名，被蒙蔽的事情）

五、古今异义词

1、今齐地方千里（地方：古：土地方圆；今义：表地点）

2、宫妇左右莫不私王（左右：古：侍从，近臣；今：表方位）

3、、明日，徐公来（明日：古：第二日；今：今天的下一天）

六、文言句式

1、忌不自信（宾语前置）

2、吾妻之美我者，私我也（判断句）

3、旦日，客从外来，与坐谈（省略句）

4、此所谓战胜于朝廷（判断句）

七、重点句翻译

1、我孰与城北徐公美? 译：我与城北徐公比，哪一个更美？

2、王之蔽甚矣。

译：大王您被蒙蔽得太厉害了。

3、客之美我者，欲有求于我也。

译：客人认为我美的原因，是想对我有所求啊！

4、能谤讥于市朝，闻寡人之耳者，受下赏。

译：能够在公共场所发表议论，使我听到的，给他下等的奖赏。

篇2：邹忌复习要点

答：本文通过邹忌自己家庭亲友间的事情和切身感受，讽劝齐王纳谏除弊，从而说明国君必须广开言路，采纳各方面的批评建议，兴利除弊，才可以兴国。

2．启示：

答：作为领导，要时刻保持清醒的头脑，防止被一些表面现象所迷惑；不偏听偏信，要广泛听取人们的批评意见，对于奉承话要保持警惕，及时发现和改正自己的缺点和错误，不犯或少犯错误。

作为普通的人，在向别人提建议和意见的时候，要注意场合和对象，要讲究方式方法，态度诚恳，语气委婉，能够晓之以理，动之以情，做到“忠言顺耳”，便于对方接受。

3.文章的结构：

答：第一部分，邹忌从妻、妾、客赞自己比徐公美这件事悟出深刻的道理——进谏的缘由。

第二部分，邹忌以自己受蒙蔽的事为例，讽谏齐王——进谏的内容。

第三部分，齐王虚心纳谏及其取得的巨大成功——进谏的结果。

4．“门庭若市”说明了什么？

（1）一方面说明进谏的人很多；（2）另一方面说明在此之前，齐国的确有许多积弊。

5．“时时而间进”说明了什么？

（1）一方面说明进谏者逐渐稀少；（2）另一方面说明进谏已经取得预期的效果，齐王已根据人们的意见，改革了时弊。

6．“虽欲言，无可进者”说明了什么？

说明齐王已经完全纠正了缺点和错误，齐国政治清明。

7.邹忌讽谏齐王为什么能成功？

答：（1）邹忌以日常生活小事设喻(类比)，由己及君，由家事到国事，以小见大，启发诱导齐王认识到自己受蒙蔽的巨大危害性、纳谏的重要性和紧迫性，语气委婉，说服力强，让人易于接受。

（2）齐王是一个贤明的君主，能够广开言路，纳谏除弊。

（3）齐国的确有许多弊端，需要改革。

8．齐威王纳谏后取得了哪些成效？请用自己的话简要概括。

答：一是国内政治清明；二是提高了齐国在诸侯国中的地位。

9．结尾说“燕、赵、魏、闻之，皆朝于齐”（四国朝齐），说明了什么？

答：说明了齐国国势强盛，威震诸侯，也从侧面反衬齐王纳谏的巨大成果。

10．怎样理解“此所谓战胜于朝廷”？（治国之道）

答：因为齐王广开言路，修明政治，齐国内政修明，兴利除弊，富国强兵，因而不需用兵就能战胜敌国。

11.人物形象分析

答：邹忌：精细、明智的谋臣，有自知之明，善于思考，明智精细，劝谏别人讲究方法和技巧，语言委婉含蓄，易于对方接受。

齐王：贤明的君主，广开言路，胸怀宽广，虚心纳谏，知错就改。

12．邹忌向齐威王进谏的方式与《曹刿论战》中曹刿向鲁庄公、《出师表》中诸葛亮向刘禅进谏的方式有什么不同？

答：邹忌用自身小事和切身感受对齐威王委婉讽劝；曹刿是主动面见鲁庄公向他直接进谏；诸葛亮则用奏表的形式向刘禅直接进言劝谏。

13．俗语说：“良药苦口利于病，忠言逆耳利于行。”从语言运用的角度，邹忌的进谏引发了你这样的思考？

答：忠言不一定逆耳。在与同学、父母、师长等的交往过程中，在向对方提出意见或建议时，如果能讲究说话的方式，语言委婉含蓄，态度诚恳，晓之以理，动之以情，那么忠言完全可以顺耳，从而使对方愉快接受。

14．妻、妾、客都认为邹忌“美于徐公”，而说话的语气不同，请简要分析？

答：妻子的答话“君美甚”，先从正面肯定了邹忌之美，“徐公何能及君也”，后用反问的句式，语气非常肯定，是发自内心的一种赞美，表现了对邹忌的偏爱的感情；妾的回答，少了“君美甚”一句，肯定程度有所不同，不像妻子那样热情称赞，表现出一种逢迎邹忌欢心的畏怯的心情；客人的回答“徐公不若君之美也”，用的是一种陈述的语气，语气平淡，是一种敷衍逢迎和礼节性应对的态度。

15．我国历史上有敢于直谏的贤臣和从谏如流的明君，但有更多的谏难、纳谏更难的事例，请你举出这样的正面例子和反面例子。

答：正面例子：

（1）唐朝的魏征敢于直谏，他多次上书劝谏唐太宗。唐太宗是一代明君，对于魏征所言，他多能采纳，从而开创了“贞观之治”的盛世；

（2）战国时期，鲁庄公听从曹刿的正确意见，取得了齐鲁长勺之战的胜利。

反面例子：

（1）商朝的大臣比干，他力谏商纣王不要虐待人民，被纣王剖心而死；

篇3：虚词备考复习要点

一、应关注虚词在特定的语言环境中联词构句、勾连上下文意的作用。

例1.他拿起望远镜看了一阵,想了一会儿,接着在地图上飞快地画了一些符号,然后用望远镜仔细地再看了一阵。

“再”是表示重复连续的频度副词,用在此处动作含义不清楚,可删去“再”或将“再”移至“用”字前,上下文意就贯通了。

例2.邓亚萍现在留给大家的印象,(日渐成熟的仪表风度,)依然保留的拼搏精神。

“不是……而是”否定一项肯定一项,表并列关系,“不仅是……而且是”表递进关系,根据文意,只有选择“不仅是……而且是”才能勾连上下文。

例3.贪图小利的人往往只看到自己的小圈子,打自己的小算盘,进而忽视了集体和国家的利益。

“进而”强调在前一行动基础上采取进一步行动,是表递进关系的连词。而例3全句前后分句应是因果关系,应改为表因果关系的连词“从而”。

复习时要善将此类虚词的基本用法弄清楚,再放在特定语言环境中去比较,联系上下文意去类推方可避免误用。如:关于、不止、尽管、进而、以及、何况、对于、不只、不管、从而、及其、况且等。

二、应关注虚词从修辞角度通过修饰、限制、形容等手法作用于词语和短语来锤炼语言、表情达意的作用。

例4.下列各句括号中,必须加“的”字的是()

①为了实施西部大开发战略,加快当地经济()发展,国家将在西部地区新建十大工程。

②天文学家在太阳系外一共发现28颗行星,它们()存在是通过间接渠道推断出来的。

③风险投资的注入可以使你()钱袋立即充盈,有实力去市场上拼抢厮杀,谋求新的发展。

④他有“乒坛黑马”之称,具备直拍选手快、灵、狠的特点,是欧亚高手取胜()最大障碍。

“的”是结构助词。②句推断出来的结果是“存在”这一现象,“的”字限制“它们”作“存在”的定语,构成偏正短语作主语。强调“存在”,去掉“的”,“它们()存在”就成了主谓短语作主语,而不是指一种现象了。④句去掉“的”字,就不能准确说明他的这一特点是最大障碍;限制对象是“欧亚高手”,因而表意就不够全面。

复习时应将表对象的、表目的的、表程度的、表动态的、表时态的等虚词分类进行归纳,以免张冠李戴。

三、应关注从词义角度把握虚词。有些虚词是由动词虚化而成,本身具有一定的动态化,有一定语义和表意功能,并且和原动词有必然的内在联系。

例5.下列各句中(A、B、D三句省略),加点词语使用恰当的一句是()

C.再就业工作是就业工作的一部分,虽然作为重点应当侧重抓,但它毕竟不能脱离整体而单独得以解决。

“得以”在这里是“可以、能够”之意,与前面的“不能”中“能”重复。

复习时应注意一些类似的词语,如:必须、以免、诸、给、逐渐、并非、必需、不免、焉、拿、逐步、无非等。

四、应关注虚词结构,虚词结构的用法一般是固定的,使用不当会造成表意混乱。

例6.《消费者权益保护法》深受广大消费者所欢迎,因为它强化了人们的自我保护意识,使消费者的权益得到最大限度的保护。

所+动词=名词短语,含有“……的”意思,这样原句就变成了“深受广大消费者的欢迎”,一是“广大消费者”不能修饰“欢迎”,二是“深受”后要带动词或主谓短语,所以应删去“所”,全句才通。

五、应关注同义虚词在表情达意时因数量、程度、范围、时间、主次、关涉对象的区别而应有不同的选择。

例7.依次填入下列各句横线处的词语,最恰当的一组()

①中美关系______动荡,不符合双方的根本利益。

②你比他只是______差一点,其实两人不相上下。

③这几天我______接到一些莫名其妙的电子邮件。

A.一再多少往往

B.再三多少常常

C.一再稍微常常

D.再三稍微往往

“一再”和“再三”是副词,都有“一次又一次”之意,而“一再”多强调人的不愿意看到的事情发生;①句应选“一再”。“多少”和“稍微”都有“数量不多”之意,但“稍微”比“多少”程度上要轻些;②句强调的是“两人不相上下”,只能选“稍微”。“往往”和“常常”都有“事情不止一次发生”之意,但“常常”更强调时间相隔不久;③句选“常常”为佳。

篇4：平面向量复习要点

经典例题分析

例1 (1) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB+AC|AB|+|AC|，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

(2) P是△ABC所在平面上一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

(3) 点O是△ABC所在平面内的一点，满足AB2+OC2=AC2+OB2=BC2+OA2,则点O是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

(4) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

(5) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OA+

λAB|AB|cosB+

AC|AC|cosC，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

分析:对于问题(1), 先将OA移过来, 再利用向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件就可以了. 对于问题(2), 先移项, 并利用减法的意义, 可以得到两个向量垂直的结论,对于问题(3)可以向问题(2)实现转化.

解: (1) AB|AB|是AB上的单位向量, AC|AC|是AC上的单位向量, 则AB|AB|+AC|AC|的方向与∠BAC的角平分线的方向相同, 而OP－OA=AP,所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.

(2) 由PA·PB=PB·PC得PB·(PC－PA)=0,即PB·AC=0,所以,PB⊥AC,同理,PA⊥BC,PC⊥AB, 所以, P是△ABC的垂心.

(3) 由AB2+OC2=AC2+OB2得AC2－AB2=OC2－OB2,即(AC+AB)·(AC－AB)=(OC+OB)·(OC－OB),所以BC·(AC－OC)+BC·(OB－AB)=0,即BC·OA=0,所以OA⊥BC,同理,OB⊥AC,OC⊥AB, 所以, O是△ABC的垂心.

(4) 由正弦定理|AB|sinC=|AC|sinB,所以|AB|sinB＝|AC|sinC, 于是AP＝μ(AB+AC), 所以P在以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线(过点A)上, 所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.

(5) 因为AP＝λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，所以AP·BC＝λAB·BC|AB|cosB+AC·|BC||AC|cosC＝

λ|AB|·|BC|cos(π-B)|AB|cosB+

|AC|·|BC|cosC|AC|cosC＝λ

(-|BC|+|BC|)=0

，所以AP⊥BC，于是P的轨迹一定通过△ABC的垂心.

延伸:△ABC的三条边长BC＝a, CA＝b, AB＝c,若三顶点A、B、C, 对于某定点O的位置向量为OA,OB,OC, 且aOA+bOB+cOC＝0,则点O是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

解:记∠BAC的平分线与BC交于点P, 则BP＝cb+cBC＝cb+c(OC－OB),所以,AP＝AB+BP＝OB－OA+BP＝OB－OA+cb+c(OC－OB)＝

bb+cOB+cb+cOC－OA＝1b+c(bOB+cOC)－OA＝1b+c(－aOA)－OA＝－a+b+cb+cOA,所以AP与OA共线,即O在∠BAC的平分线上,同理, O在∠ABC和的∠BCA平分线上,即O是△ABC的内心.

注:本例（1）是2003年全国高考数学试题，（2）同2005年全国高考数学试题.

例2 （1） 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足PA＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于_____.（2009年高考数学试题）

（2） 在△ABC中,O为中线AM上一个动点,若AM＝2,则OA·(OB＋OC)的最小值是_____.（2005年江苏省高考数学试题）

解:(1) 由PA＝2PM知,P为△ABC的重心,根据向量的加法,PB＋PC＝2PM,则PA·(PB＋PC)＝2PA·PM＝2|PA||PM|cos0＝2×23×13×1＝49.

(2) 因为OB+OC＝2OM，所以OA·(OB+OC)＝2OA·OM＝2|OA|·|OM|cosπ

＝－2|OA|·|OM|，而|OA|＋|OM|＝2，所以，|OA|·|OM|＝|OA|·(2－|OA|)＝－(|OA|－1)2+1≤1，于是OA·(OB＋OC)的最小值是－2.

变形：如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上

不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，

则(PA＋PB)·PC的最小值为_____.

例3 设两个向量a＝(λ＋2,λ2－cos2α)和b＝(m,m2＋sinα),

其中λ,m,α为实数.若a＝2b,求λm的取值范围.（2007年天津市高考数学试题）

解:由于a＝2b,所以

λ+2=2m, ①

λ2-cos2α=2m2+sinα. ②

设y＝λm, 则λ＝ym, 代入①得ym+2＝2m, 显然, y≠2, 所以m＝22-y,λ＝2y2-y.

把它们代入②得2y2-y2－cos2α＝22-y＋2sinα,

所以2y2-y2－22-y＝cos2α＋2sinα.

而f(α)＝cos2α＋2sinα＝1－sin2α＋2sinα＝－(sinα－1)2＋2,

因为－1≤sinα≤1, 所以－2≤f(α)≤2,于是

－2≤2y2-y2－22-y≤2. ③

解得－6≤y≤1.

例4 已知圆O的半径为1，PA，PB为圆O的切线，A，B为切点，则PA·PB的最小值是_____.（2010年全国高考数学试题）

解法一:设PA＝PB＝x，∠APO＝∠BPO＝α0＜α＜π2，则PO2＝x2＋1，从而PA·PB＝|PA||PB|cos2α＝x2(2cos2α－1)＝x22x2x2+1－1＝

x2(x2-1)x2+1＝

(x2+1-1)(x2+1-2)x2+1＝(x2＋1)＋2x2+1－3≥2(x2+1)·2x2+1－3＝－3＋22.当且仅当x2＋1＝2x2+1,即x2＝2－1时等号成立，即当x＝2-1时，PA·PB取最小值－3＋22.

解法二：由平面几何知识得|PA|＝|PB|，设∠APO＝∠BPO＝α0＜α＜π2，则

PA·PB＝|PA||PB|cos2α＝

|PA|2(1－2sin2α)＝(|OP|2－1)(1－2·1|OP|2＝|OP|2＋

2|OP|2-3

≥2|OP|2·2|OP|2-3=-3+22.

当且仅当|OP|2＝2|OP|2

，即|OP|＝42时等号成立，即当|OP|＝42时，PA·PB取最小值－3＋22.

解法三:由平面几何知识得|PA|＝|PB|，如图，建立直角坐标系，设∠AOP＝θ0＜θ＜π2，则点A（cosθ，sinθ），B(cosθ，－sinθ），过点A作x轴的垂线，垂足为C，则由射影定理得OA2＝OC·OP，知点P的坐标为1cosθ，0

PA＝cosθ－1cosθ,sinθ，PB＝cosθ－1cosθ, －sinθ)，于是

PA·PB＝

cosθ－1cosθ2－sin2θ＝

cosθ－1cosθ2－(1－cos2θ)＝2cos2θ＋1cos2θ－3

≥22cos2θ·1cos2θ－3＝

－3＋22.当且仅当2cos2θ＝1cos2θ，即cosθ＝142时等号成立，

即PA·PB取最小值－3＋22.

例5 设点O是△ABC的外心，AB＝17，AC＝15，则BC·AO＝_____.

解法一：BC·AO＝－(OC－OB)·OA＝OA·OB－OA·OC

＝OA2+OB2-AB22-

OA2+OC2-AC22=

AC2-AB22=-32.

解法二：取BC的中点D, 则BC·AO＝BC·(AD＋DO)＝BC·AD＋BC·DO＝BC·AD＝(AC－AB)·12(AC＋AB)＝12(AC2－AB2)＝－32.

例6 给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为定值120°. 如图所示, 点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若OC＝xOA＋yOB, 其中x, y∈R, 则x＋y的最大值是_____.（2009年安徽省高考数学试题）

解法一:设∠AOC＝α(0≤α≤2π3)，则

OA·OC=xOA2+yOA·OB,

OB·OC=xOA·OB+yOB2.

即cosα=x-12y,

cos(120°-α)=-12x+y.

∴x＋y＝2［cosα＋cos(120°－α)］＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2，

所以当α＝π3时, x＋y取最大值2.

解法二:建立图示直角坐标系，设∠AOC＝α0≤α≤2π3，则OA＝(1，0)，OB＝－12，32，由OC＝xOA＋yOB得(cosα，sinα)＝x－12y，32y，

即cosα=x-12y,

sinα=32y.

∴x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2，所以当α＝π3时, x＋y取最大值2.

解法三:由OC＝xOA＋yOB－12≤x, y≤1,两边平方得x2＋y2＋2xyOA·OB＝1，因为OA·OB＝－12，所以x2＋y2－xy＝1，即(x+y)2+(x-y)22－(x+y)2-(x-y)24＝1，也就是(x+y)2+3(x-y)24＝1，所以(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2，所以当x＝y＝1时，x＋y取最大值2.

例7 已知a,b是两个给定的向量,它们的夹角为θ, 向量c＝a＋tb(t∈R), 求|c|的最小值, 并求此时向量b与c的夹角.

分析:求|c|的最小值, 就是求|c|2的最小值, 于是将问题化为关于t的二次函数, 通过配方可以求出|c|的最小值.

解:因为c＝a＋tb,所以

|c|2＝|a＋tb|2＝|a|2+2ta·b＋t2|b|2＝|b|2t2＋2|a|·|b|·cosθ+|a|2

＝|b|2t+|a|·cosθ|b|2＋|a|2－|a|2cos2θ≥|a|2－|a|2 cos2θ＝|a|2sin2θ.

于是,当t+|a|·cosθ|b|＝0,即t＝－|a|·cosθ|b|时,|c|2取最小值|a|2sin2θ.即|c|取最小值|a|sinθ.

此时b·c＝b·a－|a|·cosθ|b|b＝a·b－|a|·cosθ|b|b·b＝|a|·|b|·cosθ－|a|·cosθ|b||b|2＝|a|·|b|·cosθ－|a|·|b|·cosθ＝0, 所以b⊥c,此时向量b与c的夹角为90°.

说明:本例有很深的几何背景，请读者考虑. 以下三道试题都是根据本例改编的.

(1) 若向量a与b不共线,a·b≠0,且c＝a－a·aa·bb, 则向量a与c的夹角为π2.

解:因为a·b≠0,c＝a－a·aa·bb, 所以, a·c＝a·a－a·aa·bb＝a·a－a·aa·b·(a·b)＝0, 所以向量a与c的夹角为π2.

(2) 已知向量a≠e,|e|＝1,对任意t∈R, 恒有|a－te|≥|a－e|, 向量e与a－e的夹角为_____.

解:设向量a与e的夹角为θ, 则|a－te|2＝t2－2|a||e|cosθ+a2＝t2－2|a|cosθ+a2＝(t－|a|cosθ)2

+|a2|sin2θ, 所以|a－e|＝|a|sinθ, 即e⊥(a－e).所以向量e与a－e的夹角为π2.

(3) 已知△ABC, 若对于任意t∈R,|BA－tBC|≥|AC|,则∠ABC＝_____.

解:令∠ABC＝α，过点A作AD⊥BC于点D. 由|BA－tBC|≥|AC|得

|BA|2－2tBA·BC+ t2|BC|2≥|AC|2.

令t＝BA·|BC||BC|2，代入上式得|BA|2－2|BA|2cos2α|BA|2cos2α≥|AC|2，即|BA|2sin2α≥|AC|2，

也即|BA|sinα≥|AC|,从而有|AD|≥|AC|,由此得∠ACB＝π2.

例8 设向量a＝(4cosα,sinα),b＝(sinβ,4cosβ),c＝(cosβ,－4sinβ).

(1) 若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2) 求|b＋c|的最大值;

(3) 若tanαtanβ＝16, 求证：a∥b.（2009年江苏省高考试题）

解:(1) 由a与b－2c垂直，得

a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝4(cosαsinβ＋sinαcosβ)－8(cosαcosβ－sinαsinβ)＝0,

即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0, tan(α＋β)＝2.

(2) 因为b＋c＝(sinβ＋cosβ, 4cosβ－4sinβ),所以

|b＋c|2＝(sinβ＋cosβ)2＋16(cosβ－sinβ)2＝1＋sin2β＋16(1－sin2β)＝17－2sin2β,从而当sin2β＝－1,即2β＝2kπ－π2,β＝kπ－π4(k∈Z)时, 17－2sin2β取最大值是32,因此当β＝kπ－π4(k∈Z)时|b＋c|的最大值是42.

(3) 由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ, 所以a∥b.

说明:问题(1)将a·(b－2c)拆成a·b－2a·c运算量减少,问题(2)将b＋c的坐标算出后,再计算|b＋c|2也使运算量减少,读者可以细细体会.

例9 如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角θ取何值时BP·CQ的值最大?并求这个最大值.

分析：一种思路是通过向量运算将BP·CQ朝着PQ与BC的运算上靠拢; 另一种思路通过建立直角坐标系,将问题化为坐标运算实现转化.

解法一：因为AB⊥AC，所以AB·AC＝0，因为AP＝－AQ，BP＝AP－AB，CQ＝AQ－AC，所以BP·CQ＝(AP－AB)·(AQ－AC)＝AP·AQ―AP·AC―AB·AQ＋AB·AC＝－a2―AP·AC＋AB·AP＝－a2＋AP·(AB－AC)＝－a2＋12PQ·BC(→)＝－a2＋a2cosθ.

故当cosθ＝1，即θ=0(PQ与BC方向相同)时，BP·CQ的值最大，其最大值为0.

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系. 设|AB|=c，|AC|=b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0,b). 且|PQ|=2a，|BC|=a.

BP＝(x－c, y)，CQ＝(－x, －y－b)，BC＝(－c, b)，PQ＝(－2x, －2y).

所以BP·CQ＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.

因为cosθ＝PQ·BC|PQ|·|BC|＝cx-bya2，所以cx－by＝a2cosθ.

BP·CQ＝－a2＋a2cosθ.

故当cosθ=1，即θ=0(PQ与BC方向相同)时，BP·CQ的值最大，其最大值为0.

说明：向量的几何运算可以通过坐标运算向代数问题实现转化, 这是解决向量问题的常用方法, 应该掌握.

例10 在△ABC中，已知AB＝463，cosB＝66，AC边上的中线BD＝5，求sinA的值.

解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=12AB=263,设BE=x，

在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcos∠BED，

5=x2+83+2×263×66x.解得x=1或x=-73(舍去).

故BC=2,从而AC2=AB2+BC2－2AB· BCcosB=283, 即AC=2213.

又sinB=306,故由正弦定理得2sinA=2213306,sinA=7014.

解法2:以B为坐标原点，BC为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.由sinB=306,则BA=463cosB,463cosB=43,453,

设BC=(x,0),则BD=4+3x6,253.

由条件得|BD|=4+3x62+

2532=5,从而, x＝2, x＝-143(舍去). 故CA=-23,453.

于是, cosA＝AB·AC|AB|·|AC|

=BA·CA|BA|·|CA|

篇5：中考数学复习要点指导

一、例题覆盖面大, 突出重点

选取例题要体现以下特点: (1) 知识点覆盖面大, 具有代表性、典型性; (2) 既能突出考查蕴涵在它们中的数学思想和数学方法, 又能反映“课程标准”中最主要而又最基本的要求. (3) 内容背景新颖, 具有多样性和时代感, 力求“新”“精”.

比如在复习“实数”时, 可选取如下例题:

例1: (2009年山东省济南市) 2009年10月11日, 第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开.奥体中心由体育场, 体育馆、游泳馆、网球馆, 综合服务楼三组建筑组成, 呈“三足鼎立”“东荷西柳”布局.建筑面积约为35 9800平方米, 请用科学记数法表示建筑面积是 (保留3个有效数字) () .

A.35.9×105平方米B.3.60×105平方米

C.3.59×105平方米D.35.9×104平方米

分析:此例以当今的社会热点、国家大事为背景, 包含的知识点比较多, 覆盖面较大, 也是现在中考命题的热点, 它考查了近似数、有效数字、科学计数法, 解决问题的难点是有效数字, 可用口诀:“前面是零不算数, 中末是零要数好.”

二、立足基础关注热点

教师要把握中考趋向, 立足基础, 关注热点.热点是什么?如应用型问题、实验操作、探究规律、方案设计、图形变换、读图识图等.热点只与题目形式有关, 其基础是“不变量”.利用其题目形式激发学生的好奇心、求知欲, 能有效地吸引学生的注意力, 使学生诱发联想, 抓住实质, 就能起到以点带面、举一反三、触类旁通的作用.

例如在进行“探究规律性试题”的复习时, 可选取如下例题:

例2: (2009年广西壮族自治区南宁市) 正整数按下图的规律排列.请写出第20行, 第21列的数字----------.

分析:此例是现在中考命题的热点, 要猜想的结论往往需要从简单情况或者特殊情况入手进行归纳, 通过观察、分析、综合、归纳、推理等一系列探究活动, 发现规律, 大胆猜想得出结论.这类例题有利于激发学生对数学现象的好奇心, 培养学生的学习兴趣, 帮助学生学会从数学的角度发现问题、提出问题, 在解决问题的过程中学习思维策略, 充分发挥自己的观察和猜想能力.

三、体现“三位一体”

在总复习时应立足课本, 夯实双基, 以课本为根, 拓展为叶, 这样才能更好地使用教材, 吃透教材.通过对近几年中考试题的研究不难发现, 课本是试题的基本来源, 大多数试题都是在课本基础上组合、加工和发展的结果.因此, 在中考复习选取例题时, 要以课本为蓝本, 以《中考说明》为导向, 以2009年中考数学题为载体, 体现“三位一体”, 这样复习就能做到有基础、有方向、有新意, 同时还要做到一题多用、推陈出新.

例如在进行“函数的图像”复习时, 可选取如下例题:

例3: (2009年贵州省安顺市) 如图, 乌鸦口渴到处找水喝, 它看到了一个装有水的瓶子, 但水位较低, 且瓶口又小, 乌鸦喝不着水, 沉思一会后, 聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中, 水位上升后, 乌鸦喝到了水.在这则乌鸦喝水的故事中, 从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x, 瓶中水位的高度为y, 下列图像中最符合故事情景的是: () .

分析:此例是考查函数图像的应用, 它来源于课本, 但有一定的变式, 又是《中考说明》必考的内容之一, 解题时, 只要弄清题意, 把握好关键词, 能读图、识图, 在图像中理解文字的表达, 这样问题就迎刃而解了.

又如在复习“三角形的角”这一部分时, 可选取如下例题:

例4: (2009年山东省枣庄市) 如下图, 将一副三角板叠放在一起, 使直角顶点重合于O点, 则∠AOC+∠DOB=--------.

分析:此例是考查三角形的基础知识, 是《中考说明》的必考内容之一, 学生可以自己利用两块同样的三角板进行平移、旋转、翻折等变换, 其实质是两个直角的度数相加, 从而得出问题结论.

四、解题注重通法

如何解数学题?数学家G·波利亚提出了4个阶段:即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这就是说, 数学解题是从理解问题开始, 经过探索思路, 转换问题直至解决问题, 进行回顾的全过程的思维活动。现在的中考题越来越淡化技能技巧, 注重通性通法的考查, 功能是选拔性的考试, 能够继续在高中学习, 试题形式和素材千变万化, 但其中蕴涵的数学思想和数学方法往往是相通的、不变的, 因此, 师生的解题思路要能突出解题的通用解法、常规解法, 同时体现例题的“应用性”.

比如在复习“一元二次方程的应用”时, 可选取以下例题:

例5: (2009年山东省青海市) 在一幅长为80cm, 宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边, 制成一幅矩形挂图, 如下图所示, 如果要使整个挂图的面积是5400cm2, 设金色纸边的宽为xcm, 那么x满足的方程是 () .

A.x2+130x-1 400=0 B.x2+65x-350=0

C.x2-130x-1 400=0 D.x2-65x-350=0

分析:此例是“一题多变”、“一图多变”的好题, 其解题思路是把“金色纸边”矩形的长、宽, 表示出来, 构建“一元二次方程模型”迎刃而解.

例6: (2009年天津市) 注意:为了使同学们更好地解答本题, 我们提供了一种解题思路, 你可以依照这个思路填空, 并完成本题解答的全过程.如果你选用其他的解题方案, 此时, 不必填空, 只需按照解答题的一般要求, 进行解答即可.

如图 (1) , 要设计一幅宽20cm, 长30cm的矩形图案, 其中有两横两竖的彩条, 横、竖彩条的宽度比为2∶3, 如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的13, 应如何设计每个彩条的宽度?

由横、竖彩条的宽度比为2∶3, 可设每个横彩条的宽为3x, 则每个竖彩条的宽为------.为更好地寻找题目中的等量关系, 将横、竖彩条分别集中, 原问题转化为如图 (2) 的情况, 得到矩形ABCD.

结合以上分析完成填空:如图 (2) , 用含x的代数式表示:AB=＿＿＿＿cm, AD=＿＿＿＿cm;矩形ABCD的面积为cm2;

列出方程并完成本题解答.

分析:此例的解答是用数形结合思想, 以寻找矩形的长、宽为切入点, 并涉及代数式的表示、一元二次方程及其解法等知识.题目中给出的“分析”为问题的解答作了铺垫, 从而降低了问题的起始难度, 有利于不同层次的学生解答问题.

这些例题融于图形, 突出了对数形结合思想方法的考查, 有利于发展学生的思维, 培养学生的创新意识, 激发学生的兴趣.在教学中应强调学生掌握解此类题的通性通法, 便于学生理解知识的重点, 摆脱“题海战”之苦, 同时也能唤起学生探究事物发展变化的好奇心, 开拓学生的视野.

篇6：期末复习要点回顾

一、平面直角坐标系

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1.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图1所示.

2.象限:如图1,坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个部分,即4个象限.(注:坐标轴不属于任何象限.)

3.点的坐标:对于平面内任意一点P,如图2所示,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.

4.由坐标变化导致图形的平移:在平面直角坐标系内,如果一个图形各个点的横坐标都加(或减)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或左)平移a个单位长度;如果把各个点的纵坐标都加(或减)一个正数b,相应的新图形就是把原图形向上(或下)平移b个单位长度.

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例1 (2009年乌鲁木齐考题)在平面直角坐标系中,点A(x-1,2-x)在第四象限,则实数x的取值范围是________.

解析:由点A(x-1,2-x)在第四象限可知,x-1>0,2-x<0,解不等式组得x>2.所以答案为x>2.

点拨:要掌握各象限内点的符号特征.

例2 (2008年贵阳考题)对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在().

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析:对任意实数x,当x=0时,点P不属于任何象限,故x=0不合题意.因此对实数x可作如下分类.

由x2-2x=x(x-2) 可知,当x<0时,一定有x(x-2)>0,点P在第二象限;当02时,x(x-2)>0,点P在第一象限.综合上述,对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在第三象限.故选C.

点拨:本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标的特征.通过对x进行分类讨论,判断出点P可能所在的象限,体现分类思想在坐标中的应用.

例3(2009年梧州考题)将点A(1,-3)向右平移2个单位,再向下平移2个单位后得到点B(a,b),则ab=.

解析:根据点的坐标的平移特征可知,将点A向右平移2个单位,其纵坐标不变,横坐标变为3,再将其下平移2个单位,其坐标为(3,-5),即a=3,b=-5,所以ab=-15.

点评:(1)将点(x,y)向右平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x+a,y);将点(x,y)向左平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x-a,y);

(2)将点(x,y)向上平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y+b);将点(x,y)向下平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y-b).

点评:对某个图形进行平移,这个图形上对应点的坐标都要发生相应的变化,但对应点平移的方向和距离相同。

二、三角形的边角关系

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1.三角形:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

3.三角形内角和:三角形的内角和等于180.

4.多邊形的内角和:n边形的内角和等于(n-2)•180°.

5. 多边形的外角和:任何多边形的外角和都等于360.

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例4 (2009年广西考题)一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为().

A.7B.9C.12D.9或12

解析:根据三角形的三边关系确定腰长和底边的长.当腰长为2时,2+2<5,不能构成三角形;当腰长为5时,即三角形的三边为5,5,2时,满足三角形的三边关系.故此等腰三角形的周长为12,选C.

点拨:构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.

例5 (2009年铁岭考题)如图3,已知直线AB∥CD,∠C=125,∠A=45,则∠E的度数为().

A.70B.80 C.90D.100

解析:∵AB∥CD,∴∠BFE=∠C=125,

又∵∠BFE=∠A+∠E,

∴∠E=125-45=80.

故选B.

点拨:本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理的推论.

例6 (2009年济宁考题)如图4,在△ABC中,∠A=70 ,∠B=60,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于().

A.100B.120 C.130D.150

解析:由三角形的外角特点知,

∠ACD=∠A+∠B=70+60=130.

故选C.

点波:本题考查的知识点是三角形内角和定理的推论,即三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和.

三、二元一次方程组及其解法

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1.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数是1的方程叫做二元一次方程.二元一次方程必须同时满足3个条件即等号两边的代数式是整式;含有两个未知数;所含未知数的项的次数是1.

2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.在组成方程组的各个方程中,相同的字母必须代表同一数量.

3.二元一次方程组的解法:常用的方法是代入法和加减消元法.

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例7 (2009年青海考题)已知代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,那么m、n的值分别是().

A.m=2,n=-1 B.m=-2,n=-1 C.m=2,n=1 D. m=-2,n=1

解析:由题意可知,代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,则m-1=n,m+n=3.解方程组得m=2,n=1.故选C.

点拨:利用同类项的概念构造二元一次方程组,从而解决问题,这类题是中考的一个重点题型.

例8 (2009年茂名考题)解方程组:

x+2y=4,① x+y=1. ②

解析:由①-②得y=3,

把y=3代人②得,x=-2,

所以原方程组的解是x=-2,y=3.

点拨:解二元一次方程组的关键是消元,即将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解.消元的方法有两种,即代入消元法和加减消元法.在解题时要认真观察题目的特点,灵活选择解法.

例9 (2009年广州考题)为了拉动内需,广东启动“家电下乡”活动.某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在活动启动前一个月共售出960台,活动启动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比活动启动前一个月增长30%、25%,这两种型号的冰箱共售出1 228台.

(1)在启动活动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台?

(2)若Ⅰ型冰箱每台价格是2 298元,Ⅱ型冰箱每台价格是1 999元,根据“家电下乡”的有关政策,政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴.问:活动启动后的第一个月销售给农户的1 228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱,政府共补贴了多少元(结果保留2个有效数字)?

解析:(1)设在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为x、y台,则

x+y=960,(1+30%)x+(1+25%)y=1 228.

解得x=560,y=400.

经检验,符合題意.

所以在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为560台、400台.

(2)Ⅰ型冰箱政府补贴的金额为:2 298×560×(1+30%)×13%=217 482.72元,Ⅱ型冰箱政府补贴的金额为:1 999×400×(1+25%)×13%=129 935元.

所以活动启动后第一个月,政府一共补贴给农民的金额为:217 482.72+129 935=347 417.72≈3.5×105元.

点拨:本题取材于社会关注的热点“三农”问题,时代气息浓郁,体现了数学在生活中的广泛应用.

四、一元一次不等式(组)及其解法

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1.不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式.对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做不等式的解的集合,简称这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

2.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.

不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

3.解一元一次不等式的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.

注意:解不等式时,上面的5个步骤不一定都能用到,并且不一定按照顺序解,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.

4.一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分.

求不等式组公共解的一般规律:同大取大,同小取小,一大一小中间找.

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例10 (2008年永州考题)如图5,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是().

图5

A.a>c>bB.b>a>c

C.a>b>cD.c>a>b

解析:根据题意得2c=b,3b<2a,所以a>b>c.故选C.

点拨:灵活运用不等式的基本性质是解题的关键.

例11(2009年荆门考题)若不等式组

x+a≥0,1-2x>x-2有解,则a的取值范围是().

A.a>-1B.a≥-1

C.a≤1 D.a<1.

解析:解不等式组x+a≥0,1-2x>x-2得x<1,x≥-a,所以a>-1.

点拨:本题根据不等式组解集的概念,分类讨论,从而确定a的取值.

例12 (2009年淄博考题)解不等式:5x-12≤

2(4x-3).

解:5x-12≤8x-6,

-3x≤6,

x≥-2.

点拨:解一元一次不等式的步骤可类比解一元一次方程的5个步骤,注意当两边同除以负数时要改变不等号的方向.

例13(2009年株洲考题)初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱,买一份礼物送给父母.已知:在暑假期间,如果卖出的报纸不超过1 000份,则每卖出一份报纸可得0.1元;如果卖出的报纸超过1 000份,则超过部分每份可得0.2元.

(1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过1 000份.

(2)孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.

解析:(1)如果孔明同学卖出1 000份报纸,则可获得1 000×0.1=100元,没有超过140元,从而不能达到目的.(其他说理正确、合理即可.)

(2)设孔明同学暑假期间卖出报纸x份,由(1)可知,x>1 000,依题意得,

1 000×0.1+0.2(x-1 000)≥140,1 000×0.1+0.2(x-1 000)≤200,

解得1 200≤x≤1 500 .

所以孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在1 200至1 500份之间.