邹忌复习要点(精选6篇)
篇1:邹忌复习要点
《邹忌讽齐王纳谏》复习教案
总课时数: 授课时间: 教学目标:
准确默写文言名句 识记文中重点词语的含义
理解常见文言词语在文中的基本用法 理解常见的文言句式 理解并翻译文中的句子
教学重点:同上 教学难点:
对梳理的知识点进行运用 教学方法:自主梳理 教师总结 讲授 高考动向:文言文阅读
一、重点词语解释
1、邹忌修八尺有余(修:长,这里指身高)
2、徐公何能及君也(及:比得上)
3、期年之后,虽欲言,无可进者(期:满;虽:即使)
二、通假字
1、邹忌修八尺有余(有通“又”)
2、明日,徐公来,孰视之(孰通“熟”)
三、多义词
1、朝:皆朝于齐(朝拜)
于是入朝见威王(朝庭)
朝济而夕设版焉(早晨)
2、孰:我孰与城北徐公美(谁)
孰视之,自以为不如(同“熟”,仔细)
是可忍,孰不可忍(什么)
3、诚:心之不虚,由好学之不诚也(诚意,真心)臣诚知不如徐公美(实在,确实)
今诚以吾众诈自称公子扶苏(果真,表假设)
4、善:若有作奸犯科及为忠善者(善良,善事)
择其善者而从之(好)
京中有善口技者(擅长)
王曰:善(可以)
5、间:奉命于危难之间(期间)
数月之后,时时而间进(间或)
肉食者谋之,又何间焉(参与)
中间力拉崩倒之(夹杂)
四、词类活用
1、群臣吏民能面刺寡人之过者(面:名作状,当面)
2、朝服衣冠(朝:名作状,在早上;衣:名作动,穿)
3、吾妻之美我者,私我也(美:意动,以„„为美)
4、闻寡人之耳者(闻:使动,使„„听闻)
5、王之蔽甚矣(蔽:形作名,被蒙蔽的事情)
五、古今异义词
1、今齐地方千里(地方:古:土地方圆;今义:表地点)
2、宫妇左右莫不私王(左右:古:侍从,近臣;今:表方位)
3、、明日,徐公来(明日:古:第二日;今:今天的下一天)
六、文言句式
1、忌不自信(宾语前置)
2、吾妻之美我者,私我也(判断句)
3、旦日,客从外来,与坐谈(省略句)
4、此所谓战胜于朝廷(判断句)
七、重点句翻译
1、我孰与城北徐公美? 译:我与城北徐公比,哪一个更美?
2、王之蔽甚矣。
译:大王您被蒙蔽得太厉害了。
3、客之美我者,欲有求于我也。
译:客人认为我美的原因,是想对我有所求啊!
4、能谤讥于市朝,闻寡人之耳者,受下赏。
译:能够在公共场所发表议论,使我听到的,给他下等的奖赏。
篇2:邹忌复习要点
答:本文通过邹忌自己家庭亲友间的事情和切身感受,讽劝齐王纳谏除弊,从而说明国君必须广开言路,采纳各方面的批评建议,兴利除弊,才可以兴国。
2.启示:
答:作为领导,要时刻保持清醒的头脑,防止被一些表面现象所迷惑;不偏听偏信,要广泛听取人们的批评意见,对于奉承话要保持警惕,及时发现和改正自己的缺点和错误,不犯或少犯错误。
作为普通的人,在向别人提建议和意见的时候,要注意场合和对象,要讲究方式方法,态度诚恳,语气委婉,能够晓之以理,动之以情,做到“忠言顺耳”,便于对方接受。
3.文章的结构:
答:第一部分,邹忌从妻、妾、客赞自己比徐公美这件事悟出深刻的道理——进谏的缘由。
第二部分,邹忌以自己受蒙蔽的事为例,讽谏齐王——进谏的内容。
第三部分,齐王虚心纳谏及其取得的巨大成功——进谏的结果。
4.“门庭若市”说明了什么?
(1)一方面说明进谏的人很多;(2)另一方面说明在此之前,齐国的确有许多积弊。
5.“时时而间进”说明了什么?
(1)一方面说明进谏者逐渐稀少;(2)另一方面说明进谏已经取得预期的效果,齐王已根据人们的意见,改革了时弊。
6.“虽欲言,无可进者”说明了什么?
说明齐王已经完全纠正了缺点和错误,齐国政治清明。
7.邹忌讽谏齐王为什么能成功?
答:(1)邹忌以日常生活小事设喻(类比),由己及君,由家事到国事,以小见大,启发诱导齐王认识到自己受蒙蔽的巨大危害性、纳谏的重要性和紧迫性,语气委婉,说服力强,让人易于接受。
(2)齐王是一个贤明的君主,能够广开言路,纳谏除弊。
(3)齐国的确有许多弊端,需要改革。
8.齐威王纳谏后取得了哪些成效?请用自己的话简要概括。
答:一是国内政治清明;二是提高了齐国在诸侯国中的地位。
9.结尾说“燕、赵、魏、闻之,皆朝于齐”(四国朝齐),说明了什么?
答:说明了齐国国势强盛,威震诸侯,也从侧面反衬齐王纳谏的巨大成果。
10.怎样理解“此所谓战胜于朝廷”?(治国之道)
答:因为齐王广开言路,修明政治,齐国内政修明,兴利除弊,富国强兵,因而不需用兵就能战胜敌国。
11.人物形象分析
答:邹忌:精细、明智的谋臣,有自知之明,善于思考,明智精细,劝谏别人讲究方法和技巧,语言委婉含蓄,易于对方接受。
齐王:贤明的君主,广开言路,胸怀宽广,虚心纳谏,知错就改。
12.邹忌向齐威王进谏的方式与《曹刿论战》中曹刿向鲁庄公、《出师表》中诸葛亮向刘禅进谏的方式有什么不同?
答:邹忌用自身小事和切身感受对齐威王委婉讽劝;曹刿是主动面见鲁庄公向他直接进谏;诸葛亮则用奏表的形式向刘禅直接进言劝谏。
13.俗语说:“良药苦口利于病,忠言逆耳利于行。”从语言运用的角度,邹忌的进谏引发了你这样的思考?
答:忠言不一定逆耳。在与同学、父母、师长等的交往过程中,在向对方提出意见或建议时,如果能讲究说话的方式,语言委婉含蓄,态度诚恳,晓之以理,动之以情,那么忠言完全可以顺耳,从而使对方愉快接受。
14.妻、妾、客都认为邹忌“美于徐公”,而说话的语气不同,请简要分析?
答:妻子的答话“君美甚”,先从正面肯定了邹忌之美,“徐公何能及君也”,后用反问的句式,语气非常肯定,是发自内心的一种赞美,表现了对邹忌的偏爱的感情;妾的回答,少了“君美甚”一句,肯定程度有所不同,不像妻子那样热情称赞,表现出一种逢迎邹忌欢心的畏怯的心情;客人的回答“徐公不若君之美也”,用的是一种陈述的语气,语气平淡,是一种敷衍逢迎和礼节性应对的态度。
15.我国历史上有敢于直谏的贤臣和从谏如流的明君,但有更多的谏难、纳谏更难的事例,请你举出这样的正面例子和反面例子。
答:正面例子:
(1)唐朝的魏征敢于直谏,他多次上书劝谏唐太宗。唐太宗是一代明君,对于魏征所言,他多能采纳,从而开创了“贞观之治”的盛世;
(2)战国时期,鲁庄公听从曹刿的正确意见,取得了齐鲁长勺之战的胜利。
反面例子:
(1)商朝的大臣比干,他力谏商纣王不要虐待人民,被纣王剖心而死;
篇3:虚词备考复习要点
一、应关注虚词在特定的语言环境中联词构句、勾连上下文意的作用。
例1.他拿起望远镜看了一阵,想了一会儿,接着在地图上飞快地画了一些符号,然后用望远镜仔细地再看了一阵。
“再”是表示重复连续的频度副词,用在此处动作含义不清楚,可删去“再”或将“再”移至“用”字前,上下文意就贯通了。
例2.邓亚萍现在留给大家的印象,(日渐成熟的仪表风度,)依然保留的拼搏精神。
“不是……而是”否定一项肯定一项,表并列关系,“不仅是……而且是”表递进关系,根据文意,只有选择“不仅是……而且是”才能勾连上下文。
例3.贪图小利的人往往只看到自己的小圈子,打自己的小算盘,进而忽视了集体和国家的利益。
“进而”强调在前一行动基础上采取进一步行动,是表递进关系的连词。而例3全句前后分句应是因果关系,应改为表因果关系的连词“从而”。
复习时要善将此类虚词的基本用法弄清楚,再放在特定语言环境中去比较,联系上下文意去类推方可避免误用。如:关于、不止、尽管、进而、以及、何况、对于、不只、不管、从而、及其、况且等。
二、应关注虚词从修辞角度通过修饰、限制、形容等手法作用于词语和短语来锤炼语言、表情达意的作用。
例4.下列各句括号中,必须加“的”字的是()
①为了实施西部大开发战略,加快当地经济()发展,国家将在西部地区新建十大工程。
②天文学家在太阳系外一共发现28颗行星,它们()存在是通过间接渠道推断出来的。
③风险投资的注入可以使你()钱袋立即充盈,有实力去市场上拼抢厮杀,谋求新的发展。
④他有“乒坛黑马”之称,具备直拍选手快、灵、狠的特点,是欧亚高手取胜()最大障碍。
“的”是结构助词。②句推断出来的结果是“存在”这一现象,“的”字限制“它们”作“存在”的定语,构成偏正短语作主语。强调“存在”,去掉“的”,“它们()存在”就成了主谓短语作主语,而不是指一种现象了。④句去掉“的”字,就不能准确说明他的这一特点是最大障碍;限制对象是“欧亚高手”,因而表意就不够全面。
复习时应将表对象的、表目的的、表程度的、表动态的、表时态的等虚词分类进行归纳,以免张冠李戴。
三、应关注从词义角度把握虚词。有些虚词是由动词虚化而成,本身具有一定的动态化,有一定语义和表意功能,并且和原动词有必然的内在联系。
例5.下列各句中(A、B、D三句省略),加点词语使用恰当的一句是()
C.再就业工作是就业工作的一部分,虽然作为重点应当侧重抓,但它毕竟不能脱离整体而单独得以解决。
“得以”在这里是“可以、能够”之意,与前面的“不能”中“能”重复。
复习时应注意一些类似的词语,如:必须、以免、诸、给、逐渐、并非、必需、不免、焉、拿、逐步、无非等。
四、应关注虚词结构,虚词结构的用法一般是固定的,使用不当会造成表意混乱。
例6.《消费者权益保护法》深受广大消费者所欢迎,因为它强化了人们的自我保护意识,使消费者的权益得到最大限度的保护。
所+动词=名词短语,含有“……的”意思,这样原句就变成了“深受广大消费者的欢迎”,一是“广大消费者”不能修饰“欢迎”,二是“深受”后要带动词或主谓短语,所以应删去“所”,全句才通。
五、应关注同义虚词在表情达意时因数量、程度、范围、时间、主次、关涉对象的区别而应有不同的选择。
例7.依次填入下列各句横线处的词语,最恰当的一组()
①中美关系______动荡,不符合双方的根本利益。
②你比他只是______差一点,其实两人不相上下。
③这几天我______接到一些莫名其妙的电子邮件。
A.一再多少往往
B.再三多少常常
C.一再稍微常常
D.再三稍微往往
“一再”和“再三”是副词,都有“一次又一次”之意,而“一再”多强调人的不愿意看到的事情发生;①句应选“一再”。“多少”和“稍微”都有“数量不多”之意,但“稍微”比“多少”程度上要轻些;②句强调的是“两人不相上下”,只能选“稍微”。“往往”和“常常”都有“事情不止一次发生”之意,但“常常”更强调时间相隔不久;③句选“常常”为佳。
篇4:平面向量复习要点
经典例题分析
例1 (1) O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB+AC|AB|+|AC|,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
(2) P是△ABC所在平面上一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
(3) 点O是△ABC所在平面内的一点,满足AB2+OC2=AC2+OB2=BC2+OA2,则点O是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
(4) O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
(5) O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
OP=OA+
λAB|AB|cosB+
AC|AC|cosC,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
分析:对于问题(1), 先将OA移过来, 再利用向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件就可以了. 对于问题(2), 先移项, 并利用减法的意义, 可以得到两个向量垂直的结论,对于问题(3)可以向问题(2)实现转化.
解: (1) AB|AB|是AB上的单位向量, AC|AC|是AC上的单位向量, 则AB|AB|+AC|AC|的方向与∠BAC的角平分线的方向相同, 而OP-OA=AP,所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.
(2) 由PA·PB=PB·PC得PB·(PC-PA)=0,即PB·AC=0,所以,PB⊥AC,同理,PA⊥BC,PC⊥AB, 所以, P是△ABC的垂心.
(3) 由AB2+OC2=AC2+OB2得AC2-AB2=OC2-OB2,即(AC+AB)·(AC-AB)=(OC+OB)·(OC-OB),所以BC·(AC-OC)+BC·(OB-AB)=0,即BC·OA=0,所以OA⊥BC,同理,OB⊥AC,OC⊥AB, 所以, O是△ABC的垂心.
(4) 由正弦定理|AB|sinC=|AC|sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC, 于是AP=μ(AB+AC), 所以P在以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线(过点A)上, 所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.
(5) 因为AP=λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC,所以AP·BC=λAB·BC|AB|cosB+AC·|BC||AC|cosC=
λ|AB|·|BC|cos(π-B)|AB|cosB+
|AC|·|BC|cosC|AC|cosC=λ
(-|BC|+|BC|)=0
,所以AP⊥BC,于是P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
延伸:△ABC的三条边长BC=a, CA=b, AB=c,若三顶点A、B、C, 对于某定点O的位置向量为OA,OB,OC, 且aOA+bOB+cOC=0,则点O是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
解:记∠BAC的平分线与BC交于点P, 则BP=cb+cBC=cb+c(OC-OB),所以,AP=AB+BP=OB-OA+BP=OB-OA+cb+c(OC-OB)=
bb+cOB+cb+cOC-OA=1b+c(bOB+cOC)-OA=1b+c(-aOA)-OA=-a+b+cb+cOA,所以AP与OA共线,即O在∠BAC的平分线上,同理, O在∠ABC和的∠BCA平分线上,即O是△ABC的内心.
注:本例(1)是2003年全国高考数学试题,(2)同2005年全国高考数学试题.
例2 (1) 在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足PA=2PM,则PA·(PB+PC)等于_____.(2009年高考数学试题)
(2) 在△ABC中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则OA·(OB+OC)的最小值是_____.(2005年江苏省高考数学试题)
解:(1) 由PA=2PM知,P为△ABC的重心,根据向量的加法,PB+PC=2PM,则PA·(PB+PC)=2PA·PM=2|PA||PM|cos0=2×23×13×1=49.
(2) 因为OB+OC=2OM,所以OA·(OB+OC)=2OA·OM=2|OA|·|OM|cosπ
=-2|OA|·|OM|,而|OA|+|OM|=2,所以,|OA|·|OM|=|OA|·(2-|OA|)=-(|OA|-1)2+1≤1,于是OA·(OB+OC)的最小值是-2.
变形:如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上
不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,
则(PA+PB)·PC的最小值为_____.
例3 设两个向量a=(λ+2,λ2-cos2α)和b=(m,m2+sinα),
其中λ,m,α为实数.若a=2b,求λm的取值范围.(2007年天津市高考数学试题)
解:由于a=2b,所以
λ+2=2m, ①
λ2-cos2α=2m2+sinα. ②
设y=λm, 则λ=ym, 代入①得ym+2=2m, 显然, y≠2, 所以m=22-y,λ=2y2-y.
把它们代入②得2y2-y2-cos2α=22-y+2sinα,
所以2y2-y2-22-y=cos2α+2sinα.
而f(α)=cos2α+2sinα=1-sin2α+2sinα=-(sinα-1)2+2,
因为-1≤sinα≤1, 所以-2≤f(α)≤2,于是
-2≤2y2-y2-22-y≤2. ③
解得-6≤y≤1.
例4 已知圆O的半径为1,PA,PB为圆O的切线,A,B为切点,则PA·PB的最小值是_____.(2010年全国高考数学试题)
解法一:设PA=PB=x,∠APO=∠BPO=α0<α<π2,则PO2=x2+1,从而PA·PB=|PA||PB|cos2α=x2(2cos2α-1)=x22x2x2+1-1=
x2(x2-1)x2+1=
(x2+1-1)(x2+1-2)x2+1=(x2+1)+2x2+1-3≥2(x2+1)·2x2+1-3=-3+22.当且仅当x2+1=2x2+1,即x2=2-1时等号成立,即当x=2-1时,PA·PB取最小值-3+22.
解法二:由平面几何知识得|PA|=|PB|,设∠APO=∠BPO=α0<α<π2,则
PA·PB=|PA||PB|cos2α=
|PA|2(1-2sin2α)=(|OP|2-1)(1-2·1|OP|2=|OP|2+
2|OP|2-3
≥2|OP|2·2|OP|2-3=-3+22.
当且仅当|OP|2=2|OP|2
,即|OP|=42时等号成立,即当|OP|=42时,PA·PB取最小值-3+22.
解法三:由平面几何知识得|PA|=|PB|,如图,建立直角坐标系,设∠AOP=θ0<θ<π2,则点A(cosθ,sinθ),B(cosθ,-sinθ),过点A作x轴的垂线,垂足为C,则由射影定理得OA2=OC·OP,知点P的坐标为1cosθ,0
PA=cosθ-1cosθ,sinθ,PB=cosθ-1cosθ, -sinθ),于是
PA·PB=
cosθ-1cosθ2-sin2θ=
cosθ-1cosθ2-(1-cos2θ)=2cos2θ+1cos2θ-3
≥22cos2θ·1cos2θ-3=
-3+22.当且仅当2cos2θ=1cos2θ,即cosθ=142时等号成立,
即PA·PB取最小值-3+22.
例5 设点O是△ABC的外心,AB=17,AC=15,则BC·AO=_____.
解法一:BC·AO=-(OC-OB)·OA=OA·OB-OA·OC
=OA2+OB2-AB22-
OA2+OC2-AC22=
AC2-AB22=-32.
解法二:取BC的中点D, 则BC·AO=BC·(AD+DO)=BC·AD+BC·DO=BC·AD=(AC-AB)·12(AC+AB)=12(AC2-AB2)=-32.
例6 给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为定值120°. 如图所示, 点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若OC=xOA+yOB, 其中x, y∈R, 则x+y的最大值是_____.(2009年安徽省高考数学试题)
解法一:设∠AOC=α(0≤α≤2π3),则
OA·OC=xOA2+yOA·OB,
OB·OC=xOA·OB+yOB2.
即cosα=x-12y,
cos(120°-α)=-12x+y.
∴x+y=2[cosα+cos(120°-α)]=cosα+3sinα=2sinα+π6≤2,
所以当α=π3时, x+y取最大值2.
解法二:建立图示直角坐标系,设∠AOC=α0≤α≤2π3,则OA=(1,0),OB=-12,32,由OC=xOA+yOB得(cosα,sinα)=x-12y,32y,
即cosα=x-12y,
sinα=32y.
∴x+y=cosα+3sinα=2sinα+π6≤2,所以当α=π3时, x+y取最大值2.
解法三:由OC=xOA+yOB-12≤x, y≤1,两边平方得x2+y2+2xyOA·OB=1,因为OA·OB=-12,所以x2+y2-xy=1,即(x+y)2+(x-y)22-(x+y)2-(x-y)24=1,也就是(x+y)2+3(x-y)24=1,所以(x+y)2≤4,解得-2≤x+y≤2,所以当x=y=1时,x+y取最大值2.
例7 已知a,b是两个给定的向量,它们的夹角为θ, 向量c=a+tb(t∈R), 求|c|的最小值, 并求此时向量b与c的夹角.
分析:求|c|的最小值, 就是求|c|2的最小值, 于是将问题化为关于t的二次函数, 通过配方可以求出|c|的最小值.
解:因为c=a+tb,所以
|c|2=|a+tb|2=|a|2+2ta·b+t2|b|2=|b|2t2+2|a|·|b|·cosθ+|a|2
=|b|2t+|a|·cosθ|b|2+|a|2-|a|2cos2θ≥|a|2-|a|2 cos2θ=|a|2sin2θ.
于是,当t+|a|·cosθ|b|=0,即t=-|a|·cosθ|b|时,|c|2取最小值|a|2sin2θ.即|c|取最小值|a|sinθ.
此时b·c=b·a-|a|·cosθ|b|b=a·b-|a|·cosθ|b|b·b=|a|·|b|·cosθ-|a|·cosθ|b||b|2=|a|·|b|·cosθ-|a|·|b|·cosθ=0, 所以b⊥c,此时向量b与c的夹角为90°.
说明:本例有很深的几何背景,请读者考虑. 以下三道试题都是根据本例改编的.
(1) 若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-a·aa·bb, 则向量a与c的夹角为π2.
解:因为a·b≠0,c=a-a·aa·bb, 所以, a·c=a·a-a·aa·bb=a·a-a·aa·b·(a·b)=0, 所以向量a与c的夹角为π2.
(2) 已知向量a≠e,|e|=1,对任意t∈R, 恒有|a-te|≥|a-e|, 向量e与a-e的夹角为_____.
解:设向量a与e的夹角为θ, 则|a-te|2=t2-2|a||e|cosθ+a2=t2-2|a|cosθ+a2=(t-|a|cosθ)2
+|a2|sin2θ, 所以|a-e|=|a|sinθ, 即e⊥(a-e).所以向量e与a-e的夹角为π2.
(3) 已知△ABC, 若对于任意t∈R,|BA-tBC|≥|AC|,则∠ABC=_____.
解:令∠ABC=α,过点A作AD⊥BC于点D. 由|BA-tBC|≥|AC|得
|BA|2-2tBA·BC+ t2|BC|2≥|AC|2.
令t=BA·|BC||BC|2,代入上式得|BA|2-2|BA|2cos2α|BA|2cos2α≥|AC|2,即|BA|2sin2α≥|AC|2,
也即|BA|sinα≥|AC|,从而有|AD|≥|AC|,由此得∠ACB=π2.
例8 设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).
(1) 若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2) 求|b+c|的最大值;
(3) 若tanαtanβ=16, 求证:a∥b.(2009年江苏省高考试题)
解:(1) 由a与b-2c垂直,得
a·(b-2c)=a·b-2a·c=4(cosαsinβ+sinαcosβ)-8(cosαcosβ-sinαsinβ)=0,
即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, tan(α+β)=2.
(2) 因为b+c=(sinβ+cosβ, 4cosβ-4sinβ),所以
|b+c|2=(sinβ+cosβ)2+16(cosβ-sinβ)2=1+sin2β+16(1-sin2β)=17-2sin2β,从而当sin2β=-1,即2β=2kπ-π2,β=kπ-π4(k∈Z)时, 17-2sin2β取最大值是32,因此当β=kπ-π4(k∈Z)时|b+c|的最大值是42.
(3) 由tanαtanβ=16得4cosαsinβ=sinα4cosβ, 所以a∥b.
说明:问题(1)将a·(b-2c)拆成a·b-2a·c运算量减少,问题(2)将b+c的坐标算出后,再计算|b+c|2也使运算量减少,读者可以细细体会.
例9 如图,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角θ取何值时BP·CQ的值最大?并求这个最大值.
分析:一种思路是通过向量运算将BP·CQ朝着PQ与BC的运算上靠拢; 另一种思路通过建立直角坐标系,将问题化为坐标运算实现转化.
解法一:因为AB⊥AC,所以AB·AC=0,因为AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC,所以BP·CQ=(AP-AB)·(AQ-AC)=AP·AQ―AP·AC―AB·AQ+AB·AC=-a2―AP·AC+AB·AP=-a2+AP·(AB-AC)=-a2+12PQ·BC(→)=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0(PQ与BC方向相同)时,BP·CQ的值最大,其最大值为0.
解法二:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系. 设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b). 且|PQ|=2a,|BC|=a.
BP=(x-c, y),CQ=(-x, -y-b),BC=(-c, b),PQ=(-2x, -2y).
所以BP·CQ=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
因为cosθ=PQ·BC|PQ|·|BC|=cx-bya2,所以cx-by=a2cosθ.
BP·CQ=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0(PQ与BC方向相同)时,BP·CQ的值最大,其最大值为0.
说明:向量的几何运算可以通过坐标运算向代数问题实现转化, 这是解决向量问题的常用方法, 应该掌握.
例10 在△ABC中,已知AB=463,cosB=66,AC边上的中线BD=5,求sinA的值.
解法1:设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,且DE=12AB=263,设BE=x,
在△BDE中利用余弦定理可得:BD2=BE2+ED2-2BE·EDcos∠BED,
5=x2+83+2×263×66x.解得x=1或x=-73(舍去).
故BC=2,从而AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB=283, 即AC=2213.
又sinB=306,故由正弦定理得2sinA=2213306,sinA=7014.
解法2:以B为坐标原点,BC为x轴正向建立直角坐标系,且不妨设点A位于第一象限.由sinB=306,则BA=463cosB,463cosB=43,453,
设BC=(x,0),则BD=4+3x6,253.
由条件得|BD|=4+3x62+
2532=5,从而, x=2, x=-143(舍去). 故CA=-23,453.
于是, cosA=AB·AC|AB|·|AC|
=BA·CA|BA|·|CA|
篇5:中考数学复习要点指导
一、例题覆盖面大, 突出重点
选取例题要体现以下特点: (1) 知识点覆盖面大, 具有代表性、典型性; (2) 既能突出考查蕴涵在它们中的数学思想和数学方法, 又能反映“课程标准”中最主要而又最基本的要求. (3) 内容背景新颖, 具有多样性和时代感, 力求“新”“精”.
比如在复习“实数”时, 可选取如下例题:
例1: (2009年山东省济南市) 2009年10月11日, 第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开.奥体中心由体育场, 体育馆、游泳馆、网球馆, 综合服务楼三组建筑组成, 呈“三足鼎立”“东荷西柳”布局.建筑面积约为35 9800平方米, 请用科学记数法表示建筑面积是 (保留3个有效数字) () .
A.35.9×105平方米B.3.60×105平方米
C.3.59×105平方米D.35.9×104平方米
分析:此例以当今的社会热点、国家大事为背景, 包含的知识点比较多, 覆盖面较大, 也是现在中考命题的热点, 它考查了近似数、有效数字、科学计数法, 解决问题的难点是有效数字, 可用口诀:“前面是零不算数, 中末是零要数好.”
二、立足基础关注热点
教师要把握中考趋向, 立足基础, 关注热点.热点是什么?如应用型问题、实验操作、探究规律、方案设计、图形变换、读图识图等.热点只与题目形式有关, 其基础是“不变量”.利用其题目形式激发学生的好奇心、求知欲, 能有效地吸引学生的注意力, 使学生诱发联想, 抓住实质, 就能起到以点带面、举一反三、触类旁通的作用.
例如在进行“探究规律性试题”的复习时, 可选取如下例题:
例2: (2009年广西壮族自治区南宁市) 正整数按下图的规律排列.请写出第20行, 第21列的数字----------.
分析:此例是现在中考命题的热点, 要猜想的结论往往需要从简单情况或者特殊情况入手进行归纳, 通过观察、分析、综合、归纳、推理等一系列探究活动, 发现规律, 大胆猜想得出结论.这类例题有利于激发学生对数学现象的好奇心, 培养学生的学习兴趣, 帮助学生学会从数学的角度发现问题、提出问题, 在解决问题的过程中学习思维策略, 充分发挥自己的观察和猜想能力.
三、体现“三位一体”
在总复习时应立足课本, 夯实双基, 以课本为根, 拓展为叶, 这样才能更好地使用教材, 吃透教材.通过对近几年中考试题的研究不难发现, 课本是试题的基本来源, 大多数试题都是在课本基础上组合、加工和发展的结果.因此, 在中考复习选取例题时, 要以课本为蓝本, 以《中考说明》为导向, 以2009年中考数学题为载体, 体现“三位一体”, 这样复习就能做到有基础、有方向、有新意, 同时还要做到一题多用、推陈出新.
例如在进行“函数的图像”复习时, 可选取如下例题:
例3: (2009年贵州省安顺市) 如图, 乌鸦口渴到处找水喝, 它看到了一个装有水的瓶子, 但水位较低, 且瓶口又小, 乌鸦喝不着水, 沉思一会后, 聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中, 水位上升后, 乌鸦喝到了水.在这则乌鸦喝水的故事中, 从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x, 瓶中水位的高度为y, 下列图像中最符合故事情景的是: () .
分析:此例是考查函数图像的应用, 它来源于课本, 但有一定的变式, 又是《中考说明》必考的内容之一, 解题时, 只要弄清题意, 把握好关键词, 能读图、识图, 在图像中理解文字的表达, 这样问题就迎刃而解了.
又如在复习“三角形的角”这一部分时, 可选取如下例题:
例4: (2009年山东省枣庄市) 如下图, 将一副三角板叠放在一起, 使直角顶点重合于O点, 则∠AOC+∠DOB=--------.
分析:此例是考查三角形的基础知识, 是《中考说明》的必考内容之一, 学生可以自己利用两块同样的三角板进行平移、旋转、翻折等变换, 其实质是两个直角的度数相加, 从而得出问题结论.
四、解题注重通法
如何解数学题?数学家G·波利亚提出了4个阶段:即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这就是说, 数学解题是从理解问题开始, 经过探索思路, 转换问题直至解决问题, 进行回顾的全过程的思维活动。现在的中考题越来越淡化技能技巧, 注重通性通法的考查, 功能是选拔性的考试, 能够继续在高中学习, 试题形式和素材千变万化, 但其中蕴涵的数学思想和数学方法往往是相通的、不变的, 因此, 师生的解题思路要能突出解题的通用解法、常规解法, 同时体现例题的“应用性”.
比如在复习“一元二次方程的应用”时, 可选取以下例题:
例5: (2009年山东省青海市) 在一幅长为80cm, 宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边, 制成一幅矩形挂图, 如下图所示, 如果要使整个挂图的面积是5400cm2, 设金色纸边的宽为xcm, 那么x满足的方程是 () .
A.x2+130x-1 400=0 B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1 400=0 D.x2-65x-350=0
分析:此例是“一题多变”、“一图多变”的好题, 其解题思路是把“金色纸边”矩形的长、宽, 表示出来, 构建“一元二次方程模型”迎刃而解.
例6: (2009年天津市) 注意:为了使同学们更好地解答本题, 我们提供了一种解题思路, 你可以依照这个思路填空, 并完成本题解答的全过程.如果你选用其他的解题方案, 此时, 不必填空, 只需按照解答题的一般要求, 进行解答即可.
如图 (1) , 要设计一幅宽20cm, 长30cm的矩形图案, 其中有两横两竖的彩条, 横、竖彩条的宽度比为2∶3, 如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的13, 应如何设计每个彩条的宽度?
由横、竖彩条的宽度比为2∶3, 可设每个横彩条的宽为3x, 则每个竖彩条的宽为------.为更好地寻找题目中的等量关系, 将横、竖彩条分别集中, 原问题转化为如图 (2) 的情况, 得到矩形ABCD.
结合以上分析完成填空:如图 (2) , 用含x的代数式表示:AB=____cm, AD=____cm;矩形ABCD的面积为cm2;
列出方程并完成本题解答.
分析:此例的解答是用数形结合思想, 以寻找矩形的长、宽为切入点, 并涉及代数式的表示、一元二次方程及其解法等知识.题目中给出的“分析”为问题的解答作了铺垫, 从而降低了问题的起始难度, 有利于不同层次的学生解答问题.
这些例题融于图形, 突出了对数形结合思想方法的考查, 有利于发展学生的思维, 培养学生的创新意识, 激发学生的兴趣.在教学中应强调学生掌握解此类题的通性通法, 便于学生理解知识的重点, 摆脱“题海战”之苦, 同时也能唤起学生探究事物发展变化的好奇心, 开拓学生的视野.
篇6:期末复习要点回顾
一、平面直角坐标系
知识链接
1.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图1所示.
2.象限:如图1,坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个部分,即4个象限.(注:坐标轴不属于任何象限.)
3.点的坐标:对于平面内任意一点P,如图2所示,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.
4.由坐标变化导致图形的平移:在平面直角坐标系内,如果一个图形各个点的横坐标都加(或减)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或左)平移a个单位长度;如果把各个点的纵坐标都加(或减)一个正数b,相应的新图形就是把原图形向上(或下)平移b个单位长度.
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例1 (2009年乌鲁木齐考题)在平面直角坐标系中,点A(x-1,2-x)在第四象限,则实数x的取值范围是________.
解析:由点A(x-1,2-x)在第四象限可知,x-1>0,2-x<0,解不等式组得x>2.所以答案为x>2.
点拨:要掌握各象限内点的符号特征.
例2 (2008年贵阳考题)对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在().
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:对任意实数x,当x=0时,点P不属于任何象限,故x=0不合题意.因此对实数x可作如下分类.
由x2-2x=x(x-2) 可知,当x<0时,一定有x(x-2)>0,点P在第二象限;当0
点拨:本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标的特征.通过对x进行分类讨论,判断出点P可能所在的象限,体现分类思想在坐标中的应用.
例3(2009年梧州考题)将点A(1,-3)向右平移2个单位,再向下平移2个单位后得到点B(a,b),则ab=.
解析:根据点的坐标的平移特征可知,将点A向右平移2个单位,其纵坐标不变,横坐标变为3,再将其下平移2个单位,其坐标为(3,-5),即a=3,b=-5,所以ab=-15.
点评:(1)将点(x,y)向右平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x+a,y);将点(x,y)向左平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x-a,y);
(2)将点(x,y)向上平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y+b);将点(x,y)向下平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y-b).
点评:对某个图形进行平移,这个图形上对应点的坐标都要发生相应的变化,但对应点平移的方向和距离相同。
二、三角形的边角关系
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1.三角形:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
3.三角形内角和:三角形的内角和等于180.
4.多邊形的内角和:n边形的内角和等于(n-2)•180°.
5. 多边形的外角和:任何多边形的外角和都等于360.
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例4 (2009年广西考题)一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为().
A.7B.9C.12D.9或12
解析:根据三角形的三边关系确定腰长和底边的长.当腰长为2时,2+2<5,不能构成三角形;当腰长为5时,即三角形的三边为5,5,2时,满足三角形的三边关系.故此等腰三角形的周长为12,选C.
点拨:构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.
例5 (2009年铁岭考题)如图3,已知直线AB∥CD,∠C=125,∠A=45,则∠E的度数为().
A.70B.80 C.90D.100
解析:∵AB∥CD,∴∠BFE=∠C=125,
又∵∠BFE=∠A+∠E,
∴∠E=125-45=80.
故选B.
点拨:本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理的推论.
例6 (2009年济宁考题)如图4,在△ABC中,∠A=70 ,∠B=60,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于().
A.100B.120 C.130D.150
解析:由三角形的外角特点知,
∠ACD=∠A+∠B=70+60=130.
故选C.
点波:本题考查的知识点是三角形内角和定理的推论,即三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和.
三、二元一次方程组及其解法
知识链接
1.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数是1的方程叫做二元一次方程.二元一次方程必须同时满足3个条件即等号两边的代数式是整式;含有两个未知数;所含未知数的项的次数是1.
2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.在组成方程组的各个方程中,相同的字母必须代表同一数量.
3.二元一次方程组的解法:常用的方法是代入法和加减消元法.
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例7 (2009年青海考题)已知代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,那么m、n的值分别是().
A.m=2,n=-1 B.m=-2,n=-1 C.m=2,n=1 D. m=-2,n=1
解析:由题意可知,代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,则m-1=n,m+n=3.解方程组得m=2,n=1.故选C.
点拨:利用同类项的概念构造二元一次方程组,从而解决问题,这类题是中考的一个重点题型.
例8 (2009年茂名考题)解方程组:
x+2y=4,① x+y=1. ②
解析:由①-②得y=3,
把y=3代人②得,x=-2,
所以原方程组的解是x=-2,y=3.
点拨:解二元一次方程组的关键是消元,即将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解.消元的方法有两种,即代入消元法和加减消元法.在解题时要认真观察题目的特点,灵活选择解法.
例9 (2009年广州考题)为了拉动内需,广东启动“家电下乡”活动.某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在活动启动前一个月共售出960台,活动启动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比活动启动前一个月增长30%、25%,这两种型号的冰箱共售出1 228台.
(1)在启动活动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台?
(2)若Ⅰ型冰箱每台价格是2 298元,Ⅱ型冰箱每台价格是1 999元,根据“家电下乡”的有关政策,政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴.问:活动启动后的第一个月销售给农户的1 228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱,政府共补贴了多少元(结果保留2个有效数字)?
解析:(1)设在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为x、y台,则
x+y=960,(1+30%)x+(1+25%)y=1 228.
解得x=560,y=400.
经检验,符合題意.
所以在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为560台、400台.
(2)Ⅰ型冰箱政府补贴的金额为:2 298×560×(1+30%)×13%=217 482.72元,Ⅱ型冰箱政府补贴的金额为:1 999×400×(1+25%)×13%=129 935元.
所以活动启动后第一个月,政府一共补贴给农民的金额为:217 482.72+129 935=347 417.72≈3.5×105元.
点拨:本题取材于社会关注的热点“三农”问题,时代气息浓郁,体现了数学在生活中的广泛应用.
四、一元一次不等式(组)及其解法
知识链接
1.不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式.对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做不等式的解的集合,简称这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
2.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
3.解一元一次不等式的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
注意:解不等式时,上面的5个步骤不一定都能用到,并且不一定按照顺序解,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.
4.一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分.
求不等式组公共解的一般规律:同大取大,同小取小,一大一小中间找.
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例10 (2008年永州考题)如图5,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是().
图5
A.a>c>bB.b>a>c
C.a>b>cD.c>a>b
解析:根据题意得2c=b,3b<2a,所以a>b>c.故选C.
点拨:灵活运用不等式的基本性质是解题的关键.
例11(2009年荆门考题)若不等式组
x+a≥0,1-2x>x-2有解,则a的取值范围是().
A.a>-1B.a≥-1
C.a≤1 D.a<1.
解析:解不等式组x+a≥0,1-2x>x-2得x<1,x≥-a,所以a>-1.
点拨:本题根据不等式组解集的概念,分类讨论,从而确定a的取值.
例12 (2009年淄博考题)解不等式:5x-12≤
2(4x-3).
解:5x-12≤8x-6,
-3x≤6,
x≥-2.
点拨:解一元一次不等式的步骤可类比解一元一次方程的5个步骤,注意当两边同除以负数时要改变不等号的方向.
例13(2009年株洲考题)初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140~200元钱,买一份礼物送给父母.已知:在暑假期间,如果卖出的报纸不超过1 000份,则每卖出一份报纸可得0.1元;如果卖出的报纸超过1 000份,则超过部分每份可得0.2元.
(1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过1 000份.
(2)孔明同学要通过卖报纸赚取140~200元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.
解析:(1)如果孔明同学卖出1 000份报纸,则可获得1 000×0.1=100元,没有超过140元,从而不能达到目的.(其他说理正确、合理即可.)
(2)设孔明同学暑假期间卖出报纸x份,由(1)可知,x>1 000,依题意得,
1 000×0.1+0.2(x-1 000)≥140,1 000×0.1+0.2(x-1 000)≤200,
解得1 200≤x≤1 500 .
所以孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在1 200至1 500份之间.
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