初中数学一元二次方程

初中数学一元二次方程（精选6篇）

篇1：初中数学一元二次方程

一元二次方程学案

一、选择题

1. 下列方程中是一元二次方程的是( ).

A.xy+2=1 B. C. x2=0 D.

2. 白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

3、关于x的一元二次方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )

A、k≤ B、k≥ 且k≠0 C、k≥ D、k> 且k≠0

4.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ( )

A.x(x+1)=1035 B.x(x-1)=1035×2 C.x(x-1)=1035 D.2x(x+1)=1035

5、若 是一元二次方程 的两个根，则 的值是( )

A、 B、 C、 D、7

6、工厂技术革新，计划两年内使成本下降51%，则平均每年下降百分率为( )

A.30% B.26.5% C.24.5% D.32%

7、如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于 的方程 的根，则 的值为 ( )

A. -3 B. 5 C. 5 或-3 D. -5或3

8.(山西省太原市)用配方法解方程 时，原方程应变形为( )

A. B.

C. D.

二、填空题

9、(山西省)请你写出一个有一根为1的一元二次方程： .

10、一元二次方程3x2-23=-10x的二次项系数为： ，一次项系数为： ____ ，常数项为： ___

11、(20本溪)11.由于甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少?设平均每次下调的百分率为 ，则根据题意可列方程为 .

12、已知方程 的两根平方和是5，则 =

13、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为 .

14、已知m是方程 的一个根，则代数式 的值等于 .

15、设 是一个直角三角形两条直角边的长，且 ，则这个直角三角形的斜边长为

16、若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p= q=

17、在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2-b2,根据这个规则，

方程(x+2) ﹡5=0的解为

18、等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长是

三、解下列方程

19、 x2-2x-99=0 21、 (配方法)

20、

四、解答题

22、已知关于x的一元二次方程 的一个根为0，求k的值和方程的另外一个根。

23、 在某次数字变换游戏中，我们把整数0，1，2，…，200称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”。

(1)请把旧数60按照上述规则变成新数;

(2)是否存在这样的旧数，经过上述规则变换后，新数比旧数大75，如果存在，请求出这个旧数;如果不存在，请说明理由。

24、(2009年鄂州)关于x的方程 有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围。

(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由

25、 已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由.

26、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把个位数字与十位数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的这个两位数

27、某商店将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元?

28、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m)，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少?

29、(2009年宁波市)2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(2009~》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比增加了1250万元.投入资金的服务对象包括“需方”(患者等)和“供方”(医疗卫生机构等)，预计2009年投入“需方”的资金将比20提高30%，投入“供方”的资金将比年提高20%.

(1)该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元?

(2)该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元?

(3)该市政府预计20将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009~年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009~2011年的年增长率.

篇2：初中数学一元二次方程

试讲人：XXX

知识点：二元一次方程的概念及一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项、判别式、一元二次方程解法

重点、难点：二元一次方程四种解法，直接开平方、配方法、公式法、因式分解法

教学形式：例题演示，加深印象!学完即用，巩固记忆!你问我答，有来有往!

1、自我介绍：30s

大家下午好!我叫XXX，20XX年毕业于暨南大学，学的行政管理，现在教的是初中数学，希望能与大家有一个愉快的下午!

2、一元二次方程概念、系数、根的判别式：8min30s

我们今天的课堂内容是复习一元二次方程。首先请同学们看黑板上的这4个等式，请判断等式是否是一元二次方程，如果是请说出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数以及常数项：

(1)x -10x+9=0 是 1 -10 9

(2)x +2=0 是 1 0 2

(3)ax +bx+c=0 不是 a必须不等于0(追问为什么)

(4)3x -5x=3x 不是 整理式子得-5x=0所以为一元一次方程(追问为什么) 好，同学们都回答得非常好!那么我们所说的一元二次方程究竟是什么呢?我们从它的名字可以得出它的定义!

一元：只含一个未知数

二次：含未知数项的最高次数为2

方程：一个等式

一元二次方程的一般形式为：ax +bx+c=0 (a ≠0)其中，a 为二次项系数、b 为一次项系数、c 为常数项。记住，a 一定不为0,b 、c 都有可能等于0，一元二次方程的形式多种多样，所以大家要注意找系数时先将一元二次方程化为一般式! 至于一个一元二次方程有没有根怎么判断，有同学能告诉老师吗?(没有就自己讲)，好非常好!我们知道Δ是等于2-4ac 的，当Δ>0时，方程有2个不相同的实数根;当Δ=0时，方程有两个相同的实数根;当Δ<0时，方程无实根。 那我们在求方程根之前先利用Δ判断一下根的情况，如果小于0，那么就直接判断无解，如果大于等于0，则需要进一步求方程根。

3、一元二次方程的解法：20min

那说到求方程的根我们究竟学了几种求一元二次方程根的方法呢?我知道同学们肯定心里有答案，就让老师为你们一一梳理~

(1)直接开方法

遇到形如x =n的二元一次方程，可以直接使用开方法来求解。若n <0，方程无解;若n=0，则x=0，若n >0, 则x=±n 。同学们能明白吗?

(2)配方法

大家觉得直接开平方好不好用?简不简单?那大家肯定都想用直接开方法来做题，是吧?当然，中考题简单也不至于这么简单~但是我们可以通过配方法来将方程往完全平方形式变化。配方法我们通过2道例题来巩固一下：

简单的一眼看出来的：x -2x+1=0 (x-1)=0(让同学回答)

需要变换的：2x +4x-8=0

步骤：将二次项系数化为1，左右同除2得：x +2x-4=0

将常数项移到等号右边得：x +2x=4

左右同时加上一次项系数一半的平方得：x +2x+1=4+1

所以有方程为：(x+1)=5 形似 x=n

然后用直接开平方解得x+1=±5 x=±5-1

大家能听懂吗?现在我们一起来做一道练习题，2min 时间，大家一起报个答案给我!

题目：1/2x-5x-1=0 答案：x=±+5

大家都会做吗?还需要讲解详细步骤吗?

(3)讲完了直接开方法、配方法之后我们来讲一个万能的公式法。只要知道abc ，没有公式法求不出来的解，当然啦，除非是无解~

首先，公式法里面的公式大家还记得吗?

x=(-b ±2-4ac )/2a

这个公式是怎么来的呢?有同学知道的吗?就是将一般式配方法得到的x 的`表达式，大家记住，会用就可以了，如果有兴趣可以课后试着用配方法进行推导，也欢迎课后找我探讨~这个公式法用起来非常简单，一找数、二代入、三化简。 我们来做一道简单的例题：

3x -2x-4=0

其中a=3，b=-2，c=-4

带入公式得：x=((-(-2))± 2) 2-4*(-4)*3/(2*3)

化简得：x1=(1-)/3 x2=(1+)/3

同学们你们解对了吗?

使用公式法时要注意的点：系数的符号要看准、代入和化简要细心，不要马失前蹄哈~

(4)今天的第四种解方程的方法叫因式分解法。因式分解大家会吗?好那今天由我来带大家一起见识一下因式分解的魅力!

简单来说，因式分解就是将多项式化为式子的乘积形式。

比如说ab+ab 可以化成ab (1+a)的乘积形式。

那么对于二元一次方程，我们的目标是要将其化成(mx+a)*(nx+b)=0 这样就可以解出x=-a/m x=-b/n

我们一起做一个例题巩固一下：4x +5x+1=0

则可以化成4x +x+4x+1=0 x(4x+1)+(4x+1)=0 (x+1)(4x+1)=0

所以有x=-1 x=-1/4

同学们都能明白吗?就是找出公因式，将多项式化为因式的乘积形式从而求解。 练习题：x -5x+6=0 x=2 x=3

x-9=0 x=3 x=-3

4、总结：1min

篇3：浅谈初中数学一元二次方程的教学

一、打好基础

要搞好一元二次方程这一章节的教学,我认为最重要的是让学生学会在平面直角坐标系上准确作图,这就是一元二次方程教学的基础. 在平面直角坐标系上作图, 对于绝大部分学生来说,应该是一项非常基础的内容,只要明白横轴、纵轴所指示的数值就能作出图来,没有这个基础,就没法继续一元二次方程的教学了.

抓好数轴作图这一基本知识,教师要花时间和耐心认真做好这一环节的知识教学,只有学生明白了怎么作图,横轴、纵轴如何准确标注(x,y)在图中所在的位置,他们才会在任何一个给定的函数表达式的规范下, 较精准的作出图像. 只要会作图,学生就能明白函数的对称图像、上加下减、左加右减等平移问题了,不用我们强迫他们记忆,不仅效果欠佳,而且非常容易混淆. 学生基础较差,难以讲明白的话,我们就回归到最基本的方式,作图. 作出函数的图像,我们就能清晰的看出横轴、纵轴数据变化会引起函数开口、位置等系列变化,直观明了的教学方法,让学生不再困扰在繁杂的口诀和所谓的技巧中.

二、讲清问题

不少的初中数学教师对于学生提出的问题,没有讲通讲透,导致学生心底还在犯嘀咕. 比如,ax2+ bx + c = 0的解 ,为什么说是与x轴的交点就是方程的解? 很多老师给出的解释仅仅就限于因为X1和X2代入方程中,能使得等式两边成立,至于韦达定理,根与系数的关系中的公式,不少数学老师对于推导过程和公式的来龙去脉很少花时间和精力去讲,而是强迫式的让学生记忆.

一元二次方程根与系数的关系中,我们告诉学生这样的公式, 对于一元二次方程ax2+ bx + c = 0, 当判别式Δ = b2 -4ac≥0时 , 其求根公式为若两根为则两根的关系为(根与系数的这种关系又称为韦达定理 ; 它的逆定理也是成立的,即当的两根. 这一段话既冗长 ,又难以理解 ,定理与公式糅合在一起, 估计不少的学生犯嘀咕为什么判别式非得是Δ = b2-4ac,关于这个疑问我们最好是结合一元二次方程中函数的图像来讲解. 一元二次方程的一个特殊形式,当y = 0时,是否存在这样的x,使得ax2+bx +c = 0成立 ,即函数图像与x轴是否存在交点 ,抛物线与x轴相交后,形成了顶端的一个封闭区域,这个区域的面积就是b2- 4ac,面积大于0,说明与x轴至少有两个交点 ,也就存在两个实数根,面积等于0,说明与x轴只有唯一的交点,面积小于0,说明不存在这样的实数根x,使得二次方程ax2+ bx+ c = 0成立.

在讲解这一问题时,我们最好是选择那些存有疑问的学生来黑板上作图,任意选取三个有代表意义的函数,取几个特殊值,大致画出图像,然后一一分析,做到讲清问题,不留死角. 至于韦达定理,直接把求根公式中的形式分离出来, 代入韦达定理的式中,也就不难得出结果.

三、立足实际

这些推导过程表面上看起来是繁琐哲学,好像在教学之中没有必要去花力气,直接让学生去记忆,他们似乎也没有表现出什么疑问和不解,所以有些时候,数学教师就忽略了学生内心的想法. 对于初中生来讲,他们都是未成年人,对知识的好奇心和欲望是无法估量的,很多时候他们喜欢自己问自己为什么,把自己憋在自己的世界里,强迫自己去想通,想不通的就只能硬性的记忆了. 对于教师的讲解学生不太敢打断或者提出自己的疑问, 去问一个为什么. 一来担心突然打断教师的教学,教师不悦其他学生也不高兴,二来担心自己的为什么特别幼稚, 招来其他人的嘲笑. 正是在这种心态的困扰下,学生才无法紧跟教学步伐,扎扎实实的走好教学每一步.

因此,广大初中数学教师要立足学生的心理实际,教学中不时停下来观察学生的表情和心理,同时也反思自己是否有些地方讲解的不明白,不透彻,在学生做作业,练习题的过程中,也要及时总结,为什么学生会混淆公式,真的仅仅是公式太相近了还是我们有些工作做得不够到位?

篇4：初中数学一元二次方程应用题解析

儿童玩具店的老板以2元/个的价格购进一批玩具小汽车，以3元/个的价格出售，每天可以售出200个。然而，老板为了促销，决定降价处理，这种小型玩具小汽车每降价0.1元/个，每天可以多销售40个。此外，儿童玩具店的老板要想每天付给房东24元房租。

（1）请问：如果儿童玩具店的老板要想每天盈利200元，应将每个玩具小汽车的售价降低多少元？

（2）如果该儿童玩具店的老板要想盈利最大，应将每个玩具小汽车的售价降低多少元？

一、阐述命题意图

以一元二次方程来解决实际问题在历年中考中出现频率最高的类型，也是每年必考题。中考大纲山野多次强调“学生能够利用所学一元二次方程知识解决实际问题”。一般是以2问式出现的频率比较高，考查学生对一元二次方程的求解、图像、对称轴、最大值、最小值等几个知识点的考查，重点考查学生分析问题、解决问题的能力。第一題考查的是一元二次方程的求解，一般比较简单。这道题主要考查学生的计算能力和分析问题的能力。第二道题则是考查一元二次方程的对称轴、最大值、最小值的知识点，也就是考查二次函数的顶点坐标。

二、说明考点及对应的考纲要求

按照初中数学课程标准规定的一元二次方程及其解法、可化为一元二次方程的方程解法为学习目标的九年级数学的“一元二次方程”和“二次函数”模块，组成中考必考内容。必考内容对学生有难易不同的考查。

一元二次方程、二次函数作为中考必考内容要求学生：

（1）能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

（2）会解简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。

（3）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

（4）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解的合理性。

（5）会从具体问题中寻找数量关系和变化规律。

（6）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

三、试题讲解过程

根据题型特点和新课程的教学理念，我设计了如下教学流程：

学生现状：有足够的相关知识储备。

首先，我和学生一起阅读该题目，一起审题，了解该题中所包含的数量关系，了解现实的生活的赢利是如何计算，从最简单的一天的赢利算起，看看自己作为店老板一天可以赚多少钱。列出相关的数量关系“每天的赢利=（售价-进价）×销售量-固定成本（房租）”列出方程求解即可。

如果我们设应将每个玩具小汽车的售价降低x元，根据题意：

列出方程（3-x-2）（200+40×）-24=200

再者，列出方程，学生小组讨论，看如何解决一元二次方程，如何化简方程，如何解一元二次方程。最后学生在黑板上展示解题过程

-400x2+200x-24=0 化简可得50x2-25x+3=0

解得x=0.2或者0.3

因为是为了促销，所以应该降价0.3元

接着，我和大家一起列出第2问的数量关系：“每天的赢利=（售价-进价）×销售量-固定成本（房租）”，由于是二次函数，所以这次我让学生自己列出数量之间等量关系：（3-x-2）（200+40×）-24。

但是由于此题是函数问题，因而我引导学生设置变量，设儿童玩具店的老板盈利为y

所以该式就变形为y=（3-x-2）（200+40×）-24

即y=-400（x-）2+201

学生小组讨论，如何讨论该二次函数什么时候取得最大值，画出图象，讨论。

解得x=0.25时，y取得最大值。

四、试题的拓展延伸及变式分析

1.知识拓展

（1）一元二次方程的求解计算：如公式法、十字相乘、配方法等多种方法的求解方法，并把自己求解的新的交流展示。

（2）二次函数的谈论：引导学生善于运用对称轴，顶点坐标，二次函数的图像的讨论，并且把这些知识点一起总结起来。

2.能力拓展

（1）二次函数知识点易错点强化：在班级里，每个学生重点负责总结二次函数在中考题中出题类型，每次做完相关实际问题后，由负责学生找出解题方法，归类整理。

（2）自主命题：由学有余力的学生带动其小组成员，在本篇试题中按照中考考查的主要知识点，自主合成一份标准试题，分别侧重一元二次方程和二次函数结合问题解答综合问题。

五、试题的价值、反思及感悟等

一元二次方程、二次函数是中考试卷的必考知识点，因此，我们需要加强平时对学生计算方面的训练，在数学教学中，引导学生熟记常见的一元二次方程的解法，求根公式，配方法、十字相乘等，进而拓展学生一元二次方程求解的有效途径。

授之以鱼，不如授之以渔。本节课的学习，师生互动，共同探究，教学相长，其乐融融，这才是教育真正的意义。这才是我们这些教育工作者真正的幸福。

篇5：初中数学一元二次方程

X1+X2=-b/aX1*X2=c/a

注：韦达定理

篇6：初中数学一元二次方程

一元二次方程

主备人：刘鸿智

教材内容

本单元教学的主要内容：

1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.2.本单元在教材中的地位和作用： 教学目标

1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。2.根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.3.经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。教学重点、难点 重点：

1．一元二次方程及其有关概念

2.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。难点：

1.一元二次方程及其有关概念

2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用 课时安排

本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）

22．1 一元二次方程 1课时 22．2 降次 7 课时 22．3 实际问题与一元二次方程 3 课时 教学活动、习题课、小结

静下心来教书，潜下心来育人

22.1 一元二次方程

教学目的

1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．

2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．

3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 教学重点、难点

重点：一元二次方程的定义．

难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．教学过程 复习提问

1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？

2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？

(l)3x+4=l；

(2)6x-5y=7；

3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课

1．方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）

学过的几类方程是

静下心来教书，潜下心来育人

没学过的方程有x-70x+825=0，x(x+5)=150．

这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”

据此得出复习中学生未学过的方程是

(4)一元二次方程：x-70x+825=0，x(x+5)=150．

同时指导学生把学过的方程分为两大类： 22

2．一元二次方程的一般形式

注意引导学生考虑方程x-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x+5x=150，可化为：x+5x-150=0．

从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为

ax+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．

其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数． 【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．

例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 课堂练习P27 1、2题 归纳总结 222

221．方程分为两大类：

判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．

2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．

其一般形式是ax+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 布置作业：习题22.1 1、2题． 达标测试

1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()

2静下心来教书，潜下心来育人

①3x+7=0,②ax+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x-1,④x-5x+4=0, ⑤x-(2+1)x+2=0,⑥3x-2

22222

4+6=0 xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.关于x的一元二次方程3x=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是()A.3,-5,-2 B.3,-5x,2 C.3,5x,-2 D.3,-5,2 3.方程(m+2)xm2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2 4.若方程kx+x=3x+1是一元二次方程,则k的取值范围是 5.方程4x=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 222课后反思：

22.2解一元二次方程

第一课时

直接开平方法

教学目的

1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．

2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax+c=0(a＞0，c＜0)的方法． 教学重点、难点

重点：准确地求出方程的根．

难点：正确地表示方程的两个根． 教学过程

复习过程

回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．

求下列各式中的x：

1．x=225； 2．x-169=0；3．36x=49； 4．4x-25=0．

静下心来教书，潜下心来育人

222

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．

即 一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．

引入新课

我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？

新课

例1 解方程 x2-4=0．

解：先移项，得x2=4．

即x1=2，x2=-2．

这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

例2 解方程(x+3)2=2．

练习：P28 1、2 归纳总结

1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．

2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程． 布置作业：习题22.1 4、6题 达标测试

1.方程x2-0.36=0的解是

A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6 2.解方程:4x2+8=0的解为 A.x1=2 x2=-2 B.x12,x22

C.x1=4 x2=-4 D.此方程无实根 3.方程(x+1)2-2=0的根是

A.x112,x212 B.x112,x212

C.x112,x212 D.x112,x212

4.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是

静下心来教书，潜下心来育人

A.不论c为何值,方程均有实数根 B.方程的根是xcb aC.当c≥0时,方程可化为:axbD.当c=0时,x5.解下列方程:

c或axbc

b a①.5x-40=0 ②.(x+1)-9=0 ③.(2x+4)-16=0 ④.9(x-3)-49=0 课后反思

2222

第二课时

配方法

教学目的

1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．

2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想． 教学重点、难点

重点：掌握配方的法则．

难点：凑配的方法与技巧． 教学过程

复习过程

用开平方法解下列方程：

(1)x=441；(2)196x-49=0；

引入新课

我们知道，形如x-A=0的方程，可变形为x=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那2么，我们能否将形如ax+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

新课

我们研究方程x+6x+7=0的解法：

静下心来教书，潜下心来育人

2222

将方程视为：x+2·x·3=-7，即 x+2·x·3+3=3-7，∴(x+3)=2，22222

这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．

例1 解方程x-4x-3=0．

配方法解之．在解的过程中，注意介绍配方的法则．

例2 解方程2x+3=7x． 22

练习：P34 1、2题 归纳总结

应用配方法解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的要点是：

(1)化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；

(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式.布置作业：习题22.2 1、3题 达标测试

1.方程x-a=(x-a)(a≠0)的根是

A.a B.0 C.1或a D.0或a 2.已知关于x的方程(m+3)x+x+m+2m-3=0一根为0,另一根不为0,则m的值 为

A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不对 3.若x-mx+

22222221是一个完全平方式,则m= 4A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不对

4.方程x=5的解是 ,方程(x-1)=5的解是 ,方程(3x-1)=5的解是 5.①x课后反思：

静下心来教书，潜下心来育人

215x =(x-)2 ②x2x =(x+)2

第三课时

求根公式法

教学目的

1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．

2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法． 教学重点、难点

重点：要求学生正确运用求根公式解一元二次方程．

难点：1.求根公式的推导过程．

2.含有字母参数的一元二次方程的公式解法．

教学过程

复习提问

提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？

练习：用配方法解下列一元二次方程

(1)x2-8x=20；(2)2x2-6x-1=0．

引入新课

我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？

新课

(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax

2+bx+c=0(a≠0)的步骤．

解：∵a≠0，两边同除以a，得

把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得

静下心来教书，潜下心来育人

(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

应用求根公式解一元二次方程的关键在于：

(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．

例1 解方程x2-3x+2=0.例2 解方程2x2+7x=4.例5 解关于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2

=0．

练习P37 1题 归纳总结

1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即

要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2

-4ac≥0．

2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解． 布置作业：习题22.2 5、8、10题 达标测试

1.若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为 A.1或32 B.1或23 C.-1或23 D.1或32

2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是 A.方程总有两个实数根

B.只有当b2-4ac≥0时,才有两实根 C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实根 D.当b2-4ac=0时,方程无实根

3.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x

2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是

静下心来教书，潜下心来育人

A.4 B.411 C.4或4 D.不存在 224.如果分式x22x3的值为0,则x值为

x3A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3 5.把23x(3x)2化成ax+bx+c=0(a≠0)的形式后,则a= ,b= ,c=

26.若分式x2xx22的值为0,则x=

27.已知x=-1是关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的根,则22

2bc=__________.aa8.若a+b+2a-4b+5=0,则关于x的方程ax-bx+5=0的根是___________.课后反思：

第四课时

因式分解法

教学目的

使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法． 教学重点、难点

重点：用因式分解法解一元二次方程．

难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解． 教学过程

复习提问

1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？

2．方程x=4的解是多少？

引入新课

方程x=4还有其他解法吗？

新课

众所周知，方程x=4还可用公式法解．

此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．

我们仍以方程x=4为例．

静下心来教书，潜下心来育人

222

2移项，得 x-4=0，对x-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．

我们知道：

∴ x+2=0，x-2=0．

即 x1=-2，x2=2．

由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．

例1 解下列方程：

(1)x-3x-10=0；(2)(x+3)(x-1)=5．

在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；

讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．

例2 解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)-5=0．

在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；

再利用平方差公式因式分解后求解．

注意：在讲完例

1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．

例3 解下列方程：

(1)3x-16x+5=0 ；(2)3(2x-1)=7x．

练习：P40 1、2题 归纳总结

对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是

1．将方程化为一般形式；

2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)

3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；

4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根． 布置作业：习题22.2 6、10题

达标测试

静下心来教书，潜下心来育人

222222

1.对方程(1)(2x-1)=5,(2)x-x-1=0,(3)x(x3)3x选择合适的解法是 A.分解因式法、公式法、分解因式法 B.直接开平方法、公式法、分解因式法 C.公式法、配方法、公式法 D.直接开平方法、配方法、公式法

2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根为 A.x222552 B.x=3 C.x1,x23 D.x 2253.若x-5∣x∣+4=0,则所有x值的和是 A．1 B.4 C.0 D.1或4 5.若方程x+ax-2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是 A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2 5．已知3xy-xy-2=0，则x与y之积等于

6．关于x的一元二次方程(m+2)x+x-m-5m-6=0有一根为0，则m=。7．方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1,x2，且x1>x2,则x1-2x2的值是。8．方程x=∣x∣的解是 9.用因式分解法解下列方程:(1).(2x-1)+3(1-2x)=0(2).(1-3x)=16(2x+3)(3).x+6x-7=0 10.选用适当的方法解下列方程:(1).(3-x)+x=9(2).(2x-1)+(1-2x)-6=0(3).(3x-1)=4(1-x)(4).2(x-1)=(1-x)2

2222

2222根据以上各方程的特点,选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.课后反思：

静下心来教书，潜下心来育人

第五课时

一元二次方程的根的判别式。

教学目的

1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．

2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．

3.通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性． 教学重点、难点

重点：一元二次方程根的判别式的内容及应用．

难点：1.一元二次方程根的判别式的推导．

2.利用根的判别式进行有关证明

教学过程

复习提问

1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？

2．用公式法求出下列方程的解：

(1)3x＋x－10＝0；(2)x－8x＋16＝0；(3)2x－6x＋5＝0．

引入新课

通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．

接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)

新课

先讨论上述三个小题中b－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：

对任意一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为 222

22∵a≠0，∴4a＞0．

由此可知b－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．

(1)当b－4ac＞0时，方程右边是一个正数． 22

2静下心来教书，潜下心来育人

(2)当b－4ac＝0时，方程右边是0． 2

通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的情况可由b－4ac来判定．故称b－4ac2是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．

综上所述，一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根． 反过来也成立．

例1.不解方程，判别下列方程根的情况：

(1)2x＋3x－4＝0；(2)16y＋9＝24y；(3)5(x＋1)－7x＝0．

分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可． 例2．当k取什么值时，关于x的方程2x-(4k+1)x+2k-1=0

(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．

例3.求证关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0没有实数根.归纳总结

应用判别式解题应注意以下几点：

1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．

2．一元二次方程根的判别式的逆命题也是成立的． 布置作业：习题22.2 4题 达标测试

1.证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m有两个不相等的实数根．

2.已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程ax-(a+b-c)x+b=0没有实数根．

静下心来教书，潜下心来育人

3.若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2

=0无实数根．

4.已知，关于x的方程（a-2）x2

-2（a-1）x+（a+1）＝0，当a为何非负整数时； ①.方程只有一个实数根.②方程有两个相等的实数根.③方程没有实数根.课后反思

第六课时

一元二次方程的根与系数的关系

教学目的

1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．

2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点

重点：1.韦达定理的推导和灵活运用．

2.已知方程求关于根的代数式的值

难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式． 教学过程

复习提问

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？

2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？

新课

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么

我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x

2＋px＋q＝0的根与系数的关系．

静下心来教书，潜下心来育人

得出：

如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴ 方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

这就是说，以两个数x21，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 例2.下列各方程两根之和与两根之积各是什么？

(1)x2－3x－18＝0；(2)x2

＋5x＋4＝5；

(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2

＋3x＝0．

练习P42 归纳总结

1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．

2．要掌握定理的两个应用：

⑴.不解方程直接求方程的两根之和与两根之积； ⑵.已知方程一根求另一根及系数中字母的值． 布置作业：习题22.2 7题 达标测试

1．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？

2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2

＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和． 课后反思

第七课时

二次三项式的因式分解(公式法)教学目的

静下心来教书，潜下心来育人

1．使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系．

2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解因式． 教学重点、难点

重点：用求根法分解二次三项式．

难点：1.方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．

2.二元二次三项式的因式分解．

教学过程

复习提问

解方程：1．x-x-6＝0； 2．3x-11x+10＝0； 3．4x+8x-1＝0．

引入新课

在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的．是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发．

新课

二次三项式ax+bx+c(a≠0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法．

易知，解一元二次方程2x-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其两根x1＝1，x2＝2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式．即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：

如果一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0)的两个根是 222

22＝a[x-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．

从而得出如下结论．

在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax+bx+c=0的两根x1，x，然后写成ax+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．

静下心来教书，潜下心来育人

例如，方程2x2-6x+4＝0的两根是x1＝1，x2＝2．

则可将二次三项式分解因式，得2x2

-6x+4＝2(x-1)(x-2)．

例1 把4x2-5分解因式． 归纳总结

用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：

1．令二次三项式ax2+bx+c＝0；

2．解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；

3．代入a(x-x1)(x-x2)．

二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即

1．利用完全平方公式；

2．十字相乘法：

即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；

acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．

3．求根法：

ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，(1)当b2-4ac≥0时，可在实数范围内分解；

(2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解． 布置作业：

对下列式子进行因式分解

① 2x2+6x+4.②.4x2-4x+1 ③.-2x2

-4x+3.④.2x2

-8xy+5y2

课后反思

22.3一元二次方程的应用

第一课时

教学目的

1．使学生会列出一元二次方程解应用题．

2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．教学重点、难点

静下心来教书，潜下心来育人

重点：由应用问题的条件列方程的方法．

难点：设“元”的灵活性和解的讨论． 教学过程

复习提问

1．一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．)

2．回忆一元二次方程解的情况．(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．)

3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案．)

引入新课

问题1：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为21500cm的无盖长方形盒子．试问：应如何求出截去的小正方形的边长？

解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x-70x+825＝0．

当时，我们不会解此方程．现在，可用求根公式解此方程了． 2

∴x1＝55，x2＝15．

当x＝55时，80-2x＝-30，60-2x＝-50；

当x＝15时，80-2x＝50，60-2X＝30．

由于长、宽不能取负值，故只能取x＝15，即小正方形的边长为15cm．

问题2：剪一块面积是150cm的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．

解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．依题意，得

x(x+5)＝150，即x+5x-150＝0．

∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．

∴x＝10，x+5＝15．

答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状．

静下心来教书，潜下心来育人

归纳总结

利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答． 布置作业：习题22.3 1、2、3、5题 课后反思

第二课时

教学目的

使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力． 教学重点、难点

重点：用图示法分析题意列方程．

难点：将实际问题转化为对方程的求解问题.教学过程

复习提问

本小节第一课我们介绍了什么问题？

引入新课

今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法．

新课

例1 如图1，有一块长25cm，宽15cm的长方形铁皮．如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，2然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？

分析：如图1，考虑设截去的小正方形边长为xcm，则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长×宽＝矩形面积，可列出方程．

解：设小正方形的边长为xcm，依题意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x-20x+36＝0，静下心来教书，潜下心来育人

解得x1＝2，x2＝18(舍去)．

答：截去的小正方形的边长为2cm．

例2 一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数，这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？

∴x＝10．

答：第一、二次倒出药液分别为10升，5升．

练习P41 3、4 归纳总结

1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．

2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式． 布置作业：习题22.3 8、9题 课后反思

第三课时

教学目的

使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点、难点

重点：弄清有关增长率的数量关系．

难点：利用数量关系列方程的方法． 教学过程

复习提问

1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？

(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？

(3)某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？

新课

例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？

分析：用译式法讨论列式

静下心来教书，潜下心来育人

一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．

二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；

三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)吨．再根据题意，即可列出方程．

解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得5000(1+x)＝7200，即(1+x)＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．

答：平均每月增长率为20％．

例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？

解：设每月增长率为x，依题意得

50+50(1+x)+50(1+x)＝182，2

22答：

二、三月份平均月增长率为20％． 归纳总结

依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键． 布置作业：习题22.3 7题 课后反思