高中数学高考总复习推理与证明

高中数学高考总复习推理与证明（精选7篇）

篇1：高中数学高考总复习推理与证明

n－mb答案： a解析：等差数列中bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中bn－am可以类

n－m

bbn－ambn

比等比数列中的，等差数列中.an－max7.设函数f(x)，观察： x＋

2xxxf1(x)＝f(x)f2(x)＝f(f1(x))f3(x)＝f(f2(x))x＋23x＋47x＋8

xf4(x)＝f(f3(x))15x＋16

根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．

x答案：（2－1）x＋2

解析：观察知四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x

n＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母为(2－1)x

x＋2n，故当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))（2－1）x＋238.观察：① sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝ sin26°＋cos236°＋sin 6°

43cos36°＝4

由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

3解：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°).4

证明如下：

2左边＝sinα＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]

＝sin2α＋α－1sinαα＋1α 2222313＝sin2α＋22α＝ 444

所以，猜想是正确的．

9.在Rt△ABC中，两直角边的长分别为a、b，直角顶点C到斜边的距离为h，则易证11

1.在四面体S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，hab点S到平面ABC的距离为h，类比上述结论，写出h与a、b、c之间的等式关系并证明．

1111解：类比得到：＋.habc

证明：过S作△ABC所在平面的垂线，垂足为O，连结CO并延长交AB于D，连结SD，∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC，∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD，∴ AB⊥SD.在Rt△ABS中，有

111111中，有＝＋＋.hSDcabc111，在Rt△CDSSDab 2210.老师布置了一道作业题“已知圆C的方程是x＋y＝r，求证：经过圆C上一点

2M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意

思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则经过圆

2C上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.你认为小明的猜想正确

吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

解：小明的猜想正确．

(证法1)若x0≠a，y0≠b，则因圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，M(x0，y0)是圆C上

y0－b一点，所以直线MC的斜率为k1＝，设过M(x0，y0)的切线斜率为k，因直线MC与切x0－a

x0－ax0－a1线l垂直，所以k＝－＝－所以过M(x0，y0)的切线l方程为y－y0(x－x0)，k1y0－by0－b

22整理得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)＋(y0－b).又点M(x0，y0)在圆C上，所以有(x0

222－a)＋(y0－b)＝r，故此时过M(x0，y0)的圆C的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)2＝r.若x0＝a或y0＝b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出：|y0－b|＝r或|x0－a|＝r，此时切线方程分别为y＝y0或x＝x0，适合(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)22＝r.综上所述，过M(x0，y0)的圆C的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.→→→(证法2)设P(x，y)为切线上任一点，则PM＝(x0－x，y0－y)，CM＝(x0－a，y0－b)．又PM

→→→⊥CM，∴ PM·CM＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝0.又(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化简得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2为所求切线．

11.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；

1111(3)＋＋„＋的值． f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1

解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，„，由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4nf(n＋

1)＝f(n)＋4nf(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝„＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋„＋4＝2n2－2n＋1.11111，(3)当n≥2＝

f（n）－12n（n－1）2n－1n

1111所以＋＋„＋ f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－111111111＝1＋(1－＋－„＋)222334n－1n

1131＝1＋1－＝－2n22n

篇2：高中数学高考总复习推理与证明

211答案： 2n＋12n＋2

解析：f(n＋1)－f(n)

11111＝（n＋1）＋1＋（n＋1）＋2＋„＋2n＋2n＋1＋2（n＋1） 

111－n＋1＋n＋2＋„＋2n 

11111＝－.2n＋12（n＋1）n＋12n＋12n＋2

－8.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋„＋n×3n1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为____________．

11答案：a＝，b＝c＝2

4解析：∵ 等式对一切n∈N*均成立，∴ n＝1，2，3时等式成立，1＝3（a－b）＋c，2即1＋2×3＝3（2a－b）＋c，1＋2×3＋3×32＝33（3a－b）＋c，3a－3b＋c＝1，11整理得18a－9b＋c＝7，解得ab＝c 2481a－27b＋c＝34，9.已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋

*a(n∈N*)．用数学归纳法证明：an

a3证明：当n＝1时，a2＝1＋，a1

2ak＋1ak＋1时，ak0.则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1－1＋ak＋11＋ak＋

1ak＋1－ak1＋a＝1＋ak（1＋ak）（1＋ak＋1）>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式

an

＋－10.求证：an1＋(a＋1)2n1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*)．

证明：① 当n＝1时，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即当n＝1时原命题成立．

＋－＋② 假设n＝k(k∈N*)时，ak1＋(a＋1)2k1能被a2＋a＋1整除．则当n＝k＋1时，ak2

＋＋－＋－－＋(a＋1)2k1＝a·ak1＋(a＋1)2·(a＋1)2k1＝a·ak1＋a·(a＋1)2k1＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k1＝

[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可a·

＋＋知，ak2＋(a＋1)2k1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命题也成立．

根据①和②可知，对于任意的n∈N*，原命题成立．

11.设数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．

3解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，2

n2－1715得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.猜想an＝－.482

下面用数学归纳法证明猜想正确：

2n－121－1① 当n＝1时，左边a1＝1，右边＝－－1，猜想成立． 22

k2－12k－1② 假设当n＝k时，猜想成立，就是ak－Sk＝2k－ak＝2k－－.则当n＝22

1k＋1时，由Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ ak＋1＋1)－Sk]2

kk＋12－12－11＝k＋12k－－＝（＋）－ 222

这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．

2n－1由①②可知，an＝－n∈N*均成立． 2

12.已知△ABC的三边长为有理数，求证：

(1)cos A是有理数；

(2)对任意正整数n，cosnA是有理数．

AB2＋AC2－BC2

证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝ 2AB·AC

(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．

① 当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数． ② 假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．

当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．

即当n＝k＋1时，结论成立．

篇3：高中数学高考总复习推理与证明

我们认为数学创造过程中需要合情推理、需要猜想, 数学学习中就必须有猜想, 必须为发明作准备, 或者至少给一点发明的尝试.对于一个想以数学作为终身职业的学生来说, 为了在数学上取得真正的成就, 就得掌握合情推理;对于一般学生来说, 也必须学习和体验合情推理, 这是他未来生活的需要.

怎样教猜想?怎样教合情推理?教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程, 分析其发现动机和合情推理, 然后再让学生模仿范例去独立实践, 在实践中发展合情推理能力.教师要选择典型的问题, 创设情境, 让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察, 并得到猜想.

一、数

例1瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9, 16, 25, 36…中得到巴尔末公式, 从而打开

5122132

了光谱奥妙的大门.请你按这种规律写出第七个数据是.

推广第n个数据是.

练1找规律, 填空:-7, 3, -4, -1, , -6, -11.

练2观察下面的几个算式:

根据你所发现的规律, 请你直接写出下面式子的结果:

练3观察下列等式 (等式中的“!”是一种数学运算符号) :1!=1, 2!=2×1, 3!=3×2×1, 4!=4×3×2×1, ….计算:8!=. (填结果)

例2阅读材料, 数学家高斯在读书时曾经研究过这样一个问题:1+2+3+…+100=?经过研究, 这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=21n (n+1) , 其中n是正整数.现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+…+n (n+1) =?观察下面三个特殊的等式:

将这三个等式的两边相加, 可以得到1×2+2×3+3×4=31×3×4×5=20.读完这段材料, 请你思考后回答: (只需写出结果, 不必写中间的过程)

二、图

例1图 (1) 是边长为1的正三角形, 将此三角形的每一边三等分, 以其居中的那一条线段为底边作正三角形, 然后以其两腰代替底边, 得到第二个图形, 重复上述作法得第三个图形, 如此继续下去, 得到的第五个图形的周长为.

12=4, 图 (3) 的周长是91×8×6=316, …

观察:3, 4, 316, , , … (找出其中的规律)

练1柜台上放着一堆罐头, 它们摆放的形状见下图:第一层有2×3听罐头,

第二层有3×4听罐头,

第三层有4×5听罐头, …

根据这堆罐头排列的规律, 第n (n为正整数) 层有听罐头 (用含n的式子表示) .

练2为庆祝“六一”儿童节, 某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:

按照上面的规律, 摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 () .

练3下列是三种化合物的结构式及分子式, 请按其规律, 写出后一种化合物的分子式是.

篇4：高中数学高考总复习推理与证明

关键词： 不等式 均值不等式 三角换元 反证法 函数的单调性

一、利用均值不等式求解不等式

均值不等式在高中数学的应用比较广泛，常用于求函数的最值，或者应用于不等式的证明.解题思路比较明确，因为公式的应用主要是原式或者是它们的变式，所以比较好下手，但是在解题中一定要注意公式自身所隐含的条件.在利用公式求函数的最值时特别是要满足“一正，二定，三相等”这句话.即第一个条件是两个数都应该是正数；第二个条件是和或是积要定值，不能含有跟自变量有关的参数；第三个条件是在函数取到最值时能够取到等号，也就是相应的自变量能取得到.看以下一个例题.

例1：已知x，y>0，x+y=1，求■+■的最小值.

上述是一道非常典型的题目，上过高三老师在不等式复习时也都会把它重新再拿来讲一遍.很多学生在做题过程中很容易出现套公式的现象，常会出现以下错误：

∵x+y≥2■∴xy≤（■）■=■，∴■+■≥2■≥4■.

问题出在哪里呢？很多学生一时查不出来.后面老师提醒了一下很多学生就知道原因了：不等式取不到等号，上述解题过程中用到两次均值不等式，但是两次的x，y取不到相同的值.故最小值不是4■.正解如下：

■+■=（x+y）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，此时当且仅当■=■，x=■-1，y=2-■时，取到最小值.

二、利用反证法证明不等式

反证法，它是从反面的角度思考问题，即肯定题设否定结论，从否定的结论出发导出矛盾，从而最终肯定命题是正确.反证法是高中数学不等式中常用的方法之一，它是直接证明不易下手，此时应该考虑的是“正难则反”的原则，从反面的角度进行推理.它常用于以下证明：

（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；

（2）唯一性命题；

（3）“至多”或“至少”性命题；

（4）否定性或肯定性命题.

例2：已知x，y>0，x+y>2，试证：■，■中至少有一个小于2.

分析：要证的结论与条件之间的联系不明显.直接由条件推出结论不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑用反证法.

证明：假设■，■都不小于2，即■≥2，且■≥2因为x，y≥0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，把这两个不等式相加得，2+x+y≥2（x+y），从而x+y≤2.

这与已知条件x+y>2矛盾.因此，■，■都不小于2是不可能的，即原命题成立.

三、利用三角换元解证不等式

有些不等式证明问题中，含有一些特殊的条件及特殊的运算关系.这些条件或运算关系恰好满足三角关系，则可以采用三角代换证明.常见的换元形式有（1）x■+y■=a■，可令x=acosθ，y=asinθ；（2）x■+y■≤1，可令x=tcosθ，y=tsinθ（|t|≤1）.

例3：已知x■+y■=1，求证：|x■+2xy-y■|≤■.

分析：本题中，由x■+y■=1可联想到三角换元公式：sin■θ+cos■θ=1，进行三角换元证明.

证明：令x=sinθ，y=cosθ，则

|x■+2xy-y■|=|cos■θ+2sinθcosθ-sin■θ|

=|cos2θ+sin2θ|=■|sin（2θ+■）|≤■

故命题得证.

例4：已知x■+y■=1，m■+n■=4，求mx+ny的最大值.

分析：很多学生首先会想到用公式：ab≤■，因而会有如下解法：mx≤■，nx≤■，把这两个不等式相加就得到

mx+ny≤■+■=■=■，从而得到它的最大值是■.

解题过程错在哪里呢？这也是很多学生会忽略的一个问题：就是等号取不到，因而它的最大值不是■，这种类型题还是应该考虑三角换元或是用柯西不等式求解.

正解：令x=cosα，y=sinα；m=2cosβ，n=2sinβ，则mx+ny=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α-β）≤2.

当然本题用柯西不等式也很简单，这边不再说明.

四、利用函数的单调性求不等式的最值

在求解不等式的过程中往往会出现一些题目直接用公式或是其他方法不易得出结论，甚至得出的结论是错误的.这时可以考虑构造函数通过证明函数的单调性求函数的最值，问题往往会迎刃而解.

例5：求函数f（x）=■的最小值.

分析：本题很多学生第一个想到的还是会用均值不等式进行求解，先把它拆成f（x）=■+■≥2，从而得到最小值是2的错误答案.主要也是错在等号取不到的原因.这时可以考虑构造函数，通过证明函数的单调性进行求解.

解：令f（t）=t+■（t≥2），令t■>t■≥2

f（t■）-f（t■）=（t■+■）-（t■+■）=■>0，

∴f（t）在[2，+∞）上是增函数.∴f（t）■=f（2）=■，此时x=0.

不等式的证明方法和求解方法不只上面所谈到的这几种，还有很多.只要我们平时多注意收集，多做归纳，多做观察，多做比较，多做反思，在高三数学总复习中才会有的放矢，事半功倍.

参考文献：

[1]刘绍学.不等式选讲.人民教育出版社.

[2]郭慧清.一类分式不等式的新证法[J].数学通报.

[3]李红春.构造法巧解三解函数题[J].高中数学教与学.

[4]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究.高等教育出版社.

篇5：高中数学高考总复习推理与证明

1、（广州）已知经过同一点的n(nN,n3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n个平面将空间分成f2、（揭阳）函数f(x)的定义域为D，若对任意的x1、x2D，当x1x2时，都有*n个部分，则f3fnf(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为“非减函数”．设函数g(x)在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）g(0)0；（2）g()

则g(1)、g(x31（3）g(1x)1g(x),g(x)；25) 123、（梅州）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM（MD），有x＋lD，且f（x＋l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|xa|a，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是＿＿＿＿ 2

2x1x2f(x1)f(x2))，22

xx2f(x1)f(x2))则称f(x)是区间I的向上凸函数；若对x1,x2I,都有f(1，则224、（韶关）设f(x)在区间I上有定义，若对x1,x2I,都有f（称f(x)是区间I的向下凸函数，有下列四个判断：

①若f（x）是区间I的向上凸函数，则－f（x）在区间I的向下凸函数；

②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则f（x）＋g（x）是区间I的向上凸函数；③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则1是区间I的向上凸函数； f(x)

④若f（x）是区间I的向上凸函数，其中正确的结论个数是（）

A、1B、2C、3D、45、（深圳）函数 yfx，xD，若存在常数C，对任意的x1D，存在唯一的x2D

C，则称函数fx在D上的几何平均数为C．已知fxx3，3x1,2，则函数fxx在1,2上的几何平均数为

AB．2C．

4D．

6、（肇庆）在实数集R中定义一种运算“”，具有性质：①对任意a,bR,abba；

②对任意；③对任意aR,a0a

a,b,cR,(ab)cc(ab)(ac)(bc)2c；函数f(x)x

1x(x0)的最小值为

A．4B．3C

．D．17、（佛山）．观察下列不等式：



1

；„

则第5个不等式为．

8、（茂名）

已知2112,221334,23135456,2413575678,…依此类推，第n个等式为.9、（佛山）对于函数yf(x)，如果存在区间[m,n]，同时满足下列条件：①f(x)在[m,n]内是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]是该函数的“和谐区间”．若函数f(x)a

1a1

x(a0)存在“和谐区间”，则a的取值范围是

A．(0,1)B．(0,2)C．(1

52,2)D．(1,3)

10、（韶关）平面上有n条直线，这n条直线任意两条不平行，任意三条不共点，记这n 条直线将平面分成f（n）部分，则f（3）＝＿＿＿＿，n≥4时，f（n）＝＿＿＿＿（用n表示）。

错误！未指定书签。11.（四川）设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:xA,2xB,则

A．p:xA,2xB B．p:xA,2xB

C．p:xA,2xB D．p:xA,2xB

12.错误！未指定书签。（天津）设a,bR, 则 “(ab)a20”是“ab”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

13.错误！未指定书签。（山东）给定两个命题p,q,p是q的必要而不充分条件,则p是q

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

14.错误！未指定书签。（陕西）设z是复数, 则下列命题中的假命题是（）

A．若z20, 则z是实数 B．若z20, 则z是虚数）））（（（C．若z是虚数, 则z20 D．若z是纯虚数, 则z20

15.错误！未指定书签。（福建）设点P(x,y),则“x2且y1”是“点P在直线

l:xy10上”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16.错误！未指定书签。（上海）钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”

是“不便宜”的A．充分条件 B．必要条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

17错误！未指定书签。（．课标Ⅰ）已知命题p:xR,2x3x;命题q:xR,x31x2,则下列命题中为真命题的是:

A．pq B．pq C．pq D．pq

18.错误！未指定书签。（湖北）在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是

“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q

19.错误！未指定书签。（浙江）设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下

:

若正数a.b.c.d满足ab≥4,c+d≤4,则

A．a∧b≥2,c∧d≤2 B．a∧b≥2,c∨d≥

2C．a∨b≥2,c∧d≤2 D．a∨b≥2,c∨d≥2

20.错误！未指定书签。（浙江）若α∈R,则“α=0”是“sinα

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

21.（山东）定义“正对数”:lnx0，(0x1),现有四个命题:

lnx，(x1)

①若a0,b0,则ln(ab)blna;

②若a0,b0,则ln(ab)lnalnb

③若a0,b0,则ln(a

b)lnalnb

④若a0,b0,则ln(ab)lnalnbln2

其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)

22.错误！未指定书签。错误！未指定书签。错误！未指定书签。（天津）已知下列三个命题:）））））（（（（（①若一个球的半径缩小到原来的11, 则其体积缩小到原来的;28

②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;

1③直线x + y + 1 = 0与圆x2y2相切.2

其中真命题的序号是:

A．①②③ B．①② C．②③ D．②③

23.错误！未指定书签。（陕西）设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是（）（）

A．若|z1z2|0, 则z1z2 B．若z1z2, 则z1z2

C．若|z1||z2|, 则z1·z1z2·z2 D．若|z1||z2|, 则z22

1z2

24.错误！未指定书签。（陕西）设a, b为向量, 则“|a·b||a||b|”是“a//b”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

25.错误！未指定书签。（浙江）已知函数f(x)Acos(x)(A0,0,R),则

“f(x)是奇函数”是

2的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

26.错误！未指定书签。（安徽）“a0”“是函数f(x)=(ax-1)x在区间(0,+)内单调递增”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

27.错误！未指定书签。（北京）“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的”

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

28.（汕头）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类“，记为k，即k5nk|nZ,k0,1,2,3,4.给出如下三个结论：①20133②22③Z01234;其中，正确结论的个数为（）

A． 0B．1C．2D．

329.（深圳）非空数集Aa1，a2，a3，a*n(nN)中，所有元素的算术平均数记为E(A)，即E(A)a1a2a3an

n．若非空数集B满足下列两个条件：①BA；

②E(B)E(A)，则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合1，2，3，4，5的“保均值子集”有

A．5个B．6个C．7个D．8个）））（（（30.（湛江）如果命题“(pq)”是真命题，则

A.命题p、q均为假命题 B.命题p、q均为真命题

C.命题p、q中至少有一个是真命题D.命题p、q中至多有一个是真命题31.（湛江）对集合A，如果存在x0使得对任意正数a，都存在xA，使0＜｜x－x0｜＜a，则称x0为集合A的“聚点”，给出下列四个集合：①②{xR|x0}；③{|nZ,n0}；④Z。

上述四个集合中，以0为聚点的集合是（）

A.②③B.①②C.①③D.②④

32.（肇庆）对于平面和直线m,n，下列命题中假命题的个数是 ．．．

①若m，mn，则n//；②若m//，n//，则m//n； ③若m//，n|nZ,n0}；n11nn，则m//n；④若m//n，n//，则m//

A.1个B.2个C.3个D.4个

33.（肇庆）各项互不相等的有限正项数列an，集合Aa1,a2,...,an,，集合B(ai,aj)

个.aiA,ajA,aiajA,1i,jn,则集合B中的元素至多有（）n(n1)(n2)(n1)n1Ｂ．21Ｃ．Ｄ．n1 2

234.（揭阳）对于集合M，定义函数fM(x)1,xM,对于两个集合A，B，定义集合1,xM.AB{xfA(x)fB(x)1}.已知A={2,4,6,8,10}，B{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合AB的结果为．

35.（茂名）设函数f(x)的定义域均为D，若存在非零实数使得对于任意xM(MD),有xlD，且f(xl)f(x)，则称f(x)为M上的高调函数。现给出下列命题：①函数f(x)log1x为(0,)上的高调函数；②函数f(x)sinx为R上的2π高调函数；③

如果定义域为[1,)的函数f(x)x为[1,)上m高调函数，那么实数m的取值范围是[2,)；其中正确的命题的个数是（）

A,0个B, 1个C ,2个D, 3个36.（潮州）设向量a(a1,a2)，b(b1,b2)，定义一运算： 2

1ab(a1,a2)(b1,b2)(a1b1,a2b2)。已知m(,2)，n(x1,sinx1)。点Q在2

yf(x)的图像上运动，且满足OQmn（其中O为坐标原点），则yf(x)的最大值及最小正周期分别是

11,,4C．2,D．2,4B．A．22

37.（佛山、江门）已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l)．设l是长为2的线段，点集D{P|d(P,l)1}所表示图形的面积为

A.B.2C.2D.4

38.（北京东城）对定义域的任意x，若有f(x)f()的函数，我们称为满足“翻负”变

换的函数，下列函数：1x

x,0x1,1x1,中满足“翻负”变换的函数①yx，②ylogax1，③y0,x1,x1.x

篇6：高中数学高考总复习推理与证明

推理证明》（第2课时）（新人教A版）

一、选择题

1．(2011·高考上海卷)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()

22A．a＋b＞2abB．a＋b≥2ab

112baC.D.＋ ababab

解析：选D.∵a＋b－2ab＝(a－b)≥0，∴A错误．

对于B、C，当a＜0，b＜0时，明显错误．

对于D，∵ab＞0，∴＋≥2 222ba

abba2.ab

1(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝()x－22．(2011·高考重庆卷)若函数f(x)＝x＋

A．1

2C．

3解析：选C.f(x)＝x＋B．1＋3 D．4 11＝x－2＋2.x－2x－2

∵x>2，∴x－2>0.11(x－2)·∴f(x)＝x－2＋2＝4，x－2x－2

1当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立． x－2

又f(x)在x＝a处取最小值．∴a＝3.3．(2012·高考福建卷)下列不等式一定成立的是()

21A．lgx＋＞lgx(x＞0)4

1B．sinx＋x≠kπ，k∈Z)sinx

2C．x＋1≥2|x|(x∈R)

1D.2＞1(x∈R)x＋

11321解析：选C.取x＝，则lgx＋＝lgx，故排除A；取xπ，则sinx＝－1，sinx422

11＋2，故排除B；取x＝021，故排除D.应选C.sinxx＋1

114．已知a>0，b>0，则2的最小值是()ab

A．2

C．4B．2 D．

5a＝b112解析：选C.＋2ab≥＋2ab≥22×2＝4.当且仅当abab＝1ab

立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.时，等号成5．(2011·高考北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为1元．为使平均到每8件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()

A．60件B．80件 C．100件D．120件 解析：选B.设每件产品的平均费用为y元，由题意得 800x800xy·20.x8x8

800x

当且仅当＝x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.x8

二、填空题

6．函数y＝解析：y＝

x

x

2＝x＋9

x4＋9x2

x≠0)的最大值为__________，此时x的值为________． 19≤296

1x2＋2

x

当且仅当x＝2，即x3时取等号．

x

答案：±

367．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.400

解析：每年购买次数为x

400

∴总费用为4x≥26400＝160，x

1600

当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.x

答案：20

8．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．

x＋y2

解析：原式等价于x＋y＋3＝xy≤((当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋

x＋y23≤(x＋y)－4(x＋y)－12≥0，所以x＋y≥6或x＋y ≤－2(舍去)，故x＋y

∈[6，＋∞)．

答案：[6，＋∞)

三、解答题

ab

49．已知a，b＞0，求证：22baa＋b

abab

1＞0，2·2＝

2babaab

a＋b≥2ab＞0，1ab∴2＋2(a＋b)≥2 ·2ab＝4.abba

ab4∴2＋2≥baa＋b

证明：∵2＋2

ab22当且仅当ba

a＝b，取等号，即a＝b时，不等式等号成立．

10．(1)设0

(2)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．

解：(1)∵00.∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

2x＋3－2x29]＝.22

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

33∵∈(0，)，42

∴函数y＝4x(3－2x)(0

(2)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy.∴xy＋5≤x＋y＋5＝3xy.∴3xy－2－5≥0，∴(xy＋1)(3xy－5)≥0，52

5∴xy≥xy≥，等号成立的条件是x＝y.39525

此时x＝y＝，故xy的最小值是.39

一、选择题

1．(2011·高考陕西卷)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()

a＋ba＋b

A．a＜b＜ab＜B．a＜ab＜b

22a＋ba＋b

C．aab＜b＜D.ab＜a＜b

2a＋b

解析：选B.∵0＜a＜b，∴a＜b，A、Cab－a＝aba)＞0，ab

＞a，故选B.2．(2012·高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()2428A.B.55C．5D．6

3解析：选C.∵x＋3y＝5xy，∴＋5，∵x＞0，y＞0，yx

yxyx

＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．∴3x＋4y的最小值是5，选C.二、填空题

133x12y

∴(3x＋4y)＝＋＋9＋4≥

2yx

3x12y＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，∴3x

221

13．(2011·高考湖南卷)设x，y∈R，且xy≠0，则x＋22＋4y的最小值为________．

yx

1221122

解析：x＋22＋4y＝54xy≥5＋2

yx

xy

12222

·4xy＝9，当且仅当xy＝时xy2

“＝”成立．

答案：9

xy

4．(2013·潍坊质检)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9＋3的最小值为________．

解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即4(x－1)＋2y＝0,2x＋y＝2，xy2xy9＋3＝3＋3≥23·3＝23＝2×3＝6.2xy3＝31

(当且仅当，即x＝，y＝1时取等号)

22x＋y＝2

答案：6

三、解答题 5.设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB＝x，求△ADP的面积的最大值，及此时x的值．

解：∵AB＝x，∴AD＝12－x，又DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP，即AP＝x－DP，72222

∴(12－x)＋PD＝(x－PD)，得PD＝12－，x

∵AB＞AD，∴6＜x＜12，∴△ADP的面积S＝AD·DP

2721＝(12－x)12－ x2

72＝108－6x≤108－6·272＝108－2，x

当且仅当xx＝2时取等号，x

篇7：高中数学高考总复习推理与证明

g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

一、知识回顾

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如(),2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、基本训练

51、已知是第三象限角，且sin4cos4，那么sin2等于（）9A

B、C、D、 332、函数ysin2x2x的最小正周期（）A、2B、C、3D、4

3、tan70cos10201)等于（）

A、1B、2C、－1D、－

24m6(m4)，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

4、已知sin4m15、设0,sincos，则cos2＝＿＿＿＿＿。

2三、例题分析

12cos4x2cos2x.例

1、化简：

2tan(x)sin2(x)4

43177sin2x2sin2xx例

2、设cos(x),，求的值。451241tanx

sin(2)sin2cos().例

3、求证：sinsin



11例

4、已知sin()cos[sin(2)cos],0，求的值。2

2例

5、（05北京卷）已知tan=2，求

26sincos（I）tan()的值；（II）的值． 43sin2cos

例

6、（05全国卷Ⅲ）

已知函数f(x)2sin2xsin2x,x[0,2].求使f(x)为正值的x的集合.例

7、(05浙江卷)已知函数f(x)＝－sinx＋sinxcosx．

(Ⅰ)求f(225

1)的值；(Ⅱ)设∈(0，)，f()＝－，求sin的值． 246

2四、作业同步练习g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

1

1、已知sin()，则cos()的值等于（）43

411 A

B、C、D、 33

2、已知tan、tan

是方程x240的两根，且、(,)，则等于（）2

2222 A、B、C、或D、或 33333

33cosxx3、化简(1sinx)[2tan()]为（）422cos2()

42A、sinxB、cosxC、tanxD、cotx

2sin2cos2

4、（全国卷Ⅲ）1cos2cos2

(A)tan(B)tan2(C)1(D)1

22sin(x),1x05、（山东卷）函数f(x)x1，若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为（）e,x0

（A）1（B）1,222（C）（D）1, 22

2sin3a13，则tan 2a =______________.sina56、（全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，若

7、（北京卷）已知tan

4=2，则tanα，tan()3

42

8、已知tan()3，则sin22cos2的值为＿＿＿＿＿＿＿。

49、已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝＿＿.10、求证：

sin22sin2k()，试用k表示sincos的值。

11、已知1tan

4212、求值：

13、已知tantan，求(2cos2)(2cos2)的值。

3答案： 1sin12sin21tan1tan2.2基本训练、1、A2、B3、D4、[－1，7]

5、3128例题、例

1、cos2x例

2、例

3、略例4、27

52例

5、解：（I）∵ tan224;=2, ∴ tan14231tan

241tantan1tan1=所以tan()； 41tantan1tan17

432tan

46()146sincos6tan17（II）由(I), tanα=－, 所以==.433sin2cos3tan23()26

例

6、解：∵f(x)1cos2xsin2x„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

1x)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 4

f(x)02sinx

4)s0in(x24)„„„„6分 2

42k2x

452k„„„„„„„„„„8分

43k„„„„„„„„„„„„„„„„10分 4

37又x[0,2].∴x(0,)(,)„„„„„„„„„12分 44

例

7、解：(Ⅰ)sin251,cos25

f(25)225sin25cos250 kx6266666(Ⅱ)f(x)12x

sin2x

211f()sin22416sin24sin110解得sin

15 813 8(0,)sin0sina

作业、1—

5、DBBBB6、13、34317、-

8、9、

10、略1