函数概念的发展和教学研究

函数概念的发展和教学研究（共9篇）

篇1：函数概念的发展和教学研究

函数概念的发展和教学研究

（华中师范大学数学与应用数学黄样430079）

摘 要：数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡。本文回顾了函数概念的历史发展，并且回顾了函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，它不仅有助于中学生提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助中学生领悟数学概念对数学发展、数学学习的巨大作用。

关键字：函数；概念；发展

函数这样一个重要概念的形成和发展是经过了漫长岁月的。在不同的阶段，从观点上和表示方法也不尽相同。回顾函数概念的定义以及演变历史，对加深函数概念的理解大有裨益。函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，中学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。函数概念的三种定义

在当代国内外教学教材中,关于函数概念有三种代表定义。(1)变量说

函数概念的形成和发展经历了很长的时期。变量说是函数的原始定义,它把函数定义为：依一定规律依赖于一个变量的另一个变量。

虽然这一定义简单粗糙，但人们对它的探索却是最漫长的。函数概念萌芽于17世纪时对方程个数时的不定方程的求解，例如对方程x+y=100写成y=100﹣x，则y值的变化取决于x的赋值，这就产生了变量概念及依存关系。

把“函数”一词最早用做数学术语的是莱布尼兹（G.W.Leibnitz）。在他1673年的一部手稿里用“函数”（function）一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，如切线、法线等的长度及纵坐标。而曲线本身则是由方程给出的。莱布尼兹还引用了“常量”、“变量”和“参变量”。直至1718年，约翰·伯努利给出了“解析的函数概念”：“函数是由任意变数和常数的任意形成所构成的量”，这是函数概念的第一次扩张。而后约翰·伯努利的学生欧拉（Leonard Euler）发展了这种函数“变量说”。1748年，欧拉将“解析表达式”定义为函数，他说：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量组成以任何方式组成的。”并创用函数符号y=f(x)，其中f解释为由变数与常数组成的解析表达式。这个定义是不完善的，它把函数这一广泛的概念与某个解析表达式混在一起，而把图形或其它方式给出的函数排除在外了。因而欧拉（L.Euler）为了适应积分需要，把函数的概念进一步向“图象定义”推进。在1775年由欧拉精确化：如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量-----即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，那么前面的变量称为后面变量的函数。他认为，任意画出的曲线表示所确定的x、y间的关系就是函数。并和达朗贝尔（Dalembert）在弦振动的研

究中首先采用了函数记号。但这个定义强调“随着变化”而缩小了函数概念的外延。

后来，由于积分运算式子以及分段函数等等都不符合一个解析式的定义，1821年，法国数学家柯西（Cauchy）对函数概念进行了扩张，先后两次将函数定义为变量之间的依赖关系：“在某些变量之间存在着一定的关系，当给定其中某一变量时，其它变量的值也随之确定，则称最初给定的变量为自变量，随之确定的量为函数。”此后，1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）提出了函数的定义：对于x的每一个值，y都有一或多个确定的值与之对应，那么y叫做x的函数。几乎同时，黎曼也给出了函数的定义：对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，不论x、y所建立的对应方式如何，y都叫做x的函数。黎曼的定义已十分接近现在许多初中教科书所采用的定义。它出色地避免了函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以清晰完美的方式为人们所接受。这个定义也为19世纪数学的发展指明了道路[1]。

(2)对应说与关系说

“对应说”是函数的近代定义，其内容是这样的：

给定两个集合A和B，如果按照某一确定的对应法则f，对于集合A内的每一个元素x有唯一的一个元素y∈B与它相对应，那么f就是确定在集合A上的函数，A称为函数的定义域，f(A)=｛y︱y=f(x),x∈A｝称为函数的值域，显然f(A)包含于B。

自17世纪引入函数的“变量说”以来，人们发现它有很大的缺点。首先变量的意义是不清楚的。其次，“变量说”中函数已允许连续或不连续地取值了。但是，x一般能取的值是a≤x≤b，并且x总是被考虑为连续取值。于是人们就想，能否扩大x的取值范围，或干脆取消把变量限制在数中的条件。19世纪，椭圆函数、超椭圆函数和阿贝尔函数的产生，使代数函数论得到蓬勃发展，函数的概念由特殊函数扩大为一般函数。于是人们对函数概念的认识飞跃到一个新的阶段，函数的两个本质定义出现了。1834年的数学家给函数的定义是这样的：

X的函数是这样一个数，它被每一个x所给出，且与x一起变化，函数式可以用公式表达出来，也可以用某种条件给出，这种条件指出怎样把所有的数加以验算。函数关系可以存在而关系本身可以不知道。

这个定义叫做“列表定义”。因为从一个x值可以给出一个函数值y，就好像我们中学代数中列表表示函数值的方法一样，表中一栏是x值，和它对应的一栏就是y值。这里建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重要发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分。1837年，人们给函数下了这样的定义：

如果对于任意x的值，相应地有完全确定的y值与之对应，那么称y为x的函数。在此用什么方法建立对应是完全不重要的。

函数的这个定义的优点，是直截了当地强调与突出了“对应”关系，但它的缺点是，把生动的函数变化思想省略简化掉了。随着19世纪人类对各种函数类（连续函数、可微函数、解析函数）的进一步研究，以及集合论的问世，建立了函数的集合定义，也就是用“集合”与“对应”来叙述．以美国的维布伦为代表的数学家给出了函数的近代定义：在变量y的集合与另一个变量x的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，y有确定的值与之对应这样的关系，那么变量y叫做变量x的函数。

在这个定义中的x、y，既可作为数，也可以作为点；既可以作为有形之物，也可以作为无形之物。再经后人加工，这一定义便成了我们所看到的近代函数的定义。（高中阶段，基本上采用这一定义，只不过是把A、B限定为非空的数的集合。）由此前进，又定义了以集合的集合（称为类）为元素的集合函数。尽管如此，随着人们对客观世界的不断深入，又出现了δ函数、广义函数论等。但函数的概念还在不断的发展与完善之中。到了20世纪初，人们给出了函数的现代定义，即“关系说”，它把函数定义为满足条件“若（x1,y1）∈f,(x1,y2)∈f,则y1=y2”的二元关系f[1]。

在我国，函数一词是清代数学家李善兰（1811年—1882年）最初使用的，他在1859年与英国学者伟烈亚力（1815年—1887年）合译的《代数学》一书中，将“function”一词译成“函数”。函数概念的教学研究

函数是中学数学的主线，也是整个高中数学的基础。在中学教学中，函数的教学大致可分为两个阶段，第一阶段在初中，学生初步掌握了函数的传统定义以及函数的表示法，并讨论了一些常见函数，对函数有了一定的感性认识；第二阶段在高中，学生学习了集合、映射等有关概念之后，运用集合、对应的思想概括出函数的近代定义，让学生掌握函数的实质，实现从感性认识到理性认识的飞跃。函数概念与中学课程的其他内容(如：三角函数、数列、不等式、方程等)有着非常密切的联系。学好函数的有关概念，是学好上述内容的基础，也是进一步研究函数性质及应用的基础。

2.1 函数概念的教学思想构想

在中学数学教学中，函数是最重要的概念之一，函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系。它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约。因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具。

怎样教学函数概念呢?在“新数学”中，有过一个大胆的尝试，即企图按照集合与笛卡尔积去建立函数概念的形式定义：设A与B为两个集合，并记A*B为

A、B的笛卡尔积，则称A*B的一个子集f为一个函数。如果当(X1，Y1)，(X2，Y2)是f的元素，且X1=X2时，就有Y1=Y2，然而，许多来自经验的事实表明，虽然这一定义是数学上一项优秀的基础，但它不可能是好的认知根源[2]。在此新构造中，必须使用新的集合论的定义去取代早期的与过程有关的定义，这一重新构造对于学生来说显得极其困难。西厄平斯卡(Sierpinska)断言：在向年轻学生介绍函数时，使用久经揣摩而得的现代定义，这是教学法上的一个错误，是一个反教学法的颠倒。

在函数概念学习之前，基本上是常量数学，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。函数研究变量，变量的本质是辩证法在教学中的应用，即函数是一个辩证概念，函数三要素(定义域、值域、对应法则)的确定，符号“f”(对应法则)表示的意义，学生最难理解，因为“f”具有“隐蔽性”，它的具体内容很难从符号上来想象，即使“f”所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的、为符号“f”建立起具体内容的经验基础。这样，一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期，思维水平基本上还停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识所学的事物，另一方面函数却是一个辩证概念，其特征是发展的、变化的、处于与其他概念相互联系之中。形成函数概念，必须要冲破形式逻辑思维的局限，进入到辩证思维的领域，这个矛盾构成了函数概念学习的认识障碍。函数的构成应当从映射入手。在一般关系的范围中，它是一个不确定的难以理解的运算。最重要的是函数关系的定义无论从内容还是从一记号上来讲，都没有运算价值。不少教学法专家认为，关系概念比函数概念更基础、更一般，主张教师在教学中用关系来定义函数。关系缺乏应用的原因是它具有类似于一览表那样的记录特征。科学的内容不是描述性的记录，而是联系。这种联系不是用关系，而是要用相互关联的程度来描述。引入函数概念可以不考虑关系。在学生接触了许多函数，己经能作出函数以后，再让他们去归结什么是函数，这才是数学活动的范例。

2.2 高中函数概念教学的实例运用

关于函数与函数值函数的统一记号是f(x)或y=f(x)或f(x,y)=0，学生常常搞不清哪个是哪个的函数。如果设函数的集合为A，那么f(x)∈A所表示的是函数值属于A，这种表示就错了。同样y=f(x)∈A或f(x,y)=0∈A也是错的。我们所指的函数是f，记号f∈A才是正确的。例：f(x)=2x+1，求f(x-1), f[f(x)]，并说明f(x)与f(x-1)是否为同一函数。显然f(x)与f(x-1)不是同一函数，这里虽然定义域，值域都相同，但对于x来说，“对应法则”是完全不同的。

函数概念比较抽象，学生不容易理解，这是教学的难点。教师在设计时，注意到遵循人们认识事物的规律，从感性到理性，从具体到抽象[3]。

首先创造情境，从实例引入概念。然后通过几个实例的比较，抽象概括得出函数的概念。再进一步深入分析函数的定义，让学生理解函数的概念。最后通过多种形式的训练，巩固函数的概念，从学生的学习心理角度分析，学生主要经历了一个概念形成的过程，即从具体事例或具体概念中抽象出了函数的一些关键特征，如变量是可以任意赋值以及可以不断变化数值的量，而常量则是无法变化数值的量，整个的心理过程是分化、抽象、概括。

3总结

函数概念是重要的。从函数的演变历史，我们可以看到函数概念的内涵不断被挖掘、丰富和精确刻画的历史过程，同时看出,数学概念并非生来就有、一成不变的，是人们在对客观世界深入了解的过程中得到的，我们知道的只是其中很少的一部分，所以还需要不断加以发展，以适应新的需要。

参考文献

[1] M.克莱茵.古今数学思想(第三、四册)。

[2]张九彦高中阶段二次函数教学摭谈[J].青海教育，2006，（04）。

[3]吴兰珍高中数学函数教学渗透数学思想方法浅探[J].广西教育学院学报，2004，（05）。

篇2：函数概念的发展和教学研究

我们先了解一下函数形成的简要历史：

1、函数是从研究各种运动问题中产生的。

2、函数概念经历了这样几个阶段：①把研究的曲线当作函数；②把由一个变量和一些常量以任何方式形成的解析表达式作为函数；③用对应关系定义的函数；④用集合定义的函数。实际上函数概念到此还没有终结，还在发展。分析函数概念的形成历史，我们可以看出几点：

1、函数概念的形成是由研究静止现象到研究运动、变化现象的结果；

2、函数概念的形成是人类活动不断深化的结果，是人类思维能力和认识能力提高的结果。基于函数形成的历史，使我们认识到要使学生形成清晰的函数概念，必须使学生经历由常量数学到变量数学的转变，而要使学生实现这种观念上的质的飞跃，必定要经历一个困难的过程。困难主要表现在：①长时间处理常量数学问题使学生形成了静止、孤立、片面看问题的固定思维方式；②思维能力水平的制约。初中学生的整体思维能力还不高，一方面，初中学生的思维从初一到初三由借助于具体形象，具体的事例进行思维活动向抽象思维发展；另一方面，在学生学习了推理后，学生的思维由杂乱向有序发展，随着概念的不断丰富，推理能力的不断提高，学生逐步形成了逻辑思维能力，但要使学生理解函数概念，只是具备这些条件是不行的，学生还必须具有辨证思维的能力。

函数概念由模糊到清晰经历了近300年就说明了困难的程度。我们都知道，观念上的转变是非常困难的，所以要使学生实现观念上的转变，首要的任务是使学生接触运动现象，认识运动现象，思考运动现象，这样才能使学生认识变量的存在，然后逐步使学生理解变量的意义，实现由常量到变量的转变。然后使学生认识到运动变化过程中确实存在相互联系的量，实现由习惯于处理静止现象到处理运动现象的过渡，促进学生运动观的形成，这样才有可能使学生理解函数的意义；另外，还必须切实提高学生的思维水平。

在处理函数概念时，把函数概念分为两个阶段：初中阶段和高中阶段。对初中学生来说，只要使初中学生认识到：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应即可。初中阶段主要使学生能处理能用解析式表达的函数即可。要使学生掌握几类简单的函数：正比例函数、反比例函数、简单的二次函数，理解他们的定义，知道它们的图象和性质，会用它们的图形和性质解答一些生活和其他学科中的简单问题就行了。

研究函数既要用到代数的方法又要用到几何的方法，所以要使学生学好函数的知识，就必须使学生不仅熟练掌握代数和几何的方法，还要使学生理解代数和几何之间的关系，融合代数方法和几何方法，而这对于一般的学生来说难度是比较大的。

基于以上分析，我们作为一名初中教师，在实施函数教学时，要把握好初中函数教学的度，要根据初中学生的思维特点和知识结构进行教学过程设计。下面笔者就谈谈自己对函数概念教学的处理方式。

一、渗透阶段，使学生逐渐认识变量及变量之间的相互关系

对字母表示数的认识，是学生体验、认识变量的开端，在这段内容的教学中教师要促使学生感受到变量的意义，体验变量的概念。在代数式的值的教学中再强化变量的意义，再让学生通过代数式的值与代数式中字母取值的之间的相互依赖关系，感受到变量之间的相互联系。再在方程特别是二元一次方程的学生中，进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的，体会到两个变量之间的相互依存关系。

二、强化阶段，促进学生对变量之间的关系的认识，形成事物之间是相互联系的认识

到了初二开始学习几何，在几何教学中，函数关系的例子非常多。像中点的定义、角的平分线的定义就揭示两个量之间的关系；还有两个角互余、互补，揭示的都是两个变量之间的关系。像平行线四边形的性质，中位线定理等等都蕴涵着函数关系。作为教师，一方面要在学习这些知识的过程中有意识地不断渗透变量的意识——即在现实生活中存在着大量变量，且变量之间并不是独立的，而是相互联系的；另一方面，通过这些知识使学生熟悉把几何问题代数化的方法，为函数的代数和几何方法的结合打好基础，为后来函数的学习作好充分的准备。

函数概念的形成首先与物理学的发展是有关的。对运动的研究的不断深入，使人们逐渐认识到变量的存在和意义，对多种事物研究和思考，使人们认识事物之间是相互联系的，而不是独立的，这些思想的形成和深化是函数思想的形成的直接原因。所以用物理上的知识渗透变量意识、变量是相互联系的意识，是非常直观且有效的方法。像运动过程中的路程、速度和时间之间的关系就是典型的函数关系；力、压强和受力面积之间的关系也是典型的函数关系；等等，物理上很多知识都是促成学生函数概念形成的好素材。这就要求教师要熟悉函数的形成史，从多方面进行渗透，强化变量之间是存在相互联系的观念。

三、形成阶段，形成对函数概念的认识 在学生产生了变量意识、一些变量之间是存在相互联系的意识之后，学生对函数概念的理解的准备工作已经基本作好，就可以讲授函数的概念了。但教师在教授函数概念时，要在复习前面的相关知识的基础上重点强化上面的两种意识，让学生清醒的感受到这两种意识，然后在教给学生自变量、函数一些名称，并训练学生运用这些名词来叙述变量之间的关系，熟悉函数的相关概念，当然学生这时对函数的理解还并不清晰。

然后，教师在以后的具体函数的教学中不断使学生理解函数概念的内涵。像正比例函数，是一类最简单的函数，在实际生活中大量存在，例如，在相似三角形中，每一对对应边的数量关系就构成了正比例函数关系；在直角三角形中30º角所对直角边与斜边之间也是正比例函数关系，等等。用这些具体例子使学生清楚的认识到两个变量之间的具体联系，认识到它们的共同特征，学生对函数概念就会逐渐理解，并且通过这些实例理解函数的性质更直观，在通过后面的反比例函数、二次函数的教学进一步促进学生理解函数概念的实质，这样可以加强学生对函数性质的理解。再者，这时初三物理中也有很多各类函数的例子，教师只要能从整体上把握教学，就可以挖掘出各种具体的材料和方法，使学生能更深刻认识函数的内涵和外延。

四、逐渐适应函数的学习方法

学习函数的方法与以前学习代数和几何的方法有着明显的不同。如函数的表达方式就是多样化的，有列表法，图像法，解析式法等，学生在一开始会不适应，所以在教函数学时要使学生逐渐适应这种多样化，使学生逐渐认识到这些方法的作用，了解各种方法在不同情况下使用，会用不同的方法表示函数。

篇3：函数概念的发展和教学研究

在处理函数概念时,把函数概念分为两个阶段:初中阶段和高中阶段.对初中学生来说,只要使初中学生认识到:(1)问题中所研究的两个变量是相互联系的.(2)其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化.(3)对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值,第二个变量都有唯一确定的值与它对应即可.初中阶段主要使学生能处理能用解析式表达的函数即可.要使学生掌握几类简单的函数:正比例函数、反比例函数、简单的二次函数,理解他们的定义,知道它们的图象和性质,会用它们的图形和性质解答一些生活和其他学科中的简单问题就行了.

研究函数既要用到代数的方法又要用到几何的方法,所以要使学生学好函数的知识,就必须使学生不仅熟练掌握代数和几何的方法,还要使学生理解代数和几何之间的关系,融合代数方法和几何方法,而这对于一般的学生来说难度是比较大的.

基于以上分析,在实施函数教学时,教师要把握好初中函数教学的度,要根据初中学生的思维特点和知识结构进行教学过程设计.

一、渗透阶段,使学生逐渐认识变量及变量之间的相互关系

对字母表示数的认识,是学生体验、认识变量的开端,在这段内容的教学中教师要促使学生感受到变量的意义,体验变量的概念.在代数式的值的教学中再强化变量的意义,再让学生通过代数式的值与代数式中字母取值的之间的相互依赖关系,感受到变量之间的相互联系.在方程特别是二元一次方程的学习中,进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的,体会到两个变量之间的相互依存关系.

二、强化阶段,促进学生对变量之间的关系的认识,形成事物之间是相互联系的认识

到了初二开始学习几何,在几何教学中,函数关系的例子非常多.像中点的定义、角的平分线的定义就揭示两个量之间的关系;还有两个角互余、互补,揭示的都是两个变量之间的关系.像平行四边形的性质,中位线定理等都蕴涵着函数关系.作为教师,一方面要在学习这些知识的过程中有意识地不断渗透变量的意识——即在现实生活中存在着大量变量,且变量之间并不是独立的,而是相互联系的;另一方面,通过这些知识使学生熟悉把几何问题代数化的方法,为函数的代数和几何方法的结合打好基础,为后来函数的学习作好充分的准备.

函数概念的形成首先与物理学的发展是有关的.对运动的研究的不断深入,使人们逐渐认识到变量的存在和意义,对多种事物研究和思考,使人们认识事物之间是相互联系的,而不是独立的,这些思想的形成和深化是函数思想的形成的直接原因.所以用物理上的知识渗透变量意识、变量是相互联系的意识,是非常直观且有效的方法.像运动过程中的路程、速度和时间之间的关系就是典型的函数关系;力、压强和受力面积之间的关系也是典型的函数关系等,物理上很多知识都是促成学生函数概念形成的好素材.这就要求教师要熟悉函数的形成史,从多方面进行渗透,强化变量之间是存在相互联系的观念:

三、形成阶段,形成对函数概念的认识

在学生产生了变量意识、一些变量之间是存在相互联系的意识之后,学生对函数概念的理解的准备工作已经基本作好,就可以讲授函数的概念了.但教师在教授函数概念时,要在复习前面的相关知识的基础上重点强化上面的两种意识,让学生清醒的感受到这两种意识,然后在教给学生自变量、函数一些名称,并训练学生运用这些名词来叙述变量之间的关系,熟悉函数的相关概念,当然学生这时对函数的理解还并不清晰.

然后,教师在以后的具体函数的教学中不断使学生理解函数概念的内涵.像正比例函数,是一类最简单的函数,在实际生活中大量存在.如,在相似三角形中,每一对对应边的数量关系就构成了正比例函数关系;在直角三角形中30°角所对直角边与斜边之间也是正比例函数关系等.用这些具体例子使学生清楚的认识到两个变量之间的具体联系,认识到它们的共同特征,学生对函数概念就会逐渐理解,并且通过这些实例理解函数的性质更直观,在通过后面的反比例函数、二次函数的教学进一步促进学生理解函数概念的实质,这样可以加强学生对函数性质的理解.再者,初三物理中也有很多各类函数的例子,教师只要能从整体上把握教学,就可以挖掘出各种具体的材料和方法,使学生能更深刻认识函数的内涵和外延.

四、逐渐适应函数的学习方法

学习函数的方法与以前学习代数和几何的方法有着明显的不同.如,函数的表达方式就是多样化的,有列表法,图象法,解析式法等,学生在一开始会不适应,所以在教函数学时要使学生逐渐适应这种多样化,使学生逐渐认识到这些方法的作用,了解各种方法在不同情况下使用,会用不同的方法表示函数.

数形结合法是学习函数的重要方法,这和前面的代数方法和几何方法明显不同,对这种方法的适应需要一定的时间,因为学生对一个式子和一个几何图形之间的对应还不适应,在教学时要使学生逐渐认识到一个解析式和一个图形之间的对应关系,在正比例函数、反比例函数、二次函数的学习过程中使学生认识到具体的对应关系:一次函数与一条直线对应,反比例函数与双曲线对应,一个关于x的二次函数与抛物线对应.通过这几类特殊的函数的学习使学生不断认识到图象的作用,从而逐渐适应这种方法,体会到这种方法的优点:解析式准确简洁,图象形象直观,通过数形结合法使学生认识到代数方法和几何的方法各自的作用及相互结合的优点.

篇4：函数概念的发展史

最早提出函数（function）概念的，是德国数学家莱布尼茨（1646-1716）.最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如x²，x³，x⁴等都叫函数.以后，他又用函数表示直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.

1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.這个定义的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数.贝努利其实强调的是函数要用公式来表示.

后来，一些数学家觉得不应该把函数概念局限在“能用公式来表示”上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以了，至于这些变量的关系是否能用公式来表示，不应作为判别函数的标准.

1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，就把前面的变量称为后面变量的函数.在欧拉的定义中，就不再强调函数要用公式表示了.由于函数不一定要用公式来表示，欧拉就把画在坐标系中的曲线也叫做函数.他认为：“函数就是随意画出的一条曲线.”

当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，甚至抱怀疑态度.他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”.1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本中函数定义的函数定义：在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值随之而确定时，则将最初的变数叫做自变量，其他各变数叫做函数.在柯西的定义中，首先出现了自变量一词.

1822年，法国数学家傅里叶发现，某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次.

1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且它随着x一起变化；函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.这个定义指出了对应关系（即所说的“条件”）的必要性，利用这个关系，可以求出每一个x的对应值.

1837年，德国数学家狄利克雷认为，怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.这个定义抓住了函数概念的本质，比前面的定义更有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便.因此，这个定义之后曾被长期使用.依据这个定义，狄利克雷举了一个例子：对0≤x≤1，当x为有理数时，对应y＝1；当x为无理数时，对应y＝0.这就是一个函数（也就是著名的狄利克雷函数）.它的图象很难画出来.

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词.我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成了“函数”.

篇5：函数概念的发展和教学研究

函数概念与基本初等函数Ⅰ

第三讲

函数的概念和性质

2019年

1.（2019江苏4）函数的定义域是

.2.（2019全国Ⅱ文6）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=

A．

B．

C．

D．

3.（2019北京文14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明

对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾

客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

4.（2019北京文3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是

（A）

（B）y=

（C）

（D）

5.（2019全国Ⅲ文12）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则

A．（log3）＞（）＞（）

B．（log3）＞（）＞（）

C．（）＞（）＞（log3）

D．（）＞（）＞（log3）

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)设函数，则满足的的取值范围是

A．

B．

C．

D．

2．(2018浙江)函数的图象可能是

A．

B．

C．

D．

3．(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则

A．

B．0

C．2

D．50

4．(2018全国卷Ⅲ)函数的图像大致为

5．（2017新课标Ⅰ）函数的部分图像大致为

6．（2017新课标Ⅲ）函数的部分图像大致为

A．

B．

C．

D．

7．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

8．（2017山东）设，若，则

A．2

B．4

C．6

D．8

9．（2016北京）下列函数中，在区间

上为减函数的是

A．

B．

C．

D．

10．（2016山东）已知函数的定义域为R．当时，；当时，；当时，．则=

A．

B．

C．0

D．2

11．（2016天津）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

12．（2015北京）下列函数中为偶函数的是

A．

B．

C．

D．

13．（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A．

B．

C．

D．

14．（2015陕西）设，则＝

A．－1

B．

C．

D．

15．（2015浙江）函数（且）的图象可能为

A．

B．

C．

D．

16．（2015湖北）函数的定义域为

A．

B．

C．

D．

17．（2015湖北）设，定义符号函数，则

A．

B．

C．

D．

18．（2015山东）若函数

是奇函数，则使成立的的取值范围为

A．

B．

C．

D．

19．（2015山东）设函数

若，则

A．1

B．

C．

D．

20．（2015湖南）设函数，则是

A．奇函数，且在上是增函数

B．奇函数，且在上是减函数

C．偶函数，且在上是增函数

D．偶函数，且在上是减函数

21．(2015新课标1)已知函数，且，则

A．

B．

C．

D．

22．（2014新课标1）设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是

A．是偶函数

B．||是奇函数

C．||是奇函数

D．||是奇函数

23．（2014山东）函数的定义域为

A．

B．

C．

D．

24．（2014山东）对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是

A．

B．

C．

D．

25．（2014浙江）已知函数

A．

B．

C．

D．

26．（2015北京）下列函数中，定义域是且为增函数的是

A．

B．

C．

D．

27．（2014湖南）已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

=，＝

A．－3

B．－1

C．1

D．3

28．（2014江西）已知函数，若，则

A．1

B．2

C．3

D．-1

29．（2014重庆）下列函数为偶函数的是

A．

B．

C．

D．

30．（2014福建）已知函数则下列结论正确的是

A．是偶函数

B．是增函数

C．是周期函数

D．的值域为

31．（2014辽宁）已知为偶函数，当时，则不等式的解集为

A．

B．

C．

D．

32．（2013辽宁）已知函数，则

A．

B．0

C．1

D．2

33．（2013新课标1）已知函数=，若||≥，则的取值范围是

A．

B．

C．[－2,1]

D．[－2,0]

34．（2013广东）定义域为的四个函数，,中,奇函数的个数是

A．

B．

C．

D．

35．（2013广东）函数的定义域是

A．

B．

C．

D．

36．（2013山东）已知函数为奇函数，且当时，则=

A．－2

B．0

C．1

D．2

37．（2013福建）函数的图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

38．（2013北京）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）

A．

B．

C．

D．

39．（2013湖南）已知是奇函数，是偶函数，且，则等于

A．4

B．3

C．2

D．1

40．（2013重庆）已知函数，则

A．

B．

C．

D．

41．（2013湖北）为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为

A．奇函数

B．偶函数

C．增函数

D．

周期函数

42．（2013四川）函数的图像大致是

A

B

C

D

43．（2012天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为

A．

B．

C．

D．

44．（2012福建）设，则的值为

A．1

B．0

C．

D．

45．（2012山东）函数的定义域为

A．

B．

C．

D．

46．（2012陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A

B

C

D

47．（2011江西）若,则的定义域为

A．(,0)

B．(,0]

C．(,)

D．(0,)

48．（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

A．

B．

C．

D．

49．（2011辽宁）函数的定义域为，对任意，则的解集为

A．（，1）

B．（，+）

C．（，）

D．（，+）

50．（2011福建）已知函数．若，则实数的值等于

A．－3

B．－1

C．1

D．3

51．（2011辽宁）若函数为奇函数，则=

A．

B．

C．

D．1

52．(2011安徽)设是定义在R上的奇函数，当时，则

A．－3

B．－1

C．1

D．3

53．（2011陕西）设函数满足则的图像可能是

54．（2010山东）函数的值域为

A．

B．

C．

D．

55．（2010年陕西）已知函数=，若=4，则实数=

A．

B．

C．2

D．9

56．（2010广东）若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则

A．f（x）与g（x）均为偶函数

B．

f（x）为偶函数，g（x）为奇函数

C．f（x）与g（x）均为奇函数

D．

f（x）为奇函数，g（x）为偶函数

57．(2010安徽)若是上周期为5的奇函数，且满足，则

A．－1

B．1

C．－2

D．2

二、填空题

58．(2018江苏)函数的定义域为

．

59．(2018江苏)函数满足，且在区间上，则的值为

．

60．（2017新课标Ⅱ）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则=

．

61．（2017新课标Ⅲ）设函数，则满足的的取值范围是____．

62．（2017山东）已知是定义在R上的偶函数，且．若当时，则=

．

63．（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是

．

64．（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是

．

65．（2015新课标2）已知函数的图象过点，则

．

66．（2015浙江）已知函数，则，的最小值是

．

67．（2014新课标2）偶函数的图像关于直线对称，则=__．

68．（2014湖南）若是偶函数，则____________．

69．（2014四川）设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则

．

70．(2014浙江)设函数若，则实数的取值范围是__．

71．（2014湖北）设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点，的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数．

（Ⅰ）当时，为的几何平均数；

（Ⅱ）当时，为的调和平均数；

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

72．（2013安徽）函数的定义域为_____________．

73．（2013北京）函数的值域为

．

74．（2012安徽）若函数的单调递增区间是，则=________．

75．（2012浙江）设函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，则=_______________．

76．（2011江苏）已知实数，函数，若，则a的值为________．

77．（2011福建）设是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量∈，∈，以及任意∈R，均有

则称映射具有性质．

现给出如下映射：

①

②

③

其中，具有性质的映射的序号为_____．（写出所有具有性质的映射的序号）

78．（2010福建）已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；当时，．给出如下结论：

①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是

“存在，使得”．

其中所有正确结论的序号是

．

79．（2010江苏）设函数(R)是偶函数，则实数=

．

专题二

函数概念与基本初等函数Ⅰ

第三讲

函数的概念和性质

答案部分

2019年

1.解析

由，得，解得．

所以函数的定义域是．

2.解析

设，则，所以f(-x)=，因为设为奇函数，所以，即．

故选D．

3.解析

①草莓和西瓜各一盒的价格为，则支付元；

②设促销前顾客应付元，由题意有，解得，而促销活动条件是，所以.4.解析

由基本初等函数的图像与性质可知，只有符合题意.故选A.5.解析

是定义域为的偶函数，所以，因为，所以，又在上单调递减，所以.故选C．

2010-2018年

1．D【解析】当时，函数是减函数，则，作出的大致图象如图所示，结合图象可知，要使，则需或，所以，故选D．

2．D【解析】设，其定义域关于坐标原点对称，又，所以是奇函数，故排除选项A，B；

令，所以，所以()，所以()，故排除选项C．故选D．

3．C【解析】解法一

∵是定义域为的奇函数，．

且．∵，∴，∴，∴，∴是周期函数，且一个周期为4，∴，，∴，故选C．

解法二

由题意可设，作出的部分图象如图所示．

由图可知，的一个周期为4，所以，所以，故选C．

4．D【解析】当时，排除A，B．由，得或，结合三次函数的图象特征，知原函数在上有三个极值点，所以排除C，故选D．

5．C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，排除D；当时，因为，所以，故，排除A．故选C．

6．D【解析】当时，排除A、C；当时，排除B．选D．

7．A【解析】由题意时，的最小值2，所以不等式等价于

在上恒成立．

当时，令，得，不符合题意，排除C、D；

当时，令，得，不符合题意，排除B；

选A．

8．C【解析】由时是增函数可知，若，则,所以,由得，解得,则,故选C．

9．D【解析】由在上单调递减可知D符合题意，故选D.10．D【解析】当时，为奇函数，且当时，所以．而，所以，故选D．

11．C【解析】由题意得，故选C．

12．B【解析】根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B．

13．D【解析】A为奇函数，B为偶函数，C是偶函数，只有D既不是奇函数，也不是偶函数．

14．C【解析】∵，∴．

15．D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A,B；取，则，故选D．

16．C【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，即，即函数的定义域为，故选C．

17．D【解析】当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；故选D．

18．C【解析】由，即

所以，由，得，，故选C．

19．D【解析】由题意，由得，或，解得，故选D．

20．A【解析】函数，函数的定义域为，函数，所以函数是奇函数．，已知在上，所以在上单调递增，故选A．

21．A【解析】∵，∴当时，则，此等式显然不成立，当时，解得，∴=，故选A．

22．B【解析】为奇函数，为偶函数，故为奇函数，||为奇函数，||为偶函数，||为偶函数，故选B．

23．C【解析】，解得．

24．D【解析】由可知，准偶函数的图象关于轴对称，排除A，C，而B的对称轴为轴，所以不符合题意；故选D．

25．C【解析】由已知得，解得，又，所以．

26．B【解析】四个函数的图象如下

显然B成立．

27．C【解析】用换，得，化简得，令，得，故选C．

28．A【解析】因为，且，所以，即，解得．

29．D【解析】函数和既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中，则，所以=为奇函数，排除选项C；选项D中，则，所以为偶函数，选D．

30．D【解析】，所以函数不是偶函数，排除A；因为函数在上单调递减，排除B；函数在上单调递增，所以函数不是周期函数，选D．

31．A【解析】当时，令，解得，当时，令，解得，故．

∵为偶函数，∴的解集为，故的解集为．

32．D【解析】，33．D【解析】∵||=，∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．

34．C【解析】是奇函数的为与,故选C．

35．C【解析】，∴

36．A【解析】．

37．A【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知，即函数为偶函数，排除C；由函数过点，排除B，D．

38．C【解析】是奇函数，是非奇非偶函数，而D在单调递增．选C．

39．B【解析】由已知两式相加得，．

40．C【解析】因为，又因为，所以，所以3，故选C．

41．D【解析】由题意f(1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f(－1.1)＝－1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a，有f(a＋x)＝a＋x－[a＋x]＝x－[x]＝f(x)，故f(x)在R上为周期函数．故选D．

42．C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；当→＋∞时，－1远远大于的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C．

43．B【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B．

44．B【解析】∵π是无理数

∴，则，故选B．

45．B【解析】故选B．

46．D【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D．

47．A【解析】，所以，故．

48．B【解析】为奇函数，在上为减函数，在上为减函数．

49．B【解析】令函数，则，所以在上为增函数，又，所以不等式可转化为，由的单调性可得．

50．A【解析】当时，由得，无解；当时，由得，解得，故选A．

51．A【解析】∵为奇函数，∴，得．

52．A【解析】因为是定义在R上的奇函数，且当时，∴，选A．

53．B【解】由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．

54．A【解析】因为，所以，故选A。

55．C【解析】∵，∴．于是，由得．故选．

56．B【解析】．

57．A【解析】∵是上周期为5的奇函数，∴

58．【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是．

59．【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间

上，所以．

60．12【解析】∵是奇函数，所以．

61．【解析】当时，不等式为恒成立；

当，不等式恒成立；

当时，不等式为，解得，即；

综上，的取值范围为．

62．6【解析】由，得，所以函数的周期，所以．

63．【解析】∵，∴

①当时，所以的最大值，即（舍去）

②当时，此时命题成立．

③当时，则

或，解得或，综上可得，实数的取值范围是．

64．【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．

65．2【解析】由题意可知在函数图象上，即，∴．

66．【解析】∵，所以；

时，时，又，所以．

67．3【解析】∵函数的图像关于直线对称，所以，又，所以，则．

68．【解析】函数为偶函数，故，即，化简得，即，整理得，所以，即．

69．【解析】

70．【解析】结合图形（图略），由，可得，可得．

71．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（或填（Ⅰ）；（Ⅱ），其中为正常数均可）

【解析】过点，的直线的方程为，令得．

(Ⅰ)令几何平均数，可取．

(Ⅱ)令调和平均数，得，可取．

72．【解析】，求交集之后得的取值范围.73．【解析】由分段函数，；，．

74．【解析】由可知的单调递增区间为，故．

75．【解析】．

76．【解析】，．

77．①③【解析】∵，，所以

对于①，具有性质P的映射,同理可验证③符合，②不符合,答案应填.78．【答案】①②④

【解析】①，正确；

②取，则；，从而，其中，从而，正确；③，假设存在使，∵，∴，∴，这与矛盾，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④．

篇6：函数的概念教学反思

函数是高中数学的重要研究问题，贯穿整个高中数学的学习。然而同学们对初中的函数概念的理解根深蒂固。要使他们接受从集合角度所定义的函数概念很难。本身这个概念很抽象，叙述起来很冗长，同学们读了一遍又一遍始终不解其意，我便采用启发式教学，就像学习语文一样，让大家总结函数的本质为：“函数是一种对应关系”再启发得到：“函数是两个非空数集之间的对应关系”，又得到“函数是两个非空数集之间满足一对一或多对一的对应关系”，再加上细节性的定语。大多数同学顿时觉得茅塞顿开，明白清楚。我又加之几个实例判断是否为函数并分解其理由，同学们更加清楚明了。

通过这个概念的学习，我从中得到启示：要使学生数学思维生动活泼对抽象概念的学习不能照本宣科，必须对知识重组，揭示概念的本质，使学生乐于学习它，并运用它。

篇7：函数的概念教学反思

一、备课要完备，上课按照备课来走

备课要多研究课本，研究课本的题目设置，备课前还要翻看海南省五年来高考题，以做到和编书者出题者步调一致。比如新课改后课本多是举例引入或得出概念、公式、定理，淡化逻辑证明，而高考更多是考基础性常规题，那么老实备课的时候就要注意重视应用，淡化理论。

我个人的问题是上课思路容易混乱，喜欢用口头禅，爱重复啰嗦生怕学生不懂，随口加一些不严格的内容。那么解决方法就是(1)备课的时候，通过举例和好玩的生活实例直接引入核心内容，从直观上接受重点“任意x唯一y”，尽可能简化解释，多做具体示例;(2)上课时铺开课本和备课本，是不是扫两眼，禁止临时加话。(3)在备课基础上，上课讲完备课的内容即可，在各内容之间加一句简单的承上启下的连接就行了。

二、对学生睡觉者记名上报德育处，没有观众的表演没有激情

我认为学习是学生的权利，而不是我强迫学，所以之前我从不管学生讲话玩手机睡觉。但是后面发现居然有一大片睡觉，而且我明明很有激情，讲着讲着我就困了。于是我采用了请班长科代表记名，每堂课交名单给我，期末汇总上交德育处的方法，正好12月12日学校在升旗时，发布了一个自动退学处分，学生都是害怕开除的，所以后面每节课，只有个别自我放弃的学生睡觉了。上课一眼扫下去，都坐得端端正正，我就有更多表演的欲望和随机应变的串场内容。

三、上课多一些夸张的表情和声调，以抵抗数学高难度带来的乏味

数学对海南学生来说，难是肯定的，所以极易疲惫。老师要充满爱的去搞笑，娇嗔耍宝装萌讲笑话，或者夸张发音，故意带口音，跟学生一唱一和瞎说，都可以带来学生一笑。长期还会融洽师生关系，得到学生的喜爱。

四、核心还是重点反复强调，难点要技巧性突破

对一个老师来说，不管你的课堂多么生动活泼，这只是形式，核心还是在知识点够不够精简好记，重点难点学生是很轻松地懂了，还是说模模糊糊脑袋都懵了，这全在于老师在备课和上课上下的功夫，在于老师自己想透了没，找到合适的讲授或类比方法没。突破完全在一瞬间一个简单的道理，千万不要把师生都绕进去。

每章结束后，我会和学生一起在书皮上把本章核心知识点简洁总结，方便翻看。不重要的不需要记忆，我会直接告诉学生。

篇8：函数概念的发展和教学研究

《普通高中数学课程标准》 (实验 ) 指出 :“高中数学课程目标是:使学生在九年义务教育数学课程的基础上, 进一步提高作为未来公民所必需的数学素养, 以满足个人发展与社会进步的需要。”高中数学教学不仅要教会数学的知识和技能性结果, 还包括这些结果的形成过程, 学生通过经历这个过程, 理解一个数学问题是怎样提出来的, 一个数学概念是怎样形成的, 一个数学结论是怎样获得和应用的.学生要在一个充满探索的过程中学习数学, 感受数学发现的乐趣, 增强学好数学的信心, 形成应用数学的意识和创新思维, 进而在获得对数学理解的同时, 在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.

2.课堂教学中落实过程目标的方法与步骤

概念教学的重要任务之一就是让学生体会概念的形成过程, 而不是一个定义、三点注意.任何一个数学概念, 都是经过若干年的积累逐渐形成的。当然, 教师不可能让学生经过若干年再形成概念, 但是我们可以通过利用教学目标的导向作用在课堂教学中提供感性材料, 激发学生思考, 提供从事活动的机会, 让他们在活动中去经历、去体验、去探索, 让学生通过自己的思考形成概念. 这样才能使学生真正体会并掌握概念内容, 更能让学生学会探索、归纳, 学会数学思维, 获得智慧.

2.1观 察 、感 受 、经 历

2.1.1观 察图形 , 初步感受函数单调性概念.

问题1: 下图是某市一天24小时气温y随时间x的变化图观察气温变化图, 从图中你能获取哪些信息?

问题2:说出气温在[0, 24]小时内的变化规律?

问题3:从左向右看, 具体哪一段是下降的, 哪一段是上升的? 能谈得更具体吗?

注: 这是苏教版必修1教材§2.1.1的背景材料, 出示问题后, 一定要让学生自己观察图形, 读题, 审题, 留给学生充足的思考时间, 教师不能急于求成, 更不能包办代替, 这是学生必须经历的一个过程.让学生说出自己观察图形后的感受, 初步接触函数单调性概念.通过学生自主学习, 体验数学发现和创造的历程。

2.1.2由图形到描述性语言 , 引 入变量 , 形成模糊概念.

问题4:如果我们用表示时间, 用y表示温度, 上面我们观察得到的感受, 你能用和y描述吗?

注:这是最关键的一步, 若能正确描述, 就能顺利得到函数单调性概念;若不能顺利描述, 则会影响函数单调性的符号化, 进而影响函数单调性概念的理解和应用.变量的引入是符号化的第一步, 没有变量, 也就没法实现符号化的目标.

让学生思考, 老师不作进一步解说, 目的是让学生自己体验、感悟 (函数单调性) 概念, 至少对 (函数单调性) 概念有一个模糊的认识.让学生描述, 至于描述得是否准确、是否具体并不重要, 描述是概念形成的一个关键, 是符号化的基础, 这样不仅能引导学生形成明晰的数学概念, 而且能培养学生数学表达和交流的能力, 获得概念的经历和经验, 启人智慧.

2.2体 验 、思 考 、探 索

2.2.1从描述性语言到符号化, 形成具体的函数单调性概念

问题5: 我们注意到气温y是随时间x的变化而变化的.“当x∈[4, 14] 时 , 随着时间x的增大 , 气温y逐渐升高”, 能用一个数学的式子表示这种变化吗? 如果让你表示这种变化, 你怎样表示? 怎样用式子表示? (停顿, 让学生思考)

追问:如果“当所有时间点x1, x2∈[4, 14], 且x1<x2时, 总有气温y1℃<y2℃”时, 我们就称气温y在[4, 14]上单调递增.

经过学生对具体的气温函数随时间变化的理解和描述, 形成具体气温函数单调性概念, 最后由老师给出清晰、完整、一般的单调性概念.在此期间, 学生经历了从具体图形的变化趋势到文字语言描述, 再到抽象的符号表示, 体验了具体概念 (气温单调性 ) 的形成过程 , 感受到了探索数学概念的乐趣 , 增强了学好数学的信心。

2.2.2从 气温到函数 , 从特殊 (具体 ) 到一般 (抽象 ) , 形成清晰概念.

师:这个例子中, 气温y是时间x的函数, 如果将“气温y”变为“函数y”, “时间x”变为“自变量x”, “时间x的范围[4, 14]”变为“自变量x的范围I”, 上面的“气温”问题, 就变成了一般性的函数问题.你能用函数y=f (x) 的角度叙述函数的单调递增性吗?

设函数y=f (x) 定义域为A, 区间I魳A, 如果对于区间I内的任意两个值x1, x2, 当x1<x2时, 都有f (x1) <f (x2) , 那么就说y=f (x) 在区间I上是单调增函数 (increasing function) , I称为y=f (x) 的单调增区间 (increasing interval) .

师:我们研究了函数单调递增性, 也就是气温图像中图像上升的那一段, 那研究图像下降的一段, 我们能得到什么结论?请你仿照函数单调递增性的定义, 完成函数单调递减性的定义

至此, 学生经历了从具体到抽象的过程, 模仿完成了概括数学概念的过程, 形成了严谨的数学概念, 学会了从图形到文字再到符号语言的抽象概念过程和方法, 也帮助学生形成了严密的逻辑思维, 培养了学生联想、类比等思想方法, 学会了科学地发现、分析、解决问题。

2.3概 括 、辨 析

2.3.1从内涵和外延两个方面帮助学生加深对概念的理解.

问题6: (1) 对于函数y=f (x) , 若在区间 (0, +∞) 上, 当x=1时, y=1;当x=2时, y=3, 能否说y=f (x) 在该区间上y随x的增大而增大呢?

追问1:请思考: (2) 若x=1, 2, 3, 4, 时, 相应地y=1, 3, 4, 6, 能否说函数y=f (x) 在区间 (0, +∞) 上单调增呢?

追问2:请思考: (3) 若有n个正数x1<x2<x3<……<xn, 它们的函数值满足:y1<y2<y3<……<yn, 能否说函数y=f (x) 在区间 (0, +∞) 上单调增呢?

追问3:请思考: (4) 若x取无数个呢?

学生思考几分钟后回答, 有学生回答正确, 也有学生回答错误 (回答正确的占多数) , 都要让学生试图说明理由, 在说明理由的过程中碰撞, 通过碰撞、展示、讨论、概括, 达成共识, 学生才能真正领悟“任意两个值x1, x2”的含义, 既不是有限个, 又不是无限个, 而是“所有”, 不能有一个例外的概念内涵, 加深对函数单调性概念的理解, 形成单调函数的图像特征与数量特征表格, 培养学生在过程中体会数形结合思想, 加深对数学严密性的理解, 函数单调性概念的理解和相关结论的识别与记忆.

2.3.2从正和反两个方面辨析概念 , 识别概念 , 深化对概念的理解.

练习:判断正误, 让学生从正反两个方面体会概念, 既加深对概念内涵和外延的理解, 又为以后概念的应用 (正用反用) 作初步接触.教师要鼓励学生在过程中去探索、去感悟, 经历从模糊到清晰, 从具体到抽象的过程, 学会比较, 学会概括培养学生形成积极主动的学习方式, 既实现了理解、掌握概念的知识目标, 又实现了培养学生概括、辨析的能力目标。

3.落实过程目标的反思

波利亚提出学习的三个原则之一是“学东西最好的途径是亲自去发现它”.课堂教学中要关注学生的学习过程, 而不只是关注学生在该过程中都获得了什么结论.应该明确, 学生经历某一过程 (如观察、探究、阅读等) , 这本身就是学习目标之一.学生经历了这一过程, 就实现了这个教学目标, 有时并不要在意学生在这个过程中所获得的知识结论如何. 随着时间的推移, 知识的结论会因使用频率的减少而逐渐淡忘, 但他们所获得的体验和感悟却会在新的学习过程中得到加强和深化, 成为他们学习素质的组成部分。

总之, 教学目标是一堂课的出发点, 也是归宿点.学生获得的不仅仅是“知识”, 更是“智慧”;不仅仅是“知道”, 更是“感悟”.经历、体验和探索只能由学生自己进行, 教师不应该也不可能代替学生体验.虽然教师有时也能把自己的经历、体验与探索的结果直接告诉学生, 但这种认知化结论始终不可能成为学生的真切体验, 也总比不上让学生自己体验来得丰富。在教学过程中让学生去经历、去体验、去探索, 才能体会其中所蕴含的数学思想和方法, 才能使过程目标和知识目标在教学过程中达到统一.

摘要：“过程本身就是一个课程目标”, 在课堂教学中, 要落实这一课程目标, 就要让学生在学习过程中观察、感受、经历, 体验、思考、探索, 概括、辨析, 促使学生积极主动地学习数学, 培养学生终身学习的能力和素养.

关键词：概念,过程,目标

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书 (必修1) , 2009, 7.

篇9：幂函数的概念、图象和性质

一、 幂函数的概念

要想真正把握好幂函数概念的内涵和外延，需将它和其他基本初等函数加以区分.

1. 幂函数和指数函数

函数

内容

项目幂函数指数函数定义形如y=xα（α∈R）的函数叫幂函数，其中α为常数形如y=ax（a＞0且a≠1），x∈R的函数叫指数函数

特点1. 是幂的形式2. 幂的底数是x ——自变量3. 幂的指数是α ——常数4. α∈R（中学阶段只研究α为有理数）

1. 是幂的形式2. 幂的底数是a ——a＞0且a≠1的常数3. 幂的指数是x ——自变量

4. x∈R（定义域）

2. 幂函数和正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数

形如y=kxα的函数,k,α是常数：

① 当且仅当k≠0且α=1时为正比例函数.

② 当且仅当k≠0且α=-1时为反比例函数.

③ 当且仅当k≠0且α=1时为一次函数.

④ 当且仅当k≠0且α=2时为二次函数.

⑤ 当k=1时为幂函数.

另外，并非所有的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数都是幂函数，比如：y=2x，y=2x，y=x+1，y=x2-x等均不是幂函数.

3. 幂函数和复合函数

幂函数作为一种基本初等函数，它可成为被复合的一分子，但它不是复合函数.如：y=x12+1是由一次函数y=u+1和幂函数u=x12组成的复合函数，但y=x12+1不是幂函数.

例1 已知函数f（x）=（m2+2m）xm2+m-1，m为何值时，f（x）是：

（1） 正比例函数；

（2） 反比例函数；

（3） 二次函数；

（4） 幂函数.

解析 本题考查四种基本初等函数，关键是根据各自定义列出等式或不等式，求出m的取值.

（1） m2+2m≠0,m2+m-1=1,解得m=1.

（2） m2+2m≠0,m2+m-1=-1,解得m=-1.

（3） m2+2m≠0,m2+m-1=2,解得m=-1±132.

（4） m2+2m=1,解得m=-1±2.

二、 幂函数的图象

图1

1. 以y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1五种函数的图象，通过列表——描点——连线（三步作图法）得到,如图1.

2. 幂函数y=xα，x∈［0，+∞）的图象因α值不同而不同.如图2，以y=x，y=x0和在x=1右侧分为三个区域：

图2

在Ⅰ区中，y=xα（α＜0）；

在Ⅱ区中，y=xα（0＜α＜1）；

在Ⅲ区中，y=xα（α＞1）.

利用图2，可弄清在第一象限中幂函数y=xα的图象分布与α的关系，且在x=1右侧的每一区域中，都是越往上对应的α值越大.

例2 图3是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则（）

A. -1＜n＜0＜m＜1

图3

B. n＜-1,0＜m＜1

C. -1＜n＜0,m＞1

D. n＜-1,m＞1

解析 在（1，+∞）内取一值x0，作直线x=x0，它与这两个幂函数的图象均有交点，则“点低指数小”，故选B.

3. 幂函数图象的特点

① 一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内；

② 最多只能同时出现在两个象限内；

③ 是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；

④ 如果图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

三、 幂函数的性质

幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出在定义域内完整的图象；反过来，只要图象明确了，性质也就清晰无误了.

例3 已知幂函数y=xm2-2m-3（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)-m3＜(3-2a)-m3的a的取值范围.

解析 由题意，可得m2-2m-3＜0，即-1＜m＜3.

又m∈N，所以m=0，1，2.

当m=0或m=2时，y=x-3是奇函数，不合题意,舍去.

当m=1时，y=x-4满足条件.

所以m=1.

对于（a+1）-13＜(3-2a)-13,考察幂函数y=x-13的单调性：在（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数,

所以a+1＞0,3-2a＞0,a+1＞3-2a,或a+1＜0,3-2a＜0,a+1＞3-2a,或3-2a＞0,a+1＜0,

解得a＜-1或23＜a＜32.

故a的取值范围是（-∞，-1）∪23,32.

巩 固 练 习

1. 下列函数是幂函数的是（）

A. y=xx

B. y=3x12

C. y=(x-1)2

D. y=x-2

2. 右图为幂函数y=xα在第一象限的图象，则C1，C2，C3，C4的大小关系为（）

A. C1＞C2＞C3＞C4

B. C2＞C1＞C4＞C3

C. C1＞C2＞C4＞C3

D. C1＞C4＞C3＞C2

3. 设函数f1(x)=x12，f2(x)=x-1，f3(x)=x2.求：f1(f2(f3(2008)))=.

4. 已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)＜f(3).

（1） 求k及其相应的f(x)的解析式；

（2） 对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在q（q＞0），使函数g（x）=1-qf(x)+（2q-1）x在区间［-1，2］上的值域为-4,178？若存在，求出q；若不存在，说明理由.