四点共圆的证明

四点共圆的证明（共5篇）

篇1：四点共圆的证明

*1.对角互补的四边形的顶点共圆。 *2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

*3.同底边等顶角的三角形的.顶点共圆（顶角在底边的同侧）。 *4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

*5.到顶点距离相等的各点共圆。

1,如图 OA=OB=OC ACB=20度,, 求角AOB的大小

2.如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高， M、N分别是DE、BC的中点。求证：MN⊥DE。

A

E

D

B

C

3（10分）如图，等腰Rt△ABD中，AB=AD，点M

为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM=AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN。 （1）求证∠BEN=∠BGN。 （2）求

NG

的值。 AB

（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，

并证明之。

4,如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，以AC为边向外作等边△ACE，BE分别与AD、AC交于F、C，连接CF。 （1）求证：∠FBD=∠FCD;

（2）若AF=3，DF=1，求EF的值。

B

5（本题8分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC>AC，⊙O为△ABC的外接圆，以点C为圆心，BC长为半径作弧交CA的延长线于点D，交⊙O于点E，连接BE、DE． （1）求∠DEB的度数；

（2）若直线DE交⊙O于点F，判断点F在半圆AB上的位置， 并证明你的结论．

?

B

D

6.在等腰△ABC中，AB=AC,边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD. （1）如图1，若?BAC?30?，30°?m?180°，连接BD，请用含m的式子

表示?DBC 的度数；

（2）如图2，,若?BAC?60?，0°?m?360°，连接BD，DC，直接写出△

BDC为等腰三角形时m所有可能的取值；

（3）如图3，若?BAC?90?，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋

转度m，使明理由。

D

AE

?2,若存在，求出所有条件的m的值，若不存在，请说BE

图1

图2

C

7．如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？证明四点共圆请说明理由.如果拖拉机速度为18千米M小时，则受噪音影响的时间是多少秒？ ．

篇2：四点共圆的证明

圆的切点弦方程的解法探究

在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：

1、在标准方程（xa)2(yb)2r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0a（）xa)(y0b)(yb)r2；

在一般方程x2y2DxEyF0（DE4F0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：

xx0yy0D

xx0yy0

EF0。2

222

22、两相交圆x2y2D1xE1yF10（D1E14F10）与

x2y2D2xE2yF20（D2E24F20）的公共弦所在的直线

方程为：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0。

22223、过圆xyDxEyF0（DE4F0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|x12y12Dx1Ey1F。

4、过圆x2y2DxEyF0（DE4F0）外一点

2P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：

；（x1a（）xa)(y1b)(yb)r2（在圆的标准方程下的形式）xx1yy1D

xx1yy

1。EF0（在圆的一般方程下的形式）

二、题目已知圆x2y22x4y40外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。

三、解法

解法一：用判别式法求切线的斜率

如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线

方程为：y(1)k[x(4)]

即kxy4k10 kxy4k10

由2消去y并

2xy2x4y40

整理得

(1k2)x2(8k26k2)x(16k224k1)0①

令(8k26k2)24(1k2)(16k224k1)0②

15解②得 k0或k 8

1528将k0或k分别代入①解得x

1、x 817

2858从而可得 A(,)、B(1,-1)，1717

再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x3y20。

解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率

如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为： y(1)k[x(4)]

即kxy4k10

由圆心C(1,2)到切线kxy4k10的距离等于圆的半径3，得

|k124k1|

k(1)

15解③得 k0或k 8

从而可得切点 A(223③ 所以切线PA、PB的方程分别为：15x8y520和y1 2858,)、B(1,-1)，1717

再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x3y20。

解法三：用夹角公式求切线的斜率

如图示1，设要求的切线的斜率为k，根据已知条件可得 22|PC|=1(4)][2(1)]34，r3，kPC2(1)3 1(4)

5在RtPAC中，|PA|=5，tgCPA3 5

3④ 由夹角公式，得351k5

15解④得k0或k 8

所以切线PA、PB的方程分别为：15x8y520和y

12858从而可得切点 A(,)、B(1,-1)，1717

再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x3y20。k

解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点

如图示1，根据已知条件可得 2(1)3 1(4)

5PH25在RtPAC中，|PA|=5，AHPC，从而可得 HC9

1141由定比分点公式，得 H(,)

343

415又因为kAB kPC

3再根据点斜式方程得直线AB的方程为：5x3y20。22|PC|=1(4)][2(1)]34，r3，kPC解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之

一

如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经过以P

圆C`与圆xy2x4y40的交点的直线，由切线长公式得

2|PA|=4)(1)2(4)4(1)45 2

2所以圆C`的方程为 x2y28x2y80

根据两圆的公共弦所在的直线方程，得5x3y20

即 直线AB的方程为：5x3y20。

解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二

如图示3，因为PACA，PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径

式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方

程为

[x(4)](x1)[y(1)](y2)0

即x2y23xy60

根据两圆的公共弦所在的直线方程，得5x3y20 即 直线AB的方程为：5x3y20。

解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 设切点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，根

据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为 xx1yy12xx14yy140 和 2

2xx2yy2xx2yy22440 22

因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得 5x13y120⑤ 5x3y2022

由式⑤知，直线 5x3y20经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，所以，直线AB的方程为：5x3y20。

解法八：直接运用圆的切点弦方程

因为P（-4，-1）是圆x2y22x4y40外一点，根据切点弦所在直线的方程xx1yy1Dxx1Eyy1F0 得 2

2x（4）y（1）4x（1）y2440 22

整理得，直线AB的方程为：5x3y20。

解法九：运用参数方程的有关知识

如图4，将圆的普通方程x2y22x4y40 化为参数方程：

x13cos（其中为参数）y23sin

设切点A的坐标为（13cos，23sin），由PACA得

(23sin)(1)(23sin)21化简，整理得(13cos)(4)(13cos)

15cos3sin30⑥ 2(1)3 又因为kPC1(4)515kAB kPC3可设直线AB的方程为5x3yc0，将点A（13cos，23sin）代入并整理，得 11c05cos3sin

3⑦ 11c3，从而得 c2 3

所以，直线AB的方程为：5x3y20 由式⑥和⑦知，四点共圆

证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法：

方法1

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．

方法2

(，从而即可肯定这四点共

圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）

方法3

把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

方法

4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．

方法

5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：

180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=

角DAC（同弧所对的圆周角相等）。角CBE=角ADE（外角等于内对角）

方法6

篇3：四点共圆的证明

命题： 椭圆四点共圆的充要条件是该四点连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线中的两条直线倾斜角互为补角 。

证明：设椭圆为：mx?+ny?=1，（mn≠0）

A、B、C、D依次为曲线上的四点，两组对边为AB/CD、BC/AD，两条对角线为AC/BD，三对直线中任一对直线方程设为：

y=k1x+b1 （k1≠0）， y=k2x+b2 （k2≠0），

则过任意一对直线与椭圆的4个交点的二次曲线系方程为：

mx2+ny2-1+λ（y-k1x-b1）（y-k2x-b2）=0 （λ为参数）

整理得：

（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2-λ（k1+k2）xy+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+

λb1 b2-1=0 ①

（Ⅰ）充分性证明：

当三对直线中任一对直线的倾斜角互补时，k1+k2=0，则方程①变为：

（m+λk1k2）x2+（n+λ）y2+λ（k1 b2+k2 b1）x-λ（b1+b2）y+λb1 b2-1=0

令 则：

即必存在λ0= ，使得方程①为圆的方程，

故A、B、C、D四点共圆；

（Ⅱ）必要性证明：

当A、B、C、D四点共圆，则方程①不应含有交叉项xy，

故 -λ（k1+k2）=0， ∴ k1+k2=0，

即三对直线中任一对直线的倾斜角互补。

由（Ⅰ） （Ⅱ）知，上述命题成立。

同理，可以证明双曲线四点共圆的充要条件也是该四点连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线中的两条直线倾斜角互为补角。

利用这一命题，在做题时可以节省很多时间。如：武汉市2016年2月高三调考的数学选择题中曾出现一道题（给出的标准答案是先证明A、B、C、D四点共圆，略显复杂）：

设直线y=3x-2與椭圆Г： =1交于A、B两点，过A、B的圆与椭圆Г交于另外两点C、D，则直线CD的斜率k为（ ）。

A.- ；B.-3 ；C. ； D.-2；答案：B

参考文献：

[1]张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究[J].数学教学 2012，7.

[2] 田富德 陈琛. 圆锥曲线中一个四点共圆性质[J].中学数学研究 2014，4.

【摘要】椭 圆上四点共圆的充要条件是该四点连接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，任一对直线的倾斜角互为补角。本文用较简单的方法对这一命题进行了证明。恰到好处地利用这一命题，会节省考试中的宝贵时间。

【关键词】 圆锥曲线； 四点共圆；充要条件； 高考复习；

篇4：四点共圆怎么判定

方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的`同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）

方法2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

相关计算

圆的半径：r。

直径：d。

圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值。

圆面积：S=πr2；S=π(d/2)2。

半圆的面积：S半圆=(πr2；)/2。

圆环面积：S大圆-S小圆=π(R2-r2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。

圆的周长：C=2πr或c=πd。

篇5：如何证四点共圆

第一，利用圆的定义：即到一定点距离相等的各点共圆．

例１如图１，试证明菱形ＡＢＣＤ各边中点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ四点共圆．

思路和证明：应用定义，去证ＯＥ＝ＯＦ＝ＯＧ＝ＯＨ． 这很容易办到，所以Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ共圆．

第二，若两个（或多个）直角三角形共斜边，则各顶点共圆．

例２已知：如图２，ＡＢ和ＡＣ与⊙Ｏ相切于Ｂ、Ｃ，Ｐ是⊙Ｏ上一点，且ＰＥ⊥ＡＢ于Ｅ，ＰＤ⊥ＢＣ于Ｄ，ＰＦ⊥ＡＣ于Ｆ，求证：ＰＤ²＝ＰＥ·ＰＦ．

思路和证明：欲证ＰＤ²＝ＰＥ·ＰＦ，即证PD/PF＝PE/PD，只需证△ＰＦＤ∽△ＰＤＥ． 由于这里证边成比例比较困难，因而转证对应角相等，即证∠ＰＤＥ＝∠ＰＦＤ，∠ＰＥＤ＝∠ＰＤＦ，这需从切线、垂线、四点共圆去思考．

因两个直角三角形Ｒｔ△ＰＢＤ、Ｒｔ△ＰＢＥ共斜边ＰＢ，因此，Ｂ、Ｄ、Ｐ、Ｅ四点共圆，同理Ｄ、Ｃ、Ｆ、Ｐ四点共圆，连ＰＢ、ＤＥ、ＰＣ、ＤＦ可得∠ＰＤＥ＝∠ＰＢＥ，∠ＰＢＤ＝∠ＰＥＤ，∠ＰＦＤ＝∠ＰＣＤ，∠ＰＤＦ＝∠ＰＣＦ，又ＡＢ、ＡＣ是⊙Ｏ的切线，得∠ＰＢＥ＝∠ＰＣＤ，∠ＰＢＤ＝∠ＰＣＦ（弦切角）．于是得∠ＰＤＥ＝∠ＰＦＤ，∠ＰＥＤ＝∠ＰＤＦ，所以△ＰＦＤ∽△ＰＤＥ成立．

第三，利用圆内接四边形的判定定理：对角互补的四边形内接于圆（四顶点共圆）；外角等于内对角的四边形内接于圆（四顶点共圆）．

例３如图３，从⊙Ｏ直径的一端点Ａ，向过另一端点Ｂ的切线上作直线ＡＥ、ＡＦ，分别交⊙Ｏ于点Ｃ、Ｄ，求证：Ｃ、Ｅ、Ｆ、Ｄ四点共圆．

思路和解答；欲证Ｃ、Ｅ、Ｆ、Ｄ四点共圆，只需证∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ． 连ＣＤ、ＣＢ，由于已有Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ四点共圆，可知有∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ，再由∠ＡＥＢ＋∠ＣＢＥ＝９０°，∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝９０°得∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＢ． 于是∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ，结论成立．

第四，若两个三角形有公共底边，且顶角相等，又位于公共底边同侧，则四点共圆．

例４如图４，在△ＡＢＣ中，三条高线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于Ｏ，延长ＡＤ至Ｇ，使ＤＧ＝ＤＯ． 求证：Ａ、Ｂ、Ｇ、Ｃ四点共圆．

思路和证明：连ＢＧ、ＣＧ，欲证Ａ、Ｂ、Ｇ、Ｃ四点共圆，只需证得∠ＡＣＢ＝∠ＡＧＢ，根据已知易证△ＢＯＤ≌△ＢＧＤ，便有∠ＢＧＤ＝∠ＢＯＤ，现只需证∠ＢＯＤ＝∠ＡＣＢ了．因为Ｄ、Ｃ、Ｅ、Ｏ四点共圆，∠ＢＯＤ是四边形ＤＣＥＯ的外角，所以的确有∠ＢＯＤ＝∠ＡＣＢ，于是∠ＡＣＢ＝∠ＢＧＤ＝∠ＡＧＢ，结论成立．

第五，利用相交弦定理的逆定理：若两条线段ＡＢ、ＣＤ相交于点Ｐ，且满足ＡＰ·ＢＰ＝ＣＰ·ＤＰ，则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆．

例５如图５，Ｐ为⊙Ｏ外一点，引切线ＰＡ、ＰＢ，Ａ、Ｂ是切点，连结ＡＢ与ＯＰ，它们相交于点Ｍ，过点Ｍ任引弦ＣＤ，求证：Ｏ、Ｃ、Ｐ、Ｄ四点共圆．