四年级数学期末模拟题

2024-05-18

四年级数学期末模拟题（共8篇）

篇1：四年级数学期末模拟题

四年级数学上册期末的模拟试卷

一、填空题。

1、最小的自然数是（），自然数的个数是（）。

2、500505000是一个（）位数，最高位是（）位，最高位上的5表示（）个（），中间的5表示（）个（），最后的5表示（）个（），这个数读作（）。

3、一万一万的数。十个一万是（），十个十万是（），十个一千万是（）。

4、由三亿、七百万、九万和四千组成的.数是（）。由三十万、八万和三千组成的数是（）。

5、在同一平面内，不（）的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线（）。

6、从个位起第（）位是亿位；第七位是（）位；第（）位是十亿位；千万位的右边一位是（）位，左边一位是（）。

7、一个数乘以58等于1160，如果这个数扩大3倍，则积是（）。

8、5□4858，要使商上两位数，□里可以填( );要使商上一位数□可以填（）。

9、86542379中的5表示（），3245876901中的2表示（）。

10、如果两条直线相交成（），就是说这两条直线（），其中一条直线叫做另一条直线的（），这两条直线的（）叫做垂足。

11、括号最大能填几。

（）35＜248

48（）＜369

（）27＜135

75（）＜751

（）53＜302

120（）＜25

12、把下列各数改写成用万或亿作单位的数。（不是整数的可以用四舍五入法省略万或亿后面的尾数。）

59700（）

4320000（）

106000000（）

9012000（）

13、用0、0、0、6、8、9、2这七个数按要求组成七位数。

读出两个0的（）

读出一个0（）

所有的0都不读出来（）

读出三个0（）

二、判断，对的画+号，错的画－号。

1、我可以量出直线的长度。（）

2、两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。（）

3、有两条射线所组成的图形叫做角。（）

4、角的边越长，角就越大。（）

5、从一个端点可以画无数条射线。（）

6、因为钝角都大于90，所以大于90的角都是钝角。（）

三、把符合要求的序号填在括号里。

1、中午1点整时，时针和分针所组成角的度数是（）。

A、15度

B、30度

C、90度

D、120度

2、两组对边分别平形，有四个直角（），只有一组对边平行（）两组对边分别平行，没有直角（）。

A、正方形

B、长方形

C、平行四边形

D、梯形

3、被除数除以100，除数怎样变化，商不变？（）。

A、除数加100

B、除数减100

C、除数除以100

D、除数乘100

四、算一算。

1、口算。

1506＝

725－65＝

3502＝

2304＝

183＝

1406＝

2703＝

713＝

2380＝

1305＝

2、估算。

48206

12583

162341

1032498

3、笔算下面各题，带*的要验算

16628

24039

300

66525

386151

95800280

五、列式计算。

1、25的34倍是多少？

2、756里面有多少个18？

3、1460减去22乘以18的积，差是多少？

六、应用题。

1、一辆汽车每小时行了516千米，照这样的速度，行6192千米需要多少个小时？

2、小红感冒了，吃完药后要赶快休息。小红应如何合理安排以上事情？

找杯子倒开水	1分钟
等开水变温	7分钟
找感冒药	1分钟
量体温	5分钟

篇2：四年级数学期末模拟题

1.第五次人口普查结果公布:中国总人口1295330000人，改写成以“万”为单位的数是( )人，省略“亿”后面尾数约是( )人。

2.一个八位数，最高位上是8，十万位上是5，万位是6，百位上是2，其他数位都是0。这个数写作( )，读作( )。

3.在○里填上“>”，“<”或“=”。

54070800000○5470800000 48万○480001

900000000○9 亿 1000000○999999

4.线段有( )个端点，射线有( )端点

5.3时整，时针与分针夹角是( )度，7时整，时针与分针夹角是( )。

6.6930÷21，可以把除数看作( )去试商比较简便，商是( )位数。

7.A÷21=20……( )，在括号里最大能填( )，这个被除数最大是( )。

8.一个数和25相乘的积是15000，如果这个数缩小100倍，积变成( )。

9.两数相除的商是12，如果被除数和除数都缩小4倍，现在的商是( )。

10.一个边长24厘米的正方形面积是( )平方厘米。如果这个正方形的面积与一个宽9厘米的长方形面积相等，长方形的长是( )。

二、火眼金睛辨真伪―― 对的在( )里打“√”，错的打“×”(5分)

1.一个五位数，“四舍五入”后约等于6万，这个数最大是5999。( )

2.一条射线长5米。( )

3.角的大小与边长无关。 ( )

4.个位、十位、百位、千位、万位……都是计数单位。( )

5.每两个计数单位之间的进率是10。( )

三、左挑右选出真知――选择正确答案的序号填

在( )里。(5分)

1.下面各数，读数时只读一个零的是( )。

①603080 ②6030800 ③6003800

2.用一个放大100倍的放大镜看一个30?的角，

看到的角的度数是( )。

①300? ②30? ③3000?

3.若A×40=360，则A×4=( )。

①3600 ②36 ③360

4.480÷80=6，480扩大10倍，80缩小10倍，商是( )。

①扩大100倍 ②缩小100倍 ③不变

5.小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟。小明合理安排以上事情，最少要( )几分钟使客人尽快喝茶。

①7分钟 ②8分钟 ③9分钟

四、精打细算百分百(30分)

1.直接写出结果。(6分)

120×7= 4500÷15= 430+80=

560×0= 7200÷90= 43×12≈ 140×60= 125×8= 900÷6= 416÷70≈ 645÷79≈ 98×102≈

2.笔算下面各题(12分)

134×16 372÷31 208×34 1508÷29 625÷25 540×18

3.脱式计算：(12分)

800-600÷20 18×(537-488)

25×37×4 720÷16÷5

五、动画世界我翱翔――按要求操作(7分)

(1)用三角板画出105°的角。(共3分)

(2)过A点画已知直线的平行线和垂线。(共4分)

六、走进生活显身手。(每小题5分，共计25分)

1.一束鲜花30元，买5束送一束。王阿姨一次买5束，每束便宜多少元?

2.汽车上山的速度为每小时36千米，行了5小时到达山顶，下山时按原路返回只用了4小时。汽车下山时平均每小时行多少千米?

3.实验小学要为三、四年级的学生每人买一本价格为12元的作文辅导书。已知三年级有145人，四年级有155人，两个年级一共需要多少元?

4.学校开展节约用水活动，前3个月共节约用水435吨。照这样计算，学校一年能节约用水多少吨?

篇3：四年级数学期末模拟题

一、选择题:本大题共10小题 (理科共8小题) , 每小题5分, 共50分 (理科共40分) .在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

(A) {1} (B) {0, 1} (C) (0, 1) (D)

(A) [1, +∞)

(B) {0}∪[1, +∞)

(D) {0}∪ (1, +∞)

2. (理) 已知a, b∈R*, i是虚数单位, 且 (1+ai) (b+i) = (b-a) +5i, 则a+b的最小值为 () .

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

(文) 已知a, b∈R*, 且 (1+ai) (b+i) =5i i是虚数单位, 则a+b= () .

(D) 4

3.已知函数f (x) =log2 (x+1) , f (x-1) 的反函数为g (x) , 则函数h (x) =f (x-1) +g (x) 在[1, 2]上的值域是 () .

() [, ]

(B) (2, 5]

(D) [1, 2)

(A) 5

(B) 8

(D) 25

(文) 下表为某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨) 与相应的生产能耗y (吨) 标准煤的三组对照数据.

则y关于x的线性回归方程为 () .

(A) 周期为6的奇函数

(B) 周期为6的偶函数

(D) 周期为6π的偶函数

6. (理) 已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同, 且以F为圆心, 半径为的圆与双曲线C的渐近线相切, 则双曲线C的方程为 () .

(文) 一个几何体的三视图如图1所示, 则该几何体的体积为 () .

7. (理) 图2是根据部分城市某年6月份的平均气温 (单位:℃) 数据得到的样本频率分布直方图, 其中平均气温的范围是[20.5, 26.5], 样本数据的分组为[20.5, 21.5) , [21.5, 22.5) , [22.5, 23.5) , [23.5, 24.5) , [24.5, 25.5) , [25.5, 26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11, 则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 () .

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

(文) 已知各项均为正数的等差数列{an}中, a2+an-1=12, Sn=36, 则a3a4的最大值为 () .

(A) 6

(B) 12

(D) 48

8. (理) 袋中装有m个红球和n个白球, m>n≥4, 现从中任取两球, 若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率, 则满足关系m+n≤40的数组 (m, n) 的个数为 () .

(A) 3

(B) 4

()

(文) 已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同, 且以F为圆心, 半径为的圆与双曲线C的渐近线相切, 则双曲线C的方程为 () .

(A) (-∞, 4)

(B) (0, 4)

(D) (-∞, 0]

(A) (-2, -1]∪ (1, 2]

(B) (-1, 1]∪ (2, +∞)

(D) [-2, -1]

二、填空题:本大题共5小题 (理科共7小题) , 选做4小题 (理科选做6小题) , 每小题5分, 共20分 (理科共30分) .把答案填在题中横线上.

(一) 必做题

9. (理) 已知函数f (x) =lg (|x+a|+|xa|-2) 的定义域为R, 则实数a的取值范围是__________.

12. (理) 为了鼓励节约用水, 某市实行了如下的居民用水阶梯缴费方案 (按户计价) :

为了方便居民缴交该方案的水费, 某公司准备研制一种“阶梯水价水表”, 其计算原理如图4所示的框图, 则在 (1) 处的表达式为S=________;某户居民5月份交了50.88元水费, 那么, 该户居民5月份用了__________吨水.

(文) 已知a, b均为不等于1的正数, 且函数f (x) =ax-b的图象不经过第四象限, 则函数g (x) =bx-a的图象不经过第__________象限.

13. (理) 一个几何体的三视图如图5所示, 则该几何体的体积为____________.

(文) 为了鼓励节约用水, 某市实行了如下的居民用水阶梯缴费方案 (按户计价) :

为了方便居民缴交该方案的水费, 某公司准备研制一种“阶梯水价水表”, 其计算原理如图6所示的框图, 则在 (1) 处的表达式为S=________;某户居民5月份交了50.88元水费, 那么, 该户居民5月份用了__________吨水.

(二) 选做题

14. (坐标系与参数方程选讲选做题) 如图7, 在极坐标系Ox中, 等腰梯形OABC的顶点O与极点重合, 顶点A在极轴上, BC∥AO, 且|OA|=3|CB|=3, |OC|=|AB|=, 则直线AB的极坐标方程为__________.

15. (几何证明选讲选做题) 如图8, 过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C, D两点, AB切⊙O于B, 弦MN过CD的中点P.已知AC=4, AB=6, 则MP·NP=____________.

三、解答题:本大题共6小题, 共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(Ⅱ) 若b=4, △ABC的面积S=6, 求sin B的值.

17. (本小题满分13分) (理) 某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶, 然后以每瓶3元的价格出售, 如果当天卖不完, 余下的酸奶变质作垃圾处理.

(Ⅰ) 若食品店一天购进170瓶, 求当天销售酸奶的利润y (单位:元) 关于当天的需求量n (单位:瓶, n∈N) 的函数解析式;

(Ⅱ) 根据市场调查, 100天的酸奶的日需求量 (单位:瓶) 数据整理如下表:

若以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.食品店一天购进170瓶酸奶, X表示当天的利润 (单位:元) , 求X的分布列和数学期望EX.

(文) 图9所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以X表示.

(Ⅰ) 如果乙组同学投篮命中次数的平均数为, 求X及乙组同学投篮命中次数的方差;

(Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 求这两名同学的投篮命中次数之和为19的概率.

18. (本小题满分13分) 如图10, 四边形ABCD是边长为1的菱形, ∠ABC=120°, 直线m经过点A且垂直于平面ABCD, 直线n经过点C且平行于m, 点P, Q分别是直线m, n上的动点, 且位于平面ABCD同一侧.

(Ⅰ) 证明:BQ∥平面PAD;

(Ⅱ) (理) 若CQ=, 直线BQ与平面BDP所成的角为60°, 求平面BDP与平面BDQ所成的角的余弦值.

(文) 若CQ=2AP=2a, 且平面BDP⊥平面BDQ, 求a的值.

19. (本小题满分14分) 已知函数f (x) =ax-1-ln x (a∈R) .

(Ⅰ) 讨论函数f (x) 在定义域内的极值点的个数;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在x=1处取得极值, 对x∈ (0, +∞) , f (x) ≥bx-2恒成立, 求实数b的取值范围;

(Ⅰ) 若M是椭圆C1的右顶点, 点P是椭圆C1上一动点, 点A (2, 0) , |PA|的最小值为|MA|, 求实数m的取值范围;

(Ⅱ) 当m=时, 曲线C2经过椭圆C1的右顶点, 点Q为曲线C2上的动点, l为C2在Q点处的切线, 求原点O到切线l距离的最小值;

(Ⅲ) 当m=2时, 椭圆C1与垂直于x轴的直线EF交于E, F两点, 且|EF|=2b, 椭圆C1的上、下顶点分别为C, D, 求以C, D, E, F为顶点的面积S的最小值.

21. (本小题满分14分) 在数列{an}中, a1=1, 且对任意的k∈N*, a2k-1, a2k, a2k+1成等比数列, 其公比为qk.

(Ⅰ) 若qk=2 (k∈N*) , 求a1+a3+a5+…+a2k-1.

(1) 求证:{bn}成等差数列, 并求其公差;

(2) (理) 若d1=2, 试求数列{dk}的前k项和Dk.

(文) 若a2=d1=2, 试求数列{dk}的前k项和Dk.

参考答案

解之, 得x=0或x-1≥0,

即x=0或x≥1.

2. (理) C.由题意得 (1+ai) (b+i) = (ba) + (1+ab) i= (b-a) +5i, 则1+ab=5, 即ab=4, a, b∈R*, ∴a+b≥=4.

又a, b∈R*,

∴a=b=2, ∴a+b=4.

3.A.f (x-1) =log2x的反函数g (x) =2x, 则h (x) =f (x-1) +g (x) =log2x+2x在[1, 2]上是增函数, 而h (1) =2, h (2) =5,

∴h (x) ∈[2, 5].

∴n=5, 有a2+a4=10=2a3,

∴a3=5,

(文) 由于所给的数据恰在直线y=x-1上, ∴所求的线性回归方程为^y=x-1.

∴4=a2+b2.

∴a3a4≤36.

所以m+n= (m-n) 2, 由m>n≥4, m+n≤40, 得9≤m+n≤40.

解之, 得 (m, n) = (6, 3) , (10, 6) , (15, 10) , (21, 15) .故符合题意的数组 (m, n) 有4个.

∴4=a2+b2.

9. (理) (-∞, -1) ∪ (1, +∞) .由题意可知, 对任意x∈R, |x+a|+|x-a|-2>0恒成立, 则|x+a|+|x-a|>2.

又|x+a|+|x-a|=|x+a|+|a-x|≥| (x+a) + (a-x) |=2|a|, 由2|a|>2得a<-1或a>1.

综上, k的取值范围是 (-∞, 4) .

(1) 当-≥0, 即k≤0时, 区域Ω的边界为三角形;

综上, k的取值范围是 (-∞, 4) .

12. (理) S=2.88x-21.12;25.可得 (1) 处的表达式为S=1.92×22+2.88× (x-22) =2.88x-21.12.

当x=22时, S=2.88×22-21.12=42.24<50.88;当x=30时, S=2.88×30-21.12=65.28>50.88.故该户居民5月份的用水量x满足22≤x≤30.由2.88x-21.12=50.88, 得x=25.

(文) S=2.88x-21.12;25.可得 (1) 处的表达式为S=1.92×22+2.88× (x-22) =2.88x-21.12.

当x=22时, S=2.88×22-21.12=42.24<50.88;当x=30时, S=2.88×30-21.12=65.28>50.88.故该户居民5月份的用水量x满足22≤x≤30, 由2.88x-21.12=50.88, 得x=25.

14.ρ (cosθ+sinθ) =3.以O为原点, 极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系, 由题意得

其极坐标方程为ρ (cosθ+sinθ) =3.

(Ⅱ) ∵b=4, S△ABC=6,

17. (理) 解: (Ⅰ) 当n<170时, y=3n-170×2=3n-340;

当n≥170时, y= (3-2) ×170=170.

(Ⅱ) X可取值为:110, 140, 170.

依题意得n=150, 160及不小于170的频率分别为0.17, 0.23, 0.6.

∴X的分布列为:

∴EX=110×0.17+140×0.23+170×0.6=152.9.

(Ⅱ) 记甲组四名同学为A1, A2, A3, A4, 他们投篮命次数依次为:9, 9, 11, 11,

乙组四名同学为B1, B2, B3, B4, 他们投篮命次数依次为:8, 8, 9, 10,

分别在甲、乙组中随机选取一名同学, 有:

(A1, B1) , (A1, B2) , (A1, B3) , (A1, B4) ;

(A2, B1) , (A2, B2) , (A2, B3) , (A2, B4) ;

(A3, B1) , (A3, B2) , (A3, B3) , (A3, B4) ;

(A4, B1) , (A4, B2) , (A4, B3) , (A4, B4) .

故共有16种.

选出的两名同学投篮命中次数之和为19有: (A3, B1) , (A3, B2) , (A4, B1) , (A4, B2) , (A1, B4) , (A2, B4) ,

∴PA∥面BCQ.

∴AD∥面BCQ, AD∩PA=A,

∴面PAD∥面BCQ, BQ面BCQ,

∴BQ∥平面PAD.

(Ⅱ) (理) 设AC∩BD=O, 连结OP, OQ, PQ.

由PA⊥面ABCD, BD面ABCD, 得BD⊥PA,

在菱形ABCD中, BD⊥OA,

又∵OA∩PA=A,

∴BD⊥面POA, PO面POA,

∴BD⊥OP.

同理, BD⊥OQ,

而OP∩OA=O, 则BD⊥面POQ.

作QE⊥OP于点E, 连结QE, 由QE面POQ, 则BD⊥QE,

又PO∩BD=O, 有QE⊥而BDP, 连结BE, 则∠EBQ是直线BQ与平面BDP所成的角,

∴∠EBQ=60°.

(文) 设AC∩BD=O, 连结OP, OQ, PQ.

由PA⊥面ABCD, CQ∥PA, 得QC⊥面ABCD,

而BD面ABCD, 得BD⊥QC.

在菱形ABCD中, BD⊥OC,

又∵QC∩OC=C, ∴BD⊥面QOC, QO面POA,

∴QO⊥BD.

又平面BDP⊥平面BDQ, 平面BDP∩平面BDQ=BD,

∴OQ⊥面BDP, PO面BDP,

则OQ⊥PO.

设PA=a, 由CQ=2AP得CQ=2a,

作PM∥AC交QC于点M, 则PM=AC.

当a≤0时, f′ (x) <0, f (x) 在 (0, +∞) 上单调递减, 这时f (x) 在 (0, +∞) 上没有极值.

∴当a≤0时, f (x) 在 (0, +∞) 上没有极值;当a>0时, f (x) 在 (0, +∞) 上有一个极值.

由g′ (x) =0, 得x=e2.

当0<x<e2时, g′ (x) <0, 当x>e2时, g′ (x) >0,

∴g (x) 在 (0, e2) 上递减, 在 (e2, +∞) 上递增,

∴h (x) 在 (e-1, +∞) 上单调递增, 而x>y>e-1, 有h (x) >h (y) ,

∴h (x) 在 (e, +∞) 上单调递增, 而x>y>e, 有h (x) >h (y) ,

代入整理得2x0x-4y-x20-8=0,

原点O到切线l距离

即原点O到切线l距离的最小值为2.

由直线EF⊥x轴知, 四边形CDEF为等腰梯形, 且|CD|=2, 而|EF|=2b,

令f (b) =S2=4 (b+1) 2 (1-b2) , 0<b<1,

(Ⅱ) 证明: (1) ∵a2k, a2k+1, a2k+2成公差为dk的等差数列,

∴2a2k+1=a2k+a2k+2,

∴bk+1-bk=1, 即{bn}是等差数列, 且公差为1.

(2) (理) 由d1=2得a3=a2+2,

则由a22=1×a3=a2+2.

解之, 得a2=2或a2=-1.

∴dk=a2k+1-a2k=4k-2,

从而Dk=2k2,

(文) 参阅理 (2) (i) .

篇4：四年级上册数学期末自测题

1．直接写出得数（6分）

65－16 34084 15+5

825 28015 486

6300210＋21 20－588+22

2．用竖式计算，打号的要验算（6分）

271355777682

3．递等式计算（6分）

（704+258）73155 935－358

4．用简便方法计算（6分）

6祝?9）185 21+244+69+56

二、想想、填填（37分）

1．□967， □里最大填（），商是一位数；□里最小填（），商是两位数。

2．下图中有（）条射线，（）个直角，（）个钝角，（）个锐角。

3．10个一千万是（），一个千亿是（）个亿。

4．一个十一位数的最高位、千万位、万位、千位、个位上都是9，其它各位都是0，这个数写作（），读作（），四舍五入到万位是（），省略亿位后面的尾数，求近似数是（）。

5．在○里填上＜、＞或＝。

180－（79+9）○180－（79－9）

1805 ○ 1805）

89－24－41○ 89－（41+24）

20+13 ○ 20祝?+13）

6．选择合适的数填一填。

960万 40万 63001496亿

（1）太阳和地球的平均距离约是（）米。

（2）长江是我国最长的一条河流，长约（）千米

（3）我国领土面积约（）平方千米，几乎和整个欧洲面积一样大。

（4）天安门广场是世界上最大的城市广场，面积约（）平方米。

7．在计算器面板上OFF键是（）键，ON键是（）键。

8．钟面上的分针从12起转动15分钟，形成（）角，是（）度；如果分针从12起转动25分钟，形成（）角，是（）度。

9．一根木头锯成2段，要锯（）次；锯成3段，要锯（）次；锯成10段，要锯（）次。现锯了12次，锯成（）段，我们发现锯的次数比锯成的段数（）1。

10．黑板的上下两条边（），相邻的两条边（）。

11．根据每组前三题的得数找一找规律，直接写出后两题的得数。

（1）9=81（2）（10－2）=1

999=9801（100－12）=11

99999= 998001 （1000－112）=111

9999999=（100000－11112）=

999999999= （10000000－1111112）=

三、当一回小判官（对的打√，错的打祝?分）

1．一条直线长8米，它的一半是4米。（）

2．角的大小与边的长度无关，与两边张开的大小有关。（）

3．余数大于除数，说明所试的商大了。（）

4．687+3可以运用乘法的结合律写成68祝?7+3），使计算简便。（）

5．万级的数位有：万、十万、百万、千万。（）

6．在一块平板上画若干条直线后会发现，凡是平行的线肯定不相交。（）

四、把正确答案的序号填入括号里（5分）

1．木板与地面的夹角成（）时，放在木板上的物体向下滚落得更迅速。

A．10B．40C．55 D．70

2．在250后面添上（）个0，这个数是25亿。

A．8B．6C．7D．4

3．一个数四舍五入到万位后得到近似数是50万,当这个数最大时,千位上的数字只能是（）。

A．4B．9 C．5D．0

4．用一副三角板能拼成的角是（）度

A．115B．130C．150 啊?D．145

5．一个正方体，在6个面分别写上数字，三人一组各抛20次，看谁赢的次数多。你觉得下面（）的游戏规则是不公平的。

A．正方体两个面写“1”两个面写“2”，两个面写“3”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢，“3”朝上丙赢。

B．正方体的三个面写“1”，两个面“2”，一个面写“3”。“1”朝上丙赢，“2”朝上乙赢，“3”朝上甲赢。

C．正方体的六个面分别写1~6这6个数字。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢，“3”朝上丙赢，“4”、“5”、“6”朝上都不算，重新再来。

五、画一画、连一连

1．一匹小马在A点，它要到河边喝水。为了让小马尽快地喝到水，请你为这匹小马设计一条到河边的路线，并在图上画出来。（2分）

2．用4个同样大小的正方体摆成下图，从正面、侧面、上面看各是什么形状？用线连一连。（3分）

六、解决问题（4+4+4+4+7=23分）

1．奶糖每千克15元，水果糖每千克6元，巧克力每千克12元。把三种糖取同样重量合成什锦糖，每千克多少元？

（1）李力买了多少桶色拉油？

（2）刘芳花了多少钱？

3．看表格，列式解答。

4．

李老师带1000元够买4个足球和8个篮球吗？

5．下面是小华家2006年缴纳电费情况统计表，请你根据统计表制成条形统计图。

小华家2006年缴纳电费统计表

小华家2006年缴纳电费统计图

1．每个单位长度表示（）元。

2．（）季度电费最多，最多的电费比最少的多（）元。

3．平均每个季度缴电费（）元。

4．平均每个月缴电费（）元。

5．观察以上的统计数据，你想说些什么？

篇5：四年级数学期末模拟题

共31分)1.（1分）用一副三角板拼成图，∠1=_______度． 2.（6分）12.3×4.5＝123×45÷_______ 0.2÷0.21＝_______÷21 3.（1分）填数 _______ 4.（3分）40分钟是1小时的 _______，7000平方米是2公顷的 _______。

5.（1分）526÷58，把58看作_______试商，初商为_______，商_______了，所以应商_______。

6.（10分）是谁射中了靶心呢？甲、乙、丙三个人在射击比赛中每人射击了3次，图上的黑点是他们击中的弹孔.知道他们每人得了15分，可是记分员忘记了击中靶心(10环)的是谁，只记得第一次射击甲得8分(按1环为1分计算)、乙得3分、丙得2分.小朋友，你能根据靶上弹孔的情况，判断出击中10环的是_______。

7.（3分）一个数的十万位上是1，个位上是7，十位上是5，其余数位上都是0，这个数写作_______，读作_______，省略万位后面的尾数约是_______。

8.（2分）要使8□3÷85的商是两位数，□里最小可填_______；

要使商是一位数，□里最大可填_______。

9.（2分）在横线上最大能填几？ 14_______0703521≈15亿 23_______972≈23万 10.（1分）一张饼两面都要烙，需要6分钟，一只平底锅每次可以烙3张，烙熟5张饼至少需要_______分钟。

11.（1分）数一数，下面有_______个梯形。

二、选择题(共5题；

共9分)12.（2分）下面各算式，与3.125÷2.5的商相等的是（）。

A.3125÷25 B.31.25÷25 C.3125÷2.5 D.3.125÷25 13.（2分）下面的关系图，（）是错误的。

A.B.C.D.14.（1分）小强在计算除法时，把除数54写成了45，结果得到的商是54，那么正确的商是（）。

A.54 B.45 C.99 15.（2分）398×21的积大约是（）。

A.8000 B.6000 C.5000 16.（2分）用一副三角板不能直接画出的角是（）A.150° B.15° C.25° 三、填表格(共1题；

共4分)17.（4分）请把表格填完整路程 240千米 1280千米时间 6小时 8分钟 1小时速度 60米/分 64千米/时 8千米/秒四、计算题(共3题；

共37分)18.（5分）直接写出得数。

25×20= 30×13= 140×6= 102×7= 80÷40= 360÷90= 210÷70= 720÷80= 130×60= 500×30= 281÷38≈ 495 ÷62≈ 19.（20分）竖式计算下面各题。

（1）（2）（3）（4）20.（12分）递等式（1）1359-27×29（2）（348+331）÷97（3）（1266-738）÷88（4）500-576÷72 五、操作题(共2题；

共10分)21.（5分）用量角器画一个105°和一个90°的角。

22.（5分）①请在图1中画出三角形ABC中AB边上的高，并以AB边和AC边为平行四边形的两条邻边画一个平行四边形． ②请在图2中以A1B1边为平行四边形的底边，画一个和三角形A1B1C1面积相等的平行四边形．六、解答题(共5题；

共33分)23.（5分）食堂运来一批大米，每天要用去150千克，一个月后还剩下500千克。食堂共运来大米多少千克？（一个月按30天计算）24.（5分）同学们制作动物标本275件，每8个装一盒，能装几盒？还剩几件？ 25.（5分）英才小学新进一批作业本，要发给18个班，每班125本，学校还要留下60本作为备用，学校买来的这批作业本一共有多少? 26.（5分）商店从工厂批发了80台录音机，花了11200元，现在以每台220元全部卖出后，商店共赚了多少元？ 27.（13.0分）下面是姐妹花店里上个星期的销售记录。

类别玫瑰花百合花菊花康乃馨数量/枝 48 39 38 43（1）根据上面的统计表，完成统计图。

（2）上周这四种花一共卖出了多少枝？如果将这些花每12枝扎成一束，一共可以扎多少束？（3）这个花店马上要进货，你认为多进哪种花比较好？为什么？参考答案一、填空题(共11题；

共31分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、选择题(共5题；

共9分)12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、填表格(共1题；

共4分)17-1、四、计算题(共3题；

共37分)18-1、19-1、19-2、19-3、19-4、20-1、20-2、20-3、20-4、五、操作题(共2题；

共10分)21-1、22-1、六、解答题(共5题；

篇6：四年级数学期末模拟题

小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!

一、选择题

(共8题；共15分)

1.（2分）与25.6÷0.32的商相等的算式是（）。

.25.6÷32

.256÷32

.2560÷32

.2.56÷32

2.（2分）邮政编码最后两位代表（）

.邮区代号

.省、自治区、直辖市

.邮件投递局

3.（2分）一个数的亿位、百万位、十万位上的数字都是6，其余各位上的数字都是0，这个数是（）

.600600606

.660000066

.606600000

4.（2分）下列说法正确的是（）。

.梯形都是轴对称图形

.两条平行线间可以画无数条垂直线段

.角的两条边越长，角就越大

.成成画了一条直线长6厘米

5.（2分）下面的数中，最接近54000的是（）。

.53000

.54500

.53090

6.（2分）某年一月份我国四个城市的日平均气温如表：

城市

北京

沈阳

广州

哈尔滨

日均气温/℃

﹣5

﹣13

其中日平均气温最低的城市是（）

.北京

.沈阳

.广州

.哈尔滨

7.（1分）估一估，下列各式的商，比30多一些的是（）。

.925÷35

.866÷36

.672÷21

.485÷24

8.（2分）在下边的图中一共有（）个锐角。

二、填空题

(共7题；共15分)

9.（2分）光在真空中的传播速度约是每秒二亿九千九百七十九万二千四百五十八米，横线上的数写作_______，省略亿后面的尾数约是_______亿．

10.（1分）在菜市场买5千克土豆需15元，在超市买同样多的土豆需25元。超市土豆单价比菜市场贵_______元／千克。

11.（3分）线段有_______个端点，射线只有_______个端点，直线_______端点。

12.（1分）周角是_______度的角，直角是_______度的角；周角的一半是_______角。

13.（2分）如右图，苹果的位置为（2，3），则梨的位置可以表示为_______，西瓜的位置则表示为_______。

14.（1分）从银行里取出200元，在存折上记作－200元．那么在存折上记作＋500元，表示_______．

15.（5分）小华是五年级一班学号为18的女同学，编码是51182，小林是三年级六班学号为13号的男同学，编码是36131。那么编码是42081的学生是_______年级_______班_______号的_______同学。小红是四年级八班学号为5号的女同学，她的编码是_______。

三、计算题

(共1题；共6分)

16.（6分）怎样简便就怎样计算

①58×72+28×58

②3000÷125÷8

③486－137－63

④432÷54＋17×54

⑤99×78+78

⑥125×24

四、解答题

(共5题；共29分)

17.（5分）为了妈妈卖货算帐方便，小林为妈妈制作了“光明”牛奶卖价明细表，请你根据表中的信息，把空格处填完整。

箱数

2箱

4箱

6箱

8箱

10箱

总价

48元

96元

（）元

18.（3分）如图折线，这是一条公路的示意图，M点处有一个商场。

（1）请你量出这条公路拐角的度数，并标记在图中。

（2）从AO段修一条路通往商场，使距离最短，请你画出来。

（3）以商场为起点，往东修一条路与OB平行，请你画出来。

19.（15分）用红、黄、蓝三种颜色给下面三个转盘涂色。

（1）指针指向红色区域的可能性最大。

（2）指针指向蓝色区域的可能性最小。

（3）指针指向黄色区域的可能性最大，指向蓝色区域的可能性最小。

20.（5分）林林骑车去上课，去时的速度是120米/分，8分钟到达。按原路返回时他用了15分钟，求原路返回时的速度。

21.（1分）妈妈给淘气订制了一套可以自由组合的小柜子(如下图)，每个小柜子168元，柜门上每张贴画32元。算一算，买这套小柜子(包括柜门上的贴画)一共要花多少元?

参考答案

一、选择题

(共8题；共15分)

1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题

(共7题；共15分)

9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、计算题

(共1题；共6分)

16-1、四、解答题

(共5题；共29分)

篇7：四年级下册语文期末模拟卷

【】1.下列加点字(词)注音不正确的是哪一项?(1分)

A.蝙蝠(biǎnfú) B.怦(pēnɡ)然一震

C.鸡冠(ɡuān)花 D.规矩(ɡuīju)

【】2.“绡”可能与下列哪个字的读音相同?(1分)

A.绢 B.漂 C.消 D.骨

【】3.下列词语中，有别字的是哪一项?(1分)

A维持 B迷惑不解 C渡过童年 D宵夜

【】4.下列学生抄写的词语中，有错字的是哪一项?(1分)

A. B.

C. D.

【】5.“簏(lù)”的意思最可能与下列哪个字的意思相近?(1分)

A.草 B. 笔 C. 虎 D.鹿

【】6.“玦(jué)”的意思最可能与下列哪个词的意思有关?(1分)

A.王冠 B.缺点 C.决定 D.玉器

【】7.“冷面孔”一词中“冷”的意思是什么?(1分)

A.寂静;不热闹

B.不热情;不温和

C.乘人不备的;突然的

D.温度低(跟“热”相对)

【】8.下列词语填入句子，最恰当的是哪一个?(1分)

A.清朗 B.清澈 C.清廉 D.清纯

月夜，站在家乡的小溪旁，看着那清清的溪水映着的夜空，令人心旷神怡。

【】9.哪一个词语填入短语最恰当?(1分)

A.头 B.只 C.条 D.匹

一( )骏马

【】10.下列对句子主要意思的概括，正确的是哪一项?(1分)

清凌凌的河水倒映着岸上一行行青翠欲滴的垂柳。

A.河水倒映着。

B.清凌凌的河水。

C.河水倒映着垂柳。

D.岸上一行行垂柳。

【】11.下列对句子蕴含意义的理解，最恰当的是哪一项?(1分)

地球表面的70%被水覆盖，但淡水资源仅占2.5%，而可供人类饮用的又仅占淡水资源的1%左右，请不要让我们的眼泪成为最后一滴水。

A.说明地球上的水资源很丰富。

B.说明地球上的淡水资源贫乏。

C.警示人类要爱惜水、节省用水。

D.提示可供人类饮用的淡水很少。

【】12.哪一对关联词填入句子最恰当?(1分)

同学们喜欢校内体育活动，喜欢登山远足等野外运动。

A.因为……所以…… B.如果……就……

C.不但……而且…… D.虽然……但是……

【】13.下面一段文字的主要内容是什么?(1分)

小闹钟周围镶着一圈金光闪闪的边。银色的钟面上罩着一块凸透的钟面玻璃。那圆圆的钟面玻璃映着钟盘，就像十五的月亮。十二颗明星般的计时刻度镶嵌在银色的钟面上，闪闪发光。

A.小闹钟精密的构造。

B.小闹钟精巧的外观。

C.小闹钟精准的报时。

D.小闹钟精美的色彩。

【】14.将下列句子插入语段中的哪个位置最恰当?(1分)

就在这时，我看见我的同桌站在队伍的前面，好像在向我打招呼。

①购买车票的队伍长长的，轮到我得好大一会儿。②我还有很多功课要做呢，心里十分着急。③我灵机一动，悄悄地走到她身旁，趁势站在她前边。④站着站着，我想到《小学生守则》……

A.①之前 B. ①-②之间 C. ②-③之间 D. ③-④之间

【】15.下面的诗句中，表达友情的一项是哪一句?(1分)

A.不识庐山真面目，只缘身在此山中。

B.劝君更尽一杯酒，西出阳关无故人。

C.山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

D.日出江花红胜火，春来江水绿如蓝。能不忆江南?

16.默写吕岩的《牧童》(要注明诗人的朝代)。(5分)

二、阅读(本模块的选择题都为单项选择题，每小题2分。简答题每小题4分。)(50分)

(一)阅读文学类作品《一碗水》，完成17-26题。(26分)

一碗水

贾赛赛

看见她是一天中午外婆在厨房做饭时，暑假回乡度假的我正在院子里闲来逗猫。

她进来了。我打量着她，一双不合脚的山地鞋上满是泥巴，袜子蜷缩着贴在细弱的脚腕上，腿上没有一处是完好的，大大小小全是蚊虫叮咬的伤疤，足以让人头皮发麻。不合身的裤腿挽到了大腿根，腰间还别着一根黑麻绳，大概是腰带吧。再看那满头黑白相间的枯发，头发后还绾1着一个婴儿拳头大小的发髻，发间的卡子已经生了红锈;脸则像秋刀割过的麦地，只剩下沟壑2纵横。

我下意识地从自己原来待的地方往后站了站。

她对我笑了笑，眼神里有点怯懦。人就是这种奇怪的动物，越是当别人尊重自己时，越觉得自己高人一等，我就是其中之一。看着自己整洁有型的外衣，想着自己在她面前风雅、矜持的形象，我有点儿沾沾自喜。

我对外婆说：“有人来了。”外婆探头看了一眼，笑着呜呀呜呀地指手画脚，她也呜呀呜呀地比画着。我被这阵势弄晕了头脑，不解地问：“这谁呀?”

“是个远方的亲戚，是个哑巴，这是走不动了，讨碗水喝。去，拿个碗，给她弄点水喝吧。”

我惊愕地站在那里：“用咱们吃饭的碗?”

外婆手里的厨房家伙叮当作响：“那有啥。”

我万分不情愿。但碍于外婆，我还是从厨房拿了个碗，走到井前准备给她提水。

她伸手接过碗，呜呀呜呀和我点头哈腰。当我弯下腰把水从井里提出来时，她没有直接取水喝，而是先把碗洗了洗，然后才咕咚咕咚喝水。

她竟然要洗一洗我们的碗!说起来好像夸张，但我当时真的被震住了。

我有点呆了，不知心里是何滋味。是啊，我在都市的地铁看到乞讨的人，儿时的恻隐3之心都已经麻木了;街头看见歌手卖力演唱，曾经支持鼓励的热情都已经消退了。我以为，我有质疑他人的权力;我以为，我有看不起他人的资格，可从此，我知道我错了。就像这位妇女，她也有爱干净的权利，也有着自己的人格和尊严。

接收着她呜呀呜呀的道谢，看着她善意真诚的笑容，我感到心虚。

目送她蹒跚远去的背影，外婆说：“你别看她哑巴，可特别勤劳持家，是个好女人。”我仿佛被洞悉4了内心的秘密，窘迫不安。

请原谅，我是那么年轻，以致轻狂。若能与你重逢，我定会双手捧碗，发自内心地道一句：“歇歇脚，进来喝碗水吧。”

(选自《青年文摘》第22期)

【注释】①绾(wǎn)：把长条形的东西盘绕起来打成结。②壑(hè)：山沟或大水坑。③恻(cè)隐：对受苦难的人表示同情。④洞悉：很清楚地知道。

17.“她”做了件什么事，把“我”给震住了?【】(2分)

A.站到我跟前笑笑

B.走不动讨碗水喝

C.呜呀呜呀的道谢

D.先洗碗再盛水喝

18.“这阵势”指什么?【】(2分)

A.外婆与她呜呀呜呀指手画脚地“交谈”

B.她与“我”呜呀呜呀指手画脚地“交谈”

C.外婆手里的厨房家伙叮当作响地“命令”

D.她拿起“我”给的碗盛水咕咚咕咚地喝起来

19.“我”惊愕什么?【】 (2分)

A.她呜呀呜呀地到我家门前向外婆讨碗水喝

B.外婆让“我”拿家里吃饭的碗盛水给她喝

C.她先洗我家里的碗然后才咕咚咕咚地喝水

D.她微笑地呜呀呜呀地向“我”和外婆道谢

20.“我下意识地从自己原来待的地方往后站了站”表现出“我”怎样的情绪?【】 (2分)

A.亲切友好

B.欣赏接纳

C.厌恶排斥

D.恐惧惊慌

21.“我”万分不情愿拿饭碗盛水给她喝水，表现出“我”怎样的思想感情?【】(2分)

A.对外婆待她的不理解

B.对饭碗的珍惜与爱护

C.对饭碗盛水的做法不满

D.对她打心眼里就看不起

22.“是啊，我在都市的地铁看到乞讨的人，儿时的恻隐之心都已经麻木了;……也有着自己的人格和尊严”。作者发这一通议论在表达情意上有什么作用?【】(2分)

A.丰富了文章内容，增长了文章篇幅

B.强调“一碗水”对哑巴妇女的作用

C.对自己深刻反省，点明文章的中心

D.赞美哑巴妇女“勤劳持家”的品质

23.作者写到“秋刀割过的麦地”在表达情意上有什么作用?【】(2分)

A.割过的麦地只剩下沟与壑

B.作者看到秋刀割过的麦地

C.“我”不忍看她的脸，更爱看秋刀割过的麦地

D.容易让读者理解她脸的粗糙、沧桑、没有生机

24.从哪些地方看出外婆对“她”很熟悉?至少举两个事例说明。(4分)

事例一：

事例二：

25.文章第二自然段写“我”打量她的衣着外貌，其实她也在打量“我”。请你展开想像，写一写她眼中“我”的衣着外貌。要用到文本中有关“我”的信息。(4分)

26.有读者认为，“她”不可能做出“先洗碗后盛水喝”的举动。你同不同意这种观点?请根据文本内容说明理由。(4分)

观点：

理由：

(二)阅读说明文《味道是怎么来的?》，完成27-35题。(24分)

味道是怎么来的?

九一

最近，美国珀杜大学的科学家发现了基本味觉——酸甜苦咸鲜之外的第六种基本味道：肥。敏感的味觉是长期进化的产物，能帮助动物寻觅营养，避开毒素。

“味道”如何被感知

人的舌头大约有8000个味蕾，每个味蕾大约由100个味觉受体细胞组成。味蕾主要分布于舌头前半部分、后部和舌头两侧。科学家曾认为不同地方的味蕾感受到的味道不一样，后来却发现舌头上的味蕾都有能力感受到基本味道。

味蕾中的味觉细胞感受到食物中味道的刺激后，一般会产生神经信号，这种信号传到大脑中，由大脑辨别食物的味道。这就是味觉产生的过程。

当然，唾液也是影响味道感知的一大因素。食物溶解在唾液里后，化学物质才能被味蕾上的接收器感知。

感冒时为什么吃饭不香

如果味觉只有六种，那我们感受到的千千万万种味道是怎么来的呢?这里面还有鼻子的功劳。我们每个人大概有384种不同的嗅觉细胞。鼻子闻到的味道大约占我们感受到味道的80%-90%，这大大丰富了我们的味觉感受。所以如果你感冒了，会发现吃饭不香，这是因为鼻子被堵住了。

肥胖会改变味觉吗

实验发现，严重超重的肥胖老鼠比正常体型的老鼠品尝甜味的味觉细胞更少，同时对苦味的反应能力也很弱。但是不管胖瘦，老鼠对鲜味的反应都一样，这种味道多与美味的肉类食物有关。因此有科学家推测，这可能是胖人更爱吃肉食的原因。

色彩会影响味觉吗

人们对颜色的期许味道，影响了人们对食物真实味道的品鉴。增加或改变食物的颜色，相当于变相增加食物的美味程度。美丽的食物容器在这方面的效用，与颜色类似。

噪音会降低食欲吗

飞机、火车餐不好吃，一个重要的因素是飞行的噪音和行驶的轰鸣声影响了我们的味觉，大家或许有过打雷时吃东西会觉得没什么味道的经验。

口味差别为什么大

有的人喜欢吃臭豆腐，有的人想想就受不了，这就是味觉的原因。味觉是基因和环境共同作用的产物。基因通过影响味蕾接收器的结构来影响我们对食物的选择，这决定了人的先天喜好。研究表明，差不多每个人都不同程度的更喜欢甜食，我们天生就对甜味有更积极的响应，而母亲在怀孕早期的晨吐失去电解质和钠的严重程度，会影响胎儿对咸味的偏好程度。

环境则决定了人的后天喜好，会让我们接受一些原本可能并不喜欢的味道。随着年龄的增长，我们的味觉也会退化，因此老人的口味一般更重。

(《科技日报》8月21日)

27.第六种味道指什么?【】(2分)

A.甜 B.鲜 C.肥 D.咸

28.一个味蕾有多少个左右的味觉受体细胞组成?【】 (2分)

A.6 B.100 C.384 D.8000

29.先天通过什么来影响我们对食物的选择?【】 (2分)

A.舌头的形状 B.鼻子的大小 C.身体的高矮 D.味蕾的结构

30.吃菜的时候，常常感觉舌头的两侧被辣着、中部却很少。原因是什么?【】(2分)

A.舌头中部味蕾分布少、两侧分布多

B.舌头中部是凹下去的、两侧凸起来

C.舌头中部颜色更浅些、两侧更深些

D.舌头中部接触菜更少、两侧接触多

31.下列是人们吃东西时感受食物味道过程的示意图。“味觉细胞感受到”应该处在什么位置?【】 (2分)

①食物溶解在唾液→②产生神经信号→③传到大脑→④大脑辨别到

A.在 ①之前 B.①-②之间 C.②-③之间 D.③-④之间

32.影响人们味觉的主要因素，除了有先天基因的外，还有什么?【】 (2分)

A.性格 B.环境 C.身高 D.肤色

33.小明、爸爸、爷爷和奶奶常常抱怨妈妈做的菜不合口味。一家人都很苦恼。请你根据文本内容，给妈妈提至少两条做菜的建议。(4分)

建议一：

建议二：

34.作者为什么说“有科学家推测”，不说“有科学家认定”? (4分)

答：

35. 《味道是怎么来的?》这篇说明文很有意思，标题是问句、小标题也是问句。你觉得好不好?根据文本内容说明理由。(4分)

观点：

理由：

三、写作 (30分)

(一)写一封简短的书信(5分)

36. 赵光明同学在“希望小学”五年级(1)班就读。最近，他遇到一件很烦恼的事，着迷于学校“植物角”的花花草草，连上课都没心思。

请你写一封信给赵光明同学，想办法帮他解除解除烦恼。(你的个人信息：未来小学五年级某班张小丰。写信日期：9月某日)

(二)根据下面的提示写一篇习作，自己拟一个题目(25分)

篇8：四年级数学期末模拟题

本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. (理科) 已知 $x \in R, y ＞ 0 ‚ A = {x^{2} + x + 1, - x, - x - 1} ‚ B = {- y, - \frac{y}{2}, y + 1}$ , 若A=B, 则x2+y2= ( ) .

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

(文科) 设集合 $A = {x | x ＞ 2} ‚ B = {x | \frac{x - 1}{x - 4} ＜ 0}$ , 则A∩B= ( ) .

(A) {x|x>4} (B) {x|x>2}

2.已知x, y∈R, i为虚数单位, 且 $\frac{3 + 4 i}{x + y i} = 1 + 2 i$ , 则z=x+yi的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

3.投掷一枚均匀的硬币和一枚均匀的骰子各一次, 记“硬币反面向上”为事件A, “骰子向上的点数是3的倍数”为事件B, 则事件A, B中至少有一件发生的概率是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{1}{3} (B) \frac{1}{2} \\ (C) \frac{2}{3} (D) \frac{5}{6} \end{array}$

4.设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b ＞ 0)$ 的渐近线与抛物线y=x2+1相切, 则该双曲线的离心率等于 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \sqrt{3} (B) 2 \\ (C) \sqrt{5} (D) \sqrt{6} \end{array}$

5.为了得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象, 只需将函数y=sin2x的图象 ( ) .

(A) 向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个长度单位

(B) 向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个长度单位

(D) 向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个长度单位

6.已知α, β表示两个不同的平面, m为平面α内的一条直线, 则“α⊥β”是“m⊥β”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

7.某几何体的三视图如图1所示 (尺寸的长度单位为cm) , 则该几何体的体积为 ( ) cm3.

(A) 4

(B) 8

(D) 24

8.设函数 $f (x) = \frac{x}{3} - \ln x$ , 则y=f (x) ( ) .

(A) 在区间 $(\frac{1}{e}, 1), (1, e)$ 内均各有一个零点

(B) 在区间 $(\frac{1}{e}, 1), (1, e)$ 内均无零点

(D) 在区间 $(\frac{1}{e}, 1)$ 内无零点, 在区间 (1, e) 内有且仅有一个零点

9.如果执行如图2所示的框图, 输入N=4, 则输出的数等于 ( ) .

10.已知A, B, C是平面上不共线的三点, O是△ABC的重心, 若点P满足 $3 \vec{Ο Ρ} = \frac{5}{2} \vec{Ο A} + \frac{5}{2} \vec{Ο C} + 4 \vec{Ο B}$ , 则点P为△ABC的 ( ) .

(A) AC边中线的中点

(B) AC边中线的三等分点 (非重心)

(D) AC边的中点

11.已知函数f (x) 对任意的x, y∈R均满足, f (x) +f (2x+y) +6xy=f (3x-y) +2x2+2, 则f (10) = ( ) .

(A) -98 (B) -2

12. (理科) 函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} - x + 1} (x \in (1, 3))$ 的值域为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) [2, \frac{10}{3}] (B) (2, \frac{10}{3}] \\ (C) (2 \frac{1}{7}, 3) (D) [2 \frac{1}{7}, 3] \end{array}$

(文科) 若对任意实数x∈[-1, 2], 不等式x2+ax-3a<0的恒成立, 则实数a的取值范围是 ( ) .

(A) (-12, 0) (B) (-∞, -12)

二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.将答案填在题中的横线上.

13.函数 $f (x) = \frac{x - x^{3}}{1 + 2 x^{2} + x^{4}}$ 的最大值与最小值的积为____.

14.已知随机变量ξ服从正态分布N (3, σ2) , 若P (2≤ξ≤4) -P (ξ>4) =0.85, 则P (2≤ξ≤3) =____.

$\begin{array}{l} 15 . 在 △ A B C 中 ‚ 已知 C = 60 ° ‚ \\ \frac{s i n A + s i n B + s i n C}{s i n A + s i n C} + \frac{s i n A + s i n B + s i n C}{s i n B + s i n C} = . \end{array}$

16. (理科) 已知函数f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的单调递增函数, 当n∈N*时, f (n) ∈N*, 若f[f (n) ]=3n, 则f (5) +f (4) 的值等于____.

(文科) 已知函数f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的单调递增函数, 当n∈N*时, f (n) ∈N*, 若f[f (n) ]=3n, 则f (1) 的值等于____.

三、解答题:

本大题共70分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) 设a, b均为大于1的自然数, 函数f (x) =a (b+sinx) , g (x) =b+cosx, 且存在实数m, 使得f (m) =g (m) , 试求a+b的值.

18. (本小题满分12分) 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a ＞ b ＞ 0)$ , 过椭圆的左顶点A (-a, 0) 的直线l与椭圆交于Q, 与y轴交于R, 过原点与l平行的直线与椭圆交于P点.求证: $| A Q | ‚ \sqrt{2} | Ο Ρ | ‚ | A R |$ 成等比数列.

19. (本小题满分12分) (理科) 如图3在三棱锥P-ABC中, 已知 $Ρ A ⊥ A B C ‚ A B ⊥ A C ‚ Ρ A = A C = \frac{1}{2} A B ‚ Ν$ 为AB上一点, AB=4AN, M, S分别为PB, BC的中点.

(Ⅰ) 证明:CM⊥SN;

(Ⅱ) 求SN与平面CMN所成角的大小.

(文科) 如图4, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥平面 $A B C D ‚ A Ρ = A B = 2, B C = 2 \sqrt[]{2}, E ‚ F$ 分别是AD, PC的中点.

(Ⅰ) 证明:PC⊥平面BEF;

(Ⅱ) 求平面BEF与平面BAP夹角的正切值.

20. (本小题满分12分) (理科) (Ⅰ) 已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球, 乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.试求取出的4个球均为红球的概率.

(Ⅱ) 若袋中有红球和白球共100个, 如从这只袋中任取3个球, 试问:袋中有几个红球时, 能使得取出的3个球全为同色的概率最小?

(文科) 三人独立破译同一份密码, 已知三人各自破译出密码的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ , 且他们是否破译出密码互不影响.

(Ⅰ) 求恰有二人破译出密码的概率;

(Ⅱ) “密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?试说明理由.

21. (本小题满分12分) (理科) 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}, g (x) = a \ln x, a \in R ‚$

(Ⅰ) 若曲线y=f (x) 与曲线y=g (x) 相交, 且在交点处有共同的切线, 求a的值和该切线方程;

(Ⅱ) 设函数h (x) =f (x) -g (x) , 当h (x) 存在最小值时, 求其最小值φ (a) 的解析式;

(Ⅲ) 对 (Ⅱ) 中的φ (a) 和任意的a>0, b>0, 证明: $φ^{'} (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{φ^{'} (a) + φ^{'} (b)}{2} \leq φ^{'} (\frac{2 a b}{a + b}) .$

(文科) 已知函数f (x) =x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.

(Ⅰ) 试求函数f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 设函数 $g (x) = f (x) + \frac{m x}{3}$ , 若g (x) 的极值存在, 求实数m的取值范围以及函数g (x) 取得极值时对应的自变量x的值.

请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲

从圆O外一点P引切线PA, 其中A为切点, PCB是该圆的一条割线 (如图5) , 试证: $\frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{A C^{2}}{A B^{2}} .$

23. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程

已知实数x, y满足x2+y2-2x+4y=0, 试求 $x + \sqrt{3} y$ 的最大值.

24. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲

已知x, y, z∈R, 且x2+y2+z2=1, 试求表达式 $\sqrt{3} y z + x z$ 的最大值.

参考答案

1. (理科) B.注意到x∈R, y>0, 则 $x^{2} + x + 1 \geq \frac{3}{4} ＞ 0$ , 故只可能等于y+1, 若-x=-y, 将得到矛盾结果, 只有 $- x = - \frac{y}{2}$ , 从而-x-1=-y, 解之, 得x=1, y=2, 故x2+y2=5.正确答案为B.

【点评】这道题并不是太难, 但也不是很容易得分, 抓住问题的切入点:x2+x+1=y+1是破题的关键所在.其实, 由基本不等式x2+1≥2x知, x2+x+1>-x>-x-1, 这是集合A的元素之间的大小顺序.同理, 由y>0, 则集合B的元素之间的大小顺序是 $y + 1 ＞ - \frac{y}{2} ＞ - y$ , 于是只能得到解之, 得x=1, y=2.

∴x2+y2=5.

(文科) C.这道题比较简单, 求出集合B后就可得出正确答案为C.

2.A.这是一个非常简单的复数的基本概念问题, 但也有求解的策略性, 如直接对左边分母实数化, 有 $\frac{(3 + 4 i) (x - y i)}{x^{2} + y^{2}} = 1 + 2 i$ , 按照这个思路做下去也能做出, 但远不如下面的办法简洁: $\frac{3 + 4 i}{x + y i} = 1 + 2 i \to \frac{3 + 4 i}{1 + 2 i} = x + y i$ , 则 $\frac{(3 + 4 i) (1 - 2 i)}{5} = x + y i$ , 即 $\frac{11}{5} + \frac{- 2}{5} i = x + y i$ , 则 $\bar{z} = x - y i = \frac{11}{5} + \frac{2}{5} i$ , 即 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限, 正确答案为A.

3.C.本小题同时考查互斥事件同时发生的概率及相互独立事件有一个发生的概率, 记事件A, B中至少有一件发生的事件为C, 则

$Ρ (C) = Ρ (\bar{A} B + A \bar{B} + A B) = Ρ (\bar{A} B) + Ρ (A \bar{B}) + Ρ (A B) = Ρ (\bar{A}) Ρ (B) + Ρ (A) Ρ (\bar{B}) + Ρ (A) Ρ (B) .$

已知 $Ρ (A) = Ρ (\bar{A}) = \frac{1}{2} ‚ Ρ (B) = \frac{1}{3} ‚ Ρ (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ , 则 $Ρ (C) = \frac{2}{3} .$

正确答案为C.

【注】本题也可以通过对立事件的概率求解: $Ρ (C) = 1 - Ρ (\bar{A} \bar{B}) = 1 - Ρ (\bar{A}) Ρ (\bar{B})$ , 余略.

4.C.设切点P ( x0, y0) , 则切线的斜率为y′|x=x0=2x0.由题意知, $\frac{y_{0}}{x_{0}} = 2 x_{0}$ .又y0=x $_{0}^{2}$ +1, 解之, 得 $x_{0}^{2} = 1, ∴ \frac{b}{a} = 2, e = \sqrt{1 + (\frac{b}{a})^{2}} = \sqrt{5}$ .正确答案为C.

5.A.此类问题宜先化为同名三角函数 (其中A, ω>0) , 然后有两种处理思路:

①y=Acosx→y=Acos (x±φ) →y=Acos (ωx±φ) ;

②y=Acosx→y=Acos (ωx) →y=Acos (ωx±φ) .

平移方向按“左加右减”原则, 但①中最后一步的平移量大小为|φ|, ②中最后一步的平移量大小为 $| \frac{φ}{ω} | .$

本题中 $y = \sin 2 x = \cos (2 x - \frac{π}{2}) = \cos 2 (x - \frac{π}{4}) \to y = \cos 2 (x + \frac{π}{6})$ , 与上面讨论的情况不直接对应, 设平移量为φ0, 于是有 $2 (φ_{0} - \frac{π}{4}) = 2 \times \frac{π}{6}$ , 得 $φ_{0} = \frac{5 π}{12} ＞ 0$ , 选A.

6.B.这是一道立体几何背景下与充要条件有关的试题.由不能推出m⊥β;反之, 若.故正确答案为B.

7.A.这是一个三视图背景下的体积问题.该几何体是一个三棱锥, 高为2, 底面三角形一边为4, 这边上的高为 $3 ‚ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times 2 = 4 .$

8.D.这是一道与二分法有关的简单试题, 但已被笔者改编, 与单调性问题联系了起来. $f (1) = \frac{1}{3} ＞ 0 ‚ f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{3 e} + 1 ＞ 0$ ; $f (e) = \frac{e}{3} - 1 ＜ 0$ , 故函数 $f (x) = \frac{x}{3} - \ln x, (x ＞ 0)$ 在 (1, e) 之间至少有一个零点.但 $f^{'} (x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3}{3 x}$ , 显然, 当0<x<3时, f (x) 单调递减, 故函数在区间 $(\frac{1}{e}, e) \subset (0, 3)$ 上至多有一个零点, 则函数f (x) 在区间 $(\frac{1}{e}, 1)$ 内无零点, 在区间 (1, e) 内有且仅有一个零点, 正确答案为D.

【点评】有关二分法的试题是新内容, 近年来, 对与此相关问题的考查有加强的趋势, 值得读者重视.同时要注意:我们若不研究单调性, 仅由 $f (1) = \frac{1}{3} ＞ 0 ‚ f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{3 e} + 1 ＞ 0$ , 并不能断定该函数在区间 $(\frac{1}{e}, 1)$ 内无零点.

9.B.这是一道有关算法的基本问题, 关键要注意到底是“先执行, 后判断”还是“先判断, 后执行”, 这两种情况的结果会有细微的差异, 本题属于后者.正确答案为B.

10.B.求解本题的关键在于巧妙地应用一个向量恒等式, 若O为△ABC的重心, 则有 $\vec{Ο A} + \vec{Ο B} + \vec{Ο C} = 0$ , 则原条件可化简为 $\vec{Ο Ρ} = \frac{1}{2} \vec{Ο B}$ , 即AC边中线的三等分点, 且不是重心, 于是正确答案为B.

【点评】类似地, 在△ABC中, 有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = 0$ , 三角形“四心”的向量表示等等, 这些结论在处理某些有关平面向量试题时非常有用.

11.A.令2x+y=3x-y, 即x=2y时, 一定有f (2x+y) =f (3x-y) , 从而在此前提下, 原方程退化为f (x) =-x2+2, x=10, 得f (10) =-98, 选A.

【点评】这道抽象函数问题的求解有一定特色, 以上的处理手法在一定程度上也具有一般性.

12. (理科) C.一种正确的求解方法如下:

$y = f (x) = 2 + \frac{1}{x^{2} - x + 1} = 2 + \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}}, x \in (1, 3)$ , 显然f (x) 在 (1, 3) 上单调递减, 即f (3) <f (x) <f (1) , 其中 $f (1) = 3 ‚ f (3) = 2 \frac{1}{7}$ , 即 $2 \frac{1}{7} ＜ f (x) ＜ 3$ .选C.

【注】典型错解 (用别式法) , 记 $y = f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} - x + 1}, x \in (1, 3)$ , 则 (2-y) x2+ (y-2) x+3-y=0, 若y=2, 方程不成立, 故二次项的系数不为零, 于是Δ= (y-2) 2-4 (3-y) (2-y) ≥0, 即

(y-2) (-3y+10) ≥0, 解之, 得 $2 \leq y \leq \frac{10}{3}$ , 而y≠2, 则所求的值域为 $2 ＜ y \leq \frac{10}{3}$ , 其实这个结果显然是错误的.因为判别式Δ=0时, 对应的 $x = \frac{1}{2} \notin (1, 3)$ , 我们也容易看到, 正确答案 $2 \frac{1}{7} ＜ f (x) ＜ 3$ 与 $2 ＜ y \leq \frac{10}{3}$ 是截然不同的.

【点评】回顾2010年高考, 我们发现以二次分式型函数 $y = \frac{a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}}{a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}} (x \in Μ \subset R)$ 为背景的最值 (值域) 问题频频在高考试题中出现 (如2010年重庆卷文第12题, 2010年天津卷理第16题, 2010年山东卷理第14题, 2010年江苏卷第14题等等) .处理这类问题的传统办法是判别式法, 笔者以为, 无论用哪种解法, 一定要验证不等式的等号是否能取得, 否则, 出错就难免了 (这种错误还不易看出) .对有关问题的详细讨论, 读者可参见江苏教育出版社主办的《新高考》 (高三语数外) 2010年第11期P26.

(文科) D.本小题重点考查参数分离法及 $\frac{x}{λ_{1}} + \frac{λ_{2}}{x} (λ_{1}, λ_{2} ＞ 0)$ 在x>0或闭区间[a, b] (b>a) 上的最值 (值域) 问题.对x∈[-1, 2], 不等式x2+ax-3a<0恒成立, 则 $a ＞ \frac{x^{2}}{3 - x}, \forall x \in [- 1, 2]$ , 记 $g (x) = \frac{x^{2}}{3 - x}, \forall x \in [- 1, 2]$ , 则 $g (x) = 3 - x + \frac{9}{3 - x} - 6$ , 其中x∈[-1, 2], 易由“耐克函数”的单调性知, [g (x) ]max=4, 于是a>4.正确答案为D.

$13 . - \frac{1}{16}$ .基于表达式结构相似的联想, $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ .令 $x = \tan θ, θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , 则 $f (x) = g (θ) = \frac{1}{2} \cdot \sin 2 θ \cdot \cos 2 θ = \frac{1}{4} \sin 4 θ$ , 显然, $[f (x)]_{\max} = \frac{1}{4} ‚ [f (x)]_{\min} = - \frac{1}{4}$ , 即最大值与最小值的积为 $- \frac{1}{16} .$

【点评】这道题主要考查学生的类比联想能力.

14.0.45.充分利用正态分布密度函数的几何意义.设P (2≤ξ≤3) =x, P (ξ>4) =y, 则由题意知, 2x-y=0.85.又由对称性知, x+y=0.5, 解之, 得x=0.45.

【说明】这类试题只要抓住正态分布密度函数图象的对称性, 还是比较容易求解的, 类似试题如2008年湖南卷理第4题, 2008年重庆卷理第5题, 2010年广东卷第7题等.

15.3.由正弦定理可知,

原式 $= \frac{a + b + c}{a + c} + \frac{a + b + c}{b + c} = 1 + 1 + \frac{b}{a + c} + \frac{a}{b + c} = 2 + \frac{a^{2} + b^{2} + c (a + b)}{(c^{2} + a b) + c (a + b)}$ , 而由C=60°, 由余弦定理知, c2=a2+b2-2abcos60°, 即c2+ab=a2+b2, 易知最后结果为3.

【点评】这道题类似于2010年江苏卷第13题, 由一道传统试题恒等变换而得.

16. (理科) 15.f (x) 是定义在 (0, +∞) 上单调递增函数, 且x∈N*, f (n) ∈N*, 于是

即有1≤f (1) ≤f[f (1) ]=3,

即1≤f (1) ≤3, 又f (n) ∈N*,

(1) 若f (1) =1, 则有f[f (1) ]=f (1) =1, 与题意中的f[f (1) ]=3矛盾;

(2) 若f (1) =2, 则有f[f (1) ]=f (2) =3;

(3) 若f (1) =3, 则有f[f (1) ]=f (3) =3, 与题意中的f (1) <f (3) 矛盾.

故只有f (1) =2, f (2) =3, 进而有f[f (2) ]=f (3) =3×2=6, f[f (3) ]=f (6) =3×3=9, 于是6=f (3) <f (4) <f (5) <f (6) =9, 而f (n) ∈N*, 故只有f (4) =7, f (5) =8.则f (5) +f (4) =15.

(文科) 2.f (x) 是定义在 (0, +∞) 上单调递增函数, 且x∈N*, f (x) ∈N*, 于是

即有1≤f (1) ≤f[f (1) ]=3,

即1≤f (1) ≤3, 又f (n) ∈N*,

(1) 若f (1) =1, 则有f[f (1) ]=f (1) =1, 与题意中的f[f (1) ]=3矛盾;

(2) 若f (1) =2, 则有f[f (1) ]=f (2) =3;

(3) 若f (1) =3, 则有f[f (1) ]=f (3) =3, 与题意中的f (1) <f (3) 矛盾.

故只有f (1) =2.

【点评】这是一道比较典型的抽象函数问题, 同时也用到了夹逼法的思想, 难度较大.本题由2008年全国高中数学联赛 (河北省预赛) 的第6题改编而成.

17.【解析】由f (m) =g (m) , 得a (b+sinm) =b+cosm, 即cosm-asinm=b (a-1) >0, 要使符合题意的实数m存在, 由三角函数的有界性知, 必须[b (a-1) ]2≤1+a2.

又a, b均为大于1的自然数, 得

$1 ＜ b \leq \frac{\sqrt{1 + a^{2}}}{a - 1} ＜ \frac{a + 1}{a - 1} = 1 + \frac{2}{a - 1}, (*)$

容易发现, 当a≥3时, 有1<b<2, 满足要求的自然数b不存在, 所以, 只有a=2, 此时 $1 ＜ b \leq \sqrt{5}$ , 因此, b=2, 于是a=b=2, 最后得a+b=4.

【点评】这里主要利用关于x的方程Acosx+Bsinx+C=0有解的重要条件为 $\frac{| C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \leq 1$ .由此也可等价得到f (x) =Acosx+Bsinx+C的值域为 $C - \sqrt{A^{2} + B^{2}} = [f (x)]_{\min} \leq f (x) \leq [f (x)]_{\max} = C + \sqrt{A^{2} + B^{2}}$ , 同时还利用了夹逼法的解题思想.

18.【解析】由题意知, AQ与OP的斜率存在, 设为k, 则直线AQ的方程可记为y=k (x+a) , 直线OP的方程可记为y=kx, 我们容易求出R (0, ka) , 于是 $| A R | = \sqrt{1 + k^{2}} a$ .我们将直线AQ的方程、OP的方程统一地记为y=k (x+C) , (*) 其中C≡a时即代表前者, 对应|AQ|;C≡0时即代表后者 (设直线OP与椭圆的另一交点为M, 对应|MP|, 其一半即为|OP|) , 这样将 (*) 式与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 联立 (我们可减少一般的书写过程) , 得

(a2k2+b2) x2+2a2k2Cx+a2 (k2C2-b2) =0, 设其两根为x1, x2, 则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{2 a^{2} k^{2} C}{a^{2} k^{2} + b^{2}} ‚ x_{1} x_{2} = \frac{a^{2} (k^{2} C^{2} - b^{2})}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$ , 则线段|AQ| (或|MP|) 统一地记为 $\sqrt{1 + k^{2}} | x_{2} - x_{1} | = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot \sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$ , 将前面的具体表达式代入化简得

$\frac{2 a b \sqrt[]{1 + k^{2}}}{a^{2} k^{2} + b^{2}} \sqrt{k^{2} (a^{2} - C^{2}) + b^{2}} . (* *)$

取C=a, 得 $| A Q | = \frac{2 a b^{2} \sqrt[]{1 + k^{2}}}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$ ;

取C=0, 得 $| Μ Ρ | = \frac{2 a b \sqrt[]{1 + k^{2}}}{\sqrt{a^{2} k^{2} + b^{2}}} .$

于是 $| Ο Ρ | = \frac{1}{2} | Μ Ρ | = \frac{a b \sqrt[]{1 + k^{2}}}{\sqrt{a^{2} k^{2} + b^{2}}}$ , 则 $\sqrt[]{2} | Ο Ρ | = \frac{\sqrt{2}}{2} | Μ Ρ | = \frac{\sqrt{2} a b \sqrt[]{1 + k^{2}}}{\sqrt{a^{2} k^{2} + b^{2}}}$ , 前面已得 $| A R | = \sqrt{1 + k^{2}} a$ , 易证 $| A R | \cdot | A Q | = \frac{2 a^{2} b^{2} (1 + k^{2})}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$ , 而 $(\sqrt{2} | Ο Ρ |)^{2} = \frac{2 a^{2} b^{2} (1 + k^{2})}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$ , 于是 $| A R | \cdot | A Q | = [\sqrt{2} | Ο Ρ |]^{2}$ , 即 $| A Q | ‚ \sqrt{2} | Ο Ρ | ‚ | A R |$ 成等比数列.

【点评】一般来说, 解析几何试题的解题过程比较繁琐, 但有时我们可以适当地合并、整合解题的书写过程, 使我们的解题过程变得简洁!如本题, 将两条斜率相同的直线y=kx及y=k (x+a) 统一地记为y=k (x+C) ;另如, 将椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 和圆方程x2+y2=r2统一地记为Aix2+Biy2=1 (i=1, 2) , 则i=1时, $A_{1} = \frac{1}{a^{2}} ‚ B_{1} = \frac{1}{b^{2}}$ , 对应椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ‚ i = 2$ 时, $A_{2} = \frac{1}{r^{2}} ‚ B_{2} = \frac{1}{r^{2}}$ , 对应圆方程x2+y2=r2等等.

19. (理科) 【解析】这是一道基本也比较典型的理科立体几何试题, 空间向量法是处理有关试题的基本手法.设PA=1, 以A为原点, 射线AB, AC, AP分别为x, y, z轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.

$\begin{array}{l} 则 Ρ (0 ‚ 0 ‚ 1) ‚ C (0 ‚ 1 ‚ 0) ‚ B (2 ‚ 0 ‚ 0) ‚ Μ (1 ‚ 0 ‚ \frac{1}{2}) ‚ Ν (\frac{1}{2} ‚ 0 ‚ 0) ‚ S (1 ‚ \frac{1}{2} ‚ 0) . \\ (Ⅰ) \vec{C Μ} = (1 ‚ - 1 ‚ \frac{1}{2}) ‚ \vec{S Ν} = (- \frac{1}{2} ‚ - \frac{1}{2} ‚ 0) ‚ \end{array}$

因为 $\vec{C Μ} \cdot \vec{S Ν} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 0$ ,

所以CM⊥SN.

设a= (x, y, z) 为平面CMN的一个法向量,

则令x=2, 得a= (2, 1, -2) .

因为 $| \cos 〈 a, \vec{S Ν} 〉 | = | \frac{- 1 - \frac{1}{2}}{3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

所以SN与平面CMN所成角为45°.

(文科) 【解析】 (Ⅰ) 证明:连结PE, EC.

在Rt△PAE和Rt△CDE中, PA=AB=CD, AE=DE, ∴PE=CE, 即△PEC是等腰三角形.

又F是PC的中点,

∴ EF⊥PC,

又 $B Ρ = \sqrt{A Ρ^{2} + A B^{2}} = 2 \sqrt[]{2} = B C, F$ 是PC的中点, ∴BF⊥PC.

又BF∩EF=F, ∴ PC⊥平面BEF.

(Ⅱ) ∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC,

又ABCD是矩形, ∴ AB⊥BC,

∴ BC⊥平面BAP, BC⊥PB.又由 (Ⅰ) 知, PC⊥平面BEF, ∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角.在△PBC中, PB=BC, ∠PBC=90°, ∠PCB=45°, 所以平面BEF与平面BAP的夹角的正切值为1.

20. (理科) 【解析】 (Ⅰ) 设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A, “从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B.由于事件A, B相互独立, 且 $Ρ (A) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{7}$ 或 $Ρ (A) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{1}{7} ‚ Ρ (B) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{5}{18}$ 或 $Ρ (B) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{9}^{2}} = \frac{5}{18} ‚ Ρ (A B) = Ρ (A) Ρ (B) = \frac{1}{7} \times \frac{5}{18} = \frac{5}{126} .$

【说明】本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率计算方法.

(Ⅱ) 设红球和白球的个数分别为x, y, 则x+y=100, 从袋中任取三个球全为红球的概率为

$\frac{x}{100} \cdot \frac{(x - 1)}{99} \cdot \frac{(x - 2)}{98} = \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}{970200} .$

同理, 从袋中任取三个球全为白球的概率为 $\frac{y^{3} - 3 y^{2} + 2 y}{970200}$ , 由于这两个事件互斥, 从而3个球同色的概率为

$Ρ = \frac{(x^{3} + y^{3}) - 3 (x^{2} + y^{2}) + 2 (x + y)}{970200} .$

利用x+y=100, 化简得

$Ρ = 1 + \frac{x^{2} - 100 x}{3300} = 1 + \frac{(x - 50)^{2} - 2500}{3300}$ , 其中0<x<100, 显然, 当x=50时, P最小.

【点评】这是一道采用逆向思维命制的试题, 2010年北京卷理第17题在一定程度上也体现了这一意图.

(文科) 【解析】记“第i个人破译出密码”为事件Ai (i=1, 2, 3) , 依题意有

$Ρ (A_{1}) = \frac{1}{5}, Ρ (A_{2}) = \frac{1}{4}, Ρ (A_{3}) = \frac{1}{3}$ , 且A1, A2, A3相互独立.

(Ⅰ) 设“恰好二人破译出密码”为事件B, 则有

$B = A_{1} \cdot A_{2} \cdot \bar{A_{3}} + A_{1} \cdot \bar{A_{2}} \cdot A_{3} + \bar{A_{1}} \cdot A_{2} \cdot A_{3}$ , 且 $A_{1} \cdot A_{2} \cdot \bar{A_{3}} ‚ A_{1} \cdot \bar{A_{2}} \cdot A_{3} ‚ \bar{A_{1}} \cdot A_{2} \cdot A_{3}$ 彼此互斥, 于是

$\begin{array}{l} Ρ (B) = Ρ (A_{1} \cdot A_{2} \cdot \bar{A_{3}}) + Ρ (A_{1} \cdot \bar{A_{2}} \cdot A_{3}) + Ρ (\bar{A_{1}} \cdot A_{2} \cdot A_{3}) \\ = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \\ = \frac{3}{20} . \end{array}$

(Ⅱ) 设“密码被破译”为事件C, “密码未被破译”为事件D, 则有

$D = \bar{A_{1}} \cdot \bar{A_{2}} \cdot \bar{A_{3}}$ , 且 $\bar{A_{1}} ‚ \bar{A_{2}} ‚ \bar{A_{3}}$ 互相独立, 则有

$\begin{array}{l} Ρ (D) = Ρ (\bar{A_{1}}) \cdot Ρ (\bar{A_{2}}) \cdot Ρ (\bar{A_{3}}) \\ = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{5} . \end{array}$

而 $Ρ (C) = 1 - Ρ (D) = \frac{3}{5}$ , 故P (C) >P (D) , 所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

21. (理) 【解析 $】 (Ⅰ) f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt[]{x}}, g^{'} (x) = \frac{a}{x} (x ＞ 0)$ , 由已知得

${\begin{cases} \sqrt{x} = a l n x, \\ \frac{1}{2 \sqrt[]{x}} = \frac{a}{x}, \end{cases}$

解之, 得 $a = \frac{e}{2}, x = e^{2} .$

∴两条直线交点的坐标为 (e2, e) , 切线的斜率为 $k = f^{'} (e^{2}) = \frac{1}{2 e} ‚$

∴ 切线的方程为 $y - e = \frac{1}{2 e} (x - e^{2})$ ,

即 $y = \frac{1}{2 e} (x + e^{2}) .$

$\begin{array}{l} (Ⅱ) 由条件知 ‚ h (x) = \sqrt{x} - a \ln x (x ＞ 0), \\ ∴ h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt[]{x}} - \frac{a}{x} = \frac{\sqrt{x} - 2 a}{2 x} . \end{array}$

(ⅰ) 当a>0时, 令h′ (x) =0, 解之, 得x=4a2, ∴ 当0<x<4a2时, h′ (x) <0, h (x) 在 (0, 4a2) 上递减;当x>4a2时, h′ (x) >0, h (x) 在 (4a2, +∞) 上递增.∴x=4a2是h (x) 在 (0, +∞) 上的唯一极值点, 从而也是h (x) 的最小值点.

∴ 最小值φ (a) =h (4a2) =2a-aln4a2=2a (1-ln2a) .

(ⅱ) 当a≤0时, $h^{'} (x) = \frac{\sqrt{a} - 2 a}{2 x} ＞ 0, h (x)$ 在 (0, +∞) 上递增, 无最小值, 与题意不符, 故舍去.

故h (x) 的最小值φ (a) 的解析式为

φ (a) =2a (1-ln2a) (a>0) .

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 得到φ′ (a) =-2ln2a, 对任意的

$\begin{array}{l} a ＞ 0, b ＞ 0 ‚ \\ \frac{φ^{'} (a) + φ^{'} (b)}{2} = - \frac{2 \ln 2 a + 2 \ln 2 b}{2} = - \ln 4 a b ‚ ① \\ φ^{'} (\frac{a + b}{2}) = - 2 \ln [2 (\frac{a + b}{2})] = - \ln (a + b)^{2} \leq - \ln 4 a b ‚ ② \\ φ^{'} (\frac{2 a b}{a + b}) = - 2 \ln [2 (\frac{2 a b}{a + b})] \geq - 2 \ln \frac{4 a b}{2 \sqrt[]{a b}} = - \ln 4 a b, ③ \end{array}$

故由①②③, 得

$φ^{'} (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{φ^{'} (a) + φ^{'} (b)}{2} \leq φ^{'} (\frac{2 a b}{a + b}) .$

【点评】这道题中的公切线问题是理科导数问题考查的重要方向之一, 而本题最后一问却是形式吓人, 但只是基本不等式的简单应用!

(文科) 解: (Ⅰ) 题意的隐含条件是切点坐标为 (2, 0) , 则f (2) =0, 即4b+c+3=0.而f′ (x) =3x2+4bx+c, 又易知f′ (2) =5, 即12+8b+c=5.联立两式求得b=-1, c=1, 于是f (x) =x3-2x2+x-2.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, $g (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 + \frac{1}{3} m x$ , 于是 $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{m}{3}$ , 令g′ (x) =0, 要使函数g (x) 有极值, 其必要条件为方程 $3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{m}{3} = 0$ 有实根, 则相应的判别式Δ≥0, 即4 (1-m) ≥0, 解之, 得m≤1, 下面进一步考虑在此基本条件下函数g (x) 的极值是否存在.①若m=1, 此时令g′ (x) =0, 得 $x = \frac{2}{3}$ , 但在 $x = \frac{2}{3}$ 的左右两侧, 均有g′ (x) >0, 故此时函数g (x) 的极值不存在;②若m<1, g′ (x) =0有两个实数根x1, x2, 其中 $x_{1} = \frac{2 - \sqrt{1 - m}}{3} ‚ x_{2} = \frac{2 + \sqrt{1 - m}}{3} ‚ (x_{1} ＜ x_{2})$ 易由二次函数y=g′ (x) 的图象知, 当x=x1时, 函数g (x) 取极大值;当x=x2时, 函数g (x) 取极小值.

【注】一个函数的导函数为零只是其取极值的必要不充分条件, 还需验证该点两侧的导函数的值是否异号 (即函数在该点两侧的单调性是否改变) , 同号的时候此处不是极值!

22.【证明】已知PA为圆的切线, 则∠CAP=∠B, 又∠P为公共角, 因此, △PAC∽△PBA.

于是 $\frac{Ρ C}{Ρ A} = \frac{A C}{B A}$ , 即 $\frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{A C}{B A} \cdot \frac{Ρ A}{Ρ B}$ ,

而 $\frac{A C}{B A} = \frac{Ρ A}{Ρ B}$ , 于是得 $\frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{A C^{2}}{A B^{2}} .$

【另证】易得△PAC∽△PBA (思路同上) , 一方面, 由于这两个三角形以直线PCB为底边时, 底边上的高相同, 于是 $\frac{S_{△ Ρ A C}}{S_{△ Ρ B A}} = \frac{Ρ C}{Ρ B}$ , 另一方面, 易由相似三角形的性质有 $\frac{S_{△ Ρ A C}}{S_{△ Ρ B A}} = (\frac{A C}{B A})^{2}$ , 两式联立即得要证结果.还可以从等式左端分析: $\frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{Ρ C \cdot Ρ B}{Ρ B^{2}} = \frac{Ρ A^{2}}{Ρ B^{2}}$ (切割线定理) , 又 $\frac{Ρ A}{Ρ B} = \frac{A C}{B A}$ (三角形相似) ,

$∴ \frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{Ρ A^{2}}{Ρ B^{2}} = \frac{A C^{2}}{A B^{2}} .$

23.【解析】将原方程配方为 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$ , 则可令

$\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{5} \cos θ ‚ \\ y = - 2 + \sqrt{5} \sin θ ‚ x + \sqrt{3} y = 1 - 2 \sqrt[]{3} + \sqrt{5} (\cos θ + \sqrt{3} \sin θ) \end{array}$

, 显然, 其中的 $g (θ) = \cos θ + \sqrt{3} \sin θ = 2 \cos (θ - \frac{π}{3}) \leq 2$ , 即 $x + \sqrt{3} y$ 的最大值为 $1 - 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt[]{5} .$

【点评】本小题考查考生对圆的参数方程及asinx+bcosx型三角函数最值求解方法的掌握情况.

24.【解析】将z2项适当地分成两项, λz2和 (1-λ) z2项, 其中λ是待定的常数且λ∈ (0, 1) , 则 $x^{2} + λ z^{2} \geq 2 \sqrt[]{λ} x z ‚ y^{2} + (1 - λ) z^{2} \geq 2 \sqrt[]{(1 - λ)} y z$ , 结合题意, 应使 $\frac{\sqrt{1 - λ}}{\sqrt{λ}} = \frac{\sqrt{3}}{1}$ , 解之, 得 $λ = \frac{1}{4}$ (与前面的限制要求一致) , 即 $x^{2} + \frac{1}{4} z^{2} \geq x z ‚ y^{2} + \frac{3}{4} z^{2} \geq \sqrt{3} y z$ , 即 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x z + \sqrt{3} y z$ , 即 $x z + \sqrt{3} y z \leq 1$ , 则在已知条件下, $x z + \sqrt{3} y z$ 的最大值为1, 当且仅当 $z = 2 x = \frac{2 y}{\sqrt{3}} \neq 0$ 时, 不等式取等号.

【点评】这是一道考查考生灵活运用基本不等式解决问题的能力的试题, 难点在于如何选择其中的调整因子λ, 使不等式的等号恰好能取得 (而这一点正是求解本题的关键所在!) .完全类似的试题如2009年全国高中数学联赛浙江赛区预赛卷第15题, 对此类问题比较一般性的讨论可参见笔者在2008年第4期《中小学数学》 (高中版) P42——“一个数学问题的推广”一文.

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