二次函数的实际应用的反思

二次函数的实际应用的反思（共15篇）

篇1：二次函数的实际应用的反思

关于二次函数的实际应用的反思

张珺瑕

二次函数的实际应用，根据自己书写的教案，从教材分析、教学方法、学法及教学手段的选择、教学过程设计等方面做出具体的说明。

教学内容的地位、作用和意义，二次函数的实际应用是课标版教材第九册第二十章第5节的内容，该知识是在二次函数图像及性质、二次函数解析式的确定之后学习的一个理论联系实际的内容，加强了方程等内容与函数的联系，进而培养了学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力，通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。

本节内容突出体现了《数学课程标准》的要求：初中阶段学生能够结合具体情境发现并提出数学问题建立数学模型，从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，验证解的正确性与合理性，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。教学目标：（1）、使学生能够运用二次函数的图象和性质解决实际问题。（2）、培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力）。教学重点：（1）、使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；（2）、使学生掌握将生活信息转化为数学问题的方法。教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并应用二次函数的图象和性质加以解决，最后回归实际问题的能力．

教学方法、学法及教学手段的选择

二次函数的实际应用是中学数学中的重点与难点。为了充分体现“加强主体教学的要求”结合我所教班级的实际情况，本节课由教师创设问题情境，引发学生思考，经过学生的自主探究与小组合作交流完成数学建模过程，从而解决实际问题。为了直观地反映一些数量关系，便于学生观察，我运用了计算机辅助教学。

关于教学过程的设计：设计思路：教师创设问题情境 → 学生自主+合作完成数学建模 →一题多解思维拓展 → 掌握建模关键点形成解题技能。

我们已经学习了二次函数的图象和性质，知道二次函数的图象是一条抛物线。在实际生活中，有哪些问题可以让我们联想到抛物线呢？启发学生思考并举例。之后，教师举例，如：建筑方面的拱形桥和物体运动中自然形成的轨迹（喷泉横切面水珠运动轨迹）等都可以近似的看成抛物线。因此我们可以应用二次函数的有关知识辅助解决一些相关问题。二次函数的图象和性质不仅可以用来解决数学问题，还可以用来解决一些生活实际问题，同学们要善于观察和思考，要有意识的提高自己应用数学知识解决实际问题的能力，做到学数学用数学．

篇2：二次函数的实际应用的反思

克拉玛依实验中学：文学娟

一、教学流程回顾

1、温故知新，巩固检测：

检测基础知识，巩固二次函数的最值，为后面应用二次函数解决实际问题扫清了障碍。

2、创设情境，探索新知：

探究1是一道复杂的市场营销问题，又是涨价，又是降价，如果学生直接读题，弄不懂题意的学生会很多，我将原来的问题设计分解为4个问题，有梯度的分解难度。

问题1就是为了帮助学生回忆前面所学的利润、售价、进价之间的数量关系。

问题2该题的最大利润是未知量，引导学生注意题目中有两个变量——定价和利润，符合函数的定义，从而想到用函数知识去解决——二次函数的极值问题，当利润一旦设定，就当已知参与建立等式，学生容易完成求解，在要关注受年龄和知识的局限，在前面学习函数定义域值域不能明确表示出来，利用函数解决实际问题函数的定义域不同于函数解析式中给出的取值范围，要求具体问题具体分析，明确求函数的定义域是检验解合理性的重要依据。

问题3就是问题2的变式训练，将涨价换为了降价。

问题4就是将书上的探究题目完整的呈现给了学生，结果学生很快解决。在这个过程中要注意给学生灌输分类讨论的思想。在教学设计中降低梯度，给学生一个循序渐进的认知过程，学生学得轻松，老师教的轻松。

3、课堂回顾，归纳小结：学生自己总结小结学数学有用，利用二次函数的最值可以解决实际问题中的最大利润问题，利用二次函数解决实际问题要注意自变量的取值范围。

4、巩固练习，当堂检测：课堂检测学生掌握情况，估计不能完成计算，只需列出函数表达式，写出定义域。备课反思：

1、数学有用，学有用数学。

数学是一门看得见，摸得着，用得着的学科。创设生活化的课堂一直是我教学努力的方向，为了把学生的注意力吸引到我这里，我将本节课的内容编成一个小故事，文老师利用业余时间在网上开了一家小店，小赚了一笔，你能帮老师算一算老师一周盈利了多少吗？贪心的我不知足，想多赚一些，利用自己是数学老师的优势做了市场调查，发现每涨一元，销售量减少10件，我如何定价获得利润最大呢？双节将至，我准备减少库存，降价销售，如何定价获得利润最大呢？一个个生活化的故事情境，让学生带着问题思考，解决问题。通过情境教学，传递给学生数学就在我们身边，学数学有用的观点，同时树立了学生学有用数学的信心。

2、适度取舍，无需面面俱到。

问题1我原本设计了5小题，复习顶点式、一般式，一般式a大于零，a小于零两种情况的最值，还有就是给出一般式写最值，可是这样使得引入时间太长，头重脚轻。在学习探究一前书上有一道已知60米篱笆围成面积最大矩形，边长是多少？最大面积是多少的问题。考虑本节课重点在探究1，为了突出重点，我犹豫再三舍去最大面积问题。原本在问题2前面还涉及了一道方程题，若想多赚100元，如何定价。考虑学生才学完一元二次方程，让学生从方程过渡到函数，没想到在试讲阶段反而加重了学生理解负担，我毫不犹豫删去这个环节。备课之初总是想更加全面、具体，殊不知这么做会掩盖教学重点，教学难点、教学重点不突出。

3、独立思考，自主探究实现思维提升。

在备课中，我想把课堂设计热闹一些，多一些小组讨论、小组竞争，但是老教师老师说：数学课需要热闹，但也需要静下心，提升思维。上课不是作秀，大家都是内行，要看的是你的设计，还有就是数学需要小组讨论，更需要独立思考。一语点醒梦中人，我振作起来，分梯度设计问题，降低难度，让学生一级一级摘果子，在轻松愉悦中解决问题。

4、多媒体不能代替黑板。

黑板的作用不可忽视，抽象思维理解过程，多媒体不能体现优势。记得大学老师在讲教材教法时说过，我们需要多媒体教学，但是千万不能为了用多媒体而用多媒体，数学最好的教具是黑板。

5、团队合作的力量。

篇3：一元二次函数实际应用举例

(一) 数学模型:数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时, 所得出的关于实际问题的数学描述, 数学模型的形式是多样的, 它们可以是几何图形, 也可以是方程式, 函数解析式等等.

(二) 数学模型方法:数学模型方法, 是把实际问题加以抽象概括, 建立相应的数学模型, 利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.

(三) 求解实际问题的基本步骤:以函数为数学模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面, 主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题。

(四) 使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下

1、审题:通过阅读, 理解关键词的意义, 明确变量和常量, 理顺数量关系, 弄清题意, 明白问题讲的是什么。

2、建模:将文字语言转换成数学语言, 用数学式子表达。

数量关系, 利用数学知识建立相应的数学模型。

3、求模:求解数学模型, 得到数学结论。

4、还原:将用数学方法得到的结论, 回归实际, 还原为实际问题的意义。

下面是几个一元二次函数实际应用的典型例题的详解

例1、.某学校先准备了可以建24米长的墙的建筑材料, 想利用一面墙设计修建如图所示的两矩形花台ABEF, FECD (其中墙EF共用) 。设矩形ABCD的宽AB为x米, 面积为S平方米:

(1) 写出S与x的函数关系式及x的取值范围;

(2) 若矩形ABCD的面积为45平方米, 求AB的长度;

(3) 能修建比面积为45平方米更大的矩形花台吗?如果能, 求出此最大

面积;如果不能, 请说明理由。

分析:根据矩形的面积公式建立起函数关系式。

例2、某旅行社准备在某地组织旅游团到北京观看奥运会, 每人往返机票食宿和门票等费共需3000元, 如果把每人收费标准定为4000元, 则只有20人参加旅游团;高于4000元时, 没有人参加。如果每人收费标准从4000元每降低100元, 则参加旅游团人数就增加10人, 试问:每人收费标准定为多少时, 该旅行社所获利润最大?此时参加旅游团人数是多少?

分析:关健词有利润、每人收费标准、参团人数。每人收费标准在4000元的基础上下降, 参团人数在20人的基础上增加。

通常:利润=销售总额-成本

该题中:利润=每人收费标准×参团人数-3000×参团人数

答:每人收费标准定为3600元时, 该旅行社获利最大, 此时参团人数为60人。

例3、某地区有一种可食用的野生菌, 上市时, 某商家按市场价格每千克30元收购了1000千克存放入冷库中。据预测, 该种野生菌的市场价格每天每千克上涨0.5元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计230元, 而且这类野生菌在冷库中最多保存160天, 同时, 平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售。

(1) 设X天后每千克该野生菌的市场价格为Y元, 写出Y与X之间的函数关系式, 并写出X的取值范围;

(2) 若存放X天后, 将这批野生菌一次性出售, 设这批野生菌的销售总额为P元, 写出P与X之间的函数关系式;

(3) 该商家将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润W元?

(利润=销售总额—收购成本—各种费用)

所以该商家将这批野生菌存放60天后出售可获得最大利润5400元。

例4、有一种螃蟹, 从海上捕获后放养最多只能活两天, 如果放养在塘内, 可以延长存活时间, 但每天也有一定数量的蟹死去, 假设放养期内蟹的个体重量保持不变, 现有一经销商, 按市场价格收购了这种活蟹1000千克放养在塘内, 此时市场价格为每千克30元, 据测算, 以后每千克活蟹的市场价格每天可上升1元, 但是放养一天需各种费用支出400元, 且平均每天还有10千克蟹死去, 假定死蟹均于当天全部售出, 售价为每千克20元。

(1) 设天x后每千克活蟹的市场价格为P元, 写出p关于x的函数解析式。

(2) 如果放养x天后将活蟹一次性出售, 并记1000千克蟹的销售额为Q元, 写出Q关于x的函数解析式。

(3) 该经销商将这批蟹放养多少天后出售, 可获得最大利润是多少?

解: (1) 由题意得P=30+x

(2) 由题意得x天后, 活蟹有1000-10x (千克) , 活蟹的单价为, 死蟹有10x千克, 死蟹的单价为20元,

则1000千克蟹的销售额为Q= (1000-10x) (30+x) +20×10x

(4) 由题意得:利润=销售总额-收购成本-费用

所以放养25天后出售, 可获得最大利润是6250元。

例5、一场足球比赛中, 一球员从球门正前方17m处将球踢起正射向球门, 球飞行路线为抛物线, 当球飞行水平距离为10m时, 球到达最高点, 此时球高4m。在球门正前方1m处只有一名身高1.85m的后卫, 他的最大弹跳高度为0.8m, 若此时该后卫起跳及时, 他能否拦住球?为什么?若没有这名后卫, 球能否射进球门 (在不考虑守门员等情况下) ? (球门高2.44m)

解:建立如图所示的直角坐标系,

后卫拦球的最高高度为1.85+0.8=2.65>2.56

所以该后卫起跳及时, 能拦住球。

例6、国家收购某农副产品的单价为1.2元/公斤, 预计可收购50吨, 其所得税征收标准为8%, 为了减轻农民负担, 国家决定将所得税税率下浮x个百分点 (即降低x%) , 这样, 实际收购量可比预计收购量增长2x个百分点。

(1) 求出在实际收购量比收购量增长2x个百分点的条件下, 国家应征收的所得税税额y (单元:元) 与x的函数关系式。

(2) 若要使实际收购时的所得税不低于预计收购时收取的所得税的78%, 那么, 税率降低值x应控制在怎样的范围内?

篇4：二次函数的实际应用

学习了二次函数的有关知识后，灵活应用这些知识，可以帮助我们解答一些生产、生活中的实际问题，现以2007年的部分中考题为例介绍，供同学们参考。

例1 (2007年烟台市)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件。

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次。

析解：(1)当生产第x档次的产品时，每件利润为[10+2(x-I)]元，每天产量为[76-4(x一1)]件。

因为每天总利润=每件利润×每天产量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x²+128x+640

(2)要求产品的质量档次，只要求x的值即可

在y=-8x²+128x+640中

因为y=1080，

所以-8x²+128x+640=1080

整理．得X²16x+55=0

解之，x₁=5，X₂=11(不合题意，舍去)

所以当一天的总利润为1080元时，应生产第5档次的产品。

例2 (2007年佛山市)如下图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴．顶点E到坐标原点O的距离为6m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗?

(3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0．4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗?

析解：(1)设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，要求y关于x的解析式，应找到三组x和y的数值．

因为点E、点A、点D的坐标分别为(0，6)、(-4，2)、(4，2)，

(2)要判断高为4.5m，宽2.4m的货车能否从该隧道内通过，其实质在于确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于2.4m，若大于2.4m，就可以通过；否则，就不能通过。

所以货车可以通过。

(3)如果隧道内设双行道，且在隧道正中间没有O．4m的隔离带，那么要判断这辆货车是否可以顺利通过，只要确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于(2.4x2+0.4)m，即是否大于5.2m，若大于，就可以通过；否则，就不能通过。

所以如果隧道内设双行道，且在隧道正中间设有0.4m的隔离带．则这辆货车不能顺利通过。

例3(2007年贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

析解：(1)当每箱的销售价为x元时，它比每箱50元的价格提高(x-50)元，那么销售量将减少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50)，

即有y=-3x+240，

(2)当每箱的销售价为x元时，每箱的销售利润为(x-40)元，每天的销售量为y箱，即(－3x+240)箱．

所以w=(x-40)(-3x+240)，

即有w=-3x²+360x-9600

(3)要问每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润，只要求出x为何值时w有最大值,为此，应把w与x的二次函数关系式进行配方变形。

因为w=-3x²+360x-9600

=－3(x-60)²+1200，

又，x≤55，且x<60时，w随x的增大而增大

所以当x=55时，w有最大值=-3x(55-60)²+1200=1125．

所以当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

练习

1．(2006年鄂尔多斯市)某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿纸上描点，观察点的分布，确定y与x的函数关系式．

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

答案：(1)y=-x+50；(2)每件产品的销售价应定为30元，此时每日销售利润是400元。

2．(2007年青岛市)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：

(1)求y与x的关系式；

(2)当x取何值时，y 的值最大?

(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售价不得高于90元／千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

篇5：《实际问题与二次函数》教学反思

《实际问题与二次函数》教学反思

刚刚上完了《实际问题与二次函数》，自我感到满意的地方是，通过探究“矩形面积”“销售利润”问题，激发学生的学习欲望，渗透转化及分类的数学思想方法，把知识回归于生活，又从生活走出来。我是这样设置问题： 现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长分别为10米、15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？让学生能准确的建立函数关系并利用已学的函数知识求出最大面积。又设置问题：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件。该同学对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了如下的调查：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件。请问同学们，该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？该同学又进行了调查：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则此时该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？通过这样层层设问，由易到难，符合学生的认知水平，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。但感到不足的地方是，由于题目设计比较多，在处理起来比较仓促，时间上前松后紧，在今后的教学中要注意这一点。还要尽可能地让每一个学生参与到学习中，提高学生学习数学的积极性。

篇6：二次函数的实际应用的反思

一、案例背景

《新课标》要求改善学生的学习方式，教师要彻底改变过去那种满堂灌的现象，注重以生为本，一切为了学生，一切为了学生的学习。教师要当好学生数学学习的成功组织者、有效指导者和真诚合作者。

本节课是2012年3月我上的一节数学复习课，本节课主要是通过创设问题情境，给学生充分的时间和空间来搭建展示自我的舞台，让教学真正实现教与学的交往、互动，在交往与互动的合作过程中师生分享彼此的思维、经验和知识，交流彼此的情感、体验和观念，彼此形成一个真正的“学习共同体”。

二、案例主题

课 题：二次函数在实际问题中的应用 素质目标：

1、知识技能目标：让学生进一步掌握二次函数的知识，了解二次函数与二次方程之间的联系和转化关系。

2、过程与方法目标：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

3、情感态度与价值观目标：通过实例让学生了解数学源于生活而服务于生活，培养学生用数学的意识和创新能力。重 点：二次函数在实际问题中的应用

难 点：如何用二次函数的数学模型解决实际问题 教法与教具：合作探究法 多媒体

三、案例回放

(一)[创设情景 导出新课] 用多媒体播放一男生推铅球的情形，数学科代表说：这个男生推铅球的距离正好符合我们学习的二次函数：铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)间的关系式为。问其他同学：该男生铅球推出的距离为多少米？

科代表这话题一打开，一石激起千层浪。同学们说：“二次函数在实际问题中的应用非常广泛”。

有的同学说：将铅球换成足球，反过来可看成踢足球射门；有的同学说：电视中跳水运动员在空中运动路线形如一条抛物线；有的同学说：农村的自动喷灌的水流呈抛物线状；有的同学说：军事频道中防空导弹运行的轨道是一条抛物线…等等。这样课堂气氛开始活跃起来。

下面我们来研究一下刚才同学们想到的“二次函数在实际问题中的应用情形”。

(二)[精讲变式，巩固提高] 用多媒体播放踢足球的射门的慢镜头，展示问题1：在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门。球在空中的路线形如 的抛物线，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米。已知球门高2.44米，假定在无人拦截的情况下能否射中球门？ [分析]学生们一看果然是踢足球，兴致大增。

教师与学生共同参与探讨：①能否射中的含义是什么？②“当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米”给你什么启示？③球飞行到水平距离为10米时，其高度是比2.44m大还是小？如何来求这个高度呢？

通过分组讨论，同学们很快发现：必须将足球飞行高度与水平距离的关系式找出来？一位平时不爱学习但非常喜欢踢足球的学生恨不得下位进行演示，并用很快地参与到和本组成员的讨论之中，主动地将自己的结果拿出来进行展示，，而不知道怎样计算足球能否射中？此时，同学们哄堂大笑。我在一旁启发：足球踢了多远？这时，这位男生才悄然大悟，计算出了当 时，可以射中。

[示范]将每个小组推选出的有代表性的作品进行展示，并让学生点评、指正，教师点拨。

点评：通过合作探究，学生对数学学习兴趣增强了。打开了学生思维的闸门，使学生进入“求通而未通，欲言而未能”的境界，增强了学生的学习内驱力，学生的学习由被动接受到积极参与，主动探究。

抓住时机，教师在屏幕上播放郭晶晶跳水的画面，问学生：她为什么跳得那么完美？

展示问题2：某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面高为 米，入水处距池边的距离为4米。同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 米。问：此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。

[分析]在屏幕上再次播放郭晶晶跳水的镜头，然后把她放到直角坐标系中，让学生利用二次函数的模型来解释她跳水这么完美的原因？分组交流，教师点拨。跳水运动员在空中的运动路线是经过原点的一条抛物线，要求其解析式。（1）如何设出其解析式？（2）该抛物线经过哪几个点？（3）其坐标怎样表示？（4）会不会失误的标准是什么？[即在距水面高度为5米以前完成动作] 点评：对解释好的同学给予鼓励，甚至可以赞赏他具备担任跳水运动员教练的天赋。这样在许多公众场合，一些以前躲于人后、怕抛头露面、羞于启齿的学生也开始有了探究地欲望、交往的愿望、展示自我的渴望。(三)[变式训练，深化提高] 用电脑播放农村改革开放后自动喷灌的景象，让学生用所学的知识来帮助农民设计出最好的喷灌方式，展示问题3：改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个旋转的喷水头。一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高C点成45°角，且比喷头B高出2米。在所建坐标系中，求水流落地点D到A点的距离是多少米？

让学生分组合作，并根据题意画出图形，并进行展示，鼓励学生致力于用科学知识帮助农民提高生产力，做改革的工程师。

最后用多媒体播放防空导弹射击训练的画面，引出问题4：如图，是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标中示意图，在地面上O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为 和，OA=1千米，位于O点正上方 千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导师弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）。（1）若导弹运行轨道是一抛物线，求该抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由。

让学生分组讨论，合作交流，并进行展示。得出“二次函数在实际问题中的应用是非常广泛的”。还有哪些生活知识可以用“二次函数的模型”来解决？学生们会有意欲未尽，余味无穷的感觉。(四)[归纳小结，形成能力]让学生自我归纳

1、二次函数的解析式有哪几种不同的形式？适用的范围是什么？

2、利用二次函数数学模型解决实际问题时，应注意数形结合的思想。

3、函数在实际生活中应用非常广泛。

四、案例反思

以前我们的教学，总是生怕学生听不懂，特别对于重点难点的内容，以为这部分讲得多，讲得透，就能突出重点了，实际上教师讲得多并不代表学生都能听明白，要使学生真正掌握知识点，最好的方法还是创设问题情景，为学生搭建学习的“脚手架”，寻找学生认知的“最近发展区”，采 用分小组合作探究，给学生以探究和思考的空间。形成一种生动活泼、潜力无穷、人人参与、主动积极学习的活动形式。

篇7：二次函数的实际应用的反思

水头一中 陈尔海

函数在实际生活中有着广泛的应用，函数知识也是考试的重点，《函数在实际生活中的应用》教学反思。结合本人所上的课，现有以下的几点思考：

1构思新颖，极具创新意识

由于函数在知识上的难度较大，且具有特殊地位。本人在构思本课时充分考虑到学生的认知水平。首先从提高学生的学习兴趣为切入点，首先通过一个谜语引入，讲本课自始至终以镜子为主线，围绕着镜子展开，力争使学生感觉到整节课似乎在听一个故事。在故事的情节中穿插每一个知识点。其次为体现学生的主体性。每一个知识点都由事先分好的小组共同讨论完成，且推选一名代表板书，教师只起到一个点拨及板书后点评的作用。最后在小结本课时，本人大胆创新，一改通常问法“本课你有何收获”而是采用倒叙的手法“本课即将结束，但本节课的标题还未给出，请哪位同学给出本节课的标题是什么”可谓一语激起千层浪，很多学生各抒己见，最终采用班里许文明同学的一番话“本课使我学会了，很多生活中的问题都可以用数学知识来解决，教学反思《《函数在实际生活中的应用》教学反思》。数学来自于生活，又将服务于生活，所以本节课的标题是《数学在生活中的应用》”。

2教学设计成板块呈现，且由浅入深，吸引学生学习兴趣

3课后反思

回首本节课的教学过程，真可谓成功中有不足，教学过程中留有遗憾。

成功之处：(1)本节课自始至终将每一个知识点融入到故事情节之中，且故事情节以板块呈现，这使得整节课学生都处于兴奋与高度集中的状态。培养了学生认真听讲的好习惯。

(2)由于只有解决了每一个知识点才能听完整个故事，这极大的激发了学生的热情及参与程度。充分体现了学生的主体性。培养了学生自主学习，合作交流的能力。

(3)本课采用“倒叙”的手法给出标题，可谓是点金之笔。这使得每一个学生根据自己对本课知识的理解不同，给出不同的标题。从而摆脱了书本对思维的束缚。培养了学生自我归纳、总结的能力。

篇8：二次函数的实际应用的反思

【关键词】二次函数；实际问题；最大（小）值

应用数学思想来解决生活中的实际问题是学习数学的目的所在，而建立适当的数学模型来解决实际问题是生活中常用的手段。在现实生活中，我们往往会遇到一些复杂的实际问题，而这些实际问题所涉及的背景材料十分广泛，包括社会、人文、科技、生活、生产等方面，有时很难抓住要领，不易直接用函数知识去观察、分析、概括所给的实际问题。若将其转化为数学问题并建立数学模型，则问题就容易解决了。

在函数中二次函数是解决实际问题的一个重要数学模型，利用二次函数的图像和性质求函数的最大（小）值。此类题是各地中考的重难点，并经常作为压轴题出现。在生活中我们经常会遇到利用二次函数求最大值或最小值的问题，例如下面的问题：

例1.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型产品在第x天销售的相关信息如下表所示。

销售量p（件） P=50-x

销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+；

当21≤x≤40时，q=20+

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式。

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

分析：这是一道分段求函数的最大值的问题，学生在解题时往往考虑不全，把21≤x≤40这段函数的问题遗漏，只求1≤x≤20这段函数的问题及最大值。所以在教学时，教师一定要强调自变量的取值范围及分段后的函数的增减性。

解：（1）当1≤x≤20时，令30+=35，得x=10.

当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35.

即第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件

（2）当1≤x≤20时，y=（30+-20）（50-x）=-2+15x+500；

当21≤x≤40时，y=（20+-20）（50-x）=-525.

所以

当1≤x≤20时，

因为，所以当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5

当21≤x≤40时，因为26250>0

所以随着x的增大而减小，所以当x=21时，最大。

于是，当x=21时，y=-525有最大值y2，且y2=-525=725

因为y1

所以这40天中第21天时该网店获得的利润最大，最大利润为725元。

例2.某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆汽车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆汽车的日租金每增加50元，为租出的汽车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆汽车时，日收益为y元。（日收益=日租金收入-平均各日各项支出）

（1）公司每日租出x辆汽车时，每辆汽车的日租金为______元（用含x的代数式表示）

（2） 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？最大是多少？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

分析：（1）未租出的汽车有（20-x）辆，每辆汽车的日租金在400元的基础上增加了50（20-x）元，所以每辆汽车的日租金为400+50（20-x）=（1400-50x）元

（2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，建立二次函数模型求解。

（3）日收益不盈也不亏即日收益为0，建立方程求解

解：（1）（1400-50x）

（2）y=x（-50x+1400）-4800

=-50x2+1400x-4800

=-50（x-14）2+5000

当x=14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000。

所以当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元

（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0。

所以-50（x-14）2+5000=0解得x1=24，x2=4。

因为x=24不合题意，舍去。

所以当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏。

例3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，

（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数解析式；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x（元/箱）之间的函数解析式

（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润为多少？

分析：（1）在每箱50元的基础上销售，当售价为x元时，则每箱提价（x-50）元；（2）利润=（售价-进价）×箱数

解：（1）y=90-3（x-50），即y=-3x+240（50≤x≤55）

（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600.（50≤x≤55）

（3）W=3x2+360x-9600

因为a<0，所以抛物线开口向下，当x==60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大，所以当x=55时，w有最大值为1125

所以当每箱苹果售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

注意：求最大值时，要注意自变量的取值范围及自变量的实际意义。

解答这类应用题的基本方法是设法把关于最大（小）值的实际问题转化为二次函数的最大（小）值问题，然后按求二次函数的最大（小）值的方法求解，其基本思路是：

（1）理解问题的题意；

（2）分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

（3）用数学方法表示它们之间的关系，用二次函数解析式表示实际问题中常量与变量之间的关系；

（4）将得到的二次函数通过配方化为y=a（x-h）?+k的形式，求出顶点坐标得出最大值或最小值；

（5）检验结果的合理性，判断是否符合实际要求。

篇9：二次函数应用数学教学反思

因教研组活动的安排需要，本周二我作为初四代表出示研讨课，课题为《二次函数的应用――――――形如抛物线型》，结合老师的评课反思一下：

我的设计思路是：前置补偿（确定二次函数解析式的方法和思路）―――――――探索新知（由前置补偿第四小题过渡到问题一，目的在于体会数学与实际问题的转化，并得出确定实际问题中解析式的关键在于有实际意义得出关键点的坐标；然后过渡到没有坐标系的实际问题中，该怎么处理，有学生探索并分情况展示，然后比较过程与结果，增强优化意识。另一方面由实际问题的解决，体会二次函数应用中的数学思想：第一环节，实际意义―→关键点的坐标―→解析式，注意由实际意义到点的坐标转化时的符号，进一步明确解决问题的第二个环节，解析式―→关键点的坐标―→实际意义，注意由坐标到实际意义转化时要取绝对值。）―――――活学活用（解决一个隧道问题，目的加强对思路的理解与体会，从本节课上也提高一下难度，但因时间关系，没有完成）。

评课整理如下：

优点：

思路比较清晰，过渡比较自然，题后反思比较到位。

缺点：

1、孙老师：对学生的评价比较模糊，比如有错误的情况下还打个对号。

2、郭老师：解题步骤需加以规范和总结：一建二设三解四答。

3、张老师：知识总结有些地方不太到位，比如，三种不同的情况为什么a的取值不变？比较三种的优劣时可以从两个方面进行即确定解析式和解决最后实际问题。这样可以更体会更深刻一些。

4、付主任：本节课有宽度，但缺乏深度，容量比较小，学案可以在浓缩一下，可以将问题一和问题二结合起来。

5、齐主任：课堂模式和反映出来的教学理念比较过时，以学生为主体的教育理念体现的不够突出，如果把这节课放在课改之前可能是一堂好课。

自我反思：

1、从郭老师、张老师和孙老师的建议中，我应该加强对课的精细化要求，授课态度要严谨，对学生的一点一滴都要负责任，同时对教材知识的挖掘面面俱到，引领学生对知识能有一个更全面更深入的理解。

2、受付主任建议的启发，可以尝试删掉问题一，由问题二承担起原问题一和问题二的`双重作用，即：实际意义确定点的坐标；建立适当的坐标系。可以仍有第四小题引入到问题二（建好坐标系，顶点在原点处），然后实际问题中不可能存在现成的坐标系，引发学生思考坐标系的建立情况，然后加以拓展，并结合解决实际问题体会三种情况的优劣。这样应该可以节省一些时间，但我估计不会太多，最多能节省5分钟，但这或许就可以分析活学活用中的题目了。

自己的体会是，因为这是第一课时，很多东西不可能面面俱到，知识的理解还需要有个循序渐进的过程（或许这也是一个托辞，这就是我们与名师的差距）。与名师相比，我们的课堂容量太小，一方面我们平时的课堂对知识中的思想方法挖掘渗透的太少，学生头脑中的知识不系统，形不成知识体系；另一方面，与本人的知识素养有关系，还需要进一步对教材知识进行深入挖掘，对新的教育理念进行学习，只有准备充足了，才能在课堂上游刃有余。

3、结合齐主任的评课，我站在别人的高度试想了如果是云老师或宋老师来评课，会提出什么意见，我隐约感觉到这肯定不是一节好课，有很大的问题，至于是什么问题我也说不清楚，或许就如齐主任所说的教育理念比较陈腐导致课堂没有推陈出新的亮点，并且我觉得可以做大手术，如果真能请云老师或宋老师来评课的话，我或许就会豁然开朗，而不再这般的迷茫。

篇10：《实际问题与二次函数》教学设计

广厚乡中心学校 李晓秋

教学目标：

1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。

重点难点：

根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习巩固

1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。

答案：(1)y＝x＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。

3．二次函数y＝ax＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么? [对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)]

二、范例

2例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y＝ax＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝a(x－8)＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。练习：P18练习1．(2)。

例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得

解这个方程组，得：所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x＋8x－5。

解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)＋3，即y＝－2x＋8x－5。

例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)＋k，依题意，得y＝a(x－2)－4 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)－4，即y＝2x－8x＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax＋bx＋c?依题意，得解这个方程组，得：所以，所求二次函数关系式为y＝2x－8x＋4。

三、课堂练习

1.已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到：解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝x＋x＋3。解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)＋k，依题意，得y＝a(x＋3)－1 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3＝a(0＋3)－1解得a＝

所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)－1，即y＝x＋x＋3．

小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求

222

解方便，用一般式求解计算量较大。

2．已知二次函数y＝x＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

简解：依题意，得解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函数的关系式是y＝x－10x＋23。

四、小结

1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? [两种类型：(1)一般式：y＝ax＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x＋h)＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。

五、作业：

1.已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。

2．函数y＝x＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。

3．若抛物线y＝－x＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。

4．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。

5．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。

6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若2洪水到来时，水位以每小时线后几小时淹到拱桥顶?

米速度上升，求水过警戒

篇11：实际问题与二次函数教学设计

【教材分析】

本节的问题涉及求函数的最大值，要先求出函数的解析式，再求出使用函数值最大的自变量值，在此问题的基础上引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论，即当a0时，函

4acb2bxy最小值2a，4a；当a0时，函数有最数有最小值，并且当

4acb2bxy最大值2a4a．得出此结论后，就可以直接大值，并且当，运用此结论求二次函数的最大值或最小值。

接下来，学生通过探究并解决三个问题进一步体会用二次函数解决实际问题。

在探究1中，某商品价格调整，销售会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况，一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销售会随之增加，这两种情况都会导致利润的变化。教科书首先分析涨价的情况，在本题中，设涨价x元，则可以确定销售量随x变化的函数式。由此得出销售额、单件利润随x变化的函数式，进而得出利润随x变化的函数式，由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。【学情分析】

学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列代数式，列方程解应用题，这些内容的学习为本节课奠定了基础，使学生具备了一定的建模能力，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能比较灵活的运用知识，对学生来说要完成这一建模过程难度较大。【教学目标】 智能与能力：

1、能够从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的知识解决实际问题。

2、与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识,体会数学与实际的联系。

3、通过数学建模思想、转化思想、函数思想、数形结合思想的综合运用，提高学生的数学能力。过程与方法：

1、经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，并进一步体验如何从实际问题中抽象出数学模型。

2、注意二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，及其在实际问题中的综合运用，重视对知识综合应用能力的培养。

3、经历观察、推理、交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法与经验。

4、经历解决实际问题、再回到实际问题中去的过程，能够对问题的变化趋势进行预测。情感、态度与价值观：

1、结合实际问题研究二次函数，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣，让学生在实际应用中逐步深化对二次函数的理解和认识。

2、设置丰富的实践机会，引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，培养学生形成良好的教学思维习惯。

3、通过同学之间的合作与交流，让学生积累和总结经验。【教学重点及难点】 重点

1、理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出二次函数的数学模型。

2、回顾并掌握二次函数最值的求法，在应用基本结论的同时掌握配方法。

3、利用二次函数的性质解决实际问题。难点

从实际情景中抽象出函数模型。【教学设想】

在实际生活有大量的可以表示为二次函数或利用二次函数知识可以解决的实际问题，教师应该充分考虑到教学内容本身的特点和学生的认知规律，从下列三个方面入手；

1、实际问题和通常习惯的数学问题不同，它的条件往往不是显而易见的，教师需要引导学生分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，可以进行怎样的假设以及如何建立它们之间的关系等，并从实际问题中抽象出数学问题。

2、二次函数的图象和性质，为本节的学习起着铺垫作用，将已有知识综合运用来解决实际问题，能够让学生更好地理解和认识二次函数。

3、鼓励学生把所得到的结果推广到一般化，或将问题进一步延伸与拓展，学会预测问题的变化趋势。【教学设备】 多媒体课件 【教学过程】

一、复习旧知 二次函数的性质：

1.二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点 坐标是。当x= 时，函数有最 值，是。

2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点

坐标是.当x= 时，函数有最 值，是。利润问题：

1.总价、单价、数量的关系 2.利润、售价、进价的关系 3.总利润、单件利润、数量的关系

二、自主探究

问题1：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？

变式：已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

学生阅读题目后，教师提出问题，学生思考后，教师引导学生分析：本题中，商品价格上涨，销量会之下降；商品价格下降，销售会随之增加。这两种情况都会导致利润变化，因此本题需考虑两种情况，即需要分类讨论。师生共同完成。

问题2：某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元--70元之间.市场调查发现:若以每箱50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.（1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润Y(元)之间的函数关系式;(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少? 教师引导学生整理分析，点名板演，师生共同点评。

问题3：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大? 教师引导学生整理分析，点名板演，师生共同点评。三：归纳小结：解这类题目的一般步骤

篇12：函数在实际问题中的应用

关键词：函数 函数思想 分段函数 化归 导数

1.数学来源于生活，那么就可以利用数学来解决生活中的某些问题，函数是数学中的重要部分，而它在实际生活中的应用也非常广泛.但对于实际问题与数学问题之间又有一些小的差别，所以解决函数型应用问题就有所不同，应该注意.

（2）在实际问题中的最大值或最小值时，一般是先求出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内有一驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值.这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.

3.解决函数型应用问题的主要步骤

①阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义.

②根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立目标函数，将实际问题转化为数学问题.

③进行标准化设计，即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决.

综上所述，函数概念在现代数学和科学技术领域有着广泛的应用，众多数学家从几何代数直至对应集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，然后利用函数思想分析问题和解决问题，而复杂的问题是由简单的问题构成的。因此，解决复杂问题的思路就是把它转化为简单的或易于解决的问题，对于函数问题而言，就是利用函数的基本性质，把复杂的问题转化为易于解答或简单的函数问题，最终解决问题.

参考文献：

[1]人民教育出版社中学数学室.代数上册.人民教育出版社，1995.

[2]华东师范大学数学系.数学分析上册.高等教育出版社，1980.

篇13：二次函数的实际应用的反思

1.已知 函数y= x2-x-12，当函数 y随x的增大而减小 时，x的取 值范围是( )

A. x<1 b=“” x=“”>1 C. x>- 4 D . -4

2.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果 以 单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验， 提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件， 如果提高售价，才 能在半月内获得最大利润?

3. 某地要建造一个圆 形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相 同的`抛物线路 径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图(1)所示.图(2)建立直角坐标系，水流喷出的高度y( 米)与水平距离x(米)之间的关系是 .请回答下列问题：

(1) 柱子OA的高度是多少米?

(2) 喷出的水流距水平面 的最大高度是多少 米 ?

(3) 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?

4.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用 “撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v 2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度.

① 列表表示I与v的关系;

② 当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍 ?

5. 如图，正 方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边 上，若AE=x， 正方形EFGH的面积为y.

(1) 求出y与x之间的函数关系式;

篇14：二次函数的实际应用的反思

第2课时 二次函数与商品利润

教

学

目

标 知识技能：

①会根据实际问题列二次函数，并能根据实际情况确定自变量的取值范围； ②使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题。方法过程：

让学生通过阅读、合作讨论、动手画草图、分析、对比，能找出实际问题中的数量关系，揭示两个变量的关系，培养学生结合图形与其性质解决问题的能力 解决问题：

通过两个变量之间的关系，进一步体会二次函数的应用，体验数形结合思想。情感态度：

通过具体实例，让学生经历应用二次函数解决实际问题得全过程，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点。

重点：培养学生解决实际问题，综合解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法。难点：对实际问题中变量和变量之间的相互依赖关系的确定。教学过程： 基础扫描

1.二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3，顶点坐标是(3，5)。当x= 3 时，y的最小 值是 5。

2.二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4，顶点坐标是(-4，-1)。当x=-4 时，函数有最 大 值是-1。

3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2，2 时，函数有最 小 值，顶点坐标是(2，1).当x= 是 1。

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。

如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？

自主探究

问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨 价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该 商品应定价为多少元？

分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元； 设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润（20+x）元，每周的销售量可表示为 可表示为（300-10x）件，一周的利润可表示为(20+x)(300-10x)元，要想获得6090元利润可 列方程(20+x)(300-10x)=6090。

合作交流 问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市 场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时，商场能获得最大利润？

问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件； 每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y =(60-40+x)(300-10x)(0≤x≤30)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x)+6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）

解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)怎样确定x 的取值范围 =(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0≤x≤20）所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定 价能使利润最大了吗? 答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得 最大利润为6250元.解决这类题目的一般步骤

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.当堂检测

1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元 时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元

2.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场 调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500 件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售 出100件.（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种 小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关 系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销 售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）

解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）

篇15：二次函数的复习教学反思

在进行二次函数的复习教学中，我立足于在初中数学函数教学中的地位，着眼于中考方向，根据学生对二次函数的学习及掌握的情况，从梳理知识点出发采用以习题带知识点的形式，精心地准备了《二次函数》的第一节复习课，教学重点为二次函数的图象性质及应用，教学难点为a、b、c与二次函数的图象的关系。

最初，“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”这一相关性质复习设计中安排了3个训练题目，其中第（2）小题侧重在抛物线的对称性与增减性，集体备课后我进一步认识了课标要求河北省中考命题评价方向，在复习侧重方向上作了调整：加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练，从而删去原例（2）增加新例（2）另外还预想借图象识别2a与b的关系将是本节课的一个难点。

本节课在二次函数复习树中拉开了序幕，通过建立函数体系回忆了二次函数的定义，其图象与性质及与一次、反比例函数图象的综合应用，相继进行，但此环节中“2a与b的关系”学生没有提到，迫于突破此难点，我让学生观察课例图象，并进一步引导观察对称轴的具体位置后，仅有十几个学生准确理解、掌握，于是我进一步的分析“2a与b的关系”由对称轴的具体位置决定，并说明由a＞0与b＞0能推导出2a+b＞0的方法仅适于此题，但效果不尽人意，仍有一部分学生应用此法解决相关问题。本知识点预设6分钟完成而实际用了15分钟。如此导致处理

二、2、（2）题时间紧张，使得重点不凸现。将第（3）题留为课后作业，来了个将错就错，为下一节课复习“二次函数与二元一次方程”的关系巧作铺垫。