八上勾股定理的应用

八上勾股定理的应用（通用14篇）

篇1：八上勾股定理的应用

2．7勾股定理的应用

2．7勾股定理的应用(1)教学目标：

1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．

2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．

教学过程：

1．情境创设

本课时的教学内容是勾股定理在实际中的应用。除课本提供的情境外，教学中可以根据实际情况另行设计一些具体情境，也利用课本提供的素材组织数学活动。比如，把课本例2改编为开放式的问题情境：

一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流

创设学生身边的问题情境，为每一个学生提供探索的空间，有利于发挥学生的主体性；这样的问题学生常常会从自己的生活经验出发，产生不同的思考方法和结论(教学中学生可能的结论有：底端也滑动 0.5m；如果梯子的顶端滑到地面上，梯子的顶端则滑动8m，估计梯子底端的滑动小于8m，所以梯子的顶端下滑0.5m，它的底端的滑动小于0.5m；构造直角三角形，运用勾股定理计算梯子滑动前、后底端到墙的垂直距离的差，得出梯子底端滑动约0.61m的结论等)；通过与同学交流，完善各自的想法，有利于学生主动地把实际问题转化为数学问题，从中感受用数学的眼光审视客观世界的乐趣．

2．探索活动

问题一

在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米?

组织学生尝试用勾股定理解决问题，对有困难的学生教师给予及时的帮助和指导．

问题二

从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流．

设计问题二促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题．教学中学生可能会有多种思考．比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大；②因为梯子顶端下滑到地面时，顶端下滑了8m，而底端只滑动4m，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的距离大；③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m，即顶端下滑2m时，底端到墙的垂直距离是8m，即底端电滑动2m等。教学中不要把寻找规律作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法

3．例题教学

课本的例1是勾股定理的简单应用，教学中可根据教学的实际情况补充一些实际应用问题，把课本习题2.7第4题作为补充例题．通过这个问题的讨论，把“32+b2=c2”看作一个方程，设折断处离地面x尺，依据问题给出的条件就把它转化为熟悉的会解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，从中可以让学生感受数学的“转化”思想，进一步了解勾股定理的悠久历史和我国古代人民的聪明才智．

4.小结

我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到

把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．

2．7勾股定理的应用(2)教学目标

1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．

2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．

教学过程：

1．情境创设

本课时的教学内容是勾股定理在数学内部的应用．课本设计用勾股定理探索一些无理数的活动，与本章第1节的“实验”，第2节的“由古巴比伦泥板上的一组数画三角形”相类似，都是为了使学生不断地感受“数”与“形”的内在联系、感受数学的整体性．

2．探索活动

问题一

在右图的直角三角形中，利用勾股定理可知 x=2，根据已有的知识，你还知道哪些与这个三角形有关的数据信息吗?

两个锐角都是45°，这个三角形的面积是

1，周长是2+2，斜边上的高、2中线是2．

2问题二

你知道与右图的三角形有关的哪些数据信息呢?

问题三

如果要知道一个等边三角形的有关信息，你认为至少需要哪些信息?与同学交流

问题一是把情境创设中的问题拓宽，为问题

二、问题三作铺垫．通过对问题

二、问题三的讨论交流，使学生主动地在等腰三角形、等边三角形中构造直角三角形，从而把解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题．

3．例题教学

(1)例1的教学中可以根据教学的实际情况，变换问题的条件(比如等边三角形的角平分线是6cm)，以利于学生进一步认识等腰三角形、直角三角形的基本性质及相互关系；

(2)例2是勾股定理及直角三角形判定条件的综合应用，教学中应更多地关注发展学生有条理地思考和表达的能力

4．小结

从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题的一种策略．

篇2：八上勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c与a+b则△ABC不是直角三角形。

3、勾股数 满足c=a+b的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5；（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、三角形的三边长为abcba2)(22+=+,则这个三角形是()

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是()（A）钝角三角形

（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.54、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取 值范围是（）．

A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降 至B′，那么BB′（）．

A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后 分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少 海里

篇3：勾股定理的探究与应用

探究一:如图1所示, 在边长为 c 的正方形中, 有四个斜边为 c 的全等直角三角形, 已知它们的直角边分别为 a、b, 中间是一个小正方形, 现利用这个图证明勾股定理。

证明:由题意得大正方形的面积=c2,

小正方形的面积= (b-a) 2,

直角三角形的面积undefinedab.

由大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积得:

c2= (b-aundefinedab×4.

所以 c2=b2-2ab+a2+2ab.

即:c2=a2+b2.

探究二:把图1中的四个直角三角形重新拼接, 拼成了以 (a+b) 为边的正方形, 如图2所示, 中间是边长为 c 的小正方形, 现用图2来证明勾股定理:

证明:大正方形的面积= (a+b) 2,

小正方形的面积=c2,

直角三角形面积undefinedab.

由大正方形的面积=小正方形面积+4个直角三角形面积, 得:

(a+b) 2=cundefinedab×4,

a2+2ab+b2=c2+2ab,

所以 a2+b2=c2. 即:c2=a2+b2.

探究三:也可以把图1、图2拼接为图3, 证明勾股定理。

证明:如图3所示, 大正方形的面积= (a+b) 2, 小正方形的面积=c2, 直角三角形的面积undefinedab.

据图3, 以 c 为边长的小正方形面积+4个直角三角形面积=cundefinedab×4=c2+2ab, 这与大正方形面积相等。

即: (a+b) 2=c2+2ab,

a2+2ab+b2=c2+2ab,

所以 a2+b2=c2.

探究四:两个全等的直角三角形 ABC 和 BED 的两直角边分别为 a、b, 斜边为 c, 与一个以 c 为直角边的等腰直角三角形 ABE 拼成如图4所示的直角梯形, 也可以用该图来证明勾股定理。

证明:直角梯形的面积=2个全等的直角三角形面积+1个等腰直角三角形的面积。

直角梯形的面积undefined (a+b) (a+b) undefined (a+b) 2.

三个直角三角形拼成图形的面积undefinedabundefinedc2=abundefinedc2.

所以undefined (a+b) 2=abundefinedc2,

即:a2+b2=c2.

探究五:如图5所示 , 已知在等腰直角三角形的外部, 分别以腰和斜边为边作三个正方形, 用以一个小方格为1个单位面积, 计算出三个正方形的面积。

证明:以腰 AB、BC 为边长的小正方形面积=32=9, 以斜边 AC 为边长的正方形面积=大正方形 HBDF 的面积-4个全等直角三角形的面积undefined, 而两个小正方形面积的和=9+9=18, 所以有以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积, 若以 a、b 表示两直角边, c 表示斜边, 就有 a2+b2=c2, 即两直角边的平方和, 等于斜边的平方。

探究六:如图6, 每个小正方格的面积均为1, 分别算出图中三个小正方形的面积, 看看能得出什么结论?

证明:正方形 ACDE 面积为22=4, 正方形 BCFG 的面积为32=9, 正方形 ABHK 的面积=大正方形 CMNQ 的面积-四个全等直角三角形面积undefined, 而4+9=13即undefined, 那么在直角三角形中, 以两直角边为边长的小正方形的面积的和, 等于以斜边为正方形的面积, 若以 a、b 为两直角边, c 为斜边, 有 a2+b2=c2.

勾股定理的多种证法, 可以开拓同学们的思路, 提高学习兴趣, 下面请思考:能不能运用勾股定理去解析直角三角形呢?

勾股定理反应了直角三角形各边之间的关系, 是我们求线段长度最常用的方法之一。一般地, 只要几何图形中出现了直角三角形, 我们首先想到的是以勾股定理为等量关系, 进行求解。勾股定理的应用, 其大体分为两类:一类是和几何图形有关的线段长度求解;一类是解决生活中的距离等问题。

例1 如图7所示, 在Rt△ABC 中, 求 AC.

解:根据勾股定理, AC2=AB2-BC2=102-62=64,

∴ACundefined

例2 如图8所示, 在Rt△ABC 中, 求 AB的长.

解:根据勾股定理, AB2+AC2+BC2=152+82=289,

∴ABundefined

例3 如图9所示, 厂门的上方是一个半圆, 一辆装满货物的卡车, 宽1.6m、高2.6m, 这辆卡车能否通过厂门 (要求卡车的上端以门的距离不小于0.2m)

解:如图所示, 由题意可知

OA=2.6-2.3=0.3 (m) ,

OBundefined

在Rt△OAB 中, 根据勾股定理得

AB2=OB2-OA2=12-0.32=0.91,

所以 ABundefined

所以在大门2.6m处的上方宽度为0.95×2=1.9 (m) .

由于1.9m>1.6m, 即卡车高2.6m处厂门宽1.9m, 比车宽1.6m大, 所以这辆卡车能通过厂门。

例4 一根70cm的木棒要放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中, 能放进去吗? (提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线)

解:如图10所示, 在Rt△ABC 中, 根据勾股定理得:

AC2=AB2+BC2=302+402=502, 所以 AC=50

由于50<70,

故沿 AC 所在线段放不进去。

在Rt△BFC 中, FC2=BC2+BF2=402+502=4100, FCundefined

∴沿 FC 所在线段放不进去。

在Rt△AEC 中, EC2=AC2+AE2=502+502=5000

所以 ECundefined

由于70.7>70,

篇4：勾股定理的实际应用

例1 （2013年贵州省安顺市中考题）如图1，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A.8米B.10米

C.12米D.14米

分析根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可求出两点之间的距离。

解 如图1，设大树高为AB＝10 m，小树高为CD＝4 m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是长方形，连接AC，所以EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6 m，在Rt△AEC中，AC＝■＝■=10 m，故答案应选B。

点评 本题考查勾股定理的运用，善于观察题目的信息是解题的关键。

二、确定车子是否超速

例2 （2013年辽宁省本溪市中考题）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图2，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/小时，若测得某校车从点B到点C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由。（参考数据：■＝1.41，■＝1.73）

分析 过点D作DE⊥AB于点E，可得△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，计算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，从而可判断校车是否超速。

解 过点D作DE⊥AB于点E，因为∠CDB＝75°，所以∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，因为∠CBD＝∠EBD，∠DCB＝∠DEB，BD＝BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD＝DE。

在Rt△ADE中，因为∠A＝60°，所以∠ADE＝30°。又因为AD＝40米，所以AE＝20米。

由勾股定理，得DE＝20■米，故AC＝AD+CD=AD+DE＝(40+20■)米。

在Rt△ABC中，因为∠A＝60°，所以∠ABC＝30°，AB＝2AC=(80+40■)米，BC＝（40■+60）米。

所以这辆车在BC段的速度＝（40■+60）÷10＝（4■+6）米/秒≈12.92米/秒＝46.512千米/小时＜50千米/小时，所以该车没有超速。

点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC的长度，需要运用两次勾股定理。

三、求楼的高度

例3 （2013年湖北省鄂州市中考题）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高。小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图3所示，其中矩形CDEF表示楼体，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，A、C、D、B四点在同一直线上，问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由。（参考数据：■≈1.73，■≈1.41，■≈2.24）

分析 （1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD＝150，求出x的值即可。（2）先算出20层楼的高度，然后和上一问求出的x的值进行比较即可判断谁的观点正确。

解（1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，因为∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，所以AF＝2x，BD＝x，由勾股定理，得AC＝■x，所以■x+x＝150－10，解得x＝■＝70×（■－1），所以楼高70×(■－1)米。

（2）因为x＝70×(■－1)≈70×(1.73-1)＝70×0.73＝51.1＜3×20，所以我支持小华的观点，这楼不到20层。

点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解。

四、求梯子的滑行距离

例4 （2013年内蒙古包头市中考题）如图4，一根长6■米的木棒AB，斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，与地面的倾斜角∠ABO为60°。当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′。

（1）求OB的长；

（2）当AA′＝1米时，求BB′的长。

分析 （1）由已知数据求解即可。（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长。

解（1）在Rt△AOB中，根据题意可知，AB＝6■，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝30°，所以OB＝3■，即OB的长为3■米。

（2）根据题意可知，A′B′＝AB＝6■米，而在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝9米。

因为OA′＝OA－AA′，AA′＝1米，所以OA′＝8米。

在Rt△A′OB′中，由勾股定理得OB′＝■=2■米，所以BB′＝OB′－OB＝（2■-3■）米。

点评 本题以生活中的梯子为背景，考查了勾股定理的实际应用。

篇5：“勾股定理的应用”说课稿

大塘学校

李丽霞

一.说教材

本课时是华师大版八年级(上)数学第14章第二节内容,是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一.勾股定理是我国古数学的一项伟大成就.勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系,它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据,也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法,这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面.教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际分析,使学生获得较为直观的印象,通过联系和比较,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用.据此,制定教学目标如下: 1．知识和方法目标:通过对一些典型题目的思考,练习,能正确熟练地进行勾股定理有关计算,深入对勾股定理的理解.2．过程与方法目标:通过对一些题目的探讨,以达到掌握知识的目的.3．情感与态度目标:感受数学在生活中的应用,感受数学定理的美.教学重点:勾股定理的应用.教学难点:勾股定理的正确使用.教学关键:在现实情境中捕抓直角三角形,确定好直角三角形之后,再应用勾股定理.二.说教法和学法

1．以自学辅导为主,充分发挥教师的主导作用,运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程.2．切实体现学生的主体地位,让学生通过观察,分析,讨论,操作,归纳理解定理,提高学生动手操作能力,以及分析问题和解决问题的能力.3．通过演示实物,引导学生观察,操作,分析,证明,使学生获得新知的成功感受,从而激发学生钻研新知的欲望.三.教学程序

本节内容的教学主要体现在学生的动手,动脑方面,根据学生的认知规律和学习心理,教学程序设置如下:(一)．回顾

问勾股定理的内容是什么? 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,今天我们来学习这个定理在实际生活中的应用.（二）

．新授课例

1.如图所示,有一个圆柱,它的高AB等于4厘米,底面周长等于20厘米,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的C点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路线是多少？（课本P57图14.2.1）

①学生取出自制圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线.思考:那条路线最短? ②如图,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从A点到C点的最短路线是什么?你画得对吗? ③蚂蚁从A点出发,想吃到C点处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路线是什么?

思路点拨:引导学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线;提醒学生将圆柱侧面展开成长方形,引导学生观察分析发现“两点之间的所有线中,线段最短”.学生在自主探索的基础上兴趣高涨，气氛异常的活跃，他们发现蚂蚁从A点往上爬到B点后顺着直径爬向C点爬行的路线是最短的！我也意外的发现了这种爬法是正确的，但是课本上是顺着侧面往上爬的，我就告诉学生：“课本中的圆柱体是没有上盖的”。只有这样课本上的解答才算是完全正确的。例2．(课本P58图14.2.3)思路点拨:厂门的宽度是足够的,这个问题的关键是观察当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H,寻找出Rt△OCD，运用勾股定理求出 2.3m CD= = =0.6,CH=0.6+2.3=2.9>2.5可见卡车能顺利通过.详细解题过程看课本 引导学生完成P58做一做.三．课堂小练 1．课本P58练习第1,2题.2．探究:

一门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板是否能从门框内通过?为什么?

四．小结

直角三角形在实际生活中有更为广泛的应用希望同学们能紧紧抓住直角三角形的性质，学透勾股定理的具体应用，那样就能很轻松的解决现实生活中的许多问题，达到事倍功半的效果。

五．布置作业

篇6：勾股定理的应用教学反思

勾股定理的应用教学反思

一、教师我的体会：

①、我根据学生实际情况认真备课这节课，书本总共两个例题，且两个例题都很难，如果一节课就讲这两题难题，那一方面学生的学习效率会比较低，另一方面会使学生畏难情绪增加。所以，我简化教材，使教材易于操作，让学生易于学习，有利于学生学习新知识、接受新知识，降低学习难度。

把教材读薄，②、除了备教材外，还备学生。从教案及授课过程也可以看出，充分考虑到了学生的年龄特点：对新事物有好奇心，但对新知识的钻研热情又不够高，这样，造成教学难度较大，为了改变这一状况，在处理教材时，把某些数学语言转换成通俗文字来表达，把难度大的运用能力降低为难度稍细的理解能力，让学生乐于面对奥妙而又有一定深度的数学，乐于学习数学。

③、新课选用的例子、练习，都是经过精心挑选的，运用性强，贴近生活，与生活实际紧密联系，既达到学习、巩固新知识的目的，同时，又充分展现出数学教学的重大特征：数学源于生活实际，又服务于生活实际。勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务。

④、使用多媒体进行教学，使知识显得形象直观，充分发挥现代技术作用。

篇7：勾股定理的应用说课稿

一.说教材 ：

本课是华师大版八年级(上)数学第14章第二节内容,是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一.勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系,这一定理被广泛应用于数学和实际生活的各个方面.教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际分析,使学生获得较为直观的印象,通过联系和比较,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用.据此,制定教学目标如下: 1．知识和方法目标:应用勾股定理解决简单的问题。

2．过程与方法目标:.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用的方法，明确应用的条件。

3．情感与态度目标:培养合情的推理能力，体会数形结合的思维发法，激发学习兴趣。

教学重点:勾股定理的应用.教学难点:勾股定理的正确使用.难点突破关键:在现实情境中捕抓直角三角形,确定好直角三角形直角边和斜边之后,再应用勾股定理.二.说教法和学法

1．以自学辅导为主,充分发挥教师的主导作用,运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程.2．切实体现学生的主体地位,让学生通过观察,分析,讨论,操作,归纳理解定理,提高学生动手操作能力,以及分析问题和解决问题的能力.3．通过演示实物,引导学生观察,操作,分析,证明,使学生获得新知的成功感受,从而激发学生钻研新知的欲望.三.教学程序

篇8：浅谈勾股定理的教学与应用

一、丰富课堂内容, 激发学生学习求知欲望

在教学中, 教师可通过导入课外内容、采用设问等方式作为课堂开课的切入点.如, “在地球之外的浩瀚的宇宙中, 有没有外星人?”“如果有的话, 我们如何与他们进行联系?”“我国著名的数学家华罗庚曾建议:让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间, 其中一个就是边长为3∶4∶5的直角三角形.你知道他为什么会提出这样的建议吗?”等等.通过这样一系列的问题, 牢牢抓住了学生的注意力——“古老的勾股定理, 竟然成为了我们与外星人之间的联络密码!”学生在感叹人类古老文明的同时体会到勾股定理的重要性.

教师再通过一系列生活中随处可见的直角三角形实例, 引起学生的共鸣.如, 让学生欣赏传说故事:相传2500年前, 毕达格拉斯在朋友家做客时, 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.通过故事使学生明白:科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的;生活中处处有数学, 我们应该学会观察、思考, 将学习与生活紧密结合起来.

二、剖析定理结构, 让学生正确理解和应用定理

在教学中, 教师要把勾股定理的理解和应用放在比较突出的位置, 学生通过对一些典型题目的思考、解答, 正确、熟练地进行勾股定理有关计算, 加深对勾股定理的理解应用.

【例1】 等边三角形的高是h, 求它的面积.

说明:这需要利用勾股定理的简单变形求解.

解析:△ABC为等边三角形, 作AD⊥BC, 垂足为D, 则AD=h.

因为∠B=60°, AD⊥BC, 所以∠BAD=30°.

设BD=x, 则AB=2x, 且有x2+h2= (2x) 2, 解之得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}h.$

因为$BC=2BD=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$,

所以$S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{\sqrt{3}}{3}h\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{3}h{}^2$,

所以其面积是$\frac{\sqrt{3}}{3}h{}^2.$

三、灵活运用定理, 适当提高例题的难度

俗话说:学以致用.教学中, 要引导学生灵活应用定理, 才能在考试中应对难度较大的问题.

【例2】 △ABC中, AB=15 cm, AC=24 cm, ∠A=60°, 求BC的长.

说明:本题不是直角三角形, 而要解答它可以通过构造直角三角形, 用勾股定理来解.

解析:△ABC是一般三角形, 若要求出BC的长, 只能将BC置于一个直角三角形中.作CD⊥AB, 垂足为D,

在Rt△ACD中, ∠A=60°,

所以∠ACD=90°-60°=30°,

则$AD=\frac{1}{2}AC=12(\text{c}\text{m}).$

又因为CD2=AC2-AD2=242-122=432,

DB=AB-AD=15-12=3.

∴在Rt△BCD中,

BC2=DB2+CD2=32+432=441,

则BC=21 (cm) .

三、利用多媒体, 让学生深化理解勾股定理

几何图形可以直观地表示出来, 人们认识图形的初级阶段中主要依靠形象思维.随着信息技术的发展与普及, 直观实验手段在教学中日益增加, 这些对于几何学的学习起到积极作用.特别是随着教学研究的不断深入, 直观实验会在启发诱导、化难为易、检验猜想等方面进一步大显身手.

笔者在设计数学课《勾股定理》中还采取了多媒体技术辅助教学, 引用了一系列的多媒体事例, 视频片段、音频片段、文字、图形等, 使“勾股定理”这一种主题得到生动形象的体现, 同时使学生在原有知识的基础上, 获得了新的知识, 进一步提高了教学的质量.

篇9：浅谈勾股定理的应用

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.勾股定理为：两直角边的平方和等于斜边的平方表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

勾股定理是初中数学，重要的一部分，在实际中如果能巧妙的运用勾股定理，会极大提高学生学习数学的乐趣。

题型一：利用勾股定理测量长度

例题 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

题型二：勾股定理和逆定理并用

例题 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且 那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题可以发现规律 ，可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a，AF=3 a，BF= a，那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF，EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。

题型三：折叠问题

例题 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

题型四：旋转问题：

如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。

变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC的边长.

分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

题型五：关于勾股定理在实际中的应用：

例题、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距離为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

分析此题是把实际问题转化数学中勾股定理来解决的。

解：作AB垂直于MN交MN于B点，可知AB=80m<100m

故会受到影响

取B点右侧点C，连AC，设AC=100m

根据勾股定律BC=60，可知拖拉机在BC上行驶会影响学校

相应的，取B点左侧点D，设AD=100m

DB=60，可知拖拉机在DB上行驶会影响学校

故拖拉机在DC上行驶会影响学校，DC=BC+DB=120m

18km/h=5m/s 120/5=24秒

学校受到的影响的时间为24秒

题型六：关于最短性问题

例题如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长是多少？

分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中，即转化思想.

求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的AB长为2π，BS为2，根据勾股定理，在RtΔABS中，得AS=2 所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2 。

篇10：《勾股定理的应用》教学设计

——解决立体图形表面上最短路线的问题

贞丰县第二中学 李政法

一、内容及内容解析

1、内容

勾股定理的应用——解决立体图形表面上最短路线的问题。

2、内容解析

本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展，在初中阶段，勾股定理在求两点间的距离时，沟通了几何图形和数量关系，发挥了重要的作用，在中考中有席之地。启发学生对空间的认知，为将来学习空间几何奠定基础。

二、教学目标

1、能把立体图形根据需要部分展开成平面图形，再构建直角三角形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。

2、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中，培养学生的合作交流能力，体验数学学习的实用性，增强自信心，体现成功感。

三、教学重难点

【重点】：探索、发现立体图形展开成平面图形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。

【难点】：寻找长方体中最短路线。

四、教学方法

本课采用学生自主探索归纳教学法。教学中，学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，通过观察、思考、操作，归纳。

五、教学过程

【复习回顾】

右图是湿地公园长方形草坪一角，有人避开拐角在草坪内走出了一条小路，问这么走的理论依据是什么？若两步为1m，他们仅仅少走了几步？

目的：1、复习两点之间线段最短及勾股定理，为新课做准备；2、激起学生保护环境意识和对社会主义核心价值观“文明、友善”的践行。

思考：

如图，立体图形中从点A到点B处，如何找到最短路线呢？

目的：引出课题。

【台阶中的最值问题】

三级台阶示意图如图所示，每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm，请你想一想，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着台阶面爬行到点 B，爬行的最短路线是多少？

老师活动：如果A、B两点在同一个平面上，直接连接两点即可求出最短路。但现在A、B两点不在同一个平面上，你们会怎样解决？（若学生想不到把立体图形展成平面图形时，适当引导学生用转化思想，把立体展开为平面）。

学生活动：学生独立完成，得出最短路线，完成解答过程；上台展示。

目的：学生能正确选择出最短路线，能否用流畅简洁的语言展示。

【小结】

展——>立体展开成平面

找——>找起点和终点

连——>连接起点和终点

构——>构建直角三角形

算——>运用勾股定理

目的：1、学生根据梯子模型，动手体验、感知，激发学习兴趣和帮助理解知识；

2.培养学生独立学习、归纳、排除能力。

【长方体中的最值问题】

如图，一只蚂蚁从长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 B 处（三条棱长如图所示)，怎样走路线最短？最短路线长为多少？

活动一

教师活动：根据台阶中获得的经验，你会怎样解决这个问题？

学生活动：小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，展示，汇总各小组的答案（上台展示）；

目的：在台阶的基础上提升难度变为长方体，学生由浅入深，此环节培养学生小组合作交流能力。

活动二

教师活动：若把高、底长、宽换成a、b、c.学生活动：在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，比较，总结得出最短路线，结论：当长方体最长棱单独作为一直角边，较短的两边组成另一直角边时，距离最短。即当a>b>c时，最短为：

.目的：引导学生发现解决问题的最佳方法，学以致用。

【看谁算得又对又快】

1、在长2cm、宽1cm、高是4cm的长方体纸箱外部，一只蚂蚁从顶点A沿表面爬到B点，爬行最短的路线为 cm.

2、在长、宽都是3cm、高是8cm的长方体纸箱外部，用一根绳子把点A、点B连接起来，那么绳子的长度至少需要是 cm.3、如图是一个棱长为5的正方体，那么点A到点B的最短距离是。若棱长为a时，那么点A到点B的最短距离是。

目的：1.进行课堂检验，及时反馈，进行弥补；

2.从一般（长方体）到特殊（正方体）的转化。

【课堂小结】

目的：1．回顾问题的处理方法，知识形成，有效整合；2．培养学生数学思想、方法，数学素养。

【作业：必做题】

如图,圆柱体玻璃杯的底面直径为6 cm ,高为10 cm ,在杯内壁离杯口2 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时与点 B 相对的外壁点 A 处有一只蚂蚁，则蚂蚁从点 A 出发去点 B 处吃蜂蜜,则蚂蚁爬行的最短路程。（π取3 ,杯壁厚度不计）

【提高题】

1、如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm.点M离点B21cm.（1）点若一只蚂蚁沿长方体外表面从点M爬到点D1，则爬行的最短路程是多少？

目的：1.有效巩固知识点，增强知识的理解和运用；

2.分层作业满足不同层次学生，让部分学生在已有的经验上进行提高题变式的理解，给部分学生留思考空间，体验获取知识的成就感。

篇11：勾股定理逆定理的五种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。下面举例说明。

一.用于判断三角形的形状

例1.如图1，中，求证：，是直角三角形，证明：由已知得：，即c是最长边

是直角三角形

二.用于求角度

例2.如图2，点P是等边求的度数

内一点，且，，解：因结PP”，则，以点B为定点，将

旋转到达的位置，连为等边三角形

在中

由勾股定理的逆定理知三.用于求边长 例3.如图3，在，中，D是BC边上的点，已知，，求DC的长。

解：在 中，由可知

又由勾股定理的逆定理知 在中

四.用于求面积 例4.如图4，已知ABCD的面积。，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形

解：连结AC，在在中

中，由勾股定理得

由勾股定理的逆定理知

五.用于证明垂直

例5.如图5，已知正方形ABCD中，，求证：

篇12：八上勾股定理的应用

这一节课的知识是前一节知识基础上的延伸，有一定的难度，但大部分同学都能做到积极思考问题，遇到障碍，只要在老师的适当点拨下，都能很好、很快把问题解决掉。的确对同学们课堂上的如此表现让我惊讶，很佩服。在这一节课教学设计时，我自始自终以培养学生能力，促进学生发展为指导思想，遵循教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿始终。这样充分调动了同学们学习的积极性和主动性，并达到了比较理想的效果。

在本章的教学中主要引导学生掌握两种数学思想方法：

1．转化的思想方法

在分析解决问题的过程中，将实际问题转化为勾股定理这一模型，为分析问题和解决问题创造有利条件． 2．方程的思想方法

在求有关线段的长度时，利用直角三角形这一基本图形，运用勾股定理巧设未知数，建立方程达到解决问题的目的．

在教学过程中，一、我将教学模式从传统的以教师讲授为主转变为以学生动脑动手自主研究、小组学习讨论交流为主，把数学课堂转为“数学实验室”，学生通过自己的活动得出结论、使创新精神与实践能力得到了发展。

二、学生在课堂中已经能够应用的非常灵活，这一点非常喜人．

反思成功的原因：第一、教学方法有了创新，采取了互动式教学，对学生来说很新奇。第二、采用填空式方式，将难点分散降低。第三、鼓励每个学生，给每个学生展示自己的机会，调动中下等学生，给他们机会发言。

篇13：八上勾股定理的应用

【案例1】

师: (放幻灯片, 逐一显示下面图形) .图1中的x等于多少?

生:

师:图2中的x, y, z分别是多少?

生:x, y, z分别是

师:如果沿着图2继续画直角三角形, 还能得到哪些无理数?

生:还能得到

师:利用图2你们能在数轴上画出表示的点吗?

生:能! (让一名学生利用图2画出

师:怎样在数轴上画出表示的点?

生:以原点为圆心, 以长为半径画弧交负半轴于一点, 这点就表示

师:在数轴上表示的点怎样画出?

……

这个案例运用了数形结合的思想, 用直角三角形三边的长度来研究直角三角形的边的性质, 用作一个满足一定条件的直角三角形来构造一个带有根号的无理数, 充分地体现了数形结合思想的应用.

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”或“以数解形”, 即通过抽象思维与形象思维的结合, 可以使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的.

【案例2】

如图3, 分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 则不难证明S1=S2+S3.

(1) 如图4, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 那么S1、S2、S3之间有什么关系? (不必证明)

(2) 如图5, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.

解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a, b, c, 则a2+b2=c2,

(1) S1=S2+S3.

(2) S1=S2+S3.证明如下:

本题从特殊到一般, 从已知到未知, 类比勾股定理的探究过程, 其关键就在于理解勾股定理.当然, 学习了相似三角形的知识后, 还可以继续探究:分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形, 上述结论是否还成立呢?

波利亚曾说过:“类比是一个伟大的引路人.”类比思想是数学学习的重要发现式思维, 它是一种学习方法, 同时也是一种非常重要的创造性思维.

【案例3】

师:在我们的生活中有一些有趣的问题:有一个边长为10尺的正方形水池, 一棵芦苇AB生长在它中央, 高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边, 那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边B′ (如图6) .问水深和芦苇长各是多少?

这个案例运用了转化和方程思想, 题目本身是一个实际问题, 要求出水深和芦苇的长是多少.怎样把水深和芦苇的长的计算这个实际问题转化为数学中的直角三角形问题来解决, 学生是有困难的.教师在教学时注意引导学生用转化的数学思想, 可通过设未知数转化为已知两条直角边求斜边的方程问题来解答.

有些几何问题表面上看起来与代数问题无关, 但是要利用代数方法———列方程来解决, 因此要善于挖掘隐含条件, 要具有方程的思想意识.本案例中设芦苇长为x, AC的长就是芦苇的长减去高出水面的部分, 还有一个隐含的已知条件———边长为10尺的正方形水池, 一棵芦苇AB生长在它中央, 所以BB′就是边长的一半, 这样就可以利用勾股定理来解题了.

【案例4】

在直线l上依次摆放着七个正方形 (如图7) .已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3, 正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4, 则S1+S2+S3+S4=.

分析:本题不可能求出S1、S2、S3、S4的值, 但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S1+S2、S2+S3、S3+S4的值.

解:易证Rt△ABC≌Rt△CDE, ∴AB=CD,

同理可得S1+S2=1, S2+S3=2,

这个案例运用了整体思想, 就是从问题的整体性质出发, 突出对问题的整体结构的分析和改造, 发现问题的整体结构特征, 善于用“集成”的眼光, 把某些式子或图形看成一个整体, 把握它们之间的关联, 进行有目的的、有意识的整体处理.利用整体思想, 不仅会使问题化繁为简, 化难为易, 而且有助于培养学生的创造性思维能力.

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓, 是将数学知识转化为数学能力的桥梁.类型化、机械化的练习只会阻碍学生的数学思维的发展, 只有渗透数学思想方法, 才能使学生正确地进行数学思考.

篇14：应用勾股定理的常见错误

一、忽视定理的使用条件

例1 在边长均为整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长。

错解 由“勾3股4弦5”得AB=5cm。

剖析 只有在直角三角形的条件下,才能应用勾股定理。而本题并未说明△ABC是直角三角形,因此,要用三角形三边的关系求解。

正解 由AB >AC,AB

二、受思维定式的影响

例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长。

错解 第三边长为==5。

剖析 同学们都习惯了“勾三股四弦五”的说法,这意味着两直角边为3和4时,斜边长为5。但这一理解的前提是3、4为直角边。而本题中并未作任何说明,因而所求的第三边可能为斜边,也可能为直角边。

正解 (1)当两直角边为3和4时,第三边长为==5;

(2)当斜边为4,一直角边为3时,第三边长为=。

三、混淆勾股定理及其逆定理的概念

例3 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()。

A.1、2、3 B.32,42,52 C.,, D.,,

错解 选B

剖析 未能区分勾股定理及其逆定理,对概念的理解流于表面形式。判断直角三角形时,应将所给数据进行平方,看是否满足a2+b2=c2的形式。

正解 因为()2+()2=()2,故答案选C。

四、利用勾股定理解题的格式不当

例4 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,求AC的长。

错解 在Rt△ABC中,因为∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,所以由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,所以AC2=AB2-BC2===3。即AC的长是3 cm。

剖析 AC的长确实是3 cm,不过问题出在求解过程中的格式书写不当,即AC2=AB2-BC2≠。

正解 在Rt△ABC中,因为∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,

所以由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,所以AC====3。即AC的长是3 cm。

五、出现漏解的情况

例5 已知:在△ABC中,AB=15 cm,AC=13 cm,高AD=12 cm,求S。

错解 如图1,在Rt△ADB和Rt△ADC中,由勾股定理,得BD====9;CD====5。所以BC=BD+ CD=9+5=14。故S=BC•AD=×14×12=84(cm2)。

剖析 由于给定的条件中并没有给出图形,所以求解时除了要考虑如图1的情况外,还要考虑如图2的情况,即要画出所有可能的图形。错解正是漏掉了如图2的情形。

正解 分两种情况:①如图1,在Rt△ADB和Rt△ADC中,由勾股定理,得BD====9;CD====5。所以BC=BD+ CD=9+5=14。故S=BC•AD=×14×12=84(cm2);②如图2,在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理,得BD====9,CD====5。所以BC=BD-CD=9-5=4。故S=BC•AD=×4×12=24(cm2)。

六、逻辑推理错误

例6 已知:在△ABC中,三条边长分别为a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求∠C的度数。

错解 因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1,所以a2+b2=c2,

所以由勾股定理逆定理可知∠C=90°。

剖析 本题错在逻辑推理错误,一开始列出(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2这个等式,其实就等于默认了a2+b2=c2,这是错误的。

正解 因为a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1;

而c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,所以a2+b2=c2。