大学线性代数知识点

大学线性代数知识点（共6篇）

篇1：大学线性代数知识点

大学代数知识在互联网络中的应用

周进鑫

(北京交通大学数学系，北京100044)

摘要：代数方面的知识是数学工作者的必备基础。本文通过讨论大学代数知识在互联网络对称性研究中的应用，提出大学数学专业学生检验自己对已学代数知识的掌握程度的一种新思路，即思考一些比较前沿的数学问题。

关键词：代数;对称;自同构

基金项目：本文得到国家自然科学基金的资助(编号：11271012)

作者简介：周进鑫(1979-)，男(汉族)，山西大同人，北京交通大学数学系副教授，硕士生导师，博士，研究方向：图的对称性、网络的容错性及可靠性。

一、引言与基本概念

《高等代数》(advanced algebra)和《近世代数》(abstractalgebra)是大学数学专业有关代数方面的两门重要课程。前者是大学数学各个专业最重要的主干基础课程之一，后者既是对前者的继续和深入，也是代数方面研究生课程的重要先修课程之一。这两门课程概念众多，内容高度抽象，是数学专业学生公认的难学课程。甚至，很多学生修完《高等代数》之后，就放弃了继续学习《近世代数》。即使对于那些坚持认真学完这两门课程的学生来讲，也未必能做到“不仅知其然，还知其所以然”，而要做到“知其所以然，还要知其不得不然”就更是难上加难了。众所周知，学习数学，不仅逻辑上要搞懂，还要做到真正掌握，学以致用，也就是“学到手”。当然，做课后习题和考试是检验是否学会的一个重要手段。然而，利用所学知识独立地去解决一些比较前沿的数学问题，也是检验我们对于知识理解和掌握程度的一个重要方法。这样做，不仅有助于巩固和加深对所学知识的理解，也有助于培养学生的创新意识和自学能力。笔者结合自己所从事的教学和科研工作，在这方面做了一些尝试。

互连网络的拓扑结构可以用图来表示。为了提高网络性能，考虑到高对称性图具有许多优良的性质，数学与计算机科学工作者通常建议使用具有高对称性的图来做互联网络的模型。事实上，许多著名的网络，如：超立方体网络、折叠立方体网络、交错群图网络等都具有很强的对称性。()而且这些网络的构造都是基于一个重要的代数结构即“群”。它们的对称性也是通过其自同构群在其各个对象(如：顶点集合、边集合等)上作用的传递性来描述的。

下面介绍一些相关的概念。一个图G是一个二元组(V，E)，其中V是一个有限集合，E为由V的若干二元子集组成的集合。称V为G的顶点集合，E为G的边集合。E中的每个二元子集{u，v}称为是图G的连接顶点u与v的一条边。图G的一个自同构f是G的顶点集合V上的一个一一映射(即置换)，使得{u，v}为G的边当且仅当{uf，vf}也为G的边。图G的全体自同构依映射的.合成构成一个群，称为G的全自同构群，记作Aut(G)。图G称为是顶点对称的，如对于G的任意两个顶点u与v，存在G的自同构f使得uf=v。图G称为是边对称的，如对于G的任意两条边{u，v}和{x，y}，存在G的自同构f使得{uf，vf}={x，y}。

设n为正整数，令Z2n为有限域Z2={0，1}上的n维线性空间。由《近世代数》知识可知，Z2n的加法群是一个初等交换2群。在Z2n中取出如下n个单位向量：

e1=(1，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，…，en=(0，…，0，1)。

●n维超立方体网络(记作Qn)是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei，其中1≤i≤n。

●n维折叠立方体网络(记作FQn)是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei(1≤i≤n)或者v-u=e1+…+en。

●n维交错群图网络(记作AGn)是一个以n级交错群An为顶点集合的图，对于AGn的任意两个顶点u和v，{u，v}是AGn的一条边当且仅当vu-1=ai或ai-1，这里3≤i≤n，ai=(1，2，i)为一个3轮换。

一个自然的问题是：这三类网络是否是顶点对称的?是否边对称的?但值得我们注意的是，这些问题都可以利用大学所学的代数知识得到完全解决。

二、三类网络的对称性

先来看n维超立方体网络的对称性。

定理一：n维超立方体网络Qn是顶点和边对称的。

证明：对于Z2n中的任一向量x=(x1，…，xn)，如下定义V(Qn)=Z2n上面的一个映射：f(x)：u→u+x，u取遍V(Qn)中所有元素。容易验证f(x)是一个1-1映射。(注：这个映射在《高等代数》中已学过，即所谓的平移映射。)而{u，v}是Qn的一条边，当且仅当v-u=ei(1≤i≤n)，当且仅当vf(x)-uf(x)=ei(1≤i≤n)，当且仅当{v(f x)，u(f x)}是Qn的一条边。所以，f(x)也是Qn的一个自同构。这样，任取V(Qn)中两个顶点u和v，则uf(v-u)=v。从而说明Qn是顶点对称的。

下面证明Qn是边对称的。只需证明：对于Qn的任一条边{u，v}，都存在Qn的自同构g使得{ug，vg}={0，e1}，其中0为Z2n中的零向量。事实上，{uf(-u)，vf(-u)}={0，v-u}，其中v-u=ei (1≤i≤n)。显然，e1，…，ei-1，ei，ei+1，…，en和ei，…，ei-1，e1，ei+1，…，en是Z2n的两组基向量。由《高等代数》知识可知存在Z2n上的可逆线性变换t使得t对换e1和ei而不动其余向量。此时易见，若{a，b}是Qn的一条边，则a-b=ej (1≤j≤n)。若j=1，则at-bt=ei;若j=i，则at-bt=e1;若j≠1，i，则at-bt=ej;所以{at，bt}也是Qn的一条边。由定义可知，t是Qn的一个自同构。进一步，{0t，(v-u)t}={0，e1}，即{uf(-u)t，vf(-u)t}={0，e1}。结论得证。

利用和定理一相似的办法，我们进一步可以得到如下定理。

定理二：n维折叠立方体网络FQn是顶点和边对称的。

最后，来决定n维交错群图网络的对称性。

定理三：n维交错群图网络AGn是顶点和边对称的。

证明：首先，来证明AGn是顶点对称的。给定An中的一个元素g，如下定义一个映射：R(g)：x→xg，其中x取遍An中所有元素。容易验证R(g)为AGn顶点集合上上的一个1-1映射。(注：这个映射在有限群论中是一个十分重要的映射，即所谓的右乘变换。)设{u，v}是AGn的一条边，则vu-1=ai或ai-1，这里1≤i≤n。易见，(vg)(ug)-1=vu-1。所以，{vR(g)，uR(g)}是AGn的一条边。因此，R(g)是AGn的一个自同构。这样，对于AGn的任意两个顶点u和v，有uR(g)=v，这里g=u-1v。这说明AGn是顶点对称的。

下面来证明AGn是边对称的。只需证明对于AGn的任一条边{u，v}，都存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，其中e为An中的单位元。给定对称群Sn中的一个元素g，如下定义一个映射：C(g)：x→g-1xg，其中x取遍An中所有元素。由《近世代数》知识可知，交错群An是对称群Sn的正规子群。容易验证C(g)是AGn的顶点集合上的一个1-1映射。(注：这个映射其实就是把An中任一元素x变为它在g下的共轭。这也是有限群论中一个十分常用的映射。)令x=(1，2)，y(j)=(3，j)，j=3，…，n。下面证明C(x)和C(y(j))都是AGn的自通构。取{u，v}为AGn的任一条边，则vu-1=ai或ai-1。从而，vC(x) (u-1) C(x)=(x-1vx)(x -1u-1x)=x-(1 vu-1)x=ai-1或ai。

因此，{uC(x)，vC(x)}也是AGn的一条边。从而说明C(x)是AGn的自通构。同理，若j=i，有vC(y(j))(u-1)C(y(j))=a3-1或a3;若j≠i，则有vC(y(j))(u-1)C(y(j))=ai-1或ai。这说明{uC(y(j))，vC(y(j))}也是AGn的一条边，从而C(y(j))是AGn的自通构。现在，对于AGn的任一条边{u，v}，令g=u-1，则{uR(g)，vR(g)}={e，vu-1}={e，ai}或{e，ai-1}。若i=3，则{e，a3-1}C(x)={e，a3}。而若i ≠3，则{e，ai}C(y(j))={e，a3}而{e，ai-1}C(y(j))={e，a3-1}。由此可见，总存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，结论得证。

至此，完全决定了这三类网络的对称性。不难看出，除了必要的图论概念外，我们的证明主要利用了《高等代数》和《近世代数》的知识。做为上述问题的继续和深入，有兴趣的同学还可以考虑以下问题：

1.这些网络是否具有更强的对称性?比如：弧对称性?距离对称性?

2.完全决定这些网络的全自同构群。

实际上，利用与上面证明相同的思路，结合对图的局部结构的分析，利用一些组合技巧，这些问题也可以得到解决。

三、小结

大学所学代数知识在数学领域中的许多学科、乃至其他领域都有重要的应用。笔者认为任课教师可以根据自己所熟悉的科研领域，选取一些与大学代数知识有紧密联系的前沿数学问题，引导一些学有余力的学生开展相关研究，甚至可以吸引一些本科生加入自己的课题组。当然，教师要给予必要的指导，比如讲解相关背景知识、必要的概念和方法等。指导学生从相对简单的问题入手，循序渐进，由易到难，逐步加深对代数学知识的系统理解，积累一些经验，为考虑进一步的问题奠定基础。

本文所提到的利用《高等代数》和《近世代数》的知识来研究网络的对称性就是笔者在教学工作中曾做过的一些尝试。在该方面，笔者指导完成了由三名大三学生参加的国家级大学生创新实验项目一项。这样以来，学生在学习经典数学知识的同时，也可以思考一些比较前沿的数学问题;学生在巩固已学知识的同时，也可以激发其学习兴趣，训练学生的逻辑思维，培养学生的创新思维，以及独立发现问题和解决问题的能力。

篇2：大学线性代数知识点

线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对考研的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。

矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。

特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。

由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。

(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

(3)非齐次线性方程组与线性表出的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。

本章知识要点如下：

1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

四、二次型

这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。

本章核心要点如下：

1. 用正交变换化二次型为标准型。

篇3：大学线性代数知识点

一、注重对基本概念的理解与把握

高等代数的概念很多,且有些比较抽象,难以理解.在学习过程中,我们一定要准确把握住概念的内涵,并注意相关概念之间的区别与联系.

例如,实矩阵A与B等价、相似、合同这三种关系之间的区别与联系.

矩阵A与B等价是矩阵A可以经过初等变换化为B;两个同阶方阵A与B相似是指存在一个同阶的可逆的方阵P,使P-1AP=B;两个同阶实对称方阵A与B合同是指存在一个可逆的同阶方阵C,使CTAC=B.由矩阵等价、相似、合同的定义易知:(1)两个矩阵等价,前提是两个同型矩阵,不一定要求是两个同阶的方阵;两个矩阵相似前提是两个同阶的方阵,不一定要求是两个实对称矩阵;两个矩阵合同是相对于两个同阶的实对称方阵而言的;(2)这三种关系都是等价关系,即满足自反性、对称性与传递性;(3)当两矩阵等价、相似或是合同时,必有两矩阵的秩相等.当两个矩阵A与B的秩相等时,它们等价于同一个标准形,所以根据传递性它们等价,也就是说,两个同型矩阵等价的充要条件是它们的秩相等.从而由两个矩阵相似或合同可得出两矩阵等价,但两矩阵等价显然不能得出两矩阵相似或合同,因为等价可以不是方阵;两个方阵A与B相似,很容易得出|A|=|B|,而两个方阵A与B合同,不一定有|A|=|B|,即合同并不一定相似,又因为两矩阵相似不一定是实对称的,所以两矩阵相似不一定得出两矩阵合同,但当A与B是两个对称实矩阵且相似时,可得出两矩阵合同.

又如,两同型矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2,…,βm)等价以及向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价的区别与联系.

由上例知,两个同型矩阵A与B等价的充要条件是秩R(A)=R(B),而向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表示,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表示,也就不能得出向量组等价,因此,由向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价,可知矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2,…,βm)等价,但矩阵A与B等价并不能得出这两个向量组等价.但要注意,若两个向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…βn等价,当m≠n时,A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2,…,βn)不可能等价,因为此时两个矩阵不是同型矩阵.

二、注重基本方法及基本运算的运用

高等代数中运算法则较多,学习时应注意归纳,整理清楚,多进行基本知识与基本技能的训练,在训练过程中总结经验,对一些常用的基本运算、基本方法及基本性质要训练掌握.

三、注重各知识点的内在联系,努力提高综合分析能力

高等代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,学习时要不断地归纳总结,努力搞清各知识点的内在联系,使所学知识融会贯通.

四、注重逻辑性与叙述表述

高等代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以反映学生对主要原理、定理的理解与掌握程度,同时可以反映学生的抽象思维能力、逻辑推理能力.在学习过程中,应当搞清公式、定理成立的条件,同时还应注意语言表述表达的准确性、简明性.

例如,证明线性空间中的维数公式,如果V1,V2是线性空间V的两个子空间,那么维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2).

这是一个非常简单的公式,但它体现了线性空间中两个子空间的维数与它们交与和的子空间的维数之间的关系.公式的证明可能对学生们来说有点难度,但如果对一些基本概念掌握了,对证明的思路清晰了,则这个定理的证明也就迎刃而解了.

要证明结论,只要证明维(V1)+维(V2)-维(V1∩V2)=维(V1+V2),因为V1∩V2V1V1+V2,V1∩V2V2V1+V2,所以V1∩V2的一组基一定是V1与V2中的一组线性无关的向量,也是V1+V2中的一组线性无关的向量.而维数关系实际就是基中所含向量个数之间的关系.所以想到取V1∩V2的一组基α1,α2,…,αm.再分别把它扩充为V1与V2的一组基.然后证明从这里入手.

证明设V1与V2的维数分别是n1,n2,V1∩V2的维数是m,取V1∩V2的一组基α1,α2,…,αm.如果m=0,这个基是空集,下面的讨论中α1,α2,…,αm不出现,但讨论同样能进行.V1∩V2是V1的子空间,也是V2的子空间,所以它可以扩充成V1的一组基α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,也可以扩充成V2的一组基α1,α2,…,αm,γ1,γ2,…,γn2-m.由线性空间与它的一组基所生成的子空间的相等关系,可得V1=L(α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m),V2=L(α1,α2,…,αm,γ1,γ2,…,γn2-m).再由生成子空间的性质:V1+V2=L(α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m)+L(α1,α2,…,αm,γ1,γ2,…,γn2-m)=L(α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m),而向量组α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m所含向量的个数恰好等于维(V1)+维(V2)-维(V1∩V2),所以要证明维数公式成立,只要证明向量组α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m是V1+V2的一组基即可.即要证明两点:1)该向量组线性无关;2)V1+V2中的任一向量都可由它线性表出.而第2点由生成子空间的定义已满足,所以只需证明此向量组线性无关.而要证明向量组线性无关,只要设k1α1+k2α2+…+kmαm+p1β1+p2β2+…+pn1-mβn1-m+q1γ1+q2γ2+…+qn2-mγn2-m=0.再证明k1,k2,…,p1,p2,…,pn1-m,q1,q2,…,qn2-m全为零即可.而要证明它们为零,只能由已知的线性无关性得出,所以想办法转化为V1,V2与V1∩V2中的基来讨论,于是可令α=k1α1+k2α2+…+kmαm+p1β1+p2β2+…+pn1-mβn1-m=-(q1γ1+q2γ2+…+qn2-mγn2-m).由第一个等式,α∈V1;而由第二个等式看出,α∈V2,

于是,α∈V1∩V2,即α可以被α1,α2,…,αm,线性表示.令α=l1α1+l2α2+…+lmαm,则l1α1+l2α2+…+lmαm+q1γ1+q2γ2+…+qn2-mγn2-m=0.由于α1,α2,…,αm,γ1,γ2,…,γn2-m线性无关,得l1=l2=…=lm=q1=q2=…=qn2-m=0,因而α=0,从而有k1α1+k2α2+…+kmαm+p1β1+p2β2+…+pn1-mβn1-m=0.由于α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m线性无关,得k1=k2=…=km=p1=p2=…=pn1-m=0.

这就证明了α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m线性无关,因而是V1+V2的一组基,故维数公式成立.

这个证明的思路非常清晰明了,逻辑性强,证明一层套一层,让人看了有一种心旷神怡的感觉,妙不可言.

篇4：大学线性代数知识点

关键词：背景知识 教学改革 三贴近

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）12（b）-0113-01

随着当代科学技术的迅猛发展，特别是计算机技术的飞速发展，对人们的物质、文化生活产生了巨大的影响，其最显著的功能就是高速、大量的计算，使得海量数据的处理成为可能，因而科学计算已成为与理论研究、科学实验并列的科学研究的三大手段，由此引起了相关领域的革命性发展。线性代数的知识则在促进这一变化的过程中起着举足轻重的作用，因而也越来越受到重视，这也促使线性代数课程教学需要进行深刻的变革，无论是教学内容还是教学方法、教学手段都需要进行相应的改革，以更好地适应新世纪人才培养的需要。

1 线性代数改革现状分析与思考

线性代数是用数学知识解决实际问题的一个强有力的工具，广泛地应用于物理、 力学、信号与信号处理、系统控制、电子、通信、航空等学科领域。但线性代数概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后联系紧密，具有高度的抽象性与逻辑性，显得零、散、乱，使其成为我国目前教学中的一个薄弱环节。对此各大院校都积极开展了课程的教改，如上海交通大学李世栋、南开大学孟道骥、浙江大学陈维新等教授领导的团队都如火如荼的展开了线性代数精品课程的建设工作并取得了丰硕的成果。

线性代数课程一般在大学一年级开设，此时，学生正在适应大学生活，正处在由中学生向大学生转变的过程中，在生理、心理、人生观、世界观、学习方式、方法等方面处于人生的重大转折期。通过长期实践发现，只要帮助学生成功完成这个转变，一般而言，学生在以后的学习中都会取得不错的成绩。从线性代数教学的角度讲，促进学生完成转变主要是抓住两个关键，一是正确引导学生学会从宏观和微观把握线性代数的结构体系；二是要激发学生的兴趣，兴趣是一切科学发展的关键。第一个问题可借鉴文献[2]中的方法，第二个问题解决的重点在于找到合适的应用案例，在大量的应用实践中展示线性代数的魅力，以引发学生的兴趣，上述各院校的教改中也多有涉及，但总体来讲都比较偏重数学方面的应用，理论性较强，对于初学者而言是一个比较大的障碍。考虑到军校学生自身固有的特点，提出案例贴近军事、贴近前沿、贴近生活的“三贴近”原则。

2 “三贴近”原则的应用与实践

线性代数的应用是非常广泛的，它的背景涉及的内容更加复杂，虽然可用的案例很多，但要根据学生的实际情况有所取舍，在学生能接受的范围内选取可理解、能接受的实际应用背景知识进行介绍，这样才能引起学生的兴趣，否则，可能会起到适得其反的作用。

2.1 课前背景知识，新鲜、简单、灵活

现代学生爱好广泛、思维活跃、关注社会热点、获取信息的能力强，注意到这些特点，准备课前引入应用案例时，就要做到：新鲜，足以引起学生关注，简单，才不会在引入课程内容时花费过多时间，灵活，是要根据学生的反应来决定讲课方式。如开课之初，通过三个例子来说明线性代数课程的重大应用：一是从军事斗争的角度阐述了我国发展“北斗”卫星导航系统的重大意义，激发学生的爱国热情，向学生介绍了卫星定位的简单原理，即把伪距方程线性化后，用户所在的位置就归结为线性方程组的求解；二是保密问题在现代社会中越来越重要，密码中明文密文是如何转换的呢？通过介绍让学生认识到线性代數中矩阵知识的重要性；三是现代社会几乎每个人都要与网络打交道，从网上查找所需要的种信息，其实搜索引擎的开发需要依赖大量的各类矩阵。通过对这些学生最关注、最感兴趣也比较前沿的问题的简单介绍，让学生明白解线性代数在这些问题的解决中所起到重要作用。

2.2 课内背景知识，瞻前、顾后、易懂

在授课的过程中，可以适时插入关于背景知识的介绍，以活跃课堂氛围，增强互动效果，但要注意所介绍的知识，要么是对前所学知识整理扩展，要么对以后要学习的知识有一定的铺垫作用，当然吧、也不能过于深奥让学生难以理解。根据不同的对象，可分三种情况：一是在数学范围内的应用。如幻方与矩阵，坐标变换与同构，Lagr ange插值公式，中国剩余定理等就分别与组合数学、解析几何、数值计算、数论等数学课程有关；二是涉及专业课程。如斐波那数列，学生在高中接触过，在高等数学中也见识过，在讲矩阵时就可以把它们联系起来，进行推广后就可以得到线性移位寄存器序列，而移位寄存器序列是密码学中非常重要的一部分内容。这样就把前后知识联系起来了，知识性强还不枯燥。其它如数字信号处理、图象处理、测量平差、时间序列等课程中都有许多应用案例都可以借鉴；三是生活及其它方面的应用。如交通流分析、人口迁徙模型，价格平衡模型、小行星的轨道模型等方面也有大量值得介绍的应用案例。这些应用案例的介绍，一定要有针对性，充分考虑学生的接受情况，根据学生的专业情况等有所选择，让学生听得懂，愿意听、喜欢听才会取得良好的效果。

2.3 课后背景知识，广泛、深入、拓展

课后，指导学生对所学的相关应用背景知识进行广泛而深入的挖掘。第一，向学生所在专业的高年级学生、研究生、乃至专业课教员了解线性代数在后继课程中的应用情况，请他们给正在学习线性代数的学生提出意见和建议；第二，鼓励学生去图书馆、上网查找解线性代数在其它方面的应用，增长见识，扩展思维；第三，选择部分有代表性的案例让学生亲自解决，亲身体会线性代数和计算机带来的便利，加深对线性代数作用的认识和上机操作的实际动手能力。

3 结语

线性代数应用背景知识介绍目的在于：课前引起学生兴趣，课内调动学生情绪，课后引领学生深入挖掘知识丰富内涵和外延，通过这些活动让学生认识到线性代数广泛的应用领域，彰显线性代数的实用特性。只有常用、多用才能用得熟、用得好，只有在不断的实践锻炼中，学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、以及数学建模能力和数值计算能力才能得到显著提高。

参考文献

[1]高隆昌.数学及其认识[M].北京：高等教育出版社，海德堡：施普林格出版社，2001.

篇5：考研考研线性代数知识点归类

01特点与难点

1、特点

前面是基础，后面是应用。

这句话有三层意思

⑴、前面的内容学好，后面内容才看得懂。

⑵、前面内容不会单独考，70%会结合后面内容考查，所以题目综合性强。

⑶、前面内容需要记忆，类似于泰勒公式，类似于求导公式，但是不同于泰勒公式的是，可以通过理解记忆。

2、难点

⑴、没有一本好的辅导书。

①刚刚说过，前面的内容可以通过理解记忆，但是辅导书不讲深层原因，而是直接罗列出来。

比如：行列式性质

②大部分考研难度的题目都具有一定综合性，编者不好编辑例题。

比如：行列式内容中，抽象行列式涉及矩阵内容(此时矩阵还没有学习)

矩阵内容中秩的相关概念需要用向量和方程组的知识理解(此时向量还没有学习)

⑵、网课老师深浅把握不好

张宇：线性代数讲得深!他可以把深层次原因讲出来，但是作为新手，你会质疑老师的能力!

李永乐：讲的细致，风格恰好与张宇相反。

杨超：同李永乐

⑶、某些概念理解有困难

这部分原因是两部分造成的：

①没有理解前面某些概念。

②由于题目综合性强，练的题目少。

把这三个难点联系在一起，你们有没有发现?

线性代数复习进入了一个死循环

前期复习没有涉及后面的知识点→做题少、不能够通过做题加深概念→后面知识点理解困难→做题少、不能够通过做题加深概念。

所以，堂主下面写的内容对你们有三个帮助

帮助1：知道哪些习题是综合性题目，哪些知识点是为后面做铺垫。

帮助2：让你们对线性代数有一个系统的了解。

帮助3：帮助你们梳理知识点，避免盲目的学习!

02各章知识点总结

【行列式】

1、行列式本质——就是一个数

2、行列式概念、逆序数

考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

3、二阶、三阶行列式具体性计算

考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。

4、余子式和代数余子式

考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。

5、行列式展开定理

考研：核心知识点，必考!

行列式的计算只掌握3和5，7属于处理方法(题型)。

6、行列式性质

考研：核心知识点，必考!小题为主。

7、行列式计算的几个题型

①、划三角(正三角、倒三角)

②、各项均加到第一列(行)

③、逐项相加

④、分块矩阵

⑤、找公因

这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。

考研：经常运用在找特征值中。

⑥数学归纳法

⑦范德蒙行列式

⑧代数余子式求和

⑨构造新的代数余子式

考研：这9个小知识点，除⑤外，只涉及第一章的考点。

如果出大题，最多是一道大题的第一问!绝不可能单独命题!

8、抽象型行列式(矩阵行列式)

①转置

②K倍

③可逆

③伴随

④题型 丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型

(这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容)

考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察

【矩阵】

1、矩阵性质

考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。

2、数字型n阶矩阵运算

①方法一：秩是1

②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵

③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型

④方法四：利用分块矩阵

⑤方法五：P-1AP=B;P-1APP-1AP=B2

方法五涉及相似对角化知识。

方法三涉及高中知识。

考研：常见在大题出现，是大题的第一问!看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。

(如果本题不会做，你的问题出在只掌握这五种方法的某几种，所以你是失败在归纳总结上了)

3、伴随矩阵

考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。

4、二阶矩阵的伴随矩阵

法则：主对角线互换、副对角线填负号。

考研：如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵，难点转化成如何计算它的伴随矩阵。

5、可逆矩阵两种求法

考研：可逆矩阵可与行列式、转置、K倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。

6、分块矩阵

考研：以小题出现

7、初等矩阵

考研：小题出现

8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵

考研：第二章先知道张什么模样，这部分内容在二次型、相似对角化考察。

9、秩(十个公式)

考研：我把秩比作答题的第二种方法，在解决向量、方程组等相关知识点，可以用传统方法(解题速度慢)，也可用秩，解题速度是传统方法的5倍!但是难懂。

这部分内容建议听：李永乐+杨超+汤家凤的所有网课内容!强化记忆!是线性代数的难点!!!

(但不是重要考点)

【向量】

1、几组定义(向量内积、向量的长度、单位化、正交)

考研：考单位化，但是如果想理解线性代数本质，向量内积、向量的长度要懂。

2、线性相关、无关的三大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、向量个数>维度，必相关

⑶、利用秩

考研：小题出现，很少结合其他章节知识点。

3、线性相关无关证明题三种思路

⑴、利用定义法

⑵、用秩

⑶、反证法

考研：大题考点，这部分内容可以与线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。至于如何结合，怎么结合，请自己归纳总结。

4、线性表出四大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、利用秩

⑶、利用定义

⑷、利用方程组

考研：可小题、可大题，但是通是大题的某一问。

5、克拉默法则

考研：服务线性表出。

6、线性表出计算题三大思路

⑴、利用克拉默法则

⑵、构建方程组，抓0思想

⑶、与向量组结合考等价。

考研：大题考点!涉及部分方程组知识和初等行变换知识。

这部分内容涉及重要的数学思想：分类讨论!!!(大题爱考)

7、线性表出证明题四个理论

考研：大题小题都有，但是近几年小题居多。

8、极大线性无关组

考研：核心考点内容和2、3知识点一样，换汤不换药

9、等价向量组

考研：小题居多，很少与其它章节知识点结合。

【线性方程组】

1、基础解系

(不懂就背下来，我当时考研到10月份才茅塞顿开。)

2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组

⑴、常规求解

⑵、解含参数的方程组

(这部分内容最难在于化简，矩阵基础要牢固!!)

⑶、利用解的三个性质

⑷、通过矩阵运算，构造方程组再求解

考研：大题核心考点，历年考题向量和方程组会出其中一道，而方程组的出题概率高于向量!原因如下

①、解题方法多。

②、能与矩阵相关知识联系结合。

3、公共解、同解两种题型

考研：重要考点题!

【特征值与特征向量】

1、特征值相关概念与计算

考研：必考题，这里面难点不在于特征值相关知识，而在于求解行列式相关知识。

2、特殊特征值

⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。

⑵、秩为1的矩阵

⑶、某个矩阵拆分后，利用⑴和⑵结合。

3、相似矩阵概念及性质

考研：不会单独出，但一定会结合其他题目

4、相似矩阵两种考题

如果P-1AP=B

⑴若Aλ=λa →B(P-1a)=λ(P-1a)

⑵若Ba=λa →A(Pa)= λ(Pa)

考研：这部分内容是内容5的基础，但是如果单独出考题，不太可能。

5、对角矩阵的相似问题

核心内容：“搭桥”桥是Λ。

考研：核心重点考点!

本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量，性质方面也可全面考察。

6、反对称矩阵

考研：小题

7、实对称矩阵以及正交矩阵

考研：也是重要考点，大部分知识和前面一样，唯一不同之处在于多一个史密斯正交化。

【二次型】

1、二次型相关概念

内容和微分方程有异曲同工之妙，记忆的内容比较多，但比较简单。

考研：出小题，比如填写一个负惯性指数。

2、矩阵的等价、相似、合同

考研：出小题，一定不可能出大题的。

3、化二次型为标准型、正定问题

考研：核心重点考点，内容本身没什么难度，只是把前面所有的知识综合起来。

这里不用细说，如果前面的相关内容复习的非常好，这部分内容学习起来会轻松很多。

03总结

1、线性代数一个月之内完成!堂主预计是20天左右

2、如何归纳总结，堂主已经把“坑”挖好了，填坑的工作交给你们了。

对这种类型的题关注到何种程度，也已告知。

3、线性代数最难的不是特征值、二次型，而是向量和线性方程组。

4、现在看不懂没关系，建议你们打印下来这篇文章，在复习中体会，以及各位可以把我的“坑”再次细分。

5、线性代数一轮结束，可以抽2天听张宇基础班内容，讲的是线性代数的本质内容。

经验告诉你们，张宇线性代数基础班比强化班还要抽象。

对于有基础的你们，属于锦上添花。

考研心比天高，调剂命比纸薄

►选择很重要

对于学校的选择，一定要慎重(血的教训)，可以晚点选择学校，差不多暑假或暑假前把学校选好，但是一定要查清楚目标院校的基本信息，包括：

1、该校历年录取人数

如果本科为双非学校，特别要弄清目标院校历年录取人数中统招生的名额!!!我选第一志愿今年统招生好像只要五六个。

2、该校历年考试书目

查清楚目标院校历年初试书目，比较稳定的应该不会有变动，因为有的学校会在十月份左右换书。或者就选择大部分学校初试都会考的书，这样即使你的目标院校临时换书或者加书了，你也可以换学校。

比如我本科是思想政治教育专业，所以很多学校的初试书多为马原、毛中特、思修、近代史之类的书。我第一志愿学校初试考的是马克思主义发展史和思想政治教育原理与方法，幸亏没换书

3、该校历年录取分数线

千万不要只盯着上一年的分数，比如看见上一年350多也进去了就觉得很好考，这完全是错误的，要看看历年的分数，多比较比较，从自身实际出发，不要盲目选择。

4、该校历年英语分数线

一定要关注目标院校历年英语分数线，根据自己的英语水平去选择合适的学校，以防最后英语卡线的现象出现。当然，也不排除英语水平在考研期间突飞猛进的情况，这个因人而异吧。

►在最后关头要坚持

我在这上面吃了大亏。我其实不是太赞成把占线拉的特别长，后期容易“没油”。考研分三个时期：新鲜期――充满干劲，缓冲期――继续坚持，冲刺期――重中之重。我认为冲刺期最重要，前期都是为了这个做准备，这个时期极易产生自我怀疑等负面情绪，要调整好状态，坚持住。

我在后期特别不想学习，然后复习不到位，没看到的刚好出题了，所以要想不输就不能存在侥幸心理，觉得这个题应该不会出就不看了。

►合理规划时间，劳逸结合

学习要有方法，特别羡慕宿舍一妹子，背书不出声，属于理解记忆那种类型，我背书必须得读出声，要不然记不住，而且效率还不高。计划表是一定要做的，详细一点更好。可以以周为单位，一周结束后看一下自己完成的情况，会有满满的成就感。最好把奖惩政策也制定一下，适时地奖励自己一下，学习会更有干劲。

►对各科目的时间分配要合理

虽然都说前期侧重英语，专业课可以往后拖，但是真心建议不要把专业课拖的太晚了，因为专业课是一个把书读薄又读厚的过程，确定好学校后可以在学习英语的空闲适当地看看专业课的书。政治可以不用开始这么早，但是可以下载几个新闻软件或者关注人民日报等，有意识地多关注新闻。

►手机

如果自制力不强，出门学习可以不带手机，或者怕有人联系就换个老年机。

►不要轻言放弃

篇6：大学线性代数知识点

一、行列式的计算（重点考四阶行列式）

1、利用行列式的性质化成三角行列式

行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】

2、行列式按行（列）展开定理降阶

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘

n ,积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2...ainAin

i1,2,...n , Da1iA1Ai2...aniAni

i1,2,...iai222404135例

1、计算行列式

312320

51二、解矩阵方程

矩阵方程的标准形式：AXB

XAB

AXBC

111若系数矩阵可逆，则XA1B

XBA

XACB

切记不能写成XA1B1C或X求逆矩阵的方法：

C AB1、待定系数法ABE(或BAE)

2、伴随矩阵法A11A

A其中A叫做A的伴随矩阵，它是A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。A11AA12...A1nA21...A22...A2nAn1...An2 .........Ann初等行变换EA1

3、初等变换法AE例

2、解矩阵方程31561416X 527891001011111B20例

3、解矩阵方程 XAXB，其中 A

 10153

三、解齐次或非齐次线性方程组

设Aaijmn，n元齐次线性方程组AX0有非零解r(A)n

n元齐次线性方程组AX0只有零解r(A)n。

当mn时，n元齐次线性方程组AX0只有零解A0。

当mn时，n元齐次线性方程组AX0有非零解A0。

当mn时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组AX0的解1,...,t满足：（1）1,...,t线性无关，AX0的每一个解都可以由1,...,t线性表示。（2）

则1,...,t叫做AX0的基础解系。

定理

1、设Amn，齐次线性方程组AX0，若r(A)rn，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。

齐次线性方程组的通解xk11...knrnr

k1,...kn,rR 设Aaijmn，n元非齐次线性方程组AXB有解r(A)r(A)。

唯一解r(A)r(A)n。

无数解r(A)r(A)n。

无解r(A)r(A)。

非齐次线性方程组的通解xk11...knrnr，k1,...kn,rR

x1x22x3x40例

4、求齐次线性方程组2x1x2x3x40的通解

2x2xx2x01234x1x23x3x41例

5、求非齐次线性方程组3x1x23x34x44的通解。

x5x9x8x0234

1四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论

xyz0例

6、当为何值时，齐次线性方程组xyz0有非零解，并求解。

2xyz02x1x2x32例

7、已知线性方程组x12x2x3，问当为何值时，它有唯一

xx2x2312解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性

1,2,...,s线性相关1,2,...,s(s2)中至少存在一个向量能由其余

向量线性表示。

存在不全为0的数k1,k2,...,ks使得k11k22..kss0。

k11列行k21,2,...,s0有非零解

k1,k2,...,ks20有非零解

......kssk1k///20有非零解

1,2,...,s...ksr1,2,...,ss

r1/,2/,...,s/s

1,2,...,s线性无关1,2,...,s(s2)中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

若k11k22..kss0，则k1k2...ks0。

k11列行k

21,2,...,s0只有零解

k1,k2,...,ks20只有零解

......kssk1k///2,,...,0

r1,2,...,ss

12s...ks///

r1,2,...,ss

特殊的，n个n维向量1,2,...,n线性相关1,2,...,n0或

12...0。

n12...n个n维向量1,2,...,n线性无关1,2,...,n0或

0。

n例

8、已知向量组1t,2,1，22,t,0，31,1,1，讨论t使该向量组（1）线性相关

（2）线性无关

六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示

设向量组A:1,2,...,s，若从A中选出r个向量构成向量组

A0:i1,i2,...,ir满足：

（1）A0线性无关

A中的每一个向量都能由A0线性表示，（2）

条件（2）换一句话说A的任意r1个向量（若有的话）都线性相关，或者说从A中向A0任意添加一个向量（若有的话），所得的向量组都线性相关。

则A0叫做A的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作r1,2,...,sr 求向量组的秩的方法：（1）扩充法

12（2）子式法

1,2,...,mnm ...mmn最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。

（3）初等变换法

同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例

9、设向量组

1(1,2,1,3),2(4,1,5,6),3(1,3,4,7),4(2,1,2,3)

求（1）向量组的秩；

（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。

七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题

P1APB

相似矩阵的性质:

1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。

2、相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。

3、相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。

4、若A与B相似，则Ak与Bk相似，kN，则(A)与(B)相似。

Bk(P1AP)kP1APP1AP...P1APP1AkP

12相似 An与nAn有n个线性无关的特征向量p1,p2,...,pn，且以它们为列向量组的矩阵P使P1AP，1,2,...,n分别为与p1,p2,...,pn对应的An的特征值。

若An有n个互不相等的特征值1,2,...,n，则An一定与12相似。nAn与相似对应于An的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。

nr(EA)k

其中k为的重数

1245002x2B0y0例

10、设矩阵A与相似 004421（1）求x与y；

（2）求可逆矩阵P，使P1APB。

001例

11、设A11a，问a为何值时，矩阵A能相似对角化。

100 例

12、设三阶矩阵A的特征值为11，22，33，对应的特征向量依次为11,1,1，21,2,4，31,3,9，求矩阵A。

例

13、设三阶实对称矩阵A的特征向值1,1,1，与特征值1对应的特征向量为11,1,1，求A。

///

八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵

22例

14、化二次型f(x1,x2,x3)x15x26x234x1x26x1x310x2x为标准3型，并求所用可逆线性变换的矩阵。

例