高中数学选修4-5：2.1.4证明不等式的基本方法——反证法

2024-08-20

高中数学选修4-5：2.1.4证明不等式的基本方法——反证法（共4篇）

篇1：高中数学选修4-5：2.1.4证明不等式的基本方法——反证法

2.1.4证明不等式的基本方法——反证法

（一）【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.实数a，b，c不全为0的条件为（）

A.a,b,c均不为有B.a,b,c中至多有一个为0

C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0

2.若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求证：方程的两根的绝对值都小1.3.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求证：a,b,c,d中至少有一个是负数.【典型例题】

ama.例1.利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则 bmb

例2.若x, y > 0，且x + y >2，则

例3.设a3b32，求证ab2.例4.设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c,(2  b)a,(2  c)b不可能同时大于1

【课堂检测】

1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

A．有一个解B．有两个解

C.至少有三个解D．至少有两个解

2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求证：a,b,c＞0.1y1x和中至少有一个小于2.xy

3.设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于1.2

4.设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大1于 4

【总结提升】

1.前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

2.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

3.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

篇2：高中数学选修4-5：2.1.4证明不等式的基本方法——反证法

【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能给出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明下列三个方程：

0中至少有一个方程有两

个相异实根.3.已知

（1）证明：函数f(x)在（－1,+∞）上为增函数;

（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【典型例题】

例1.若x,y都是正实数,且x+y＞2,求证：

例2.已知

为－.求证 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值为2,最小值中至少有一个成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤

2例4.设a,b,c都是奇数,求证：方程

没有整数根.【课堂检测】

1.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设______________．设全体质数为p1、p2、„、pn，令p＝p1p2„pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、„、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、„、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反证法证明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求证：a,b至少有一个能被5整除.4.已知数列{bn}的通项公式为bn＝

4能成等差数列．

【总结提升】

1.当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰时的不等式的证明常用反证法.2.如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情况的不等式证明常用反证法...求证：数列{bn}中的任意三项不可

§2.1.6证明不等式的基本方法——放缩法

（一）【学习目标】

3.理解放缩法证明不等式的原理.4.掌握放缩法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

4.什么是放缩法,放缩法证明不等式的理论依据是什么？ 5.放缩法证明不等式时,如何把握放大和缩小？【自主检测】 1.求证: 

k1n

15*

（n∈N）k23

2.求证：

111*

2（n∈N）2n2n12n1

6n11

1

(n1)(2n1)49



15*

.(n∈N）

n23

3.求证:

【典型例题】

例1.已知n∈

N*求证：（1



;.（2）21

an1aa

例2.已知an2n1(nN*).求证：12...n(nN*).23a2a3an1

例3．函数f（x）=

例4．已知an=n，求证：∑

k=1

【课堂检测】 1.求证:1

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n1

(nN*)2

k ak

＜3．

11171(n2)222

62(2n1)35(2n1)

2n3

2.已知an42,Tn,求证:T1T2T3Tn

2a1a2an

6.求证:（1）(11)(1)(1)(1)

352n1

2n1.（2）(1

1111)(1)(1)(1)2462n

12n1

4.已知函数f

x

x0,.对任意正数a,证明：1fx2．

【总结提升】

篇3：高中数学对象的“凝聚”过程探析

已有的研究表明:一个数学概念在同一个体的思维中完全可能具有多种不同的心理表征, 它们分别突出了对象的某些 (而不是全部) 性质, 而且, 在不同的时刻或场合, 所得到“激活”的通常又只是这些不同心理表征中的某一个.而由一个包含多个步骤的、经过精心筛选的心理表征的动作过程就“凝聚” (encapsulation) 成了单一的数学对象, 即形成了确定的一个数学概念.这里讲的“凝聚”是数学思维的一个基本形式, 也即由“过程”向“概念”的转变过程[1].

1 高中数学对象“凝聚”的一个案例

在高中数学新教材必修3《概率》的新课教学时, 根据长期的教学经验, 笔者针对学生对此概念不易掌握, 且易与自身已有的知识发生混淆, 不利于概念的正确建构的客观情况, 在上课时拿出下面的一道问题, 以供学生利用学习小组形式进行研究性学习, 并加以指引, 以图让学生“凝聚”正确的概念图式并顺利地加以建构.

题通过对表1 (即课本第112页表3-2) 、表2 (即课本第111页表3-1) 以及表3的阅读和分析, 请思考一下如何由随机事件的频率来确定其概率值.

经过约10分钟思考和讨论后, 各学习小组纷纷发表了意见.

学习小组1:我们认为概率值是所有频率的平均值, 因为我们计算了表1中所有频率的平均值为0.5046, 经四舍五入得概率值为0.5, 这与教材的答案是一致的.

教师:从表1的情况来看, 结果的确如此!但从另一方面讲, 尽管有时可以一孔窥豹, 但特殊的例子时常可能也不能说明一个一般性结论, 即我们可能会犯一叶障目的错误.其他组有没有不同意见?

(经过短时间的讨论和分析后, 有几个小组均要求发言)

学习小组2:我们认为学习小组1的理解是错误的, 因为我们计算了表2中所有频率的平均值为0.9392, 无论如何四舍五入都得不到教材所给的概率0.95!我们认为, 因为实验次数越大, 频率的平均值应越接近于概率.我们分别通过对表1、表2、表3中的实验次数最大的两次的平均值的计算, 结果均与书上所给的概率结果的差距是极其微小的, 可以说是基本一致的, 所以我们认为概率值是实验次数足够大时的所有频率的平均值.

(班级大部分同学在进行核算后, 表示了赞同, 少数同学觉得这种说法似乎不妥, 但也说不出所以然)

教师:该小组的这种观点也能通过课本“计算机模拟掷硬币的试验结果”加以验证的, 看起来是毫无问题的.但数学这门学科是非常严谨和科学的, 我个人认为需要进一步商讨其科学性.同学们认为如何呢?

(受此提示后, 同学们开始讨论, 不一会儿, 有小组要求发言)

学习小组3:我们认为学习小组2的说法是错误的, 实验次数足够大时, 频率平均值应越接近于概率, 但“足够大”的标准是不确定的, 若选取的实验次数不一样, 结果也极有可能是不一样的.我们认为概率值应是实验次数足够大时频率的近似值, 这明显能通过3个表格加以验证的.

(马上有同学发言, 赞成学习小组3对学习小组2说法的评价, 但对他们认为“概率值是实验次数足够大时频率的近似值”的观点表示否定, 否定的理由是近似值一般来说往往不止一个, 所以很难确定概率的确切值, 教师和同学们对此表示赞同)

学习小组4:我们通过对3个表格的分析, 发现在大量重复进行同一实验时, 随机事件A的发生总呈现出一定的规律性.“事件A发生的频率 $\frac{m}{n}$ 总接近的常数是概率”是指“次数n→+∞时, 频率 $\frac{m}{n}$ 趋近的常数是概率”, 它属于我们先前学的数列极限这一知识范畴 (注:数列极限在兴趣班已提前上过了, 绝大多数同学能够理解) , 即对数列 ${\frac{m}{n}}$ 来讲, $p (A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m}{n} .$

(这个观点有一定的深度, 同学们对极限定义的接触时间较短且理解不深, 没有同学马上对此提出不同意见.于是教师及时对极限的定义加以复习, 再经过讨论后, 有一个数学尖子生的小组提出了自己的意见)

学习小组5:根据极限的定义, 对于任给的ε>0, 总存在一个正整数N, 当n>N时, 都有|an-A|<ε, 此时常数A为数列{an}的极限.对于上面涉及到的数列 ${\frac{m}{n}}$ 来讲, 其值虽然在一个常数周围摆动, 但并不能保证越来越趋近于一个常数, 有时仍有反复.

(很多同学仍不能理解学习小组5的观点, 待各学习小组讨论、争辩好之后, 由教师与各小组一起重新对学习小组5的观点加以剖析, 强调以上4种观点的错误之处, 并加以总结, 弄清以上各概念与概率的区别与联系, 使学生建立了正确的概率概念, 从而形成了概率概念的“凝聚”)

评注有的同学对概念理解肤浅, 对数学概念的形成、概念的内涵和外延不甚了解或一知半解, 造成对概念的“假性理解”, 容易发生概念理解的“偏差”, 形成错误的心理表征.特别是学生进入新的知识领域时, 常常会发生认识上的负迁移作用, 把已有的观念作为绝对真理, 强套新知识, 这往往会发生错误, 上面例子就是生动一例, 针对这种情况, 教师应采用多种方法和手段指导学生主动的建构正确的概念“图式”, 使概念的“凝聚”精致圆满.

2 高中数学对象“凝聚”的几点说明

正如南京大学郑毓信教授而言, 我们在运用“凝聚”这一思维形式研究和学习数学概念时, 应当特别强调以下几点.

1) 就实际的数学学习而言, 所说的“凝聚”往往并非是一种自觉的行为, 而是一个不知不觉的演变过程.

事实上, 上面的概率的概念教学已经说明了这一点.学生经过亲身投入, 并通过已有信息去主动地组织处在最近发展区的新信息, 操纵已知对象, 建构自己的数学理解.即使是观瞻别人的行为或者聆听别人的言语, 也必须在思想上高度投入, 并将之转化为自己的操作过程, 无人可以替代.在此基础上, 数学概念的“凝聚”就会顺其规律、油然而生.

又如中学阶段极其重要的“函数”概念, 学生是由初中的函数概念, 通过教师的传授与正反面引导, 并经过自身的理解和吸纳, 从而使学生的函数概念逐渐自然的向高中数学中的函数概念转化.另外, 函数的概念最初是作为一种对应法则出现的, 从而也就是这样的一个过程, 即如何由自变量的已知值去求得相应的函数值.随着学习的深入, 函数的概念又逐渐获得了新的意义:这已不再是仅仅被看作一个过程, 而且也被认为是一个特定的数学对象, 对此我们不但可以自然而然地、具体地去指明它所具有的各种性质, 如单调性、奇偶性、周期性等, 也可以此为对象具体地增添实施各种特定的数学演算.显然, 对于学生而言, 这是一个潜移默化、自动生成的过程.

2) 从数学的角度看, 由“过程”向“对象”转移其基本意义就是为从更高的层次去进行研究开拓了现实的可能性.

就抽象数学概念的学习而言, 与对于学生已有知识和经验的单纯利用相比, 以下的任务就应说是更为基本的, 即我们应努力帮助学生对概念的形式定义与其原先具有的直观形象和经验作出必要的整合, 从而在更高层次上建立起一个恰当的心理表征.即作为数学对象的“凝聚”过程, 其还包含对此数学对象的进一步运用、升华的意义.上面概率概念的“凝聚”过程正是为今后加强对古典概型、几何概型等知识的理解和融会贯通奠定了基础.

又如对高中数学中极限概念的学习不仅会影响该章节的知识掌握, 而且对以后的解析几何、导数等内容的学习有着不可忽视的影响, 在极限概念的“凝聚”过程中, 我们不可避免地会用到“趋近”、“接近于”等日常用语———事实上, 甚至连“极限”这一术语本身也是从自然语言中直接借用的———而这些正是学生在运用极端思想解决数学问题、描述双曲线的渐近线以及理解导数的定义等问题时常用的语言.故而, 在极限概念由“过程”向“对象”转移时, 就为其从更高层次以及更广水平的拓展奠定了现实的良好基础.

3) 由“过程”向“对象”的过渡不应被看成一种单向的运动, 而应是一种双向的互动.

显然, 对“过程”和“对象”这两个方面作出必要的综合, 从而获得一个统一的心理表征是非常重要的.也就是说, 相应的数学概念既可以被看成为一种过程, 同时也可以被看成为单一的数学对象.

例如, 已知f (cos 3 x) =sin x, 求函数y=f (x) 的表达式.

事实上, 当cos 3 x=1, 即 (k∈Z) 时, f (1) 可以有多个值, 可以是0, 也可以是, 然后重返函数概念的产生过程就可以发现所给的表达式并非是函数表达式, 则此题应为错题.

又如, 试计算的值.

在解题时有可能会出现以下错解, 即

这种错解实质上是把实数范围内的幂运算法则“迁移”到复数范围内, 从而导致出错.而从常识上来讲, 这种迁移也可能是负迁移, 如果执此观点重返复数的运算法则加以检验, 就可以辨别其中的错因, 以上两例说明主体对数学概念的理解可以看成为一个单一的数学对象, 也可以看成为一个过程.

由于个体关于某一概念的心理表征往往包括有多种不同的成分, 即如心智图像、有关的性质和过程等, 而且也是以多种不同的形式出现.这种心理表征的丰富性与“概念定义”的“贫乏性” (后者仅仅是由若干词语所构成的) 形成了鲜明的对照.所以我们可以这样认为, 高中数学对象的“凝聚”过程是极其丰富、千姿百态并且时而内敛的, 值得我们去研究、去发现.

参考文献