数列解题心得

数列解题心得（精选8篇）

篇1：数列解题心得

公务员考试行测解题心得——数列篇

第1步：整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。

注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联。思路A：分析趋势

1、增（减）幅一般，考虑做加减。

基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。

【例1】 ﹣8，15，39，65，94，128，170，（）

A．180

B．210

C．225

D．256 解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23，24，26，29，34，42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5＋8＝13，因而二级差数列的下一项是42＋13＝55，因此一级数列的下一项是170＋55＝225，选C。

【总结】做差不会超过三级；一些典型的数列要熟记在心。

【可锐点评】如果把题干作为第一级，做差等处的一列数列作为第二级，第二层数据再加工得出的数列为第三级。从历年真题看，一般都考不到第三级，只到第二级。不过江西2009年数量关系部分的第30题的确考到了第三级。

2、增幅较大，考虑做乘除

【例2】 0.25，0.25，0.5，2，16，（）

A．32

B．64

C．128

D．256 解：观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等比数列，二级数列下一项是8×2＝16，因此原数列下一项是16×16＝256。【总结】做商也不会超过三级。

3、增幅很大，考虑幂次数列 【例3】 2，5，28，257，（）

A．2006

B．1342

C．3503

D．3126 解：观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到257附近有幂次数256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。而数列的每一项必与其项数有关，所以与原数列相关的幂次数列应是1，4，27，256（原数列各项加1所得）即11，22，33，44，下一项应该是55，即3125，所以选D。【总结】对幂次数要熟悉。思路B：寻找题眼

注：题眼是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引。题眼1：长数列，项数在6项以上。基本思路是分组或隔项。【例4】 1，2，7，13，49，24，343，（）

A．35

B．69

C．114

D．238 解：观察前6项相对较小，第七项突然变大，不成线性规律，考虑思路B。长数列考虑分组或隔项，尝试隔项得两个数列1，7，49，343；2，13，24，（）。明显各成规律，第一个支数列是等比数列，第二个支数列是公差为11的等差数列，很快得出答案A。【总结】将等差和等比数列隔项杂糅是常见的考法。

【可锐点评】隔项后，两个变量依然符合“如果有两个变量，一般它们是独立变化的”规律。题眼2：摇摆数列，数值忽大忽小，呈摇摆状。基本思路是隔项。【例5】 1.03，3.04，3.05，9.06，5.07，27.08，（）A.7.09

B.9.09

C.34.00

D.44.0l 解：数列是大小摇摆的，我们可以尝试隔项解法。把奇数项列出来，组成新数列：1.03，3.05，5.07，（），这样，我们可以观察到，整数部分和小数部分各自形成一个新数列，所以我们应该将数列“拆分”开来，形成两个独立的数列：整数部分是：1，3，5，（7）；分数部分是：0.03，0.05，0.07，（0.09）。合并起来即7＋0.09＝7.09，则正确选项为A。【可锐点评】凡是整个数列都是小数的，十有八九都是，整数部分、小数部分各自独立变化。题眼3：有两个括号，那一定得隔项。【例6】1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）

A．19，21

B．19，23

C．21，23

D．27，30 解：看见双括号直接隔项找规律，有1，3，7，13，（）；3，5，9，15，（），很明显，两数列里，相邻两数的差都为2，4，6，（8），易得答案为21，23，选C。【例7】0，9，5，29，8，67，17，（），（）

A．125，3

B．129，24

C．84，24

D．172，83 解：注意到是摇摆数列且有双括号，义无反顾地隔项找规律。分出两个支数列0，5，8，17，（）；9，29，67，（）。支数列二数值较大，规律较易显现，注意到增幅较大，考虑乘除或幂次数列，脑中闪过8，27，64，发现支数列二是2^3＋1，3^3＋2，4^3＋3的变式，下一项应是5^3＋4＝129。直接选B。回头再看会发现支数列一可以还原成1﹣1，4＋1，9﹣1，16＋1，（25﹣1）。

【总结】双括号隔项找规律一般只确定支数列其一即可，为节省时间，另一支数列可以忽略不计。

题眼4：分式。类型（1）：整数和分数混合，提示做乘除。【例8】 1200，200，40，（），10/3 A．10

B．20

C．30

D．5 解：整数和分数混搭，马上联想做商，很易得出答案为10。

【可锐点评】整数和分数混合的时候，一般先把所有整数变形为分数，例如本题，题干变为3600/3，600/3，120/3，（）/3，10/3，然后分析相邻两数的商，分别为6，5，（4），3。可知第四个数字应该为30/3＝10。类型（2）：全分数。解题思路为：能约分的先约分；能划一的先划一；突破口在于不宜变化的分数，称作基准数；分子或分母跟项数必有关系。【例9】 3/15，1/3，3/7，1/2，（）

A．5/8

B．4/9

C．15/27

D．﹣3 解：能约分的先约分3/15＝1/5；分母的公倍数比较大，不适合划一；突破口为3/7，因为分母较大，不宜再做乘积，因此以其作为基准数，其它分数围绕它变化；再找项数的关系3/7的分子正好是它的项数，1/5的分子也正好它的项数，于是很快发现分数列可以转化为1/5，2/6，3/7，4/8，下一项是5/9，即15/27。【例10】 ﹣4/9，10/9，4/3，7/9，1/9，（）

A．7/3

B．10/9

C．﹣5/18

D．﹣2 解：没有可约分的；但是分母可以划一，取出分子得二级数列﹣4，10，12，7，1，（），后项减前项得三级数列14，2，﹣5，﹣6，（）。

此时可以有两个解法，解法一，可以发现，B﹣A/2＝C的规律，即，﹣5＝2﹣14/2，﹣6＝﹣5﹣2/2，所以最后一项＝﹣6﹣（﹣5/2）＝﹣3.5。由此可知二级数列最后一项为1＋（﹣3.5）＝﹣2.5，原数列最后一项则为﹣2.5/9＝﹣5/18。

解法二，把三级数列的数字，各×﹣2，得四级数列﹣28，﹣4，10，12，（），发现除了﹣28外，剩下的数字，恰好是二级数列里的数字，我们便知道四级数列最后一项为7，于是三级数列最后一项为﹣3.5，最后便可以得出答案。【可锐点评】本题三级数列之间的规律的确有些难找。题眼5：正负交叠。基本思路是做商。【例11】 8/9，﹣2/3，1/2，﹣3/8，（）

A．9/32

B．5/72

C．8/32

D．9/23 解：正负交叠，立马做商，发现是公比为﹣3/4的等比数列，易得出A。题眼6：根式。类型（1）：数列中出现根数和整数混搭，基本思路是将整数化为根数，将根号外数字移进根号内。

【例12】 0，3，1，6，√2，12，（），（），2，48 A．√3，24

B．√3，36

C．2，24

D．2 36 解：看到双括号先隔项，有两个支数列0，1，√2，（），2；3，6，12，（），48。支数列一即是根数和整数混搭类型，以√2为基准数，其它数围绕它变形，将整数划一为根数有√0，√1，√2，（），√4，易知应填入√3；支数列二是明显的公比为2的等比数列，因此答案为A。类型（2）：根数的加减式，基本思路是运用平方差公式：a^2﹣b^2＝（a＋b）（a﹣b）。【例13】 √2﹣1，1/（√3＋1），1/3，（）A．（√5﹣1）/4

B．2

C．1/（√5﹣1）

D．√3 解：碰到分式的，首先都变形为分式：√2﹣1＝（√2﹣1）（√2＋1）/（√2＋1）＝（2﹣1）/（√2＋1）＝1/（√2＋1），这是根式加减式的基本变形形式，要考就这么考。同时，1/3＝1/（1＋2）＝1/（1＋√4），因此，易知下一项是1/（√5＋1）＝（√5﹣1）/[（√5）^2﹣1]＝（√5﹣1）/4。

【可锐点评】本题的分式变换有一定难度，需要考生对几种常用的变换手法比较熟练，最好是对诸如√2﹣1＝1/（√2＋1）这类的等式事先都背下来，作为“零件”备用，考试基本上就考这些常用的变换，这样考试的时候速度就快多了。

题眼7：首一项或首两项较小且接近，第二项或第三项突然数值变大。基本思路是分组递推，用首一项或首两项进行五则运算（包括乘方）得到下一个数。【例14】 2，3，13，175，（）

A．30625

B．30651

C．30759

D．30952 解：观察，2和3很接近，13突然变大，考虑用2，3计算得出13有2×5＋3＝3，也有3^2＋2×2＝13等等。因为后接的175数字更大，考虑用幂，显然为13^2＋3×2＝175，所以下一项是175^2＋13×2＝30651。【总结】有时递推运算规则很难找，但不要动摇，一般这类题目的规律就是如此。

题眼8：纯小数数列，即数列各项都是小数。基本思路是将整数部分和小数部分分开考虑，或者各成单独的数列或者共同成规律。

【例15】 1.01，1.02，2.03，3.05，5.08，（）

A．8.13

B．8.013

C．7.12

D．7.012 解：将整数部分抽取出来有1，1，2，3，5，（），是一个明显的和递推数列，下一项是8，排除C、D；将小数部分抽取出来有1，2，3，5，8，（）又是一个和递推数列，下一项是13，所以选A。

【总结】该题属于整数、小数部分各成独立规律。【例16】 0.1，1.2，3.5，8.13，（）

A．21.34

B．21.17

C．11.34

D．11.17 解：仍然是将整数部分与小数部分拆分开来考虑，但在观察数列整体特征的时候，发现数字非常像一个典型的和递推数列，于是考虑将整数和小树部分综合起来考虑，发现有新数列0，1，1，2，3，5，8，13，（），（），显然下两个数是8＋13＝21，13＋21＝34，选A 【总结】该题属于整数和小数部分共同成规律。

【可锐点评】迄今为止，我观察到的公务员考题，的不论是数理能力题，还是图形推理题，只要是两个变量都在变化的，它们一般都是独立变化。还没有发现它们可以合成一个变化规律的。

篇2：数列解题心得

一、线性趋势——>分析线性趋势的增幅：

1、等差：增幅/减幅一般的做加减

2、等比： 增幅较大做乘除

3、幂数列： 增幅很大做乘除

二、没有线性趋势或线性趋势不明显

1、长数列：项数在6项以上。基本解题思路是分组或隔项

2、摇摆数列：数值忽大忽小，呈摇摆状。基本解题思路是隔项

3、双括号：一定是隔项成规律

4、分式：

（1）：整数和分数混搭，提示做乘除。

（2）：全分数。解题思路为：能约分的先约分；能划一的先划一；突破口在于不宜变化的分数，称作基准数；分子或分母跟项数必有关系。

5、正负交叠。基本思路是做商。

第二步

思路A：分析趋势

1，增幅（包括减幅）一般做加减。

基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。

例1：-8，15，39，65，94，128，170，（）

A．180 B.210 C.225 D 256

解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。

总结：做差不会超过三级；一些典型的数列要熟记在心

2，增幅较大做乘除 例2：0.25，0.25，0.5，2，16，（）

A．32 B.64 C.128 D.256

解：观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等比数列，二级数列下一项是8*2=16，因此原数列下一项是16*16=256 总结：做商也不会超过三级

3，增幅很大考虑幂次数列

例3：2，5，28，257，（）

A．2006 B。1342 C。3503 D。3126

解：观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到257附近有幂次数256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。而数列的每一项必与其项数有关，所以与原数列相关的幂次数列应是1，4，27，256（原数列各项加1所得）即1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是5^5，即3125，所以选D 总结：对幂次数要熟悉

第二步思路B：寻找视觉冲击点

注：视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引

视觉冲击点1：

长数列，项数在6项以上。基本解题思路是分组或隔项。

例4：1，2，7，13，49，24，343，（）

A．35 B。69 C。114 D。238

解：观察前6项相对较小，第七项突然变大，不成线性规律，考虑思路B。长数列考虑分组或隔项，尝试隔项得两个数列1，7，49，343；2，13，24，（）。明显各成规律，第一个支数列是等比数列，第二个支数列是公差为11的等差数列，很快得出答案A。

总结：将等差和等比数列隔项杂糅是常见的考法。

视觉冲击点2：

摇摆数列，数值忽大忽小，呈摇摆状。基本解题思路是隔项。5

例5：64，24，44，34，39，（）

A．20 B。32 C 36.5 D。19

解：观察数值忽小忽大，马上隔项观察，做差如上，发现差成为一个等比数列，下一项差应为5/2=2.5，易得出答案为36.5

总结：隔项取数不一定各成规律，也有可能如此题一样综合形成规律。

视觉冲击点3：

双括号。一定是隔项成规律！

例6：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）

A．19，21 B。19，23 C。21，23 D。27，30 解：看见双括号直接隔项找规律，有1，3，7，13，（）；3，5，9，15，（），很明显都是公差为2的二级等差数列，易得答案21，23，选C

例7：0，9，5，29，8，67，17，（），（）

A．125，3 B。129，24 C。84，24 D。172，83

解：注意到是摇摆数列且有双括号，义无反顾地隔项找规律！有0，5，8，17，（）；9，29，67，（）。支数列二数值较大，规律较易显现，注意到增幅较大，考虑乘除或幂次数列，脑中闪过8，27，64，发现支数列二是2^3+1，3^3+2，4^3+3的变式，下一项应是5^3+4=129。直接选B。回头再看会发现支数列一可以还原成1-1，4+1,9-1,16+1,25-1.总结：双括号隔项找规律一般只确定支数列其一即可，为节省时间，另一支数列可以忽略不计

视觉冲击点4：

分式。

类型（1）：整数和分数混搭，提示做乘除。

例8：1200，200，40，（），10/3 A．10 B。20 C。30 D。5

解：整数和分数混搭，马上联想做商，很易得出答案为10

类型（2）：全分数。解题思路为：能约分的先约分；能划一的先划一；突破口在于不宜变化的分数，称作基准数；分子或分母跟项数必有关系。

例9：3/15，1/3，3/7，1/2，（）

A．5/8 B。4/9 C。15/27 D。-3

解：能约分的先约分3/15=1/5；分母的公倍数比较大，不适合划一；突破口为3/7，因为分母较大，不宜再做乘积，因此以其作为基准数，其他分数围绕它变化；再找项数的关系3/7的分子正好是它的项数，1/5的分子也正好它的项数，于是很快发现分数列可以转化为1/5，2/6，3/7，4/8，下一项是5/9，即15/27

例10：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9 A．7/3 B 10/9 C-5/18 D-2

解：没有可约分的；但是分母可以划一，取出分子数列有-4，10，12，7，1，后项减前项得

14，2，-5，-6，（-3.5），（-0.5）与分子数列比较可知下一项应是7/（-2）=-3.5，所以分子数列下一项是1+（-3.5）=-2.5。因此（-2.5）/9=-5/18

视觉冲击点5：正负交叠。基本思路是做商。

例11:8/9,-2/3, 1/2,-3/8,（）

A 9/32 B 5/72 C 8/32 D 9/23

解：正负交叠，立马做商，发现是一个等比数列，易得出A

视觉冲击点6：根式。

类型（1）数列中出现根数和整数混搭，基本思路是将整数化为根数，将根号外数字移进根号内 例12：0 3 1 6 √2 12()()2 48

A.√3 24 B．√3 36 C．2 24 D．2 36 解：双括号先隔项有0，1，√2，（），2；3，6，12，（），48.支数列一即是根数和整数混搭类型，以√2为基准数，其他数围绕它变形，将整数划一为根数有√0 √1 √2（）√4，易知应填入√3；支数列二是明显的公比为2的等比数列，因此答案为A

类型（2）根数的加减式，基本思路是运用平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例13：√2-1，1/(√3+1),1/3,()A(√5-1)/4 B 2 C 1/(√5-1)D √3 解：形式划一：√2-1=（√2-1）（√2+1）/(√2+1)=(2-1)/(√2+1)=1/(√2+1),这是根式加减式的基本变形形式，要考就这么考。同时，1/3=1/(1+2)=1/(1+√4),因此，易知下一项是1/(√5+1)=(√5-1)/[(√5)^2-1]=(√5-1)/4.视觉冲击点7：首一项或首两项较小且接近，第二项或第三项突然数值变大。基本思路是分组递推，用首一项或首两项进行五则运算（包括乘方）得到下一个数。

例14：2，3，13，175，（）

A．30625 B。30651 C。30759 D。30952 解：观察，2，3很接近，13突然变大，考虑用2，3计算得出13有2*5+3=3，也有3^2+2*2=13等等，为使3，13，175也成规律，显然为13^2+3*2=175,所以下一项是175^2+13*2=30651 总结：有时递推运算规则很难找，但不要动摇，一般这类题目的规律就是如此。

视觉冲击点8：纯小数数列，即数列各项都是小数。基本思路是将整数部分和小数部分分开考虑，或者各成单独的数列或者共同成规律。

例15：1.01，1.02，2.03，3.05，5.08，（）

A．8.13 B。8.013 C。7.12 D 7.012

解：将整数部分抽取出来有1，1，2，3，5，（），是一个明显的和递推数列，下一项是8，排除C、D；将小数部分抽取出来有1，2，3，5，8，（）又是一个和递推数列，下一项是13，所以选A。

总结：该题属于整数、小数部分各成独立规律

例16：0.1，1.2，3.5，8.13，()A 21.34 B 21.17 C 11.34 D 11.17

解：仍然是将整数部分与小数部分拆分开来考虑，但在观察数列整体特征的时候，发现数字非常像一个典型的和递推数列，于是考虑将整数和小树部分综合起来考虑，发现有新数列0，1，1，2，3，5，8，13，（），（），显然下两个数是8+13=21，13+21=34，选A 总结：该题属于整数和小数部分共同成规律

视觉冲击点9：很像连续自然数列而又不连贯的数列，考虑质数或合数列。

例17：1，5，11，19，28，（），50 A．29 B。38 C。47 D。49

解：观察数值逐渐增大呈线性，且增幅一般，考虑作差得4，6，8，9，„„，很像连续自然数列而又缺少5、7，联想和数列，接下来应该是10、12，代入求证28+10=38，38+12=50，正好契合，说明思路正确，答案为38.视觉冲击点10：大自然数，数列中出现3位以上的自然数。因为数列题运算强度不大，不太可能用大自然数做运算，因而这类题目一般都是考察微观数字结构。

例18：763951，59367，7695，967，（）

A．5936 B。69 C。769 D。76

解：发现出现大自然数，进行运算不太现实，微观地考察数字结构，发现后项分别比前项都少一位数，且少的是1，3，5，下一个缺省的数应该是7；另外缺省一位数后，数字顺序也进行颠倒，所以967去除7以后再颠倒应该是69，选B。

例19：1807，2716，3625，（）

A．5149 B。4534 C。4231 D。5847

解：四位大自然数，直接微观地看各数字关系，发现每个四位数的首两位和为9，后两位和为7，观察选项，很快得出选B。

第三步：另辟蹊径。

一般来说完成了上两步，大多数类型的题目都能找到思路了，可是也不排除有些规律不容易直接找出来，此时若把原数列稍微变化一下形式，可能更易看出规律。

变形一：约去公因数。数列各项数值较大，且有公约数，可先约去公约数，转化成一个新数列，找到规律后再还原回去。

例20：0，6，24，60，120，（）

A．186 B。210 C。220 D。226

解：该数列因各项数值较大，因而拿不准增幅是大是小，但发现有公约数6，约去后得0，1，4，10，20，易发现增幅一般，考虑做加减，很容易发现是一个二级等差数列，下一项应是20+10+5=35，还原乘以6得210。

变形二：因式分解法。数列各项并没有共同的约数，但相邻项有共同的约数，此时将原数列各数因式分解，可帮助找到规律。

例21：2，12，36，80，（）

A．100 B。125 C 150 D。175 解：因式分解各项有1*2，2*2*3，2*2*3*3，2*2*2*2*5,稍加变化把形式统一一下易得1*1*2，2*2*3，3*3*4，4*4*5，下一项应该是5*5*6=150，选C。

变形三：通分法。适用于分数列各项的分母有不大的最小公倍数。

例22：1/6,2/3,3/2,8/3,()A.10/3 B.25/6 C.5 D.35/6

解：发现分母通分简单，马上通分去掉分母得到一个单独的分子数列1，4，9，16，（）。增幅一般，先做差的3，5，7，下一项应该是16+9=25。还原成分母为6的分数即为B。

第四步：蒙猜法，不是办法的办法。

有些题目就是百思不得其解，有的时候就剩那么一两分钟，那么是不是放弃呢？当然不能！一分万金啊，有的放矢地蒙猜往往可以救急，正确率也不低。下面介绍几种我自己琢磨的蒙猜法。

第一蒙：选项里有整数也有小数，小数多半是答案。见例5：64，24，44，34，39，（）

A．20 B。32 C 36.5 D。19 直接猜C！

例23：2，2，6，12，27，（）

A．42 B 50 C 58.5 D 63.5

猜：发现选项有整数有小数，直接在C、D里选择，出现“.5”的小数说明运算中可能有乘除关系，观察数列中后项除以前项不超过3倍，猜C 正解：做差得0，4，6，15。（0+4）*1.5=6(2+6)*1.5=12(4+6)*1.5=15(6+15)*1.5=31.5，所以原数列下一项是27+31.5=58.5

第二蒙：数列中出现负数，选项中又出现负数，负数多半是答案。

例24：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9,()A．7/3 B.10/9 C-5/18 D.-2

猜：数列中出现负数，选项中也出现负数，在C/D两个里面猜，而观察原数列，分母应该与9有关，猜C。

第三蒙：猜最接近值。有时候貌似找到点规律，算出来的答案却不在选项中，但又跟某一选项很接近，别再浪费时间另找规律了，直接猜那个最接近的项，八九不离十！

例25：1，2，6，16，44，（）

A．66 B。84 C。88 D。120

猜：增幅一般，下意识地做了差有1，4，10，28。再做差3，6，18，下一项或许是（6+18）*2=42，或许是6*18=108，不论是哪个，原数列的下一项都大于100，直接猜D。

例26：0.，0，1，5，23，（）

A．119 B。79 C 63 D 47

猜：首两项一样，明显是一个递推数列，而从1，5递推到25必然要用乘法，而5*23=115，猜最接近的选项119

第四蒙：利用选项之间的关系蒙。

例27：0，9，5，29，8，67，17，（），（）

A．125，3 B129，24 C 84，24 D172 83

猜：首先注意到B，C选项中有共同的数值24，立马会心一笑，知道这是阴险的出题人故意设置的障碍，而又恰恰是给我们的线索，第二个括号一定是24！而根据之前总结的规律，双括号一定是隔项成规律，我们发现偶数项9，29，67，（）后项都是前项的两倍左右，所以猜129，选B

例28：0，3，1，6，√2，12，（），（），2，48 A．√3，24 B。√3，36 C 2，24 D√2，36

猜：同上题理，第一个括号肯定是√3！而双括号隔项成规律，3，6，12，易知第二个括号是24，很快选出A 华图接下来的班次和课程，大家可以看看。（联系人：颜同学 tel：*** QQ：32431121）

篇3：巧构数列妙解题

一、分期付款问题

例1某人买房贷款20万元, 每年还款一次, 分10次等额归还。若年利率6.39%, 按复利计算, 每次应还款多少元? (精确到1元) 。

解析:设每次还款x元, 第次还款后余额为an元。

则:a1=2×105×1.063 9-x

∴每次应还款27 678元。

二、概率问题

例2某种电子玩具按下按钮后, 会出现红球或绿球, 已知按钮第一次按下后, 出现红球或绿球的概率相等, 从第二次按下起, 若前一次出现红球, 则下一次出现红球、绿球的概率分别为1/3, 2/3;若前一次出现绿球, 则下一次出现红球、绿球的概率分别为3/5, 2/5;求第n次 (n!"¤) 按下按钮后出现红球的概率。

解析:记求第n次 (n#$¤) 按下按钮后出现红球的概率为Pn则根据题意可知:P1=1/2

三、传球问题

例3 (1) 甲、乙、丙三人练习传球, 从甲开始, 则第五次仍传给甲的传球方法共有多少种?

(2) 将上述问题推广:包含甲在内的m个人 (m≥2) 练习传球, 设传球n次, 球首先从甲手中传出, 第n (n≥2) 次仍传给甲, 共有多少种传球方法?

解析: (1) 因为第四次不传给甲的传球方法共有10种, 所以第五次仍传给甲的传球方法共有10种。为解决问题 (2) , 设传球n次, 第n次仍传给甲的传球方法种数为an, 第n次不传给甲的传球方法种数为bn。则:a1=0, a2=m-1, b1=m-1。

an+1表示传球n+1次, 第n+1次仍传给甲可以分两步进行, 第一步传球n次, 第n次不传给甲共bn种, 第二步再传给甲, 共一种, 由乘法原理得:an+1=bn, 而an+bn表示传球n次的所有不同传法种数, 而每次传球都有m-1种方法, 共传球n次, 由乘法原理得:an+bn= (m-1) n;

将m=3, n=5带入得:a5=10。

篇4：数列解题技巧

一、正确掌握等差（比）数列的一些性质常常可以简化运算,是学好本章的关键．

比如对于等差数列[an]，若[m+n=p+q(m、n、][p、q∈N∗)]，则[am+an=ap+aq]；而对等比数列[an]，若[m+n=p+q(m、n、p、q∈N∗)]，则[am⋅an=][ap⋅aq.] 又如等差数列[an]中，[Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,⋯,][Skn-S(k-1)n,⋯]成等差数列；等比数列[an]中（[q≠-1]），[Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,⋯,Skn-S(k-1)n,⋯]成等比数列．这样的性质还有很多，大家注意在学习过程中多总结，多思考，体会它们的巧妙应用，我们不妨来看看这几个题：

例1 设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]．

（1）若[S3=9，S6=36，]则[a7+a8+a9=]；

（2）若[S9=18,Sn=240,an-4=30(n>9),]则[n=] ；

（3）若前三项和为34，后三项和为146，所有项和为390，则[n=] ．

分析与解答（1）要求的是第三个连续三项之和，不妨设为[x]，由性质可知，9、[(36-9)、x]成等差数列，即可求得[x=45]．

（2）由[S9=9(a1+a9)2=9a5]，知[a5=2]．再由[Sn=n(a1+an)2=n(a5+an-4)2]，即可解得[n]=15．

（3）由[a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)]及[Sn=n(a1+an)2]，可求得[n=]13．

例2已知[an]是正项等比数列．

（1）若[a3⋅a6⋅a9=4]，则[log2a2+log2a4+log2a8+][log2a10=] ；

（2）若前[n]项的和为54，前[2n]项的和为60，则前[3n]项的和为 ．

分析与解答

（1）[∵][a3⋅a6⋅a9=a63][=4]， [∴a6=223]．

而[log2a2+log2a4+log2a8+log2a10]

[=log2(a2a4a8a10)][=log2a64]=[83] ．

（2）类比例1可得60[23]．

例3已知等比数列[an]前[n]项和为[S]，前[n]项积为[P]，前[n]项倒数和为[M]，求证：[P2=(SM)n]．

分析与解答结合等比数列性质及倒序相加和倒序相乘的方法可获得较为简单的解题途径，回避了对[q]是否等于1的讨论．

由[P=a1a2⋯an-1anP=anan-1⋯a2a1]，可得[P2=(a1an)n]．

由[M=1a1+1a2+⋯1an-1+1anM=1an+1an-1+⋯1a2+1a1]

可得[2M=(1a1+1an)+(1a2+1an-1)+⋯+(1an-1+1a2)]

[+(1an+1a1)][=2Sa1an]．

同学们再往后整理一步即可得证．

点拨以上各题也可以用常规作法， 即利用基本量[a1、n、d]（或[q]）列方程和解方程. 但是和以上的作法比较一下就会发现，用好了性质，用活了公式，解题过程将会被大大简化．

二、数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决问题，如通项公式、前[n]项和公式都可以看作是关于[n]的函数[f(n)(n∈N∗)]，我们可以结合函数图象或函数单调性等性质来解决问题．

例4 已知等差数列[an]的公差[d≠0]，[Sp=Sq][(p≠q)]，（1）求[Sp+q]；（2）若[a1>0]，问[n]为何值时，[Sn]最大？

分析与解答 （1）利用等差数列的前[n]项和[Sn]当[d≠0]时是关于[n]的不含常数项的二次函数，可知[Sn=f(n)]图象的是过原点的抛物线，且对称轴为[n=p+q2]，故[Sp+q]=0. （2）由条件可判断[d<0]，抛物线开口向下，所以，若[p+q]为偶数，则当[n=p+q2]时[Sn]最大；若[p+q]为奇数，则当[n=p+q±12]时[Sn]最大.

例5 已知数列[an]满足[an=1+1n-99]，问第几项最小？第几项最大？

分析与解答 同学们对于函数[f(x)=1+][1x-99]的图象应该并不陌生，是关于点[(99,1)]对称的两支曲线，结合图象和定义域[N∗,]可以得到[a9]最小、[a10]最大．

点拨我们说数列是特殊的函数，这特殊之处在于什么呢？特殊在这个函数的定义域不是连续的实数区间，而是由一个个正整数构成的集合，对应的图象也就是某个曲线上的一个个孤立的点，所以大家在应用时还要注意它与一般函数的区别．

三、注意数列中[an]与[Sn]之间的互化关系，解决这类含[an]与[Sn]的问题时，通常是利用[an=Sn-Sn-1][(n≥2)],转化为只含[an]或者只含[Sn]的式子．

例6 已知在正项数列[{an}]中，[Sn]表示前[n]项和且[2Sn=an+1]，求[an].

分析与解答解法一：转化为只含[an]的式子.

由已知，[Sn=(an+12)2]，

[n-1]代换[n]，得[Sn-1=(an-1+12)2]，

两式相减，得[an=][(an+12)2-][(an-1+12)2]，

化简整理得[(an+an-1)(an-an-1-2)=0]．

[∵an>0]，[∴][an-an-1-2=0]，

[∴an]是等差数列，[∴an=2n-1]．

解法二：转化为只含[Sn]的式子.

[∵][an=Sn-Sn-1(n≥2)]，

[∴][2Sn=Sn-Sn-1+1]，

[∴Sn-1=Sn-2Sn+1=(Sn-1)2]，

[∴][Sn-1=Sn-1]．

[∴Sn]是公差为1的等差数列 ，[∴Sn=n]，

[∴an=2Sn-1=2n-1]．

点拨遇到具体问题时，大家要判断一下哪种方法更适合．另外，在运用它们的关系式[an=Sn-Sn-1]时，一定要注意条件[n≥2]，特别是求通项的题目，一定要验证[a1]是否适合，如果不适合就需要写成分段的形式[an=S1, n=1,Sn-Sn-1,n≥2.]

[【练习】]

1.如果函数[f(x)]对任意实数[n、m]都满足[f(n)+f(m)=f(n+m)],且[f(1003)=2,]则[f(1)+f(3)+][f(5)+⋯+f(2003)+f(2005)=]（ ）

A．1003B．1004

C．2006D．2008

2. 在等比数列[an]中, 若[a3]、[a7]是方程[3x2-11x+9=0]的两根, 则[a5]的值为（ ）

A. 3 B. [±3]

C. [3]D. [±3]

3. 已知等差数列[an],[a2+a3+a7+a11+a12=] [45,S13=] .

4. 在等比数列[an]中，[Sn]=[a1+a2+a3+]…[+an]，若[S10=5]，[S20=15]，则[S30=]．

5. 若数列[an]是递增数列，且[an=n2+][kn(n∈N∗)]，则[k∈]．

6. 数列[an]中[Sn=4an-1+1(n≥2)]，且[a1=1]，设[bn=an+1-2an]，求证：[bn]是等比数列．

[【参考答案】]

1. B2. C3. 1174. 35

篇5：高考数学数列解题方法

任何事物的结果有时顺着程序去思考，往往不得要领，倘若从结果向事物开始的方向或用假设的反方向去推理，反倒会“一片洞天”。数学解题技巧也是如此。首先，假设命题结论相反的答案，顺理演绎地解答，得出假设的矛盾结果，从另一侧面论证了正确答案。例如，苏教版教材必修1《函数》章节，已知函数f(x)是一项正负无限大范围内的增函数，a、b都为实数，求证：(1)假设：(a+b)≥0，则函数式表示为：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立;(2)求证(1)问中逆命题是否正确。

篇6：数列求和的解题方法总结

数列通项与数列求和

二. 教学要求：

掌握数列的通项公式的求法与数列前n 项和的求法。能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n项的和。

三. 教学重点、难点：

重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。

难点：转化的思想以及转化的途径。

四. 基本内容及基本方法

1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、Sn法、辅助数列法、归纳猜想法等;

(1)根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

(2)由Sn求an时，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件，a1应由a1=S1来确定，最后看二者能否统一.

(3)由递推公式求通项公式的常见形式有：an+1-an=f(n)，

=f(n)，an+1=pan+q，分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).

2、数列的前n项和

(1)数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。

求数列的前n项和，一般有下列几种方法：

(2)等差数列的前n项和公式：

Sn= = .

(3)等比数列的前n项和公式：

①当q=1时，Sn= .

②当q≠1时，Sn= .

(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.

(5)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(6)裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.

方法归纳：①求和的基本思想是“转化”。其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式;其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。

②对通项中含有(-1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性。

③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视。

【典型例题】

例1. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.

(1)求证：{an}为等差数列;

(2)求S n的最小值及相应的n;

(3)记数列{

}的前n项和为Tn，求Tn的表达式。

解：(1)n=1时，a1=S1=-8

n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10

∴ an=2n-10 an+1-an=2

∴ {an}是等差数列.

(2)Sn=n2-9n=(n-

)2-

∴当n=4或n=5时，Sn有最小值-20.

(3)an=2n-10 ∴ | an |=| 2n-10 |

令an≥0

n≥5 ∴ 当n≤4时，| an |=10-2n

Tn=

，当n≥5时，

Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

篇7：数列解题技巧归纳总结-打印

等差数列前n项和的最值问题：

1、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0；

an10q的非零自然数时Sn最大； 2p（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近

2、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0；

an10q的非零自然数时Sn最小； 2p（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知Sn（即a1a2anf(n)）求an，用作差法：anS1,(n1)。

SnSn1,(n2)f(1),(n1)f(n)已知a1。a2anf(n)求an，用作商法：an,(n2)f(n1)⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求an；有时也可直接求an。

⑷若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)。

aaaa⑸已知n1f(n)求an，用累乘法：annn12a1(n2)。

anan1an2a1⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；形如ankan1k的递推数列都可以除以k得到一个等差数列后，再求an。

（2）形如annnan1的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan1bk（3）形如an1an的递推数列都可以用对数法求通项。

（7）（理科）数学归纳法。

数列解题技巧归纳总结

（8）当遇到an1an1d或an1q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段 an1

一、典型题的技巧解法

1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）例

1、已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例

1、解

∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列

∴an=1+2（n-1）即an=2n-1 例

2、已知{an}满足an1

（2）递推式为an+1=an+f（n）1an，而a12，求an=？ 2

例

3、已知{an}中a111，an1an2，求an.24n1解： 由已知可知an1an1111()

(2n1)(2n1)22n12n1令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

114n3ana1(1)

22n14n2★ 说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）

例

4、{an}中，a11，对于n＞1（n∈N）有an3an12，求an.解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4 n-1n-1 n-1∴an+1-an=4·3 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即 an=2·3-1

2n-2解法二： 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·3，…，an-an-1=4·3，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

数列解题技巧归纳总结

(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）

bn1bnb221n1n(bnbn1)由上题的解法，得：bn32()n ∴ann3()2()33232n

(5)递推式为an2pan1qan

思路：设an2pan1qan,可以变形为：an2an1(an1an)，想

于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求an。

(6)递推式为Sn与an的关系式

数列解题技巧归纳总结

关系；（2）试用n表示an。

∴Sn1Sn(anan1)(∴an1anan1n+1n+

1n

12n1n

∴an1)

2n22n111ann 2211上式两边同乘以2得2an+1=2an+2则{2an}是公差为2的等差数列。

n∴2an= 2+（n-1）·2=2n

2．数列求和问题的方法（1）、应用公式法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n

2【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。

1解

本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=n(n1)个奇数，212∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n+n-1 2因此所求数列的前n项的和为

（2）、分解转化法

对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

2222222【例9】求和S=1·（n-1）+ 2·（n-2）+3·（n-3）+…+n（n-n）

解 S=n（1+2+3+…+n）-（1+2+3+…+n）2333

3数列解题技巧归纳总结

（3）、倒序相加法

适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

12n例

10、求和：Sn3Cn 6Cn3nCn012例

10、解 Sn0Cn3Cn6Cn3nCnn

∴ Sn=3n·2（4）、错位相减法

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和． n-1 例

11、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．

解

设Sn=1+3+5x+…+(2n-1)x．

①

(2)x=0时，Sn=1．

23n(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x+5x+…+(2n-1)x，②

23n-1n①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x+2x+…+2x-(2n-1)x．

2n-

1(5)裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：

数列解题技巧归纳总结

例12、求和1111 153759(2n1)(2n3)

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

二、常用数学思想方法 1．函数思想

运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】

等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？

此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下 ∵ f（l）=f（k）

2．方程思想

【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析

本题考查等比数列的基础知识及推理能力。

解 ∵依题意可知q≠1。

∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。∵q≠1

整理得 q（2q-q-1）=0 ∵q≠0 363 6

数列解题技巧归纳总结

此题还可以作如下思考：

33336S6=S3+qS3=（1+q）S3。S9=S3+qS6=S3（1+q+q），33663∴由S3+S6=2S9可得2+q=2（1+q+q），2q+q=0

3．换元思想

【例15】

已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且

求证：a，b，c顺次成等比数列。

xyz 证明

依题意令a=b=c=k ∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

篇8：数列的常用解题方法

例1:已知数列A:2 logab , 4 logab , 8 logab , …, 2 nlogab , …, 其中a, b都是大于零的常数, 且a≠1.

(1) 求证:A是等比数列;

(2) 若A同时又是等差数列, 这时b为何值?

这是直接考查等差数列、等比数列的定义的题目.

解: (1)

∴数列A是等比数列.

(2) 若A同时又是等差数列, 则

则上式变为x 2 -x=x 3 -x 2 , 解之可得x=1或x=0 (舍去) .

即2 log=1, ∴logab=0, 故b=1.即若A为等比数列同时又是等差数列时, b的值为1.

例2:一个数的通项公式是项数n的一次函数, 且这个数的第2项是1, 第5项是10.

(1) 求这个数列的通项公式;

(2) 证明这个数列是等差数列, 并求这个数列的公差.

解: (1) 设这个数列的通项公式是an=k·n+b, 依题意可得 :解之得, k=3, b=-5.

∴这个数列的通项公式为an=3n-5.

(2) an+1-an=[3 (n+1) -5]- (3n-5) =3, 故所求数列成等差数列, 且公差为3.

例3:一个等差数列, 它的首项是4, 它的第1、第7、第10项成等比数列.

(1) 求这个等差数列的通项公式 ; (2) 求由第1、第7、第10项诸项组成的等比数列的前n项的求和公式.

解: (1) 设等差数列的公差为d, 则a1=4, a7=4+6d, a10=4+9d.

∵a1, a7, a10成等比数列, ∴a 27=a1·a10, 即 (4+6d) 2 =4 (4+9d) ,

解之得d=0或

若d=0, 则等差数列的通项公式为an=4.

若则等差数列的通项公式为

(2) 对应于等差数列an=4, 所求的等比数列是bn=4 (公比为1) , 其前n项的求和公式是Sn=4n.

对应于等差数列, 所求的等比数列是 (公比为1/2 ) , 其前n项的求和公式是

例4:一个项数是偶数的等差数列, 其奇数项的和与偶数项的和分别是24和30.若最后一项比第1项多21/2 , 求此数列的首项、公差和项数.

解:设此数列的首项、公差和项数分别为a1, d和2k (k∈N) .

由题意得方程组

以a2k-1=a1+2 (k-1) d, a2k=a1+ (2k-1) d, a2=a1+d代入可解得d=3/2 , k=4, a1=3/2 .所以此数列首项为3/2 , 公差为3/2 , 项数为8.

注:等差 (或等比) 数列的an和Sn的公式中, 含有a1, d (或q) 、n、an、Sn五个量, 必须知道三个独立条件, 这个方程组才是可解的.解方程组是解决等差、等比数列的计算问题常用的方法.

例5:已知等差数列{an}的公差是正数, 且a3·a7=12, a4+a6=- 4, 求前20项的和S20.

由 (1) 、 (3) 联立, 注意到q =81, 可得:a=2, q=3.

注:在等比数列的计算问题中, 如果公比q是未知数, 而且n的数目较大或本身也是未知数, 这时往往需要把q n作为一个整体未知数考虑, 问题才能解决.

例7:已知等差数列的第1项是13, 前3项的和与前11项的和相等, 前多少项的和最大?最大值是多少?

解: 设此数列的公差为d, 由题意知:, 解得d=-2.

∴这是一个递减等差数列, 故欲使Sn最大, 必须且只需an≥0且an+1<0,

.即前7项的和最大, 最大值为49.

注:由于是n的二次函数, 因此当a<0时, Sn有最大值, 因而也可以由二次函数求Sn的最大值.

例8:设logkx, logmx, lognx组成等差数列, 其中x≠1, 而k, m, n组成等比数列, 求证:logmn·logmk=1.

证明:∵logkx, logmx, lognx组成等差数列 ,