函数极限的定义的解释

函数极限的定义的解释（精选10篇）

篇1：函数极限的定义的解释

习题13

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.x2x12

1证明(1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.证明(1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明 因为 0, X(2)分析

sinxx0

12, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.x2x322

1x

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明 因为0, X

2, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.0, 所以lim

x

0.3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0.001？

解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01?

解 要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx

证明 因为

x

limf(x)limlim11,x0x0xx0x

limf(x)limlim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

x0

所以极限limf(x)存在.x0

因为

lim(x)lim

x0

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

x0

lim(x)lim(x),

x0

x0

所以极限lim(x)不存在.x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.x

证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有

|f(x)A|<.因此当x0

|f(x)A|<.这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

| f(x)A|< ,即f(x)A(xx0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|

篇2：函数极限的定义的解释

最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质 收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：-

[论文网 ]函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作

上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

1对：任意以两直线为边界的带形区域；

2总：总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质（1）极限唯一性；（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.极限存在准则1．夹逼准则（1）数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：

1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；

则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出-

[论文网 ]发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。大全，函数。大全，函数。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质

收敛数列有如下性质：

（1）极限唯一性；

（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作 上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对：任意以两直线为边界的带形区域； 2总：

总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质

（1）极限唯一性；

（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；

（2）解不等式；

（3）取定δ；

（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.极限存在准则1．夹逼准则

（1）-

[论文网 ]数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件： 1存在N，n>N时，bn≤an≤cn； 2 则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。大全，函数。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

篇3：数列极限定义的等价定义及其作用

数列的极限, 是有限与无限、定性与定量、任意与确定等辩证思想在数学中的一个具体体现, 数列极限的概念是高等数学中一个非常重要的概念, 通过数列极限的学习, 将使我们对变量数学的认识步入新的层次。

2 数列极限定义的等价定义

在数学分析中, 数列极限的定义是最基础的内容, 它的等价定义以及等价定义在教学中的作用对以后的学习都是非常重要的, 甚至在整个大学的数学学习也都是非常重要的, 下面给出数列极限定义。

2.1 数列极限定义

设{xn}是数列, a是常数, 如果对任意e>0, 总存在自然数N, 使得n>N时, 有Áx-a

不等式xÁ-a0, 数列{xn}中恒存在一项xN, 在xN以后的所有xN+1, xN+2, xN+3…, 都要在数a-e与a+e之间[1]。

为了从直观上理解数列极限的定义, 我们来看一下定义的几何意义。

式子Áx-a表示数轴上动点Xn与定点a之间的距离, “当n>N时, 恒成立”是说xN项以后各项

对应的点都落在开区间内, 由此可见, 在区间内有数列的无穷多项, 而在此区间外只有数列的有限项 (至多可有N项) , 因为可以任意小, 则开区间的长度也任意小, 可见点xn凝聚在点a的近旁, 这就是limxn=a的几何意义。

为了对定义的本质有所认识, 我们做如下的几点说明:

(1) 正数的任意性

正数e的作用是控制的大小即点列{xn}与点a的接近程度。可见, 当e足够小时, xn与a就足够接近。由于可以任意小, 那么xn与a就可以接近到任意需要的程度, 也即“要多近有多近”。这就从数量上刻划了极限的本质特征。如果将数列极限描述为当n充分大后, xn越来越接近于a是不对的, 不能保证a是数列{xn}的极限。

(2) ε的确定性

正数ε虽然可以任意小, 就是说它是一个变量, 但一经给出, 它又是一个确定的值 (如同0.01>0.001等) , 应视为一个常数, 以便从不等式中求出N, ε的这种任意与确定两种性, 反映了极限概念的近似与精确的辨证关系。

(3) N与ε的相关性

正整数N表示数列中的某一项数, 其作用就是给出一个极限, 使得数列{xn}中xN项以后的各项, 都满足即

N的选取, 完全取决于ε, 一般来说, ε越小, N越大[6]。

(4) N的多值性

N虽然与ε有关, 但又不是唯一的, 即不表示N是ε的函数, 实际对给定的ε, 如果存在一个满足要求的N, 就必然有无限多个满足n要求的N, 换句话说, N就有无穷多个了。

(5) 趋于极限的多样性

当n无限增大时, 数列中各项可以从单侧, 也可以从两侧趋于a, 也可能时而接近于a, 时而远离a, 而趋于a不一定是“一项比一项接近a”。例如下述数列

的极限分别是0, 1, 0, 它们是上述所说的每一种情形的例子[3]。

2.2 数列极限定义的两个等价描述

1) 对任意的自然数k, 总存在自然数N, 使得当n>N时, 有

2) 对任意的r>0, 只有有限个xn位于 (a-r, a+r) 之外[2]。

证明1) 设对任意的1自然数k, 取则存在自然数N, 使得当n>N时, 有反之, 如果{xn}满足1) , 那么对任意正数总可以找到自然数k, 使得而对k总存在自然数N, 使得当n>N时, 有即

2.3 几个似是而非的问题

1) 如果对任意, 存在自然数N, 使当n>N时, 有, 是否?e>0Áx-a

2) 如果对无穷多个ε>0, 存在自然数N, 使当n>N时, 有是否

对上述问题的回答都是否定的, 逐一举例如下:

1) 令xn=-n, n=1, 2, 3, …, a=0, 则对任意ε>0, 只需取N=1, 当n>N时, 都有但是显见

3) 令则有但任意Áx¹0。

可见不意味着“随着n的增大, xn越来越接近于a”, 这一点往往被忽略[4]。

3 数列极限等价定义在教学中的作用

历史上, 人们研究的数列极限问题, 其实就是研究一给定的数列{an}当n变化时, 其相应项的变化趋势。而这一趋势, 当然是一个动态的过程。在通常的情况下, 这一动态的过程人们在直观上又往往觉得是“显然”的但仔细分析, 这样的直观又会把人引入歧途。

如当我们说时, (a为常数) , 常表示an与a的距离“越来越小”;与此同时, 我们必发现, 当an与a的距离“越来越小”时, an与另一个不等于a的常数a'的距离也是“越来越小” (如时, 的距离也可以说“越来越小”) 。

为了避免这种直观带来得不确定性 (教学中, 利用这种直观是重要的) , 人们将“越来越小”的直观改用“要多小有多小”来刻划, 这就导致在教学中我们要引导学生将数列极限定义与等价定义比较, 发现不仅使学生对数列极限的概念有了更加深刻的理解和认识, 同时运用等价定义证明教材中有关极限性质的定理时, 显得更加简洁、明了, 如证明“极限的唯一性定理”等, 以及一些极限不存在的问题, 较之传统的方法, 都有较大的优越性。

篇4：函数极限定义缺乏一致性

关键词 函数;极限;一致性

中图分类号 O172 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2010)082-0163-01

《高等数学》是大学本科教学中的一门重要的基础课,微积分理论是这门课的主要内容。极限是微积分理论的基石,连续、导数和积分等等都是由它来定义;在教授《高等数学》下册有关多元函数极限、连续等内容和同学提问过程中,我们对比发现:一个一元函数在一点没有极限,而从二元函数角度考虑却是有极限的,即:一元函数和多元函数极限缺乏一致性。本文将对此问题进行认真讨论,并尝试对极限定义进行改进,让《高等数学》这门课程更加严谨完善。

1 问题提出

我们首先来对比同济第五版《高等数学》中,一元函数极限定义和多元函数极限定义(本文以二元函数极限为例):

定义1:设函数f (x)在点x0的某一去心领域内有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当满足不等式0<│x–x0│<δ时,对应的函数值f (x)都满足不等式

│f (x)–A│<ε

那么常数A就叫做函数f (x)当x→x0时的极限。

定义2:设二元函数f (p)=f (x,y)的定义域为D,p0(x0,y0)是D的聚点。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点(P0,δ)时,都有

│f (P)–A│=f (x,y)-A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

下面由上两定义来看下面两个例子,进行对比:

例1:y=f (x)=1,令定义域D={x│x∈Q}(这里Q表有理数,以下同),讨论。

例2:z=f (x,y)=1,D={(x,y)│x∈Q,y=0},讨论。

对于例1,由定义1知:因为不存在任何原点的去心领域,使得

f (x)在其上都有定義,从而得出不存在。对于例2,由定义2知:①(0,0)是D的聚点;②∀ε,δ=1,当δ)时,有

│f (x,y)–1<ε。从而。例1和例2中给出的虽一个是一元函数,一个是二元函数,但仔细分析容易发现:事实上,例2也是一个一元函数,只不过是例1的变形,与例1无本质区别,但却得出了不一致的结论。之所以出现这个情况,不难发现原因就在于两个定义的不一致性。能不能处理这个不一致性,值得探讨。

2 严谨的一元函数极限定义

首先,我们尝试修改一元函数极限定义。仔细对比例1和例2,所讨论极限结论之所以不同,直接原因在于二元函数极限是以所论极限点为聚点的基础上定义的,而一元函数极限的极限点必须是以其为中心的去心领域中函数都有定义。定义极限的先决条件很明显后者要比前者强多了。一个自然的想法,可不可以仿照多元函数对一元函数定义域上定义聚点。即:设ER,如果对于任意给定的δ>0,点x0的去心领域

内总有E中的点,则称x0是E的聚点。从而对一元函数极限重新定义如下:

定义3:设x0为f (x)定义域D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<│x–x0│<δ且x∈D时,对应的函数值f (x)都满足不等式

│f (x)–A│<ε

那么常数A就叫做函数f (x)当x→x0时的极限。

有了以上一元函数极限的重新定义,容易得到例1的极限存在,且。至此,问题似乎解决了;诚然,就例1和例2来说,我们取得

了极限定义的一致性。但仔细研究同济第五版《高等数学》上册连续、可导和积分等各处于极限有关的定义,进一步综合我们的教学实际,发现诸多问题,主要问题如下:

1)在定义3下,函数极限不存在左右之分,由此也不存在左右连续,左右可导等等这些同济第五版《高等数学》上册中大家熟知的很成熟的概念。

2)产生一些难以直观理解的结果。如:函数的连续。在定义3下,例1中函数在有理点是连续的,即这个函数在其定义域上处处连续。此结论难以令人在直观上接受,从而能否让学生接受,值得怀疑。且例2同样存在这个问题,由此启发我们考虑二元函数极限定义的改造。

3)定义3除了解决类似于例1和例2中极限问题,对教学和理论,尤其是教学,没有大的帮助,存在隐患。

事实上,一元函数极限的定义是非常严谨和完善的,是经过自牛顿和莱布尼兹发明微积分理论以及柯西和维尔斯特拉斯的工作之后千锤百炼的结果,不能随便轻易改动的。

3 完善多元函数极限

3.1 两个初步修改方案

由以上讨论不难发现一元函数的微积分极限理论非常经典,从一元函数方面不能解决问题,我们转向二元函数。总结几位同行讨论,对上面所出现问题的解决的初步想法是,主要有以下两种考虑:

①参照定义1,重新定义多元函数极限(以二元函数为例)。

定义4:设二元函数f (P)=f (x,y)在P0(x0,y0)某一去心领域有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点δ)时,都有

│f (P)–A│=│f (x,y)–A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

②多元函数极限是多元函数极限,一元函数极限是一元函数极限,规定不能把一元函数看成多元函数。

仔细分析发现两种想法都存在问题。针对①,我们举例:

例3:z=f (x,y)=1,D={(x,y)│x∈R,y=0},讨论。

由于不存在任何点(0,0)的去心领域,使得f (x,y)在其上都有定义,从而由定义3得出不存在,进一步可得出不连续。而事实上例3

中函数的图像可以容易做出来是一条连续的直线,这与一元函数的连续性相悖,函数极限的一致性问题仍然难以解决。针对②,稍加分析不难发现,这种考虑是在回避问题,并没有解决问题。

3.2 较理想方案

由以上讨论,不难看出极限不一致性这个问题的解决,没有想象的那么简单。通过认真研读同济第五版《高等数学》上、下两册和查找相关资料(如:[2]和[3]),同事间进行深入讨论,从科研和教学上进行反复论证和研究。还是从例1和例2入手,由定义2,例2中函数在定义域内任意点都有极限,且进一步都连续;但是直观上不容易理解,且与例1相悖。近一步分析,根源在聚点的定义。我们来看看同济第五版《高等数学》下册第2页中聚点的定义:如果对于任意给定的δ>0,点P的去心领域内总有E中的点,则称P是E的聚点。例2中定义域正是由于以上聚点定义,从而每个点都是聚点,进一步由定义2得出极限存在且连续。如果我们给出强聚点的定义:如果点P是E的聚点,且E中存在一条经过P的曲线,则称P是E的强聚点。我们可以得到以下较理想的方案:即给二元函数极限重新定义为:

定义5:设二元函数f (P)=f (x,y)的定义域为D,点P0(x0,y0)是D的强聚点。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点δ)时,都有

│f (P)–A│=│f (x,y)–A│<ε

成立,那么就称常数A为函数f (x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限。

不难发现,以上强聚点概念完全可以推广到其他多元函数情况,从而进一步可获多元函数极限定义。对于以上多元函数极限的重新定义,有的老师可能担心,会不会出现问题,对同济第五版《高等数学》下册的教学影响大不大。事实上,仔细研读全书,只有第一章第一节二重极限和二元函数连续的定义中是以点为聚点定义的,从而新定义对原书影响可以说很小。但概念严谨和完善了,且较好地解决了一元函数和多元函数极限缺乏一致性的问题。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]李成章,黄玉民.数学分析[M].科学出版社,1999.

篇5：利用函数极限定义证明11

1.利用函数极限定义证明:

(3).limxsinx01x0;

x|1，则当 0|x| 时, 有 证明: 对于任意给定的正数 0, 取 , 因为 |sin

x1x1xxsin|x|sin|x|，所以limxsinx00.2．利用无穷大量定义证明：

（1）lim1x

4x；

1x

4证明：对于任意给定的正数 G0, 取 M4G1, 则当 |x|M 时, 有 |

所以 lim1x

4.|G，x

5．证明：若limf(x)A，则lim|f(x)||A|.xx0xx0证明：对于任意给定的正数 0, 由于limf(x)A，存在0，使得当

xx0

0|xx0|时, 都有|f(x)A|，而

篇6：极限定义的总结

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量变化趋势limf(x)函数的变化趋势

自变量的变化趋势主要有六种：

x,x,x,xx0,xx0,xx0

函数的变化趋势主要有四种：

f(x)A,f(x),f(x),f(x) 自变量的描述格式如下：

X0,当|x|X时；（x）

X0,当xX时；（x）

X0,当x-X时；（x）

0,当0|x-x0|时；（xx0）

0,0, 当0x-x0时；（xx0）当0|x-x0|时；（xx0）

函数的描述格式如下：

0, ,

0, ,

0, , 恒时：|f(x)A|（f(x)A）恒时：|f(x)|M（f(x)）恒时：f(x)M（f(x)）

恒时：f(x)M（f(x)）0, ,

那么函数极限的定义可以是这C61C4124种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自

篇7：数列极限的定义教案

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义

n

1．以数列(1)n为例

a111n:1，，234 0 观察：随n的增大，点越来越接近

2只要n充分大，表示点a(1)n即：n与原点的距离an0n01n可以充分小 进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 n

2．具体分析：(1)如果预先给定的正数是

1(1)10，要使an0n01n<110 只要n10即可 即：数列(1)nn的第10项之后的所有项都满足

(2)同理：如果预先给定的正数是1103，同理可得只要n103即可(3)如果预先给定的正数是

110k(kN*)，同理可得：只要n10k即可

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN

就有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

记为：limnana 读法：“”趋向于

“n” n无限增大时

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在

④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

a，也可以摆动趋近于a

三、处理课本 例

二、例

三、例四

例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身

例四 这是一个很重要的结论

四、用定义证明下列数列的极限：

1．lim2n1n2

2．lim3n1n1

n2n132 证明1：设是任意给定的小正数

2n12n111n12n要使2n 即：2

两边取对数 nlog1

取 N12log2

„„„„介绍取整函数 2n12n当nN时，2n1恒成立

∴lim1n2n1

证明2：设是任意给定的小正数

要使

3n11512n132 只要

2n15

n42 取N513n1342

当nN时，2n12恒成立

篇8：数列极限定义的教学思考

一、介绍极限发展历史

极限思想的萌芽可以追溯到中国战国时期和古希腊时期, 但极限概念首次出现于沃利斯的《无穷算数》中, 牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。18世纪下半叶, 达郎贝尔等人认识到把微积分建立在极限概念的基础之上, 微积分才是完善的, 柯西最先给出了极限的描述性定义, 之后, 魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义。

教师通过对极限发展历史的简单介绍, 能加强学生对极限概念的感性认识。

二、列举极限相关的例子, 为引入极限定义作铺垫

例1[1]:古代哲学家庄周的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之棰, 日取其半, 万世不竭。其含义是:一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这样的过程可以无限制地进行下去。

例2[2]:介绍刘徽创立的“割圆术”。

我国古代杰出的数学家刘徽于魏景元四年 (公元263年) 创立的“割圆术”, 他通过借助于圆的一串内接正多边形的周长数列的稳定变化趋势定义了圆的周长。其作法是:首先作圆的内接正六边形, 其次平分每个边所对的弧, 作圆的内接正十二边形, 以下用同样的方法, 继续作圆的内接正二十四边形, 圆的内接正四十八边形, 等等。这样我们就得到了一串·圆的内接正多边形的周长数列:, 其中通项表示第n次作出的圆的内接正2n-1·6边形的周长。观察, 我们知道圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时, 这一窜圆的圆的内接正多边形的周长数列趋向于某个常数C。于是我们可以将C定义为该圆的周长。

通过对以上三个例题的分析, 让学生对数列极限有个初步认识。

三、数列极限定义

定义:设{an}为数列, a为常数。若对任给的正数ε, 总存在正整数N, 使得当n>N时有|an-a|<ε, 则称数列{an}收敛于a, a称为数列{an}的极限, 并记作nli→m∞an=a。若数列数列{an}没有极限, 则称{an}不收敛, 或称{an}为发散数列。

为了更好地理解极限的定义, 我们给出以下注意事项。

注:1.ε的双重性。首先ε具有绝对的任意性, 这样就保证了数列{an}无限趋向与a。另外一方面, ε具有相对的固定性, 一旦取定ε, 我们就可以估算an与a的接近程度。ε的双重性使得数列极限的ε-N定义, 既能从近似转化为精确, 又能从精确转化为近似, 它是掌握极限定义的关键。

2. N的存在性。在极限定义中, 重在N的存在性, 且N的存在性是与ε相关的。定义中并没有要求N的唯一性, 也就是说一旦ε任意给定后, 我们只要能够找到满足条件的N即可。

3. 极限的几何意义。在平面坐标系中, 数列{an}对应于数轴上的一窜点, 对于任意的ε, 存在正整数N, 使得当n>N时, 所有点an均在开区间 (a-ε, a+ε) 内。故至多N个点an在这区间外。

4.收敛与发散的数学符号叙述。

四、例题讲解

通过上面两个例题的详细讲解, 总结出求数列极限的一般步骤, 并强调证明数列极限过程重在寻找合适的, 我们可以采取“限定”和“放大”的方法来寻找N。然后再讲解几个求数列极限的证明题, 照总结的证明步骤, 一步一步证明, 以此加深学生对知识的理解。最后在学生对证明数列极限方法有了一定的熟练后, 再举两个证明数列发散的题目。通过严格的分析证明, 结出证明数列发散的一般步骤, 对比证明数列收敛的步骤, 找出他们各自的证明难点, 从而加深对数列极限的理解。

证明:限定n>7, 从而n3-3>0, 要使不等式

五、总结知识, 布置作业

教师要带领学生回顾数列极限的定义及其理解的难点, 理清证明数列收敛和发散的一般步骤, 让学生做到心中有数。最后, 教师布置几个证明数列极限收敛和发散的作业, 以此来考察学生对知识的掌握程度及其遇到的问题。

摘要：数列极限是数学分析课程中一个重要的概念, 它也是学好数学分析的必备知识。本文对数列极限定义的教学方法做了一些分析和思考。

关键词：数学分析,极限,定义,数列

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001.

篇9：第二讲 极限的定义与基本性质

一、数列极限及其性质

1．数列极限的定义：

xn收敛于a0，NN，s.t.xna,nN。

值得注意的是：1）N依赖于，但不唯一，而事先给定；

2）不等式xna中的可以用K来代替，其中K0不依赖于N,；

3）N可以通过xna得到，需要解不等式或作适当的放大。

例1 证明：a0，an

n!

n0。

分析：直接求解不等式

时 an!用放大法。记m[a]，则当nm0是不现实的。

n!12m(

从而 1)nm(1n)m(nm，1)

am(m1)，n!m1

注意到a[a]1m1，因此0

即可。

证明：0，不妨设1。记m[a]，取Nannm(m1)从而只要解1，m1m1aanmln(m1)ln，则当

ln(m1)lna

nN时有

am0(m1)，n!m1

因此由极限定义得annan

n!0。

□

2．用定义证明极限存在的方法

1）放大法：如前。

2）分步法与拟合法

例2 设xna，证明x1xn

na。

分析：若把xn中每项看成a，则

x1xn

n的值恰为a，因此

n

x1xn

n

a

1n

n

(x

i

1i

a)

n

i1

xia。

其余要借助假设xna来证明。给定0，N，当nN时xna，因此不能控制的项为x1a,x2a,,xNa。但好在这种项只有N项，从而可以调整n来控制它们。

证明：0，由xna，N1，当nN1时xna/2，从而

x1xn

nnN1

n

a1

N1

1n

n

(x

i1

i

a)

n

n

i1N1i1

xia

/2

n

i1

xia/2

n

xia。

又收敛数列有界，不妨设xnM,n，则

N1

n

i1

xia

N1n

Ma。

N1

12N1

(M|a|)，则当nN2时令N2n



i1

xia

。

最后，令Nmax{N1,N2}，则当nN时有

x1xn

n

a。因此由极

限定义知

x1xn

n

a。

□ 我们看到，这里我们先利用了极限的定义，然后再利用极限的性质（有界性）来完成证

明。

例3 证明：若pk0(k1,2,)且lim

pn

p1p2pn

n

0，limxna。

n

证明lim

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

n

a。

分析：把xn中每项看成a，则极限号后面的式子的值恰为a，因此

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

pk

a

p1xnap2xn1apnx1a

p1p2pn。

然后我们在试图用分步的方法来估计。记qk注意到qk

(k)

(n)



p1p2pn，k1,2,,n，0，因此若nk，则当k时n，从而

(n)k

0q因而qk再由qk

(n)



pk

p1p2pn

n

qk

(k)

0，0，k。0，由limxna，N1，当nN1时xna。

(n)

0，k，N2，当nkN2时0qk

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pnq

(n)

k

N

2(n)

。于是

n

a

q

k1

(n)k

xnk1a

n

nN1





k1

xnk1a



knN11

q

(n)k

xnk1a



kN21

qk

(n)

xnk1a

我们看到，只有中间的项得不到控制。为此我们设法使得中间项不存在，即要求

N2nN11。为此，只需要nN1N21即可。因此我们取NN1N21。

Ex1: 请完成上面的证明。

注意在上面的例题中，我们都利用xn的极限来拟合数列的项从而简化问题。这种方法称为“拟合法”，它经常与分步法同时应用。这个方法在很多类型的题目中都会用到，今后在出现相关例子时我们再作说明。

我们看到，如果在例3中取pk1，则得到例2。一个更一般的题目如下： 例4 设xna,ynb(n)，则lim

n

k

n

xn

k1

ynk1ablim

n

k

n

xn

k1

yk。

Ex2：证明例4。

n

例5 设x0时f(x)x。xn

n



i1

2i1fa，a0，证明xna。2naa。于是

证明：用x拟合f(x)，则xn

n



i1

2i1n

xna



i1n

2i12i1aa 22f

nn2i12i1

faa。22

nn





i1

由假设，0，0，当0x时有f(x)xx。取N则当nN时，对1in有0从而

n

2a

，

2i1n

a

2n

a，xna



i1

2i12i1faa 22

nn

n





i1

(2i1)an

a。

因此由极限的定义有xna。

□

例6 设ana，证明lim

aaCaCana。1n2nn02

n

提示：利用1

n

n

C

k0

k

n

以及lim

n

Cn2

n

k

0(k1,2,,n)。

二、极限的基本性质与应用

1．极限的性质

1）收敛数列（函数）的（局部）有界性

2）保号、保序性

2．极限的四则运算：条件—在极限存在且四则运算有意义。

例7若xna0，证明存在自然数N，当nN时证明：取

a2

a2

xn

a。

0，由xna，存在自然数N，当nN时有

a2

a2xn

32a。

xna

篇10：用极限定义证明极限

1、用数列极限定义证明：limn20 nn27

n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn

2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2

n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n[]，故取N=max{7, 2

44[]}。这样当n>N时，有n>7，n[]。因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n[]，所以不等号（3）成立的条件是1

|不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n20|。n27n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．

2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n40 nn2n

1n4n4n4时nn2n2(1)|20|22 nn1nn1nn1n2n

22不等号（1）成立的条件是n[],故取N=max{4, []},则当n>N时，上面的不等式都成例

2、用数列极限定义证明：lim

立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2n1n

2n2n1n

nnn22

n(n1)2n

1(1)n

例

3、已知an，证明数列an的极限是零。2(n1)

(1)n1(1)1(2)

证明：0(设01)，欲使|an0|||成立 22(n1)(n1)n1

11解得：n1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n1

1数n都是成立的，因此取N[1]，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式

和不等式均成立，所以当n>N时，|an0|。

在上面的证明中，设定01，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定01，则N[1]就有1



可能不是正整数，例如若＝2，则此时N＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01，这样就能保证N是正整数了。

那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当＝0.5时，有对应的N1，当n>N1时，|an0|＜0.5成立。因此，当n＞N1时，对于任意的大于1的，下列式子成立：

|an0|＜0.5＜1＜，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，则对于较大的．．．