勾股定理逆定理应用

勾股定理逆定理应用（共14篇）

篇1：勾股定理逆定理应用

勾股定理逆定理的五种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。下面举例说明。

一.用于判断三角形的形状

例1.如图1，中，求证：，是直角三角形，证明：由已知得：，即c是最长边

是直角三角形

二.用于求角度

例2.如图2，点P是等边求的度数

内一点，且，，解：因结PP”，则，以点B为定点，将

旋转到达的位置，连为等边三角形

在中

由勾股定理的逆定理知三.用于求边长 例3.如图3，在，中，D是BC边上的点，已知，，求DC的长。

解：在 中，由可知

又由勾股定理的逆定理知 在中

四.用于求面积 例4.如图4，已知ABCD的面积。，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形

解：连结AC，在在中

中，由勾股定理得

由勾股定理的逆定理知

五.用于证明垂直

例5.如图5，已知正方形ABCD中，，求证：

证明：连结FC，设AF＝1，则DF＝3，在、、中，由勾股定理的逆定理知即

篇2：勾股定理逆定理应用

一、选择题(共20题，题分合计100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为

A.

14B.14C.23D.23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是

A.0 个B.1 个C.2个D.无数个

3.在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4.已知三角形的三边长分别为x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，则最大角为

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23则边|

|等于

A.5B.5-23C.52D.523

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，则此三角形为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理适应的范围是

A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有

A.一解B.两解C.无解D.不确定

11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，则A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，则△ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，则△ABC为

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为

A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为

篇3：勾股定理逆定理应用

误区一:盲目化简,忽视特殊情况

案例1在三角形ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断三角形ABC的形状.

错误解析∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

∴2sin Acos B·b2=2cos Asin B·a2,

即a2cos Asin B=b2sin Acos B.

方法一由正弦定理知:a=2Rsin A,b=2Rsin B,

∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,

又∵sin Asin B≠0,

∴sin Acos A=sin Bcos B,

∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B,即A=B,

∴△ABC为等腰三角形.

方法二由正弦定理、余弦定理可知:

∴△ABC为直角三角形.

正确解析∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

∴2sin Acos B·b2=2cos Asin B·a2,

即a2cos Asin B=b2sin Acos B.

方法一由正弦定理可知:

a=2Rsin A,b=2Rsin B,

∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,

又∵sin Asin B≠0,

∴sin Acos A=sin Bcos B,

∴sin2A=sin2B.

在△ABC中,0<2A<2π,0<2B<2π,

∴2A=2B或2A=π-2B,

∴△ABC为等腰或直角三角形.

方法二由正弦定理、余弦定理可知:

误区二:局限表面,忽视隐含条件

利用两角和与差的余弦公式展开得

总之,在正弦定理与余弦定理的应用中,一定要挖掘隐含条件,思维缜密,让两个定理的作用得到最大限度的发挥.

篇4：勾股定理及其逆定理的应用

一、 直接应用

三、构造应用

例３（2006年湖南省常德市中考试题）如图３，P是等边三角形ABC

内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连接CQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA:PB:PC=3:4:5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

解析：（1）猜想：AP=CQ.

证明：在△ABP与△CBQ中，因为AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ -∠PBC=∠CBQ，所以△ABP≌△CBQ，所以AP=CQ.

（2）由PA∶PB∶PC=3∶4∶5，可设PA=3a,PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ= 60°，所以△PBQ为正三角形，所以PQ=4a.于是在△PQC中，因为PQ2+QC2=PQ2+PA2=16a2+9a2=25a2=PC2，所以△ＰQＣ是直角三角形.

篇5：例谈正弦定理、余弦定理的应用

例谈正弦定理、余弦定理的应用

作者：姜如军

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

篇6：《勾股定理应用》教案

能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.

【学习重点】

勾股定理及直角三角形的判别条件的运用.

【学习重点】

直角三角形模型的建立.

【学习过程】

一.课前复习

勾股定理及勾股定理逆定理的区别

二.新课学习

探究点一：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路径问题

1.3如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长是18cm.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?

思考：

1.利用学具，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线路，你认为

这样的线路有几条?可分为几类?

2.将右图的圆柱侧面剪开展开成一个长方形，B点在什么位置?从

A点到B点的最短路线是什么?你是如何画的?

1.33.蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?你是如何解答这个问题的?画出图形，写出解答过程。

4.你是如何将这个实际问题转化为数学问题的?

小结：

你是如何解决圆柱体侧面上两点之间的最短距离问题的?

探究点二：利用勾股定理逆定理如何判断两线垂直?

1.31.31.3李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直底边AB，

但他随身只带了卷尺。(参看P13页雕塑图1-13)

(1)你能替他想办法完成任务吗?

1.31.3(2)李叔叔量得AD的长是30cm，AB的长是40cm，

BD长是50cm.AD边垂直于AB边吗?你是如何解决这个问题的?

(3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?

小结：通过本道例题的探索，判断两线垂直，你学会了什么方法?

探究点三：利用勾股定理的方程思想在实际问题中的应用

例图1-14是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.

1.3

思考：

1.求滑道AC的长的问题可以转化为什么数学问题?

2.你是如何解决这个问题的?写出解答过程。

小结：

方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反应的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础.

四.课堂小结：本节课你学到了什么?

三.新知应用

1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近?并求出最近距离.

1.3

2.如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是

1.3

五.作业布置：习题1.41，3，4题

【反思】

一、教师我的体会：

①、我根据学生实际情况认真备课这节课，书本总共两个例题，且两个例题都很难，如果一节课就讲这两题难题，那一方面学生的学习效率会比较低，另一方面会使学生畏难情绪增加。所以，我简化教材，使教材易于操作，让学生易于学习，有利于学生学习新知识、接受新知识，降低学习难度。

把教材读薄，

②、除了备教材外，还备学生。从教案及授课过程也可以看出，充分考虑到了学生的年龄特点：对新事物有好奇心，但对新知识的钻研热情又不够高，这样，造成教学难度较大，为了改变这一状况，在处理教材时，把某些数学语言转换成通俗文字来表达，把难度大的运用能力降低为难度稍细的理解能力，让学生乐于面对奥妙而又有一定深度的数学，乐于学习数学。

③、新课选用的例子、练习，都是经过精心挑选的，运用性强，贴近生活，与生活实际紧密联系，既达到学习、巩固新知识的目的，同时，又充分展现出数学教学的重大特征：数学源于生活实际，又服务于生活实际。勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务。

④、使用多媒体进行教学，使知识显得形象直观，充分发挥现代技术作用。

二、学生体会：

课前，我们也去查阅了一些资料，关于勾股定理的证明以及有关的一些应用，通过这节课，真真发现勾股定理真真来源于生活，我们的几何图形和几何计算对于勾股定理来说非常广泛，而且以后更要用好它。对于勾股定理都应用时，我觉得关键是找到相关的三角形，并且分清直角边或斜边，灵活机智地进行计算和一些推理。另外与同学间在数学课上有自主学习的机会，有相互之间的讨论、争辩等协作的机会，在合作学习的过程中共同提高我觉得都是难得的机会。锻炼了能力，提高了思维品质，并且勾股定理的应用中我觉得图形很美，古代的数学家已经有了很好的研究并作出了很大的贡献，现代的艺术家们也在各方面用到很多，同时在课堂中渐渐地培养了我们的数学兴趣和一定的思维能力。

篇7：《勾股定理的应用》说课稿

各位评委老师，你们好！

今天我说课的题目是《勾股定理的应用》，下面我将从教材的地位和作用、学情、教学目标、教学重、难点、教法和学法、教学过程六个方面对本课进行分析。

一、说教材的地位和作用

本节选自华东师大版八年级数学上册第14章第2节，本节是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材在编写时注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过实际分析，使学生获得较为直观的印象。通过联系和比较，了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。勾股定理作为数学学习的工具，掌握好本节内容对其他内容的学习奠定基础。《勾股定理的应用》分为两个课时，本节课是第一课时。二：说学情

在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理的内容，并能运用它解决一些数学问题，同时也具备了一定的合作意识与能力，并对“做数学”有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，特别是构建数学模型还有困难，自主学习能力也有待于加强。

三、说教学目标

课标要求：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题

1.知识与技能目标：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题。

2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

3.情感态度价值观目标：培养合情推理能力，体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情。

四、说教学重、难点

重点：勾股定理及逆定理的应用。

难点：勾股定理的正确使用及体会数学建模思想。

关键：在现实情境中捕捉直角三角形，把实际问题化成勾股定理几何模型，然后针对性解决。

五、说教法和学法

1、教法分析

我主要采用了 引导发现法

问题教学法

演示法

合作探究法

练习巩固法等

2、学法分析

我主要采用了：自主探究学习法

实验法

合作探究学习

个人展示法

练习巩固法等

六、说教学程序

【第一环节

情境引入 导入新课】

本环节我设计了一个受台风影响树木断裂的问题，学生先独立思考，然后二人复述，再上黑板展示，最后教师引导学生发现解题思路，引出本节内容。

设计意图：通过给学生提供现实背景及生活素材，激发学生为解决问题而生成的求知欲。并体会数学来源于生活。

【第二环节

自主学习】 我把例1设计了5个问题，例2设计了4个问题，然后学生课前根据老师

设计问题自主探究，独立完成

设计意图：

1、通过自主学习，培养学生的自主探究学习的能力。

2、问题具体化，让学生亲历知识生成的过程，明确本节的重点，突破难点。

3、问题的层次化引导了学生数学模型的建立。

4、要求学生把解题过程规范写出来，让学生在理解知识内涵，掌握规律的基础上规范解题。

【第三环节

合作探究】

小组合作探究学习，教师巡视指导。

设计意图：一方面培养学生团队合作意识。另一方面让学生在讨论辨析中明辨事理，突破疑点和难点。

【第四环节

师生点拨] 通过合作探究，小组提出问题，学生解决问题，老师补充。老师质疑，师生共同解决。

设计意图：通过问题的解决和思维的展示，突破本节课的重难点。

【第五环节

巩固训练】

1、课本练习1

2、【2008年德州中考】有两棵树，一棵树高8米，另一颗树高2米，两树相距8米，一只小鸟从一颗树飞到另一棵树梢至少飞

米。

（黑板展示3号完成1题，2号完成2题，然后全体学生共同点评）设计意图：

1、让学生在训练中反思基础，认识规律，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件

2、通过黑板测验激发学生的竞争力，同时巩固本节课的内容。【第五环节

拓展创新】

如图，在长、宽都是5，高是7的长方体纸箱的外部，一B只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B处，求它所行的最短路线的长。

（学生先独立思考，然后各抒己见，教师引导达成共识，最后老师继续拓展，长宽不一样又应该怎么求）A

设计意图：进一步深化和拓展本节知识的内涵与外延，从而提高学生的思维能力。

【第五环节

课堂小结】

鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会；然后帮助学生自主建构知识体系。

篇8：勾股定理的探究与应用

探究一:如图1所示, 在边长为 c 的正方形中, 有四个斜边为 c 的全等直角三角形, 已知它们的直角边分别为 a、b, 中间是一个小正方形, 现利用这个图证明勾股定理。

证明:由题意得大正方形的面积=c2,

小正方形的面积= (b-a) 2,

直角三角形的面积undefinedab.

由大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积得:

c2= (b-aundefinedab×4.

所以 c2=b2-2ab+a2+2ab.

即:c2=a2+b2.

探究二:把图1中的四个直角三角形重新拼接, 拼成了以 (a+b) 为边的正方形, 如图2所示, 中间是边长为 c 的小正方形, 现用图2来证明勾股定理:

证明:大正方形的面积= (a+b) 2,

小正方形的面积=c2,

直角三角形面积undefinedab.

由大正方形的面积=小正方形面积+4个直角三角形面积, 得:

(a+b) 2=cundefinedab×4,

a2+2ab+b2=c2+2ab,

所以 a2+b2=c2. 即:c2=a2+b2.

探究三:也可以把图1、图2拼接为图3, 证明勾股定理。

证明:如图3所示, 大正方形的面积= (a+b) 2, 小正方形的面积=c2, 直角三角形的面积undefinedab.

据图3, 以 c 为边长的小正方形面积+4个直角三角形面积=cundefinedab×4=c2+2ab, 这与大正方形面积相等。

即: (a+b) 2=c2+2ab,

a2+2ab+b2=c2+2ab,

所以 a2+b2=c2.

探究四:两个全等的直角三角形 ABC 和 BED 的两直角边分别为 a、b, 斜边为 c, 与一个以 c 为直角边的等腰直角三角形 ABE 拼成如图4所示的直角梯形, 也可以用该图来证明勾股定理。

证明:直角梯形的面积=2个全等的直角三角形面积+1个等腰直角三角形的面积。

直角梯形的面积undefined (a+b) (a+b) undefined (a+b) 2.

三个直角三角形拼成图形的面积undefinedabundefinedc2=abundefinedc2.

所以undefined (a+b) 2=abundefinedc2,

即:a2+b2=c2.

探究五:如图5所示 , 已知在等腰直角三角形的外部, 分别以腰和斜边为边作三个正方形, 用以一个小方格为1个单位面积, 计算出三个正方形的面积。

证明:以腰 AB、BC 为边长的小正方形面积=32=9, 以斜边 AC 为边长的正方形面积=大正方形 HBDF 的面积-4个全等直角三角形的面积undefined, 而两个小正方形面积的和=9+9=18, 所以有以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积, 若以 a、b 表示两直角边, c 表示斜边, 就有 a2+b2=c2, 即两直角边的平方和, 等于斜边的平方。

探究六:如图6, 每个小正方格的面积均为1, 分别算出图中三个小正方形的面积, 看看能得出什么结论?

证明:正方形 ACDE 面积为22=4, 正方形 BCFG 的面积为32=9, 正方形 ABHK 的面积=大正方形 CMNQ 的面积-四个全等直角三角形面积undefined, 而4+9=13即undefined, 那么在直角三角形中, 以两直角边为边长的小正方形的面积的和, 等于以斜边为正方形的面积, 若以 a、b 为两直角边, c 为斜边, 有 a2+b2=c2.

勾股定理的多种证法, 可以开拓同学们的思路, 提高学习兴趣, 下面请思考:能不能运用勾股定理去解析直角三角形呢?

勾股定理反应了直角三角形各边之间的关系, 是我们求线段长度最常用的方法之一。一般地, 只要几何图形中出现了直角三角形, 我们首先想到的是以勾股定理为等量关系, 进行求解。勾股定理的应用, 其大体分为两类:一类是和几何图形有关的线段长度求解;一类是解决生活中的距离等问题。

例1 如图7所示, 在Rt△ABC 中, 求 AC.

解:根据勾股定理, AC2=AB2-BC2=102-62=64,

∴ACundefined

例2 如图8所示, 在Rt△ABC 中, 求 AB的长.

解:根据勾股定理, AB2+AC2+BC2=152+82=289,

∴ABundefined

例3 如图9所示, 厂门的上方是一个半圆, 一辆装满货物的卡车, 宽1.6m、高2.6m, 这辆卡车能否通过厂门 (要求卡车的上端以门的距离不小于0.2m)

解:如图所示, 由题意可知

OA=2.6-2.3=0.3 (m) ,

OBundefined

在Rt△OAB 中, 根据勾股定理得

AB2=OB2-OA2=12-0.32=0.91,

所以 ABundefined

所以在大门2.6m处的上方宽度为0.95×2=1.9 (m) .

由于1.9m>1.6m, 即卡车高2.6m处厂门宽1.9m, 比车宽1.6m大, 所以这辆卡车能通过厂门。

例4 一根70cm的木棒要放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中, 能放进去吗? (提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线)

解:如图10所示, 在Rt△ABC 中, 根据勾股定理得:

AC2=AB2+BC2=302+402=502, 所以 AC=50

由于50<70,

故沿 AC 所在线段放不进去。

在Rt△BFC 中, FC2=BC2+BF2=402+502=4100, FCundefined

∴沿 FC 所在线段放不进去。

在Rt△AEC 中, EC2=AC2+AE2=502+502=5000

所以 ECundefined

由于70.7>70,

篇9：勾股定理及其逆定理的应用

一、判断三角形的形状

例1已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。

解析要判断△ABC的形状须先求出三边a，b，c的长，再利用勾股定理逆定理进行判断。

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0。

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，∴a-3=0，b-4=0，c-5=0。即a=3，b=4，c=5。

∴a2=9，b2=16，c2=25，则a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形。

点评在由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A＝0，B＝0，C＝0，求得三角形三边之长，最后利用计算来判断△ABC是不是直角三角形。

二、探索勾股数

例2观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c。

⑴试找出它们的共同点，并说明你的结论；

⑵当a=21时，求b,c的值。

解析只要能够发现每组内三个数之间的规律即可，而这需要从不同的角度去观察，运用从特殊到一般的思想来分析。

⑴各组数的共同点是:

①各组数均满足a2+b2=c2;

②最小数(a)是奇数，其余的两个数b,c是连续的正整数；

③最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和。

由以上特点我们可猜想并说明这样一个结论：设x为大于1的奇数，将x拆分为两个连续正整数之和，即x2=y+(y+1),则x,y,y+1就构成一组勾股数。

∵ x2=y+(y+1)(x为大于1的奇数),∴x2+y2= y+(y+1)+y2=y2+2y+1=(y+1)2,

∴ x,y,y+1是一组勾股数。

⑵运用以上结论，当x=21时，212=441=220+221, ∴b=220,c=221。

点评此题的实质是揭示了寻找勾股数的一种方法：先选一个大于1的奇数，然后把这个奇数的平方写成两个连续正整数的和，则由这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，运用此法可以得到许多勾股数。

三、构造直角三角形

例3如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°， ∠ADC=150°， 已知四边形ABCD的周长为32，求四边形ABCD的面积。

解析四边形ABCD是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解。

连接BD，∵ AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形。

∴∠ADB=60°， BD=AD=AB=8。又∵∠ADC=150°， ∴∠BDC=90°，故△BDC是直角三角形。

因为四边形ABCD的周长为32， AB=AD=8，

∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC。

在Rt△BDC中，BD2+DC2=BC2，即82+DC2=(16-DC)2。解得DC=6。

四、解决存在性探索题

例4是否存在这样的直角三角形，它的两直角边长为整数且周长与面积相等？若存在，求出它的直角边长；若不存在，请说明理由。

解析题中条件较少，先假设存在这样的三角形，根据题中的等量关系及勾股定理列出方程，经讨论分析即可得证。

假设存在符合要求的直角三角形，设边长分别为a，b，c，且c为斜边，a，b为正整数，由题意，得a2+b2=c2①， ∵ a为正整数，∴b-4=1,2,4,8,即b=5,6,8,12。

把b代入④中得a=12,8,6,5,且c=13,10,10,13。

所以符合条件的直角三角形有两个，边长分别为：6，8，10；5，12，13。

五、用于解实际应用题

例5如图2，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

解析要求AE的长度，在Rt△ADE中应用勾股定理可求，但只知道DA=15km，不能求AE的长度。同时我们发现，在这个图形中有两个直角三角形，可以分别在这两个直角三角形中都利用勾股定理。在Rt△ADE中，根据勾股定理得：ＡD2+AE2=DE2，在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2，而DE=CE，从而得到等式AD2+AE2=CB2+BE2，列方程问题就可以解决了。

设AE=x，则BE=25-x，在Rt△ADE中，根据勾股定理得AD2+AE2=DE2。在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2。

因为现在要在公路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等。由DE=CE，知DE2=CE2，所以AD2+AE2=CB2+BE2。

即152+x2=102+(25-x)2，解得：x=10。

因此E站应建在离A站10km处。

例6如图3，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了几步路（假设两步为1米），却踩伤了花草。求他们少走了多少步路？

解析本题是一道新颖的实际问题。要算出少走了几步，则需要求出路AB等于多少米。观察图形知AB是Rt△ABC的斜边。因为AC=3m,BC=4m, 根据勾股定理可解决问题。

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=32+42=25,所以AB=5m。

根据假设可知5m需要走10步，则沿B→A走需要10步。而沿B→C→A走需要14步，可见他们仅仅少走了4步路,却踩伤了花草。

篇10：勾股定理应用说课稿

一、教材分析

1、教材的地位与作用：

勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就。它为我们提供了直角三角形三边间的数量关系，其逆定理又为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的依据，这些成果被广泛的应用于数学和实际生活的各个方面。本节教材是在学生研究了勾股定理及其逆定理在数学应用的基础上进一步研究其在实际生活中的应用。通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解勾股定理的应用方法，同时亦为学生对数学与生活之间的联系有一个更深层次的体会。

2、教学目标:

根据新课标的要求及八年级学生的认知水平，我将制定本节课的教学目标如下：

知识与技能：

能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。

学会选择适当的数学模型解决实际问题。

过程与方法：

通过问题情境的设立，使学生数学来源于生活，又应用于生活，积累利用数学知识，决日常生活中实际问题的经验和方法。

情感、态度和价值观：

使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识 , 体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。

3、教学重点与难点：

应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点;而把实际问题化归成勾股定理的几何模型(直角三角形)则是本节课的教学难点.

二、学情分析：

在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理及其逆定理的内容并能运用它们解决一些数学问题。同时也已具备有一定的合作交流意识和能力。但探究问题的能力有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，还不能抽象出相应的数学模型，自主学习能力尚有待加强。

三、教学过程

1.创设情境，导入新课：

首先借助多媒体展示校园花圃被学生踩踏的一角。然后及时出示问题: 学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走 “ 捷径 ” ，在花园内走出了一条 “ 路 ” ，若在拐角的两边缘走，要分别走 3 米和 4 米，那么请同学们计算走“捷径”仅仅少走了几米路 , 而踩伤了花草。不仅解决了问题还对学生进行了思想教育，并引入本节课的学习内容。进一步让学生体会勾股定理与实际问题之间的关系。引导学生讨论“应用勾股定理解决实际问题的一般思路是什么?”

这个环节主要是从由简单的实际问题(平面上)激发学生的探求欲望，通过探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型(直角三角形)，体会勾股定理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。为后续学习起到了引领作用。

2.合作交流，探索新知：

对于课本上“例1”的分析。我是在帮助学生理解如何将所求的实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的基础上，通过学生自学完成的。在正确理解例1的基础上,我把课本的例2进行重新编排，将其分解为三个问题。在具体的教学中是这样处理的：学生自己解决第一个问题，老师示范讲解第二个问题，师生共同讨论第三个问题。

本环节的设计意图是通过对两个实际问题的分析讨论,让学生理解用勾股定理解决实际问题的方法,体现化归的数学思想。

3.迁移训练，学以致用：

在这个环节中,我共设计了二个问题.第一个问题是通过直接运用勾股定理计算来加深学生对勾股定理应用方法的理解;一门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板是否能从门框内通过?为什么?

第二个问题是让学生先从实际问题中划归出直角三角形的模型,再由学生自己给出解答过程。考查了学生对本节课学习内容的理解。(见课本86页，例2)

这个环节的设计意图让学生利用勾股定理解决问题，培养学生的空间概念和把未知问题转化为已知问题来解决的化归思想。通过这两个变式训练，加深学生对勾股定理和转化思想的理解与运用，引入了分类讨论思想，培养了学生的`动手操作能力。

4.总结反思 拓展升华

首先鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会;然后帮助学生自主建构知识体系;接着布置本节课的课内与课外作业。

四、设计说明

本节课的教学设计，依据了《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础来选择身边的素材进行教学，使教学内容充满趣味性和吸引力，使学生在轻松愉悦的学习氛围中理解了用勾股定理解决际问题的方法，体现数学与生活的紧密联系。并通过一题多变的手段帮助学生理解数学中的化归思想与分类讨论思想。

在教学过程中注重以小组合作的形式设计，实施开放式教学，让学生人人参与，提高学生学习兴趣.通过教师的引导，尽可能多给学生提供积极思考，交流的机会，达到合作交流的目的，使不同的学生在交流合作的过程中得到不同的发展。体现了新课标人人学数学,人人用数学教学理念。

篇11：勾股定理应用说课稿

旦马中学 沈俊山

一．教材内容分析：

本课时是人教版版八年级（下）§18《勾股定理》部分的“勾股定理”第二课时内容。本节课是应用结论解决应用问题，教材中通过2个例题安排学习内容。勾股定理作为数学学习的工具，掌握好本节课内容对其他知识内容的学习创造良好的条件。通过学生积极参与数学活动，培养学生敢于面对数学学习中的困难并有独立克服困难和运用知识解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值。

二．课例的设计思想：

教学中通过发现学生问题，用温故知新的方式解决问题。尤其是在知识点上通过设置追问，落实每个同学对知识的盲点，弥补对知识点掌握的不足，对学生合情推理、逻辑论证进行全方位思维训练。

课例的设计思路是：对于例1的教学通过情景创设将问题深入并解决。培养学生数形结合的思想。

例2是勾股定理及直角三角形判定定理的综合应用，重点在于培养学生的演绎推理能力。教学中侧重于学生的观察、分析和说理。

练习题的设计再次训练学生运用勾股定理解决实际问题的能力。

教学方法：教学中通过设置小组讨论的办法，让学生通过交流合作解决老师提出的问题，落实本课的学习目标。

三、教学过程设计

1、教学目标： 知识与能力目标：（1）股定理进行相关计算（2）能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题

2、方法与情感目标：

通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化与数形结合的思想方法。培养学生合作、交流的意识和品质，让学生感受探究的苦中之趣。

3、教学重点：运用勾股定理解决实际问题

4、教学难点： 际问题转化建模与勾股定理的灵活运用

5、教学流程：先从上节课知识复习勾股定理的相关计算，再有笑话一则引入实际问题的解决，然后设置两道探究题进行探究，最后设置习题进行练习，检查上课效果。最后结本节课知识，再次回顾本节课目标，布置作业。四．课后反思：

成功之处：

1、完成教学目标，教学任务。

2、每一位同学都能积极参与探究问题，发挥了组长带领组员学习的作用，教师只起到指导作用，基本上沿用我校“学生学、教师导、学生动”的模式。不足之处：

1、学生的积极性、激情程度不高，没有很好发挥小组的团队合作精神。

2、数字计算能力较差，在开根号时用时太多

3、学生准备不充分，计算机没带

总之，在上课的过程中有好多不足之处，希望各位领导和老师提出宝贵的意见和建议，一便在今后的教学中更加完善自己！

篇12：勾股定理的应用教学反思

勾股定理的应用教学反思

一、教师我的体会：

①、我根据学生实际情况认真备课这节课，书本总共两个例题，且两个例题都很难，如果一节课就讲这两题难题，那一方面学生的学习效率会比较低，另一方面会使学生畏难情绪增加。所以，我简化教材，使教材易于操作，让学生易于学习，有利于学生学习新知识、接受新知识，降低学习难度。

把教材读薄，②、除了备教材外，还备学生。从教案及授课过程也可以看出，充分考虑到了学生的年龄特点：对新事物有好奇心，但对新知识的钻研热情又不够高，这样，造成教学难度较大，为了改变这一状况，在处理教材时，把某些数学语言转换成通俗文字来表达，把难度大的运用能力降低为难度稍细的理解能力，让学生乐于面对奥妙而又有一定深度的数学，乐于学习数学。

③、新课选用的例子、练习，都是经过精心挑选的，运用性强，贴近生活，与生活实际紧密联系，既达到学习、巩固新知识的目的，同时，又充分展现出数学教学的重大特征：数学源于生活实际，又服务于生活实际。勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务。

④、使用多媒体进行教学，使知识显得形象直观，充分发挥现代技术作用。

篇13：例析应用勾股定理的几个误区

一、忽略定理应用的条件

例1已知△ABC中,三边长a、b、c为整数,其中a=3,b=4,求第三边c的长.

错解:由勾股定理,得a2+b2=c2,∴c2=32+42=25,∴c=5.

剖析:应用勾股定理的前提条件必须是“在直角三角形中”,本题解法是受“勾3股4弦5”的影响,错把△ABC当成直角三角形,导致错误的使用勾股定理.

正解:由三角形三边关系可得b-a<c<b+a,∴1<c<7,又c为整数,∴C的长应为2、3、4、5或6.

二、理解不透,直接套用公式

例2在Rt△ABC中,a=8,b=10,∠B=90°,求第三边c的长.

错解 : 由勾股定 理 , 得c2=a2+b2=82+102=164,∴c =1641/2 .

所以第三边长为1641/2.

剖析:本题解法中错在对公式理解不透,只注意公式的表面形式a2+b2=c2,没有分辨清楚哪个是斜边,哪些是直角边,本题忽视了∠B=90°,由于∠B=90°,所以b应为斜边,而不是c.

正解:因为∠B=90°,∴b2=a2+c2,∴c2=b2-a2=102-82=36,∴c=6,故第三边c长为6.

三、不加诊断,求边漏解

例3在Rt△ABC中,已知两边长为3、4,求第三边的长.

错解:因为△ABC是直角三角形,∴△ABC的第三边长为（32+42 ）1/2=5.

剖析:本题错在将3、4都当成了直角边,事实上,本题并没有明确告诉我们哪个角是直角,因此4也可以作为斜边,所以须分类讨论.

正解:1.若4为直角边,则第三边的长为（32+42 ）1/2=5;

2.若 4 为斜边,则第三边的长为（42-32 ）（32+42 ）1/2=5= 71/2 .故第三边长为 5 或7 （32+42 ）1/2=5.

四、注意分类讨论

剖析:上面解法中,只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,忽视了高在三角形外的情况,即当△ABC是钝角三角形时.因此须分类讨论.

例4已知在△ABC中,AB=4,AC=3,BC边上的高等于2.4,求△ABC的周长.

错解:如图1所示,

由勾股定 理 , 得BD =（42-2.42）（32+42 ）1/2=5=15/6,

∴△ABC的周长为AB+BC+CA=4+5+3=12.

正解:1.若∠C是锐角(如图1),由勾股定理,得BD=（42-2.42）（32+42 ）1/2=5=15/6,CD=（32-2.42）（32+42 ）1/2=5 =9/5.

则 BC=BD+DC=16/5+9/5=5,这时△ABC 的周长为 AB+BC+CA=4+5+3=12;

2. 若∠C是钝角 (如图2),则BC=BD-DC=16/5-9/5=7/5, 这时△ABC的周长为AB+BC+CA=4+7/5+3=42/5..所以△ABC的周长为12或42/5.

篇14：正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理和余弦定理的承载背景是三角形。正弦定理和余弦定理架起了沟通三角形的边和角的桥梁。下面结合具体的例题谈谈正弦定理和余弦定理在三角形中的应用。

1利用正弦、余弦定理解斜三角形

例1.在△ABC中,已知a=2,b=3,A=45°,求B、C及c。

思路:已知a, b, A,由正弦定理可求B,从而可求C, c。

点评归纳:(1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,例如在△ABC中,已知a=1,b=2,A=60°,则sinB=basinA=3>1, 问题就无解。如果有解,是一解,还是二解。

(2)正、余弦定理可将三角形边角关系互相转化。

(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定。

2面积问题

例2.△ABC中角A、B、C的对边分别为a, b, c,且b2+c2-a2+bc=0

(1)求角A的大小;

(2)若a=3,求SΔABC的最大值;

(3)求asin(30°-c)b-c的值。

思路:(1)由b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想余弦定理,求出cosA,从而求出A的值。

(2)由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b, c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值,进而求出SΔABC的最大值。

(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能。从而达到化简求值的目的。

解析:(1)因为cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,所以A=120°

(2)由a=3,得b2+c2=3-bc,又因为b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号),所以3-bc2bc,当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1,

所以SΔABC=12bcsinA34,所以SΔABC的最大值为34

点评归纳:(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理运用,有时还需要交替使用。 (2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理。 (3)在求三角形面积时,通过正、余弦定理求一个角,两边乘积,是一种常见思路。

3判断三角形形状

例3.在△ABC中,a, b, c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),该判断三角形的形状。

思路:利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系。

解析:已知即a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]

所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正弦定理,即sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA

所以sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,所以sin2A=sin2B,

由,0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A=π-2B

即△ABC是等腰三角形或直角三角形。

点评归纳:三角形形状的判定方法

(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosc等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sinA=sinBA=B;sin(A-B)=0A=B;sin2A=sin2BA=B或A+B=π2等。

(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sinA=a2R,cosA=b2+c2-a22bc等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断。