不等式的性质及其解法

第一篇：不等式的性质及其解法

不等式的解法

【考纲要求】

熟练掌握一元一次不等式(组)，一元二次不等式，含绝对值不等式的解法。

【内容提要】

1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法.

2.通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.

3.通过教学过程，使学生掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式， 化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式.

4.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰.

【题型示例】

见课本(略)

第二篇：不等式的解法练习题

职三数学课堂练习题(4)

不等式的解法练习题

1、已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2、不等式3x1<1的解集为()A. RB. xx0或x2C. xx2D. 2x0x 333

3、若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(-∞，-2)∪(2，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞)

1

4、设二次不等式ax2+bx+1>0的解集为x|-1

A.-3B.-5C.6D.5

5、若a<0，则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解是

6、不等式x2-2x+a>0对x∈R恒成立，则a的取值范围是

7.解不等式：

1-x011-3x2 (1) (2) (3) 3x2-2x-1≥02x502x15

2(4) -x2-2x+3≥0(5) 12x5x30

(6)xx10(7) 1|2x3|5 2

28.设A{x|xx200},B{x||2x3|0}，

求(1)AB(2)AB

第三篇：分式和绝对值不等式的解法

(一)分式不等式： f(x)f(x)为整式且(x)的不等式称为分式不等式。 0或0(其中f(x)、(x)0)(x)(x)

(1)分式不等式的解法：

解关于x的不等式x10 3x

2方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：

x10x10或(x1)(3x2)0 3x203x20

变式一：x103x2

(x1)(3x2)03x20等价转化为：

比较不等式x1x1(不等式的变形，强调等价转化，分母不为零) 0及0的解集。3x23x2

(2)归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：

(1)f(x)f(x)0f(x)(x)0(3)0f(x)(x)0 (x)(x)

f(x)(x)0f(x)(x)0f(x)f(x)00(2)(4) (x)0(x)0(x)(x)

(3)小结分式不等式的解法步骤：

(1)移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式

(2)转化为等价的整式不等式

(3)因式分解，解整式不等式(注意因式分解后，一次项前系数为正)

练一练：解关于x的不等式(1)

例

1、 解关于x的不等式：

解：21x3 0(2)35xx5x22 x3x220 x

3x22(x3)0 x3

x8即，0 x3

x80(保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正) x3

(x8)(x3)0等价变形为：x30

原不等式的解集为

例

2、解关于x不等式

方法一：x28,3 x822x2x32x3恒大于0，利用不等式的基本性质

方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。

例

3、 解关于x的不等式：

解：移项a1 xa10 x

axxa通分0即，0 xx

等价转化为，x(xa)0

x0

当a>0时，原不等式的解集为(0,a]

当a<0时，原不等式的解集为[a,0)

当a=0时，原不等式的解集为

(二)绝对值不等式 理解绝对值的几何意义：

其几何意义是数轴上的点a(a0)a0(a0)a(a0)， A(a)离开原点O的距离OAa。

(一)注意绝对值的定义，用公式法

即若a0，|x|a，则axa;若a0，|x|a，则xa或xa。

|2x3|3x1 例1. 解不等式

解：由题意知3x10，原不等式转化为

即：对于形如

①当a>0时，

②当a=0时，

③当a<0时，

拓展：形如(3x1)2x33x1 |f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式，此类不等式的简洁解法是等价命题法，即： |f(x)|aaf(x)a;|f(x)|af(x)a或f(x)a。 |f(x)|a，无解;|f(x)|af(x)0。 |f(x)|a，无解;|f(x)|af(x)有意义。 a|f(x)|b(ba0)型不等式，此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即：

a|f(x)|b(ba0)af(x)b或bf(x)a。

例1解以下不等式：

(1)|2x3|5;|2x1|0。 (2)

解：(1)由原不等式可得：2x35或2x35，即x>4或x1。

所以原不等式的解集是{x|x4或x1}

(2)因为左边为非负值，而右边为0，故不等式无解，即解集为。

(二)注意绝对值的非负性，用平方法

22|x|x等式的两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。

例2. 解不等式|x1||2x3|

两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。

222222|x1||2x3|(x1)(2x3)(2x3)(x1)0 解：原不等式

即：对于 形如|f(x)||g(x)|型不等式，此类不等式的简洁解法是利用平方法，即：

|f(x)||g(x)||f(x)|2|g(x)|2[|f(x)||g(x)|]|f(x)g(x)|0。

例2解不等式|x1||2x3|。

4x22|x1||2x3|3x10x803解：原不等式等价于：，即，解得。 2

2(三)注意分类讨论，用零点分段法

不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。

例3. 解不等式|x2||x1|

3解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x10和x20得分界点

于是，可分区间x

1、x2 (，2),[2，1]，[1,)讨论原不等式

x2,2x1,x1,或或(x2)[(x1)]3x2(x1)3x2(x1)

3解得x1或x

2x(，2)(1，) 和

综上不等式的解为即：对于形如xcxbaxcxba不等式，用零点分段法1.解不等式x1x3

4(1)利用绝对值不等式的几何意义

这个不等式的几何意义是：数轴上到1对应点的距离与到3对应点的距离之和不小于4的所有点的集合

(2)零点分段讨论：(即去掉绝对值)

注：x=1,与x=3将数轴分成三段，然后根据不等式的几何意义去掉绝对值，解不等式

(3)构造函数，求函数解集温馨提示：令f(x)xx3画出函数图像进行研究

总结:绝对值不等式的解法

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)xa(a0)axa;; ; ; xa(a0)xa或xaf(x)a(a0)af(x)af(x)a(a0)f(x)a或f(x)af(x)g(x)g(x)f(x)g(x); f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x); ; axb(ba0)axb或bxa

f(x)

(8)

(9)2f(x)ag(x)f(x)[ag(x)]2a(a0)g(x)g(x)0g(x)0。 |f(x)||g(x)||f(x)|2|g(x)|2[|f(x)||g(x)|]|f(x)g(x)|0

(10)对于形如

求解。

xaxbm等含有多个绝对值符号的不等式，常用“零点分段”或绝对值的几何意义

[课后练习]

1、不等式

2、不等式x1(2x1)0x1(2x1)0的解集为。 的解集为。

11|xm|<1成立的充分非必要条件是32，

6、已知不等式

则实数m的取值范围是。

7、不等式x2x

3x1m的解集是。 的解集为R的充要条件是()

8、关于x的不等式

A.m0B.m1C.m0D.m

19、不等式|x-x-6|>3-x的解集是()

A.(3,+∞)B.(-∞，-3)∪(3,+∞)

2C. (-∞，-3)∪(-1，+∞)D.(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞)

10、解不等式

11、设函数|2x1||x4|x1。 f(x)ax2，不等式|f(x)|6的解集为(1,2)， 试求不等式

提高题x1f(x)的解集。

ab

12、用>或<或或填空：ababab(|a|>|b|)。

;命题乙为两个实数a、b满足

13、已知h0，设命题甲为两个实数a、b满足ab2ha1h，且

b1h

14、已知

15、已知

(1)求

，那么甲是乙的条件。 ，a、bR，且a≠b，求证：f(x)x2f(a)f(b)ab. f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x， g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)g(x)|x1|。

第四篇：一元二次不等式的解法的教学设想

“一元二次不等式的解法”

(一)教学设想

屯留县教师进修校 贾海芳

中职教材在提供本课内容时，是在实数乘法法则基础上进行的，所以在进行教学时总感觉思维放不开，总想利用数形转化的思想，即利用二次函数图象来进一步体现不等式的解集，更为直观。所以再进行这部分知识教学时，我考虑先学习函数图象，再进行二次不等式的求解学习，进一步体现知识之间的内在联系，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣，更便于知识之间的有机整合。

第五篇：分式与高次不等式的解法(文)

例题:

1,(1)不等式

x3x3

x2>0的解集是;(2)不等式x2≥0的解集是;(3)不等式x21x≥0的解集是;(4)不等式-2<1

x

≤3的解集是;

(5)不等式(x2

-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)>0的解集是.

☆变式：①(x2-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)≥0;②(x2-x+1)(x+1)(x-4)2(6-x)>0.

2,已知不等式ax

x1

<1的解集为{x|x<1或x>2},求a.

3,已知三个不等式：①2x45x，②

x2x2

3x2

1，③2x2

mx10 (1)若同时满足①②的x值也满足③,求m的取值范围;

(2)若满足③的x的值至少满足①②中的一个,求m的取值范围. 练习：

1.(04重庆)不等式x

x1

2的解集是() A.(1,0)(1,)B.(,1)(0,1)C.(1,0)(0,1)D.(,1)(1,)2.(04天津)不等式x1

x

2的解集为() A.[1,0)B.[1,)C.(,1]D.(,1](0,) 2

3.不等式

xx-1

x+1的解集是.

4.解下列不等式：(1)2x1x4≥0(2)x22x1

x1

≥0

(3)x22x3(xx1x3x2x6<0(4)1)2(x1)(x2)

(x4)

0

(5)x41x<0

(6)x2x24x220x18

4x37x28x≥0;(7)x2

5x4

≥3;(8)x-3≥x;

5.(01)解关于x的不等式

xa

xa

0(aR). 分式与高次不等式的解法(文)

例题:

1,(1)不等式

x3x3

x2>0的解集是;(2)不等式x2≥0的解集是;(3)不等式x21x≥0的解集是;(4)不等式-2<1

x

≤3的解集是;

(5)不等式(x2

-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)>0的解集是.

☆变式：①(x2-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)≥0;②(x2-x+1)(x+1)(x-4)2(6-x)>0.

2,已知不等式ax

x1

<1的解集为{x|x<1或x>2},求a.

3,已知三个不等式：①2x45x，②

x2x2

3x2

1，③2x2

mx10 (1)若同时满足①②的x值也满足③,求m的取值范围;

(2)若满足③的x的值至少满足①②中的一个,求m的取值范围. 练习：

1.(04重庆)不等式x

x1

2的解集是() A.(1,0)(1,)B.(,1)(0,1)C.(1,0)(0,1)D.(,1)(1,)2.(04天津)不等式x1

x

2的解集为() A.[1,0)B.[1,)C.(,1]D.(,1](0,) 2

3.不等式

xx-1

>x+1的解集是.

4.解下列不等式：(1)2x1x4≥0(2)x22x1

x1

≥0

(3)x22x3(xx1x3x2x6<0(4)1)2(x1)(x2)

(x4)

0

(5)x41x<0

(6)x2x24x220x18

4x37x28x≥0;(7)x2

5x4

≥3;(8)x-3≥x;

5.(01)解关于x的不等式

xa

xa

0(aR).