EOQ模型

EOQ模型（精选四篇）

EOQ模型 篇1

EOQ研究的起源可以追溯到十九世纪末的有关确定银行保持多少现金流的问题。在1915年,Harris F.对银行货币的贮备问题进行了详细的研究,建立了一个确定性的库存费用模型,并确定了最优解,即最佳批量公式。这个模型是后来发展起来的确定性存贮模型和随机性存贮模型的鼻祖。1934年Wilson R.H.重新得出了Harris的公式,即现在人们熟知的经济订购批量公式EOQ(Economic Order Quantity),或称为Wilson公式。这就是存贮论的启蒙研究。

下面我们从EOQ基本模型开始讨论它的模型扩展方法及其模拟研究。

2 EOQ基本模型

不允许缺货瞬时补足的经济订货批量模型是存贮论中最经典的经济订货批量模型,以下简称EOQ模型。EOQ模型是大多数企业最常采用的确定性存贮模型,它是通过平衡采购成本和库存持有成本,通过确定最佳的订货批量来实现最低总库存成本的方法,其目标是使物料的年度总成本最低。

EOQ基本模型建立在一系列假设之上,这些假设有:

①对货物连续、稳定、已知的需求率,设需求率(单位时间需求量)是可预测的常数R;

②稳定、已知的补货或订货前置期(当存贮量下降至零时可立即得到补充,即瞬时补足);

③与订货数量或时间无关的稳定的采购价格;

④与订货数量或时间无关的稳定的运输价格;

⑤所有需求都能满足(不允许缺货,缺货成本无穷大);

⑥无中转库存;

⑦只有一种产品库存或至少产品之间无相关性(独立需求产品);

⑧计划范围无限;

⑨资金能力方面无限制;

⑩每次订货量Q不变,一次订购费C3不变;

⑪单位存贮费C1不变。

有了以上假设,可得EOQ基本模型为:

最优订货批量为:

3 EOQ扩展模型

3.1 EOQ模型的简单扩展

EOQ模型的简单扩展通常是个别地放松基本模型的假设条件。如生产率p为常数,不立即补充存货的情况、允许缺货的情况、价格折扣的情况、需求随机的单一周期模型、需求随机的再订货点模型以及需求随机的定期检查模型。它们的解析模型及其解析解一般可以在运筹学教科书中找到。

3.2 EOQ模型的复杂扩展

EOQ模型的复杂扩展通常是更多地考虑库存管理实践活动所要求的不同实际约束。如多级供应链下的库存管理、存货量影响销售量的情况、变质性物品库存管理、零售商在销售链上占垄断地位的情况、提前期滞后的情况、可变库存费用的情况以及支付延迟的情况。它们的解析模型及其解析解一般可以在科技期刊或博硕士论文中找到。

4 EOQ扩展模型的模拟

以上EOQ扩展模型通常先建立解析模型,然后在非常严格的数学假设条件下求出解析解,而这些严格的数学假设在库存管理活动中很难实际满足,这就限制了它的实际使用效果。对于那些使问题不满足解析建模的标准方法所规定之假设的情形,模拟可能是建立模型和解决问题的有价值的方法。将EOQ扩展模型转化为模拟模型是解决以上问题的很好思路。

模拟是建立系统或决策问题的数学或逻辑模型,并以该模型进行实验,以获得对系统行为的认识或帮助解决决策问题的过程。模拟的主要优点在于它将问题或系统的任何适当假设模型化的能力。当问题表现出在分析上一般不易处理的不确定性时,模拟特别有用。

库存是搁置一旁以待将来使用的任何资源,管理好它们是重要的。过量的库存可能导致企业破产,而需要库存时却没有库存也可能导致企业倒闭。EOQ模型是最简单且最基本的库存模型,它适用于连续检查库存系统。在连续检查库存系统中,库存状况是被连续监控的。以下以含丢失销售量的连续检查模型为例探讨这个问题的模拟模型。

我们假设需求具有均值为每周100单位的泊松分布,因而期望年收益是5200单位。每周持有一个单位的成本是$0.20(HC=S10.40),每次定购成本是$50。每个未能满足的需求都失去而且使公司损失$100的利润。下订单与到货时间之间的提前期是2周。因而,提前期内的期望收益是200单位。订货时间是周末,而收货时间是周初。为了建立模拟模型,我们必须先建立这个库存系统运行的逻辑。这由图1来说明。我们假设,最初没有未交付的订货,且原始库存水平(INV)等于定购量(Q)。因此,期初的库存状况(POS)将与库存水平相同。

可以在Excel电子表格中实施图1中的逻辑(也可以在Witness、Flexsim、Anylogic等模拟软件中实施)。为了求得Q与r的最优值,可以以它们的不同组合来做实验。我们预期指定的(Q,r)组合的结果会有相同的分布。因而,在作出任何结论之前我们应当反复模拟。这可以利用水晶球Crystal Ball软件来完成。通过模拟,我们看到最优组合大约是Q=350与r=325。

5 结论

从理论上讲,目前有许多EOQ模型仅仅是为了数学上处理问题的方便而提炼出来的,与实际库存系统还有较大的差距。其次,复杂的多品种、多级和某些其他EOQ模型的构造及最优存贮策略也尚未完善,甚至对许多实际库存问题常常没有适合的模型。如何探索把EOQ理论很好地用到实际问题中去,特别是如何结合我国实际,建立实用的EOQ模型,寻求最优策略、提供近似解的启发式方法或建立模拟模型,并使所作的决策容易为决策者所理解和使用,是我们需要认真研究和解决的重要课题。

摘要：首先讨论了EOQ基本模型,然后讨论了EOQ扩展模型及其模拟方法,指出采用模拟手段研究EOQ模型是一个有效的方法。

关键词：经济订货批量,模型,模拟

参考文献

[1]孙雪莲.几类库存EOQ模型的扩展研究[D].新疆大学,2006:35-45.

[2]编写组.运筹学[M].北京:清华大学出版社,1990:356-357.

[3]章伟萍,董丽华.经典经济订货批量模型的扩展及应用[J].上海海事大学学报,2005,(6):47-50.

EOQ模型 篇2

订货批量是指消耗一次订货费用一次采购某种产品的数量。经济订货批量(Economic order quantity,EOQ)是按照库存总费用最小的原则确定的订货批量,这种确定订货批量的方法就称为经济订货批量法。

库存管理的目标是在企业现有资源约束下,以最合理的成本为用户提供所期望水平的服务。库存成本包括购入成本、订购成本、储存成本和缺货成本。因此在一定的需求和服务水平下,订购次数与订货批量决定着库存水平,从而决定着库存成本,即对于一个企业而言,库存控制是建立在一定要求的输出前提下,因此需要调整的是输入,而输入的调整依赖于订货,所以,确定经济订货批量是库存控制过程中的重要决策。

2 基本EOQ模型

2.1 假设条件

为了突出某些因素在影响库存决策中的主导地位,也为了便于理解和应用,我们作出如下假设来对库存管理系统建立一个简单而直观的模型:(1)需求稳定,单位时间内的系统需求恒定;(2)订货提前期不变;(3)每次订货批量一定;(4)每批订货一次入库,入库过程在极短时间内完成;(5)订货成本、存储费率和单价固定不变;(6)不允许缺货;(7)没有在途库存。

前三个条件是紧密联系的,且基本上意味着存在确定性。在每一段时间内的需求是已知的,并且使用速率是时间的线性函数。公司以一个恒定的速度使用或消耗现有的库存,并且已知补充库存需要的时间。或者说,每次的提前期是不变的。所以,企业就没有必要考虑缺货情况,相应地,就是没必要考虑缺货成本。

2.2 模型的数学表达形式及求解

鉴于以上的假设,在简单EOQ模型里只考虑基本的两种类型的成本:存储成本和订货成本。订货批量与这两种成本之间的关系可表示为图1。通过分析可知,当需求一定时,增大订货批量可以减少订货次数,从而降低订货费用,但同时,增大订货批量会使平均库存水平提高,以至于存储费用会升高,因此,我们通过数学模型方法去寻求一个合适的订货批量来平衡存储成本和订货成本。

应用以下的变量我们可以将EOQ模型用标准的数学形式表示出来:

P———物品单价

D———年需求量

Q———订货批量

C———每次订货成本

H———年存储费率

年存储成本可以表示为:,年订货成本:

则年库存总成本为:

利用微分法求解,对决策变量Q求一阶偏导数,并令其等于零,得:

从而可得Q的最优解为:

从公式可以看出,当年存储费率与采购价格不变时,年需求量或订货成本的增加都将导致经济订货批量的增加。与此相反,当年需求量和订货成本维持不变时,年存储费率与采购价格的增加都将导致订货批量的减少。

2.3 基本EOQ模型适用性评价分析

基本EOQ模型在确定性假设前提显得较为简单,但它适用的范围相当广泛的,其合理性主要体现在:第一,在一些商业活动中,需求波动很小,过分地追求决策的精确性而把模型建得很复杂是不划算的。第二,一些刚开发库存管理模型的公司只有很少量的数据可用,所以基本的EOQ模型的应用是很方便和必要的。第三,基本的EOQ模型的结果在一定的程度上对输入其中变量的变化敏感度较低,即,一些变量如需求、库存持有成本和订货费用的变化不会显著影响经济订货批量的计算结果。

实际上,针对基本EOQ模型所需的假设与部分实际不相符的情况,如存在在途成本,企业可以通过调整基本的模型来处理实际中更加复杂的情况,如通过在模型中加入其它影响库存决策的变量来求得EOQ。下面我们将通过考虑在途库存中运输形式选择对总成本的影响,来分析如何使总库存成本最低。

3 考虑运输方式选择的EOQ模型调整

3.1 在途库存成本分析

在简单EOQ模型中没有考虑在途库存成本,这意味着企业是以含运费的价格进行采购的,同时以买方支付运输费用进行销售的,即从入库方面看物品的所有权是在买主收到货物入库的时候才进行转移的,而从出库方面看,物品所有权在离开工厂仓库或港口时就已经转移了。但在实际一些情况下,订货的企业在物品运输的过程中,公司是拥有货物所有权的,需要对在途库存成本负责。因此,如果考虑不同运输方式的转运时间和不同的运费,我们就应该考虑运输费用和转运时间与其它相关的库存成本之间的平衡问题。为了计算在途库存成本,分析不同的运输方式与转运时间对库存成本的影响,我们需要修正简单的EOQ模型。

通过分析在途库存的成本,可以得知:第一,库存只在周期的部分时段才在运输途中。第二,在途库存并未用完或卖出时,仓库库存有可能已经降为零了。基于在途库存的这两个特点可知,在途库存成本不同于仓库库存货物的持有成本。如果每日的在途库存持有成本已知,我们可以将其乘以在途天数,然后再将其结果乘以每年订货次数或每年周期次数,即可得出全年的在途库存成本。

3.2 考虑运输方式的EOQ模型建立

假设下列条件为已知:

C———在途库存的持有成本

P———存货的单位价值

t———订货周期时间

tm———存货转运时间

M———全年平均在途库存数量

则每年订货次数为D/Q

取全年天数为360,则从而

则全年在途库存持有成本为

从而总存货成本方程可写为:

4 实例分析求解

某公司以单价100元每年购入3 600单位的某种物品,订购成本为每次200元。物品每年存储费率为25%,在途库存成本为10%,每单位重量为1千克,可采用铁路或公路两种运输方式运输,其中,采用铁路运输的转运时间即订货提前期分别为8天和6天,运输成本为铁路每千克3元,公路为每千克4元。问该物品的经济订货批量是多少,该采用何种运输方式,年订购次数与年总成本是多少?

根据题意,已知P=100,D=3 600,C=200,H=25%

根据公式(1)可得经济订货批量为:

则平均每年订货次数为次,取一年为360天,则平均订货周期为

对于两种运输方式,分别计算运输成本,然后根据公式(2)计算总库存成本如下:

对于铁路,运输成本为

总库存成本为:

对于公路,运输成本为:

总库存成本为:

通过以上计算可知铁路方案年总库存成本更低,为17 600元,因此采用铁路运输更经济合理,经济订货批量为240单位,平均每年订货次数为15次。

5 结束语

传统上,库存管理者关注提高效率的两个重要问题,从供应商那里订多少货以及什么时候订货,这两个问题可以使用基本EOQ模型来解答,即用它来平衡存储成本与订货成本,然后根据需求或使用率来计算订货点。当需求和订货周期相对稳定,定量订购的EOQ方法是有效的库存管理工具。但如果库存受到其他相关成本影响较大时,例如,如果存在运费折扣、运输方式选择、自有车辆等,那么我们可以调整基本的EOQ模型去适合实际情况。本文根据运输方式选择的不同对基本EOQ模型进行了调整,这是与物流管理者决策息息相关的管理方法。

当然,在如今越来越复杂的商业环境下,使用基本的或调整的EOQ模型都需要兼顾供应链中的许多其它环节,扩充其它新的概念,以解决某些特定的问题,如在什么地点存货、应该持有什么样的SKU(库存量单位)等。现在比较新的一些概念如JIT、MRP、MRPⅡT ERP在物流中的应用已经取得相当大的成功。另外,现代补货方法包括QR(快速反应)和ECR(有效客户响应),都是基于时间战略提出的在复杂竞争性环境中的新的需求拉动补货概念,值得进一步研究。

摘要：传统的库存管理包括两个基本的问题:从供应商处进行订货的数量以及订购的时间点的确定。但是在现在竞争越来越大的商业环境下,库存问题也变得越来越复杂,涉及到存货地点、运输方式等,这对于库存决策者是一个挑战。定量订购的EOQ方法的广泛应用已经证明它是一个有效的库存管理工具。根据运输形式选择的不同对基本EOQ模型进行了调整并应用,这种解决问题的思路可以为物流管理者作决策提供一定的参考。

关键词：EOQ模型,运输形式选择,经济定货批量,成本

参考文献

[1]John Coyle,Edward Bardi,John Langley,Jr..The Management of Business Logistics[M].Publishing house of electronicsindustry,2003.

[2]Bob Donath,Joe Mazel,Cindy Dubin,Perry Patterson.The IOMA handbook of Logistics and Inventory Management[M].Publishing house of electronics industry,2003.

EOQ模型 篇3

备件是设备正常维护和应急处理的重要保障性物资。核电生产运行系统的高安全性特征对备件供应的及时性提出很高要求,企业不得不持有大量的库存来满足设备维修的需要。如在广东某核电站,所有保证机组日常维修的物资约为1.1亿美元,种类多达2万余种,备件库存量大且结构不合理,企业每年为此“黑洞”付出非常惊人的代价。因此,针对此类备件建立适用的库存模型就显得尤为重要[1]。

EOQ模型是一种科学适用备件库存控制模型并不断得到改进。在这些模型中,通常假设需求或采购费用为确定或随机变量,经典的库存模型往往采用概率理论来描述这些不确定因素。然而,备件订货量往往为一些难以判断和控制的不确定因素所影响。如库存费用、订货费用通常是不明确和不精确的,并具有一定的灵活性。而模糊理论对于难以精确化的过程描述有着良好的适应性[2]。因此,用模糊理论来处理EOQ模型的研究越来受到重视,如文献[3]把订货量用三角模糊数表示;文献[4]把订货量与总需求数量以三角模糊数表示,然后通过重心法去模糊化得到最优订货量;文献[5]把库存成本和订货成本分别定义为三角和梯形模糊数,并建立模型求解使总成本最小的订货量。以上研究多假设模糊数为三角或者梯形模糊数,然后采用重心法/符号距离法去模糊法直接进行求解。然而,当模糊变量的隶属度函数为复杂函数时(如指数函数和梯形函数并存),传统的求解方法将难以解决此类问题。

库存问题的目标通常是极小化总费用目标函数,当备件存储费用和订货费用为模糊变量时,总库存费用也是一个模糊变量。另外,决策者总是希望备件的总库存成本不超过设定的资金预算。这时可借助相关机会规划的思想(即极大化不确定事件成立的机会),求得使总成本小于预算水平的可信度最大的最优订货量。本文构建了一个模糊机会约束规划EOQ模型,设计了基于改进粒子群优化方法和模糊模拟方法的智能求解算法,此算法对模糊变量的隶属度函数的形态没有特殊要求,适用范围广;最后对相关决策参数进行了敏感性分析,指出了此类备件库存优化的方向。

2 模糊相关机会规划EOQ模型

2.1 相关机会规划模型

作为一类新型的数学规划模型,相关机会规划(DCP)是使事件的机会函数在不确定环境下达到最优化的理论[7]。一个复杂的决策系统通常要完成多项任务,称之为事件,决策者往往希望这些事件实现的机会尽可能大。DCP可表示为:

$\{\begin{array}{l}\max Ch\{h{}_k(x,\xi )\le 0,k=1,2,\cdots ,q\}\\ \text{s}.\text{t}.g{}_j(x,\xi )\le 0,j=1,2,\cdots ,p\end{array}$

其中:x为决策向量,ξ为不确定变量,f(x,ξ)表示目标函数,事件由hk(x,ξ)≤0表征,不确定环境由gj(x,ξ)≤0刻画,而Ch可分别代表概率Pr、可信性测度Cr、信任测度Tr等机会测度。

2.2 备件模糊EOQ模型

在某些备件的采购中, 采购成本的预算支出是一定的, 此时可将最优订货量视为使采购总成本低于预算水平的可信度最大时的订货量, 本文尝试建立适合备件库存管理实践要求的科学实用的EOQ模型, 用到的符号如下:

t— 某一时间段;

h— 单位时间单位数量的备件存储费用;

r— 总成本预算水平;

T— 计划期时长;

A— 订货费用;

D— 计划期内的总需求数量;

Q— 单位周期的订货数量。

假设如下:①不允许缺货; ②假设参数h和A为在可能性空间(Θ,P(Θ),Pos)为独立的模糊变量。可构建模糊DCP模型如下:

$\begin{array}{l}\max Cr\left\{\frac{hQ{\rm T}}{2}+\frac{AD}{Q}\le r\right\}\\ \text{s}.\text{t}.0<Q\le D\end{array}$

3 模糊EOQ模型智能求解算法设计

3.1 模糊模拟

设计了模糊模拟方法用来估计每一个给定Q值的$Cr\left\{\frac{hQ{\rm T}}{2}+\frac{AD}{Q}\le r\right\}$,步骤如下:

第1步: 设e1=0, e2=0, n=1;

第2步: 在Θ=Θ1×Θ2中均匀产生一系列(θ1n,θ2n), 从而使${\rm P}os\left\{\theta {}_{in}\right\}>\epsilon ,i=1,2,\epsilon$是一个足够小的数,这样,可以得到一组数据(h(θ1n),K(θ2n));

第3步: 计算$\frac{h(\theta {}_{1n})Q{\rm T}}{2}+\frac{A(\theta {}_{2n})D}{Q}$,且μ=min{μh(h(θ1n)),μK(A(θ2n))};

第4步: 如果$\frac{h(\theta {}_{1n})Q{\rm T}}{2}+\frac{A(\theta {}_{2n})D}{Q}\le r$且e1<μ,则e1=μ;如果$\frac{h(\theta {}_{1n})Q{\rm T}}{2}+\frac{A(\theta {}_{2n})D}{Q}>r$且e2<μ,则e2=μ;

第5步: 以n+1代替n返回步骤2,直到迭代次数达到设定的数值;

第6步: 返回$e=\frac{1}{2}(e{}_1+1-e{}_2)$即为Cr的值。

3.2 基于改进粒子群优化算法的模糊模拟

① 粒子群优化算法(particle swarm optimization,PSO)改进

PSO算法的最大优点在于稳定可靠、适应性强、能在可行的时间内以较大的概率获得问题的最优解或近似解[7]。PSO初始化为一群随机粒子,然后通过迭代找到最优解。每次迭代,粒子通过跟踪粒子本身所找到的最优解Pbest和群体找到的最优解Pg来更新自己。粒子在找到上述两个极值后,就根据以下公式来更新自己的速度与位置:

$\begin{array}{l}V=\omega \cdot V+c{}_1\cdot rand()\cdot ({\rm P}{}_{best}-{\rm P}{}_{resent})\\ +c{}_2\cdot rand()\cdot ({\rm P}{}_g-{\rm P}{}_{resent})\\ {\rm P}{}_{resent}={\rm P}{}_{resent}+V\end{array}$

其中:V是粒子的速度, Present是粒子的当前位置, rand()是(0,1)之间的随机数, c1和c2被称作学习因子; ω是加权系数,取值可在0.1到0.9之间。

研究发现惯性权重ω对算法的优化性能有很大的影响,ω较大则算法具有较强的全局搜索能力,ω较小则有利于算法的局部搜索。因此,采用自适应PSO算法调整ω的策略,让ω随算法迭代的进行而线性地减少,从而显著改善算法的收敛性能。设ωmax,ωmin分别为惯性系数的起始值和终止值, k为当前迭代次数, kmax为最大迭代次数, ω按下式进行迭代:

$\omega =\omega {}_{\max }-\frac{k}{k{}_{\max }}(\omega {}_{\max }-\omega {}_{\min })$

该方法能灵活调整粒子在全局搜索能力和局部搜索能力之间的平衡,既可在初期有较高的收敛速度,又可在后期有较高的收敛精度。

② 智能求解算法

设计的基于粒子群算法和模糊模拟的智能算法用于估计每个模糊事件的可信度,其中粒子群算法是用于寻找最优解,步骤如下:

第1步: 设k=1。

第2步: 对于粒子i从(0,D)中随机产生一个初始位置Qki, i=1,2,…,N, N是粒子的数量。然后对于粒子i从(0,V)中随机产生一个速度Vki, V是最大速度, i=1,2,…, N.

第3步: 设Pki是粒子i的一个位置, 并且$Cr\left\{\frac{h{\rm P}{}_i^k{\rm T}}{2}+\frac{AD}{{\rm P}{}_i^k}\le r\right\}=\underset{1\le l\le k}{{\displaystyle \max }}Cr\left\{\frac{hQ{}_i^l{\rm T}}{2}+\frac{AD}{Q{}_i^l}\le r\right\}$的值可以通过3.1节设计的模糊模拟方法计算得出,Pki是粒子i的最优位置。进一步, 设Pkg是一个位置, 满足$Cr\left\{\frac{h{\rm P}{}_g^k{\rm T}}{2}+\frac{AD}{{\rm P}{}_g^k}\le r\right\}=\underset{1\le i\le {\rm N}}{{\displaystyle \underset{1\le l\le k}{{\displaystyle \max }}}}Cr\left\{\frac{hQ{}_i^l{\rm T}}{2}+\frac{AD}{Q{}_i^l}\le r\right\}$, 则Pkg是粒子的全局最优位置。

第4步: 更新V${}_i^{k+1}$

Vk+1i=ωVki+c1r1(Pki-Qki)+c2r2(Pkg-Qki)

第5步: 设Q${}_i^{k+1}$=Q${}_i^k$+V${}_i^{k+1}$.

第6步: 用k←k+1,返回第3步,直到循环次数达到预设数值。

第7步: 返回Pkg的值即为最优解。

4 实例分析

考虑一个不允许缺货,计划期为T=30的模糊EOQ库存系统,计划期内总需求量为D=125,库存成本h=(3,4,5,6),订货成本A=(60,65,70)。需要求出总成本不超过1650的最优订货量及其对应的最大可信度,可建立模糊DCP模型如下:

$\begin{array}{l}\max Cr\left\{\frac{30hQ}{2}+\frac{125A}{Q}\le 1650\right\}\\ \text{s}.\text{t}.0<Q\le 125\end{array}$

利用设计的求解算法进行求解,设最大速度为v=2, ωmin=0.2, ωmax=0.6, c1=c2=2; 迭代1000次下得到的最大可信度如图1所示,可看出最大可信度在进行600次迭代之后趋于稳定,此时:

$\begin{array}{l}Q{}^{*}=10.0377\\ Cr\left\{\frac{30hQ{}^{*}}{2}+\frac{125A}{Q{}^{*}}\le 1650\right\}=0.7858\end{array}$

为了验证本文设计的智能算法的可靠性,我们设计了一个基于模拟退火算法——模糊模拟方法的求解算法,得到的优化结果为:

$\begin{array}{l}Q{}^{*}=9.9892\\ Cr\left\{\frac{30hQ{}^{*}}{2}+\frac{125A}{Q{}^{*}}\le 1650\right\}=0.7798\end{array}$

因此,可看出基于粒子群算法和模糊模拟的智能求解算法的性能是可以接受的。

5 相关决策参数敏感性分析及应用效果

分别讨论备件存储费用变动和订货费用变动对最优订货量和最大可信性水平的影响,具体数据如表1和表2所示。

从以上结果可看出: ①当模糊变量的期望值大小不变时,模糊集范围增大时,总成本小于给定预算水平的可信度降低,即总成本超过预算水平的可信度变大。因而如果能搜集更多的信息来缩小模糊变量的模糊集范围,对于降低企业超支的风险是有益的。②当模糊变量的期望值变小时,总成本小于预算水平的可信度增大,即降低模糊变量的期望值,同样能降低企业超支的风险。

由此可见,在模糊环境下充分利用一切有利信息以及正确的思维判断,合理科学地对未知参数进行模糊推测,恰如其分地确定其模糊集范围和相应的隶属函数形式就显得尤为重要。本模型已在某核电站100余种备件库存管理中试用,以前企业依据经典的EOQ模型进行管理, 2007～2008年采用本模型后,这些备件总的库存费用与经典的EOQ模型相比下降了4.15%,同时这些备件的供应服务水平亦得到满足,取得了良好的经济效益。

6 结束语

本文以某核电站备件库存管理为背景,讨论了模糊理论在库存控制中的应用。在备件存储费用和订货费用均为模糊变量的情况下,构建了模糊相关机会规划EOQ模型;基于粒子群算法和模糊模拟技术求得模糊总成本小于资金预算下可信度最大的最优订货量。此模型不仅实用,而且对提高此类备件库存管理现代化水平有一定的借鉴意义。下一步准备将多模糊参数的单库存拓展到上下游两个或多个库存系统,深入研究模糊环境下的备件供应链库存模型及高效求解算法。

参考文献

[1]张金隆,王林,陈涛,曾宇容.连续生产模式下的不常用备件联合采购优化分析[J].中国管理科学,2004,12(5):58~62.

[2]Dutta P,Chakraborty D,Roy A R.Continuousreview inventory model in mixed fuzzy andstochastic environment[J].Applied Mathematics&Computation,2007,188:970~980.

[3]Lee H M,Yao J S.Fuzzy inventory with orwithout backorder for fuzzy order quantity withtrapezoid fuzzy number[J].Fuzzy Sets andSystems,1999,105:311~337.

[4]Yao J S,Chang S C,Su J S.Fuzzy inventorywithout backorder for fuzzy order quantity andfuzzy total demand quantity[J].Computers&Operations Research,2000,27(10):935~962.

[5]Wang X B,Tang W S,Zhao R Q.Fuzzy economicorder quantity inventory models withoutbackordering[J].Tsinghua Science&Technology,2007,12(1):91~96.

[6]Liang R,Gao J W.Dependent-chance programmingmodels for capital budgeting in fuzzy environments[J].Tsinghua Science&Technology,2008,13(1):117~120.

EOQ模型 篇4

最近几十年来, 易变质商品的库存决策受到了大量学者的高度关注。 所谓易变质商品是指随时间的推移而腐烂、损坏、挥发和过期而逐渐失去经济价值的商品, 如牛奶、蔬菜、水果、肉食、鲜花、药品等 (Raafat, 1991[1]) 。这些商品极高的变质率影响了管理者的库存决策。同时, 理论界也对它们进行了长期的关注和研究。Ghare等 (1963) 首先研究了常数变质率和需求率的易变质商品库存模型[2]。结果表明, 其库存的减少与时间的副指数函数密切相关。在之后的数十年中, 大量的学者对易变质商品的EOQ模型进行了研究。例如, Arcslus等 (2003) 则研究了允许临时性的价格折扣时零售商的利润最大化战略[3]。Yang和Wee (2002) 指出, 对于供应商和订货商独立作出决策来说, 供应链一体化的库存决策更有利于成本的降低[4]。文晓巍和达庆利 (2006) 则研究了多品种的易变质商品的近似最优订购策略[5]。也有部分学者对通货膨胀下易变质商品的库存决策进行研究。例如, Liao等 (2000) 从信用期大于或等于订货周期和信用期小于订货周期两个方面研究了通货膨胀下的易变质商品的EOQ库存模型[6]。Chang (2004) 则细分为四种情形进行了推广研究[7]。但是, Liao等 (2000) 、Chang (2004) 的模型是基于变质率为常数来给定的。事实上, 绝大多数变质商品的变质率会随着时间的推移而增大。 显然, 上述模型与现实情况是有差距的。因此, 本文拟在Chang (2004) 的基础上, 推广研究基于Weibull分布的非常数变质率的易变质商品的EOQ模型。

2 假设和符号说明

2.1 基本假设

本文中的数学模型基于如下假设: ①不允许短缺。②通货膨胀率是常数。③商品的需求率是常数。④商品只进入库存中才产生变质, 库存商品的变质率为θ=αβtβ-1 (α>0, β≥1) 。⑤提前期为零, 补充是即时的。⑥如果订购数量小于最小订购量, 要立即支付贷款。否则贷款可以延期支付, 延期期限为M.

2.2 符号说明

H=nt是计划销售期平均分为n个补充周期; D是商品的需求率; Ic是库存占有资金成本年利率; Id是银行年利率; h是利息以外的单位时间单位商品库存持有成本; r是通货膨胀率; I (t) 是t时间的库存量; Q是单位时间内的订购量; Qd是获得周期; Ti是情形i货款支付延期的最小订购量; Td是最小订购量下降到零的周期; M是贷款支付延期期限; T是库存补充周期; T*是最优库存补充周期; C (t) =Cert 是t时刻的单位购买价格, C是为零时刻的单位价格; P (t) =Pert是t时刻的单位销售价格, P为零时刻的单位价格, P>C; S (t) =Sert是t时刻的每次订购成本, S为零时刻订购成本; F为 (0, H]上的总成本。

3 数学模型

3.1 库存模型分析

易变质商品库存减少的原因有两个, 一是对商品的需求, 二是由于商品的变质。库存的变化可以用以下的微分方程来描述。

$\frac{d{\rm I}(t)}{dt}+\alpha \beta t{}^{\beta -1}{\rm I}(t)=-D,0\le t\le {\rm T}(1)$

边界的初始条件为I (0) =Q, I (T) =0。

方程 (1) 的解是

${\rm I}(t)=De{}^{-\alpha t{}_{\beta }}{\displaystyle {\int }_t^{{\rm T}}e}{}^{\alpha u{}^{\beta }}du,0\le t\le {\rm T}(2)$

由方程 (2) 得到

$Q={\rm I}(0)=D{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}e}{}^{\alpha t{}^{\beta }}dt(3)$

显然, Q是一个增函数, 也就是说Q<Qd当且仅当T<Td.由于需求的稳定性, 所以库存在 (0, H]上是周期变化的。

$\begin{array}{l}{\rm I}(k{\rm T}+t)=De{}^{-\alpha t{}^{\beta }}{\displaystyle {\int }_t^{{\rm T}}e}{}^{\alpha u{}^{\beta }}du,\\ 0\le k\le n-1,0\le t\le {\rm T}(4)\end{array}$

3.2 总成本结构分析

总成本主要由这么几部分组成:①订购成本;②商品成本;③利息以外的库存持有成本;④支付延期期限之外未售出的商品的资金占有成本利息;⑤支付延期期限之内销售收入的利息, 实际上是一种收入, 作为负成本来计算。

(1) 订购成本为

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}S}(k{\rm T})=S(\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{e{}^{r{\rm T}}-1})(5)$

为叙述方便, 记$A=\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{e{}^{r{\rm T}}-1}$, 订购成本为SA.

(2) 商品成本为

$\begin{array}{l}Q{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}C}(k{\rm T})\\ =D{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}e}{}^{\alpha t{}^{\beta }}dtC(\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{e{}^{r{\rm T}}-1})\\ =DCA{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{\alpha {}^{n}t{}^{n\beta }}{n!}}}dt\\ \approx DCA({\rm T}+\frac{\alpha {\rm T}{}^{\beta +1}}{\beta +1})\end{array}(6)$

因为α通常非常小, 把上式中n≥2的所有项都去掉, 最终结果仍旧在误差范围内, 在以下的计算中会多次用到这个处理方法。

(3) 利息以外的库存持有成本为

$\begin{array}{l}h{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}C}(k{\rm T}){\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt\\ \approx hCAD\left\{\frac{{\rm T}{}^2}{2}+\frac{\alpha \beta {\rm T}{}^{2+\beta }}{(1+\beta )(2+\beta )}-\frac{\alpha {}^2{\rm T}{}^{2+2\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\right\}\end{array}(7)$

3.3 总成本函数分析

由于通货膨胀以及银行利率的存在, 支付延期期限会对资金占有成本利息和销售收入利息产生影响。我们分四种情形来讨论支付延期期限对它们影响的大小以及各种情形下的总成本。

情形1: 0<T<Td

由前面的讨论知, 0<T<Td当且仅当0<Q<Qd, 这时, 贷款不允许延期支付, 在 (0, H]上只有资金占有成本利息, 没有销售收入利息。资金占有成本利息为

$\begin{array}{l}{\rm I}{}_c{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}C}(k{\rm T}){\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}{\rm I}}(k{\rm T}+{\rm T})dt\\ \approx {\rm I}{}_{c}CAD\left\{\frac{{\rm T}{}^2}{2}+\frac{\alpha \beta {\rm T}{}^{2+\beta }}{(1+\beta )(2+\beta )}-\frac{\alpha {}^2{\rm T}{}^{2+2\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\right\}\end{array}(8)$

因为r通常很小, 所以有$e{}^{r{\rm T}}\approx 1+r{\rm T},A=\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{e{}^{r{\rm T}}-1}\approx \frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r{\rm T}}.$

情形1的总成本为

$\begin{array}{l}F{}_1({\rm T})\\ =SA+CAD({\rm T}+\frac{\alpha {\rm T}{}^{1+\beta }}{1+\beta })+hCA{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt\\ +{\rm I}{}_{c}CA{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt\\ \approx \{\frac{S}{{\rm T}}+CD+\frac{B{\rm T}}{2}+\frac{CD\alpha {\rm T}{}^{\beta }}{1+\beta }+\frac{B\alpha \beta {\rm T}{}^{1+\beta }}{(1+\beta )(2+\beta )}\\ -\frac{B\alpha {}^2{\rm T}{}^{1+2\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\}\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r}\end{array}(9)$

其中, B= (h+Ic) CD.

情形2: Td≤T≤M

因为Td≤T, 所以Qd≤Q, 允许贷款交付延期, 延期期限为M, 而且T<M, 此时没有资金占有成本利息, 销售收入利息为

$\begin{array}{l}{\rm I}{}_d{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\rm P}}(k{\rm T})\left[{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}D}tdt+D{\rm T}({\rm M}-{\rm T})\right]\\ ={\rm I}{}_d{\rm P}A\left[\frac{D}{2}{\rm T}{}^2+D{\rm T}{\rm M}-D{\rm T}{}^2\right]\\ ={\rm I}{}_d{\rm P}A\left[D{\rm T}{\rm M}-\frac{D{\rm T}{}^2}{2}\right]\end{array}(10)$

情形2的总成本为

$\begin{array}{l}F{}_2({\rm T})\\ =SA+CAD({\rm T}+\frac{\alpha {\rm T}{}^{1+\beta }}{1+\beta })+hCA{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt\\ -{\rm I}{}_d{\rm P}A\left[D{\rm T}{\rm M}-\frac{D{\rm T}{}^2}{2}\right]\\ \approx \{\frac{S}{{\rm T}}+(CD-{\rm I}{}_d{\rm P}D{\rm M})+\frac{(hCD+{\rm I}{}_d{\rm P}D){\rm T}}{2}\\ +\frac{CD\alpha {\rm T}{}^{\beta }}{1+\beta }+\frac{hCD\alpha \beta {\rm T}{}^{1+\beta }}{(1+\beta )(2+\beta )}-\frac{hCD\alpha {}^2{\rm T}{}^{1+2\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\}\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r}\end{array}(11)$

情形3: Td≤M≤T

这时, 两种利息都存在, 其中资金占有成本利息为

$\begin{array}{l}{\rm I}{}_c{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}C}(k{\rm T}){\displaystyle {\int }_{{\rm M}}^{{\rm T}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt\\ ={\rm I}{}_{c}CA\left\{{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt-{\displaystyle {\int }_0^{{\rm M}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt\right\}(12)\end{array}$

销售收入利息为

${\rm I}{}_d{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\rm P}}(k{\rm T}){\displaystyle {\int }_0^{{\rm M}}D}tdt=\frac{{\rm I}{}_d{\rm P}D{\rm M}{}^{2}A}{2}(13)$

情形3的总成本为

$\begin{array}{l}F{}_3({\rm T})\\ =SA+CAD({\rm T}+\frac{\alpha {\rm T}{}^{1+\beta }}{1+\beta })+hCA{\displaystyle {\int }_0^1{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt\\ +{\rm I}{}_{c}CA\left\{{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt-{\displaystyle {\int }_0^{{\rm M}}{\rm I}}(k{\rm T}+t)dt\right\}\\ -\frac{{\rm I}{}_d{\rm P}D{\rm M}{}^{2}A}{2}\\ \approx \{\{S-{\rm I}{}_{c}CD\left[\frac{{\rm M}{}^2}{2}+\frac{\alpha \beta {\rm M}{}^{2+\beta }}{(1+\beta )(2+\beta )}-\frac{\alpha {}^2{\rm M}{}^{2+2\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\right]\\ -\frac{{\rm I}{}_d{\rm P}D{\rm M}{}^2}{2}\}/{\rm T}\}\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r}\\ +\left\{CD+\frac{B{\rm T}}{2}+\frac{CD\alpha {\rm T}{}^{\beta }}{1+\beta }+\frac{B\alpha \beta {\rm T}{}^{1+\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\right\}\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r}\end{array}(14)$

情形4: M≤Td≤T

经过分析, 发现情形4和情形3的总成本完全一致, 总成本为

$\begin{array}{l}F{}_4({\rm T})\\ \approx \{\{S-{\rm I}{}_{c}CD\left[\frac{{\rm M}{}^2}{2}+\frac{\alpha \beta {\rm M}{}^{2+\beta }}{(1+\beta )(2+\beta )}-\frac{\alpha {}^2{\rm M}{}^{2+2\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\right]\\ -\frac{{\rm I}{}_d{\rm P}D{\rm M}{}^2}{2}\}/{\rm T}\}\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r}\\ +\left\{CD+\frac{B{\rm T}}{2}+\frac{CD\alpha {\rm T}{}^{\beta }}{1+\beta }+\frac{B\alpha \beta {\rm T}{}^{1+\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\right\}\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r}\end{array}(15)$

4 算法与基本定理

以F1 (T) 为例, 显然, F1 (T) 在 (0, H]是连续可导的。

$\begin{array}{l}F{}_{1^{\prime }}({\rm T})=\{-\frac{S}{{\rm T}{}^2}+\frac{B}{2}+\frac{CD\alpha \beta {\rm T}{}^{\beta -1}}{1+\beta }+\frac{B\alpha \beta {\rm T}{}^{\beta }}{2+\beta }\\ -\frac{B\alpha {}^2(1+2\beta ){\rm T}{}^{2\beta }}{2(1+\beta ){}^2}\}\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r}(16)\\ F{}_{1^{″}}({\rm T})=\{\frac{2S}{{\rm T}{}^3}+\frac{CD\alpha (\beta -1)\beta {\rm T}{}^{\beta -2}}{1+\beta }+\frac{B\alpha \beta {}^2{\rm T}{}^{\beta -1}}{2+\beta }\\ -\frac{B\alpha {}^2(1+2\beta )\beta {\rm T}{}^{2\beta -1}}{(1+\beta ){}^2}\}\frac{e{}^{r{\rm H}}-1}{r}(17)\end{array}$

由假设α>0, β≥1, 同时, 通常α会非常小, 不难得到F1″ (T) >0。因此, F1 (T) 在 (0, H]上是凹函数。 对Fi (T) (i=2, 3, 4) 作类似的分析, 得到定理1。

定理1 Fi (T) (i=1, 2, 3, 4) 是 (0, H]上的凹函数。

证明 由上面的分析立得。

定理2 mioFi (T) (i=1, 2, 3, 4) 在 (0, H]上有且只有一个最优解。

证明 由定理1可知, Fi (T) (i=1, 2, 3, 4) 是 (0, H]上的凹函数, 同时, $\underset{{\rm T}\to 0}{{\displaystyle \lim }}F{}_i({\rm T})=+\infty$, 如果Fi (T) (i=1, 2, 3, 4) 是单调下降的, 显然 (0, H]上minFi (T) 有且只有一个最优解Ti=H.否则, 一定存在a, b∈ (0, H], a≠b, Fi (a) =Fi (b) , 有$\xi {}_i=(a,b),F{}_{i^{\prime }}(\xi {}_i)=\frac{F{}_i(b)-F{}_i(a)}{b-a}=0$。因为Fi (T) (i=1, 2, 3, 4) 是 (0, H]凹函数, 所以Fi′ (T) 在 (0, H]上单调递增, Fi′ (T) =0有且只有一个解Ti=ξi, 也就是说, minFi (T) (i=1, 2, 3, 4) 在 (0, H]上有且只有一个最优解Ti.

Ti是minFi (T) (i=1, 2, 3, 4) 的最优解, 也就是Fi′ (T) =0的解, 我们通过下面的算法来求得。

Ti算法:

Step 1: 给定误差ξ>0, 初始点T (1) i, 且满足Fi′ (T (1) i) >0。

Step 2: 计算d (k) =Fi′ (T (k) i) , 如果‖dk‖<ξ, 停止, 否则转入第三步。

Step 3: 如果Fi′ (T (k) i) >0, 且Fi′ (T (k′) i) >0, 其中k′=1, 2, …, k-1, 则令T (k+1) i=T (k) i/2。如果Fi′ (T (k) i) <0, 且Fi′ (T (k′) i) >0, Fi′ (T (k′+1) i) <0, Fi′ (T (k′+2) i) <0, …, Fi′ (T (k-1) i) <0, 则令T (k+1) i= (T (k) i+T (k′) i) /2。令k+1=k, 转入第二步。

将Qd代入式 (3) 得到

$Q{}_d=D{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}{}_d}e}{}^{\alpha t{}^{\beta }}dt\approx D{\rm T}{}_d+\frac{D\alpha {\rm T}{}_d^{1+\beta }}{1+\beta }(18)$

Td为方程DαT${}_d^{1+\beta }$+ (1+β) DTd- (1+β) Qd=0误差允许范围内的近似解。对于给定的Qd, 可以利用下面的算法来求得相应的Td.

Td算法:

把Ti算法中的Fi′ (T (k) i) 替换成f (T (k) d) , 即是Td算法, 其中f (Td) =DαT1+βd+ (1+β) DTd- (1+β) Qd.

定理3 (最优补充决策定理)

(1) M≤Td

①如果F1′ (Td) ≥0, F4′ (Td) ≥0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_d\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_4({\rm T}{}_d)\}$

②如果F1′ (Td) ≥0, F4′ (Td) <0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_4\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_4({\rm T}{}_4)\}$

③如果F1′ (Td) <0, F4′ (Td) ≥0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_d,{\rm T}{}_d\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_d),F{}_4({\rm T}{}_d)\}={\rm T}{}_d$

④如果F1′ (Td) <0, F4′ (Td) <0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_4\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_d),F{}_4({\rm T}{}_4)\}$

(2) M>Td, F1′ (Td) ≥0

①如果F2′ (Td) ≥0, F3′ (M) ≥0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_d,{\rm M}\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_2({\rm T}{}_d),F{}_3({\rm M})\}$

②如果F2′ (M) <0, F3′ (M) ≥0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm M},{\rm M}\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_2({\rm M}),F{}_3({\rm M})\}$

③如果F2′ (Td) ≥0, F3′ (M) <0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_4,{\rm T}{}_3\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_2({\rm T}{}_d),F{}_3({\rm T}{}_3)\}$

④如果F2′ (M) <0, F3′ (M) <0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm M},{\rm T}{}_3\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_2({\rm M}),F{}_3({\rm T}{}_3)\}$

⑤如果F2′ (Td) <0, F2′ (M) ≥0, F3′ (M) ≥0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_2,{\rm M}\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_2({\rm T}{}_2),F{}_3({\rm M})\}$

⑥如果F2′ (Td) <0, F2′ (M) ≥0, F3′ (M) <0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_2,{\rm T}{}_3\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_2({\rm T}{}_2),F{}_3({\rm T}{}_3)\}$

(3) M>Td, F1′ (Td) <0

①如果F2′ (Td) ≥0, F3′ (M) ≥0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_d,{\rm T}{}_d,{\rm M}\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_d),F{}_2({\rm T}{}_d),F{}_3({\rm M})\}$

②如果F2′ (M) ≥0, F3′ (M) ≥0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_d,{\rm M},{\rm M}\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_d),F{}_2({\rm M}),F{}_3({\rm M})\}$

③如果F2′ (Td) ≥0, F3′ (M) <0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_d,{\rm T}{}_d,{\rm T}{}_3\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_d),F{}_2({\rm T}{}_d),F{}_3({\rm T}{}_3)\}$

④如果F2′ (M) <0, F3′ (M) <0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_d,{\rm M},{\rm T}{}_3\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_d),F{}_2({\rm T}{}_2),F{}_3({\rm M})\}$

⑤如果F2′ (Td) <0, F2′ (M) ≥0, F3′ (M) ≥0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_d,{\rm T}{}_2,{\rm T}{}_3\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_d),F{}_2({\rm T}{}_2),F{}_3({\rm M})\}$

⑥如果F2′ (Td) <0, F2′ (M) ≥0, F3′ (M) <0, 那么

${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_d,{\rm T}{}_2,{\rm T}{}_3\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_d),F{}_2({\rm T}{}_2),F{}_3({\rm T}{}_3)\}$

证明 先证明 (1) ①。因为M≤Td, 所以成本函数只能是F1 (T) 和F2 (T) 。由定理1, F1 (T) 是 (0, H]上的凹函数, 所以F1′ (T) 在 (0, H]上单调递增, 已知F1′ (Td) ≥0, 则有T1≤Td, 因此T1是minFi (T) (0<T<Td) 的最优解。同理, 由F4′ (Td) ≥0可知Td是minF4 (T) (M<Td<T) 的最优解。所以${\rm T}{}^{*}={\rm T}:\underset{{\rm T}\in \{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_d\}}{{\displaystyle \min }}\{F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_4({\rm T}{}_d)\}$。

对于 (1) ①以外的情形, 同理可证。

5 算例

H=1, α=0.05, β=1.5, h=2元/件/年, D=1000件/年, Ic=0.1, Id=0.06, r=0.05, C=20元/件, P=30元/件, M=30天=0.082190年, 分析订购费用分别为S=100元/次, 125元/次, 150元/次以及最小订货量分别为Qd=70件、80件、90件的最优补充决策。

利用Td算法可以求出不同最小订购量对应的Td=0.069940 (Qd=70) , Td=0.079682 (Qd=80) , Td=0.089991 (Qd=90) 。利用Ti算法以及定理1, 得到不同最小订购量和不同订购费用下的最优补充决策, 如表1、表2、表3所示。

6 结语

由于易变质商品较高的变质率, 其库存决策受到了大量学者的高度关注。本文在Chang (2004) 的库存模型基础上, 拓展研究了变质率服从Weibull分布的易变质商品的EOQ模型。并分别得到0<T<Td、Td≤T≤M、Td≤M≤T、M≤Td≤T四种情况下的总成本函数Fi (T) (i=1, 2, 3, 4) 。研究显示, Fi (T) (i=1, 2, 3, 4) 是计划销售期上的凹函数, 且存在最优的订购周期, 使得其总成本最小, 进而给出了最优补充决策定理。对比文献Chang (2004) 变质率为常数的情形, 本文的结果能更实际地反映此类商品的库存变化规律。这给易变质商品的库存决策提供了有力的理论依据, 对零售商的实际订货管理有较大的应用价值。

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