数学不等式有效教学

数学不等式有效教学（精选十篇）

数学不等式有效教学 篇1

一、生动形象的策略

在教学中, 对不等式知识的呈现和表达, 要力求具体生动形象, 要将学生难以理解的数学符号用学生日常生活中经常使用的语言来表述, 甚至生动的表述, 使数学内容和具体物质关系联系起来, 全面提高学生在不等式学习中对各种数学符号的理解、表达及应用的能力.对于那些逻辑思维能力较差的学生, 采取这种方式更能够引起其注意, 直观的表述和表达, 更能引起其理解上的共鸣, 并对不等式性质产生较为深刻的印象.

在不等式教学过程中, 可通过引导学生对玩跷跷板的经验进行回顾, 并探究天平两侧因物体质量的大小而倾斜的特点, 借助这一情景来引导学生形象地认识不等式的基本性质.比如在教学中, 可从学生身边的生活经验入手, 以天平倾斜这一直观表现来导入不等式的教学.a、b两物体放在天平两侧, 天平向物体a倾斜, 而b、c两物体放上去时, 天平向物体b倾斜, 那么, 物体a和物体c哪个质量大?如此运用学生有生活体验的事例进行不等式性质的直观讲解, 引导学生进行传递性思考, 然后通过作差比较法来进一步探讨, 进行理性地理解;这使枯燥、抽象的符号表达, 还原为生动形象的生活知识, 有利于加深学生理解和掌握能力, 提高学习兴趣.

二、不断积累的策略

学习重在积累, 知识的积累和经验、方法的积累, 尤其是要把问题类型、分析方法和典范例题等作为一个统一整体来进行积累.在积累的过程中才能发现新旧知识的关联, 做到条件反射、快速迁移.此外我们还应注意到, 不等式的学习当中, 许多已经证实的结论或者证明题的结论, 都可以积累下来, 作为以后推断其他结论的重要依据, 从而不断提升解题能力.

要积累就需要有反复.在学习不等式的性质时, 可从简单内容入手, 例如, 不等式7>3的两侧同时乘以任意一个不为零的数 (正数、负数, 小数等) , 让学生观察不等号的方向的变化情况;然后用与与来乘以任意不为零的数, 引导学生自己多次试验、反复尝试, 自行寻找相应的规律.经过简单引导, 大部分学生都能够自己总结出不等式的一些基本性质:a>b, c>0, 那么ac>bc;如果a>b, c<0, 那么ac<bc.学生自己发现的规律无疑较简单灌输的知识, 学得更扎实, 教学效果也更好.

三、难点突破的策略

一元二次不等式是高中数学教学的难点, 因为一元二次不等式已经涉及函数问题, 而函数的定义域、值域等问题又均比较复杂, 且覆盖的知识面也广, 几乎涵盖了高中数学的大部分领域.此外在解题模式上, 一元二次不等式的解题方式也多种多样, 包括数形结合、方程、转化、函数等多种数学思想.对该部分教学内容实现突破, 是不等式教学成功与否的关键.在实际教学中, 可以通过温故知新, 循序渐进的方式, 将该部分难点内容进行分化处理, 最终实现全面突破.

由于这一知识点的难度非同一般, 比较复杂, 在学习一元二次不等式之前, 应复习和该内容具有较强关联性的因式分解、二次函数图像及性质、根的判别式、一元二次方程等, 避免很多学生因为难度过大而失去学习兴趣.在具体教学中, 还应引导学生发现一元二次不等式与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系, 引导学生进行数轴和坐标的图像观察, 尽快帮助学生建立用图像法解决一元二次不等式相关问题的解题思路.

四、反思拓展的策略

解题练的是头脑不是肌肉.一道题解答完毕, 思维并不应该就立即结束, 并转移到其他问题上.如何从一题到一类, 以一当十甚至以一当百呢?反思拓展非常有必要.一道题解答后, 可以反思一下:解题中用到了哪些基本知识?它们是怎样联系起来的?解题的关键在哪里?思路是怎样打通的?推理是否严谨?思维有无多余回路?这个问题能推广吗?改变一下条件如何?改变一下结论又如何?也可以在比较中反思拓展:做这道题与以往的方法不同在哪?是如何对习惯的解题方法进行转化或分解、重组的……

高中数学不等式教学策略分析 篇2

摘要：在数学教学中，要求学生在学习数学的过程中树立不等的观念，对现实生活中出现的一系列不等问题进行相应的研究具有十分重要的意义。在实际的教学过程中，不等式的教学应该有重点地进行教学，抓住难点。当前，高中数学不等式性质教学中，传统的填鸭式以及照本宣科的教学方式已经无法达到满意的效果。因此在高中数学教学中只有结合高中生的实际学习情况，采取多样化的教学方法，才能有效提高不等式性质教学质量。

关键词：高中数学;不等式;教学策略

【中图分类号】 G633.6

【文献标识码】 B

【文章编号】 1671-8437（2015）02-0066-01

不等式是高中数学中的重要内容，具有综合性与系统性特点。此外，不等关系与相等关系同样都包含着丰富的数量级关系，在数学应用领域具有一定的普遍性。在高中数学的学习过程中，学生一定要树立不等的相关理念，对现实生活中出现的诸多的不等问题进行一定的研究和分析。不等和相等的关系不是绝对的，二者处在相对的关系中，在通常的情况之下，学生对相等的观念会较容易形成了一定的思维定势，这时一定要让学生逐渐地接受在日常生活当中非常普遍的不等关系，通过这种辩证看问题的思路训练，学生就会形成良好的数学素养。

近几年高考考试大纲发生了一系列的变化，以这些改革变化为依据，我们能够看出，不等式的相关内容基本上不会出现单独命题的情况，也就是说在通常情况下都是与其他知识相结合，在某些题目中以组合的形式出现，不等式知识的分值一般都能够保持在10分左右。高考中更多的题目会将不等式的知识穿插在某些实际情境当中，通过这样的训练方式使学生能够在实际生活以及数学当中发现不等式的广泛应用，从而就会建立起不等的观念，并学会准确地处理好不等的相关关系。下面介绍几种有效的数学教学方法，希望能对不等式教学起到一定的积极作用。

注重生活情境，将不等式与具体实际联系起来

在教学过程中，要以生活中的实际情景为例子，也可以将学生已经掌握的不等式内容进行联系对接，从简单的不等关系中抽离出比较具体的数量关系，进而建立起比较简单的不等式模型，然后以此为基础进行更加深入层次的不等关系模型的构建。在课堂开始阶段，教师可以让学生自主感受日常生活中的不等关系的存在，在此基础上，引导学生认识生活当中的其它不等关系，以及人们如何运用一定的符号和数字表达。

加强各科知识之间的相互关联，将实际生活问题反向抽象化

不等式的应用非常广泛，在数学及其它学科都有广泛的应用，不等式的应用通常也会以其他知识为相应的背景。通过不等式应用问题的学习，能够检验学生综合运用能力的水平，并从而有目的的有效地提高学生综合分析与解决问题的能力。将抽象的问题形象化和具体化是让学生获得对知识重新构建的非常实用的方式。生活中的实际问题是较为具体，但是在这些实际问题中所蕴含的数学思想都是抽象的。学生应该根据实际情况遵循“具体――抽象――具体”的思考路径，从比较具体的事物中经过仔细的思考，剥离出比较抽象的数理关系，然后再利用数学知识进一步抽象和表达，通过这样的方式达到正确解决问题的目的。

例如“某一个工厂正在筹划一个工程，其中需要建造一个长方体的无盖储物池，容积为4800平方米，整体的深度大约为3米，如果池的底部需要进行铺垫瓷砖，那么每平方米的瓷砖成本价格为150元，池壁铺垫瓷砖的每平方米成本价格为120元。那么请问如何设计这座储物池才能让整体工程的成本造价最低？最低的成本价格又是多少？”这道问题联系实际，是现实生活中常见的函数和不等式交叉问题，学生一定要从这种现象中剥离出比较抽象的数理关系，并用数量关系式具体表示出来。

这道题中，联系实际生活和数学上的相关原理，其实就是寻找一个区间内的最优值。设储物池底面的一个长度为x，总造价为p 元，就有：

P=240000+720（x+）?R240000+7200×2

=297600

此时，x=，即x=40时，p有最小值297600。

探索不等式的丰富解法，提升学生的思维能力

在不等式知识的内容中，不等式的变换是非常重要的，学生拥有一定的不等式运算能力，就可以非常容易地实现知识的迁移，并且会实现一定的创新。除此之外，对于含有参数的不等式的练习，老师和学生也应该重视，将方程、函数、立体几何、三角的知识都融入到其中，学生就会得到很好的训练。比如在进行关于一元二次不等式的解法的研究过程中，教师能够根据实际情况，利用相应的函数图像，对一元二次不等式进行研究。通过这样的教学方式，既能使学生获得不等式的解答能力，同时更能够培养学生先进的数学思想，也会使得学生的抽象能力以及概括能力得到很好的锻炼。

数学不等式有效教学 篇3

关键词：高中数学；不等式教学；数学思维

高中数学是高中生学习的重要基础课程，而不等式教学是高中数学教学的重点和难点，因此，高中数学教师在教学过程中，要加大对不等式教学的研究力度，更新自身的教学观念，采用先进的教学模式，不断提高高中数学不等式教学水平。对于不等式教学环节，教师可以采用模块化教学方式，通过数学思维的渗透，来提高学生的数学思维能力，从而激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到高中数学不等式教学活动中，下面就高中数学不等式教学的数学思维进行分析。

一、高中数学不等式教学的数学思维方法

数学思维方法是通过数学思维让学生认识到数学知识结构的核心，帮助学生理解数学知识，在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合、函数方程、数学模型、化归、递推等几种情况，这些数学思维方法是高中数学教学中不可缺少的一部分。由于数学思维方法同换元、代人等数学基本方法不同，数学思维方法需要从数学知识中进行归纳，并在实践中应用，因此，教师在进行高中数学知识讲解时，要注重数学思维的渗透，从而有效地提高学生的数学思维能力。

不等式教学是高中数学教学的重要内容，是解决数学问题的基础工具，在进行不等式知识考查时，有间接考查和直接考查两种方法，间接考查是指结合函数、几何、数列等知识对不等式知识的应用进行考查；直接考查是指通过选择题、填空题等形式对不等式知识进行考查。因此，教师在进行高中数学不等式教学时，不仅要注重不等式知识与其他知识的交汇，还要注重培养学生的数学思维能力，提高学生运用数学思维解决不等式问题的能力，从而有效地提高学生的数学素质。

二、数学思维在高中数学不等式教学中的渗透

在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合思维、函数方程思维、化归思维、分类讨论思维等，在进行高中数学不等式教学时，教师要灵活的应用这些数学思维方法，从而有效地提高高中数学不等式解题灵活性，提高学生解决不等式问题的能力。

1、数形结合思维。在高中数学中，“数”和“形”是最重要的支柱，数形结合思维就是在解决数学问题时，用“数”解“形”，用“形”得“数”，从而达到解决数学问题的目的。在高中数学教学中，数形结合思维贯穿于整個数学教学活动，如数轴、三角法、图解法、复数法等都是数形结合思维的应用，通过数形结合思维能简化复杂的问题，将抽象的问题具体化，从而快速的解决数学问题。在进行数学教学时，教师要充分利用图像、图形，帮助学生理解不等式的相关知识概念，让学生通过“数”与“形”的对应，灵活的处理不等式问题，有效地提高高中数学不等式教学效果。

2、函數方程思维。函数方程思维是指在进行不等式教学时，对于某些问题可以构建相应的函数或者方程，将不等式问题转换为函数问题或者方程问题。例如教师在教学过程中，可以将不等式看成两个函数值的不相等关系，利用方程f（x）=0求解函数v=f（x）的零点，通过方程学生就能发现不等式和函数的单调性有很大的关系。在采用函数方程思维进行高中数学不等式教学时，教师要让学生明白函数和方程是两个不同的概念，两者存在一定的差别，如函数有定义域、值域、对应关系，并且x、y在函数中是从属关系，而在方程中，x、v是平等关系。学生只有明白函数和方程的差别，才能在“函数一图像一方程一解方程”和“方程跟一函数图像”的转化中应用自如。函数方程思维的本质是数学知识的转换，通过函数方程思维能加深学生对数学知识的理解，有助于学生数学能力的提高。

3、化归思维。化归思维是指利用现有的知识，对问题进行观察、类比、变化、转化，将问题变成已只掌握的知识，从而解决问题，化归思维是从事物相互联系和制约的角度进行问题处理的，当学生掌握了化归思维后，能轻松的将各种问题转换为简单、已知的问题。教师在进行高中数学不等式教学时，通过化归思维，能帮助学生将不等式问题转换为已经掌握的问题，从而有效地提高学生解决不等式问题的能力。

4、分类讨论思维。分类讨论思维是根据对象本质的差异性，对数学对象进行分类，帮助学生理解数学知识的一种思维。在高中数学不等式教学中，采用分类讨论思维，能有效地提高学生理解知识、总结知识的能力，能帮助学生建立完善的数学知识结构。

三、结语

高中数学是学生系统的学习数学知识的重要阶段，对学生的全面发展有十分重要的意义，不等式是高中数学的重要教学内容，贯穿于高中数学各个环节，在高中数学不等式教学中，教师要特别注重数学思维方法的应用，从而有效地激发学生学习兴趣，提高学生的数学思维能力，提高学生解决不等式问题能力，促进学生综合素质的提升。

记住你是个女孩，努力是你的象征，自信是你的资本，微笑是你的标志，你要奋斗的不是在一个男人面前委曲求全让他看到你的努力，而是好好努力并且等待数年后那个单膝跪地给你无名指戴上戒指的男人。想要别人爱你，前提是先好好爱自己。

高中数学不等式教学的有效性策略 篇4

一、教学思路

(一)回顾教学

高中数学不等式的教学思路中,最重要的一点就是老师对学生进行回顾性教学,其主要是在上课之前老师作为引导者,引导学生回忆分析所学过的关于不等式的相关知识点, 其中包括不等式的基本概念、不等式的基本公式、不等式的基本特性等,在回顾分析的过程中,学生将知识点在脑海中进一步加深印象,同时还能够提升其学习兴趣,为更深层次的不等式教学知识点进行铺垫。回顾性教学中,老师属于引导者,学生属于被引导者,在回顾分析的过程中双方都投入参与到教学中,这能够提高学生的学习效率,达到预期的学习效果。

(二)情景教学

回顾分析教学之后,老师要根据学生的学习程度设置符合相应的情景教学,主要是老师运用科学有效的教学方法, 对学生进行引导教学,在回顾过程中设置教学情境,巧妙的将新课程内容带入,使学生在情境教学的互动中了解新的不等式知识点,并且在情境教学中学生能够学会独立思考,不断加深自身对不等式新知识点的理解。

在情境教学中最为明显的就是设置情景问题,在老师的引导下,学生进行独立思考,形成良好的数学思维模式。老师可以举一些学生了解的生活案例,如某市的某生产加工厂, 在进行年终促销活动的过程中,不断加大生产力度,其在6月份的时候生产了900件产品,该工厂通过不断提高生产效率,从一月开始生产,一直到六月将所有的生产目标完成,该厂的工作人员为了提高生产加工厂的经济效益,预计在八月份再生产2000件产品,其比原来的生产计划增加了20%,就此计算该生产厂原来的生产计划是多少,并且计算该生产厂七月份以及八月份两个月的产品生产增长率为多少。老师通过导入这样的情景习题,能够使学生快速的融入到课程教学中,能够促进学生思维能力的培养,学生在思考的过程中形成良好的思维模式,根据情景问题之间的关系运用不等式进行代入分析,就此提高学生的学习效率与自主学习能力。

二、教学策略

(一)树立有效性解题思想

在高中数学不等式教学的策略分析中首要任务就是树立正确有效性解题思想,不等式的教学运用较多的解题思想,其中比较典型的几点思想即为:数形结合思想、集合思想,同时还包括分类讨论思想等等,有效性解题思想将不等式教学不断深化完善,使不等式的各种知识点逐渐加深、内容逐渐丰富,老师在教学的过程中运用科学的教学方法以及有效的教学载体,在引导学生学习的同时与学生共同探寻正确的解题思路。在不等式的不同教学思想当中,分类讨论思想运用最广泛,首先,老师跟学生对于题目进行分析讨论,主要讨论其研究对象的具体内容与具体范围,对数值的具体范围进行锁定之后,再根据不等式题型确定相应的分类标准, 就此对其所研究的不等式进行合理分类讨论研究,从而得出最为有效的解题思路与解题方法。

(二)掌握科学的解题方法

除了树立正确有效性的解题思想以外,要想将高中数学不等式问题合理解决,老师还要引导学生掌握科学的解题方法,只有将解题思路付诸于解题方法中,才能够最快速、最有效的得出相应题目答案。不等式教学的解题方法较多,其中比较重要的几种为:求证解题方法、综合解题方法、比较解题方法,同时还有反证解题方法和逆推解题方法等等。老师跟学生在进行不等式习题解题的过程中,要从实际出发,根据不同类型的题目设立相应的解题思想,同时采取与题目相关的解题方法,只有最优、最科学的解题方法才能够最正确、最高效的解决不等式问题。例如对于不等式教学中反证解题方法的运用,不等式题目设置为a+b+c>0,同时还要求abc>0,并且题目中的ab+bc+ac>0,根据题目的相应数据关系,求证a> 0,b>0以及要求c>0。学生对于题目要进行了解,树立正确的解题思想之后运用科学的解题方法,不等式的解题中首先设置a<0,如果数据关系中a=0,根据题目关系分析abc=0,这一数据与题目中的abc>0两者相互矛盾,所以根据这一情况只能设置a<0,就此abc>0,再进行进一步解题分析,a<0以及数据的bc<0,同时还要运用到题目关系中的a+b+c=0,就此得出结论其与ab+bc+ca>0两者相互矛盾。

结束语

七年级数学不等式的性质教学反思 篇5

身为一位到岗不久的教师，我们要在课堂教学中快速成长，通过教学反思可以很好地改正讲课缺点，写教学反思需要注意哪些格式呢？以下是小编收集整理的七年级数学不等式的性质教学反思，希望对大家有所帮助。

七年级数学不等式的性质教学反思1

在教学活动中，我有以下活动觉得比较好的：

建立知识结构，进行新课的引入和知识的迁移.上课伊始，我书写了等式(方程)一章的部分知识结构，并且有由等式的有关概念到不等式的有关概念的类比线路图，从而引入课题，开始检查前置学习的情况.这样处理，学生对这个知识内容的整体把握就能够高屋建瓴，数学学习的能力意识就能够形成。

前置学习检查的任务明确.数学教学中很为重要的新知识引入在课堂之前的前置学习完成，为此，新知识的形成过程老师就没有办法把握了，这就要求数学教师很好地在前置学习检查方面动脑筋，在“不等式的性质”这堂课上，由同学们交流检查前置学习的情况，提出三条交流任务：不等式的性质是什么?不等式的性质是怎么研究得到的?不等式的性质与等式的性质有什么区别和联系?学生的交流和讨论就有了明确的方向，后面就有了学生很好的回报：性质的回答情况与以往一样比较到位，更有同学回答了不等式的性质是由等式的性质联想得到的，有同学回答了不等式的性质是我们通过由特殊到一般研究得到的(学案中安排了由具体例子到一般规律的总结)，在与等式性质区别和比较之后，学生得出“在不等式两边同时乘以或除以一个数时一定要考虑这个数是正数还是负数”这样的注意点.因此学生前置学习是富有成效的，前置学习检查也是前置学习的补充和完善.课堂设问、提问精心研究.在利用不等式的性质进行不等式的变形时(问题是以填空不等号的形式拟题的)，提问：“各小题的结果是什么?怎样由已知的不等式变形得到的?理论依据是什么”，这样设问便于学生研究，便于学生回答;提升学习内容，问题有难度，思考有深度，在学生回答五道判断题对错后，连续追问，有问为什么的，有问反例是什么的，有问成立的条件是什么的，有问怎样改变结论使命题成立，怎样改变条件试命题成立.提问学生回答问题形式多样，多数情况，学生举手回答，还有依座次回答，点学号回答，同学推荐回答等等，全班学生整堂课处于积极的参与状态.课堂内容的处理详略得当.利用性质进行不等式的变形是性质的理解和掌握，难度不大，学生口答一挥而就;分类讨论虽是难题，三种情况一经点破，旋即解决;提升判断实是难点，反复讨论，多角度思考，多方位研究，一题多变化，用足力气;用不等式的性质解不等式，变形后的形式要明白、怎样变形要清楚、变形依据要对号、书写格式要规范，同时这又是后面解一元一次不等式的预演，移项法则由此产生，所以，安排了例题老师示范、安排了学生上黑板板演、安排了学生在上面点评.本课全部完成了预设的教学任务，用了八分钟时间进行了很充分的小结.

七年级数学不等式的`性质教学反思2

本节课我采用从生活中假设问题情景的方法激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。

课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使学生进入一种“心求通而示得，口欲言而示能”的境界，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。在这一环节上，留给学生思考的时间有点少。

下来出示的问题1从学生的生活经验出发，让学生感受生活中数学的存在，不仅激发学生学习兴趣，而且可以让学生直观地体会到在不等关系中存在的一些性质。这一环节上展现给学生一个实物，使学生获得直观感受。

问题2、3的设计是为了类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比思想的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。在这个环节上，我讲得有点多，在体现学生主体上把握得不是选好，在引导学生探究的过程中时间控制得不紧凑，有点浪费时间。还有就是给他们时间先记一下不等式的基本性质，便于后面的练习。

过问题4让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握、发展学生的辩证思维。

在运用符号评议的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上，我特别重视对学生的表现及时做出评价，给予。这样既调动了学生的学习兴趣，也培养了学生的符号评议表达能力。

练习的设计上两道练习以别开生面的形式出现，给学生一个充分展示自我的舞台，在情感和一般能力方面都得到充分发展，并从中了解数学的价值，增进了对数学的理解。在这一环节，让学生起来回答音量的时候有点耽误时间。

让学生通过总结反思，一是进一步学习方式，有利于培养归纳，总结的习惯，让学生自主构建知识体系;二也是为了激起学生感受成功的喜悦，力争用成功蕴育丰功，用自信蕴育自信，学生以更大的热情投入致以捕捞学习中去。

本节课，我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握得不错。在教学过程中，学生参与的积极性较高，课堂气氛活跃。其中不存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步完善自己的课堂教学。

七年级数学不等式的性质教学反思3

数学知识体系是一个前后连贯性很强的知识系统，在空间与图形领域，中小学数学主要体现为由直观几何、实验几何向论证几何逐渐过渡。初中数学教师在教学中要注意与小学教学相衔接,适当复习小学内容,在小学的基础上提高。下面从中小学衔接的角度，对“平行四边形的性质”(新人教版)这节课做了一些反思。

一、反思备课

备教材：

备课时，我首先查阅了本届学生小学时学过的教材。发现，小学教材中“平行四边形”的定义用粗体作了明确界定，“对边相等”的特征学生是用度量或折叠的方法得到的。平行四边形的面积是通过割补转化为长方形进行重点学习的。所以学生应该对平行四边形的概念和特征已经有所认识并会求其面积。

“平行四边形”是全章重点内容之一，它是在学生已掌握了平行线的性质、全等三角形和多边形的有关知识的基础上研究的。平行四边形是平面几何的又一典型图形，它既是以前知识的综合应用也是下一步研究各种特殊平行四边形的基础，具有承上启下的作用。矩形、菱形、正方形的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的，它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定方法一脉相承。梯形的性质、三角形中位线定理等的推证，也都是以平行四边形的有关定理为依据的。而“平行四边形的性质”又是本章的第一节，这一节的学习对学平行四边形的判定和其它特殊四边形起着关键的作用。教材中平行四边形的“对边相等”、“对角相等”、“对角线互相平分”三个性质是分两部分说明的，因这节课是采用探索式教学法，预计学生在同一节课中就能够得到这三个性质，所以把三个性质放在一节课中进行处理。

备学生：

为了清楚的了解学生的认知情况，我深入学生中间，调查了学生对平行四边形的掌握程度。发现，将近90%的学生能够说出平行四边形的定义;50%多的学生了解“平行四边形对边平行且相等”这一特征;而对“平行四边形对角相等”和“对角线互相平分”的性质，只有很少一部分学生因超前学习才了解。鉴于学生的认知结构，我把探索平行四边形的性质放在了角和对角线方面。

备教法：

《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。我看了一位老师针对平行四边形上的一节公开课。这位老师可能是为了调动学生的主体性，让学生对“平行四边形”下一个定义。结果，学生把平行四边形的定义和所有判定方法全部说了出来，并说出这样定义的原因。听起来真是婆说婆有理，公说公有理，难以分辨用哪一个做定义更合适。最后老师说习惯上用“两组对边分别平行”来定义。看了这节课后再结合小学教材和学生的认知情况，我认为，小学教材已对“平行四边形”作了明确叙述，在“平行四边形”是如何定义的这一方面再做文章只能又陷入老师给学生解释为什么不能用平行四边形判定(学生并不知道是判定)来定义，而定义本身常常又是一个规定性的东西。因此，我在这个地方采取让学生事先准备好两张完全相同的三角形纸片，然后在课堂上让学生拼出平行四边形并把拼的图形展示在黑板上，在调动学生积极性的同时，既能发现学生对平行四边形的理解情况，也为下面平行四边形性质的证明做好铺垫。

在探索平行四边形性质上，采取自主探索、合作交流的方式，并把探索到的结论和证明过程填写在事先发给的探究报告里，使学生的思维和落实密切联系在一起。让学生体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，感受公理化思想。

恰当的利用多媒体课件。为了让学生对平行四边形的三条性质有更明确的认识，我从旋转的角度准备了形象生动的性质探索课件。

整节课采取探索式证明方法，即采取观察、猜想、直观验证、推理证明、得出性质的方法。向学生渗透化复杂为简单，化新知为旧知的“转化”的数学思想方法。

二、反思上课

进入初中以后，随着学生逻辑思维能力和抽象思维能力的加强，不能再仅局限于一些结论的获得，而要注重结论的推导过程,揭示知识的来龙去脉，也就是不仅要知其然还要知其所以然。教材也要求学生要对发现到的结论进行推理论证。

浅谈高中数学不等式内容的教学策略 篇6

【关键词】高中数学；不等式；教学

不等式是高中数学中的重要内容，具有充分的综合性与系统性。此外，不等关系与相等关系同样都包含着丰富的数量级关系，在数学应用领域具有一定的普遍性。在数学中，要求学生树立不等观念，研究现实生活中出现的一系列不等问题具有十分重要的意义和一般性。不等和相等是相对的，学生在对相等的观念形成了一定的思维定势之后，要让学生逐渐接受在日常生活当中极为普遍的不等关系，以形成良好的数学素养。

根据近几年高考考试大纲的变化，我们可以看出，不等式的内容基本不会出现单独命题的情况，即通常都是在其他题目当中以组合的方式出现。一般的分值都保持在10分上下。更多的将不等式的知识体现在一定的情境当中，让学生能够感受到生活当中、数学当中存在的不等关系，进而建立起不等观念，正确得当的处理好不等关系。在对不等关系的概念的理解、性质的阐述，证明和解答的技巧的训练逐步降低要求，这就为学生由浅入深的了解不等式的解答过程，灵活的运用不等式的基本法则奠定了基础。在实际教学过程中，不等式的教学应从以下几个方面入手，以提升教学效果：

一、以生活情景为切入点，加强初高中不等式知识的内在联系

不等式的知识在初中阶段就已有涉及，高中阶段的不等式知识是在此基础上对其的进一步完善与深入。所以在高中阶段研究不等式的内容必须以初中阶段的内容为基础。在进行新知识的教学过程中，要以生活中的情景设置为切入点，同时也要将学生已经掌握的不等式内容进行“挂钩”和对接，从简单的不等关系中抽离出具体的数量关系，建立起简单的不等模型，再以此为基础进行更加深入层次的不等关系模型的构建。

在课堂开始阶段，教师可以让学生自主感受日常生活中的不等关系的存在。尤其是可以让学生回忆初中阶段的简单不等式表达，如“三角形两边之和大于第三遍”、“两点之间最短的距离是连接两点的线段”等。此外，对于生活的当中的其他不等关系，人们也经常使用一定的符号和数字进行简单表达，例如在路上遇到的限速路标，指示速度要限制在100公里以内，那就表示速度v≤100km；同学们平时购买的酸奶当中，在表示成分含量的时候经常会看到“脂肪≥3%，蛋白质≥2.7%”，这就意味着在这瓶酸奶当中，脂肪的含量不少于百分之三，蛋白质的含量不少于百分之二点七。这些具体的案例是不等关系的具体应用，不仅将学生初中时所学的简单的不等关系量进行了复习，同时也为高中阶段更深入层次的不等关系的学习提供了有利的条件。

二、加强知识之间的关联，将实际生活问题反向抽象化

不等式的应用问题通常会渗透到很多其他知识的内部，同时，不等式的应用通常也会以其他知识为背景。通过分析有关不等式的应用问题，考察学生对不等式的综合运用能力，以提高学生综合分析与解决问题的能力。

抽象的问题具体化和形象化是让学生获得对知识重新构建的绝佳机会。实际生活问题是较为具体的事项，但是其中蕴含的数学思想却又是抽象的。学生应该遵循“具体——抽象——具体”的路径，从具体的事物中剥离出抽象的数理关系，再利用数学知识将抽象的关系用更为简便的方式进行表达，从而达到正确理解和解决的目的。

例如“某一个工厂筹划建造一个长方体的无盖储物痴，规划容积为4800平方米，深度约为3米，如果池底部需要铺垫瓷砖，每平方米的瓷砖造价为150元，池壁铺垫瓷砖的每平方米造价为120元。请问怎样设计这座储物池才能让整体工程的造价最低。最低价格又是多少？”

这道问题实际上就是现实生活中遇到的常见的函数和不等式交叉问题，学生要从这种现象中剥离出抽象的数理关系，同时要从关系出发用数量关系式再次进行具体化。这道题中的数理关系实际上就是寻找一个区间内的最优值。这样就可以联想起来构建不等式，再利用不等式的计算得到最终的数值。进而也就得到了一个不等关系式：

设储物池底面的一个长度为x，总造价为p元，那么就有

P=240000+720（x+■）≥240000+7200×2■=297600

此时，x=■，即x=40时，p有最小值297600.

三、注重不等式的解法探索，以此提升学生的思维能力

不等式的解答是不等式知识的重要内容，一定的不等式运算能力是实现知识迁移创新的基本目标。此外，对于含有参数的不等式的练习也应该引起重视，将函数、方程、三角、立体几何的知识都融入其中，达到加强知识间联系的效果。

例如在进行一元二次不等式解法的探究过程中，教师可以利用函数图像对一元二次不等式及其对应的函数和方程进行关系探索，并以此为基础获得该不等式的解法，这样既能使学生获得不等式的解答能力，同时也可以培养学生数形结合，等价转化的数学思想，也使得学生的概括能力、抽象能力得到了锻炼。不等式解法的探索实际上是学生思维能力锻炼的过程。

总之，高中数学不等式的教学应在新课程改革的背景下逐步推进和完善，用新课程的理念指导这一重要内容的教学与学习，以此使学生在获取知识的同时在思维训练和能力锻炼上获得效果。

【参考文献】

[1]张玮萍.高中数学“不等式”的教学实践与探索[D].西北师范大学，2006.

[2]余智敏.高中数学新旧教材中“不等式”的对比研究[D].华中师范大学，2011.

[3]郑珺影.数学思维在高中数学不等式教学中的作用[J].考试周刊，2008，40：42-43.

（作者单位：贵州省正安县第一中学）

【摘 要】在数学中，要求学生树立不等观念，研究现实生活中出现的一系列不等问题具有十分重要的意义和一般性。在实际教学过程中，不等式的教学应从以下几个方面入手，以提升教学效果：一、以生活情景为切入点，加强初高中不等式知识的内在联系；二、加强知识之间的关联，将实际生活问题反向抽象化；三、注重不等式的解法探索，以此提升学生的思维能力。

【关键词】高中数学；不等式；教学

不等式是高中数学中的重要内容，具有充分的综合性与系统性。此外，不等关系与相等关系同样都包含着丰富的数量级关系，在数学应用领域具有一定的普遍性。在数学中，要求学生树立不等观念，研究现实生活中出现的一系列不等问题具有十分重要的意义和一般性。不等和相等是相对的，学生在对相等的观念形成了一定的思维定势之后，要让学生逐渐接受在日常生活当中极为普遍的不等关系，以形成良好的数学素养。

根据近几年高考考试大纲的变化，我们可以看出，不等式的内容基本不会出现单独命题的情况，即通常都是在其他题目当中以组合的方式出现。一般的分值都保持在10分上下。更多的将不等式的知识体现在一定的情境当中，让学生能够感受到生活当中、数学当中存在的不等关系，进而建立起不等观念，正确得当的处理好不等关系。在对不等关系的概念的理解、性质的阐述，证明和解答的技巧的训练逐步降低要求，这就为学生由浅入深的了解不等式的解答过程，灵活的运用不等式的基本法则奠定了基础。在实际教学过程中，不等式的教学应从以下几个方面入手，以提升教学效果：

一、以生活情景为切入点，加强初高中不等式知识的内在联系

不等式的知识在初中阶段就已有涉及，高中阶段的不等式知识是在此基础上对其的进一步完善与深入。所以在高中阶段研究不等式的内容必须以初中阶段的内容为基础。在进行新知识的教学过程中，要以生活中的情景设置为切入点，同时也要将学生已经掌握的不等式内容进行“挂钩”和对接，从简单的不等关系中抽离出具体的数量关系，建立起简单的不等模型，再以此为基础进行更加深入层次的不等关系模型的构建。

在课堂开始阶段，教师可以让学生自主感受日常生活中的不等关系的存在。尤其是可以让学生回忆初中阶段的简单不等式表达，如“三角形两边之和大于第三遍”、“两点之间最短的距离是连接两点的线段”等。此外，对于生活的当中的其他不等关系，人们也经常使用一定的符号和数字进行简单表达，例如在路上遇到的限速路标，指示速度要限制在100公里以内，那就表示速度v≤100km；同学们平时购买的酸奶当中，在表示成分含量的时候经常会看到“脂肪≥3%，蛋白质≥2.7%”，这就意味着在这瓶酸奶当中，脂肪的含量不少于百分之三，蛋白质的含量不少于百分之二点七。这些具体的案例是不等关系的具体应用，不仅将学生初中时所学的简单的不等关系量进行了复习，同时也为高中阶段更深入层次的不等关系的学习提供了有利的条件。

二、加强知识之间的关联，将实际生活问题反向抽象化

不等式的应用问题通常会渗透到很多其他知识的内部，同时，不等式的应用通常也会以其他知识为背景。通过分析有关不等式的应用问题，考察学生对不等式的综合运用能力，以提高学生综合分析与解决问题的能力。

抽象的问题具体化和形象化是让学生获得对知识重新构建的绝佳机会。实际生活问题是较为具体的事项，但是其中蕴含的数学思想却又是抽象的。学生应该遵循“具体——抽象——具体”的路径，从具体的事物中剥离出抽象的数理关系，再利用数学知识将抽象的关系用更为简便的方式进行表达，从而达到正确理解和解决的目的。

例如“某一个工厂筹划建造一个长方体的无盖储物痴，规划容积为4800平方米，深度约为3米，如果池底部需要铺垫瓷砖，每平方米的瓷砖造价为150元，池壁铺垫瓷砖的每平方米造价为120元。请问怎样设计这座储物池才能让整体工程的造价最低。最低价格又是多少？”

这道问题实际上就是现实生活中遇到的常见的函数和不等式交叉问题，学生要从这种现象中剥离出抽象的数理关系，同时要从关系出发用数量关系式再次进行具体化。这道题中的数理关系实际上就是寻找一个区间内的最优值。这样就可以联想起来构建不等式，再利用不等式的计算得到最终的数值。进而也就得到了一个不等关系式：

设储物池底面的一个长度为x，总造价为p元，那么就有

P=240000+720（x+■）≥240000+7200×2■=297600

此时，x=■，即x=40时，p有最小值297600.

三、注重不等式的解法探索，以此提升学生的思维能力

不等式的解答是不等式知识的重要内容，一定的不等式运算能力是实现知识迁移创新的基本目标。此外，对于含有参数的不等式的练习也应该引起重视，将函数、方程、三角、立体几何的知识都融入其中，达到加强知识间联系的效果。

例如在进行一元二次不等式解法的探究过程中，教师可以利用函数图像对一元二次不等式及其对应的函数和方程进行关系探索，并以此为基础获得该不等式的解法，这样既能使学生获得不等式的解答能力，同时也可以培养学生数形结合，等价转化的数学思想，也使得学生的概括能力、抽象能力得到了锻炼。不等式解法的探索实际上是学生思维能力锻炼的过程。

总之，高中数学不等式的教学应在新课程改革的背景下逐步推进和完善，用新课程的理念指导这一重要内容的教学与学习，以此使学生在获取知识的同时在思维训练和能力锻炼上获得效果。

【参考文献】

[1]张玮萍.高中数学“不等式”的教学实践与探索[D].西北师范大学，2006.

[2]余智敏.高中数学新旧教材中“不等式”的对比研究[D].华中师范大学，2011.

[3]郑珺影.数学思维在高中数学不等式教学中的作用[J].考试周刊，2008，40：42-43.

（作者单位：贵州省正安县第一中学）

【摘 要】在数学中，要求学生树立不等观念，研究现实生活中出现的一系列不等问题具有十分重要的意义和一般性。在实际教学过程中，不等式的教学应从以下几个方面入手，以提升教学效果：一、以生活情景为切入点，加强初高中不等式知识的内在联系；二、加强知识之间的关联，将实际生活问题反向抽象化；三、注重不等式的解法探索，以此提升学生的思维能力。

【关键词】高中数学；不等式；教学

不等式是高中数学中的重要内容，具有充分的综合性与系统性。此外，不等关系与相等关系同样都包含着丰富的数量级关系，在数学应用领域具有一定的普遍性。在数学中，要求学生树立不等观念，研究现实生活中出现的一系列不等问题具有十分重要的意义和一般性。不等和相等是相对的，学生在对相等的观念形成了一定的思维定势之后，要让学生逐渐接受在日常生活当中极为普遍的不等关系，以形成良好的数学素养。

根据近几年高考考试大纲的变化，我们可以看出，不等式的内容基本不会出现单独命题的情况，即通常都是在其他题目当中以组合的方式出现。一般的分值都保持在10分上下。更多的将不等式的知识体现在一定的情境当中，让学生能够感受到生活当中、数学当中存在的不等关系，进而建立起不等观念，正确得当的处理好不等关系。在对不等关系的概念的理解、性质的阐述，证明和解答的技巧的训练逐步降低要求，这就为学生由浅入深的了解不等式的解答过程，灵活的运用不等式的基本法则奠定了基础。在实际教学过程中，不等式的教学应从以下几个方面入手，以提升教学效果：

一、以生活情景为切入点，加强初高中不等式知识的内在联系

不等式的知识在初中阶段就已有涉及，高中阶段的不等式知识是在此基础上对其的进一步完善与深入。所以在高中阶段研究不等式的内容必须以初中阶段的内容为基础。在进行新知识的教学过程中，要以生活中的情景设置为切入点，同时也要将学生已经掌握的不等式内容进行“挂钩”和对接，从简单的不等关系中抽离出具体的数量关系，建立起简单的不等模型，再以此为基础进行更加深入层次的不等关系模型的构建。

在课堂开始阶段，教师可以让学生自主感受日常生活中的不等关系的存在。尤其是可以让学生回忆初中阶段的简单不等式表达，如“三角形两边之和大于第三遍”、“两点之间最短的距离是连接两点的线段”等。此外，对于生活的当中的其他不等关系，人们也经常使用一定的符号和数字进行简单表达，例如在路上遇到的限速路标，指示速度要限制在100公里以内，那就表示速度v≤100km；同学们平时购买的酸奶当中，在表示成分含量的时候经常会看到“脂肪≥3%，蛋白质≥2.7%”，这就意味着在这瓶酸奶当中，脂肪的含量不少于百分之三，蛋白质的含量不少于百分之二点七。这些具体的案例是不等关系的具体应用，不仅将学生初中时所学的简单的不等关系量进行了复习，同时也为高中阶段更深入层次的不等关系的学习提供了有利的条件。

二、加强知识之间的关联，将实际生活问题反向抽象化

不等式的应用问题通常会渗透到很多其他知识的内部，同时，不等式的应用通常也会以其他知识为背景。通过分析有关不等式的应用问题，考察学生对不等式的综合运用能力，以提高学生综合分析与解决问题的能力。

抽象的问题具体化和形象化是让学生获得对知识重新构建的绝佳机会。实际生活问题是较为具体的事项，但是其中蕴含的数学思想却又是抽象的。学生应该遵循“具体——抽象——具体”的路径，从具体的事物中剥离出抽象的数理关系，再利用数学知识将抽象的关系用更为简便的方式进行表达，从而达到正确理解和解决的目的。

例如“某一个工厂筹划建造一个长方体的无盖储物痴，规划容积为4800平方米，深度约为3米，如果池底部需要铺垫瓷砖，每平方米的瓷砖造价为150元，池壁铺垫瓷砖的每平方米造价为120元。请问怎样设计这座储物池才能让整体工程的造价最低。最低价格又是多少？”

这道问题实际上就是现实生活中遇到的常见的函数和不等式交叉问题，学生要从这种现象中剥离出抽象的数理关系，同时要从关系出发用数量关系式再次进行具体化。这道题中的数理关系实际上就是寻找一个区间内的最优值。这样就可以联想起来构建不等式，再利用不等式的计算得到最终的数值。进而也就得到了一个不等关系式：

设储物池底面的一个长度为x，总造价为p元，那么就有

P=240000+720（x+■）≥240000+7200×2■=297600

此时，x=■，即x=40时，p有最小值297600.

三、注重不等式的解法探索，以此提升学生的思维能力

不等式的解答是不等式知识的重要内容，一定的不等式运算能力是实现知识迁移创新的基本目标。此外，对于含有参数的不等式的练习也应该引起重视，将函数、方程、三角、立体几何的知识都融入其中，达到加强知识间联系的效果。

例如在进行一元二次不等式解法的探究过程中，教师可以利用函数图像对一元二次不等式及其对应的函数和方程进行关系探索，并以此为基础获得该不等式的解法，这样既能使学生获得不等式的解答能力，同时也可以培养学生数形结合，等价转化的数学思想，也使得学生的概括能力、抽象能力得到了锻炼。不等式解法的探索实际上是学生思维能力锻炼的过程。

总之，高中数学不等式的教学应在新课程改革的背景下逐步推进和完善，用新课程的理念指导这一重要内容的教学与学习，以此使学生在获取知识的同时在思维训练和能力锻炼上获得效果。

【参考文献】

[1]张玮萍.高中数学“不等式”的教学实践与探索[D].西北师范大学，2006.

[2]余智敏.高中数学新旧教材中“不等式”的对比研究[D].华中师范大学，2011.

[3]郑珺影.数学思维在高中数学不等式教学中的作用[J].考试周刊，2008，40：42-43.

数学不等式有效教学 篇7

钱老师设计的这节课在形式上并没有什么特别之处, 更无“花架子”可言, 课堂环节也不多, 大致环节为: (1) 通过数数活动, 积累几个几个数的活动经验。 (2) 通过青蛙跳格子, 引出乘法。 (3) 结合“儿童乐园”情境, 理解乘法算式的意义。 (4) 介绍乘号的由来。 (5) 练习巩固, 及时反馈。 (6) 走进生活, 深化理解。

对比钱老师设计的这节课, 反思自己的课堂教学, 我感悟到:有效的数学课, 起码学生要做到“有效地思考, 有效地学习, 有效地发展”。因此, 要设计一节有效的数学课, 应先注意以下几个不等式。

一、高涨的热情≠有效的思考

以前, 我认为课堂上尽量利用如课件、故事、比赛等形式把学生参与的热情调动起来, 这节课就会有效。现在觉得不然, 虽然学生情绪上热情高涨, 但是如果他们没有用心思考, 只是停留在肤浅层次的人云亦云或是哗然一片, 这课也不算有效。钱老师的这节课就没有太华丽的形式, 但他每个环节都在引导学生进行有效的思考。正如钱老师所主张的:有效的数学课堂, 学生总是有机会思考, 课堂总能引发学生的思考。

二、丰富的内容≠有效的学习

“课堂容量大, 内容要丰富”, 这是从前我对有效课堂的理解, 但实践中学生往往是吃多了嚼不烂。看了钱老师的课堂, 容量并不大, 内容涉及也不多, 只是拓展了“乘号的由来”, 而学生的收获是很大的, 对乘法意义的来龙去脉很清晰, 对乘法的意义理解得很透彻, 同时在学习过程中获得了数学思想方法。这才是真正有效的学习。亦如钱老师所倡导的:不仅需要在知识学习上走得快, 更需要在人生道路上走得远。“让人走得远”的教学不把传授系统知识视为教学的本质, 而是创造条件, 让人在知识探究中产生自己的思想、体验和理解。

三、大量的训练≠有效的发展

不等式恒成立问题的有效教学实验 篇8

关键词：生成教学,总结,反思,策略,探究,适用性,方法选择

不等式恒成立问题是教学的难点, 学生在考试中对不等式恒成立问题的解决也不理想, 怎么改变这种教学现状呢? 本文试图进行一些探讨, 供读者参考.

一、改变教学模式, 进行解题方法的生成教学

弗莱雷指出, 灌输式教育采用的教学方法主要是讲解, 只通过讲解学生没有理解和体验的过程, 过一段时间就忘了方法. 为了改变这种现状, 克服难点, 只有改变传统的灌输式教学, 改变为进行解题方法的生成教学.

普通高中《数学课程标准》把“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”作为一个基本理念, 要求“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习, 高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式. ”这些学习方式有助于发挥学生的主动性, 鼓励学生在学习过程中, 养成独立思考、积极探索的习惯, 使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程. 所以只有改变理念, 从学生的实际出发, 让学生参与到学习的整个过程, 尽量让学生有更多自学的机会, 讨论的机会, 创新的机会.必须培养学生自己获得知识的能力, 必须打破课堂讲授的束缚, 减少教师的讲授时间, 按内容的难易, 学生的程度, 多进行师生交互, 设立研究式教学, 师生共同研究、探讨, 才能生成解题方法.

不等式恒成立问题的解题方法不再是简单的老师讲评, 学生学习, 而是在老师的引导下学生独立思考、积极探索的结果, 并由学生完成方法的总结工作.

方法1: 直接转化为函数最值问题来解决

若一个函数可以求出最值, 可以直接转化为该函数的最值问题来解决.

例1 设函数f ( x) ≥ ( ax2- 2ax + 2a - 1) , 若对于任意x∈[- 1, 1], 都有0≤f ( x) ≤4, 求a的值.

综上所述, a=1.

方法2: 转化为变形构造的一个函数的最值问题来解决

若一个函数无法求出最值, 那么需要变形构造一个函数来解决.

例2 (2010高考全国卷Ⅱ22) 设函数f (x) =1-e-x.

(Ⅰ) 证明:当x>-1时, f (x)

( Ⅱ) 设当x≥0 时, f ( x) ≤, 求a的取值范围.

解 ( Ⅰ) 当x > - 1 时, f ( x) ≥当且仅当ex≥1 + x.

令g ( x) = ex- x - 1 则g' ( x) = ex- 1.

当x≥0 时, g' ( x) ≥0, g ( x) 在[0, + ∞ ) 是增函数. 当x≤0 时, g' ( x) ≤0, g ( x) 在 ( - ∞ , 0]是减函数. ∴ g ( x) min=g ( 0) . ∴ g ( x) ≥g ( 0) ∴ ex≥1 + x.

即有x > - 1 时, f ( x) ≥

( Ⅱ) 由题设x≥0, 此时f ( x) ≥0.

当a≥0 时, 令h ( x) = ( 1 - e- x) ( ax + 1) - x, 由题设h ( x) ≤0 恒成立,

h' (x) =a (1-e-x) + (ax+1) e-x-1, h″ (x) = (2a-1-ax) e-x.

若时, h″ ( x) > 0, 即h' ( x) 在是增函数.

∵h' (0) =0, ∴h' (x) >h' (0) =0,

即h (x) 在0, 是增函数,

又∵ h ( 0) = 0, ∴ h ( x) > h ( 0) = 0, h ( x) ≤0 不恒成立.

若0≤a≤, 则h″ ( x) ≤0, 即h' ( x) 在[0, + ∞ ) 是减函数,

∵ h' ( 0) = 0, ∴ h' ( x) ≤h' ( 0) = 0, 即h ( x) 在[0, + ∞ ) 是减函数,

又∵h (0) =0, ∴h (x) ≤h (0) =0恒成立.

综上, a的取值范围是

方法3: 构造两个函数然后转化为最值问题来解决

如果构造一个函数无法解决问题, 有时可以构造两个函数然后转化为最值问题来解决, 这种方法需要两个函数的最值有满足条件的大小关系.

例3求证:对一切x∈ (0, +∞) , 都有

g' ( x) =, 当x∈ ( 0, 1) 时g' ( x) > 0, 当x∈ ( 1, +∞ ) 时g' ( x) < 0, 所以g ( x) 在 ( 0, 1) 上是增函数, 在 ( 1, +∞ ) 上是减函数, ∴ g ( x) max= g ( 1) =,

∴ f ( x) ≥g ( x) 又等号取不到, ∴ f ( x) > g ( x) ,

方法4: 分离变量法

对于含参数的不等式恒成立问题, 如果能够分离变量, 得到的函数又可以求出所需要的最值, 那么可以采用分离变量方法来处理.

例4 已知函数f ( x) = ex- kx, 对于任意x∈R, f ( | x | ) > 0 恒成立, 试确定实数k的取值范围.

解任意x∈R, f (|x|) =e|x|-kx>0恒成立,

当x=0时, 1>0, 成立,

当t∈ (0, 1) 时g' (t) <0, 当t∈ (1, +∞) 时g' (t) >0,

∴g (t) 在 (0, 1) 上是减函数, 在 (1, +∞) 上是增函数,

方法5: 基本不等式法

某些有两个变量的不等式恒成立问题可能产用基本不等式证明.

例5 已知函数f ( x) = x2++ alnx ( x > 0) , f ( x) 的导函数是f ' ( x) . 对任意两个不相等的正数x1, x2, 证明:

由 (1) 、 (2) 、 (3) 得

∴ 对任意两个不相等的正数x1, x2, 恒有| f' ( x1) -f' (x2) |>x1-x2.

方法6: 放缩法

放缩法思想就是将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.

例6 bn= (lnx) n/ n2, Tn为数列{b}n前n项和求证:对任意实数x∈ (1, e]和任意正整数n总有Tn<7/4.

二、组织学生探究, 找到不等式恒成立问题的解决方法

总结学习了解决不等式恒成立问题的各种方法以后, 如果不会正确的使用也不会取得良好的效果, 还需要学生掌握各种方法的适用范围和探究解题方法的选择策略, 并且考虑哪一种方法比较简单.

提出问题给学生探究, 并且由学生进行更多自主探究, 下面是一些探究例子:

探究问题一: 什么情况下选择分离变量法?

如果一个不等式可以分离变量, 而且分离变量后的函数容易求出最值那么采用分离变量法. 例如本文例1 就无法分离变量出a, 故直接转化为函数最值问题来解决. 例4如果直接求最值就需要分类讨论了, 分离变量也容易解决, 所以采用分离变量法. 例2 ( Ⅱ) 当a < 0 时f ( x) ≤不恒成立, 当a≥0 时, 分离变量得恒成立, 而这个函数无法求出最小值, 所以不能选择分离变量法.

探究问题二:变形构造一个函数的构造方法有哪些?

方法1:求对数构造函数

例7对于任意正整数m, n, 若m < n, 求证: ( 1 + m) n> (1+n) m.

∴ f ( x) 在[2, + ∞ ) 上是减函数,

方法2: 去分母整理构造函数

见本文例2 去分母整理构造函数.

方法3: 提取公因式等变形方法构造函数

例8 对于任意x≥0, 求证: ( 2 + x) ln ( 1 + x) ≥2x.

探究问题三: 解题方法的选择和解题方法的比较

比较研究本文例题的方法选择问题, 总结能不能用其他方法解决, 为什么用了那种方法, 并且给出更多例题让学生讨论解题方法. 学生在比较, 研究, 反思中得到了方法的掌握各种方法的适用范围和探究解题方法的选择策略.

例如: (1) 求证:; (2) 设, 证明:cn<5; (3) 求证: 2≤< e; 4) (设函数f ( x) = x2, g ( x) = x +lnx, 是否存在实数k, m, 使f ( x) ≥kx + m, g ( x) ≤kx + m恒成立.

“授之以鱼, 不如授之以渔”, 方法的掌握, 思想的形成, 才能使学生提高能力. 对于一个不等式恒成立问题应该选择怎样的方法解决需要学生去总结比较各种方法的特点, 反思方法的适用范围, 就行一题多解的实验, 反思方法的可行性和优劣. 让学生进行广泛的交流和探究, 上课让学生总结思想心得, 在探究中提高对方法的认识水平, 最终让广大学生得到正确的数学思想认识.

学生还总结可以通过数形结合, 分类讨论的思想方法解决不等式恒成立问题.

参考文献

数学不等式有效教学 篇9

1 由“风车”弦图引出基本不等式

1) 让学生观察图1, 见过这个图形么?告诉我们什么信息?

形如风车……, 与北京有关……, 应该是2002年8月20至28日发生的事……, ICM是什么意思?……是international mathemtical congress缩写, 意思是国际数学家大会……, 对了, 是2002年8月20至28日在北京召开的国际数学家大会……图案应该是它的会标……

这是“风车”形状的弦图, 是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标, 依据我国古代著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计的, 颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客, 也代表人类的聪明才智.“风车”弦图不仅让学生感叹数学图形构造的精巧与优美, 也让学生认识到我国古代辉煌的数学成就.

2) 依据弦图, 能找出一些相等或不等关系吗?

图1中的风车弦图可简记为图2所示.然后让学生比较图2中4个直角三角形面积的和与大正方形的面积.由图形关系不难得出:正方形的边长为undefined, 则正方形的面积为a2+b2;此时, 周围4个直角三角形的面积的和是2ab, 对比大正方形和4个三角形的面积, 很容易得到不等式

a2+b2>2ab.

3) 进一步思考:

如果将图中的直角三角形改成特殊的等腰直角三角形, 又会出现怎样的结果?以及:“当a>0, b>0时, 在不等式“a2+b2≥2ab中, 以undefined分别代替a, b, 你能得出什么结论?”通过一个个问题的解决, 学生不难得出基本不等式“undefined, 当且仅当a=b时, 式中等号成立”.

这样, 学生通过赵爽的弦图形象地构建了基本不等式, 体验了数学思维的形象性, 完整地经历了知识的产生、发展、变化的过程.

2 欧拉设计, 美妙无比

基本不等式有广泛的应用, 在应用的过程中体现出人类高超的数学智慧, 如欧拉美妙绝伦的设计, 不仅解决了人类的许多问题, 而且展示了人类美妙无比的解答.

1) 欧拉的羊圈, 高明的设计.欧拉, 家喻户晓的数学家, 有惊人的数学才能和数学发现, 以他名字命名的有欧拉定理、欧拉公式、欧拉线等.当然也有许多美丽的传说, 小时候帮父亲解决了一个棘手的问题:

例1 因羊繁殖增多, 他父亲计划建一个长40米, 宽15米共600平方米长方形羊圈.可动工时才发现原有的材料只够围100米的篱笆.该如何办?

正在为难时, 小欧拉给了一个建议, 把羊圈建成一个边长为25米的正方形.父亲照着小欧拉设计扎了一个正方形的羊圈, 100米长的篱笆真的够了, 面积还比原来的稍大一些.这是为什么?如何解释欧拉的设计?

欧拉的做法, 我们不妨设羊圈的长为x米, 宽为y米, 则x+y=50, xy=S.由undefined, 可得undefined.所以S≤625, 当x=y=25时, 等号成立.

事实上, 欧拉总结出一条规律:在等周长的四边形中, 正方形的面积最大.

2) 问题变式.

例2 若欧拉家用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短, 篱笆最少用多少m?

解 设矩形菜园的长为x米, 宽为y米, 则xy=100, 篱笆的长为2 (x+y) 米.

由undefined, 可得

undefined

等号当且仅当x=y时成立, 此时x=y=10.

因此, 这个矩形的长、宽都为10 m时, 所用的篱笆最短, 最短的篱笆是40 m.

从欧拉的聪明设计与问题变式的解答, 不难发现如下重要的结论:

当两数和为定值时, 这两数积有最大值;两数积为定值时, 这两数和有最小值.

3 等周问题——基本不等式的推广

许多重要的数学成果, 往往是数学命题推广的结果.基本不等式的推广, 可以得到等周定理, 也可得到平均不等式.这些都是数学中非常重要的结论.

1) 让学生研究、讨论:“在等周长的四边形中, 正方形的面积最大.”根据此定理, 我们可以发现、提出什么结论?

有学生发现, 将四边形改为多边形, 基本不等式拓展到:在定周长的多边形中, 正多边形的面积最大……

也有学生提出, 在定周长的所有平面图形中, 圆有最大面积……在等面积的立体图形中, 球的体积最大.

根据学生的猜想, 教师总结:“在等周长的四边形中, 正方形的面积最大”, “在定周长的所有平面图形中, 圆有最大面积”, 这些结果就是等周定理, 这是等周问题的重新发现, 非常可贵.早在公元前180年左右, 古希腊数学家芝诺就研究过这一类求极值的问题, 称为“等周定理”, 或“等周问题”.他的等周图形的论著, 非常可惜, 已经失传.但值得庆幸的是, 有关等周图形的命题被公元4世纪亚历山大里亚的学者帕波斯记载, 才得以保存.所以, 等周定理历史悠久, 源远流长.

2) 笛卡尔与等周问题.17世纪的笛卡尔对面积为1的一些图形的周长和周长为1的一些图形的面积进行研究, 通过具体实验验证了等周问题.如表1所示.

表1说明了什么问题?你能解释如下问题?

很多花茎、树干和许多别的物体的杆为什么都长成圆柱形的?

飘浮在空气中的小水滴和肥皂泡为什么近似于球形?

这些问题看似与数学无关, 其实, 它们间接地包含了数学中“最小面 (体) 积”的问题.

学生对这些现象真有些意外, 但是进一步学习的“胃口”却被调起来了.

18世纪, 斯坦纳对等周问题进行证明.之后, 伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日等相继对等周问题进行了研究, 推动了最值问题研究的深入.至今, 数学中对等周问题的研究仍在继续, 且不断地深入, 在研究它的过程中, 产生了各种数学思想、研究方法, 间接地推动了数学的发展.

4 结语

本节课由基本不等式到等周问题研究的逐步深入, 学生充分置身于一个数学知识发生、发展的文化形成的生动过程, 不仅领略了数学文化的博大精深, 也体会了数学家的深邃的科学思想, 而且也缓解了学生心中的难、怕的情绪, 并为学生们走进数学的神奇世界打开了一扇窗, 透过它学生可以感受到数学世界的美妙, 为学生学习数学提供了源源不断的动力, 提升学生的数学文化的内在气质.通过浸润着丰厚文化的数学知识进行学习, 生动地感受数学独特的文化内涵, 滋润在文化的土壤中, 吸取文化的营养, 巧妙地构建知识, 并在头脑中打下深深的文化烙印.我们深信, 很多数学知识很快就会忘掉, 但基本不等式与等周问题却会深深铭刻在头脑中.

参考文献

[1]丁广峰.数学文化与素质教育[J].中学数学教学参考, 2003, (5) .

[2]N.D.卡扎里诺夫.几何不等式[M].北京:北京大学出版社, 1986.

数学不等式有效教学 篇10

首先, 高中课程的改革关系到每一位学子的前程, 现如今高中课程改革进行得如火如荼, 教育部门提倡教育与社会相融合的改革模式, 提倡学习与应用相融合的教育体系, 杜绝以往只注重成绩而忽视知识在社会生活中应用的现象, 新的改革方案提倡学习与社会相融合的教学模式, 把大量的知识应用在日常的生活中, 教学改革应秉着以发展为主, 学习为辅的原则, 保证学生在充分掌握知识的同时, 充分地将其应用在生活中, 提升学生的自我发展能力, 把更多的知识利用在生活中, 从而大力地推动社会的经济步伐.

其次, 教学策略改革应充分地了解教学的内容, 需要经验丰富的师资力量进行探讨与研究, 制定出劳逸结合的教学模式, 避免学生在枯燥乏味的环境下受教. 因数学的本身性质具有唯一性的特点, 教育者应更改一成不变的教育模式, 让学生在轻松氛围中受教, 对知识掌握的速度、应用的程度起着至关重要的作用. 通过对数学知识的掌握, 使更多的学生为社会的发展带来必要的作用, 充分利用数学教育中的知识扩建社会的发展.

第三, 数学教学往往只是死记硬背的教育模式, 体现出枯燥的教育模式, 在现代的教育中, 我们应杜绝此类现象的发生, 尽可能为学生提供愉快的教学环境. 数学教育推动着我国的科技发展, 使其承担着重大责任, 因此, 数学教育应不断地完善来弥补在应用中出现的各种漏洞.

二、不等式的重要意义

1. 不等式是高中数学学习的基础

不等式教学贯穿着高中教育的整个过程, 高中数学离不开不等式的应用, 而在现如今的社会中不等式的应用也发挥着重要的作用. 在高中不等式的教学中主要分为三种模式: 函数、几何、三角, 这三种模式也成为高中数学必修的课题, 由于这三种模式掌握较难, 学生学习期间则需要花费大量的时间来学习, 解不等式是教学内容的重要换算工具, 在不等式的教学中首先接触的便是解不等式, 解不等式的掌握关系到以后的学习成绩, 然而这一环节不能充分地掌握, 以后教学中接触不等式就无从下手.

2. 加大不等式教学科研力度

不等式的研究也成为相关教育部门研究对象, 对教育者提供简洁、技巧性强的教育方案. 这种教育方案需要自身技巧与实践技巧相融合, 应在乏味的教学中进行深度的讲解. 在现代教学中, 教育工作者往往只看重掌握能力, 考试的成绩最能体现出学生的理解能力, 所以更多的教育者只看重成绩反映出的掌握能力, 使得更多的学生对教学产生相应的恐惧与排斥, 教育工作者应采用舒适、温馨、简单、快捷的教育模式, 让学生在轻松的环境下进行以往枯燥的学习生活, 这不但能提升学生的掌握能力, 对学生日后的发展也起着至关重要的作用.

3. 不等式与学习生活息息相关

初中数学为高中不等式打下了稳固的基础, 在考试中不等式不会单独出现在试题中, 是通过相应内容的解答来体现不等式的应用, 可以说不等式的应用在数学教学中是无处不在的, 任何数学的解答都离不开不等式应用, 所以充分地掌握不等式的知识很重要, 它是无形地出现在各种试题中. 数学教育是贯通教育重要体系, 学习的任何知识都是为以后做好基础, 任何的一个教育环节都不容被忽视, 掌握各种知识为今后的学习奠定强有力的基础.

三、不等式的策略研究

其一, 不等式有着多解的教育特质, 不等式的学习能展现出学生的判断思考能力, 解不等式是教学中最为重要的学习内容, 解不等式可从多种角度出发, 最终完成不等式的解答. 只有充分了解不等式的解法, 才可进行不等式的相关试题. 解不等式需要广泛的知识, 体现出数学教学的贯穿模式, 每一个学习的环节学生都应充分地了解及运用, 为今后的学习打下良好的基础.

其二, 在学习不等式的过程中, 不仅要充分地掌握教学中的内容, 还应把生活中的问题有效地融入到不等式的学习中, 让学生了解学习和生活是密切关联的, 数学的应用在社会中起着重要的作用, 不论任何的行业、任何的单位及个人, 公司的发展、社会的进步、城市的变化, 这些都离不开数学的学习内容, 因此可见学习数学的重要性.

其三, 了解解不等式是学习不等式的基础, 只有充分地学习不等式的解法, 才可对相关的试题进行深度的解答. 解不等式需要较强的运算能力, 只有充分地学习这项能力才能更好地运用在不等式的解答中. 在不等式的学习中, 学生还应具备举一反三的学习品质, 采用一题多解的模式, 从不同的角度进行不等式的解答, 这样不仅能提高知识的掌握能力, 同时也能锻炼思维的敏捷能力, 做到学习与现实相融合, 不只单一地学习, 充分地利用学习与现实融合的技巧.

总结: 数学教育的改革关系着整个教学体系, 数学知识的掌握能充分利用在社会的生活中, 推进社会发展的步伐.然而数学的教学存在着单一枯燥的学习模式, 相关的教育工作者应秉承着掌握知识的同时, 充分运用在社会的实践中. 在高中数学不等式的学习中, 应采用不同的解法来进行解答, 促进知识的充分利用, 又能提高思维的敏捷性.

摘要：高中数学的教学中不等式有着重要学习意义, 不等式的计算在社会生活中也被广泛地利用.不等式成为了教育科学的重要研究内容, 同时成为教学中重要的科学模式, 对进一步学习数学起着关键的作用, 充分掌握不等式的计算成为高中数学的重要教学内容.

关键词：高中教学改革,不等式,策略研究

参考文献

[1]姚爽林.高中数学的教育研究[J].同济大学出版社, 2013, 7 (7) :150-149.

[2]建林.高中数学不等式的教学[J].北京师范大学出版社, 2012, 3 (12) :143-130.