多目标路径优化（精选十篇）
多目标路径优化 篇1
危险货物是现代工业化生活方式的基本组成部分,由于95%的危险货物的生产和消费地点有所不同,危险货物运输广泛存在着。在区域内部,考虑到转运过程会增加整个运输环节的成本、风险和时间,危险货物通常只由一种方式运输;但是,在不同区域之间,由于运输距离较远,多式联运被广泛的使用着,这使得运输商既能够受益于短途卡车运输的灵活性,又可以享受长途铁路运输或者水路运输的规模经济优势。
近几十年里,学术界对危险货物运输中的诸多问题开展了大量的研究,Erkut[1]对此提供了较为全面的综述,然而,如Erkut所述,既有研究普遍只着重于一种运输方式,而对于多式联运方面的研究则非常稀少,已有研究主要包括两个方面:一是基于风险评估的运输模式之间的优劣对比[2,3,4,5],该问题在于设计不同运输方式的风险评估方法,分析不同运输方式对于一个区域或一条通道内危险货物运输的适用性;二是联运路径优化,Verma[6,7,8]探讨了危险货物铁公联运路径优化问题,同时以成本和风险最小为目标,建立了有送达时间限制和惩罚机制的双目标混合整数线性规划模型,并分别设计了迭代分解算法、基于禁忌搜索的混合算法等求解方法,Xie[9]首次探讨了危险货物铁公联运的选址-路径问题,并为该问题构建了一个以成本和风险加权值最小为目标的混合整数线性规划模型,该模型可由优化软件直接求解;开妍霞[10]和郭丰润[11]先后研究了危险货物多式联运的方式和路径选择综合优化问题,构建了以成本和风险的加权值最小为目标的0-1非线性规划模型,作者指出该模型可借助于商业优化软件直接求解。
路径问题是危险货物多式联运管理中的关键问题,但从既有文献可看出,在该领域,还没有文献同时考虑具有多目标、多批货物、以及送达时间和路段容量约束的路径问题;同时,既有研究均采用了基于网络变形的建模方法,会加大模型规模而增加求解的难度,且文献中广泛使用的目标加权法也较难获得全部的非劣解。基于此,本文站在运输商的角度,系统研究危险货物多式联运的路径优化问题,综合考虑运输、转运过程所产生的成本、风险以及时间,以及送达时间、路段能力等限制,在建模过程中巧妙设计变量关系约束,避免增加模型规模。同时,设计基于帕累托分析的多目标优化算法,为决策者提供模型的所有非劣解,以期在危险货物运输商进行多式联运路径决策过程中提供更符合现实、更为全面的理论支撑。
1 模型构建
1.1 问题描述
设有一个危险货物多式联运网络,各节点之间有铁路、公路、水路等方式可选,有多批具有不同始点和终点且类别也可能不同的待运危险货物,已知各运输方式在各路段上对于各种类型的危险货物的运输成本、风险以及时间,各节点采用各种方式对各种类型的危险货物进行转运时的成本、风险和时间,现需将每批危险货物从其起点运输到其终点,综合考虑送达时间和路段容量限制,如何确定各批危险货物的运输路径及其路径上各路段的运输方式。
1.2 模型假设
危险货物多式联运网络中,运输方式众多且具有不同的特性,危险货物的起讫点(Origin-Destination,OD)和种类等参数也多种多样,为了便于建模分析,特作以下假设:
①假设所有常量为已知,且确定;
②假设在每个路段上至少存在一种运输方式;
③假设每批危险货物只能选择一条路径,即每批次运输不能被分割;
④出于风险公平的考虑,假设每条路段有容量限制;
⑤考虑到危险货物需求的时效性,假设每批危险货物有送达时间要求;
⑥为了简化符号,假设只有一种类型的危险货物。
1.3 符号说明
常量:令危险货物多式联运网络为G={V,A,A′},其中:V表示节点的集合,即危险货物的始点、终点以及转运设施所在节点所构成的集合,A和A′都为无向弧的集合,分别代表所有的路段和所有路段上所有的运输方式。设l表示危险货物的索引,其起点为ol,终点为dl,流量为vl,送达时间要求为sl,总共有m批危险货物,所有危险货物的集合记为,即l=1,2,...,m,l∈L。令k为运输方式的索引,所有运输方式的集合记为K,即k∈K,、和分别代表使用第k种运输方式在路段(i,j)上运输危险货物所产生的单位成本、单位风险和总时间,、q和分别代表在节点i将危险货物从方式P转运到方式q所产生的单位成本、单位风险和总时间。若某路段不具备所有的运输方式,或者某节点不能将一种方式转运到另一种方式时,不失一般性,可将相应的成本、风险和时间参数设置为无穷大即可。考虑风险公平约束,为了限制部分路段过于频繁使用而造成路段周围遭受风险过大,令每条路段的最大容量限制为bij。
决策变量:令为0-1变量,若第l批危险货物使用了路段(i,j)上的第k种运输方式,则,否则,;令为0-1变量,若第l批危险货物在节点i从方式P被转运到方式q,则,否则,。
1.4 优化模型
综上所述,可以建立如下的优化模型:
在上述模型中,式(1)和式(2)为目标函数,其中:式(1)为最小化总成本,包括总运输成本和总转运成本,式(2)为最小化总风险,由总运输风险和总转运风险构成。
式(3)～式(10)为约束条件。式(3)为各批危险货物在各个节点的流量守恒约束,式(4)为各批危险货物在各个路段最多只能选择一种运输方式,式(3)、式(4)和式(9)共同保证各批危险货物都只能获得唯一的一条从其始点到其终点的有效路径,且不被分割运输。式(5)和式(6)为各批危险货物运输过程的连续性约束,其中:式(5)确保决策变量与的正确关系,具体地,若第l批危险货物分别采用方式p和q到达和离开节点i,即,则表示转运过程的决策变量必须为1,否则,必须为0;式(6)为各批危险货物在各个路段最多只能有1种转运方式。式(7)为各批危险货物的总运输时间和总转运时间之和不能超过其送达时间要求;式(8)为各路段负载的危险货物数量需满足其容量限制,从而将各区域的危险程度控制在一定的范围之内;式(9)和式(10)为变量的非负整数约束。
2 模型求解
分析1.4所提出的的多目标0-1线性规划模型,在该模型中,目标函数之间存在矛盾,同时,由于成本和风险这两个目标有着不同的量纲,加上难以确定它们的权重系数,将该模型转化为单目标模型求解具有一定难度。另外,问题的多批货物、送达时间要求、路段容量限制等背景使得整个求解工作更为复杂。考虑到对于多目标优化问题,特别是子目标相互矛盾的多目标优化问题,一般很难有最优解,求解这类多目标优化问题,通常是寻找其非劣解(帕累托解),本文基于系统优化的思想,结合问题和模型特点提出了基于帕累托分析的多目标优化算法,具体实施步骤如下:
步骤1:输入问题的相关参数,算法开始。
步骤2:不考虑送达时间要求和路段容量限制,按货物批次的不同将原多批危险货物的多目标路径问题分解为若干个单批危险货物的多目标路径子问题。
步骤3:在多式联运网络G中,对于每个单批危险货物的多目标路径子问题,采用全路径算法[12]求出其所有路径,同时计算每条路径所对应的成本和风险值,采用非支配排序方法[13],两两比较不同路径的成本和风险值,获得全部Pl个非劣解。注意,全路径算法可以找到所有的非劣解,但是计算量较大。
步骤3′:在多式联运网络G中,对于每个单批危险货物的多目标路径子问题,采用K短路算法[14]求出任一目标(如风险)的前若干条(如10条或50条)最短路,同时计算每条路径所对应的成本和风险值,基于非支配排序方法,两两对比不同路径的成本和风险值,获得p′l个非劣解。相比于全路径算法,K短路算法不能确保找到所有非劣解,但计算量更小。
步骤4:组合所有子问题的非劣解,构造原问题的解集合,包括个解。
步骤5:考虑送达时间要求和路段容量限制,在原问题的解集合中剔除不满足约束的解,获得原问题的可行解集。
步骤6:在原问题的可行解集中,计算每个可行解所对应的成本和风险值,基于非支配排序方法,两两比较不同可行解的成本和风险值,剔除可行解集中的劣解,从而获得原问题的非劣解集。
步骤7:输出计算结果,即各个非劣解,算法结束。
需要说明的是,上述算法为一种基于枚举原则的精确算法,在理论上,其计算复杂度随着多式联运网络的规模和待运的危险货物的数量呈指数级别增长,然而,区域间危险货物多式联运网络的规模以及每个运营商承运的危险货物的数量都是十分有限的,这一背景使得枚举算法能够在有限的时间内寻找到具有竞争性的非劣解,Das[15]已将类似基于枚举原则的算法成功用于解决危险废物的回收路径优化问题。
3 算例分析
现有一个危险货物多式联运网络,如图1所示。有两批待运的易燃液体l1和l2,起讫点分别为1→5、1→7,运输量都为30t,分别采用一个20ft的罐式集装箱装运,送达时间要求分别为12h和20h。每条弧有一个四元组权重,其中,前三个权重分别表示采用所对应的运输方式的单位成本、单位风险和总时间,单位参数以集装箱计;第四个权重表示路段容量限制,单位为t,在实际应用中,各条路段容量限制主要由政府部分设置,与路段风险承载能力和风险公平等因素相关。算例的单位转运成本、风险和总转运时间见表1,单位参数同样以集装箱计。
对于上述算例,在一台配置普通(OS为Windows系统,CPU为AMD Turion X2 RM-752.20GHz,RAM为3GB)的个人电脑上,采用MAT-LAB 8.0实施所设计的基于全路径的多目标优化算法,总共获得七个非劣解,见表2。该表显示,从成本的角度出发,应多考虑水路运输;而从风险的角度出发,应多考虑铁路运输,这较为符合各种运输方式现实的技术经济特性。另外,任一非劣解都不能同时在总成本和总风险两个目标上优于其他非劣解,运输商可根据自身对于成本和风险的偏好来选择适合的路径方案。
接下来,分析只考虑单目标对成本和风险目标的影响。利用所构建的0-1线性规划模型,采用LINGO 11.0分别求解只考虑单目标的路径问题,得出总成本最小和总风险最小目标最优解分别为表2中的非劣解7和非劣解1。从计算结果可看出,若只考虑总成本最小的目标,虽然成本较低,但相对于其它非劣解,总风险值偏高;与此类似,若目标函数只考虑总风险最小,尽管能够争取最低的总风险,然而也需以较高的总成本为代价。另外,单目标优化最多只能返回一个解,不能满足具有不同偏好的运输商的需要。
其次,讨论约束条件对于计算结果的影响。在不考虑货物送达时间要求和路段容量限制的前提下,总共获得11个非劣解,见表3。对比表2和表3可知,若不考虑特殊约束,原问题的非劣解2、3、4(表2)将被简化问题的非劣解8 (表3)所支配,从而从非劣解转变为劣解,这显示了这些约束对于原问题的作用;与此同时,忽略时间约束可获得总成本更小的非劣解2,但会违背货主的送达时间要求;忽略路段容量限制可以获得更多的非劣解,却会因路段3-4的频繁使用而造成风险不公平,基于风险公平和环境保护,运输商在路径决策中应该考虑政府部门所指定的路段容量限制。
最后,分析多式联运相比于单式运输的优势。在测试算例中,只有公路能完成运输任务,所以,只比较公路运输和多式联运。使用同样的计算平台和工具,采用多目标优化算法获得公路运输的非劣路径,结果只获得一个最优解,见表4。比较表4和表2的计算结果可得,多式联运的非劣解6、7无论在总成本和总风险上都明显地优于公路运输的最优解,尽管公路运输的最优解所需的总成本略低于多式联运的非劣解1、2、3、4、5所需的,然而这将会使全过程风险值增加。因此,总的来看,相比于单式运输,多式联运危险货物是一种更为经济有效且环境友好的运输方式。
4 结论
基于多目标优化的供应商绩效评估 篇2
基于多目标优化的供应商绩效评估
考虑到供应商绩效评估指标体系的多目标性,给出了一种基于可行域为有限集的多目标问题的优序解法和改进优序法,快速有效地对评估方案进行排序为决策提供依据.
作 者：徐国平宗蓓华 XU Guo-ping ZONG Bei-hua 作者单位：徐国平,XU Guo-ping(上海海事大学,交通运输学院,上海,35;宁波大学,海运学院,宁波,315211)宗蓓华,ZONG Bei-hua(上海海事大学,交通运输学院,上海,200135)
刊 名：系统管理学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SYSTEMS & MANAGEMENT 年，卷(期)： 17(2) 分类号：O227 关键词：绩效评估 优序法 多目标优化多目标路径优化 篇3
摘要：采用改进遗传算子操作策略的遗传算法以解决起重机三维空间多目标吊装路径的规划问题.首先建立起重机作业场景和位姿空间的数学模型，将起重机的空间多自由度路径规划问题转化成平面路径点的求解问题.然后确定以吊装路径最短、安全性最好和运动形式变化最少为优化目标，通过添加记忆算子为插入算子和变异算子选取合适的方向和步长进行多目标优化操作.实验证明该算法能综合考虑多种因素，并能同时提供不同特点的路径供决策者选择.
关键词：多目标优化；遗传算法；记忆算子；空间多自由度路径规划
中图分类号：TH 213.1 文献标识码：A
虚拟场景中起重机无碰撞吊装路径规划属于环境信息已知的全局路径规划问题.全局路径规划方法根据已获知的环境信息，对环境进行建模，为起重机规划出一条满足约束条件和目标的吊装路径.目前，国内外的研究机构、学者对吊装路径规划做出了大量的研究成果，比如Morad[1]等人基于人工智能的方法开发出一款PathFinder系统，该系统在Walkthru环境中运用主动干涉检测盒启发式搜索方法来确定真实作业空间中的最优吊装路径.Reddy[2]等人采用了C空间的原理和启发式搜索算法对起重机的无碰撞吊装路径规划过程进行研究.
起重机空间无碰撞吊装路径规划本质上是一个多性能指标的NP完全问题，这其中需要满足多个优化参数，例如最短距离、最小时间和最低耗能等，很难为其求解单一的优化解.传统路径规划方法有可视图法、栅格法和A*等启发式算法[3-5].在解决空间多自由度的路径规划问题时，上述算法的搜索速度、精度和解空间不足.近年来，遗传算法在复杂多目标优化问题中的应用已成为研究的热点，然而，多数文献仅对平面路径规划问题进行优化[6-7]，针对空间多自由度路径规划这一类多关节多约束多目标优化问题的研究较少.Kazuo Sugihara and John Smith[8]用遗传算法进行路径规划的研究具有一定的可行性和有效性，然而该文提出的路径空间栅格划分法不能解决规划速度与规划精度之间的矛盾：栅格密度小，则搜索精度差；若密度大，则数据计算量大，计算速度低.因此进化较多的搜索过程需要占据较大计算时间和存储空间.
本文将遗传算法应用于起重机多目标路径优化问题，通过分析作业场景模型和起重机位姿空间模型，将路径空间分割成多个路径平面，然后对路径平面进行栅格化处理，建立平面路径规划模型，最后应用遗传算法原理建立吊装物的路径点信息模型来确定起重机的多个吊装路径.该算法通过为场景模型添加包围盒属性来保证路径空间的搜索精度和路径的可行性，并添加新的记忆算子来提高计算效率和收敛速度，对于运用遗传算法求解空间多自由度的路径规划问题有一定的指导意义.
1路径规划模型的建立
1.1作业场景模型
全地面起重机臂架组合形式有主臂、主臂+辅助臂（副臂、塔臂或动臂）两种，吊装运动有回转、变幅和卷扬3种方式[9].根据起重机的吊装运动特点，将吊装场景划分成两个路径空间，为便于表述将其投影至XOY平面上（如图1所示）.定义r，R分别为起重机最小和最大的工作半径，吊装幅度Fd∈[r， R]，S和T分别为吊装物的起吊点和目标点，O为起重机回转中心，OS和OT分别为起始边和终止边，其中，Q1为自起始边沿逆时针（左转）方向指向终止边的扇形区域，角度范围为W1；Q2为自起始边沿顺时针方向（右转）指向终止边的扇形区域，角度范围为W2.
4结论
针对起重机空间多自由度的吊装路径规划问题，提出了一种基于多目标遗传算法的路径规划方法.该算法根据起重机吊装运动特点，设计了三维空间的路径点编码机制和适合于路径规划的具有启发作用的遗传算子，且综合考虑了起重机吊装路径的多个目标，能够同时提供不同特点的多条路径.最后通过实例验证，表明了该算法的有效性.
参考文献
[1]MORAD A A，CLEVELAND A B，BELIVEAU Y J，et al. Pathfinder： Albased path planning system[J]. Journal of Computing in Civil Engineering，1992，6（2）：114-128.
[2]REDDY H R， VARGHESE K. Automated path planning for mobile crane lifts[J]. ComputerAided Civil and Infrastructure Engineering，2002，17（6）：439-448.
[3]杨淮清，肖兴贵，姚栋. 一种基于可视图法的机器人全局路径规划算法[J]. 沈阳工业大学学报，2009，31（2）：226-229.
[4]朱磊，樊继壮，赵杰，等. 基于栅格法的矿难搜索机器人全局路径规划与局部避障[J]. 中南大学学报：自然科学版，2011，42（11）：3421-3428.
[5]贾庆轩，陈刚，孙汉旭，等. 基于A*算法的空间机械臂避障路径规划 [J]. 机械工程学报，2010，46（13）：109-115.
[6]刘旭红，张国英，刘玉树，等. 基于多目标遗传算法的路径规划[J]. 北京理工大学学报，2005，25（7）：613-616.
[7]申晓宁，郭毓，陈庆伟，等. 多目标遗传算法在机器人路径规划中的应用[J]. 南京理工大学学报，2006，30（6）：659-663.
[8]KAZUO SUGIBARA， JOHN SMITH. Genetic algorithms for adaptive motion planning of an autonomous mobile robot[C]//Computational Intelligence in Robotics and Automation：1997 IEEE International Symposium， Monterey，USA，1997.
[9]杜海岩. 工程机械概论[M]. 成都：西南交通大学出版社，2004.
[10]张玉院. 移动式起重机无碰撞路径规划的设计与实现[D]. 大连：大连理工大学，2010.
[11]关志华. 面向多目标优化问题的遗传算法的理论及应用研究[D]. 天津：天津大学，2002.
摘要：采用改进遗传算子操作策略的遗传算法以解决起重机三维空间多目标吊装路径的规划问题.首先建立起重机作业场景和位姿空间的数学模型，将起重机的空间多自由度路径规划问题转化成平面路径点的求解问题.然后确定以吊装路径最短、安全性最好和运动形式变化最少为优化目标，通过添加记忆算子为插入算子和变异算子选取合适的方向和步长进行多目标优化操作.实验证明该算法能综合考虑多种因素，并能同时提供不同特点的路径供决策者选择.
关键词：多目标优化；遗传算法；记忆算子；空间多自由度路径规划
中图分类号：TH 213.1 文献标识码：A
虚拟场景中起重机无碰撞吊装路径规划属于环境信息已知的全局路径规划问题.全局路径规划方法根据已获知的环境信息，对环境进行建模，为起重机规划出一条满足约束条件和目标的吊装路径.目前，国内外的研究机构、学者对吊装路径规划做出了大量的研究成果，比如Morad[1]等人基于人工智能的方法开发出一款PathFinder系统，该系统在Walkthru环境中运用主动干涉检测盒启发式搜索方法来确定真实作业空间中的最优吊装路径.Reddy[2]等人采用了C空间的原理和启发式搜索算法对起重机的无碰撞吊装路径规划过程进行研究.
起重机空间无碰撞吊装路径规划本质上是一个多性能指标的NP完全问题，这其中需要满足多个优化参数，例如最短距离、最小时间和最低耗能等，很难为其求解单一的优化解.传统路径规划方法有可视图法、栅格法和A*等启发式算法[3-5].在解决空间多自由度的路径规划问题时，上述算法的搜索速度、精度和解空间不足.近年来，遗传算法在复杂多目标优化问题中的应用已成为研究的热点，然而，多数文献仅对平面路径规划问题进行优化[6-7]，针对空间多自由度路径规划这一类多关节多约束多目标优化问题的研究较少.Kazuo Sugihara and John Smith[8]用遗传算法进行路径规划的研究具有一定的可行性和有效性，然而该文提出的路径空间栅格划分法不能解决规划速度与规划精度之间的矛盾：栅格密度小，则搜索精度差；若密度大，则数据计算量大，计算速度低.因此进化较多的搜索过程需要占据较大计算时间和存储空间.
本文将遗传算法应用于起重机多目标路径优化问题，通过分析作业场景模型和起重机位姿空间模型，将路径空间分割成多个路径平面，然后对路径平面进行栅格化处理，建立平面路径规划模型，最后应用遗传算法原理建立吊装物的路径点信息模型来确定起重机的多个吊装路径.该算法通过为场景模型添加包围盒属性来保证路径空间的搜索精度和路径的可行性，并添加新的记忆算子来提高计算效率和收敛速度，对于运用遗传算法求解空间多自由度的路径规划问题有一定的指导意义.
1路径规划模型的建立
1.1作业场景模型
全地面起重机臂架组合形式有主臂、主臂+辅助臂（副臂、塔臂或动臂）两种，吊装运动有回转、变幅和卷扬3种方式[9].根据起重机的吊装运动特点，将吊装场景划分成两个路径空间，为便于表述将其投影至XOY平面上（如图1所示）.定义r，R分别为起重机最小和最大的工作半径，吊装幅度Fd∈[r， R]，S和T分别为吊装物的起吊点和目标点，O为起重机回转中心，OS和OT分别为起始边和终止边，其中，Q1为自起始边沿逆时针（左转）方向指向终止边的扇形区域，角度范围为W1；Q2为自起始边沿顺时针方向（右转）指向终止边的扇形区域，角度范围为W2.
4结论
针对起重机空间多自由度的吊装路径规划问题，提出了一种基于多目标遗传算法的路径规划方法.该算法根据起重机吊装运动特点，设计了三维空间的路径点编码机制和适合于路径规划的具有启发作用的遗传算子，且综合考虑了起重机吊装路径的多个目标，能够同时提供不同特点的多条路径.最后通过实例验证，表明了该算法的有效性.
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[4]朱磊，樊继壮，赵杰，等. 基于栅格法的矿难搜索机器人全局路径规划与局部避障[J]. 中南大学学报：自然科学版，2011，42（11）：3421-3428.
[5]贾庆轩，陈刚，孙汉旭，等. 基于A*算法的空间机械臂避障路径规划 [J]. 机械工程学报，2010，46（13）：109-115.
[6]刘旭红，张国英，刘玉树，等. 基于多目标遗传算法的路径规划[J]. 北京理工大学学报，2005，25（7）：613-616.
[7]申晓宁，郭毓，陈庆伟，等. 多目标遗传算法在机器人路径规划中的应用[J]. 南京理工大学学报，2006，30（6）：659-663.
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[10]张玉院. 移动式起重机无碰撞路径规划的设计与实现[D]. 大连：大连理工大学，2010.
[11]关志华. 面向多目标优化问题的遗传算法的理论及应用研究[D]. 天津：天津大学，2002.
摘要：采用改进遗传算子操作策略的遗传算法以解决起重机三维空间多目标吊装路径的规划问题.首先建立起重机作业场景和位姿空间的数学模型，将起重机的空间多自由度路径规划问题转化成平面路径点的求解问题.然后确定以吊装路径最短、安全性最好和运动形式变化最少为优化目标，通过添加记忆算子为插入算子和变异算子选取合适的方向和步长进行多目标优化操作.实验证明该算法能综合考虑多种因素，并能同时提供不同特点的路径供决策者选择.
关键词：多目标优化；遗传算法；记忆算子；空间多自由度路径规划
中图分类号：TH 213.1 文献标识码：A
虚拟场景中起重机无碰撞吊装路径规划属于环境信息已知的全局路径规划问题.全局路径规划方法根据已获知的环境信息，对环境进行建模，为起重机规划出一条满足约束条件和目标的吊装路径.目前，国内外的研究机构、学者对吊装路径规划做出了大量的研究成果，比如Morad[1]等人基于人工智能的方法开发出一款PathFinder系统，该系统在Walkthru环境中运用主动干涉检测盒启发式搜索方法来确定真实作业空间中的最优吊装路径.Reddy[2]等人采用了C空间的原理和启发式搜索算法对起重机的无碰撞吊装路径规划过程进行研究.
起重机空间无碰撞吊装路径规划本质上是一个多性能指标的NP完全问题，这其中需要满足多个优化参数，例如最短距离、最小时间和最低耗能等，很难为其求解单一的优化解.传统路径规划方法有可视图法、栅格法和A*等启发式算法[3-5].在解决空间多自由度的路径规划问题时，上述算法的搜索速度、精度和解空间不足.近年来，遗传算法在复杂多目标优化问题中的应用已成为研究的热点，然而，多数文献仅对平面路径规划问题进行优化[6-7]，针对空间多自由度路径规划这一类多关节多约束多目标优化问题的研究较少.Kazuo Sugihara and John Smith[8]用遗传算法进行路径规划的研究具有一定的可行性和有效性，然而该文提出的路径空间栅格划分法不能解决规划速度与规划精度之间的矛盾：栅格密度小，则搜索精度差；若密度大，则数据计算量大，计算速度低.因此进化较多的搜索过程需要占据较大计算时间和存储空间.
本文将遗传算法应用于起重机多目标路径优化问题，通过分析作业场景模型和起重机位姿空间模型，将路径空间分割成多个路径平面，然后对路径平面进行栅格化处理，建立平面路径规划模型，最后应用遗传算法原理建立吊装物的路径点信息模型来确定起重机的多个吊装路径.该算法通过为场景模型添加包围盒属性来保证路径空间的搜索精度和路径的可行性，并添加新的记忆算子来提高计算效率和收敛速度，对于运用遗传算法求解空间多自由度的路径规划问题有一定的指导意义.
1路径规划模型的建立
1.1作业场景模型
全地面起重机臂架组合形式有主臂、主臂+辅助臂（副臂、塔臂或动臂）两种，吊装运动有回转、变幅和卷扬3种方式[9].根据起重机的吊装运动特点，将吊装场景划分成两个路径空间，为便于表述将其投影至XOY平面上（如图1所示）.定义r，R分别为起重机最小和最大的工作半径，吊装幅度Fd∈[r， R]，S和T分别为吊装物的起吊点和目标点，O为起重机回转中心，OS和OT分别为起始边和终止边，其中，Q1为自起始边沿逆时针（左转）方向指向终止边的扇形区域，角度范围为W1；Q2为自起始边沿顺时针方向（右转）指向终止边的扇形区域，角度范围为W2.
4结论
针对起重机空间多自由度的吊装路径规划问题，提出了一种基于多目标遗传算法的路径规划方法.该算法根据起重机吊装运动特点，设计了三维空间的路径点编码机制和适合于路径规划的具有启发作用的遗传算子，且综合考虑了起重机吊装路径的多个目标，能够同时提供不同特点的多条路径.最后通过实例验证，表明了该算法的有效性.
参考文献
[1]MORAD A A，CLEVELAND A B，BELIVEAU Y J，et al. Pathfinder： Albased path planning system[J]. Journal of Computing in Civil Engineering，1992，6（2）：114-128.
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多目标路径优化 篇4
随着市场经济的发展和物流技术专业化水平的提高,物流业得到了迅猛的发展。物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。物流配送是指在经济合理区域范围内,根据客户要求,对物品进行拣选、加工、包装、分割、组配等作业,并按时送达指定地点的物流活动。配送路径的选择是否合理,对于提高物流服务质量、减少配送时间、降低配送成本以及提高经济效益都有很大的影响。
研究表明,物流配送路径选择问题是一个NP难问题。人们常用启发式算法来求解该问题,例如,节约法和扫描法,虽然这些算法为求解物流配送路径选择问题提供了有效的方法,但它们也存在一定的问题,例如,节约法虽然运算速度快,但是它存在组合点零乱、边缘点难以组合的问题[1]。遗传算法为求解物流配送路径选择问题提供了新的工具。它运算简单、收敛速度快,尤其适用于复杂和非线性问题,但是它的编程实现比较复杂,并行机制的潜在能力也没有得到充分的利用[2]。
本文研究多目标物流配送路径选择问题,建立了两个目标函数,即配送成本和配送时间,并提出了相应的字典序方法,即首先求解配送成本,在配送成本最低的基础上求解配送时间,从而在配送成本不增加的基础上选择配送时间最少的路线[3]。通过实例计算证实了该方法的有效性,可为求解物流配送路径选择问题提供新的思路。
1物流配送路径选择问题的多目标优化模型
物流配送路径选择问题是指配送中心用多台车辆向多个客户送货,每个客户的位置和需求量一定,要求合理安排车辆路线,使配送成本最低、配送时间最短,并满足以下条件:
1车辆从配送中心出发,最终返回配送中心。
2每条配送路径的长度不超过配送车辆一次配送的最大行驶距离。
3每个客户的需求量必须满足,可由一台或多台车辆进行配送。
4在载重量、行驶距离范围之内,一台车辆可配送多个客户。
根据上述约束条件和优化目标,建立了物流配送路径选择的多目标优化模型。
假设: 配送中心有K台车,其载重量为Qk,最大行驶距离为Dk,行车平均固定成本为C。配送中心向N个客户送货,每个客户的需求量为qi( i = 1,2,…N) ,Q ik表示第k台车配送给第i个客户的货物量,客户i到的j距离为Dij,客户i到j的平均单位运输成本为Cij。Nk( Nk= 0表示未使用第k台车) 为第k辆车配送的客户数。Rk表示第k条路径,rki表示客户在路径k中的顺序,令rk0= 0表示配送中心。配送车辆从客户i到j时的行驶速度为Vij、行驶时间为tij。Ti表示配送到客户i时的延迟时间,Ct表示未按客户要求延期将货物送达的平均单位时间惩罚成本[4]。
物流企业的目的是为了追求利益最大化,即成本最低,所以在成本、时间这两个目标中,成本最低居于首要位置,其次是时间最短。
配送成本:
上述模型中,式( 1) 表示第k辆车配送的客户数大于等于1时,该车辆参与了配送服务,则s ( Nk) = 1,当客户数小于1时,则s( Nk) = 0; 式( 2) 表示使用第k辆车进行配送时Vk= 1, 否则Vk= 0; 式( 3) 表示每条配送路径的长度不超过配送车辆一次配送的最大行驶距离; 式( 4) 表示当车辆k从客户i行驶到客户j时,则Xijk= 1,否则Xijk= 0; 式( 5) 表示车辆从配送中心出发,最终回到配送中心; 式( 6) 表示每个客户都得到配送服务; 式( 7) 表示每个客户可由一台或多台车辆配送、一台车辆可以配送多个客户; 式( 8) 、( 9) 表示各路段车辆的行驶时间等于各路段距离与车辆行驶速度之比; 式( 10) 表示在配送成本最低的基础上求配送时间最短[6]。
2实例分析
某配送中心有3台配送车辆,其载重量为8t,车辆一次配送的最大行驶距离为180km,车辆行车固定成本为100元辆, 延期将货物送达的平均单位时间惩罚成本为200元 小时。配送中心( 其编号为0) 与8个客户之间以及8个客户之间的距离Dij( km) 、平均单位运输成本Cij( 元/km) 、8个客户的需求量qi( t) 、车辆在8个客户间的行驶时间tij( h) 、行驶速度Vij ( km/h) 如下图所示,要求合理安排配送路线,使配送成本最低、时间最少。
利用扫描法得到三条路径,分别为R1: 1→2→3→4,5→6→7→8,车辆到达客户8时会迟到0. 56个小时; R2: 2→3→4→5,6→7→8→1,车辆均可准时到达; R3: 3→4→5→6,7→8→1→2,车辆均可准时到达。依据本文提出的模型,首先求解三条路径的配送成本。经计算得,Z1( 1) = 3188( 元) ,Z1( 2) = 3240( 元) ,Z1( 3) = 3188( 元) 。根据字典序方法,首先最小化配送成本,所以应选择路径R1和路径R3。由于路径R1、R3的配送成本相同,所以要进一步最小化时间。经计算得Z2( 1) = 7. 42( h) ,Z2( 3) = 7. 14( h) 。综上所述,配送中心应选择第三条路径R3。
3结论
物流配送路径选择问题是一个NP难问题。综合考虑实际情况、合理选择物流配送路线能够有效地降低配送成本、缩短配送时间和提高企业的经济效益。本文利用字典序方法建立的模型在成本最优的基础上最小化时间,符合企业追求利益最大化的目标。本文通过实例计算选择出了合理的配送路线,从而证明该方法对于物流配送路径选择的有效性,该方法为物流配送路径的选择提供了新的思路。
多目标路径优化 篇5
基于多目标模糊优化方法的无人机航迹规划
针对以雷达威胁和燃油消耗为多目标的无人机航迹规划问题,采用多目标模糊优化方法建立航迹性能指标,并利用启发式A*搜索算法,提出基于动态权值的启发函数方法.最后结合实际算例,在基于Voronoi图的.状态空间内搜索航迹,验证了采用多目标模糊优化和启发式搜索方法进行航迹规划具有合理性和有效性.
作 者：冯慧 屈香菊 FENG Hui QU Xiang-ju 作者单位：北京航空航天大学,航空科学与工程学院,北京,100083刊 名：飞行力学 ISTIC PKU英文刊名：FLIGHT DYNAMICS年，卷(期)：25(2)分类号：V249.1关键词：无人机 航迹规划 多目标模糊优化 A*搜索算法 Voronoi图
交通堵塞扰动下多车场车辆路径优化 篇6
关键词：交通堵塞；干扰管理；粒子群算法
一、引言
物流配送过程中，车辆经常会受到随机事件的干扰，如车辆故障、交通堵塞、顾客需求变化等。因此，如何有效处理此类干扰事件，是物流配送管理的难点。根据美国学者Yu Gang（2004）对干扰管理的定义可知，干扰管理正是处理这类问题的方法论。
P.B.Mirchandani（2007）针对交通事故提出了干扰恢复备用车辆选择。Lorin（2011）针对客户需求和服务时间的变化构建模型求解，验证了模型可行性。王旭坪等（2013）针对客户需求变化干扰，提出了带回程取货车辆调度扰动恢复模型。胡祥培等（2011）提出了多阶段划分方法，形成了处理时间延迟干扰问题的序贯决策方法。
虽然上述文献对干扰事件已经有了一定的研究，但对多车场车辆路径干扰问题研究较少。本文研究交通堵塞多车场带模糊时间窗的车辆路径干扰管理模型及其算法，针对该类事件为物流企业提供决策支持。
二、交通堵塞多车场带时间窗VRP干扰管理模型
三、求解算法
本文基于标准粒子群算法，提出离散粒子群优化算法进行求解。粒子群算法（PSO）是通过模拟鸟群觅食过程中迁徙和群聚行为而提出的基于群体智能的随机搜索算法。PSO是将群中的个体看做在D维搜索空间中的微粒，每个粒子都有自己的适应度值，以一定的速度v在解空间中运动，通过不断的迭代寻找最优解。
（一）编码方案
标准的粒子群算法具有连续本质，不太适宜求解离散问题。因此，本文在属于连续空间的粒子与属于离散空间的行驶方案之间建立一种联系，即设计粒子群编码来映射行驶方案的解。将车场和需求点统一编码，并以车场编号进行划分各个车场要服务的需求点的子窜，得到了每个车场服务的需求点之后，再根据每个需求点的需求量和每个车场的车辆的载重进行指派车辆服务，进而完成整个解码过程。
（二）堵塞问题处理
加入路径干扰或者堵塞的原理：对受到影响的客户点i到客户点j的路径i→j，将其距离乘以一个系数，如此一来使得i到j之间的虚拟距离边长了，也即产生了延迟，如果虚拟距离设置为无限大，那么这段路就是堵塞了。因此，对距离矩阵进行延迟处理，也即改变其距离，然后在进行用算法优化得到相应的结果。公式为Di，j=Di，j*γ，其中Di，j为节点i到节点j的距离，γ>1为延迟系数，γ=inf时发生堵塞。
四、实验结果分析
本文的算法以matlab语言实现，运行程序在Inter Core 2.2GHz的处理器、内存为2G的计算机上。本文数据从算例RC101取部分节点产生，最后计算结果不仅给出调整的路径结果，同时在客户容忍的时间窗内计算客户满意度。在多车场车辆路径的情形里，发生干扰事件后，从成本和客户满意度方面进行量化并建立模型，快速生成新方案，兼顾各方利益，同时，车辆在多个车场之间得到良好协调。
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负荷建模的多目标优化 篇7
负荷建模是电力系统中公认的一个难题[1,2,3]。当模型结构确定以后,参数辨识就成为负荷建模的核心,其实质是个数值优化的过程。传统的优化方法很多,但都存在一些缺点:需要给定搜索的初始值,并且对目标函数要求苛刻,不仅有单峰要求,有的还要求存在一阶导数甚至二阶导数。而高阶非线性电力系统负荷模型的目标函数往往很难写出其解析关系,解空间也相当复杂,不仅有多个极值点,且极值点之间差异细微。所以使用传统优化方法对负荷模型进行参数辨识时,辨识结果常呈现出很大的分散性,这在很大程度上降低了辨识结果的可靠性,严重阻碍了其在工程实践中的应用。
近年来,随着优化理论和智能控制理论的进展,许多新算法在负荷参数辨识领域获得广泛应用,例如遗传算法(GA)、粒子群(PSO)算法等[4,5]。但现有用于负荷参数辨识的算法都存在一个共同缺陷,即只能辨识出一组参数,而负荷模型参数是不唯一的,这样辨识出的参数可能与实际情况不相符。
本文对传统负荷参数辨识的目标函数进行改进,将现有负荷模型参数辨识的单目标优化问题转化成多目标优化问题,并应用伪并行改进强度Pareto进化算法(SPEA2)的多目标优化算法实现负荷模型参数辨识,可以同时辨识出负荷模型的多组参数,解决了以前算法只能辨识出一组参数的问题,决策者可根据实际侧重目标的不同在Pareto最优解集中进行选择,力求克服目前困扰负荷建模及其参数辨识中收敛速度慢、易发散等问题。最后,利用本文提出的负荷建模理论和方法对上海地区的负荷进行实测建模,结果表明了本文建模策略的可行性。
1 负荷模型结构和参数辨识
1.1 模型结构分析
考虑配电网和无功补偿的负荷模型结构如图1所示[6],模型中设置了一个虚拟母线,虚拟母线(电压为
1.2 辨识策略和参数初始范围的选取
参数辨识可采取辨识全部参数和辨识部分参数2种策略。研究表明,对电动机特性影响较大的参数主要有电动机定子电抗、电动机比例、电动机负载率和惯性时间常数[7]。由此,确定需重点辨识的参数为Xs,Kf,Kp,H,而其他参数则可以取典型值。
参数搜索范围的选取对辨识结果具有较大影响。本文在参数的初始空间选取上,当事先知道参数典型值时,将参数典型值放大和缩小相同比例得到参数的搜索范围,此范围必须尽量把参数实际可能取得的最大值和最小值包括在内,而对于参数无典型值时,比如感应电动机比例Kp,则可以结合参数的历史数据,按照参数可能出现的实际最大值和最小值作为参数的上下限。
1.3 目标函数的选取
参数辨识过程实质上是个数值优化的过程,进行参数优化需要选取一定的目标函数。目前,负荷建模参数辨识的目标函数主要有以下3种。
1)以有功和无功的绝对偏差平方和的均方根作为优化目标:
式中:n为数据长度;P(k),Q(k)为模型响应;PM(k),QM(k)为实测响应。
对于该目标函数,当有功和无功在数值上相差较大时,该目标会导致参数辨识的不合理。如果有功在数值上远大于无功,那么目标函数J的最小化主要取决于有功的拟合程度,此时可能出现目标函数J达到最小值、但无功拟合的效果较差;反之,如果无功在数值上远大于有功,则可能出现目标函数J达到最小值,但有功拟合的效果较差。
2)以有功和无功的相对偏差平方和的均方根作为优化目标:
该目标函数克服了目标函数1存在的缺陷,但如果以此作为目标函数,应用现有的算法进行参数优化时只能得到一组最优解,无法解决辨识参数不唯一性的问题。
3)以有功和无功绝对偏差平方和的加权均方根作为优化目标:
该目标函数中ω(k)的选择比较困难且较盲目,应用现有算法对该目标函数进行参数优化时只能得到一组最优解,也无法解决辨识参数不唯一性的问题。
为克服以上3个目标函数存在的缺陷,本文提出一种多目标优化的模型,同时最小化有功和无功的相对偏差,模型如下:
该模型既可以避免目标函数3中ω(k)选择的困难和盲目性,又可解决参数不唯一的问题,通过后面的算法可以辨识出负荷模型的多组参数,解决了以前算法只能辨识出一组参数的问题。该模型是一个多目标优化问题,现有单目标优化算法不再适用,因此,针对该多目标优化问题需要采用一种多目标优化算法。
2 参数辨识算法
当前电力系统研究中所要考虑的因素越来越多,多目标优化算法越来越受到重视。文献[5]将多目标算法应用于无功补偿的最优配置问题。文献[8]将多目标优化算法应用于配电系统的多目标设计,取得了很好的效果。多目标GA是用来解决多目标优化问题的一种进化算法,其核心就是协调各目标函数之间的关系,找出使各目标函数能尽量达到比较大(或比较小)的最优解集。
2.1 Pareto最优解
多目标优化问题可以用函数f来定义,该函数把决策向量X映射到目标向量Y,其数学描述为:
式中:X=,由m个决策变量xi构成;Y由n个需同时优化的目标fi(X)构成;约束g(X)由n个等式、不等式gi(X)≤0构成。
上述多目标优化问题的各目标往往处于冲突状态,因而不存在使所有目标同时达到最优的绝对最优解,只能获得满意解即Pareto解。Pareto前沿是指多目标优化问题中一组Pareto最优解的集合分布情况,其构成完全依赖于解与解之间存在的Pareto支配关系。对于上述最小化问题,如果决策向量空间X中的任意2个解Xi和Xj满足下式:
则称Xi支配Xj,记为Xi>Xj。对解Xi∈X而言,若不存在解Xj∈X-{Xi},使得Xj支配Xi,则称Xi为一个非支配解或Pareto最优解,所有Pareto最优解构成Pareto前沿或Pareto最优解集合。
2.2SPEA2
强度Pareto进化算法(SPEA)[9]是一种相对较新的技术,采用协同进化规则的适应度分配策略和基于Pareto支配关系的小生境机制,与其他多目标进化算法相比有更强的优化能力,而且需要设置的参数较少,是目前公认比较好的多目标问题优化方法,但存在适应度分配不精确以及多样性差等缺点。针对上述缺点,SPEA2[10]对SPEA进行了改进,成功地把精确的适应度分配策略、密度估计技术、增强截断方法结合在一起,收敛速度加快,Pareto最优解分布均匀,在性能上比SPEA有较大程度提高,因而已成为一种较有代表性的多目标进化算法[10]。
2.3 并行GA
并行GA[11]与常规GA的主要差别在于:它存在同时进化的多个种群,对多个种群轮流进行遗传操作,这样能够提高算法的性能和效率,有效克服单种群算法的早熟现象。迁移策略是并行GA引入了一个新算子,它可加快较好个体在群体中的传播,提高收敛速度和解的精度,与单种群相比可用较小的计算量达到同等性能。
本文将SPEA2与并行GA结合,在单一处理器上以串行(伪并行)的方式进行并行计算。该算法可以在多台计算机上并行计算,为网格平台下的负荷建模做了前期准备。
2.4基于伪并行SPEA2的参数辨识
负荷的模型结构有多种,具体采用哪种结构可以根据实际情况选择,模型选定之后,采用前面介绍的算法进行参数辨识。基于伪并行SPEA2算法的动态负荷模型结构选择与参数估计步骤如下:
1)编码。视具体工程应用背景确定,对于负荷建模中的参数辨识应采用实数编码的方式。
2)初始种群的产生。取5个子种群,子种群的规模依次为50,40,30,50,30,随机产生各子种群的个体。
3)遗传操作。每个子种群采用SPEA2进行遗传操作,SPEA2的参数设置为:①选择:联赛选择,选择规模为2;②重组:实值重组,重组率为0.9,为了提高算法的搜索能力,5个子种群采用不同的方式,依次为离散重组、中间重组、线性重组、离散重组、中间重组;③变异:均匀变异,变异率为0.1。各子种群的变异步长依次为:0.100,0.030,0.010,0.003,0.001。
4)迁移策略。子群体间采用网络拓扑,按照排列比例来选择迁移个体,每运行8代迁移1次,迁移率为0.1。
5)迭代次数加1,返回步骤3,直至达到最大迭代次数为止,大种群中的所有非支配解即构成Pareto最优解集。
3 算例分析
上海地区4个典型站点的电压扰动试验在低压侧进行,负荷模型的参数是根据低压侧量测结果辨识出来的,因此在仿真分析中需考虑配电网阻抗的影响,配电网的阻抗RD+jXD取中国电力科学研究院推荐的参数0.026 5+j0.175 1。下面以西郊站为例分别介绍2种参数辨识策略下负荷模型的参数辨识结果。
3.1 辨识部分参数时的结果分析
根据上面的分析,辨识的部分参数为Xs,Kp,Kf,H。待辨识参数的搜索范围为:Xs为0.072～0.200;Kp为0.1～0.8;Kf为0.25～0.80;H为0.05～3.00;Zp为0～1.0;Ip为-5.0～5.0;Zq为-5.0～5.0;Iq为0～1.0。其他参数采用BPA中的典型值。静态负荷采用40%恒阻抗+60%恒功率的多项式模型。利用上海地区西郊站的电压扰动数据进行负荷参数辨识,运行得到的Pareto前沿如图2所示。
从图2可以看出,伪并行SPEA2求得的Pareto最优解集具有良好的多样性,并且分布均匀。由多目标问题的定义可知,一个非支配解至少存在一个目标函数值优于所有其他解的该目标函数值。因此,在2个目标的多目标优化问题中,可行解框图中所有非支配解形成一条凸向原点的曲线,即所有非支配解的有功相对偏差与无功相对偏差成反比。伪并行SPEA2一次运行可以得到多个Pareto最优解,解决了参数不唯一的问题,便于决策者根据实际情况进行选择。表1列出了图2中部分具有代表性的Pareto最优解。
实际负荷模型参数只有一个,工程中也只需要一个,所以如何从多目标优化获得的多个负荷模型参数中选取应用参数是一个重要问题。实际决策中,当侧重于拟合有功时,决策者可以在有功偏差较小的Pareto解集中进行选择;当侧重于拟合无功时,可以在无功偏差较小的Pareto解集中进行选择;若没有特别的侧重目标时,图2所示的无偏最优解(对应表1中解2)很好地协调了有功偏差与无功偏差的关系,2种偏差都比较小,可以选为最优解。
解2对应的拟合曲线与传统单目标算法(采用有功、无功相对偏差平方和的均方根作为优化目标)所得拟合曲线的对比如图3所示。可以看出,本文算法所得的结果更优,辨识效果更好。
此外,从表1可以看出:
1)各解对应感应电动机的定子电抗比中国电力科学研究院新推荐的典型值0.18稍小,比以前使用的0.295更是小得多。等效定子电抗下降的可能原因是目前各电网不断采用定子电抗较小的新型电动机。
2)各解对应的初始负载率辨识结果比典型值0.468大,但都在正常范围之内。国内大型感应电动机初始负载率的典型值为0.55,但随着感应电动机制造工艺以及效率的提高,初始负载率也有增大的趋势,逐渐向国外靠拢,如IEEE负荷建模工作组推荐的参数一般为0.6～0.8,所以辨识出的感应电动机的初始负载率是合理的。
3.2 辨识全部参数时的结果分析
仍然用西郊站的电压扰动数据,进行全部负荷参数辨识,表2列出了几组典型的Pareto最优解。对比表1与表2可知,辨识全部参数时,有功与无功的偏差会有所减小,但所需时间会大大增加,因此,如果在单机上以伪并行的方式运行本文算法,建议采用辨识部分参数的策略,这样可降低程序运行时间,精度也可满足要求,如果在网格平台上运行本文算法,建议采用辨识全部参数的策略,这样可提高辨识的准确度。观察表2可知,虽然各解对J1和J2的偏好不同,但总体而言,各解有功和无功偏差均较小,说明了本文建模方法的准确性和可行性。
4 结语
本文提出了多目标的负荷建模目标函数,将现有负荷模型参数辨识的单目标优化问题转化成多目标优化问题,并应用伪并行SPEA2进行多目标参数辨识,提出负荷模型参数Pareto最优解的概念,一次运行可以得到多个Pareto最优解,便于决策者根据不同的侧重目标选择最终的最优解,为负荷建模及其参数辨识提供了一条新思路。
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高维多目标优化算法研究综述 篇8
近年来, 多目标优化问题的研究成果已广泛应用于自动控制、生产调度、网络交通、集成电路设计、化学工程和环境工程、数据库和芯片设计、核能和机械设计等众多领域。随着研究问题的复杂度越来越高, 优化目标的个数也不仅仅局限于2到3个, 有时往往会达到4个或者甚至更多[1]。一般意义上, 当多目标优化问题的优化目标个数达到3个以上时 , 我们将此类多目标优化问题称为高维多目标优化问题[2] (Many-Objective Optimization, 简称MAP) 。
进化算法作为一种基于种群的智能搜索方法, 目前已经能够成功地求解具有2、3个目标的多目标优化问题。然而, 当遇到目标数目增至4个或4个以上的高维多目标优化问题时, 基于Pareto支配排序的多目标进化算法在搜索能力、计算成本和可视化方面都遇到了很大的挑战。因此, 高维多目标优化问题的进化算法研究成为进化算法领域的一个难点和热点问题。
由于高维多目标优化问题的复杂性, 目前对于此类问题的算法研究尚处于起步阶段, 首先分析高维多目标优化问题研究存在的困难, 然后对当前所提出的高维多目标进化算法进行分类概述, 接下来重点总结了可降维的高维多目标优化问题的几类目标缩减进化算法, 最后给出了未来研究的方向。
1 高维多目标优化问题的基本概念
定义1 (多目标优化问题和高维多目标优化问题)
高维多目标优化问题是建立在多目标优化问题的基础上的。不失一般性, 多目标优化问题 (Multi-Objective Optimization, 简称MOP) 可表述[3]为:
其x= (x1, x2, …xn) T∈X⊆Rn中是n维决策空间的决策向量 , y= (y1, y2, …ym) T∈Y⊆Rm是m维目标空间的目标向量 , 目标函数F (x) 定义了m个由决策空间到目标空间的映射函数 , gi (x) ≤0 (i=1, 2, … , k) 是k个约束条件。若k=0, 则该多目标优化问题是一个无约束的多目标优化问题。当式 (1) 优化的目标数目高维过3个时, 该多目标优化问题被称为高维多目标优化问题。
通常, 对于单目标优化问题, 其全局最优解就是目标函数达到最优值的解, 但是对于多目标优化问题来说, 往往这些目标f1 (x) , …fm (x) 的最优函数值之间会相互冲突, 不能同时达到最优值。这里, 为了平衡多个相互冲突的目标, 采用Pareto最优解来定义多目标优化问题的最优解。
定义2 (可行解与可行域)
对于一个x= (x1, x2, …xn) T∈X⊆Rn, 如果x满足式 (1) 中所有的约束条件gi (x) ≤0 (i=1, 2, … , k) , 则x为一个可行解。由决策空间X中所有可行解构成的集合称为可行域, 记为Ω={x|x∈X∧gi (x) ≤0 (i=1, 2, …, k) }。
定义3 (Pareto支配)
对于可行域Ω中的两个向量xA, xB, xA支配xB当且仅当满足
定义4 (Pareto最优解或非支配解)
一个解x*∈Ω被称为Pareto最优解当且仅当在可行域Ω中x*不会被其他解x所Pareto支配, 其中, 表示解之间的支配关系。即
定义5 (Pareto最优解集)
Pareto最优解集 (Pareto Set, 简称PS) 是决策空间中所有Pareto最优解集合。即
定义6 (Pareto最优前沿)
Pareto最优解集中所有Pareto最优解在目标空间中的像构成了Pareto最优前沿 (Pareto Front, 简称PF) 。
多目标优化问题通常有非常多或者无穷多个Pareto最优解, 但是要找到所有的Pareto最优解往往是不太可能的, 因此, 希望找到尽可能多的Pareto最优解以便为决策者提供更多的选择。在利用进化算法求解多目标优化问题的过程中, 进化算法使用适应度函数引导群体向Pareto最优前沿收敛 , 在设计算法时需要考虑下面两个方面 : 一是算法的收敛性, 即希望算法的求解过程是一个不断逼近Pareto最优解集的过程;二是算法的分布性, 即要求所求出的Pareto最优解集中的非支配解尽可能均匀且宽广的分布在目标函数空间中。
2 高维多目标优化问题研究难点
Hughes通过实验 表明基于Pareto排序多目 标进化算 法 ( 如NSGAII, SPEA2等) 在具有较少目标 (2个或3个) 时非常有效 , 但是 , 随着多目标优化问题目标数目的不断增多, 目前经典的求解一般多目标优化问题的多目标进化算法的搜索性能将大大下降, 从而导致求出的近似Pareto最优解集的收敛性能急剧下降。对于此类问题的研究难点在于:
1) 经典的多目标进化算法通常利用传统的Pareto支配关系对个体进行适应度赋值, 但是随着目标个数的不断增多, 非支配个体在种群中所占比例将迅速上升, 甚至种群中大部分个体都变为非支配解, 因此, 基于Pareto支配的个体排序策略会使种群中的大部分个体具有相同的排序值而导致选择操作无法挑选出优良个体, 从而使得进化算法搜索能力下降。
2) 随着目标数目的不断增多 , 覆盖Pareto Front最优解的数量随着目标个数呈指数级增长, 这将导致无法求出完整的PF前沿[4,5]。
3) 对于高维多目标优化问题来说 , 当Pareto前沿面的维数多于3个时, 我们就无法在空间中将其表示出来, 这给决策者带来了诸多不便, 因此, 可视化也是高维多目标优化的一个难点问题。目前, 研究者们相继提出了用决策图、测地线图、并行坐标图等方法来可视化问题的Pareto前沿面。
3 高维多目标进化算法分类
目前的高维多目标优化问题按照Pareto前沿的实际维数可以分为以下两类。一类问题是高维多目标优化问题真正的Pareto前沿所含的目标个数要小于目标空间的个数, 也就是说, 存在着原始目标集合的一个子集能生成与原始目标集合相同的Pareto前沿, 具有该性质的原始目标集合的最小元素子集称为非冗余目标集, 而原始目标集合中去掉非冗余目标集的剩余目标称为冗余目标, 此类问题称为含有冗余的高维多目标优化问题, 求解此类问题的方法就是利用目标缩减技术删除这些冗余目标, 从而确定构造Pareto最优前沿所需的最少目标数目, 以此来达到使问题得到简化的目标。与此类问题相对的是一类不含冗余目标的高维多目标优化问题, 其分类结构图如1所示。
对于不含冗余目标的高维多目标优化问题来说, 非支配个体在种群中所占比例随着目标个数的增加迅速上升, 利用传统的Pareto支配关系大大削弱了算法进行排序与选择的效果, 导致进化算法搜索能力下降。所以, 处理此类问题的方法大致分为三种: 一是采用松驰的Pareto排序方式对传统的Pareto排序方式进行修改 , 从而增强算法对非支配个体的排序和选择能力, 进一步改善算法的收敛性能;二是采用聚合或分解的方法将多目标优化问题整合成单目标优化问题求解。三是基于评价指标的方法 : 基于评价指标的高维多目标进化算法 (Indicator-based Evolutionary Algorithm简称IBEA) 的基本思想是利用评价非支配解集优劣的某些指标作为评价个体优劣的度量方式并进行适应度赋值, 从而将原始的高维多目标问题转化为以优化该指标为目标的单目标优化问题。直接应用一些评价指标代替Pareto支配关系以指导进化算法的搜索过程。
4 含有冗余目标的高维多目标优化问题的目标缩减算法
求解含有冗余目标的高维多目标优化问题的方法就是利用目标缩减技术寻找并删除冗余目标, 从而确定构造Pareto最优前沿所需的最少目标数目。处理含有冗余目标的高维多目标优化问题的方法大致分为两种:一种是基于目标之间相互关系的目标缩减方法, 另一种是基于保持个体间Pareto支配关系的目标缩减方法。下面介绍两类算法的基本思想。
(1) 基于目标之间相互关系的目标缩减方法
此方法首先利用多目标进化算法获得的非支配解集合作为样本数据来分析目标之间的相互关系, 然后通过分析目标间相关性的强弱来寻找冗余目标。2005年, Deb等提出了基于主成分分析法的高维多目标问题的目标缩减方法 (PCA-NSGAII) 。该算法将进化算法NSGAII和删除冗余目标的过程相结合, 目标间的相关性是通过分析非支配集的相关系数来得到的, 并由此生成目标集合中两两目标间的相互关系矩阵, 然后通过分析相互关系矩阵的特征值和特征向量来提取互不相关冲突目标来表示原始目标集合, 从而达到目标缩减的目的。Jaimes等提出了基于无监督特征选择技术的目标缩减方法来求解高维多目标优化问题。在该方法中, 原始目标集按照目标间的相互关系矩阵划分成若干个均匀的分区。算法将目标间的冲突关系类比于点之间的距离, 两个目标间的冲突性越强, 则它们在目标空间中对应的两点之间的距离越远。算法要寻找的冗余目标是在联系最紧密的分区中寻找的。
(2) 基于保持个体间Pareto支配关系的目标缩减方法
Brockhoff等研究了一种基于Pareto支配关系的目标缩减方法 , 该方法认为 如果某个 目标的存 在与否对 非支配解 集中个体 之间的Pareto支配关系没有影响或影响很小 , 则可以将其视为冗余目标删除。他们在其文献中定义了目标集合间相互冲突的定义, 并提出了两种目标缩减算法δ-MOSS和k-MOSS, 使得在一定误差允许下保留非支配解集中个体间的非支配关系。
另外, HK Singh提出了一种新的基于Pareto支配关系的目标缩减方法 , (Pareto Corner Search Evolutionary Algorithm and ObjectiveReduction简称PCSEA) , 该算法将一些具有代表性的处于边界区域的非支配解作为辨识冗余目标的样本点集, 并通过逐个删除每个目标能否保持样本集中解的非支配性来辨识冗余目标。
高维多目标优化问题的求解算法是科学研究和工程实践领域的一个非常重要的研究课题, 同时亦是目前进化算法领域的一个研究热点问题之一。但是由于问题求解复杂, 当前的研究成果还较少, 还有待进一步研究和探讨。今后, 对于高维多目标优化问题的求解算法的进一步研究可以从以下几个方面展开:
1) 引入新的非支配个体的评价机制。在高维多目标优化问题中 , 基于Pareto支配关系的个体排序策略由于缺乏选择压力而无法将位于不同区域的非支配个体区分开来, 所以如何设计新的非支配个体的评价机制对这些个体进行比较和排序, 既能保证搜索能力不受目标个数增加的影响, 又能得到Pareto最优解。
2) 探索新的目标缩减算法。为了减轻高维目标所带来的高额的计算成本, 目标缩减技术仍然是当前求解高维多目标优化问题的一个重要方向。
3) 多种策略融合。在高维多目标优化问题的求解过程中, 将基于分解的技术和新的个体适应度赋值策略相结合, 既能有效的增加个体在选择操作中的选择压力, 又能在进化过程中更好地维持种群的多样性。
参考文献
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具有约束多目标优化的进化算法 篇9
二十世纪90年代以来,大量基于进化算法的多目标优化方法逐渐被重视[3,4]。但目前求解多目标优化的进化算法主要考虑相互冲突的多目标间的优化,而很少考虑约束条件[5]。而约束处理是工程优化问题中一个关键部分,因此有必要建立一个有效的方法求解一般的约束多目标优化问题。解决约束多目标优化问题关键是处理约束问题,也就是协调可行域和不可行域之间的搜索。
传统的解决约束多目标优化问题常用的方法是罚函数法,将约束多目标优化问题转化为无约束多目标优化问题。但一般罚函数方法处理约束条件的性能很大程度上依赖罚系数的设置。于是,我们提出了一种新的解决约束多目标优化的进化算法。在选择过程中,我们采用约束的Pareto支配和聚集距离[1],依据文献[2]中定义适应值的方法挑选出有代表性的个体。在变异过程中,沿着权重梯度方向搜索来寻找可行的Pareto最优解。权重选取基于下面这种思想:对目标函数的权重来说,若目标函数越不好,它对应的权重越大。对约束函数来说,若个体可行,则它对应权重为0;若个体不可行,则约束函数越偏离可行域,它对应权重越大。最后,采用两个数值算例对算法的求解性能进行测试,结果表明该算法能获得可行的Pareto最优解且具有较好的分散性。
1 约束多目标优化问题
本文主要考虑下面的约束多目标优化问题。
其中x=(x1,x2,…,xn)∈Rn是决策向量,f(x):Rn→Rm实向量函数;gi:Rn→R实函数。
定义约束违背函数如下:
其中,β通常取值为1或2,并且权重ωi>0(i=1,2,…,p)在搜索过程中可以调整。则约束条件gi(x)≤0等价于φ(g(x))=0。本文中,令:
定义1(Pareto支配″″)对于任两个决策向量a和b:
2 解决约束多目标优化的进化算法
2.1 初始种群
初始种群P中,第i个个体xi=(x1i,x2i,…,xni)依下面方式随机产生:
其中aj和bj是向量a和b的第j个元素,rj是符合均匀分布的0,1之间的随机数,N表示种群数。
2.2 计算个体的适应值
(2)计算中的聚集距离I,可行个体的聚集距离依据文献[1]进行计算,不可行个体的聚集距离设为0。
(3)计算P中个体的适应值:
2.3 选择
将计算出的个体的适应值按从小到大进行排序,并且选出排在前面的M个个体。
2.4 变异
(1)定义两种权重属性
为了保证fi(x)(i=1,2,…,m)是正数,我们引进一个大的正数c,则求目标函数fi(x)的最小化问题,等价于求函数c-fi(x)的最大化问题。
首先,在表1中列出函数c-f(x)的值。
其次,将表1中的数据规范化,得到表2。
定义目标函数的梯度方向权重ωi:
umin是表2中每行的最小值,ui是其相应行的第i个值i=(1,2,…,m),e是一个足够小的正数。
定义约束函数的梯度方向权重ω′i:
其中δ是用于调整的很小的正数。
构造权重梯度方向:
xki沿权重梯度方向d(xki)经变异产生子个体xkM+i可以描述为:
βk是均值衰减的Erlang分布随机数步长。
解决式(1)的算法流程如下:
Step1依照2.1节产生初始种群P,设置最大迭代次数(即最大进化次数)NG,初始迭代次数k=1;
Step2在种群P中,对于个体xki(i=1,2,…,N)依据2.1~2.2节选择M个体,产生种群P(k);
Step3产生新的个体xkM+i,根据式(5)~式(9);
Step4将新个体xkM+i添加到种群P(k)中,令P=P(k);
Step5令k=k+1,如果k≤NG,转Step2,否则输出非支配解集。
3 数值测试例子
我们引入两个测试函数[6]来检测算法的性能,对于每个测试函数:
例1的无约束情况已由很多研究者进行了求解[4],这里增加了约束条件用以测试算法在整个解空间搜索可行区域的性能。取群体规模为M=100,最大进化次数为300,计算结果见图1。图1给出了两个目标函数的Pareto前沿。计算结果说明可行的最优目标函数值范围是0≤f1≤1和1≤f2≤4,以及2.25≤f1≤4和0≤f2≤0.25,所得到的可行Pareto最优解在Pareto前沿形成均匀分布。
测试函数2是由Tanaka[7]引进的。该测试函数的Pareto前沿共分为三段曲线,其中中间段的水平和垂直部分由于解之间的差异甚微,往往是最难搜索的部分。取群体规模为M=100,最大进化次数为300,计算结果如图2所示,从图2可以看到,我们的算法可以成功地搜索到问题的Pareto前沿。
4 结论
本文提出了解决约束多目标优化的进化算法,我们采用约束的Pareto支配和聚集距离[1]依据文献[2]中定义适应值的方法挑选出有代表性的个体。我们改进了变异算子,并且定义了两种新的权重属性,在变异过程中使用权重梯度方向搜索来寻找可行的Pareto最优解。通过两个典型的带约束多目标优化问题的成功求解,证明我们的算法能很好地求得所有可行的Pareto最优解,并使得其在可行Pareto前沿形成均匀分布。
参考文献
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[6]王跃宣,刘连臣,牟盛静,等.处理带约束的多目标优化进化算法.清华大学学报:自然科学版,2005,45(1).
基于多目标优化的柔性定额标准 篇10
1 柔性定额标准的优化模型
设分别是表征生产率、产品质量、刀具损耗、能耗等生产指标的目标函数;变量是定额标准所涉及的生产参数;是表征相关生产规律的约束性函数。则最优综合效益的求解问题即可转化为约束多目标优化问题,归纳如下
在实际生产过程中,对于不同的产品或不同的时期可能会有不同的生产要求,比如我们更看重降低能耗等,这就要求我们的定额系统必须具有较高的柔性。因此,这里提出用线性加权和法构造具有更高柔性的评价函数,即
其中
根据各目标函数的重要程度,赋予其一定的权数,以符合生产要求。
2 柔性定额标准的制定过程
下面以切削加工为例,详细阐述柔性定额标准的制定过程。
2.1 选定定额参数
首先要确定的是定额标准所涉及的主要工艺参数。对于切削加工来讲,切削速度vc(m/min)、进给量f(mm/r)、切削量ap(mm)是最主要的定额参数,将其分别指定为x1、x2、x3。在选择定额参数时,应尽量选择具有大量数据支持或通过实验易获得量化规律的工艺参数,以确保定额标准具有较高的可优化性。
2.2 建立切削加工数据函数
准备刀具及其相关的切削数据,建立刀具耐用度函数、表面特征函数等数据函数。这些函数是此优化模型中最为关键的部分,是整个优化模型的基础。我们可以根据切削数据手册中的相关数据或模型建立这些函数,也可以通过实验得到相关数据,利用数学工具拟合这些函数。这里根据参考文献中的有关数据建立了如下数据函数(见表1):
值得一提的是,在探求这些数据函数的时候,最好是打破传统经验数据的限制,在设备条件允许的情况下,扩大自变量的范围,以获得客观全面的数据规律,进一步揭示切削加工过程中所蕴含的事物的本质联系。
2.3 建立目标函数及约束条件
根据工件尺寸和切削工艺要求,建立目标函数及约束条件。定额标准的直接用途是计算工时,这里我们采用将工时Tw分为基本时间Tm(又称机动时间)和辅助时间Tot的划分方法。由于辅助时间的影响因素很多且共性较差,而机动时间是直接由本文所涉及的工艺参数所决定的且具有较高的共性,故而这里主要研究机动时间,并指定它为表征生产率的目标函数。下面详细列出了切削相关的目标函数及约束条件:
(1)单件工时(表征生产率)
(2)刀具耐用度(表征刀具损耗)
(3)表面粗糙度(表征产品质量)
(4)切削力和切削功率(表征能耗)
注:D-工件直径(mm);L-走刀长度(mm);△-加工余量(mm);R-刀具快速移动总距离(m);r-快速移动速度(m/min);Tct-更换磨钝刀具的时间(min);Tkmin、Tkmax刀具最小、最大切削寿命(min);S▽min、S▽min工艺允许最低、最高表面质量;Fc-切削力(N);Pc-切削功率(k W);η-主轴传动效率(一般为0.75~0.85);P0-电机额定功率(k W);CFc-在一定切削条件下与工件材料有关的系数;XFc-切削量ap对切削力Fc的影响指数;YFc-进给量f对切削力Fc的影响指数;XFc-切削速度vc对切削力Fc的影响指数;KFc-总修正系数;Fmax-最大允许切削力。
2.4 优化模型的建立与求解
根据模型原理,将上述目标函数及约束条件引入模型,建立切削加工的柔性定额模型。
然后根据生产要求,确定各目标函数的权数Wi。假如我们生产的是一批新产品,我们非常看重该批产品的质量,那么我们可以将表征产品质量的目标函数的权数设为最高,即W3为最大,再根据情况设定其他目标函数的权数。
使用线性加权和法对多目标优化模型进行处理,实际上是将复杂的多目标优化问题合理地转化成了单目标优化问题,不但增加了模型柔性,而且大大降低了求解的难度。
求解单目标约束优化问题的方法有很多,下面通过一个实例,用MATLAB求最优解。
已知:工件材料45钢,σb=0.637GPa,刀具YT15硬质合金;工件毛坯尺寸D=68,L=100,△=4mm;机床C6240,Fmax=25000N,P0=7.5k W,η=0.8,rε=1mm,R=0.20,r=2,Tct=4,CT=5.3×1011,1/m=5,1/n=2.25,1/P=0.75,CFc=270,XFc=1.1,YFc=0.75,NFc=-0.15,KFc=1.0。
本文只考虑粗车加工时的情况,为使问题简化,不考虑表面质量情况,并且将切削量ap定为常数。故而选定ap=2mm,vcmin=90m/min,vcmax=120m/min,fmin=0.4mm/r,fmax=0.8mm/r,Tkmin=20,Tkmax=150,W1=0.4,W2=0.4,W4=0.2。
把所有已知参数代入优化模型,化简后结果如下:
用MATLAB编程求解如下:
根据实际的设备情况,将设备调整到最接近最优值的转速。本文调整为n=355r/min(vc=75.8m/min),f=0.8mm/r。进而求得单件加工工时为Tw=0.8min。
3 结语
(1)通过多目标生产参数优化,建立柔性定额标准,可以快速制定满足不同生产要求的定额方案,打破了传统经验定额方法的局限性,大大提高了定额标准的科学性。
(2)在处理多目标优化问题时,要尽量遵循使目标“化多为少”的原则,即剔除从属性、必要性不大的目标,或把次要目标转换为约束条件,比如,本文范例中即剔除了粗加工时表面质量目标函数和变量,大大降低了求解难度。
参考文献
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