线性代数的教学

线性代数的教学（精选十篇）

线性代数的教学 篇1

在《线性代数的教学思路 (I) 》[4]给出的教学思路基础上, 本文给出非数学专业线性代数克莱姆规则的教学思路。并且应用关系映射反演思想方法简要论述克莱姆规则。教学实验证实, 这一教学思路具有可行性和可操作性, 并且是适宜的和有效的。更一般的理论研究和具体教学实验, 请参看有关文献[1,5]。

定义1给定一个含有n个未知量n个方程的线性方程组 (1)

它的系数构成一个行列式D

D称为这个线性方程组的系数行列式。

定理5.5.1 (克莱姆 (Cramer) 规则) :一个含有n个未知量n个方程的线性方程组 (1)

当它的系数行列式D≠0时, 有且仅有一个解

此处Dj是把系数行列式D的第j列换成方程组的常数列b1, b2, …, bn得到的n阶行列式。

证明令j是整数1, 2, …, n中的任意一个。分别以A1j, A2j, …, Anj乘方程组 (1) 的第一, 第二, …, 第n个方程, 然后相加, 得

由定理3.4.2和定理3.4.3, xj的系数等于D而xi (i≠j) 的系数都是零;因此等式左端等于Dxj, 而等式右端刚好是n阶行列式Dj, 此处Dj是把系数行列式D的第j列换成方程组的常数列b1, b2, …, bn得到的n阶行列式。

这样, 我们得到Dxj=Dj

令j=1, 2, …, n, 我们得到方程组

方程组 (1) 的每一个解都是方程组 (3) 的解.事实上, 设c1, c2, …, cn是方程组 (1) 的一个解.那么在 (1) 中把xi代以ci (i=1, 2, …, n) , 就得到一组等式.对于这一组等式施以由方程组 (1) 到方程组 (3) 的变换, 显然得到下面的一组等式:

这就是说, c1, c2, …, cn也是方程组 (3) 的一个解。

当D≠0时, 方程组 (3) 有唯一解, 就是 (2) , 因此方程组 (1) 也最多有这一个解。

我们证明 (2) 是 (1) 的解.为此, 把 (2) 代入方程组 (1) , 那么 (1) 的第i (i=1, 2, …, n) 个方程的左端变为

计算出来, 我们得到

这里我们应用了定理3.4.2和定理3.4.3.这就是说, (2) 是方程组 (1) 的解。

因此, 当D≠0时, 方程组 (1) 有且仅有一个解, 这个解由公式

(2) 给出。

克莱姆 (Cramer) 规则的RMI方法的框图如图1 (为节省篇幅采用矩阵形式) 。

注:本文是2008年度甘肃省教育厅第二批科研项目计划项目 (序号0805B-08) 的研究成果之一。

参考文献

【1】窦永平.数学教育整体思路导言【J】.兰州商学院学报, 2002, (4) :127-128.

【2】平云.高等学校数学教学中的德育教育初探【J】.兰州商学院学报, 1993, 增刊 (1) :51-52.

【3】窦永平.线性规划模型建立的教学思路【J】.兰州商学院学报, 1990, (2) :66-70.

【4】窦永平线性代数的教学思路 (I) 【J】.高等理科教育, 2004, 教育教学研究专辑 (二) :8-10.

【5】平耘.教学组织论的研究与建立【J】.社科纵横, 1992, (5) :47-49.

【6】张禾瑞.郝新.高等代数【M】.北京:人民教育出版社, 1979.

【7】窦永平.行列式的教学思路【J】.甘肃科技纵横, 2006, (1) :162.184.

【8】窦永平.行列式展开理论的教学思路【J】.甘肃科技纵横, 2006, (4) :161.

线性代数的教学 篇2

高等数学、线性代数、概率论和数理统计是大学数学的三门基础课程。相比较而言，线性代数抽象程度高、理论性强，既不同于概率统计与生活联系紧密，趣味性强，又不同于高等数学学分多、课时多，受学生重视。所以，多数学生学习线性代数的兴趣不高，重视程度不够，给教学工作带来较大难度。如何激发学生的学习兴趣，增加教学的生动性，成为数学教师应探索的实际问题。结合以往教学经验，本文将针对这一问题提出三个教学要点。

一、理论联系实际，通过实例提高大学生的学习兴趣和重视程度

学生对线性代数兴趣不高，主要是因为该课程过于抽象、学习难度大。因此，教师在教授线性代数时，要结合教学内容，列举应用线性代数知识和方法解决实际问题的具体实例，讲授线性代数知识，提高学生的学习兴趣和学习积极性。备课时，教师要从其他相关学科（如物理学、计算机程序等学科）中寻找应用线性代数知识解决问题的具体事例。比如，教师讲授“线性方程组的解”的理论知识后，可以介绍投入产出模型，即通过编制投入产出表，运用矩阵和线性方程组进行运算，揭示国民经济各部门的内在联系[1]；

在工农业生产、经济管理及交通等方面，经常涉及使用或分配劳动力、原材料和资金等问题，采用线性规划模型，运用矩阵和“线性方程组解”的理论，使费用最小或利润最大[1]。此外，还有人口模型、数据的最小二乘处理等都应该用线性代数知识解决具体问题。总之，“兴趣是最好的老师”，通过寻找、列举线性代数解决问题的具体事例，提高学生学习兴趣，是有效开展线性代数教学的方法之一。

二、加强知识内容间的内在联系，深化学生对知识内容的理解

线性代数知识是紧密联系的整体。但由于它的概念定义比较抽象，学生不易掌握概念间、不同章节内容间的联系，且抓不住逻辑主线，知识之间的融会贯通能力弱。针对这个问题，笔者认为课堂教学要抓住以下三个要点。

首先，既要让学生清楚概念的内涵和外延，又要让学生思考、理解概念的不同侧面。例如，教材中对矩阵的秩的定义是：设在矩阵a中有一个不等于0的r阶子式，所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么d称为矩阵a的最高阶非零子式，数r称为矩阵a的秩，记作r（a）[2]。显然，定义中包含三个要点：（1）a中至少有一个r阶子式不为零；（2）所有r阶以上子式均为零；（3）若所有r+1阶子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零。其中，要点（2）和要点（3）是等价条件。同时，“r阶子式是否可以为零？”“小于r阶的子式是否可以为零？”等问题，都是矩阵的秩概念的外延内容，同样需要搞清楚，以加深对该知识点的理解。

其次，有意识地加强概念间、定理间的内在联系和理解运用。例如，提醒学生观察并发现矩阵的秩和向量组的秩的定义的相似之处，进一步引出重要定理--矩阵的秩等于向量组的秩。以同济大学线性代数第五版为例，第三章矩阵的初等变换与线性方程组中定理五至定理七，分别对应第四章向量组的线性相关性中的定理一至定理三。所以，讲授第四章定理一前，不妨先回忆第三章的三个定理，然后对比讲授第四章的三个定理。通过类似的比较分析，使学生清楚掌握定理间的异同，从而加深对定理的理解记忆，起到事半功倍的效果。

浅谈线性代数的教学方法 篇3

关键词：线性代数；观点；教学方式

引言：线性代数的应用，涉及的范围十分广泛，例如数学、物理学，亦或是其他技术学科之中，因此线性代数在各种代数分支中，可以说是占据着首要位置。而线性代数同样是理工科大学各专业的基础课，学习线性代数对于培养学生的逻辑推理能力、计算能力、抽象思维能力以及工程实践中的具体应用能力有着不可忽视的作用。而线性代数这门学科，通常在大一大二年级设置，对于初学者来说，线性代数的困难，一度让学生们感觉束手无策。那么，如何解决这一问题，如何调动学生们学习的乐趣，让这门学科的成绩提升上来，无疑成为了老师们教学的关键。

一、代数概念区分

（一）行列式和矩阵

行列式和矩阵，是解析线性代数的关键，而这二者之间，有着密切的联系，却又不能将其等同。那么，首先，要确定二者各自的定义，注意二者之间的符号差异，其具体表现在：

1.矩阵 ，行列式 。

2.表现形状。

由此可见，行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以相等。

3.意义差距。

矩阵是数的表格，而行列式则是一个数，亦可说是一个算式。

（二）行列式与矩阵计算方法的不同

线性代数涉及的计算内容，对于初学者来说，很难。甚至，很多同学觉得，面对计算时，有种无从下手的感觉。一般求解方程组的时候，有些同学生搬硬套，直接采取克拉默法则求解。如果同学们能够清楚二者之间的差别，知道只有方阵才能有对应的行列式，不相等的矩阵无法用行列式进行计算的话，就不会出现这种错误。

二、针对行列式和矩阵的差别，采取对比教学法

线性代数中的行列式和矩阵容易混淆，其中涉及的概念以及数乘运算，是学生们最为困扰的一点。如何将它们区分开来，这是一个关键问题。这里采取对比的教学方法，可以加深同学们的印象，有着不错的教学效果。

学生在学习行列式和矩阵初等变换后，容易将二者的符号弄混淆。尤其是二者符号书写上面完全一致，但它们本质是不同的。例如行列式的运算表示的是数值运算，变换过程中用“=”连接，且前面会出现负号“-”。而矩阵变形过程中，不会出现负号“-”，也不会出现系数“ ”。

（一）矩阵、行列式的加法和数乘

矩阵的加法运算时，两个同型矩阵相加是指它们的对应元素相加。行列式的某一列或是某一行两数相加，也是对应元素相加。但区别是，矩阵中的每一个元素都是两数之和时，此矩阵等于两个矩阵的和。而行列式则是等于两个行列式的和。至于数乘运算，二者的差别要更大一些。矩阵式只有公因子可以提到矩阵符号外，而行列式只需要满足一行，或是一列的公因子，就可以提到符号外。

（二）矩阵的等价、相似、合同的充分必要条件

矩阵的等价性质分为三方面，分别是反身性、对称性、传递性。两个 矩阵 ， 等价的充要条件为：存在可逆的 阶矩阵 与可逆的 阶矩阵 ，使得 。

矩阵的相似关系：设 ， 均为数域 上 阶可逆矩阵 ，矩阵 与 为相似矩阵（若 级可逆矩阵 为正交阵，则称 与 为正交相似矩阵）。同样的，矩阵的相似关系也有三个性质，分别是反身性、对称性、传递性。

矩阵合同的性质：反身性，任意矩阵 都与自身合同；对称性，如果 与 合同，那么 与 也合同；传递性，如果 与 合同， 又与 合同，，那么 与 合同；合同的两矩阵有相同的二次型标准型；在数域 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵；矩阵合同与数域有关。

三、善于发现和利用反例

线性代数中存在很多抽象的概念，如何将这些抽象的概念掌握，如何在初学时掌握一定的技巧，避免走入误区，这一点，十分关键。如果能够举一些反例，相比较之下，就会加深学生对概念的理解和掌握。

例如，在涉及矩阵运算的时候，可以告诉学生，矩阵乘法不满足交换律。但这样的强调，并不能引起学生们的注意。这时候，举出一个反例，用错误的计算点醒学生，就会取得一个不错的效果。

四、举一反三，一题多解

一道题的正确解答方法不单单只有一个，那么发散学生的解题思路，开拓学生的视野，将所学知识有效的串联起来，对于养成学生发散思维，有着重要影响。

例1：已知向量组 ， ， 线性无关， ， ， ，证明：向量组 ， ， 也线性无关。

证法1：设有 ， ， ，使得 ，

即 ，

故方程组只有当 成立，所以向量组线性无关。

证法2：采用行列式，由题意得 ，可记作 ，其中 的绝对值不为0，所以 可逆，又因 ， ， 线性无关，故有 ，所以向量组线性无关。

五、注意各章节之间的联系

线性代数之间的联系十分密切，每一章节的联系对于学生们接下来的学习有着承上启下的影响。所以，在教学时，每一个章节内容要求学生掌握的同时，也要延伸到这一章节对接下来学习的影响，为接下来的学习打好提前量。

六、结束语

综上所述，线性代数作为高等数学中的重要组成部分，虽然内容并不是很多，但却有着十分重要的作用。如何学好这一科，对于学生日后的学习有着深远的影响。所以，在今后的教学中，要根据这门学科本身的特点，制定正确的教学方法，提升学生学习线性代数的兴趣，从而提升学生学习这一学科的诸多难题。

参考文献

[1] 同济大学数学系.线性代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.33.

[2] 赵慧斌，问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究，2008，11（4）：91-94.

从错题探究线性代数的教学 篇4

一、典型错例

例1已知矩阵A为n阶方阵,A2= A,A≠E,证明| A | = 0.

虽然这是一道在线性代数练习中常见的简单证明题, 但是学生在处理时总会出现一些错误,现将错误的解法归纳如下:

错解1在等式两边同时取行列式得| A|2= | A | ,因此| A | (| A | - 1) = 0,因为A≠E,所以| A | ≠1,由此得| A | = 0, 证毕.

此种证明方式错误之处在于因为A≠E,所以| A | ≠1, 很容易举出反例.

造成学生使用此错误方法证明的原因是学生在理解矩阵的行列式这个概念时,很容易将矩阵与行列式两个概念相混淆,经常使用一些啼笑皆非的结果,例如因为A≠O,所以| A| ≠0.

错解2由A2= A得A (A - E) = O,因为A≠E,所以A - E≠O,由此得A = O,所以| A | = 0. 证毕

此种证明方式的错误之处在于忽视了矩阵乘法不满足消去率,设A,B,C均为矩阵,若AC = BC推不出A = B.

正是因为矩阵乘法不满足消去率,矩阵乘法就不满足以下我们在数字乘法中常用的一条性质AB = 0A = 0或B = 0,这条性质在矩阵乘法中也是不成立的. 例如

但是A≠O,B≠O. 在上述证明中正是错误地使用了这条性质,导致证明错误.

正解: 反证假设| A | ≠0,则A可逆,等式A2= A两边同时左乘A- 1,得A = E,与已知矛盾,说明假设不成立,因此| A | = 0.

例2判断说明题: 若矩阵A与B等价,则A的行向量与B的行向量等价.

这道题涉及矩阵等价与向量组等价两个概念. 矩阵与向量组的关系一直都是学生学习的难点,在讲授这部分内容时老师总是会强调m × n矩阵A,既可以看成是m个n维行向量组成的向量组又可以看成是n个m维列向量组成的向量组,即矩阵可以看成向量组,向量组也可以看成矩阵. 学生会认为既然矩阵就是向量组,向量组就是矩阵,那么若矩阵A与B等价,则显然A的行向量与B的行向量等价,而且A与B的列向量也是等价的,从而认为这个论断正确,在学生中99% 的人会持有这种想法.

其实这个论断是错误的,一个简单的例子就能说明问题.

设,观察可以看出将A第一列加到第三列上就是矩阵B,所以矩阵A与B等价,但是A的行向量 组是 (1,0,0),(0,1,0),B的行向量 组是 (1,0,1),( 0,1,0) ,他们不等价.

产生这种错误的原因是学生混淆了矩阵等价与向量组等价两个概念,仔细研究概念会发现矩阵等价是指若矩阵A能通过初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价,而向量组等价指的是若向量组I与向量组II能互相线性表示,则称向量组I与向量组II等价. 这两种等价的定义是完全不同的,以下几个定理也能说明这个问题:

( 1) 矩阵A与B等价的充要条件是r( A) = r( B);

( 2) 若向量组I与向量组II等价,则r( I) = r( II).

矩阵等价中的充要条件在向量组等价中成为了充分条件,而从上面的反例中也可以看出( 2) 的逆命题是不成立的. r{ (1,0,0),(0,1,0)}= r{(1,0,1),( 0,1,0)} = 2,但是向量组(1,0,0),(0,1,0)与向量组 (1,0,1),( 0,1,0) 不能相互线性表示,所以他们不等价. 若希望( 2) 的逆命题成立必须加上条件

( 3) 若r( I) = r( II),并且向量组I能由向量组II线性表示,则向量组I与向量组II等价.

从上述分析可以看出,矩阵等价与向量组等价是不同的两个概念,两个向量组等价则它们所对应的矩阵等价,反之则不真. 数学概念是日常生活中的客观事物在数量关系上的抽象反映,这也就决定了线性代数概念的抽象性,例如: 行列式、线性相关、特征值等概念. 因此教师在讲授完这两个概念后一定要将这两个概念进行比较,通过简单的例子让学生了解两个概念的区别与联系. 教师通过对比概念之间的关系既能恰如其分地引进新概念,也有助于加深学生对已学概念的理解,这样学生的学习才会达到事半功倍的效果.

以上是笔者总结授课过程中经常遇到的错解,其主要原因在于学生对抽象概念的理解有误. 正因为线性代数的基本概念很多,许多概念之间形成了连环扣,一环扣一环, 如若某一环出现问题,就会致使环节乱套. 所以笔者在日常教学中总结出了一套授课技巧,首先力求将某些概念转化为直观形象的说法加以说明,其次正确使用符号和运算法则,使学生一目了然,将公式烂熟于心,最后通过实际中的应用或引入相关的例子对概念多做说明.

只有通过教师的一步步引导,学生自主思考的学习能力,加上对概念进行直观形象的讲授,才能促使学生在学习线性代数的过程中步步为营,环环相扣.

二、线性代数的教学策略探讨

1.讲授概念需直观形象

数学概念一般较为抽象,若不注重引入方法直接介绍, 若不对概念引入方法、分析比较、举一反三,对学生而言,一般难以掌握概念间的区别,以致张冠李戴,解题出错. 在教学中,为了让学生弄清某些定义叙述较为抽象的概念,教师应用大量的实例将概念具体化.

例如线性代数的一个重要概念———向量组的极大无关组,它是向量组这章的重难点,只有讲清楚了此概念的定义和性质,学生才能理解向量组的秩,这是课程中承上启下的一个重要概念. 此概念较为抽象,直接按定义讲述学生很难理解,因此在处理这个概念时,笔者首先会给学生讲一个实例. 某大学校长要向全校学生传达一个文件,他会怎么做呢? 如果把全校学生集合起来开大会是很不明智的做法, 因为这需要很大的场地而且很难保证每个学生都到场. 此时校长会请每班派班长来参加会议,再由班长将文件传达给每一个学生. 教师将这个生活中常常遇到的问题引入到极大无关组的概念讲解中. 如果把全校学生看成一个向量组,这个由每班班长组成的代表组就是向量组的极大无关组. 接下来教师马上反问学生,这个代表组有什么特点?

( 1) 这个代表组是唯一的吗?

( 2) 这个代表组的人数恒定吗?

( 3) 这些代表之间是什么关系?

( 4) 代表组与全校学生是什么关系?

此时学生会马上回答,这个代表组可以由每班的班长组成,也可以由每班的支部书记组成,它不是唯一的; 但是代表组成员的人数是恒定的,因为每班只需派一名代表参加会议; 同时这些代表必须来自不同的班级; 代表组能够代表全校学生; 四个简单的问题就让学生理解了极大无关组不唯一,极大无关组中向量个数是不变的,极大无关组是由线性无关的向量构成的,极大无关组与向量组等价这些性质.

通过这个实例来学习极大无关组的概念,课堂气氛活跃,如此讲解一方面使学生觉得亲切易懂,另一方面引起了学生学习的兴趣,学生学习轻松自如,概念理解透彻,性质定理记忆深刻,可以达到事半功倍的效果.

2.符号和运算法则需正确使用

线性代数的符号多,运算法则多,学生在学习时会与以前的符号和运算法则混淆. 比如说矩阵A的逆矩阵符号A-1,学生在学习时习惯上将它与数的倒数联系在一起,就会引入错误记号1/A,已知矩阵A可逆,则,这是在学生作业中经常会出现的错误. 学生混淆了矩阵的逆矩阵与数的倒数符号,产生了上述错误,在习题课上教师必须指出这种符号错误,通过错误事例让学生加强记忆.

线性代数课程中的运算法则有很多与以前的运算法则完全不同,例如矩阵乘法不满足交换律,消去率,上文的错解2就是学生错误使用消去率造成的. 学生往往会忽视这些法则,错误的使用以前的数学公式,例如:

这是学生经常使用的公式,但是在矩阵乘法中这些公式却不一定成立. 因此要求教师必须在讲授过程中加强学生对法则的认识,用生动的语言和适宜的比喻,加强学生的记忆. 再例如,讲授( AB)T= BTAT这个法则时,笔者会称之为“穿衣服,脱衣服”法则,穿和脱的顺序正好是相反的,因此等式左右两边的顺序相反. 利用这个形象生动的比喻,帮助学生记住 了这个法 则. 当再次遇 到与之类 似的性质 ( AB)*= B*A*时,学生马上会想到“穿衣服,脱衣服”法则.

3.概念混淆需比较讲授

所谓比较法,即把某些有一定相关性的知识点或练习题放在一起对照讲授或练习,找出它们的共同点和不同点的教学方法. 它包括: 相反概念的比较; 易混概念的比较; 新旧知识的比较; 同类事物的比较. 对于线性代数中有许多相似的概念,非常容易发生混淆,教室在授课的过程中将其进行比较分析,以加强对概念的理解. 比如上文中的例2,对比讲授矩阵等价与向量组等价,可以使学生加深对知识的理解,准确把握题意,提高分析理解的能力. 通过比较可以辨别真伪、正误,提高认识水平; 可以举一反三,拓宽视野,更好地把握数学知识的本质特征.

4.知识点需环环相扣

线性代数课程的知识点纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透. 行列式、矩阵、向量、线性方程组,方阵的特征值各章之间由一个概念———秩,贯穿始终,教师在讲授时应抓住这个重点,时刻提醒学生注意前后知识点的联系. 例如n阶方阵A,

通过秩的概念,可以将整个线性代数的知识贯穿成一个圆环,圆环上任意两个节点之间都是等价关系. 只有抓住了这些等价关系,才真正掌握了线性代数的灵魂,学生才能自如地运用这些知识点进行解题. 因此,在授课过程中,应紧抓核心知识点,由局部到整体,由分散到总结,指导学生掌握重点学习方法( 3) .

5.错题讲解需举一反三

一定量的典型习题训练有利于学生加深对所学知识的理解. 精心组织好习题,是提高教学质量的一个重要环节. 教育部委托复旦大学草拟《线性代数教学大纲》中指出: “习题课的作用是使学生进一步理解和掌握课程内容,以及培养严格的推理能力”,此处明确了习题课的重要性. 因此,在习题课上,教师需要适时地引导学生学习的主动性,善于归纳总结,通过做题吸收知识内容.

此外,笔者认为不仅仅要求一定的习题量,还要培养学生总结错误做法( 2 )举一反三,触类旁通,以免学生对抽象概念一知半解,这样可以激发学生的求知欲,继而达到好的学习效果.

线性代数教学方法的实践与总结 篇5

【摘要】本文给出了线性代数教学体系的设计,及双基教学方法的应用。

【关键词】线性代数 双基教学 实践与总结

一、引言

数学作为最古老的学科之一,对于人类社会的发展、科学的进步起着举足轻重的作用,随着知识的细化,数学领域也有了许多分支,线性代数就是其中的一支。而如今它作为一门基础课在高等学府的各个专业里几乎都有开设,这也足以显示它的重要性。线性代数以其理论上的严谨性、方法上的灵活多样性以及与其它学科之间的渗透性,使得它在自然科学、社会科学及工程技术等许多领域都有广泛的应用。并且线性代数对学生逻辑思维能力、抽象思维能力及对事物认知能力的培养也是至关重要的。另外线性代数可为解决实际问题提供重要方法,因为在现代研究中我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要研究多个变量之间的关系,而各种实际问题可以线性化,由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具。同时线性代数也是学习其它许多课程不可缺少的基本工具。

因此线性代数这门课对学生今后的发展起着一定的基础性作用。这就需要教师在教这门课时,要给出教好的教学体系的设计,结合适当的教学方法,以达到较好的教学效果。本文就自己对这门课几年的教学实践,总结了一套切实可行的教学方法。

二、课程基本内容及其组织

线性代数反映在大纲的基本内容主要是行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、二次型这五块,有关的理论和算法体系纵横交错,形成网络状结构,这就需要在内容的组织上有一定的设计,根据切入点和推进思路,由线性方程组切入,与中学代数直接衔接,学生会比较容易入门。然后渐次提出新问题、引进新工具、克服新困难,这样来延伸思路,将线性关系和线性结构的灵魂渗透其中,引导学生在学习算法的同时体会背后的关系和理论,一步一步登上线性空间、集成思维的新境界,使得他们的思维层次得以提升。围绕这样一个主导思路来组织内容,会更有利于教学效果的提升。

三、教学体系的设计

行列式、矩阵是线性代数最为重要的内容,在整个教学中,以行列式、矩阵作为计算工具,向量空间作为思维工具,用它们去解决多元一次的线性方程组和多元二次的二次型。以下给出对各章的安排。

第一章回顾中学解方程组的方法,由消元法给出二阶三阶行列式的定义,通过对三阶行列式的剖析,结合n级排列的逆序数给出n阶行列式的定义,然后依据n阶行列式的定义推导出行列式的性质,最后引出Cramer法则,指出这是对多元问题作整体处理的新思路,是处理手段和思维方式的提升。

第二章对于不符合Cramer法则条件的方程组,由整体处理思路引出矩阵,主要介绍矩阵的计算、分块矩阵、逆矩阵的求法。

第三章重点学习矩阵的初等变换,矩阵的秩,讲解这些知识的同时结合解方程的方式,体现出整体处理的优势。

第四章这些算法蕴含着怎样的关系?方程组的不同类型、矩阵的不同等价标准形与向量之间的关系又如何?引出向量组的相关性与秩,从向量组上升到向量空间。这样解线性方程组的必要理论都具备了,接着完整讲解线性方程组理论,这时,算法不再重要,重点是理解线性方程组类型的识别及通解和解集的结构。

这是学习线性代数的第一阶段,对矩阵和向量空间的要求以解线性方程组够用为度。这样可使难点分散,也使学生比较容易接受和推进。第一阶段要达到两个目的:第一,基本掌握线性代数中的三大算法(行列式、矩阵、线性方程组),具备整体处理多元一次问题的能力;第二,开始接触向量的线性相关性和线性变换,有了基本概念,尤其是有了秩这个深刻概念,为下一阶段做好铺垫。第二阶段以向量的线性关系和空间的线性结构为主线来推进。

第五章主要是延伸矩阵理论,包括讨论方阵的特征值与特征向量,由初等变换引向相似变换、合同变换、正交变换,讨论四个变换的关系、性质、用途的异同,以及方阵的对角化问题,使学生对线性变换和矩阵的理解再大大前进一步。接着,着手解决多元二次型问题,主要是标准化和正定性两个问题。

学到这个阶段,学生就能教好地领略到线性代数的强大作用,学生的思维能力和逻辑推理、数学表述会有很大提升,这就基本上达到了这门课的教学目的,实现了它的教学理念。

四、双基教学方法的应用

中国数学教育主要以双基教学为主要特征,数学双基教学的定义是:数学基本知识和基本技能。但“数学双基教学”作为特定的名词,其内涵不只限于双基本身,还包括在双基之上的发展。

1.双基教学的理论特征

(1)记忆通向理解。理解是记忆的综合,数学双基强调必要的记忆。例如,行列式性质的记忆,使之成为行列式计算的直觉和条件反射。但理解不能孤立地进行,对一些行列式的计算,能够理解的当然要操练,一时不能理解的也要操练,在操练中逐步加深理解。

(2)速度赢得效率。数学教育理论认为,只有把基本的运算和基础的思考,化为“直觉”,能够不假思索地进行条件反射,才能赢得时间去做更高级的数学思维活动。比如行列式和矩阵的计算是线性代数的基础部分,这个基础打好了我们就能去很快的熟练掌握线性方程组的解法和对称矩阵的对角化等难度较高的知识点。

(3)严谨形成理性。中国的数学学习,则注重理性的思维能力。人的生活和工作都需要这种能力,所以才显出了学习数学的重要性,而要学好数学就必须有严谨的治学态度。

(4)重复依靠变式。中国的数学教育重视“变式练习”,在变化中进行重复,在重复中获取变化,概念变式、过程变式、问题变式等多种方式是数学双基教学的有机组成部分。

2.双基教学的层次

(1)双基基桩建设。行列式的性质和计算、矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等变换是整个线性代数的“基桩”,必须打得坚实,形成条件反射,熟练得成为直觉。

(2)双基模块教学。双基的基本呈现方式是“模块”。首先是主要知识点经过配套知识点的联结,成为一条“知识链”,然后通过“变式”形成知识网络,再经过数学思想方法的提炼,形成立体的知识模块。

以解线性方程组的模块为例。首先需要具备行列式的性质和计算,矩阵的初等变换的“基桩”技能。然后逐步形成以矩阵的秩为主的知识链,接着通过系数矩阵和增广矩阵的秩来讨论线性方程组是否有解以及有解时是否有唯一解的问题。双基模块教学有很多行之有效的经验，例如使用典型例题，通过变式形成问题串，然后提高到数学思想方法的高度加以总结。(3)双基平台。在掌握了双基的模块之后，必须寻求双基的发展，这便是“双基平台”。双基平台具有以下特征。



基础性：直接根植于双基，是双基模块的组合、深化与发展；

综合性：双基平台跨越多个知识点，综合几个“双基模块”，形成数学知识之间的相互联结。

发展性：双基平台主要为数学解题服务，能够居高望远，看清一些数学问题的来龙去脉，获得解题的策略。

例如，求一个正交变换x=py，把二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准型。就是一个综合性很强的平台，解题过程涉及行列式的计算、方阵的特征值和特征向量、向量的正交化、正交矩阵、矩阵的初等变换等许多知识。双基平台是数学双基教学向前发展的必然结果，许多数学建模课题、研究性学习的课例，都是一种双基平台。

参考文献：

线性代数教学方法的思考与实践 篇6

【摘 要】处在当前的教育改革背景下，对教育教学中的模式优化就比较重要，对于数学教学课程，由于其逻辑性比较强，这就需要能在教学的方法方式上进行优化。在线性代数教学方面，就要能充分注重教学方法的科学合理化的实施，保障教学的效果能良好呈现。基于此，本文主要就线性代数教学的现状和改革创新的重要性加以分析，然后结合实际对线性代数教学的体系内容以及优化教学策略进行详细探究，希望能通过此次理论研究，对线性代数教学的整体水平得以有效提升。

【关键词】线性代数；教学方法；改革

引言

线性代数作为高校理工专业的基础理论课程，学生在具体的学习过程中，就能够在逻辑能力的培养上得以强化，有利于学生的综合素质水平的全面提升。在对线性代数教学中所运用到的一些思想方法都比较重要，并能在其它的课程教学中得以有效的利用，有助于学生在学习其他课程中发挥学习的积极主动性，在学习效率上得以提升。通过从理论层面对线性代数教学方法的应用加以研究，对实际教学就有着积极促进作用。

1.线性代数教学的现状和改革创新的重要性分析

1.1线性代数教学的现状分析

对于当前的线性代数教学现状来看，还有诸多方面存在着问题有待解决。主要就是在具体教学中一些老师受到传统教学思想观念的影响，在具体的教学方式上还比较单一化，只注重对学生理论层面的教学，没有留给学生足够的实践锻炼的机会，学生在具体的学习过程中就感到比较迷茫。并久而久之会产生厌恶的情绪。

线性代数教学在实际教学发展中已经逐步的完善化，但是在和其它的学科进行结合渗透方面还没有充分化的呈现[1]。老师在线性代数教学中在理论应用方面没有得到充分重视，这就使得学生在对实际内容学习的兴趣上得不到有效激发，也引不起学生学习的积极主动性。在当前的教育发展阶段，只有充分注重教学的理论和实践的有机结合，才能保障教学的良好发展。

1.2线性代数教学改革的重要性分析

传统的教学模式已经不能有效的发挥作用，这就需要在教学模式的改革方面进一步的深化。线性代数教学的改革能促进整体的教学质量水平的提升，对学生的全面发展也比较有利。通过教学改革，就能将一些先进的应用技术在实际教学中加以应用，从而能将教学的效率水平提升，将课堂教学的可视化特征能得以呈现。传统教学对学生的抽象思维能力的和逻辑推理的能力培养比较注重，而学生在实际学习过程中，就会比较的吃力[2]。通过教学改革措施的实施，就比较有助于学生在学习的效率上得以提升，也能在学习的质量上得以有效保障。

新的教学环境下对新的教学方法的应用比较注重，通过案例教学能够在线性代数的抽象问题得以具体化的呈现。通过这一教学也能对学生的应用能力的培养得以有效提升，还能够将数学的建模思想在实际教学中加以融入，这样就能将线性代数教学的趣味性得以呈现，让学生的学习积极主动性得以充分的调动。在教学改革的背景下，就能够将线性代数教学和现代化的教学技术得到有机的结合，从而就能够将整体的课堂教学效率水平得以有效提升。

2.线性代数教学的体系内容以及优化教学策略

2.1线性代数教学的体系内容分析

线性代数教学的体系比较丰富，在体系内容上也比较多样化，其中在向量组线性相关性以及行列式以及矩阵等都是比较重要的内容[3]。其中的矩阵教学内容是比较重要的，在具体的教学中，对矩阵和运算以及初等变换等，都是比较关键的内容，也是比较基础性的内容，只有让学生掌握了这些内容，才能有助于学生更有效的学习。对于线性代数的教学内容的学习，要能够在实际教学中主要教学的要求，让学生能在矩阵以及行列式的相关性获得方面得以充分重视，在这些基本理论的学习上要能得以明确化，并对基础知识能够得以熟练的掌握。

再者，对线性代数的教学过程中，也要能注重对学生的逻辑思想能力和推理能力的培养。让学生能在对线性代数的学习过程中，增强对实际问题的解决能力。在具体的教学中要能按照教学大纲来进行实施教学，这样才能有助于教学的计划科学有序的完成，在教学的整体质量水平上才能得到有效提升。

2.2线性代数教学优化教学策略探究

为能够将线性代数教学的效果良好呈现，就要能注重教学措施的科学化实施，只有如此才能保障教学水平的提升。笔者结合实际，对线性代数教学的策略进行了详细探究，这就能为实际的教学实施提供有效的指导，促进教学的整体质量提高。

第一，对线性代数教学的优化就要能注重对教学内容的优化，将课程和其它的学科间的渗透要能得以充分重视。从具体的措施实施上，就要能注重对知识结构的梳理，将线性代数教学课程体系的优化要能得以充分重视，实际的教学过程中，就要能够在教学内容上能精心的挑选，和学生的学习需求要能紧密结合[4]。在内容选择中要将知识点间的联系能得以充分重视，将整个知识体系要能条理化的呈现，这样才能有助于学生对线性代数的知识点掌握。

第二，对线性代数教学的方法创新改革。通过教学方法的优化实施，就能在整体的教学质量水平上得以有效提升，具体教学中就要能以教师讲授为主，以及将其他多样化的方法运用为辅的形式实施教学。注重对教学方法的作用发挥，选择恰当的教学方式促进学生的智力和学习能力。

例如：对线性教学过程中的线性空间的内容时候，就不仅要让学生从理论上得以充分重视，还要能够让学生对相关的运算规律以及实践能力的提升。在具体的教学中，就可通过多媒体技术的应用，让学生对相关的概念能有明确的认识，在理解之后，老师再进行设置问题，如求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。让学生对实际问题进行试着解决。老师从中进行指导，由排列为9级排列，所以j，k只能为3、6.由2排首位，逆序为0，4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3，k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1，符合题意；若j=6，k=3，则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6。这样就能够将教学的形式动态化的呈现，提高学生的学习兴趣和质量。

第三，具体的教学过程中，老师要能注重数学教育思想的渗透，在学风的培养方面要能得以充分重视。要注重对学生的学习思想的培养以及学习方法的培养，老师在学风的良好树立方面要能得以充分重视[5]。让学生能够在学习的态度上得以端正，注重对学生的数学思想的培养，让学生通过数学思想的融入，不断的促进自己的数学学习能力的提升，这样就能将学生的线性代数知识的学习质量上得以有效提高。

第四，对线性代数教学过程中，老师需要在教学的多样化方面得以重视。要能够有灵活性的教学方式，让学生的学习效率得以提升，教学中注重对学生的主体地位的突出。学生在实际的学习过程中，没有养成良好的学习预习的习惯，老师在教学中就要对此能得以充分重视，让学生能在课前预习的习惯培养上得以加强，这样比较方便教师的教学。在教学的方式上可多样化的应用，采取新的教学模式应用，将探究式教学模式以及合作式教学模式得以灵活化的应用，这样就能将教学的效果良好呈现。

3.结语

总而言之，对线性代数教学的方法应用，要和实际教学内容和情况能紧密的结合，只有注重实际才能保障教学效率水平的提升。通过加强教学改革的深入实施，将线性代数教学的内容以及方法等加以优化，就对实际的教学发展有着积极作用。此次主要从理论层面对线性代数教学进行了探究，对实际的教学发展就有着一定启示作用。

参考文献：

[1]李甜.线性代数课堂教学与数学建模思想[J]. 求知导刊. 2016（09）.

[2]吴文英，牛玉玲，刘艳霞，张圩.线性方程组的几种形式在线性代数教学中的作用[J]. 产业与科技论坛. 2016（09）.

[3]李庆娟.浅析管理类专业线性代数课程的教学改革与实践——以大连财经学院管理专业为例[J]. 中国管理信息化. 2016（09）.

[4]赵婷.线性代数课堂趣味教学实践[J]. 北京工业职业技术学院学报. 2016（02）.

线性代数的教学 篇7

线性代数是高等院校开设的一门重要的基础课程,它对培养学生的数学素质,训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及灵活运用知识解决实际问题的能力有重要作用。但是,一直以来学生普遍认为这门课程的内容非常抽象,不易理解,从而导致学习效果不佳。针对这个问题,我们建议在这门课程的教学中采用问题驱动教学法。从问题情境出发,提出问题,然后引导学生思考,最后解决问题,让学生通过问题解决的过程来达到学习新知识的目的。这种教学方法能够让学生充分参与到课堂教学当中,通过问题的解决过程来引导学生逐步地理解新知识的本质以及其核心思想。教师可以通过引导学生提出问题,思考得出结论,来推动课堂进度,这样不仅能够加强课堂教学中师生间的互动,而且能够获得良好的教学效果。

行列式是线性代数中较为重要的内容,在线性代数以后的教学内容以及其他后续课程中都有着广泛的应用。因此,行列式理论在线性代数中是举足轻重的一个重要内容。

2. 行列式教学中采用问题驱动教学法的实例

2.1 n阶行列式的定义讲解

在引入n阶行列式定义时,学生会提出这样的问题(1)我们已经学习了二阶、三阶行列式的定义,那么n阶行列式和二阶、三阶行列式的定义之间有什么样的关系?(2)n阶行列式是如何定义的?

教师告诉学生n阶行列式可利用归纳的方法进行定义,然后引导学生总结二阶行列式和三阶行列式的共同点:

(1)二(三)阶行列式是2!(3!)项代数和;

(2)代数和的每一项都由两部分构成———乘积项和符号项;

(3)每个乘积项都是个元素的乘积,而这2(3)个元素分别取自行列式的不同行不同列;

(4)符号项取决于将这一项中的各元素按照行下标从小到大的顺序排列后,列下标所形成的排列的奇偶性,如果为偶排列则是正号,如果为奇排列则是负号。

在此基础上,我们通过归纳自然而然可以给出阶行列式的定义,在这里要强调行列式是一个表达式或数值。

教师引导学生总结二阶行列式和三阶行列式的共同点,利用归纳的方法给出阶行列式的定义,实现了由具体到抽象,再由抽象到具体的思维过程。使学生对数学归纳法的应用有了一个直观的了解,提高了学习的积极性。

2.2 行列式的性质讲解

在引入行列式的性质时,学生会提出这样的问题(1)为什么要学习行列式的性质?(2)如何运用行列式的性质求解行列式?

掌握n阶行列式的定义后,我们知道n阶行列式共有n!项,例如4阶行列式有24项,5阶行列式有120项,因此用定义来计算高阶行列式计算量大,易出错,得到正确结果较为困难。只有一类特殊的行列式———三角形行列式用定义计算比较方便,我们知道三角形行列式的结果等于主对角线上各元素的乘积,因此我们想能否把一般行列式化为三角形行列式来计算,这就需要研究行列式的性质。

行列式的性质共有5条,讲解完这些性质后,学生可以运用它们来简化行列式的计算,一般的处理方法是通过灵活运用行列式的性质,将一个普通的行列式化为上三角形行列式,然后根据上三角形行列式所表示的代数式等于主对角线各元素的乘积,这样就能够轻松地得到结果。

2.3 克莱姆法则的讲解

在引入克莱姆法则时,学生会提出这样的问题:(1)我们引入二阶、三阶行列式是用来解决二元和三元一次线性方程组,那么引入n阶行列式是否可以用来解决n元一次线性方程组?(2)如果可以用n阶行列式来解决元一次线性方程组,那么对行列式有什么要求,结果用行列式如何表示?

我们引入行列式就是用来解决方程组的问题,自然引入阶行列式是用来解决元一次线性方程组,也就是克莱姆法则,当方程组的系数行列式不为零时,方程组的解可以用行列式的商来表示。

3. 结束语

运用问题驱动的方法进行教学应该从问题情境出发,提出问题,然后引导学生思考,最后解决问题,让学生通过问题解决的过程来达到学习新知识的目的。这种教学方法能够激发学生的好奇心和求知欲,通过提出问题,学生能够了解新知识引入的背景和意义,而通过解决问题,学生不仅能够获得新知识,培养解决问题的能力,而且在无形中也培养了探索精神和创新能力。问题驱动教学法不仅能够让学生充分参与课堂教学,而且能够促进教学中师生的互动,从而获得良好的教学效果。

摘要：线性代数是高校理工与经管类必修的基础课程,对培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及灵活运用知识解决实际问题的能力有重要意义。而行列式是线性代数中的重要教学内容,在其后续课程中有较为广泛的应用。本文结合教学实践,讲述了行列式教学中的问题驱动教学法,从问题情境出发,提出问题,然后引导学生思考,最后解决问题,让学生通过问题解决的过程来达到学习新知识的目的。

关键词：行列式教学,问题驱动,教学实例

参考文献

[1]马丽杰.关于线性代数的教学的几点思考[J].改革与开放,2009(12)

[2]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究,2008(7)

[3]李可峰.线性代数中行列式教学的思考[J].中国校外教育,2011(4)

[4]赵树?.线性代数[M].(第四版).北京:中国人民大学出版社,2013

浅谈独立学院《线性代数》的教学 篇8

1 激发学生的兴趣

兴趣是最好的老师。在第一堂课中, 不宜一上课就讲授本课程的内容, 而应着重向学生介绍线性代数的重要性以及一些有趣的应用典范或者教学史来激发学生的学习热情, 提高他们的学习兴趣。在教学的过程中, 教师应避免从头至尾只注重讲授线性代数的概念、公式、定理, 而应将线性代数的知识与实际问题及学生所学的专业结合起来, 让学生感到线性代数非学不可。例如, 在高中学过二元三元线性方程组, 而我们用行列式或矩阵可解n元线性方程组;用矩阵知识作投入产出分析、手机的色频分析、破译密码等;用矩阵特征值作优化分析、统计处理;在学习矩阵的性质和计算方法时, 可介绍在运筹学、信息科学和管理科学方面的应用。只有把学生的兴趣切实调动起来, 他们才肯自觉钻研, 乐于钻研, 这样很多问题就会迎刃而解。

2 数形结合

学生在高等数学中已学过空间解析几何, 它为线性代数中许多概念和理论提供了几何背景和几何解释。在教学中, 将空间解析几何的内容渗透到线性代数中, 进行几何直观教学, 可以帮助学生减少数学概念、性质、定理的理解难度, 同时, 帮助学生了解一些相关背景, 使学生在数与形的统一中体会到概念、性质、定理的内涵, 培养了学生应用定理、概念分析问题、解决问题的能力。

例如, 对于二元线性方程组每个方程在平面上表示直线, 直线的位置关系, 系数矩阵A和增广矩阵 (Ab) 的秩与方程组解的关系如图1。

由二元线性方程组的情况, 引入三元线性方程组

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三元线性方程组的每个方程在空间上代表一个平面, 让学生自己动手画一画3个平面的位置关系, 然后在老师的引导下, 总结出3个平面之间的位置关系以及方程组解的情况与系数矩阵和增广矩阵的秩的关系。

如果学生能够以这样直观的方式从理解二元线性方程组的解到理解三元线性方程组的解, 那么他将会自然将此种想法用到对n元线性方程组的解的理解。而在今后的学习过程中再遇到类似的问题, 自然地回忆起这些内容。

同样地, 线性代数中二阶行列式是平面上以向量和为邻边的平行四边形的有向面积;三阶行列式是3个向量在空间上张成的平行六面体的有向体积;类似地, n阶行列式可以看作n维空间中n个向量所张成的n维平行多面体的体积。这样, 学生在既看得见又摸得着的环境中去理解行列式的概念, 相对来说容易的多。

3 引入案例教学

理论与实践相结合, 是学习各类知识的关键, 线性代数也不例外。要注重线性代数的应用, 尝试用线性代数解决各类问题, 也可以在教学过程中加入数学建模思想。

例如, 在讲矩阵的乘法时, 学生常常提出这样的疑问:为什么不像定义矩阵与矩阵的加法那样来定义矩阵与矩阵的乘法, 即定义为矩阵的对应元素相乘?如果从实际问题出发, 自然而然地引入矩阵乘法的定义, 学生会比较容易接受。目前, 学生对购买股票、基金等比较感兴趣, 因此, 在教学的过程中, 通常用下面的例子来引入矩阵与矩阵的乘法的。

例如甲、乙、丙3人都购买了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种股票, 购买的数量 (单位:股数) 用矩阵A表示, 一、二月份这些股票的收益 (单位:元/股) 用矩阵B表示, 计算一、二月份甲、乙、丙这3人的盈亏。

先让学生自己去算结果, 引导学生写出盈亏的矩阵C:

从这个矩阵可以很清楚地看出所求结果。有了这样一个很直观的例子, 学生就觉得线性代数并不是那么抽象难懂的, 再给出矩阵与矩阵乘法的定义, 学生就比较容易接受。在此基础上还可以总结一下矩阵乘法所满足的前提条件, 加深对此的理解。

4 采用多媒体辅助教学

传统教学法“黑板+粉笔”的教学方法, 老师将所讲内容详细在黑板上板书, 这样使学生有一定的思考回味时间, 也有利于学生记笔记和消化所学知识。但线性代数中矩阵和行列式书写起来很费时, 在有限的时间内很难详细讲解各个知识点。而多媒体辅助教学法是利用先进的计算机、互联网等多媒体技术进行授课的一种新型的教学方法, 老师将所讲内容制成教学课件, 上课时主要通过电脑屏幕向学生显示所讲内容。虽然多媒体节约了板书时间, 加大信息量, 开阔知识面, 并能挖掘出课本文字表达不到的直观、动态效果, 使难以理解的抽象理论形象化、生动化, 但它留给学生思考的时间不多, 不利于培养学生抽象思维和逻辑思维能力。若将这两种教学方法有机的结合起来, 即采用“多媒体+粉笔+黑板”的教学方法, 以多媒体作为一种辅助教学手段, 将讲授的内容——概念、定理、性质、公式和例题制作成课件, 显示在屏幕上, 而定理、性质、公式的证明以及例题的讲解仍然采用板书的形式进行, 实现教师与学生的互动, 提高学习效果。

当然, 教和学是双方面的。要想达到双赢, 需要教师和学生的共同努力。老师应在教学方法上不断总结和改进, 学生也应加强对线性代数这门课程的认识。

摘要：根据线性代数的特点及独立学院学生的实际情况, 从培养学生兴趣、数形结合、引入案例教学以及采用多媒体辅助教学等四方面改进线性代数的教学, 提高教学效果。

关键词：线性代数,兴趣,数形结合,案例教学,多媒体辅助教学

参考文献

[1]赵树嫄.线性代数 (第2版) [M].北京:中国人民大学出版社, 1997.

[2]许定亮.在线性代数教学中融入几何解释[J].常州工学院学报, 2004, 19 (2) :72-75.

浅谈《线性代数》教学方法的改进 篇9

关键词：教学设计,教学策略,比较法教学

引言

《线性代数》 (Linear Algebra) 是大学数学中的一个重要分支, 在自然科学和工程技术等领域中的作用日益受到重视。同时, 该课程也是理工类大学生的研究生入学考试的一门必考课程。我国绝大部分院校的理工类和经济管理类等本科专业都会开设《线性代数》。它作为一门重要的基础必修课, 可以培养学生分析、归纳、总结和演绎的能力, 提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力, 并为学生学习专业知识打下坚实的基础[1]。

《线性代数》有很强的理论性、系统性和逻辑性, 该课程包含大量的概念、定理等内容, 且对计算准确度要求较高, 并具有很强的抽象性, 与学生以往所学的数学知识有巨大的区别, 导致很大部分学生初学该课程时非常困惑、吃力, 不知该如何学习。那么教师采用恰当的教学方法和教学设计, 会是产生良好的教学效果的关键。笔者根据几年来对该课程的教学实践, 提出几点教学方法和建议。

1《线性代数》的基本内容

非数学专业所开设的《线性代数》, 一般分为36学时或54学时, 基本内容主要包括行列式、矩阵、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型这六部分。

有关的理论知识相互联系, 纵横交错, 在内容的组织上需要进行设计, 让学生比较容易接受。在学习相关知识的同时, 引导学生体会各个理论体系之间的关系, 这样更有利于提升教学效果, 并且逐步提升他们的思维层次。

2 教学方法和教学策略

2.1 知识体系的介绍

作为老师, 相信都知道对学生来说学习一门新课程时第一次课的重要性。第一次课时, 首先让学生了解学习《线性代数》不会用到求极限、求微分、积分等内容, 所需的数学基础并不高, 所做的计算不复杂但要求细心。因与以往所学的数学课程区别太大, 所以部分学生会觉得难以接受, 但只要入了门, 就会发现这门课其实很简单。再让学生打开目录, 大致了解《线性代数》的主要内容, 给学生介绍各章节的知识及相互联系。在整个知识体系中, 行列式和矩阵是最为重要的内容, 它们作为计算工具, 用来解决向量、线性方程组、特征值和特征向量以及二次型等内容所涉及的知识。要强调矩阵的初等变换是《线性代数》的核心工具。求向量组的秩和极大线性无关组、线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量、方阵的对角化、二次型的标准化等问题, 全都离不开矩阵的初等变换。

2.2 教学设计

《线性代数》中的概念一般较抽象, 定理和结论非常多, 前后知识点的联系也很强。在教学过程中, 教师要讲究教学技巧, 对课堂教学进行设计, 以便学生更深入理解所学知识并准确把握。

(1) 板书的设计

《线性代数》里很多章节的核心理论知识并不多, 但例题的解答过程却繁多。如果是传统教学方法, 可以采用将黑板一分为二的方法, 在左侧写出理论知识部分, 在右侧对例题进行演算, 方便学生了解每次课的所学内容和重点, 有时可以达到很好的教学效果。例如在讲授行列式的性质这一节时, 将行列式的性质依次写在黑板左侧, 在右侧进行讲解和举例。将行列式的性质放在一起, 强调其重要性, 方便学生对性质进行归纳并熟记。再例如, 讲授线性方程组的解的判定时, 可以将齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的判定定理逐条归纳后现在黑板一侧, 学生学习起来一目了然, 非常清晰, 方便学生更好的理解。

(2) 精炼的语言

精炼准确的语言也是非常有利于教学的。

《线性代数》有些章节对应的定理和结论非常多, 由于它们是解题的依据, 需要学生必须记住, 我们可以总结出简短好记的语言帮助学生记忆。比如, 向量的线性相关性有非常多的内容需要记忆, 有些可以归纳为“截短向量线性无关, 则接长向量也线性无关”;“部分向量组线性相关, 则整体向量组也线性相关”。与它们对应的逆否命题“接长向量线性相关, 则截短向量也线性相关”、“整体向量组线性无关, 则部分向量组也线性无关”也一下就能记住。

再比如线性方程组解的结构中的结论, 齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解等于非齐次线性方程组的通解, 可以总结为“非齐通=非齐特+齐通”;非齐次线性方程组的一个特解减去非齐次线性方程组的另一个特解等于齐次线性方程组的特解, 可以总结为“非奇特非齐特=齐特”。

(3) 解题技巧

初学《线性代数》的同学普遍认为该课程与《高等数学》的题目区别很大, 主要是计算量较大, 大部分题目都要进行密密麻麻、大段的数字计算, 学生会不知所措, 这正需要我们在教学过程中应讲究方法与技巧。

在讲授例题和习题时, 要传授学生解题技巧。例如行列式计算, 按类型来讲解, 如每行 (或每列) 元素的和相等、平行线型“”、爪型“”等, 这会大大提高学生的学习积极性和兴趣。再例如, 很多题型里都会涉及将矩阵化为行最简形矩阵, 而学生极容易在此出错, 导致最终结论错误。在转化过程中, 要告诉学生从左往右进行, 先将第一列元素依次转化为1、0、0、0…, 再转化第二列, 依次类推。

2.3 比较法教学过程中的应用

所谓比较法, 即把某些有一定相关性的知识点放在一起对照讲授, 找出它们的共同点和不同点的教学方法。它包括:相反概念和易混概念的比较;新旧知识的比较;同类事物的比较[2]。比较法在教学中的应用可以使学生加深对知识的理解, 提高认识水平, 更好地把握数学知识的本质特征。

例如上面提到的“非齐通=非齐特+齐通”, 《高等数学》中常微分方程那一章, 也有相类似的结论, 只是对象不同, “非齐通=非齐特+齐通”是指n阶线性非齐次微分方程的通解等于它的特解+它对应的n阶线性齐次微分方程的通解。在《线性代数》中讲授矩阵的对角化的内容前, 会先介绍向量的内积, 模, 向量单位化等知识, 在教学过程中可以和《高等数学》里向量那一章的相关知识进行比较, 有相同的知识点, 也有部分知识的推广, 这样学生学习起来会非常容易理解新知识。

初学《线性代数》的同学, 很容易将行列式与矩阵的符号混淆, 在书写矩阵时左右两边错误的写成竖线, 而不是圆括号或方括号。为了避免这样的错误发生, 在引入行列式和矩阵概念时, 要强调行列式一般代表一个数, 而矩阵代表一张数表, 将它们进行比较。强调矩阵与行列式的区别, 这样学生才会准确把握, 深入理解。

3 结语

《线性代数》对学生今后的发展起着重要的基础性作用。本文对该课程的教学方法和策略的一些看法, 总的来说就是要结合学生的实际学习能力, 进行合理的教学体系的设计, 再结合适宜的、切实可行的教学方法和教学手段, 以达到较好的教学效果并提高教学质量。

参考文献

[1]张向阳.《线性代数》教学中的几点体会[J].山西财经大学学报 (高等教育版) .2006年S1期

线性代数分层次教学方式的改进 篇10

线性代数是大学理工科和经管类学生的一门重要的必修课程, 这门课程对提高学生的数学素养、训练与提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力都有重要作用。由于线性代数这门课程有较强的抽象性和严密的逻辑性, 因此想学好它必须具备一定的数学基础。但是来自各个地区的学生对数学知识的掌握程度及理解分析能力大不相同, 而线性代数又是如此重要, 因此有必要对线性代数的分层次教学进行探讨。

我就如何提高线性代数教学质量, 结合自己多年来的教学实践经验, 具体分析了线性代数分层次教学。教学实践证明, 对提高教学质量有着明显的效果。

1. 实行分层次教学的必要性

分层次教学本着教育要面向全体学生, 关注每个学生成长的基本理念, 采用分层次教学的方法促使每个个体都能按其特有的方式发展, 实现个人的最大价值。以我院情况为例, 我院的学生来自不同类型的中学, 在大学数学教学中分为三个层次:C层次的学生, 这部分同学一般数学基础较差, 接受新内容比较缓慢, 他们或成绩差, 或学习积极性不高;A层次的学生基础较好, 学习积极, 理解能力也较强;B层次的学生是介于A、C之间, 这部分同学基础也比较差, 虽然通过自身努力可以完成学业, 但这部分同学极易出现分化现象, 一旦在学习中遇到困难和挫折, 随之而来的就是得过且过, 学习退步。

如果还像以前一样, 统一课程、统一要求、统一进度地进行教学, 教学效果可想而知, 教学质量也很难提高。在这种情形下, 我们提出了在高等院校数学课程的教学中进行分层次教学模式改革的设想, 并已付诸实施, 取得了显著的效果。

2. 分层次教学的实践方式

分层教学的核心问题, 是为了保证教学目标及其效果的实现, 下面从以下几个方面分别予以分析。

2.1 重视基础知识的掌握和基本运算的训练。

概念是数学思想与方法的载体。教学过程中对各个层次的学生都要强调概念的理解和掌握。在概念教学中, 教师既要启发学生对所研究的对象进行分析、综合、抽象, 又要讲清概念的形成过程, 阐明其必要性和合理性。通过概念表面的意义得到直觉的发现, 淡化数学概念的高度抽象性, 从而研究其本质, 提高学生记忆概念、理解概念的能力。

线性代数的最大特点就是:知识体系承接性较强, 一环扣一环, 环环相连的。如用初等变换求矩阵的秩熟练与否, 直接影响求向量组的秩和极大无关组, 进一步涉及求由向量组生成的向量空间的基与维数;又如求解线性方程组的通解熟练与否, 会影响到后面特征向量的求解, 以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此, 学习线性代数, 一定要坚持温故而知新的学习方法, 及时复习巩固, 特别是针对B、C层次的学生要进一步强调。为此, 教师课前的知识回顾, 以及学生提前预习是十分必要的。

2.2 注重教学方法的选取和教学内容的调整。

在必学内容上, 各层次线性代数的教学内容基本上是一致的。A、B、C三个层次的差别在于知识的深度、广度及所用的授课时间。

A层次学生的理解能力与领悟能力均较强, 教学中加强数理推导和技能的强化, 可提高其抽象思维能力。另外可对教学内容进行扩充, 采用启发式、问题发现式的教学方法, 注重启迪学生思维、开拓学生视野。对B层次学生的培养应按大纲要求, 以正常速度按部就班进行。采用较为统一的教学安排, 教学方法。着重提高课堂讲授质量, 使学生牢固掌握所学知识, 为他们专业课程的学习打下扎实的基础。C层次学生基础差, 底子薄, 对这部分学生的理论要求可适当降低, 多举例子, 多做练习, 强化学生的计算能力。对一些难以理解的概念和定理, 通过具体的例子说明其意思, 并通过实例进一步说明应用, 完成必学内容的学习。增加教学时数, 放慢进度, 查缺补漏, 在需要时适当回顾初等数学的知识。

2.3 传统教学与多媒体教学相结合。

在线性代数课堂教学中, 行列式的计算、求解线性方程组等板书会占用大量课堂时间。针对这种情况, A层次主要采用多媒体教学, 这样大量节约教师板书的时间, 而且教师可扩充知识量;B层次采用板书与多媒体相结合的方式。对一些较大的矩阵、行列式等采用多媒体演示, 不仅会给学生留下较强的感性认识, 而且增加了课堂信息量, 激起学生学习的热情, 对于理论性较强的定理证明等则采用板书的形式, 使学生能够伴随着教师讲解和书写理解证明的思路;C层次主要采用板书的形式, 着重掌握课本内容。因此, 传统教学与多媒体教学有机结合, 优势互补, 可以有效地提高课堂教学效率。

2.4 分层次教学的评估考核。

由于学生在学习的过程中, 所处的层次不同, 对学习付出的精力也是不同的。对于同一个层次的学生, 不同的考试成绩的学分有所差异, 而对于不同层次的学生, 相同的考试成绩对应的学分也应该有所差异。这种差异可通过学分的各层次的系数体现。学分系数分层的评价方法是指, 对不同层次的学生制定出不同难易程度的试卷, 各试卷的总分相同。这样, 通过分层次考核方式, 对不同层次的学生予以合理的综合评估。

3. 对按层次定目标和教学计划的改进

3.1 提高学生学习线性代数的积极性。

许多学生对线性代数没有感性的认识, 再加上课程的理论性较强, 导致学习积极性不高。在教学中贯穿线性代数课程与其他学科的联系, 特别是在B、C层次的教学中, 尽量做到理论联系实际, 激发学生学习的动力。

3.2 分层次教学中, 不同层次的班级应由同一教师担任。

这样做有几个好处:避免学生认为好的老师都去教层次高的班, 不好的老师都来教层次低的班, 影响学生的情绪, 伤害学生的自尊。同一个教师教多个层次的班级时, 体验到了如何真正做到因材施教, 在教学过程中, 不断地总结和探索, 教师的教学水平得到了很大的提高。

3.3 加强对学生解题的基本训练。

一定量的典型练习题能有助于学生深化对所学知识的理解, 培养学生一题多解的能力, 解题后反思, 及时总结解题思路和方法。尤其是C层次的学生, 一定要着重培养他们的基本运算能力。

参考文献

[1]吴赣昌.线性代数.[M].中国人民大学出版社, 2006.

[2]黄廷祝.线性代数.[M].高等教育出版社, 2009.

[3]连博勇, 孙逊.线性代数的教学探讨[J].数学教学, 2008, (5) :78.