应用分类思想解应用题（精选十篇）
应用分类思想解应用题 篇1
所谓分类讨论, 就是在研究和解决数学问题时, 当问题所给对象不能进行统一研究, 我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点, 将对象区分为不同种类, 然后逐类进行研究和解决, 最后综合各类结果得到整个问题的解决, 这一思想方法, 我们称之为“分类讨论的思想”.[1]分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法, 也是一种数学思想, 这种思想在简化研究对象, 发展思维方面起着重要作用, 因此, 有关分类讨论的思想的数学命题在中考试题中占有重要地位.
1 字母充当数学概念中的某个参数, 用分类讨论的思想讨论满足该概念的字母的取值和不满足该概念字母的取值, 在概念清楚地情形下解题
此类题型给我们解题的要求是, 要认清楚概念的本质, 不能单单从形式上去理解, 所以根据参数不同的取值, 准确定位概念, 然后根据不同类型的概念按照各自的解题方法去解题.
例1 (2011中考湖南怀化) 已知:关于x的方程ax2+ (1-3a) x+2a-1=0, 求证:a取任何实数时, 方程ax2+ (1-3a) x+2a-1=0总有实数根.
证明 1) 当a=0时, 原方程变为-x-1=0, 方程的解为x=-1;
2) 当a≠0时, 原方程为一元二次方程,
当b2-4ac≥0时, 方程总有实数根,
整理得
因为a≠0时, (a-1) 2≥0总成立, 所以a取任何实数时, 方程总有实数根.
分析 在解本题中, 如果只注重形式, 刚开始就将此方程默认为一元二次方程, 那么在证明此题中, 就丢掉一种重要的情况, 即a≠0, 从逻辑思维来说, 就是思维不全面.这样导致的后果轻则丢一部分分数, 重则全题错误.此题给我们解题的启示是, 对于含有参数的概念, 我们一定要用分类的思想确定, 随着参数取值的变化, 这种形式所反映出的实质性的东西是不是发生了变化, 在搞清楚本质后对症下药.
2 题目中没有明确的给出几何图形的准确特性, 用分类讨论的思想准确界定模糊的几何图形, 在几何图形元素确定的情形下正确解题
一个几何图形是由基本元素构成的, 如果题目只是简单的给出某一个几何图形, 那我们需要用分类的思想将各元素弄清楚, 然后根据各元素比较确定的几何, 再去解题.
例2 (2011中考江苏盐城) 如图1, 已知一次函数y=-x+7与正比例函数
(Ⅰ) 求点A和点B的坐标.
(Ⅱ) 过点A作AC⊥y轴于点C, 过点B作直线l//y轴.动点P从原点O出发, 以每秒1个单位长的速度, 沿O-C-A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发, 以相同速度沿x轴向左平移, 在平移过程中, 直线l交x轴于点R, 交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时, 点P和直线l都停止运动.在运动过程中, 设动点P运动的时间为t秒.
(ⅰ) 当t为何值时, 以A, P, R为顶点的三角形的面积为8
(ⅱ) 是否存在以A, P, Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在, 求t的值;若不存在, 请说明理由.
解析 (Ⅰ) 如图1, 根据题意, 得
所以A (3, 4) .
令y=-x+7=0, 得x=7.
所以B (7, 0) .
(Ⅱ) (ⅰ) 由于P的运动不确定, 所以首先对P的运动分类:
a.如图2, 当P在OC上运动时, 0≤t<4.由
整理得
解之得
t1=2, t2=6 (舍) .
b.如图3, 当P在CA上运动时, 4≤t<7.由
得 t=3 (舍) .
所以当t=2时, 以A, P, R为顶点的三角形的面积为8.
(ⅱ) 由于P的运动不确定, 所以首先对P的运动分类:
a.如图4, 当P在OC上运动时, 0≤t≤4.
此时, 对三角形分类:
当AP =AQ时,
整理得
所以 t=1, t=7 (舍) ;
当AP=PQ时,
整理得 6t=24, 所以t=4 (舍去) ;
当AQ=PQ时,
整理得
所以
b.如图5, 当P在CA上运动时, 4≤t<7.过A作AD⊥OB于D, 则AD=BD=4.设直线l交AC于E, 则QE⊥AC, AE=RD=t-4, AP=7-t.由
得
同理对三角形进行分类:
当AP=AQ时,
当AQ=PQ时, AE=PE, 即
解得 t=5;
当AP=PQ时, 过P作PF⊥AQ于F,
在Rt△APF中, 由
得
即
解得
综上所述, t=1或
分析 此题运用分类讨论的思想解决了两个大的问题, 一是对于点的运动不确定的情况下, 我们将其分类, 找出所有可能的情形, 一一讨论找出适合我们题目的结论;二是将题目中隐约的条件逐一细分, 准确的确定几何图形的形状, 不重不漏, 最后完全正确的解答出本题.此题可以说将分类讨论的思想体现的淋漓尽致, 大的主要有两个方面, 第一, 是对题目条件不确定的情况下, 合理的进行分类, 做到不重不漏, 这样既能正确解题, 也能快速解题;第二, 当给出的几何图形不确定的时候, 要根据几何图形有可能出现的情况逐一讨论, 就算是不可能出现的, 我们也要分类出来, 说明不可能出现的原因, 然后将此情况排除掉.
3 概念本身导致的多种结论, 根据概念的性质, 用分类讨论的思想将所有可能的结论全部列举出来, 在每一种正确的结论下分类解题
在数学概念里, 有一部分概念只要提出我们就要考虑它的多结论性, 比如说, 绝对值、偶次根式中被开方数如果是一个平方数或字母, 此时我们就要根据概念可能导致的多种情况逐一讨论, 做到不重不漏.
例3 (2011中考山东菏泽)
(A) 7 (B) -7
(C) 2a-15 (D) 无法确定
解析 此题考察的就是:
此时, 我们就根据以上知识点讨论a-4与a-11的正负:
①a-4>0, a-11>0, 即a>11, 此时原式=2a-15;
②a-4>0, a-11<0, 即4<a<11, 此时原式=7;
③a-4>0, a-11=0, 即a=11, 此时原式=7;
④a-4=0, a-11=0, 即不存在这样的a;
⑤a-4=0, a-11>0, 即不存在这样的a;
⑥a-4=0, a-11<0, 即a=4, 此时原式=7;
⑦a-4<0, a-11<0, 即a<4, 此时原式=15-2a;
⑧a-4<0, a-11>0, 即不存在这样的a;
⑨a-4<0, a-11=0, 即不存在这样的a.
综上所述, 原式的值为7, 2a-15或15-2a.
分析 此题就是在数学概念多结论的条件下用分类讨论的思想解决的一道题, 作为一道填空题必须要全面, 就算缺一个结论也是错误的.此时要做到解题的完整性.唯有分类讨论的思想才能使得最后得出的结论不重不漏.
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一, 是历年中考的重点, 所以我们一定要掌握好如何用分类的思想解题, 根据以上几种题型, 笔者总结出用分类思想解题的一般步骤: (1) 确定讨论对象和确定研究的全域; (2) 对所讨论的问题进行合理的分类 (分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级) ; (3) 逐类讨论:即对各类问题详细讨论, 逐步解决; (4) 归纳总结, 整合, 得出结论.
参考文献
列方程解应用题分类题型 篇2
一)几倍多（少）几的方程。
等量关系式：未知数量×倍数＋多的=另一个数量 未知数量×倍数－少的=另一个数量
一个图书馆收藏了科普读物2.5万册，科普读物比儿童读物的2倍少0.3万册，儿童读物有多少万册？
二）两积之和；两积之差；两商之差类型方程应用题
三）等量关系式：积＋积=两数量之和
四）积－积=两数量的相差量 商－商=两个数量的相差量 1）李叔叔买回3箱桃子和3箱李子，共重48千克。一箱桃子的重量是7千克，一箱李子的重量是多少千克？
2）商店上午卖出滑板车15辆，下午卖出11辆，上午比下午多收384元，每辆滑板车的价格是多少元？
三）求两个未知数的方程。
等量关系式：一个未知数量＋另一个未知数量=两个未知数量的总和 一个未知数量－另一个未知数量=两个未知数量的相差量
新兴林场今年种杨树和榕树400棵，其中种的榕树是杨树的4倍。林场种两种树分别有多少棵？
新兴林场今年种杨树比榕树少126棵，其中种的榕树是杨树的4倍。林场种两种树分别有多少棵？
1）五年级科技组共有24人，男同学人数是女同学人数的3倍。男女同学分别有多少人？
解：设 同学有X人，同学有 人，得方程
2）五年级科技组共有，男同学比女同学多18人。男女同学分别有多少人？
解：设 同学有X人，同学有 人，得方程：
3）五年级科技组男同学人数是女同学的3倍，男同学比女同学多18人。男女同学分别有多少人？ 解：设 同学有X人，同学有人。得方程
四）行程问题。方法：画线段图，找出等量关系。
南北两城的铁路长415千米，一列快车从北城开出，同时一列慢车从南城开出，两车相向而行，经过2.5小时相遇。快车平均每小时行98.5千米。慢车平均每小时行多少千米？
应用分类思想解应用题 篇3
分类计数原理和分步计数原理是关于计数的两个基本原理（也称加法原理和乘法原理），其应用贯穿解排列组合问题的始终。
分类计数原理：对于任何一个排列组合问题，应首先根据问题的要求进行分类讨论，找出解决这一问题的各种不同的独立完成“类”型，再对每一类情况求解。现举例如下：
例1：∠A 的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同∠A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成多少个三角形？
分析：把可构成的三角形分成两类：含A点的和不含A点的，对于不含A点的三角形来说，又分AB上取两点、AC上取一点和AB上取一点，AC上取两点，这样共有：
+個三角形
分步计数原理：根据问题的内涵领悟概念中体现出来的顺序，明白问题的求解应分成哪些相互关联的步骤，再按照乘法原理依次对问题进行求解。
有些问题在考虑用分类计数原理和分步计数原理求解的同时，还应注意解题方法的灵活性和技巧性，下面给出解某些题型时应用的特殊解题方法。
一、住店法
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”。
例2：将三封信投入四个信箱，有多少种投法？
分析：一个信箱可以同时放几封信，故信箱可重复排列，将四个信箱看成四家“店”，三封信看成三个“客”，每个“客”住进四家“店”中任一家，即每封信有四种投法，由乘法原理得种投法。
二、捆绑法
把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其他“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即“捆绑法”。
例3：A、B、C、D、E、F六人并排站成一排，如果A、B、C必须相邻，共有多少种不同排法？
分析：将元素A、B、C “捆绑”成一个大元素，与另外3个元素全排列，松绑后A、B、C全排列，所以共有·=144种不同的排法。
三、排除法
在排列组合中“排除法”是经常用到的方法，它可以简化解题过程。
例4：已知20件产品中有15件合格品，5件次品，现从中任意抽取3件，至少有一件正品的抽法有多少种？
从100件产品中任意抽取3件的抽法共有种，其中3件都是次品的抽法有种，故至少有一件正品的抽法有种。
四、优先法
将特殊元素与特殊位置优先考虑，可化繁为简，提高正确率。
例5：安排甲、乙、丙三人周一至周六值班，每人值班两天，其中甲不值周一，乙必须值周六，问有多少种不同的安排方法？
分析：这里虽然甲、乙和周一都具有特殊性，但先安排甲不影响乙，先安排乙会影响甲，为简单起见，先安排甲，再安排乙。因甲不值周一，又不能值周六，故甲有种排法，从而此题结论应为种排法。
五、留空插入法
对于要求不相邻的元素的排列，可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
例6：要排一个由6个歌唱节目和4个舞蹈节目组成的演出节目单，任何两个舞蹈节目不相邻，共有多少种不同的排法？
分析：先将6个歌唱节目排成一排有种排法，6个歌唱节目排好后包括两端共有7个“空位”可以插入4个舞蹈节目有种，故共有·=604800种不同排法。
以上介绍了一些解排列组合应用题时运用的数学思想方法，如果能够熟练地掌握并自觉灵活地使用这些方法，将给解答排列组合问题带来很大的帮助。
参考文献
[1]陈福.在排列组合单元进行数学思想方法教学的认识[M].数学通报，2001(8).
[2]秦晓.排列组合应用题教学中应切实注意的有关数学思想和数学方法[J].数学通报，2000(8).
[3]赵春祥.排列组合问题的几种转化策略[J].数学通讯，2000(11).
分类讨论思想的应用 篇4
一、分类讨论思想在集合中的应用.
例1已知集合{(x,y)|},B={(x,y)丨(a2-1)x+(a-1)y=15},若A n B=∅,则a的所有取值是().
解:设l1:y-3=(a+1)(x-2)(x≠2),l2:(a2-1)x+(a-1)y=15.
①当a=1时,B=∅,显然A∩B=∅.
②当a≠1时,B≠∅,要使A∩B=∅,则需l1//l2或l2过点(2,3).
由l1//l2,得a=-1;由l2过点(2,3),得a=-4或.
综上,选(D).
评注问题中满足已知条件的情形不止一种,就应考虑所有可能情况,分类讨论.本例是以直线l2的斜率是否存在入手的,但应注意直线l缺少一点(2,3).
二、分类讨论思想在线性规划中的应用
例2在约束条件x≥0,y≥0,x+y≤s,2x+y≤4,3≤s≤5下,目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是()
(A)[6,15](B)[7,15]
(C)[6,8](D)[7,8]
解:直线y+2x=4与x、y轴分别交于A(2,0)、D(0,4),直线x+y=s与y轴交于C(0,s),与直线y+2x=4交于B(4-s,2s-4).
(1)当3≤s<4时,可行域是四边形0ABC,此时7≤zmax≤8;
(2)当4≤s≤5时,可行域是△OAD,此时zmax=8..
综上,选(D).
评注.:在研究几何图形时,由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)引起问题结果有多种可能性,就需要对各种情况分别进行讨论.
三、分类讨论思想在排列组合、概率中的应用
例3若∈{t∣t=a0+a1×10+a2×100},其中ai∈{1,2,3,4,5,6,7}(i=0,1,2),且x+y=636,则实数(x,y)表示坐标平面上不同点的个数为().
(A) 50 (B) 70 (C) 90 (D) 120
解:因为x、y∈{t∣t=a0+a1×10+a2×100},所以x、y均为三位数.
因为x+y=636,所以一个x值,唯一地对应着一个y值.
类一:求和没有进位的,如123+513,不同的x值有个;
类二:求和有进位的(只能十位数向百位数进位),如175+461,不同的x值有个.
故总共有50+40=90个不同点,选(C).
评注:对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.
例4已知一组抛物线y=ax2+bx+1,其中a为2,4,6,8中任取的一个数,b为1,3,5,7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是()
解:抛物线与直线x=1交点处的切线斜率为a+b.斜率为5,7,9,11,13的直线分别有2,3,4,3,2条.故所求概率为
,故选(B).
例5从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为()
解:所有三位数有=648个
把1～9这9个数字分为3类:第一类是除以3余1,有1,4,7;第二类是除以3余2,有2,5,8;第三类是能被3整除,有3,6,9.
不含0且能被3整除的三位数有()=180个;
含0且能被3整除的三位数有个.
四、分类讨论思想在函数中的应用
例6设函数f(x)=2|x+1|-|x—1|,求使f(x)≥的x的取值范围.
解:由于y=2z是增函数,f(x)≥等价于
(1)当x≥1时,|x+1|-∣x-1|=2,
所以①式恒成立.
(2)当-1
(3)当x≤-1时,|x+1|-|x-1|=-2,①式无解.
综上,x的取值范围是[,+∞).
评注:涉及的数学概念是分类给出的;如绝对值|a|的定义分a>0,a=0,a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型,
五、分类讨论思想在解析几何中的应用
例7在xOy平面上给定曲线y2=2x,设点A(a,0),a∈R,曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a),求f(a)的函数表达式.
解:设M(x,y)为曲线y2=2x上任意一点则
|MA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2x=x2-2(a-1)x+a2=[x-(a-1)]2+(2a-l).该抛物线的对称轴是x=a-1.又由y2=2x,得x≥0,所以分以下情况讨论:
若a-1≥0,即a≥1,则x=a-1时取得最小值,即|MA|2的最小值为2a-1;
若a-1<0,即a<1,则x=0时取得最小值,即|MA|2的最小值为a2.
综上所述,有
评注:根据对称轴与区间的位置关系分类讨论.
六、分类讨论思想在数列中的应用
例8在等差数列{an}中,a,=1,前n项和Sn满足条件.
(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=anpan(p﹥0),求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由,得,所以a2=2,
则d=a2-a1=1,所以an=1+(n-1)×1=n.
(2)由bn=anpan,得bn=npn.所以Tn=p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1+npn.
当p=1时,;当p≠1时,pTn=p2+2p3+3p4+…+(n-1)pn+npn+1,
评注:等比数列的前n项和的公式,要分q=1和q≠1两种情况.
七、分类讨论思想在导数中的应用
例9已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明:当a=-1,x>0时,f(x)<0.
①若a=0时,由,f'(x)>0,得x>0;由f'(x)<0,得x<0.
所以f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,在(-∞,0)上为单调减函数.
②若即a≤时,在x∈R上f'(x)≤0恒成立,
所以(x)在R上为单调减函数.
(2)由(1)知,a=-1时,f(x)在R上为减函数,
所以x>0时,f(x)
评注:数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果.如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论.
应用分类思想解应用题 篇5
一、 数形结合思想
在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解.
例1 已知tanA=，求sinA的值.
【分析】此已知条件可转化为：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求∠A的正弦值.
解：如图1，若设AC=4k，BC=3k，那么必有AB=5k，所以sinA==.
二、 方程思想
方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.
例2 如图2，已知∠C=90°，AB=26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求BC的长.
【分析】图形中有 Rt△DAC和Rt△DBC，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=26不属于任何一个直角三角形，可以通过设BC=x，则AC=x+26，让字母参与运算，最后列方程求解.
解：设BC=x，
∵∠CBD=45°，∠C=90°，∴BC=CD=x，
在Rt△DAC中，∠DAC=30°，AC=x+26，
tan30°=，3x=（x+26），
x=，x=13（+1），
∴BC=13（+1）.
三、 转化思想
解直角三角形时，在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需根据条件通过作辅助线构造直角三角形，将问题转化为直角三角形中的问题，然后利用直角三角形的相关知识解决问题.
例3 如图3所示，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠BAD=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长.
【分析】显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA，且它们互余，延长AD、BC相交于点E，可得Rt△AEB.
解：延长AD、BC相交于点E，则∠E=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABE中，sin30°=，cos30°=，
由此可得BE=4，AE=4，CE=3.
S四边形ABCD=S△ABE-S△CED=×4×4-×3DE=5，
∴DE=2，AD=AE-DE=2.
例4 如图4所示，在△ABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的长.
【分析】欲求AB的长，但题目是斜三角形，且已知条件非常分散，所以若想用到角的条件，必须构造直角三角形，作BC上的高AD，把问题转化成解直角三角形.
解：作AD⊥BC于点D，设BD=x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵∠B=60°，
∴AB=2x，AD=x，
DC==，
∴AB+BC=2x+x+=3x+=2，解得：x=.
经检验是原方程的根，则AB=2x=1.
四、 参数思想
例5 如图5，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值.
【分析】此题在条件中没有给出有关线段的长度，但已知比值，因此可根据已知条件中的比值1∶3引进参数假设有关线段的长度，进行求解.
解：作DE⊥BC于点D，并设AD=k，则DC=3k，AB=AC=4k.
∵∠A=90°，∴BC=AC=4k，又∠C=45°，
∴∠EDC=45°，DE=EC，
在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，
设DE=x，则x2+x2=9k2，
x2=k2，x=k（负值舍去），
∴DE=EC=k，
∴BE=BC-EC=4k-k=k，
∴tan∠DBC===.
五、 分类讨论思想
分类讨论思想就是针对数学对象的共性与差异性，将其分为不同种类. 要做到成功分类，要注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情景中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则.
例6 在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，求∠BAC的度数.
【分析】原题没有给出图形，隐含了可能的条件，满足要求的三角形有两种情形，需要分类讨论.
解：过点A作AD⊥BC交BC（或延长线）于点D，
在Rt△ABD中，∠BAD=60°，
sin30°===，
所以AD=1，
在Rt△ACD中，
cos∠CAD==，
所以∠CAD=45°，
如图6，∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°，
或如图7，∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.
六、 建模的思想
解直角三角形在生产、生活中有着广泛地应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、构建直角三角形模型.
例7 如图8，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°. 已知AB=20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度.（结果保留根号）
【分析】本题是测量问题，可通过作CD⊥AB构建直角三角形模型进行求解.
解：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度是 x m，
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，
所以AD=CD=x，
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，
所以tan60°=，所以BD=x，
因为AB=AD-BD，
所以20=x-x，
所以x=30+10，
所以气球离地面的高度是（30+10）m.
分类讨论思想在解题中的应用 篇6
一、根据数学概念分类讨论
有些数学概念有明显的分类特点,涉及到这些概念时,常常需要分类讨论.
例1已知双曲线过点A(-2,4)、B(4,4),它的一个焦点是抛物线y2=4x的焦点F,求它的另一个焦点P到y轴距离的最大值.
解:易知F(1,0).因为A(-2,4)、B(4,4)在双曲线上,据双曲线的定义有
||AP|-|AF||=||BP|-|BF||.
①若|AP|-|AF|=|BP|-|BF|,即|AP|-|BP|=|AF|-|BF|.
因|AF|=|BF|=5,所以点P的轨迹是线段AB的垂直平分线.
②若|AP|-|AF|=-(|BP|-|BF|),即|AP|+|BP|=|AF|+|BF|=10.
据椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆
综合①、②知另一焦点P到y轴距离的最大值为6 (此时点P是椭圆的右顶点).
点评:根据绝对值的概念,正数的绝对值是它本身,零的绝对值是零,负数的绝对值是它的相反数,从定义本身就有三种情况.遇到此类问题,必须把每一种情况考虑全了,因此需要分类讨论.
二、根据参数的变化情况分类讨论
含有参数的问题,如果由于所含参数值的不同而使所得到的结果不同,或因对不同的参数值要采用不同的处理方法,这时就需要根据参数的不同取值情况进行分类讨论.
例2解对数不等式.
解:若a>1,则原不等式等价于
若0
综上所述,当a>1时,原不等式解集为;
当0
点评:解对数不等式时,需要利用对数函数的单调性,把不等式转化为不含对数符号的不等式.而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同,故需对a进行分类讨论.
三、根据公式的成立条件分类讨论
例3求和Sn=(a+b)+(a2+ab+b2)+(a3+a2b+ab2+b3)+…+(an+an-1b+…+abn-1+bn)(n∈N+).
解:当a≠b且a≠1、b≠1时,
当a≠1且b=1时,
当a=1且b≠1时,
当a=b≠1时,
当a=b=1时,
点评:等比数列前n项求和公式中隐含着q≠1,否则分式无意义.当q=1时,Sn=na1.所以在应用等比数列求和公式时,还要处处注意公比q≠1和q=1两种情况.
四、对点线的位置关系分类讨论
在几何中,有时题设的点、线的位置可能出现多种情况,而在不同的情况下,解题方法各不相同,这时需要作分类讨论.
例4在四棱锥P—ABCD中,顶点为P,从其他的顶点和各棱的中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法有()种
(A) 40 (B) 48
(C) 56 (D) 62
解析:如图1,满足题设的取法可分为三类:
(1)在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有(种)不同的取法;
(2)在两个对角面上除点P外任取3点,共有(种)不同的取法;
(3)过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面,共有(种)不同的取法.
故不同的取法共有40+8+8=56(种).
点评:中点在不同平面的情况都必须考虑全面,做到不重复,不遗漏.
五、根据实际情况分类讨论
对于实际问题可能产生的多种情况,只有通过分类讨论作出明确的判断才能进行推理.
例5某班为了从甲、乙两同学中选出班长,进行了一次演讲答辩与民主测评、A、B、C、D、E五位老师作为评委,对“演讲答辩”情况进行评价,全班50位同学参与了民主测评.结果如下表所示:
规则:演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定;民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分;综合得分=演讲答辩分×(1-a)+民主测评得分×a(0.5≤a≤0.8).
(1)当a=0.6时,甲的综合得分是多少?
(2)a在什么范围时,甲的综合得分高?a在什么范围时,乙的综合得分高?
解:(1)甲的演讲答辩得分=(分),
民主测评得分=40×2+7×1+3×0=87(分).
当a=0.6时,甲的综合得分=92(1-0.6)+87×0.6=36.8+52.2=89(分).
(2)因为乙的演讲答辩得分=(分),
乙的民主测评得分=42×2+4×1+4×0=88(分),
所以甲的综合得分=92(1-a)+87a,
乙的综合得分=89(1-a)+88a.
若92(1-a)+87a>89(1-a)+88a,
即有a<0.75.又0.5≤a≤0.8,
所以0.5≤a<0.75时,甲的综合得分高.
当92(1-a)+87a<89(1-a)+88a时,
即有a>0.75.又0.5≤≤0.8,
所以0.75
点评:分类讨论解应用问题时,要注意分类标准与所求结果都必须满足生活实际情况.
六、由分段函数引发的分类讨论
有些函数是以分段函数的形式给出的,在解决其相关问题时,常需要根据各段分类讨论.
例6某商品在100天内的价格f(t)与时间t的函数关系为:
销售重g(t)与时间t的关系式走(0≤t≤100,t∈N),求这种商品日销售额F(t)的最大值.(价格单位为元)
解:知F(t)=f(t)·g(t).
当0≤t≤40时,
所以当t=12时,F(t)在区间[0,40]上取得最大值.
当40
因为108>100,所以F(t)在(40,100]上单调递减.而t又为整数,所以当t=41时,F(t)在区间(40,100]上取得最大值4873.
由于,所以F(t)在区间[0,100]上取得最大值,此时t=12.
即在这100天内,第12天的商品日销售额最大.
高中数学分类讨论思想的应用与教学 篇7
类型:已知参数范围,探索命题结论,根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),探求命题可能出现的结果,然后归纳出命题的结论.
解决该类型的参数问题,通常要用“分类讨论”的方法,即根据问题的条件和所涉及的概念,运用的定理、公式、性质及运算的需要,图形的位置等进行科学合理的分类,然后逐类分别加以讨论,探求出各自的结果,最后归纳出命题的结论,达到解决问题的目的.它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法.
一、根据运算的需要确定分类标准
例1: 解关于x的不等式 组其中a >0且a≠1.
解,由于不等式中均含有参数a,其解的状况均取决于a>1还是a<1,因此1为标准进行分类,
二、根据参数的范围确定分类标准
例2:【2014年宁德质检题】20.已知数列{an}满足a1=t>1,an+1=(n+1)/nan.函数f(x)=ln(1+x)+mx2-x(m∈[0,12]),试讨论函数f(x)的单调性.
分析:本例涉及函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.对于含参的单调性问题,参数的不同取值对函数的单调性有着不同的影响,关键是如何分类,主要结合参数取值范围中寻找分类的临界点,如本题的临界点就是m=0,m=1/2,以及对分子为0的取值进行分类讨论.
三、根据参数存在性确定标准
例3:【2014年宁德质检题】19. 在平面直角坐标系x Oy中,已知曲线C1上的任意一点到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设椭圆C2若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M,垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N.
(i)求证 :|MN|的最小值为21/2
(ii)问 :是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆 ? 若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
分析:本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类与讨论、化归与转化思想、数形结合思想等.
四、分类讨论的方法和步骤
(1) 确定是否需要分类讨论及需要讨论时的对象和它的取值范围;
(2)确定分类标准科学合理分类 ;
(3)逐类进行讨论得出各类结果 ;
(4)归纳各类结论.
分类讨论思想在解题中的应用 篇8
分类讨论思想在人类的思维、推理过程中起着重要的作用, 它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维方式在数学解题中的体现。也就是说, 如果被研究的问题包含多种情况, 不能一概而论时, 那么将确定的同一标准所研究的问题划分成若干不同的情形, 并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去, 再进一步讨论每一种情形的特性, 得出每类情形下相应的结论, 即所谓的分类讨论思想。
分类时要注意分类标准要统一, 且不重不漏。要掌握分类原则、方法和技巧, 做到“确定对象的全体、明确分类标准”。在具体的求解过程中, 整体问题转化为部分问题后, 相当于增加了题设的条件。在一般情况下, 分类讨论解题的步骤是:
(1) 确定分类标准、分类对象及范围;
(2) 恰当分类;
(3) 逐类讨论;
(4) 归纳结论。
分类讨论贯穿在整个初中数学教材内容之中, 代数式、方程、不等式、函数、图形的知识、三角形、四边形、相似形、图形变换、解直角三角形、圆等都存在着分情况讨论的题目, 但就应用而言, 大致有以下几种情形。
1. 由字母系数引起的分类讨论。
方程中含有参与运算的字母系数。 (1) 对于形如ax=b的一元一次方程, 其解得情况:当a≠0时, 有唯一的解;当a=0, b=0时, 有无数个解;当a=0, b≠0时, 无解。 (2) 对于形如ax2+bx+c=0的方程, 需要判断a是否为零, 并在此基础上运用根的判别式加以讨论研究。 (3) 对于不等式ax>b的解集, 可分为当a>0时, 解集为;当a<0时, 解集为。
例1已知关于x的函数的图像与x轴总有交点, 求a的取值范围。
思路点拨:
因为是关于x的函数, 所以可以是一次函数, 也可以是二次函数。所以必须讨论二次项系数和一次项系数是否为0的情况。
解答过程:
(1) 若y是关于x的一次函数, 则, 解此不等式组得a=-2.
(2) 若y是关于x的二次函数, 且与x轴有交点, 则, 解此不等式组得a<-1且a≠-2.
综上所述, 关于x的函数的图像与x轴总有交点时, a<-1。
2. 由分母是否为0引起的分类讨论。
分式方程、代数式恒等式变形以及一些综合题型中常会出现由分母是否为0引起的分类讨论。
例2已知关于x的方程只有一个解, 求k的值和方程的解。
思路点拨:
解分式方程在去分母的时候会产生增根, 此题的公分母是x (x-1) , 去分母后原方程变形为:kx2+ (2-3k) x-1=0, 显然, 接下来要讨论字母的系数。
解答过程:
把原方程去分母, 再整理得:kx2+ (2-3k) x-1=0
(1) 当k=0时, 得2x-1=0, x=0.5
(2) 当k≠0时, 因为只有一个解, 从方程kx2+ (2-3k) x-1=0里可以看出x=1是原方程的增根 (x=0不可能是增根) 。把x=1代入kx2+ (2-3k) x-1=0, 得k+2-3k-1=0, k=0.5
把k=0.5代入kx2+ (2-3k) x-1=0, 得0.5x2+0.5x-1=0
解得x1=1 (增根) , x2=-2.
综上所述, 当k=0时, x=0.5;当k=0.5时, x=-2
3. 由图形位置引起的分类讨论。
一般地, 当题目未提供图形时, 往往考虑分类讨论, 这是因为当图形确定了, 问题的结果也就确定了。但由于图形位置或图形本身具有不确定性, 从而无法给出具体的图形, 这就要求我们能根据题目的条件画出不同的图形。对于三角形往往要考虑是锐角三角形还是钝角三角形;对于圆往往要考虑弦和弧的关系等等。
例3已知四边形ABCD中, ΔABC是边长为2的等边三角形, ΔACD是一个含30°角的直角三角形。
(1) 画出四边形ABCD (画出图形即可)
(2) 分别求出四边形ABCD的对角线BD的长。
思路点拨:
本题中给出的ΔABC和ΔACD位置关系不确定, 故应分情况加以讨论。
解答过程:
(1) 如图①②③所示:
(2) 在图①中, ∵ΔABC为等边三角形, ∴∠ACB=60°,
∵∠ACD=30°, ∴∠BCD=90°
在图 (2) 中, ∵ΔABC为等边三角形, ∴∠ACB=60°,
∵∠ACD=30°, ∴∠BCD=90°.
在图 (3) 中, 过点B作CD的垂线与DC的延长线交于点H.
4. 由点、边的不确定引起的分类讨论。
由点、边以及图形的形状等的不确定, 需要对问题进行分类讨论, 如等腰三角形中底与腰的不确定;全等三角形、相似三角形的对应点的不确定;当图形在运动过程中, 在某些特殊情况下会有特殊性质等等都需要分类讨论。
例4如图, 正方形ABCD的边长是2, BE=CE, MN=1, 线段MN的两端在CD, AD上滑动, 当DM多少时, ΔABE与以D, M, N为顶点的三角形相似?
思路点拨:
运动型问题是近几年中考数学的热点题型, 从学习平面几何的静止状态转到图形的运动变化状态, 需要我们对各种情形进行细致的考虑和综合的分析。线段MN的两端在CD, AD上滑动的过程中DM可能与BE是对应边, 也可能与AB是对应边, 需要分类讨论。
解答过程:
∵正方形ABCD的边长是2, BE=CE, ∴BE=1.
5. 应用问题中的分类讨论。
当所研究的应用问题条件不确定或结论不唯一时, 一般需要分类讨论。
例5随着近几年城市建设的快速发展, 对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木。根据市场调查与预测, 种植树木的利润与投资量x成正比例关系, 如图 (1) 所示。种植花卉的利润与投资量x成二次函数关系, 如图 (2) 所示。 (利润和投资量的单位:万元)
(1) 分别求出利润y1与利润y2关于投资量的函数解析式。
(2) 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木, 他能否有可能获得最大利润?若有可能, 求出这个最大值;若没可能, 请说明理由。
解答过程:
(1) 设y1=kx, y2=ax2, 把图像上的点代入可得k=2
(2) 设种植花卉的资金投入为x万元, 则种植树木的资金为 (8-x) 万元, 两项所获利润为y万元, 由题意得:
思路分析:做到这里, 容易按老习惯, 继续这样解:
, ∴函数y有最小值, 但不存在y的最大值。
事实上, x的取值范围是0≤x≤8, 所以y不但有最小值, 并且存在着最大值。不过要根据二次函数的图像性质分类讨论。正确的应该接着这样解:
由于0≤x≤8, 抛物线的对称轴是直线x=2.
①当0≤x≤2时, y随x的增大而减小, 所以当x=0时, y最大值=16.
②2≤x≤8时, y随x的增大而增大, 所以当x=8时, y最大值=32.
综上所述, 这位专业户能获得最大利润, 最大利润是32万元。
总之, 分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题, 另一方面恰当的分类可避免丢值漏解, 从而提高全面考虑问题的能力, 提高周密严谨的数学教养。
摘要：分类讨论是数学解题中的一种重要思想方法, 它一般是在原问题不能统一解决的情况下, 将其分解成相互独立的若干子问题来处理, 最后综合这些子问题的解答, 得到对整个原问题的解答。
关键词：分类讨论,字母系数,图形位置,数学解题
参考文献
[1]尖子生培优教材——数学[M].南方出版社, 2010.
分类思想在化学教学中的应用 篇9
一、分类法概述
分类法是一种整理科学事实的有效方法, 它根据对象的共同点和差异点, 将对象区分为不同的种类, 形成具有一定从属关系的不同等级的系统的逻辑方法.分类也是学习和研究化学物质及其变化的一种常用的科学方法. 运用分类的方法不仅能使有关物质及其变化的知识系统化, 还可以通过分门别类的研究, 发现物质及其变化的规律. 对于学习数以千万计的化学物质和为数更多的化学反应, 分类法的作用几乎是无可替代的[1]. 高中学生如果掌握了分类法, 则运用分类法学习化学将能起到事半功倍的效果. 对事物进行分类时, 首先运用分析、比较的方法研究各个事物之间的相同点和不同点, 相同点就是将事物分为同一类的依据. 对事物进行分类首先要确定分类标准, 然后按照标准进行分类, 标准不同分类的结果就不同. 对于物质的分类, 我们常常以物质的组成、结构、性质、用途等作为物质分类的依据来进行. 比如对化学物质, 我们常按如图1 方式分类.
当分类标准确定以后, 同类事物在某些方面的相似性可以帮助我们做到举一反三; 对不同事物的了解, 使我们有可能做到由此及彼. 可见分类法是一种行之有效、简单易行的科学方法. 合理使用分类法可以极大方便我们的学习、生活和生产等.
常见分类法有树状分类法和交叉分类法等. 树状分类法是一种根据被分类对象的包含关系进行分类, 因为陈列式形状像树而得名. 树状分类法是用一种标准对事物进行分类, 所提供的信息较少, 所以有一定的局限性. 因此人们经常还会用多个标准对事物进行分类, 这就是交叉分类法. 交叉分类法可以让我们多角度、立体的认识我们所要研究的事物. 对事物的认识会更全面、更充分. 化学物质有几千万种, 我们不可能每种物质都研究一遍[2]. 根据同类物质具有相似性和一定的递变性规律. 对物质进行合理分类后, 我们只要学习每类物质中的代表物质的结构和性质, 利用相似性和递变性规律则可推测更多物质的结构和性质. 因此, 分类思想对于学生学习知识有着不可替代的作用.
二、分类思想在化学学习中有着广泛的应用
在学生开始学习高中化学后不久, 让他们先研究简单分类法及其应用的内容是为了引导学生从化学的视角, 运用分类的方法学习高中化学. 这部分教学内容正好对初中化学中学习过的化学物质及反应进行总结和归纳, 并进行适当的拓展和提高, 帮助学生更好地认识化学物质, 进而掌握分类方法, 形成分类思想. 能够让学生尽快适应高中化学的学习.
1. 分类思想在学习元素化合物知识中的应用
对于无机化学中元素化合物知识的学习, 老师和学生都感觉很头疼, 因为元素化合物的知识点太多太杂, 好像没有什么规律可循. 而且在教材中只用有限的两章把以前将近一年要学习的主要内容都介绍了. 这对老师和学生都是极大的挑战. 在研究元素化合物知识时, 我们应该从两个角度来进行分析和研究: 一是从物质类别角度研究物质性质. 无机物的种类虽然很多, 我们可以把它们分为: 酸、碱、盐、氧化物等几种类型, 每类物质都有其通性. 学生只要掌握同类物质中的一种代表性物质的性质就可以推测学习中所遇到的新物质的性质. 例如, 我们要研究SO2的化学性质, 我们知道SO2为酸性氧化物, 所以SO2具有酸性氧化物的通性: 1. 与水反应生成相应的酸 ( 除了二氧化硅Si O2, 二氧化硅是较特殊的酸性氧化物, 它可以和氢氟酸反应, 而且不能同水反应. ) . 2. 与碱反应只生成一种盐和水.3. 与碱性氧化物反应生成盐. SO2就具有上述酸性氧化物的三个通性. 二是根据物质中元素的化合价来研究物质性质. 我们知道: 当元素处于最高价态时只有氧化性; 元素处于最低价态时只有还原性; 当元素处于中间价态时既有氧化性又有还原性. 我们根据物质结构分析所要研究的物质中元素的化合价, 从而推测我们要研究的物质的性质. 例如, SO2的中的S元素为+ 4价处于中间价, 故既有氧化性又有还原性. 通过研究我们还发现SO2还有一些特性: 如漂白性—SO2能使品红溶液褪色. 当然我们在研究物质的结构和性质时不仅要掌握一般规律, 还要考虑其特殊性. 通过这样的研究, 引导学生自主分析在学习中遇到的新物质的性质, 培养学生自主学习探究的能力.
2. 分类思想在学习有机化合物知识中的应用
有机物种类已经超过3000 万种, 对有机化学的学习, 我们也应该充分利用化学分类法. 新课标人教版高中化学选修五中第一章的第一节内容是: 有机化合物的分类. 可见分类法在有机化学研究占据非常重要的位置. 有机物从结构上有两种分类方法: 一是按碳的骨架把有机物分为链状化合物和环状化合物. 二是按官能团分类把有机物分为12 类10 种官能团.
我们常说有机化学就是官能团化学. 学习有机化学的重点是学习各类代表性有机物的结构特点和性质, 根据官能团的不同将有机物进行分类, 只要学生掌握了常见的各类官能团的结构与性质, 根据同系列原理就可以掌握同类物质的主要结构和性质了. 对于多官能团有机物, 其性质就象是拼积木, 含有几类官能团就具备相应几类有机物的性质. 当然也要注意官能团之间的相互影响问题. 根据有机化学中的同系列原理、有机反应规律、碳四键原理、官能团原理并结合化学分类法学习有机化化学, 我们会发现有机化学比无机化学更容易学.
3. 分类思想在学习化学基本概念中的应用
很多概念都是从分类依据的角度来描述的: ( 1) 电解质与非电解质的分类依据是化合物在水溶液、熔融状态下是否导电. 电解质的定义是在水溶液或熔融状态下能导电的化合物. 非电解质的定义是在水溶液和熔融状态下均不能导电的化合物. ( 2) 强电解质与弱电解质的分类依据是化合物是否完全电离. 强电解质的定义是能完全电离的电解质. 弱电解质的定义是只能部分电离的电解质. ( 3) 化学反应类型的分类依据同样被用于相关反应类型的概念的描述. 如, 氧化还原反应和非氧化还原反应、放热反应与吸热反应、可逆反应与非可逆反应、离子反应与非离子反应等. 其中最重要的是氧化还原反应和非氧化还原反应. 氧化还原反应和非氧化还原反应的分类依据是化学反应中是否有电子的转移. 氧化还原反应的定义是反应过程中有电子转移的化学反应, 而非氧化还原反应是指反应过程中没有电子转移的化学反应.
4. 分类思想在学习化学用语中的应用
化学用语是学习化学的重要工具, 其中电子式的书写是高中化学的重点, 也是难点之一. 对于电子式的书写, 我们首先要把微粒进行分类: 原子、离子、分子等, 其中离子又可以分为阴离子和阳离子也可以分为简单离子 ( 如Na+、Mg2 +、Cl-、O2 -等) 和复杂的离子 ( 如NH4+、OH-等) . 对于化合物的电子式的书写, 首先要分为离子化合物和共价化合物, 然后根据各自的特点进行书写. 通过分类法, 把这些看似杂乱无章的知识变得有条理了, 从而降低了教学的难度, 提高了教学的效果.
分类法在化学学习和研究中还有很多应用, 需要我们不断去探究. 指导学生在化学学习中重视分类法的应用, 利用分类思想掌握一般规律, 再记清特殊性, 就可以轻松学好化学.
摘要：物质的分类是新课标人教版高中化学必修一第二章第一节的内容.学生掌握了化学的分类法, 对于化学知识的学习有不可替代的作用.本文就分类法在高中化学教学中的重要应用作了几点归纳.
关键词：分类法,化学规律,官能团
参考文献
[1]宋心琦.普通高中化学课程标准实验教科书.化学1 (必修) .人民教育出版社, 2007 (3) :22-23.
应用分类思想解应用题 篇10
分类（讨论）思想在小学数学四年级下册简便算法教学中有重要应用。简便算法贯穿在整个高年级数学教学之中，这部分内容较复杂，是计算重、难点之一，难在学生常常不能理解运算定律、性质的本质，作业中张冠李戴的现象非常普遍。怎样帮助学生加深对运算定律、性质的理解，理清运算定律、性质之间的逻辑联系，掌握简便计算的方法，提高简便计算的技能技巧呢？在教学实践中，教学完课本例题之后，我引导学生自主编题，分类讨论各种题型的简便计算方法，研究如何灵活应用运算定律、性质进行简便计算，取得了预期的教学效果。
一、分类梳理运算定律、性质，建构认知系统
教学时，引导学生分类梳理定律、性质，巩固归纳知识，使所学知识系统化、网络化。可以做如下整理：
二、分类梳理各类题型，形成技能技巧
鼓励学生观察、分析、比较运算定律、性质之间的联系与区别，依据不同的简便计算思路对问题及算式分类整理，以实现灵活应用定律、性质解决一些实际问题，提高学生简便计算能力的目的。
1.直接用加法、乘法交换律、结合律解决的问题。加法、乘法交换律、结合律都只涉及同级运算，其形式相同，运算符号不同。计算时，一般先算相加、相乘能“凑整”的数据。为了提高运算速度和准确率，计算前可以先记住一些相加、相乘为整十、整百的特殊数（比如：2、4、6、8乘25，2、4、6、8乘125等）。
例：（1）书店里有25个书架，每个书架有4层，每层放38本书，一共能放多少本书？
38×4×25=38×（4×25）=3800（本）
（2）书店里有38本《自然探秘》，49本《童话故事》，62本《世界博览》，三种书一共有多少本？
38+49+62=38+62+49=149（本）
2.需要分解某项才能用加法、乘法交换律、结合律解决的问题。
例：（1）书店里有25个书架，每个书架有36本书，一共有多少本书？
（2）书店里有25个书架，每个书架有4层，每层放9本书，一共有多少本书？
又如，算式：36×25=9×（4×25）=900（本）
32×25×125=（4×25）×（8×125）=100000
99+357=100+357-1=456
3.直接用乘法分配律解决的问题。乘法分配律涉及两级运算，计算时公因子提到括号外面相乘。
例：（1）一件衣服125元，一条裤子62元，买8套这样的衣服一共多少钱？
（125+62）×8=125×8+62×8=1000+496=1496（元）
（2）一件衣服135元，一条裤子65元，买8套这样的衣服一共多少钱？
135×8+65×8=（135+65）×8=1600（元）
4.需要分解某项才能用乘法分配律解决的问题。
例：（1）书店里有25个书架，每个书架有102本书，一共有多少本书？
25×102=25×（100+2）=25×100+25×2=2550（本）
（2）书店里有25个书架，每个书架能放99本书，一共能放多少本书？
25×99=25×（100-1）=2475（本）
5.需要添一项才能用乘法分配律解决的问题。
例：（1）一本《英汉辞典》36元，书店采购员先购买99本，又购买了1本，一共要付多少钱？
99×36+36=36×99+36×1=（99+1）×36=3600（元）
（2）一本《英汉辞典》29元，书店采购员先购买101本，又退回去1本，采购员买书要花多少钱？
29×101-29=29×101-29×1=29×（101-1）=2900（元）
6.用减法的性质与除法的性质解决的问题。减法的性质与除法的性质形式相同，算理相近，运算符号不同。减法的性质是一个数连续减去两个数，把后两个数合并起来，再从被减数里减去合并得的数；除法的性质是一个数连续除以两个数等于这个数除以两个数的积。
例：（1）书店里有271本《儿童漫画》，9月份卖出126本，10月份卖出74本，还剩多少本？
271-126-74=271-（126+74）=71（本）
（2）书店里有271本《儿童漫画》，9月份卖出126本，10月份卖出71本，还剩多少本？
271-126-71=271-71-126=74（本）
（3）鞋店里有600双鞋，有25个鞋架，每个鞋架有4层，每层放几双鞋？
600÷25÷4=600÷（25×4）=6（双）或600÷25÷4=600÷4÷25=6（双）
不难看出，几乎每一类题型的简便计算都围绕着“凑整”思路展开，一些运算定律或性质有时要正用，有时又需逆用，具体如何运用要结合算式实际灵活处理。计算时，应认真分析题目的类型及数据的特点，利用恰当的方法进行简便计算。
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分类应用文书08-24
分类及应用07-17
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