定值计算

定值计算（精选十篇）

定值计算 篇1

1、过程控制计算机的特点

1.1 硬件组成

(1) 过程控制服务器; (2) 公共硬盘单元; (3) 控制网络; (4) 人机接口网络; (5) 3级计算机网络; (6) 外围设备; (7) UPS电源; (8) 功率分配面板; (9) 电力电缆; (10) 特殊电缆 (光缆) ; (11) 外围设备用的桌椅; (12) 特殊工具 (局域网分析仪) 。

1.2 软件指标

(1) RS90/240操作系统 (Linux+RENIX-EM) ; (2) RS90/240操作平台; (3) 日立Semi-Basic软件; (4) 语言; (5) 终端软件开发的基础软件; (6) 用于HMI的基本软件。

2、过程数据获取

2.1 综述

该功能为酸洗段和连轧段收集并存储数据。

基本的数据处理结构如图2。

二级数据处理结构

对酸洗段而言有3项主要功能:

(1) 事件数据收集; (2) 从1级来的数据信息; (3) 周期采样 (可调采样定时器:10秒) 。

2.2 轧辊管理

备辊数据 (下一轧辊和备辊) 应在换辊前由3级送至2级, 当换辊时, 备辊数据应按当前轧辊数据使用, 然而, 如果下一轧辊信息未能从3级计算机获取, 操作工可通过HMI手动输入轧辊数据以作为备份。所需的轧辊数据如下:

轧辊数据 (机架号, 辊径, 类型) 应送至1级作为基本数据用以进行速度和厚度控制。诸如轧辊号、类型、换辊原因、轧制长度、上下机时间等轧辊数据应在换辊完成后送至3级计算机。在2级计算机中, 轧辊数据用于设定计算。

轧辊管理功能累计轧辊的轧制吨位和长度, 如果轧制吨位和长度超过最大值, 该功能将告知操作工更换轧辊。

3、二级系统的实时数据库系统

3.1 综述

为实现实时系统的高响应性, 日立开发和不断提高了一个实时支持中间软件, 叫做OpenRPDP (RPDP:实时程序开发程序) 和Renix EM (实时-unix模拟器) 。这些中间软件支持很多实时特征。其中的一个为实时数据库管理系统。

3.2 描述

为实现实时应用程序 (任务) 的高响应性, 日立中间软件预先给应用程序分配需要的计算机资源。其中一个最重要的计算机资源是内存 (主和次) , 一个预先分配给内存的任务当事件发生时, 其执行 (响应) 速度要更快。运用这个理论, 主内存的公用数据区 (全局) 和次内存的公用数据区 (本体) 都被指定为实时数据库使用。

3.3 配置

委托继电保护整定值计算申请 篇2

托

书

广州供电局有限公司黄埔供电局：

我公司负责广州市裕东物流股份有限公司用户用电工程（SQ***6），该工程电源由10kV庙头F25裕东物流开关站接取，变压器总容量为5000kVA（2×1250kVA+1×2500 kVA），进线柜1台，出线柜3台，计量柜1台。现委托贵局提供广州市裕东物流股份有限公司高压室继保整定值。

请予以配合，多谢合作！

广东南电建设工程有限公司

****年**月**日

定值计算 篇3

关键词：综保装置；继电保护定值；进线及母联；进线备自投；主风机；变压器；循环水泵；电容器

中图分类号：TU856 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2013）05-0130-02

微机保护和传统的电磁式继电器式保护相比，具有可靠性高、维护调试方便、保护性能好等优点，因而得到了广泛应用，传统的继电器式保护逐渐退出历史舞台。延安炼油厂运用微机保护对40万/年催化装置6kV系统的继电器式保护进行了综合自动化改造，我们将根据微机保护的动作原理、设备的情况和上下级配电室的定值配合等计算出该配电室各类设备的定值。

1 进线及母联

根据延安炼油厂供电系统的实际情况和生产装置电气设备要求，我们对该配电室的6kV进线只投过流保护，在定值计算上主要是和上级老区35kV变电站相配合。上级出线过流定值为：IDZ=1980A，T=0.9s。进线过流定值为：IDZ=1900A；IDZJ=9.5A；T=0.6s（CT变比为1000/5）。母联保护和进线保护在定值上相同。微机保护灵敏度较高，过流保护0.3s的时间差即可避免故障越级跳闸。

2 进线备自投

延炼6kV配电室采用单母分段运行方式，正常时两段进线投入运行，母联处于备用状态。南瑞进线备自投的原理是：运行中的两段进线如有一段被检测到无压无流，将被撤出运行，母联将自动加入运行。备自投进线定值为：母线无压定值U=25V、母线有压定值U=70V、进线无流定值IDJ=0.2A、跳进线开关时间T=2.8s和合母联开关时间T=0.3s。

3 主风机

40万吨/年催化装置共有3台主风机，使用功率型号相同的三相异步电动机，有功功率为1800kW，额定电流为197A，CT变比为300/5。投入了速断保护、过流保护、过负荷保护、低电压保护和PT断线闭锁保护。速断保护主要是预防电机短路现象，定值整定上要躲过电机的启动电流。通常鼠笼型异步电动机的启动电流为额定电流的7倍左右，依据主风机的启动电流情况，速断保护定值整定为：IDZ=2040A、IDZJ=34A、T=0s。

过流保护主要是预防电机的堵转、超载等现象，定值整定上通常为1.5倍的额定电流，时限为8～12s。在使用原高压柜的电磁式继电保护时，在启动阶段我们将过流保护的压板打开，电机启动时间为40s，启动结束后过流保护再投入运行。但使用微机保护后，所有保护共用一个压板，将压板打开会对电网安全运行造成很大风险。过流保护定值整定为：IDZ=295.5A、IDZJ=4.93A、T=40s。40s的延时是为了躲过电机的启动时间而设置的，超过了电机过流保护通常设定时间，存在一定安全隐患，我们将在来年大修时会同继电保护效验单位和南瑞技术人员，看能否启用保护装置的堵转反时限保护来消除此隐患。

过负荷保护是预防电机长时间超载运行对电机线圈造成损害、动作与告警。定值整定上通常为1.2倍的额定电流，时限为8～12s。过负荷保护定值整定为：IDZ=236.4A、IDZJ=3.94A、T=8s。

低电压保护是预防系统停电后，来电瞬间电机突然启动造成风机、泵等机械负载的损坏。低电压保护定值整定为：U=60V、T=9s，在系统停电9s后断路器将自动分闸。投PT断线闭锁保护是预防PT二次保险熔断后，电机误跳闸。

4 循环水泵

40万吨/年催化装置有2台循环水泵，使用功率型号相同的三相异步电动机，有功功率为200kW，额定电流为24A，CT变比为100/5。此电机为直接启动，投入了速断保护、过流保护、低电压保护和PT断线闭锁保护。各类保护整定原则和主风机相同，具体如下：速断保护定值整定为：IDZ=240A、IDZJ=12A、T=0s，过流保护定值整定为：IDZ=37.5A、IDZJ=1.88A、T=8s，低电压保护定值整定为：U=60V、T=9s，投PT断线闭锁保护。

5 变压器

40万吨/年催化装置有2台同型号的干式变压器，容量都是1250kVA，额定电流是115A，CT变比为150/5。按照国家电力部门有关规定容量在2000kVA以上的变压器才需投差动保护，因此本变压器只需投速断保护和过流保护。

变压器的速断保护动作电流应躲过变压器低压侧的最大短路电流和变压器合闸时的励磁涌流，厂用变还应考虑躲过大容量电机的启动电流。根据我们多年的运行经验和本变压器的运行情况，本装置的速断保护整定为额定电流的5.5倍。速断保护整定值为：IDZ=640A、IDZJ=21.3A、T=0s。

变压器的过流保护是为了防止变压器外部短路和长时间过载运行，根据经验我们通常将6kV变压器的过流保护整定为2倍的额定电流，整定时间要和进线相配合，以避免越级跳闸。过流保护整定值为：IDZ=230A、IDZJ=7.67A、T=0.3S。

6 电容器

40万吨/年催化装置配备了两台540kVR的电容器，额定电流为50A，CT变比为150/5。投入了速断保护、过流保护、过电压保护和低电压保护。

电容器的速断保护是为了预防电容器内部有短路或接地现象，在合闸时会对电网造成冲击，在定值整定时要考虑躲过合闸时的冲击电流，我们一般将电容器的速断保护整定为额定电流的5倍。具体为：IDZ=250A、IDZJ=8.4A、T=0S。

根据规程电容器运行电流不能超过1.3倍的额定电流，过流保护整定值为：IDZ=65A、IDZJ=1.3A、T=0.5s。

电容器运行电压不允许超过1.1倍额定电压，超过此值后，电容器内部游离电荷增大，可能发生局部放电。过电压保护定值整定为：U=115V、T=0.3s。

低电压保护是为了预防母线失压后瞬间来电，而电容器的残余电压还未释放，相互叠加将使电容器承受高于1.1倍额定电压，造成损坏。低电压保护定值整定为：U=25V、T=0s。

7 结语

电力系统继电保护定值整定计算对系统的安全平稳运行有很大的影响，如何根据保护装置的动作原理和特点，结合设备的实际情况及运行经验，计算出最适合的继电保护整定值是值得深入研究的课题。

参考文献

[1] 陈英涛.继电保护与综合自动化系统[M].北京：化学工业出版社，2007.

作者简介：董争武（1980-），男，陕西韩城人，延长石油炼化公司项目建设指挥部工程师。

高压电动机微机保护整定值计算 篇4

在高压系统设计时,设计单位通常提供常规的继电保护整定值,而在实际应用中,往往采用微机保护装置进行保护,这样就必须把继电保护整定值转化为所选微机保护装置的整定值。但是微机保护装置种类繁多,各个厂家提供的计算方法各不相同,如何最大程度利用微机保护装置的保护功能,对高压异步电动机提供最完善的保护,成为高压设备设计人员的工作中的难点。

以2#烧结机机尾除尘风机高压异步电动机为例,根据设计单位提供的继电保护整定值,对微机保护整定值的计算过程以及部分整定值的校验问题进行探讨。

1 微机保护整定值的计算步骤

高压设备微机保护整定值的计算,一般需要以下步骤:继电保护整定值;微机保护整定值的计算过程;微机保护整定值的输入;高压设备的调试;部分整定值的校验及补充整定值。

2 微机保护整定值的计算

微机电动机保护装置采用珠海万力达电气股份有限公司生产的MMPR-310Hb-3(2)型,高压电动机参数:Ue=10kV,Pe=1250kW,Ie=85.7A,COSφ=0.89。

2.1 继电保护整定值

设计单位提供2#烧结机机尾除尘风机高压电动机的继电保护参数:Ie=85.7A,nl=150/5=30,Kjx=1,Kgh=1.05,Kq=6.5,Kk1=1.5,Kk2=1.2,Kf=0.85。

2.1.1 瞬时及带时限电流速断保护

电动机继电保护动作电流:Idzj=Kjx×Kk1×Kq×Ie/nl=27.9A。

继电动作电流一次值:Idz1=Idzj×nl/Kjx=863.0A。

2.1.2 延时保护

电动机继电保护动作电流:Idzj=Kjx×Kk2×Kgh×Ie/Kf×nl=4.2A。

继电动作电流一次值:Idz1=Idzj×nl/Kjx=126.0A。

延时时间:按2倍时,22s。

2.1.3 零序保护

零序一次电流值保护取5A,零序互感器变比为30。

2.1.4 低电压保护

低电压保护二次电压取70V,动作时间取1s。

2.2 微机保护整定值的计算过程

根据该公司电动机微机保护的原理,在所有的整定值计算之前需先计算Is:

式中,nl=30,Is为装置的设定电流(电动机实际运行电流反应到TA二次侧的值)。

2.2.1 电流速断保护(正序速断)

按躲过电动机启动电流来整定:Idzj=Kk×Istant/nl,Istant=Kq×Ie,Kk为可靠系数。

由于该公司微机保护的速断定值可将启动时间内和启动时间后分别整定,故需计算2个速断定值:

⑴启动时间内,Kk推荐取1.8,先按继电保护整定值取1.5,如果启动不开,再逐步放大,则Idzj=1.5×557.1/30=27.9A,取27.9A。

⑵启动时间后,由于启动时间后电动机运行电流降为额定电流,对非自启动电机,为防止启动时间之后电动机仍运行在启动电流水平上,推荐使用:Idzj=Kk×Istant/nl,Kk取0.8,则Idzj=0.8×557.1/30=14.9A,取14.9A。该设备不需要自启动。

2.2.2 负序过流保护

继电保护中定时限过电流保护整定和微机保护中不同,推荐使用:

Idzj=Kk×Il/nl。Kk取0.8,则Idzj=0.8×85.7/30=2.3A,取2.3A。

为防止合闸不同期引起的负序电流,推荐延时不小于0.5s。本延时采用2倍时,22s。

2.2.3 接地保护

由于高压电动机发生单相接地时,对设备的危害比较大,所以根据接地电流大小动作不同的信号。

单相接地保护公式为:Idz=Kk×Ic,式中,Kk为可靠系数,若取不带时限的接地保护,Kk取4~5,若带0.5s延时,Kk取1.5~2;Ic为该回路的电容电流。

对本例,拟取带延时的接地保护,延时0.5s,Idz=1.5×5=7.5A。

Idz2=7.5/30=0.25A,取0.25A。

Idz为一次零序电流,但保护装置要求输入的定值是二次侧定值,故应将7.5A换算成二次电流。由于零序TA变比不明,故需用户实际整定时,按计算的一次电流实测二次零序电流,将测得的值输入保护装置。

2.2.4 堵转保护

堵转电流按躲过最大过负荷整定,推荐使用:Idzj=Kk×Ief/nl,式中,Kk为可靠系数,取1.3;Ief为最大过负荷电流,Ief=Kgh×Ie。

则:Idz·j=1.3×90.0/30=3.9A,取4.0A。堵转延时推荐使用1s。

2.2.5 过负荷(过热)保护(初次设定)

该公司微机保护的过负荷判据为:

式中,t为保护动作时间,s;τ1为发热时间常数;I1为电动机运行电流的正序分量,A;I2为电动机运行电流的负序分量,A;Is为装置的设定电流(电动机实际运行额定电流反应到TA二次侧的值);K1为正序电流发热系数,启动时间内可在0~1范围内整定,级差0.01,启动时间过后自动变为1;K2为负序电流发热系数,可在0~10的范围内整定,若无特殊说明,出厂时整定为1。

对采用该公司微机保护的电动机,过负荷保护需整定的参数有:K1、K2、τ1。

K1的整定:由于启动时间内电动机启动电流较大,为防止启动过程中电动机过负荷保护动作,一般K1整定为0.2。

K2的整定:由于一般情况下电动机负序阻抗与正序阻抗之比为1,故一般情况下设为1,用户也可根据具体实例正负序阻抗之比来整定。

由于该高压电动机所驱动设备为风机类负载,启动时间比较长,根据经验先取11s,待空载试车完成后,根据电动机启动电流记录,绘制电动机电流启动曲线,重新确定启动时间。

τ1的整定:电动机最多可连接启动二次,I1=557.1/30=18.57A,I2=0,热保护动作时间t>2×11s,则

τ1=t×[K1(I1/Is)2+K2(I2/Is)2-1.052]=22×[0.2×(18.57/2.86)2-1.052]=161.3,取τ1=162。

返回时间设定:连续启动二次时,中间必须间隔5min后,才允许设备重新启动,但不是设备自启动,返回时间设定取300s。

热报警系数取0.5。

2.2.6 启动时间(初次设定)

按电动机启动时间乘1.2可靠系数整定:tdz=1.2×tstant=1.2×11=13.2s,取14s。

2.2.7 低电压保护

按切除不允许自启动的条件整定,一般取0.6~0.7Ue,整定值取0.5~1.5s的延时,以躲过速断保护动作及电压回路断线引起的误动作。低电压取70V,动作时间取1s。

2.3 微机保护整定值的输入

根据上述计算过程得出整定值,按相应保护的《使用说明书》将整定值输入微机保护装置。

2.4 高压设备的调试

⑴按照高压电动机调试要求进行空载试车、带负荷试车。

注意事项:在调试过程中,发现问题及时查明事故原因,不能盲目、随意放大保护设定值;在带负荷试车时出现过热报警时,在保证设备无问题的情况下,仅有过热保护参数设定不合理或连续试车问题,可以不作处理,待正常启动后,根据绘制的启动过程电流曲线启动时间,重新校对。

⑵读取微机保护装置电机启动电流记录(装置可以支持在电机启动过程中记录保护A相电流有效值,150个,为分析电机启动过程参数,装置记录时间间隔为200ms。)

⑶绘制高压电动机启动过程电流曲线,如图1所示。

2.5 部分整定值的校验及补充整定值

根据高压电动机启动过程电流曲线可知,启动时间为18s,由于每次启动时间因负荷不同而略微不同,故实际启动时间按20s计算,即tstant=20s。

2.5.1 过负荷(过热)保护(校验值)

τ1的整定:电动机最多可连接启动二次,I1=557.1/30=18.57A,I2=0,热保护动作时间t>2×20s,则τ1=t×[K1(I1/Is)2+K2(I2/Is)2-1.052]=40×[0.2×(18.57/2.86)2-1.052]=293,取τ1=293。

2.5.2 启动时间(校验值)

启动时间按实际启动时间的1.2倍整定:tdz=1.2×tstant=1.2×20=24s,取24s。

2.5.3 启动时间过长整定

风机类负载启动时,一般风机风门处于全关或微开状态,所以整定值可以按过负荷状态整定,即启动时间过长电流值整定:

启动时间过长时间整定:按照电动机实际启动时间乘1.5倍可靠系数整定,tqg=1.5×tstant=1.5×20=30s,取30s。

将以上校验值重新输入微机保护装置即可。

参考文献

[1]刘介才.工厂供电(第3版)[M].北京:机械工业出版社,2000

定值计算 篇5

继电保护及安全自动装置整定计算和定值通知单管理标准

鹰潭供电公司继电保护及安全自动装置 整定计算和定值通知单管理标准 范围

为规范鹰潭电网继电保护及安全自动装置整定计算和定值通知单的下达、执行和管理，保证继电保护及安全自动装置的正确可靠动作，特制定本规定。

本标准适用于鹰潭电网调度和继电保护及安全自动装置运行维护单位、各站所，凡涉及整定计算、定值通知单的下达和执行，均须遵守本标准。2 职责

2.1 电力调度通信中心负责本规定的归口管理，并对执行过程进行监督、检查。

2.2 电力调度通信中心继电保护专责负责管辖范围内继电保护及安全自动装置整定值的计算和定值下发。2.3 运行维护单位负责定值通知单的执行和执行情况反馈。3 整定计算

3.1 电力调度通信中心继电保护专责负责管辖范围内继电保护及安全自动装置整定值的计算，计算范围按调度管理规程和相应一、二次设备调度管辖范围划分的文件执行。

3.2 整定计算部门应制定电网继电保护及安全自动装置的整定计算原则，继电保护及安全自动装置整定计算管理流程图见附录A。

3.3 提供整定计算所使用的系统参数和资料应使用正式文件的形式。整定计算部门对系统阻抗图和其他原始资料（含电子版）应有专人维护和校核，确保计算使用正确的参数，并对以前各阶段使用的参数备份，以备查阅。

3.4 新建、扩建、改造工程所需继电保护及安全自动装置定值，由该工程主管部门提前向继电保护定值计算部门提出投产时间，并在工程投产前向继电保护定值计算部门提供一次主接线图及保护图纸、设备规范参数等有关资料（对于改造工程，还应包括与改造工程相关参数）以便安排定值计算工作。提前提供有关资料的时间，遵从如下规定：110kV及以上系统的工程应提前二个月提供，110kV以下系统的工程，应提前15天。超过上述规时间者，保护定值的提交可以顺延。影响如期投产的责任由工程主管部门承担，并对工程主管部门

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继电保护及安全自动装置整定计算和定值通知单管理标准

进行扣罚。

3.5 整定计算过程中，必须严格执行三级审批。计算人负责相关图纸资料的阅读、整理，计算参数的归算，完成整定计算稿的编制和填写定值通知单工作，对计算结果的正确性负责，计算工作完成后，负责计算资料的整理归档；复核人负责对计算的依据、原则的正确性负责，并对计算数据的正确性进行校核；审核人对计算原则和方案的正确性负责。

3.6 整定计算中，如确有配合困难不能满足规程规定需特殊处理的，应征得单位主管生产领导的同意，并将存在问题和解决办法书面报批。对由于电网结构和运行方式造成长期存在的问题及其处理办法，应写入本运行方式中。

3.7 调度在管辖电网运行方式发生重大变化、系统阻抗和交界面定值需改变时以及每年11月30日前，应向相邻各级电网调度提供本系统阻抗和交界面定值配合要求，以便进行配合计算。各级调度间整定计算分界点系统阻抗和保护定值配合的要求，应以书面文件形式相互提供备案。

3.8 整定计算书中至少应包含以下内容：计算依据、计算参数、整定原则、详细的整定计算过程和结果、存在问题及解决办法等。整定计算书应有计算、审核和批准人签字。4 定值通知单

4.1 定值通知单须经三级审批，有计算、复核及审核人签字，并盖下达部门公章后才能下达执行。如不满足以上要求，现场应拒绝执行。继电保护及安全自动装置定值通知单管理流程图见附录B。

4.2 定值通知单应包含设备名称、装置型号和所使用的电流、电压互感器变比、定值项目、备注、执行情况和更改原因等内容。

4.3 继电保护及安全自动装置定值单应按便于分类和查询的原则进行编号，每份定值单的编号应是唯一的。4.4 整定计算部门下发定值通知单，应在定值单通知单发放记录本上登记、签名，并要求拿定值人员在记录表上签字。最新定值通知执行完毕返回整定计算部门后，送达人员应在定值单通知单回执记录本上登记、签名。

4.5 现场保护装置整定值的调整和更改，电力调度通信中心应编制定值更改计划并下发运行维护部门进行，运行维护部门依照规定日期完成。否则按未完成月度生产任务处理，按有关规定进行考核。

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继电保护及安全自动装置整定计算和定值通知单管理标准

4.6 定值单份数至少考虑整定计算部门、继保班、调度室、运行值班现场等，不少于4份。

4.7 定值通知单是现场调整整定值的书面依据。现场对继电保护及安全自动装置定值整定前，须按规定上报检修申请，更改前必须征得值班调度员同意并按调度指令执行。

4.8 定值置入保护装置后，执行人应将定值通知单与装置面板或打印定值进行校对，并保证执行的正确性。执行中如发现疑点、差错或与现场不符时，应及时向整定计算部门或当值调度员提出，不得草率执行。4.9 定值通知单核对、执行完毕后，执行人（现场负责人）应在定值通知单“执行情况”栏签字并填写执行时间后，才允许向当值调度员汇报定值通知单执行完毕。在定值执行三日内将执行完定值单通知单返回到整定部门。如执行中有遗留问题，应及时反馈整定计算部门，整定计算部门负责协调处理，在24小时内落实解决；如无问题或问题处理后，整定计算部门应及时按厂站整理归档。整定计算部门必须有一份完整的、记录定值变更过程的纸质定值通知单存档备查。

4.10 调度部门、整定计算部门、现场运行部门和保护维护部门在定值执行完毕后，保存一份定值通知单原件作为当前运行定值单，并按设备分类存放，以备查阅；整定计算部门还应保存一份被替换通知单作为历史资料归档，已作废定值应盖上“已作废”章，装订成册备查。

4.11 为适应电网特殊运行方式下达执行的临时定值通知单，应按临时单序号编号。电网恢复正常方式和原定值后，临时定值通知单返回整定计算部门。

4.12 整定计算部门出具的调试通知单仅作新投产设备调试使用，不得在运行设备上使用。建设单位在投产前5个工作日必须将调试通知单在调试中存在问题书面返回整定计算部门，调试中无问题也要按时返回说明，对于微机型保护还须提供装置软件版本号和校验码，否则整定计算部门不出正式的基础定值通知单。5 检查与考核

定值电阻在电学实验中的应用 篇6

1. 定值电阻可在电路中当保护电阻使用

定值电阻在电路中可分担部分电压，从而减小其它元件端电压而达到保护作用. 具体电路中定值电阻既可以保护单个实验器材，也可以保护多个元件器材.

例1 请用下表中实验器材设计一电路来测量电流表[A1]的内阻[r1]，并写出[r1]的表达式.

解析 根据器材规格可算出电流表[A1]可承受的最大电压约为0.4V，电流表[A2]可承受的最大电压为0.375V，电流表[A2]内阻已知，故可充当电压表测量电流表[A1]的电压，其量程接近，非常匹配，可以直接将[A2]并联在电流表[A1]两端，但两电表承受的最大电压较电池电动势1.5V小很多，则定值电阻[R1]可串入电路来保护两电表，电路设计如图1所示. 显然 [r1=I2I1r2.]

[图1]

点评 实际上本题定值电阻[R1]除了可以放在支路上保护两个电表外，将定值电阻[R1]放在电源附近的干路上也同样可以起到保护两表的作用，不过这种保护方法在高中设计性实验中非常少见.

2. 扩大电表量程

实验器材中若电流表测电流或测电压量程不够时，可加入定值电阻用来扩大其测量范围.

例1变式1 若例1中待测电流表[A1]内阻[r1]改为约150Ω, 电阻[R1]=2250Ω，其它条件不变,电路该如何设计?

点拨 改后电流表[A1]可承受的最大电压约为1.5V，该电表不再需要保护，这时要保护的是电流表[A2]. 可将电流表[A2]与[R1]串联,再与电流表[A1]并联,电路其它部分保持不变. 换个角度，将电流表[A2]与[R1]串联的目的，既可理解为保护电流表[A2]，同时也可以理解为因[A2]电压量程（0.375V）不够测量1.5V，而不得不串联[R1]以扩充其量程，而扩大后的量程也正好是1.5V, 刚好满足实验设计要求.

3. 定值电阻配合其它器材作电表使用

定值电阻配合两个电流表可做电压表使用. 定值电阻并联电压表可测量电路中的电流作电流表使用.

例1变式2 若例1中定值电阻给的参考值为[R0]=40Ω，电流表[A2]量程为20mA， 内阻约130Ω，其它条件不变，电路又该如何设计？

点拨 因电流表[A2]阻值不确定，它无法再反串电压表角色，要测量电流表[A2]的阻值显然缺电压表，这时可采用如图2所示的电路进行测量，则[r1=I2-I1I1R0.][I2、I1]分别为某次实验时电流表[A2]、[A1]的示数，[R0]是定值电阻的电阻大小.

[图2]

点评 本题定值电阻充当了电压表角色，但是它必须配合两个电流表使用才能具有这个功能，这种功能的使用考查在设计性实验中非常常见.

4. 匹配电表量程

两电表在使用过程中，一个电表指针偏转角度很大而另一电表指针偏转角度过小，这种现象称为量程不匹配，这时只要加入分流或分压定值电阻就可以平衡两电表量程.

例2 电流表的内阻在0.1Ω～0.2Ω之间，现要测量其内阻，可选用的器材如下：A. 待测电流表[A1]（量程0.6A）；B. 电压表[V1]（量程3V，内阻约为2kΩ）；C. 电压表[V2]（量程15V，内阻约为10kΩ）；D. 滑动变阻器[R1]（最大阻值10Ω）；E. 定值电阻[R2]（阻值5Ω）；F. 电源[E]（电动势4V）；G. 电键[S]及导线若干. 画出实验电路图，如测得电压表的读数为[U]，电流表的示数为[I]，则电流表[A1]的内阻的表达式[RA]= .

点拨 很明显，电源的电动势只有4V，如果选择量程为15V的电压表[V2]，则电压表最大的示数不足满偏的[13]，读数误差较大，因此应选择量程为3V的电压表[V1]. 因为有电压表和电流表，要测电流表的内阻，首先想到的是将电压表直接接在电流表的两端，由欧姆定律可求出电流表的内阻. 但由于本题中电流表的内阻很小，在0.1Ω～0.2Ω之间，因此电流表两端的电压也很小，最大为0.12V，这样用最小量程为3V的电压表无法准确读数，所以应将阻值为5Ω定值电阻[R2]串联在电流表中，这样由欧姆定律算出的电阻便是定值电阻及电流表内阻之和，即[RA=UI-R2]. 电路如图3所示.

[图3]

点评 本题引入定值电阻[R2]的目的就是匹配两电表量程，让其分压来调和两表指针偏转不一致的矛盾，有时还可以引入定值电阻让其分流来匹配两电表量程.

5. 充当等效电源内阻使用

在有些电路中需要大内阻的电源，而在实验器材欠缺情况下，可将定值电阻等效充当等效电源内阻使用.

例3 测量电源的电动势[E]及内阻[r]（[E]约为4.5V，[r]约为1.5Ω）.

器材：量程3V的理想电压表[V]，量程0.5A的电流表[A]（具有一定内阻），固定电阻[R]=4Ω，滑线变阻器[R′]，电键K，导线若干.

（1）画出实验电路原理图.

（2）实验中，当电流表读数[I1]时，电压表读数为[U1]；当电流表读数[I2]时，电压表读数为[U2]. 则可以求出[E]= ，[r]= （用[I1]、[I2]、[U1]、[U2]及[R]表示）

解析 （1）电压表若用来测外电压，其量程会太小，故将固定电阻作等效内阻用，可以增加等效内压从而达到减小外压作用，原理如图4所示.

（2）根据闭合电路的欧姆定律，可得[E=U1+I1(r+R)] [E=U2+I2(r+R)]

[图4]

解得[E=U2I1-U1I2I1-I2]，[r=U2-U1I1-I2-R]

点评 实际上，本题给电池串联定值电阻除了上述作用外，在实际实验操作中还可以较明显地改变电路中的路端电压，便于实验操作和多次读取实验数据而达到减小实验误差的目的. 实际在测量新电池的电动势和内阻的学生分组实验时也经常采用这种方法.

6. 多定值电阻可构建更多阻值电阻

实验中若提供两个阻值的定值电阻，此时可将两个电阻串联或并联使用从而获得更多的阻值供选用.

例4 现有器材：量程为10.0mA、内阻约30～40 Ω的电流表一个，定值电阻[R1]=150Ω，定值电阻[R2]=100Ω，单刀单掷开关K，导线若干. 要求利用这些器材测量一干电池（电动势约1.5V）的电动势. 画出电路图并写出待测电源电动势的表达式.

点拨 本题显然考察的是用安箱法测电源电动势，该方法要求外电路中必须提供至少有两个不同阻值的外电阻，若单独用[R1]电路是安全的，但单独用[R2]，电路中的电流就会超过10.0mA而烧毁电流表，所以只能将[R1]和[R2]串联起来再构建一个250Ω的大电阻来工作. 设计电路如图5所示. 得到[E=I1I2I1-I2R2]（[I1]为断开[S2]时电流表的读数，[I2]为闭合[S2]时电流表的读数）.

[图5] [mA]

点评 有时电路中如果只需要小电阻，还可以将[R1]和[R2]并联起来使用.

【练习】

1. 某电流表[mA]的量程为[I0]=50mA，内阻为[r0]=50Ω，其表盘刻度线已模糊不清，要重新通过测量来刻画出从零到满刻度的刻度值，有下列器材：

A. 待测电流表[mA ]

B. 6V直流电源[E]

C. “0～10Ω，1A”标准变阻器[R1]

D. “0～100Ω，50mA”滑动变阻器[R2]

E. “0.6A，0.5Ω”标准电流表[A1]

F. “3A，0.01Ω” 标准电流表[A2]

G. 5Ω定值电阻[R3]

H. 20Ω定值电阻[R4]

I. 开关及导线若干

①应选用的器材有 （只需填写所选器材序号）

②画出实验电路图.

③待测电流表的电流刻度值的表达式[I]= .

2. 现要测量某一电压表的内阻．给定的器材有：待测电压表[V]（量程2V，内阻约4kΩ）；电流表[mA]（量程1.2mA，内阻约500Ω）；直流电源[E]（电动势约2.5V，内阻不计）；固定电阻3个：[R1]＝4000Ω，[R2]＝10000Ω，[R3]＝15000Ω；开关及导线若干．要求测量时两电表指针偏转均超过其量程的一半．

（1）试从3个固定电阻中，选用一个与其它器材一起组成测量电路，并画出测量电路的原理图．（要求电路中各器材用题给定的符号标出）

（2）电路接通后，若电压表的示数为[U]，电流表的示数为[I]，则电压表内阻[RV]＝ .

3. 测量直流电源的电动势[E]及内阻[r]（[E]约为4V，[r]约为2Ω），有下列器材：量程为3V的理想电压表[V]，定值电阻[R1]=24Ω，定值电阻[R2]=4Ω,开关两个，导线若干，试画出测量电路图.

【参考答案】

1. ①ABCEGI

②电路图如图6甲所示

[甲乙] [mA] [mA][图6]

③[I1(RA1+R3)r0]，[I1]为标准电流表[A1]的读数

[RA1]为标准电流表[A1]的内电阻

[r0]为待测电流表的电阻

[R3]为定值电阻阻值

电路图另一解答如图6乙所示，则[I=R3r0+R3I1]…

2. （1）测量电路的原理图如图7所示

[V] [mA][图7]

[R并=2V1.2mA－0.5mA]≈2.9×103Ω

故应选[R1]作为并联的电阻．

（2）由并联分流原理，有[U=I-URV⋅R1]

解得[RV＝RUIR-U].

3. 如图8所示

超导限流器继电保护定值的整定计算 篇7

限流器是在输 (配) 电网发生短路故障时能够将电网短路电流限制在设定的安全幅值之下的电力设备, 集检测、触发和限流于一身, 是电力系统理想的限流装置。由于超导限流器的阻抗特性随短路电流变化而变化, 这就给继电保护定值的整定计算带来了困难。以下介绍其继电保护配置和整定计算方法。

2 超导限流器挂网运行接线

2.1 超导限流器的阻抗特性

超导限流器在系统正常运行时无电阻 (超导体处于超导态) ;在系统发生短路故障时, 迅速产生高阻抗 (超导体处于失超态) , 将故障短路电流限制到较低的水平。当线路故障排除后, 超导限流器可自动恢复超导态为再次限制短路电流做好准备。超导限流器阻抗特性见图1。

2.2 超导限流器挂网运行的接线方式

普吉变超导限流器挂网运行的接线方式见图2。

3 继电保护设计

投入运行时, 超导限流器两侧断路器闭合, 35kV线路341断路器断开, 线路经过超导限流器对此35kV线路供电。退出运行时, 35kV线路341断路器闭合, 超导限流器两侧断路器断开, 线路经过341断路器对此35kV线路供电。当超导限流器故障时, 通过备用电源自投装置动作恢复341断路器供电, 保证继续对线路提供可靠供电。

4 继电保护整定计算原则

35kV超导限流器的运行参数较为特殊, 其短路阻抗不是一个恒定的值, 会随着短路电流的变化而变化。根据其阻抗特性, 结合电网实际短路电流水平, 应把可能出现的最大、最小短路电流作为控制边界。在整定计算中, 限流器短路状态下最大有效阻抗取3.5629Ω (按可能出现的最小短路电流确定) , 最小有效阻抗取0.6064Ω (按可能出现的最大短路电流确定) 。

4.1 341断路器保护

35kV某线路341断路器保护整定原则:过流Ⅰ段按最大方式下躲线末最严重三相短路时的短路电流来整定过流Ⅰ段的保护定值, 保护动作时限为0s;过流Ⅱ段按最小方式下对全线有足够灵敏度来整定, 动作时限为0.3s;过流Ⅲ段按躲最大负荷电流来整定, 动作时限为1.7s;重合闸装置投入运行。

在这样的保护配置下, 35kV某线路全线不仅有主保护还有近后备保护。

4.2 374、375断路器保护

4.2.1 线路保护

仅374断路器配置线路保护, 375断路器配置的保护仅做操作回路和测控使用。374断路器配置的线路保护整定原则与341断路器保护整定原则一致。线路保护动作仅跳开374断路器, 重合闸装置投入运行, 为与电抗器差动保护相配合, 过流Ⅰ段动作时限取0.1s。当375断路器后段的电缆故障时, 由374断路器的线路保护动作跳开故障。而当374断路器前段的电缆故障时, 则由上一级的主变35kV后备保护来跳开故障。

4.2.2 电抗器保护

在374、375断路器之间配置电抗器保护。电抗器保护仅投入差动保护 (包括差动速断) , 保护动作跳开374、375断路器, 不进行重合, 启动备用电源自投装置合上341断路器恢复对线路供电。

4.3 35kV超导限流器备用电源自投装置

1 ) 此套备用电源自投装置仅在超导限流器投运时 (即374、375断路器在合闸位置) 有用, 其他情况均不能动作;

2) 374、375断路器因电抗器保护动作跳闸, 应启动备自投。

3) 结合特殊接线, 此套备用电源自投装置仅投入一种自投方式。

4) 此套备用电源自投装置无电压 (检有、无电压) 判据。

5 结束语

随着超导限流器的挂网运行, 相信超导技术必将会有更加广阔的应用, 掌握其继电保护整定计算的方法显然十分重要。

摘要：介绍了变电站超导限流器挂网运行继电保护配置和整定计算方法。

关键词：超导限流器,继电保护定值,整定计算

参考文献

[1]超导限流器[J].电工技术.2002年第7期.

定值计算 篇8

保护定值校验对于保护逻辑正确性的验证起着重要作用,特别是对保护比率制动系数的校验更是重中之重。然而,主变、母差保护比率系数的调试因涉及大量运算而变得极为繁琐,现场手算时间较长,大大加重了调试人员的劳动强度。在目前年检预试检修周期短、检验项目多而广的趋势下,类似的检验问题将日益突出。为解决此难题,本文利用变量模式设计了一套调试参数自动计算程序,调试人员仅需通过简单设置便可得到想要的调试参数,便于提高工作效率。

1 比率制动系数

电流差动保护作为主保护的首选,其优点在于不受电网接线方式、电网运行方式以及故障类型等方面变化的影响;比率制动系数因动作灵敏、躲外部故障能力强等优点而被广泛应用于变压器保护和母差保护中。但两类保护的系数校验存在一定的差异,本文将对各厂家保护的逻辑进行整理并配置适当参数,以确保其参数计算模式具有通用性。

1.1 母差保护

母差保护系数校验按比率制动系数类型可分为常规和复式两种,其代表保护装置为南瑞继保的RCS-915系列和长园深瑞的BP系列;按电压等级可分为500kV部分和220kV部分,由于220kV部分涉及小差,因此该部分又可分为大差(分位、合位)和小差比率制动系数校验。母差保护系数校验具体分类见表1。

1.2 主变保护

主变保护比率制动系数校验大致分为“星→角”和“角一星”两类(主要针对纵差保护而言),两种方式都是实现电流相位补偿。但“角→星”的优势在于可明确区分涌流和故障的特征,大大加快保护的动作速度,实现励磁涌流分相闭锁,避免了合闸于故障变压器时因励磁涌流闭锁而引起的保护拒动。各厂家以不同侧重点来研发各自的产品,见表2。

对于“星→角”的保护,各主流厂家的保护策略大致相同,仅在细节上略有不同。例如对于纵差保护,各厂家均采用三段式;而对于分相差动保护、分侧差动保护、小区差动保护,长园南瑞、国电南自和许继均采用两段式,北京四方仍采用三段式。对于“角→星”的保护,南瑞继保主要配置带TA饱和判据和不带TA饱和判据的纵差保护、工频变化量差动及零序或分侧差动等功能。为有效验证各类保护的制动斜率,必须对各类保护的动作机理进行整理和对比,以确保计算流程的通用性和可操作性。

2 调试参数自动计算机理

为说明计算流程,本文以长园深瑞和北京四方为例来分别论述母差保护和主变保护各差动比率系数的校验流程。就母差保护而言,复式与常规比率系数校验的唯一区别在于“制动区”的选取,常规为Id>k·Ir,复式为Id>k·(Ir—Id)。其中,Id为动作电流,Ir为制动电流,k为比率系数。

本文以复式为例来阐述比率系数校验值的计算过程。假定调试仪加入两组反向电流I1、I2,初始条件只需给定I1和k就可得到相应的调试定值,试验得到的两组数据可用来自动绘制相应的比率制动系数图和计算出比率系数,计算流程如图1所示。

三段式主变保护的斜率验证需要确定变压器二次额定电流Ie,平衡系数Kh、Km、Kl,三段斜率K1、K2、K3,两个拐点N1、N2,以及差动启动值Jcdqd。以北京四方CSC-326C装置的纵差保护为例来阐述三段斜率验证流程,如图2所示。其具体流程为:各厂家的保护型号和省调定值为已知,可确定其差动动作方程和系统参数,系统参数主要涉及三侧额定容量、额定电压、额定电流、电压变比、电流变比、差动启动值,其目的是得到高压侧的二次额定电流(固定为1,南自固定为)和各侧平衡系数;用户选点主要是便于调试中各段比率区域的择值,选点尽量间隔较远以避免出现较大误差;为了能适用于各类主变保护调试,将上述系统参数和选点设定为用户可整定的变量,通过现场设置便能快速得到Je和Ir,再利用差动动作方程自动计算Id,进而求得电流I1、I2,同时结合各侧电流平衡系数得到加入调试仪的电流理论值(高对低、中对低情况中需考虑补偿相电流定值以确保试验的正确性);在得到两组调试实测值之后,可按照求电流理论值的逆过程来得到相应的比率制动系数,同时利用两组差动电流、制动电流来自动绘制比率制动系数图。因此,确定Ie后,用户只需改变各段的选点倍数Kr便可轻松得到相应的调试理论值;而用户把实际测试值代入程序后,程序将自动计算出实测的差动电流、制动电流以及比率制动系数,并自动绘制出各段的斜率图。

对于两段式的斜率计算,为保持程序的统一性,本文将拐点N1、N2设置为相同;为精确找出各段的分界点,在进行Kr选择时可将其中一个选为其拐点值,以保证绘制出的图纸更为直观标准。

3 变量模式实现过程

变量模式的实现基于上述各保护调试的理论,即借助软件平台(本文采用Excel)将各计算变量进行划分和整合,用户仅需进行简单设置便可得到调试数据。基于变量模式的母差保护实现方式(仅以常规制动系数计算为例)如图3所示。其中,黄底红字部分(图3中①)为各母差保护装置设定的比率制动系数和调试选取值,用于自动计算出加入调试仪的理论值(绿底红字,图3中②),需要在试验前手动录入;蓝底红字部分(图3中③)为现场差动动作实测数据,用于系数计算,需要在试验后手动录入。用户仅需填入黄底红字部分和蓝底红字部分数据,程序将自动为用户提供相应的调试参数理论值和测试所得差动电流、制动电流及比率制动系数。程序提供差动电流启动值的目的是便于试验电流选取(其值大于差动启动值),确保所计算的调试参数与实际吻合。

基于变量模式的主变保护实现方式(以“星→角”纵差保护Ⅱ段为例)如图4所示。由于500kV主变保护分高、中、低三侧,因此,为了完整校验其比率制动系数,就应分成高对中、高对低、中对低三种方式来完成,且用户只需设置选点倍数,就可得到制动电流、差动电流以及调试的理论值I1、I2。为了调试方便,规定在进行实测时I1为最大值。

在设置好选点倍数后,试验仪所加的电流值会自动计算,如图5所示(以A相为例)。对于高对低、中对低而言,在高压侧(中压侧)加试验电流时,相应侧的C相将会出现差流,为使差流为零,需对其进行电流补偿。

调试时可让设置值比理论值稍大,然后逐渐降低其值,蓝底部分(图5中②)即为电流的实测值,用户将实测值填入黄底部分(图5中①)后,程序将通过自动计算来完成数据的返校,将差动电流、制动电流与理论值进行直观比对,很容易判断出所测数据的正确性。程序返校功能比对效果如图6所示。

程序提供自动绘制比率制动系数图形的功能,即将三段的实测值返校后,计算出各自的差动电流及制动电流,并自动绘制图形供用户直观判断和资料归档。高对低的三段比率系数图(以长圆深瑞主变保护为例)如图7所示,该图会根据实测值的变化而及时更新,保证图形的时效性和准确性。

4 结束语

定值问题分类导析 篇9

定值是变量在变化过程中的某种特定状态, 着眼于变量在变化过程中的某个变量.定值问题类型繁多, 一般地讲, 高中数学中的定值问题有两种类型:定数值问题和定点问题, 主要包括代数问题中的定值问题和几何问题中的定值问题, 其中以解析几何中的定值问题最为常见.定值问题的解法更是多变, 因此, 要善于归纳总结, 注意对通性通法的掌握和运用.

下面分类导析, 期望对读者有所帮助.

1 代数中的定值问题

此类问题没有固定类型, 可能是函数 (数列) 问题、方程问题、探索型问题或其它问题, 总的求解原则是消去变量出现定值, 或利用知识点的性质求出定值.

例1 已知函数$f(x)=\log {}_3\frac{\sqrt{3}x}{1-x}‚{\rm M}(x{}_1‚y{}_1)‚{\rm N}(x{}_2‚y{}_2)$是f (x) 图像上的两点, 横坐标为$\frac{1}{2}$的点P满足$2\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}+{\rm O}\overrightarrow{{\rm N}}({\rm O}$为坐标原点) .求证:y1+y2为定值.

分析 有些问题是没有明确解题方向的, 此时只要有耐性, “摸着石头过河”, 大胆前行, 往往会得到意想不到的效果.

证明 由已知可得$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}+\overrightarrow{{\rm O}{\rm N}})$, 所以点P是MN的中点, 有

$\begin{array}{l}x{}_1+x{}_2=1‚\\ y{}_1+y{}_2=f(x{}_1)+f(x{}_2)\\ =\log {}_3\frac{\sqrt{3}x{}_1}{1-x{}_1}+\log {}_3\frac{\sqrt{3}x{}_2}{1-x{}_2}\\ =\log {}_3\frac{3x{}_{1}x{}_2}{1-(x{}_1+x{}_2)+x{}_{1}x{}_2}\\ =\log {}_3\frac{3x{}_{1}x{}_2}{1-1+x{}_{1}x{}_2}=1.\end{array}$

即y1+y2为定值.

点评 此题是函数与向量的综合, 主要考查向量的运算和对数的运算性质的有关知识.

2 解析几何中的定值问题

这是最常见的一类定值问题, 主要体现在3种圆锥曲线的定义中, 这些定值是解决某些圆锥曲线问题的一个重要工具.此外, 在圆锥曲线中, 还有一些定值结论.

例2 已知x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A, B两点, 且OA, OB与x轴正向所成的角分别为α和β.求证:cos (α+β) 为定值.

分析 这里OA, OB为以原点为端点的动射线, 且A, B在单位圆上, 于是可由三角函数的定义解决.

证明 由三角函数的定义可知, A (cos α, sin α) , B (cos β, sin β) .所以

$k{}_{AB}=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\cos \alpha -\cos \beta }=2$,

$\begin{array}{l}\text{即}\frac{2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}{-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}=2‚\\ \tan \frac{\alpha +\beta }{2}=-\frac{1}{2}.\end{array}$

于是$\cos (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}$ (定值) .

点评 涉及到以原点为端点的动射线问题, 往往尝试运用三角知识求解.

例3 已知椭圆$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a＞b＞0)$上一点P (异于短轴的端点) , 点P与短轴的两个端点B1, B2的连线分别交x轴于M, N.求证:|OM|·|ON|为定值.

分析 选用椭圆曲线的参数方程可简化运算.

证明 如图1, 因椭圆的参数方程为

$\{\begin{array}{l}x=a\text{c}\text{o}\text{s}\theta ‚\\ y=b\text{s}\text{i}\text{n}\theta \end{array}(\theta$

为参数) .因此可设与B1, B2不重合的动点P的坐标为 (acos θ, bsin θ) , 且PB1, PB2的斜率均存在.

直线PB1的方程为

$y=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\theta +b}{a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }x-b.$

令y=0, 则

$x=\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }{1+\sin \theta }‚|{\rm O}{\rm M}|=\left|\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }{1+\sin \theta }\right|.$

直线PB2的方程为

$y=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\theta -b}{a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }x+b.$

令y=0, 则

$x=\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }{1-\sin \theta }‚|{\rm O}{\rm N}|=\left|\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }{1-\sin \theta }\right|.$

故 |OM|·|ON|=a2 (定值) .

点评 解圆锥曲线中的定值问题时, 要活用方程的形式, 即根据解题目标, 恰当选用方程的形式, 可以简化解题过程.如处理直线上的动点与直线上定点的距离问题时, 选用直线的参数方程比较简便, 因为它的参数具有特定的几何意义;处理圆锥曲线上的动点与定点 (焦点、顶点、中心等) 问题时, 选用圆锥曲线的参数方程可简化运算.

3 直线过定点问题

直线过定点问题, 在近几年高考及各地模拟题中屡见不鲜, 因其字母繁多, 消元方向模糊, 常常让考生望而却步, 但只要熟知点斜式法、特殊值法、解方程组法、多项式恒等法等常用方法, 此类问题也就别有洞天了.

例4 (2007年高考山东理科卷21) 已知椭圆C的中心在坐标原点, 焦点在x轴上, 椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3, 最小值为1.

(Ⅰ) 求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ) 若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A, B两点 (A, B不是左右顶点) , 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点, 求证:直线l过定点, 并求出该定点的坐标.

分析 对于 (Ⅰ) , 可用待定系数法;对于 (Ⅱ) , 大胆设而不求, 用k表示m, 提出公因式, 问题便豁然开朗.

解 (Ⅰ) 由题意设椭圆的标准方程为

$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a＞b＞0).$

由已知得

a+c=3, a-c=1.

即 a=2, c=1, b2=a2-c2=3.

所以椭圆的标准方程为$\frac{x{}^2}{4}+\frac{y{}^2}{3}=1.$

(Ⅱ) 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 联立

$\{\begin{array}{l}y=kx+m‚\\ \frac{x{}^2}{4}+\frac{y{}^2}{3}=1‚\end{array}$

消去y整理得

$\begin{array}{l}(3+4k{}^2)x{}^2+8mkx+4(m{}^2-3)=0‚\\ \text{Δ}=64m{}^{2}k{}^2-16(3+4k{}^2)(m{}^2-3)＞0.\\ x{}_1+x{}_2=-\frac{8mk}{3+4k{}^2}‚\\ x{}_{1}x{}_2=\frac{4(m{}^2-3)}{3+4k{}^2}‚\\ y{}_{1}y{}_2=(kx{}_1+m)(kx{}_2+m)\\ =k{}^{2}x{}_{1}x{}_2+mk(x{}_1+x{}_2)+m{}^2\\ =\frac{3(m{}^2-4k{}^2)}{3+4k{}^2}.\end{array}$

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D (2, 0) , 所以

$k{}_{AB}\cdot k{}_{BD}=\frac{y{}_1}{x{}_1-2}\cdot \frac{y{}_2}{x{}_2-2}=-1$,

即 y1y2+x1x2-2 (x1+x2) +4=0.

$\begin{array}{l}\text{故}\frac{3(m{}^2-4k{}^2)}{3+4k{}^2}+\frac{4(m{}^2-3)}{3+4k{}^2}+\frac{16mk}{3+4k{}^2}+4=0‚\\ 7m{}^2+16mk+4k{}^2=0.\end{array}$

解得$m{}_1=-2k‚m{}_2=-\frac{2k}{7}$, 且均满足Δ>0.

当m=-2k时, l的方程为y=k (x-2) , 直线过定点 (2, 0) , 与已知矛盾;

当$m=-\frac{2}{7}k$时, l的方程为直线过定点适合题意.所以直线l过定

点评本题在直线过定点的探求中, 引入了x1, y1, x2, y2等众多字母, 充分利用韦达定理消去x1, x2, y1和y2得到k和m的一个方程, 并沿着最终用k表示m的目标前进, 问题便易如反掌.

例5已知直线了l: (2m+1) x+ (m+1) y=7m+4 (x∈R) 及圆P: (x-1) 2+ (y-2) 2=25, 求证:无论m为何实数, 直线l与圆P总是相交的.

分析将直线l的方程变形为

则无论m为何实数, 只要x+y-4=0且2x+y-7=0即可.

证明解由x+y-4=0与2x+y-7=0组成的方程组, 得直线x+y-4=0与直线2x+y-7=0的交点为 (3, 1) , 而 (3-1) 2+ (1-2) 2=5<25, 所以交点 (3, 1) 在圆P的内部.故无论m为何实数, 直线l与圆P总是相交的.

点评要善于运用辨证的观点去思考分析, 在动中寻定, 即直线过定点问题, 一般将直线方程改写成 (A1x+B1y+C1) +λ (A2x+B2y+C2) =0的形式, 则直线恒过直线m:A1x+B1y+C1=0与直线n:A2x+B2y+C2=0的交点.

椭圆的定值问题 篇10

关键词：椭圆,定值,斜率

1.椭圆上的一点到两焦点的距离等于长轴的长. (椭圆的定义可得)

2.椭圆上的一点与两焦点为三角形的顶点所围成的三角形的周长等于长轴的长与焦距的长的和. (由1易得)

3.过椭圆焦点的直线与椭圆的交点与另一焦点为三角形的顶点所围成的三角形的周长为长轴的2倍. (由1易得)

4.椭圆上的一点 (除长轴的端点) 到两焦点的连线斜率的积是定值.

证明 设P, F1, F2分别为椭圆上的点和两焦点, 则$|\mathbf{{\rm P}}\mathbf{F}{}_1|+|\mathbf{{\rm P}}\mathbf{F}{}_2|=2\mathbf{a}\ge \sqrt{|\mathbf{{\rm P}}\mathbf{F}{}_1||\mathbf{{\rm P}}\mathbf{F}{}_2|}$.又|PF1||PF2|≤a2, 所以|PF1||PF2|=a2.

5.椭圆$\frac{\mathbf{x}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$上的点P (除A1, A2) 与长轴的端点A1, A2的连线PA1, PA2的斜率的积为$-\frac{\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}.$

证明 设P (x0, y0) , A1 (-a, 0) , A2 (a, 0) , 有$\frac{\mathbf{x}{}_0^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}_0^2}{\mathbf{b}{}^2}=1$, 得$\mathbf{y}{}_0^2=-\frac{\mathbf{b}{}^2(\mathbf{x}{}_0^2-\mathbf{a}{}^2)}{\mathbf{a}{}^2}$, 则$\mathbf{k}{}_{\mathbf{{\rm P}}\mathbf{A}{}_1}\cdot \mathbf{k}{}_{\mathbf{{\rm P}}\mathbf{A}{}_2}=\frac{\mathbf{y}{}_0^2}{(\mathbf{x}{}_0+\mathbf{a})(\mathbf{x}{}_0-\mathbf{a})}=\frac{\mathbf{y}{}_0^2}{\mathbf{x}{}_0^2-\mathbf{a}{}^2}=-\frac{\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}.$

6.若AB为椭圆$\frac{\mathbf{x}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$的任意一条不平行坐标轴且不过椭圆中心的弦, P为AB的中点, 则直线OP与AB的斜率之积为$-\frac{\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}.$

证明 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则$\mathbf{{\rm P}}\left(\frac{\mathbf{x}{}_1+\mathbf{x}{}_2}{2}‚\frac{\mathbf{y}{}_1+\mathbf{y}{}_2}{2}\right)$, 所以$\mathbf{k}{}_{\mathbf{{\rm O}}\mathbf{{\rm P}}}\cdot \mathbf{k}{}_{\mathbf{A}\mathbf{B}}=\frac{\mathbf{y}{}_1+\mathbf{y}{}_2}{\mathbf{x}{}_1+\mathbf{x}{}_2}\cdot \frac{\mathbf{y}{}_2-\mathbf{y}{}_1}{\mathbf{x}{}_2-\mathbf{x}{}_1}=\frac{\mathbf{y}{}_2^2-\mathbf{y}{}_1^2}{\mathbf{x}{}_2^2-\mathbf{x}{}_1^2}$.又

$\{\begin{array}{l}\frac{\mathbf{x}{}_1^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}_1^2}{\mathbf{b}{}^2}=1‚\\ \frac{\mathbf{x}{}_2^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}_2^2}{\mathbf{b}{}^2}=1‚\end{array}$

两式相减, 得$\frac{\mathbf{x}{}_2^2-\mathbf{x}{}_1^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}_2^2-\mathbf{y}{}_1^2}{\mathbf{b}{}^2}=0$, 所以$\frac{\mathbf{y}{}_2^2-\mathbf{y}{}_1^2}{\mathbf{x}{}_2^2-\mathbf{x}{}_1^2}=-\frac{\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}$, 即$\mathbf{k}{}_{\mathbf{{\rm O}}\mathbf{{\rm P}}}\cdot \mathbf{k}{}_{\mathbf{A}\mathbf{B}}=-\frac{\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}.$

7.过椭圆$\frac{\mathbf{x}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$焦点F的直线 (不是长轴) 交椭圆于P, Q, 与焦点对应的顶点A和点P, Q的连线的斜率kAP, kAQ满足:kAP·kAQ=- (e+1) 2 (其中e为离心率) .

证明 不妨设右焦点F (c, 0) , 右顶点A (a, 0) , 直线PQ的斜率为k.

(1) 当k不存在时, 可得点P, Q的坐标分别是$\left(\mathbf{c}‚\pm \frac{\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{a}}\right)$, 于是

$\begin{array}{l}\mathbf{k}{}_{\mathbf{A}\mathbf{{\rm P}}}\cdot \mathbf{k}{}_{\mathbf{A}\mathbf{Q}}=-\left[\frac{\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{a}(\mathbf{a}-\mathbf{c})}\right]{}^2=-\left[\frac{\mathbf{a}{}^2-\mathbf{c}{}^2}{\mathbf{a}(\mathbf{a}-\mathbf{c})}\right]{}^2=\\ -\left(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\right){}^2=-(\mathbf{e}+1){}^2‚(\text{其}\text{中}\mathbf{e}=\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\text{为}\text{离}\text{心}\text{率}).\end{array}$

(2) 当k存在时, 方程组

$\{\begin{array}{l}\mathbf{y}=\mathbf{k}(\mathbf{x}-\mathbf{c})(1)‚\\ \frac{\mathbf{x}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}=1(2)‚\end{array}(1)$

代入 (2) , 整理得 (a2k2+b2) x2-2a2k2cx+a2 (k2c2-b2) =0.

设P (x1, y1) , Q (x2, y2) , 则$\mathbf{x}{}_1+\mathbf{x}{}_2=\frac{2\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2\mathbf{c}}{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2+\mathbf{b}{}^2}‚\mathbf{x}{}_1\mathbf{x}{}_2=\frac{\mathbf{a}{}^2(\mathbf{k}{}^2\mathbf{c}{}^2-\mathbf{b}{}^2)}{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2+\mathbf{b}{}^2}$, 所以$(\mathbf{x}{}_1-\mathbf{a})(\mathbf{x}{}_2-\mathbf{a})=\mathbf{x}{}_1\mathbf{x}{}_2-\mathbf{a}(\mathbf{x}{}_1+\mathbf{x}{}_2)+\mathbf{a}{}^2=\frac{\mathbf{a}{}^2(\mathbf{k}{}^2\mathbf{c}{}^2-\mathbf{b}{}^2)}{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2+\mathbf{b}{}^2}-\frac{2\mathbf{a}{}^3\mathbf{k}{}^2\mathbf{c}}{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2+\mathbf{b}{}^2}+\mathbf{a}{}^2=\frac{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2(\mathbf{a}-\mathbf{c}){}^2}{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2+\mathbf{b}{}^2}‚\mathbf{y}{}_1\mathbf{y}{}_2=\mathbf{k}{}^2(\mathbf{x}{}_1-\mathbf{c})(\mathbf{x}{}_2-\mathbf{c})=\mathbf{k}{}^2[\mathbf{x}{}_1\mathbf{x}{}_2-\mathbf{c}(\mathbf{x}{}_1+\mathbf{x}{}_2)+\mathbf{c}{}^2]=\frac{\mathbf{k}{}^2[\mathbf{a}{}^2(\mathbf{k}{}^2\mathbf{c}{}^2-\mathbf{b}{}^2)-2\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2\mathbf{c}{}^2+\mathbf{c}{}^2(\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2+\mathbf{b}{}^2)]}{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2+\mathbf{b}{}^2}=-\frac{\mathbf{k}{}^2\mathbf{b}{}^4}{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2+\mathbf{b}{}^2}$, 所以, $\mathbf{k}{}_{\mathbf{A}\mathbf{{\rm P}}}\cdot \mathbf{k}{}_{\mathbf{A}\mathbf{Q}}=\frac{\mathbf{y}{}_1\mathbf{y}{}_2}{(\mathbf{x}{}_1-\mathbf{a})(\mathbf{x}{}_2-\mathbf{a})}=-\frac{\mathbf{k}{}^2\mathbf{b}{}^4}{\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2(\mathbf{a}-\mathbf{c}){}^2}=-\frac{(\mathbf{a}{}^2-\mathbf{c}{}^2){}^2}{\mathbf{a}{}^2(\mathbf{a}-\mathbf{c}){}^2}=-\frac{(\mathbf{a}+\mathbf{c}){}^2}{\mathbf{a}{}^2}=-(\mathbf{e}+1){}^2.$

8.过椭圆$\frac{\mathbf{x}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$的右焦点F的直线l交椭圆于点A, B, 交y轴于点M, 若$\overrightarrow{\mathbf{{\rm M}}\mathbf{A}}=\mathbf{\lambda }{}_1\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{F}}‚\overrightarrow{\mathbf{{\rm M}}\mathbf{B}}=\mathbf{\lambda }{}_2\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{F}}$, 则$\mathbf{\lambda }{}_1+\mathbf{\lambda }{}_2=-\frac{2\mathbf{a}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}.$

证明 (1) 当l与x轴重合时, 不妨设A (-a, 0) , B (a, 0) , 则F (c, 0) , M (0, 0) .由$\overrightarrow{\mathbf{{\rm M}}\mathbf{A}}=\mathbf{\lambda }{}_1\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{F}}‚\overrightarrow{\mathbf{{\rm M}}\mathbf{B}}=\mathbf{\lambda }{}_2\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{F}}$, 得$\mathbf{\lambda }{}_1=-\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}+\mathbf{a}}‚\mathbf{\lambda }{}_2=\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}-\mathbf{a}}$, 所以$\mathbf{\lambda }{}_1+\mathbf{\lambda }{}_2=-\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}+\mathbf{a}}+\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}-\mathbf{a}}=-\frac{2\mathbf{a}{}^2}{\mathbf{a}{}^2-\mathbf{c}{}^2}=-\frac{2\mathbf{a}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}.$

(2) 当l与x轴不重合时, 设M (m, 0) , 联立方程

$\{\begin{array}{l}\frac{\mathbf{x}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}=1(1),\\ \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{c}}+\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{m}}=1(2),\end{array}(2)$

代入 (1) , 整理得 (b2c2+m2a2) y2-2b2c2my-m2a2b2+m2b2c2=0.

则$\mathbf{y}{}_{\mathbf{A}}+\mathbf{y}{}_{\mathbf{B}}=\frac{2\mathbf{b}{}^2\mathbf{c}{}^2\mathbf{m}}{\mathbf{b}{}^2\mathbf{c}{}^2+\mathbf{m}{}^2\mathbf{a}{}^2}‚\mathbf{y}{}_{\mathbf{A}}\cdot \mathbf{y}{}_{\mathbf{B}}=-\frac{\mathbf{m}{}^2\mathbf{b}{}^4}{\mathbf{b}{}^2\mathbf{c}{}^2+\mathbf{m}{}^2\mathbf{a}{}^2}.$

由$\overrightarrow{\mathbf{{\rm M}}\mathbf{A}}=\mathbf{\lambda }{}_1\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{F}}‚\overrightarrow{\mathbf{{\rm M}}\mathbf{B}}=\mathbf{\lambda }{}_2\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{F}}$, 得$\mathbf{\lambda }{}_1=\frac{\mathbf{m}-\mathbf{y}{}_{\mathbf{A}}}{\mathbf{y}{}_{\mathbf{A}}}‚\mathbf{\lambda }{}_2=\frac{\mathbf{m}-\mathbf{y}{}_{\mathbf{B}}}{\mathbf{y}{}_{\mathbf{B}}}‚\mathbf{\lambda }{}_1+\mathbf{\lambda }{}_2=\frac{\mathbf{m}(\mathbf{y}{}_{\mathbf{A}}+\mathbf{y}{}_{\mathbf{B}})-2\mathbf{y}{}_{\mathbf{A}}\mathbf{y}{}_{\mathbf{B}}}{\mathbf{y}{}_{\mathbf{A}}\mathbf{y}{}_{\mathbf{B}}}=\frac{2\mathbf{m}{}^2\mathbf{b}{}^2\mathbf{c}{}^2+2\mathbf{m}{}^2\mathbf{b}{}^4}{-\mathbf{m}{}^2\mathbf{b}{}^4}=-\frac{2(\mathbf{c}{}^2+\mathbf{b}{}^2)}{\mathbf{b}{}^2}=-\frac{2\mathbf{a}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}.$

9.在中心为O的椭圆$\frac{\mathbf{x}{}^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}^2}{\mathbf{b}{}^2}=1$上任取两点P, Q, 使OP⊥OQ, 则$\frac{1}{|\mathbf{{\rm O}}\mathbf{{\rm P}}|{}^2}+\frac{1}{|\mathbf{{\rm O}}\mathbf{Q}|{}^2}=\frac{1}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{1}{\mathbf{b}{}^2}.$

证明 设直线OP的斜率为k.

(1) 当k存在时, 且k≠0.设P (x1, y1) , Q (x2, y2) , 则直线OP, OQ的方程分别为$\mathbf{y}=\mathbf{k}\mathbf{x}‚\mathbf{y}=-\frac{1}{\mathbf{k}}\mathbf{x}$, 由方程组

$\{\begin{array}{l}\mathbf{y}{}_1=\mathbf{k}\mathbf{x}{}_1‚\\ \frac{\mathbf{x}{}_1^2}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{\mathbf{y}{}_1^2}{\mathbf{b}{}^2}=1,\end{array}$

得$\mathbf{x}{}_1^2=\frac{\mathbf{a}{}^2\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{b}{}^2+\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2}‚|\mathbf{{\rm O}}\mathbf{{\rm P}}|{}^2=\mathbf{x}{}_1^2+\mathbf{y}{}_1^2=\mathbf{x}{}_1^2+\mathbf{k}{}^2\mathbf{x}{}_1^2=\frac{\mathbf{a}{}^2\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{b}{}^2+\mathbf{a}{}^2\mathbf{k}{}^2}(1+\mathbf{k}{}^2)$.同理, $|\mathbf{{\rm O}}\mathbf{Q}|{}^2=\mathbf{x}{}_2^2+\mathbf{y}{}_2^2=\mathbf{x}{}_2^2\left(1+\frac{1}{\mathbf{k}{}^2}\right)=\frac{\mathbf{a}{}^2\mathbf{b}{}^2}{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{b}{}^2\mathbf{k}{}^2}\cdot (1+\mathbf{k}{}^2)$, 所以$\frac{1}{|\mathbf{{\rm O}}\mathbf{{\rm P}}|{}^2}+\frac{1}{|\mathbf{{\rm O}}\mathbf{Q}|{}^2}=\frac{1}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{1}{\mathbf{b}{}^2}.$

(2) 当k不存在时, |OP|=b, |OQ|=a.

(3) 当k=0时, |OP|=a, |OQ|=b, 所以$\frac{1}{|\mathbf{{\rm O}}\mathbf{{\rm P}}|{}^2}+\frac{1}{|\mathbf{{\rm O}}\mathbf{Q}|{}^2}=\frac{1}{\mathbf{a}{}^2}+\frac{1}{\mathbf{b}{}^2}$成立.