非线性函数模型

2024-08-07

非线性函数模型（精选八篇）

非线性函数模型篇1

1 半刚性连接的特性

连接的性质是通过传递力或弯矩来体现的。对于梁和柱的连接, 要传递的一组广义力包括轴力, 剪力, 弯矩和扭矩。研究平面问题时, 扭矩影响可以忽略。对于大多数连接与转动变形相比, 轴向变形与剪切变形都很小, 从实用角度看, 可只考虑转动变形。当连接施加一弯矩M时, 它转动角度为θr。图1给出常见梁柱节点形式的节点弯矩和相对转角的关系[2]。

从图1中可以看出节点的M—θr曲线呈现高度的非线性, 描述M—θr关系最通用的方法, 是将试验数据拟合成简单表达式;或者, 如果对某个特定的连接构造没有试验数据时, 就要建立简单的分析方法来计算连接特性。过去已经做了大量的连接试验, 产生了大量的M—θr数据。利用这些现有的数据, 已经建立了各种M—θr模型:线性模型、多项式模型、B样条模型、幂函数模型和指数函数模型等。

2 典型半刚性连接的幂函数模型[3]

Kishi和Chen于1990年[4]提出一种幂函数模型, 其形式为:

它依据三个参数:初始刚度Rki和极限弯矩承载力Mu是计算曲线的限制值, 指数n为形状参数, 用来调节M—θr关系曲线的曲率。这一模型给出的曲线其一阶导数总是正值, 所需参数较少, 使用起来比较方便, 因此能极好地表达各种连接的非线性M—θr特性。

本文拟对半刚性连接应用Kishi和Chen幂函数模型, 将其中Rki和Mu用直观的解析式表达出来, 以方便设计使用, 而形状参数n用曲线拟合方法求得。

2.1 初始刚度的确定

对于初始刚度, 采用以下假定:1) 连接转动中心位于与梁端受压翼缘相连的肢上。2) 与柱相连的角钢肢看作是线弹性, 与梁相连的角钢肢看作是刚体。3) 顶角钢作用如同一悬臂梁, 其固定支承假定在与柱表面相连的肢靠近梁翼缘的螺栓孔边缘。4) 底角钢的伸出肢上的承压应力均匀分布。

2.2 顶角钢

顶角钢的连接见图2。

荷载作用下弹性位移的一般公式[5]:

其中, Mp, Np, Qp分别为实际荷载引起的内力; $\bar{Μ} ‚ \bar{Ν} ‚ \bar{Q}$ 分别为虚设单位荷载引起的内力;κ为考虑到剪应力在截面上分布不均匀而加的修正系数, 见表1。

这里, 实际荷载:Mp=-Px, Np=0, Qp=-P。

虚设单位荷载: $\bar{Μ} = - x ‚ \bar{Ν} = 0 ‚ \bar{Q} = - 1$ 。

所以, $Δ_{1} = \int_{0}^{g_{1}} \frac{(- x) (- Ρ x)}{E Ι} d x + \frac{6}{5} \int_{0}^{g_{1}} \frac{(- 1) (- Ρ)}{G A} d x = \frac{Ρ g_{1}^{3}}{3 E Ι_{t}} + \frac{6 Ρ g_{1}}{5 G A}$ 。

又, $v = 0.3 ‚ G = \frac{E}{2 (1 + v)} = \frac{5}{13} E ‚ A = \frac{12 Ι_{t}}{t_{t}^{2}}$ 。

则 $Δ_{1} = \frac{Ρ g_{1}}{3 E Ι_{t}} (g_{1}^{2} + 0.78 t_{t}^{2})$ 。

根据变形协调及平衡条件, 水平位移Δ与端转角θr之间的关系, 以及连接弯矩M与作用于顶角钢处的梁力P之间的关系:Δ1=d1θr, M=Pd1。

从上几式中消去Δ和P, 可得顶角钢的初始连接刚度为:

2.3 底角钢

底角钢连接见图3。

由于lso/ts较大, 可以忽略剪切变形对位移的影响, 因此:

又因为 $Δ_{2} = l_{s o} θ ‚ Μ = \frac{q l_{s o}^{2}}{2}$ , 则可得底角钢初始连接刚度:

由式 (3) , 式 (4) 可以得到顶底角钢连接的初始刚度:

式 (5) 中, $E Ι_{t} = 2.06 \times 10^{5} \times \frac{l_{t} t_{t}^{3}}{12} ‚ E Ι_{s} = 2.06 \times 10^{5} \times \frac{l_{s} t_{s}^{3}}{12} ‚ d_{1} = d + \frac{t_{t}}{2} + \frac{t_{s}}{2} ‚ g_{1} = g_{t} - \frac{W}{2} - \frac{t_{t}}{2}$ ;lt, tt分别为顶角钢的长度和厚度;ls, ts分别为底角钢的长度和厚度;d为梁高度;gt为顶角钢与柱相连肢的螺栓孔中心到肢背的距离;W为螺栓帽宽度;lso为底角钢伸出肢肢尖到关键截面的距离。

2.4 连接的极限弯矩承载力Mu

利用机构的做功方程, 以及在弯剪关系中利用Drucker的屈服准则 (Drucker, 1956年) , 可以写出一个 (VP/VO) 的四阶方程, 为:

其中, VO=σylttt/2;g2为H1和H2处塑性铰之间的距离。

一旦VP已知 (VP可通过迭代法求得) , 对与受压梁翼缘相连肢上的转动中心 (图2的C点) 求矩, 可得极限弯矩承载力Mu:

其中, M0s为图2中底角钢C点处的塑性弯矩承载力;Mp是顶角钢H2点处的塑性弯矩承载力。

其中, k为角钢底面至圆角顶点之间的距离。

2.5 形状参数n的确定

对于一个给定的连接形式, 利用式 (6) 和式 (7) 算出初始连接刚度和极限弯矩承载力后, 便可调整形状参数n使式 (1) 以最佳方式与试验数据拟合。国外计算n经常引用的经验公式为:

3 结语

钢框架中梁与柱的连接起着在两种构件之间传递弯矩和剪力的作用, 是钢框架的主要组成部分, 节点的刚度和强度直接影响结构的位移和强度, 其性能直接关系到结构的整体反应, 因此对钢结构进行高级分析必须考虑梁柱连接的非线性。本文希望把对半刚性节点非线性幂函数的研究作为切入点, 以期能更好地了解半刚性节点的特性。

摘要：探讨了半刚性连接的特性, 对顶底角钢连接应用非线性幂函数模型进行了分析, 将其中的参数用直观的解析式表达了出来, 以方便设计使用, 帮助工程技术人员更好地了解半刚性节点。

关键词：幂函数模型,半刚性节点,非线性

参考文献

[1]Manual of steel construction-load and resistance factor design (LRFD) , (1994) .2nd Ed.American Institute of School Con-struction (AISC) Inc, Chicago.

[2]陈惠发.钢框架稳定设计[M].周绥平, 译.上海:上海世界图书出版公司, 1999.

[3]Yosuk Kim, Wai-Fah Chen.Design Tables for Top-and-Seat-Anglewith Double Web-Angle Connections[J].Engineering Journal, 2nd Quarter, 1998.

[4]Kishi N, Chen W.F.Moment-Rotation Relations of Semi-RigidConnections with Angles[J].Journal of Structural Engineering, 1990, 116 (7) :1813-1834.

非线性函数模型篇2

作者：杨莉孙浩田兴虎 YANG Li SUN Hao TIAN Xing-hu 作者单位：杨莉,YANG Li(西北工业大学,应用数学系,陕西,西安,710072;西北第二民族学院,信息与计算科学系,宁夏,银川,750021)

孙浩,SUN Hao(西北工业大学,应用数学系,陕西,西安,710072)

田兴虎,TIAN Xing-hu(宁夏大学,数学与计算机学院,宁夏,银川,750021)

非线性函数模型篇3

一、序言:银行卡消费对市场参与者的效用分析

对于持卡人而言, 银行卡带来了便利 (大量的特约商户和A T M组成的网络群) 、安全 (降低了现金被盗或遗失所带来的损失) 、信贷支持 (低成本循环信贷额度) 、增值服务 (消费积分、消费折扣、消费信息挖掘、针对性理财) 和降低持有现金成本 (利息成本、取现时间) 等效用。

对特约商户而言, 加入银联网络有利于扩大销售规模 (信贷消费只能通过信用卡刷卡实现) 、提升商誉 (银联网络具备良好的社会形象, 加入银联具有品牌效用) 、减少现金流通成本 (收到假币风险、现金管理风险、现金流转效率) 等效用。

对于银行而言, 银行卡业务已经成为了重要的收入来源, 多家银行的银行卡业务收入已经超过了佣金收入的30%。考虑到信用卡的透支利息不受贷款利率的限制, 部分产品的年息高达18%, 再加上逾期违约金收入、银行卡年费、刷卡交换费, 以及借记卡等带来的沉淀资金存款效用等, 银行卡业务以其多元化的获利模式正在逐步改善自身的盈利状况。

二、银行卡消费收益函数分析

在对消费者-特约商户-银行卡网络进行分析的过程中, 我们首先给定以下前提:

1. 商户不能对消费者的刷卡支付或现金支付进行价格歧视, 即对消费者而言, 采用现金或者刷卡, 面临的商品成本一致。

2. 消费者采用刷卡消费时, 可以获得包括银行卡积分、消费折扣、便利性, 以及降低现金持有成本、扩展消费约束曲线等效用。

3. 在某一特定的时刻T, 社会中有M个消费者 (包含M1个持卡客户) , N个商户 (包含N1个特约商户) , 消费集有S种商品, 价格为Ps。

4. 以nij表示不存在银行卡网络时, 第j个消费者对第i种商品的消费数量。对于持卡消费者, 消费分为两部分:n1ij表示刷卡消费的部分, n2ji表示现金消费的部分。造成持卡消费者的刷卡、现金消费同时存在的现状由商户环境和随机消费行为因素造成。对于消费刚性需求的产品 (不考虑价格变动因素) , n1ji+n2ji=nji, 对于消费弹性需求产品 (比如零食、装饰品等) , n1ji+nji2≥nij, 假设不存在消费劣质品, 即不存在n1ji+n2ji

在此前提下, 可以构造出消费者、商户和银联的消费收益函数:

(1) 消费者的收益函数

Eq. (1) 中, C0i代表第i种商品的消费效用, I代表刷卡带来的便利性和不持有现金节约的利息成本、取现成本, 考虑到网络效用中, 价值和用户数的平方成正比, 我们定义 , 表示刷卡消费对消费者的效用增量。此种定义保证了当或者=0时, 双边网络不存在, 刷卡效用为0, 并且, 刷卡效用和单位消费价格正相关, 线性体现了现金持有成本的作用。

(2) 商户的收益函数

Eq. (2) 中, C2i表示第i种商品的变动成本, F2j表示商户j的固定成本, m2ji和m1ji分别表示特约商户的采用现金方式销售商品量和刷卡销售商品量, 通常情况下, m2ji+m1ji>mji, 且m1ji正比于M12, 即商户享受了加入网络的网络正向收益。r表示刷卡商品的商户扣率, 现阶段假设和商品销售额成正比。为刷卡消费给商户带来的人力、现金便利等成本节约, 设和总体刷卡消费量相关, 即

(3) 银联的收益函数

Eq. (3) 中, U1和U0分别表示银联对每个特约商户的投入成本和系统固定成本, 是刷卡消费总金额, α3表示信用卡消费带来的利息收入比例, βk1M1表示银行卡沉淀活期资金存款带来的利贷息收入。

三、基于消费收益函数的非线性福利函数

我们考虑一种情况, 假设现在有两个市场参与者A、B, 共同创造且分享利润“1”, 由于网络的双边性, 任何一个参与者退出, 这个利润为0。很明显, 当利润全部给A时, A的效用为1, B的效用为0。问题时, 如果按照r:1-r分配时, 双方的效用比值是否就是 (r:1-r) ?

按照常理推测, 这种情况下, 会发生博弈论里面的“最后通牒”现象, 即, 人们不是按照收益大于成本的法则指导自己的博弈行为, 在极端不公平的情况下, 会发生拒绝合作的过程。即, 假设双方共同创造了价值“1”, 若A为垄断者, 向B提出了自己拿99%, B分配1%的方案, 则大部分情况下B宁可拒绝合作, 即使自己收益为0, 也不愿意拿1%的合作利润。此种情况下, 强调了“公平”对福利的影响, 即认为福利是收益函数和“公平性”的合成。在分析“银商合作”的过程中, 我们必须考虑到这种效应。

由此, 我们建立模型, 假设A、B共同创造了利润“1”, A分配利润r后的效用函数为表示A所处的外界环境因素, 比如谈判力, 交易量, 市场地位等等, r为纯粹的利润分配模式。固定外界因素 , 我们对做泰勒展开:

对做截断至三次项, 即近似定义

其中, {a0, a1, a2, a3}为市场参与者A的特征集, 此组参数决定了A的特征, 并最终决定了最优商户扣率的大小。

Eq. (5) 需要满足下列束缚条件:

加入约束条件, 即极端退化情况下, 效用函数为线性函数 (类比Eq. (3) 的第一项) , 则应有归一化约束a1=1。即此时, a0=0, a1=1, a2=-a3。

2. 单个参与者的效用函数恒大于0。即

即要满足不等式1+a2r-a2r2>0

需要或者 , 可求出

3. 单个参与者的效用函数单调递增。即

二次函数1+2a2r-3a2r2的对称轴为 , 则此时, 要使Eq. (7) 恒成立, 则需要或者 , 即1>a2>-3。

4. 假设有两个完全同质的市场参与者, 则根据公平法则, 双方当利润平分时社会福利应该最大。

即F=Ω (r) +Ω (1-r) 应当在r=0.5时取得最大值。

如果a2∈ (0, 1) , 此函数正好当r=0.5时有最大值。

如果a2∈ (-3, 0) , 则函数当r=0或者1时有最大值1。

注意到a2同时还代表分配福利函数的二阶导数, a2>0代表凸函数, a2<0代表凹函数。由此, 我们得到一个重要的结论:当市场所有参与者的福利分配效用函数Eq. (5) 均为凹函数的时候, 市场达不成合作的均衡状态, 利益会全部趋于某一方, 从而导致双边市场不存在。只有在主流参与者福利分配效用函数Eq. (5) 为凸函数的市场环境下, 市场均衡才可能达到

四、市场的福利最大化前提下参与者的利润分配模式

对于只有两个参与者的市场 (在银行卡网络中, 我们可以认为每个特约商户和银行卡网络组成了这样由两个参与者组成的市场) , 双方的分配比例可以由下面的函数最大值来求出:

1. 当A、B的福利分配效用函数均为凸函数时

以a2=0.5, a’2=0.8为例 (即A的效用特征值为0.5, B的效用特征值为0.8) , 此时, 可以看出, 当A分配44.5%时, 系统得到了最大效用1.165 (图1) 。

进一步的, 我们可以计算出不同的特征值矩阵 (表1) :

即对于A、B均具有凸消费福利函数特性时, 双方的合作可以有效的增加系统总福利, 但福利的分配方式不是线性的。对于对等的双方, 总福利在利润平分的时候最大, 这个结果也和我们常识相符合, 而对于非对等的情况, 比如数列5, A和B的特征量比值是1:9, 但利润分配比是1:1.8;对数列9, A和B的特征量比值是1:3, 但利润分配比是1:1.5;这说明福利函数并不是简单的在A B之间按照贡献分配, 利润分配中, 倾向于多分配给凸性更强 (即对总体系福利贡献更多) 的参与者, 具体的比例存在非线性的函数关系, 需要数值计算求出。这为我们根据社会总福利的最大化来求出利润分配比例 (商户扣率) 提供了很好的工具。

b.当A为凸函数、B为凹函数

以a2=0.5, a’2=-0.8为例, 此时, 存在某个区间使双方合作的总福利小于1, 但随着A分配比例的增大, 总福利逐步增大, 当A分配了总利润的83%时, 系统总福利达到最大值1.039。 (图2)

c.当AB均为凹函数时的状态

以a2=0.5, a’2=-0.8为例, 此时, 双方合作反而导致了共同福利的减少 (图3) 。且在A分配了总利润的44%时, 系统达到了最低总效用0.835, 在两个端点, A或者B获得此图中的最大收益1。这说明, 如果双方都是凹性的福利特征, 则无法达成有效合作。

五、总结:市场耦合总福利效应集

Eq. (1) 、Eq. (2) 和Eq. (3) 分别给出了不考虑利润分配模式情况下, 消费者、商户和银行卡网络各自的收益函数。考虑到客观存在的利润分配模式不同, 会给参与者带来非线性的效用, 我们引入Eq. (6) 来描述分配模式带来的福利增加值, 即定义社会福利=收益函数+分配模式福利增加值。

由此, 我们得到消费者、商户和银行卡网络各自的福利函数:

1. 考虑到消费者没有受到刷卡的价格歧视, 并且没有参与商户扣率分成, 消费者的总福利和特约商户规模有关, 类同收益函数。

2. 对于商户而言, 对每件刷卡商品得到收益 (1-r) Pi, 类比Eq. (6) , 引入福利分配函数, 则有:

相比于, 唯一增加了变量a2j, 代表第j个商户的消费特征值。

3. 同样对于银联, 类比于商户可以得到福利函数:

表示银行卡网络的消费特征值, 这里近似认为银行卡网络是一个整体, 如果考虑到每个收单行有不同的消费特征值, 则可以将此项拆开, 分银行进行福利函数的计算。

因此, 银行卡系统的耦合总福利函数为:

我们可以看出, 对于系统的总福利而言, 系统包含着三个变量:M1/N1/r, 分别表示了持卡消费者 (有选择刷卡和现金消费的自由) 的数量、特约商户的数量和商户扣率。系统的耦合性由扣率r决定, 当r很大, 表示银行卡网络获得了大部分利润, 则相应的商户N1减少, 而持卡M1也被迫选择了更多的现金消费, 从而导致了系统的总福利下降。系统的定量包括商品成本C、商户和银行的效用特征值a2j、a3j, 系统的固定成本F, 以及信用卡信贷消费比例α3、沉淀资金存贷差收益βk1。其中, 商户和银行的消费特征值a2j、a3j需要通过实证研究证明。由于我们选择了单变量函数, 因此对a2j、a3j的实证求解复杂度不高, 具备可操作性;其他定量均可以从财务数据中获得。因此, 从理论上, 我们可以求出不同商户扣率前提下的系统最大福利。根据Eq. (11) 提供的函数, 在系统最大福利的前提下, 兼顾各方福利, 从而寻找到最优的商户扣率, 进一步由于Eq. (11) 对于商户扣率r是可加成的, 因此可以进行分解, 针对不同利润水平 (P-C) 和效用特征值a2j, 求出不同的商户扣率rj, 从而对于银行卡商户扣率分类政策提供了定量工具。

参考文献

[1]蒋嵘涛:银行卡市场价格机制与策略研究中南大学博士论文, 2008

[2]中国银联网站www.chinaunionpay.com

[3]上交所网站, 14家上市银行公司, 2008年年度报表

[4]中国银行卡产业发展报告, 2007年～2008年

[5]胥莉:中国银行卡产业的联网通用与国际化发展上海人民出版社, 2007

[6]马蔚华:银行卡业务营销技巧清华大学出版社, 2008

[7] (美) 曼昆著梁小民等译:经济学原理 (第5版) :北京大学出版社2009

[8] (美) 埃文斯:银行卡时代:消费支付的数字化革命 (第二版) 中国金融出版社, 2006

基于线性基函数模型的虹膜定位篇4

虹膜是环绕瞳孔的灰色区域。虹膜纹理具有随机性、稳定性。亚洲人虹膜色彩通常较深,看起来与瞳孔融为一体,其纹理肉眼难以分辨。但在近红外光下,虹膜纹理清晰呈现,如图1所示。利用虹膜进行身份识别已有近20年的历史,具有速度快、识别率高的优点,是当前生物特征识别技术的一个热点[1,2]。虹膜定位是虹膜身份识别的关键步骤,定位的成败与精度直接影响到后续的纹理特征提取、虹膜匹配等步骤,对整个系统的性能有关键影响[3]。目前应用最广泛的虹膜定位算法,在虹膜图像为圆形时效果很好,但遇到非圆虹膜表现可能大幅下降。而由于眼睛的偏转与虹膜的复杂形状,实际应用中获取的虹膜图像经常是非圆的。另一方面,虹膜识别系统对实时性也有极高的要求。因此,研究速度快、精度高、能应对非圆虹膜的定位算法具有重要的现实意义,也是当前虹膜身份识别领域的热点之一[4]。

1 常用的虹膜定位算法

自从1993年Daugman[5]发表了其虹膜识别领域奠基性的论文,十多年间涌现了大量的虹膜识别算法[4]。其中影响最大的,是Daugman[5]和Wildes[6]的算法,前者也是目前商用虹膜识别系统中应用最普遍的算法。

Daugman用IDO算子(Integrodifferential Operators,圆周差分算子)进行虹膜定位。如式(1)所示,IDO算子在高斯滤波后的虹膜图像中寻找圆周像素值之和差分最大的圆。Wildes首先用Canny算子对虹膜图像做边缘检测,然后如式(2)所示,在边缘图像中用霍夫变换寻找经过最多边缘点的圆。

其中

两种算法都是基于“圆形虹膜”假设的。当虹膜边缘是标准圆的时候,两种算法都可取得优异的定位效果。然而在实际应用中,采集设备获取的虹膜图像常常不是圆的。非圆虹膜主要有两种情况:off-gaze(视线偏轴)与非圆虹膜。当目标视线与摄像头中轴线不重合时,本来是圆形的虹膜在图像中呈现为椭圆,称为off-gaze,如图1(a)所示;尽管人类的虹膜都是封闭的近圆曲线,但大量的数据表明,许多虹膜边缘远非圆形,如图1(b)所示。图1中白色的圆是算法定位的结果,容易看出定位结果与实际虹膜边缘在内边缘附近有肉眼可见的明显偏差,这说明对非圆虹膜,基于“圆形虹膜”假设的算法不可能精确定位虹膜边缘。而研究表明,虹膜内边缘附近区域正是对虹膜定位效果影响最大的区域[7]。2010年,Matey[3]的研究表明,这种定位不精确可能显著降低识别系统的性能。

文献中适用于非圆虹膜的定位算法,主要是椭圆拟合法[8]与动态轮廓线法[9]。然而,椭圆拟合法不适用于卵形、栗形虹膜;动态轮廓线法往往速度较慢,而虹膜识别系统对实时性有较高的要求。

因此,研究能精确定位各种形状虹膜的算法是必要的。通过考察虹膜定位问题的特点,本文从机器学习的角度出发,提出一种基于线性基函数的虹膜定位算法。该算法先粗定位虹膜边缘点,然后用线性基函数模型对边缘点做线性回归,不仅可以准确的定位非圆虹膜,而且速度极快,额外耗时几乎可以忽略不计。

2 基于线性基函数模型的虹膜定位

对非圆虹膜,基于“圆形虹膜”假设的虹膜定位算法不能精确定位虹膜。然而,这些算法仍能大致准确的定位虹膜中心与平均半径。从图1可见,实际的虹膜边缘距离算法定位的结果,往往只有几个到十几个像素的偏差。如果用IDO算子定位虹膜中心与平均半径r,抽出虹膜图像中平均半径上下各H/2像素的环形区域,用式(3)所示的对应关系展开成矩形,如图2所示,那么从图3(a)可见虹膜边缘点基本都落在矩形中。这里(xc,yc)为圆环上点的坐标,(i,hi)为矩形上点的坐标。

然后对矩形图像做一定前处理,并求差分,差分最大的值标记为边缘点,如图3(b)所示,那么只需从边缘点求出边缘函数,由边缘函数求出新边缘点,再按式(3)的对应关系把新边缘点映射回原虹膜图像,就可得到虹膜边缘的定位。这样,虹膜定位问题就转化为机器学习中的回归问题。

该问题有三个主要难点:1)虹膜形状各异,有圆形、椭圆形、卵形、栗形等,虹膜边缘曲线难以用一个参数较少的函数统一描述;2)虹膜边缘通常受到反光、睫毛遮挡、眼皮遮挡等的干扰,造成部分错误数据;3)身份识别系统对实时性要求很高,算法耗时必须极短。综合考虑这三个难点,本文不考虑显示的虹膜边缘函数,亦不考虑非线性回归,转而考虑线性基函数模型。恰当选择基函数,可以无限逼近任何连续函数,即可以模拟各种形状的虹膜;控制基函数的项,可以调整鲁棒度,即可以消除错误数据的影响;函数是线性的,因此运算速度极快。这样,三个难点都得到解决。考虑到在矩形中,最左侧的虹膜边缘点与最右侧的相接,令矩形长度为N,则选择三角函数(cos(2πk/N),sin(2πk/N))(k=1,2,…)为基函数是最自然的,因为这些函数周期是N/k,选择它们为基函数可使边缘曲线两端自然相接。另外,基函数包括奇函数和偶函数,使其能够表达各种形状的曲线。基函数的数量越多,曲线就越不规则,越少,曲线就越平滑。特别的,选择0个基函数时,边缘曲线是圆。大量实验表明,基函数数量为4,基函数函数式为(cos(2π/N),sin(2π/N),cos(4π/N)sin(4π/N))时,即可获得满意效果,既能精确的拟合虹膜边缘,又能消除睫毛等干扰的影响。令边缘点在矩形中的高为{hi},i=1,2,…,N,边缘函数的线性基函数形式写为

其中w=(w0,w1,w2,w3,w4)T。

该函数的平方误差函数为

根据线性基函数模型,最小化该平方误差函数,即可求得线性基函数的参数w。令式(5)的导数为0,求得该问题的解为

求得的边缘函数曲线如图3(c)所示。这个线性基函数运算速度极快,几乎不耗时间。当N=360时,运行在奔腾双核CPU(2.50 GHz、2.49 GHz)上,仅需0.2 ms。而且,(φTφ)-1φT对所有图像都一样,可以事先算好,避免重复计算,进一步节省运算时间。

3 仿真实验及结果分析

仿真实验所用的虹膜图像来自于中科院自动化所模式识别国家重点实验室的虹膜图像数据库CASIA-Iris V3-Interval。CASIA-Iris V3-Interval使用中科院自制的虹膜图像采集设备,共有395只眼睛、2 639幅图像,图像解析度为320×280。选择这个数据库的原因,是该库包含大量非圆虹膜,而且瞳孔受光斑的干扰严重,部分图像虹膜区域受睫毛、眼皮遮挡严重,适合验证本文算法的有效性。

实验采用Matlab R2007a编程,运行在奔腾双核CPU E5200(2.50 GHz、2.49 GHz),内存3 GB的个人计算机上。实验结果主要从以下两个方面衡量。

1)定位准确率。CASIA-Iris V3-Interval未提供虹膜定位数据信息,因此,本文由人主观判断定位是否准确。虹膜定位结果被绘制在虹膜图像上,人通过观察判断定位是否准确。标准是:定位结果与人的主观判断没有明显的偏差。

2)定位时间。所提方法由两步组成:用IDO方法粗定位,与用线性基函数精定位。实验中主要关注的是,所提算法在精定位阶段的时间消耗。

所提方法的定位效果如图4所示。

由图4可见,对off-gaze导致的椭圆形虹膜图像,如图4(a)、(d)所示;与虹膜自身几何形状导致的非圆虹膜图像,如图4(b)、(c)所示;所提算法都能精确定位虹膜边缘,定位结果与人的主观判断吻合。而按照本文判断定位准确的标准,基于“圆形虹膜”假设的定位算法,如Wildes的算法及商业系统中应用最广的Daugman的IDO算子,对这些虹膜图像都定位失败,尽管它们能大致准确的定位虹膜圆心和半径。对受到反光、遮挡的影响严重的虹膜图像,如边缘严重反光的图4(a)、(c)、睫毛遮挡严重的图4(b)、(d)、受眼皮遮挡影响的图4(d),所提算法亦能精确定位边缘。实验结果表明,所提算法能精确定位非圆虹膜,而且能消除反光、遮挡的影响,具有良好的鲁棒性。

与Daugman的IDO算子、Wildes算法、Daugman的AC算法(Active Contour,动态轮廓线)[9]三种定位方法相比,定位准确率与定位时间如表1所示。

由表1可见,与基于“圆形虹膜”假设的定位算法相比,所提算法定位精度极大提高,定位时间与用时最短的方法相比有微小增加。这是因为所提算法是由两个部分组成的:虹膜圆心、半径的粗略定位;与基于线性基函数的精确定位。前者正是基于“圆形虹膜”假设的定位算法,后者消耗的时间正是精确定位所用的时间,这段时间极短,大约1 ms。与同样适用于非圆虹膜的Daugman的AC算法相比,定位精度相同,定位时间大大减小。AC算法与所提算法本质上都由粗定位、精定位两段组成。使用同样的粗定位算法,实现同样的精度提升,AC算法要多消耗17 ms,所提算法仅多消耗1 ms,达到精确定位需要的额外时间只有AC算法的6%。对比实验的结果表明,所提算法能有效实现各种形状虹膜的精确定位,而且定位时间极短。

4 结论

本文提出了一种基于线性基函数的虹膜定位算法。该算法先粗定位虹膜边缘点,然后把虹膜定位问题看做从边缘点求得边缘曲线的回归问题,并利用机器学习中的线性基函数模型,对边缘函数的线性基函数形式做线性回归,实现了虹膜的精确高效定位。与常用的虹膜定位算法相比,所提算法能精确定位圆形虹膜与非圆虹膜,而且速度极快,只需要额外消耗1 ms的时间。

当虹膜边缘受反光、遮挡影响更为严重的时候,所提算法仍存在需要改进之处。线性基函数模型要求误差近似的呈正态分布,大量的错误数据使该前提难以成立。此时就需要引入鲁棒回归,建立鲁棒的数学模型,就可实现精确定位。

参考文献

[1]Jain A K,Flynn P,Ross A A.Handbook of Biometrics[M].Springer,2007.

[2]Matey J R,Kennell L R.Iris Recognition-Beyond One Meter[M]//Handbook of Remote Biometrics,Advances in Pattern Recognition.London:Springer,2009:23.

[3]Matey J R,Broussard R,Kennell L.Iris image segmentation and sub-optimal images[J].Image and Vision Computing(S0262-8856),2010,28:215-222.

[4]Bowyer K W,Hollingsworth K P,Flynn P J.Image understanding for iris biometrics:a survey[J].Computer Vision and Image Understanding(S1077-3142),2008,110(2):281-307.

[5]Daugman J.High confidence visual recognition of persons by a test of statistical independence[J].IEEE Trans.Pattern Anal.Mach.Intell(S0162-8828),1993,15(11):1148-1161.

[6]Wildes R P.Iris recognition:An emerging biometric technology[J].Proceedings of the IEEE(S0018-9219),1997,85(9):1348-1363.

[7]Hollingsworth K P,Bowyer K W.The best bits in an iris code[J].IEEE Trans.Pattern Anal.Mach.Intell(S0162-8828),2009,31(6):964-973.

[8]Abhyankar A,Hornak L,Schuckers S.Off-angle iris recognition using bi-orthogonal wavelet network system[C]//Fourth IEEE Workshop on Automatic Identification Advanced Technologies,Buffalo,NY,USA,Oct17-18,2005:239-244.

非线性函数模型篇5

建立较为客观的生态农业经济效益评价模型能够有效描述当前生态农业的发展状态,准确反映生态农业建设过程中经济效益方面的情况,科学地评价生态农业建设程度,有利于对生态农业发展前景进行预测分析,协调解决发展过程中难题,顺利推动生态农业建设。因此,本文试图建立能够评价单一型和混合型产业的生态农业的模型来衡量其经济效益,并对两种模型进行比较分析。

1 经济效益评价模型指标的设置原则

建立评价模型旨在运用一定评价方法选取一系列指标对生态农业模式进行分析,便于衡量某一生态农业发展模式的优劣,探寻其内在机制和原因,为生态农业建设提供建设性意见。因而,模型指标的设置应遵循以下几个原则。

1.1 系统性和独立性原则

选取的评价指标应符合系统分析原理,能够比较真实地反映生态农业各因素之间的内在联系,对被评价区域或模式的经济效益能够有较为全面的反映。同时,选取的各项指标要不存在线性相关性,必须具备独立性。

1.2 可比性和可行性原则

建立评价模型要有较为广泛的适用性,能够抓住不同模式、不同区域生态农业的共同属性,便于对模式不同、区域不同的生态农业发展水平进行对比分析,进而找出不同生态农业建设进程中的薄弱环节及存在的问题,为制定有关政策及改进措施提供参考依据。当然,选取的指标要具有现实可行性,设置的指标要具有代表性,概念要明确,繁简相宜,对其中可测性指标要尽可能建立函数关系,指标所需的数据要易得,计算要简便,具有可操作性。

1.3 实效性和导向性原则

实效性原则就是指标的设置应该能反映当前生态农业的现状,对生态农业发展过程中好的方面及存在的问题有较为直观的表现,便于总结经验,探究问题存在的原因,对现实生态农业产业发展具有一定的现实意义。另外,指标的选取、权重的确定要在一定程度上参考生态农业发达地区的情况和前沿发展趋势,对现实产业的发展方向发挥一定的导向性。

2 经济效益评价模型的构建

2.1 基于AHP法及Delphi调查的线性函数模型

由于生态农业系统的结构较为复杂,因此,可以采用APH法(多目标决策中的层次分析法,Analytic Hierarchy Process,简称AHP),把目标分成若干层,即总目标为第一层,分目标为中间层,影响分目标的各种条件和因素为最低层。然后根据第一层与中间层、中间层与最低层的相互联系,依次画出分层图,把复杂的目标化层次化,再用线性方程表示。

2.1.1 建立评价指标体系

根据选择评价指标的原则,以及生态农业经济效益的特点,在广泛征求生态农业领域专家学者的基础上,运用AHP法将生态农业的经济效益分成三个准则,也即生产能力、盈利能力、竞争能力,并将影响三个准则的因素或条件分解为对应指标。在评价指标的选取过程中,首先通过定性分析对预选指标进行筛选,形成初级指标,然后搜集初级指标数据,运用线性相关分析、主成分分析等,剔除掉存在线性相关性及对总目标影响因素小的指标,最终形成了具有1个总目标、3项子目标、7个具体指标的三层次的评价指标体系(见图1)。

(1)衡量生产能力的指标

第二,产出稳定性。要提高农业生产的可预测性及产业化企业的竞争力,进而提高经济效益,就不能不考虑稳定的农业产出。一般来说,其他经济指标同等的企业,产出稳定性较强的系统更优。

衡量产出的稳定性主要从产量、产值、投入三方面考虑,评价方法主要从期望、标准差及波动值入手。第一步,计算某一阶段内的单位面积产量、产值、投入的数学期望。第二步,计算同一时段间内产量、产值、投入的标准差。第三步,计算同一时段内的波动幅度。用标准差系数的倒数表示。第四步,按照一定计算方法将波动幅度折算成数值。折算数值方法[1]如下:根据计算出来的波动幅度打分,波动幅度在5%以下折算100分,在5~10%之间折算90分,在10%~15%之间折算80分,15%~20%之间折70分,20%~25%之间折算60分,25%~30%折算50分,依此类推。第五步,根据公式计算加权平均数。

2.1.2 权重的确定

采用德尔菲法确定评价模型中相关线性方程中涉及的权重。德尔菲法(Delphi Method),又称专家规定程序调查法。该方法指调查者首先选取专家组成员,然后拟定调查表,采取各种有效方式向专家进行征询,受征询的专家则根据个人学识与经验进行打分并反馈。当遇到某项指标的评定意见不集中时,则需重复上述方法,直至意见逐步趋于集中,最终获得理想的判断结果。在基于AHP法及Delphi调查的线性函数模型中,只需对公式(1)~(6)使用Delphi即可得出线性方程公式,然后再搜集所需相关数据,即可对某一地区生态农业的经济效益进行评价。

2.2 基于生产要素组合的柯布-道格拉斯函数模型

柯布—道格拉斯(Cobb-Douglos)生产函数模型[2]主要反映了在一定技术条件下,生产要素的某种组合同它可能生产的最大产出量之间的数量关系。故而从生产要素方面入手,构建生产函数亦可对生态农业的经济效益进行分析评价。当前生态农业的发展情况来看,生态农业有三种主要业态,即种植业、畜牧业、观光业。选择农业总产值作为衡量生态农业经济效益指标的主目标,则可从影响种植业、畜牧业和生态农业的生产要素的入手,构建函数模型的相关指标。

(1)影响种植业的生产要素。人均种植面积,人均粮食产量:主要反映了种植业的收入情况。

(2)影响畜牧业的生产要素。人均肉食产量:该指标主要反映了喂养家畜的规模。

人均牲畜头数:牲畜头数是衡量畜牧业产值的重要指标。

(3)影响生态观光业的生产要素。年均旅游人数与人均消费。

根据影响生态农业总产值的生产因素,构建影响生态农业经济效益的生产函数:

3 两大模型的比较分析

基于AHP法及Delphi调查的线性函数模型,对众多指标用科学的方法进行选取,层次清楚,各影响要素一目了然,同时对一些未量化的指标建立模型,进行科学合理的量化。线性模型运算简单,但模型运算过程涉及指标多、计算多、数据多、运算误差较大。采用的Delphi调查法主要基于经验,人为因素影响大,所求得的估计值可能存在一定偏差。对于单一产业类型的生态农业经济效益评价较为理想,对混合型产业的生态农业则处理较为繁琐。

基于生产要素组合的柯布—道格拉斯函数模型则是建立在对数据进行充分挖掘的基础之上的,通过各指标数据的综合分析,得出评价模型。由模型找数据,模型从数据中来,定量分析与定性分析相结合具有较强的说服力,而且在构建模型中搜集了大量的实验数据,对建立更合理的评价模型具有参考价值。模型不仅指标简洁,而且各项系数均由计算得出,较为客观,但模型所需数据庞大,计算比较繁琐。

参考文献

[1]徐明峰.生态农业产业化绩效评价研究[D].大连理工大学,2005.

[2]王建.阴山北麓中部地区生态农业综合效益评价[D].内蒙古农业大学,2007.

非线性预测函数控制研究与应用篇6

预测函数控制PFC (Predictive Functional Control)作为第三代模型预测控制[1,2],目前的应用主要针对线性系统,而实际工业生产过程中纯线性系统是不存在的。因此,当PFC的被控对象为弱非线性时,可以看成模型失配。而当被控对象为强非线性时,基于线性预测模型的PFC则难以得到满意的控制效果。因此,非线性预测函数控制NPFC(Nonlinear PFC)成为控制界的研究重点。其中,一种切实可行的方法是将非线性模型在工作点附近线性化,从而将优化问题转化为线性二次规划问题的求解,这种多模型的PFC有一些应用成果[3]。其余方法主要是研究非线性预测模型。图1为PFC控制系统,可以看出,只要把PFC中的预测模型换为非线性模型,则算法就变为基于非线性预测模型的NPFC。

本文在简要介绍模糊模型(T-S模型)、神经网络模型等智能型非线性预测模型的基础上,重点研究了基于特征模型的非线性预测函数控制NPFCCM(NPFC based on Characteristic Model)。并针对连续搅拌式罐反应器(CSTR)的温度控制和电厂球磨机入口负压的控制开展了应用研究。研究表明NPFCCM仍具有PFC算法简单、在线运算速度快的优点。

2 基于智能模型的非线性预测模型

目前,基于智能模型的非线性预测模型主要有模糊模型和神经网络模型,它们的共同点都是利用自身的非线性特性来逼近非线性动态系统。其中,比较普遍采用的模糊模型是T-S模型[4]。T-S模型的主要思想是把输入空间分成若干个模糊子空间,在每个模糊子空间里建立关于输入-输出的简单线性关系模型。模糊规则的前件表示模糊子空间,后件表示在这个模糊子空间里输入-输出的线性关系。T-S模型的主要特征就是以线性函数表示每一个模糊蕴涵的局部特性,总的模糊系统输出则通过这些线性函数的模糊“融合”而得到。T-S模型本质上是非线性的,这使得T-S模型能以任意精度逼近非线性动态系统。采用模糊模型的优点在于可以获得比较精确的非线性对象模型,但缺点是准线性时变方程的求解比较困难,尤其在多步预测时计算工作量巨大。

人工神经网络(ANN)由众多简单神经元组成且能表现出极为复杂的动态行为特性。基于神经网络的非线性预测模型的主要设计思想是:利用1个或多个神经网络,对非线性系统的过程信息进行前向多步预测[5]。ANN作为非线性预测模型存在的问题主要为:如果系统的阶次估计过低,则模型的精度不够;如果系统的阶次估计过高,则会增加辨识的计算量,增加计算时间,并且所得模型的泛化能力恶化,预测精度不够。事实上,事先确定出一个系统(尤其是非线性系统)的阶次是比较困难的。

3 基于特征模型的非线性预测模型

在工业控制中,总是希望在有效控制下被控对象的模型尽量简化,建立被控对象的特征模型[6,7,8,9]就是基于这一想法。这种特征模型,是结合对象的动力学特征和控制性能要求,用一个二阶的慢时变线性模型表征原先的被控对象。

特征模型描述的基本原则是:

a.在同样输入控制作用下,对象特征模型和实际对象在输出上是等价的(即在动态过程中能保持在允许的输出误差内),在稳定情况下输出是相等的;

b.特征模型的形式和阶次除考虑对象特征外,主要取决于控制性能要求;

c.特征模型是把高阶模型的有关信息都压缩到几个特征参数之中,并不丢失信息,一般情况下特征模型用二阶慢时变差分方程描述。

因此,特征模型的形式应比原对象动力学方程简单,工程实现容易、方便。这里主要讨论式(1)所描述的非线性系统的特征模型:

如果令x=x1,x=x2,…,x(n)=xn+1,u=u1,u=u2,…,u(m)=um+1,则式(1)可写为

假设该非线性系统具有如下特点:

a.系统为单输入单输出且可控;

b.控制量u(t)其方次为1;

c.f(·)中全部自变量xi、ui为零时,则f(·)=0;

d.f(·)对所有自变量是连续可导,各偏导数值有界;

e.|f(x(t+Δt),u(t+Δt)-f(x(t),u(t))|

f.自变量xi、ui是有界的。

这样,这一类非线性系统可用如下线性系统表示:

这是因为根据假设a,有

根据假设b和中值定理:

式中i=1,2,…,n+1,ri为0～xi的某个数;j=1,2,…,m+1,为0～uj的某个数;zi=(x1,…,xi),。

则式(3)可写为

其中,α1(x1)=f(x1,0,…,0)/x1,为x1的函数;β1(·)=f(x1,…,xn+1,u1,0,…0)/u1。

因为u的方次为1,所以β(·)也只是(x1,…,xn+1)的函数。Fx(·)为xi的函数(i=1,2,…,;n+1),F2(·)为xi和uj的函数(i=1,2,…,n+1;j=1,2,…,m+1)。

定义:

将式(5)和式(6)相加,然后根据近似离散化方法,可得:

为实现标准化,可将式(8)写成:

式(9)与原系统是动态等价,稳态相等。因为在动态过程中,虽然W≠0,但F(k)有界,(Δt)2F(k)很小,引起的误差也很小。式(9)中,当Δt取值较小时,fi(k)、gi(k)均为慢时变。

若再考虑纯滞后,可用一个二阶时变差分方程形式描述上面的非线性对象:

比较起前面介绍的非线性预测模型,采用二阶特征模型作为预测函数控制的预测模型,可以减小预测模型与被控对象之间的失配,从而获得更好的控制效果。由于模型为慢时变的,同样也面临在线计算的工作量较大的问题。在实际应用中,通常采用测试建模法获取特征模型,通过在不同的工作条件下测试非线性对象,可以获得一族曲线,利用系数区间来表示特征方程中的系数,这样可以得到式(11)的特征模型。

式(11)表示的是线性定常的二阶模型,但方程的系数由参数区间表示,这种模型的实质也是多模型切换。这样做的优点就在于避免了参数在线辨识,使得控制算法简单、速度运算快。

4 应用研究

4.1 连续搅拌式罐反应器控制

连续搅拌式罐反应器的非线性模型理论上近似为

式中Ci、Co为进料与出料流量;Ti、To为进料与出料温度;Q、Th为加热源的流量与温度;V为反应器容积;其他为相关系数。

整个实验研究基于浙江中控的JX-300X计算机集散控制系统(DCS),反应器的温度测量采用PT100,考虑到出口流量与液位存在对应关系,通过控制液位Ho(容积)来控制出口流量,液位测量采用压差传感器。因此将出口阀门设置为手操器方式,输入流量的调节阀作为执行器。温度测量信号与液位测量信号直接接入DCS的输入卡,2个执行器(输入调节阀、电加热装置)的输入信号均为4～20mA,直接接至DCS的输出卡。由此可见,该系统为双输入双输出系统。在进行测试法建模时,通过把2个执行器均设为手操器方式,依次改变操纵量,记录输出量的方法,从而获取被控对象的一族数学模型,其传递函数的通式为

由式(13)可以看出,流量(或液位、容积)与温度之间存在耦合。为了体现特征模型的优越性,在此未采取解耦的方法。式(13)为二阶模型,它可以很方便地转化为式(11)的形式。

基于NPFCCM的控制算法利用JX-300X所提供的SCX语言编写。在监控画面上可以获得图2所示的控制曲线。其中,1为温度控制的操纵量,2为温度设定值,3为实际温度测量值,4为液位(容积)变化曲线。可以看出,对于阶跃给定(温度值由30℃变为45℃),实际温度基本无超调,上升速度快。有意识增加扰动(改变液位),温度变化也很小。由此可以看出,基于特征模型的预测函数控制算法的鲁棒性更强。

4.2 球磨机控制研究

球磨机是电厂重要的自动化装置[10],球磨机本身是一个包含了机械能量转换、热交换的复杂过程。球磨机的输入一般有冷风量、热风量和给煤量,被控制量有入口负压、出口温度和磨负荷。其中入口负压主要受冷风量和热风量的影响,其非线性特性比较严重,理论模型难以建立。针对入口负压的控制问题,采取NPFCCM的控制算法加以控制。同样可以方便获取式(11)形式的特征模型,通过控制加入球磨机热风量与冷风量的比值,实现对球磨机入口负压的控制。图3为Matlab仿真的结果,纵轴y为输出响应。

5 结语

实际生产过程(包括电力系统)中非线性现象十分常见。本文就如何将预测函数控制的应用推广到非线性系统做了一些探讨。采用模糊模型和神经网络模型作为非线性预测模型,虽然在理论上可以比较准确地反映出非线性对象的特性,但在实际应用中,这些非线性预测模型的建立并不容易。相比之下,通过测试法建模获取对象的二阶特征模型则显得可行。本文将特征模型引入非线性预测函数控制,并利用参数区间解决变系数的参数在线辨识,减小了在线计算工作量。特征模型既可以表征高阶的线性对象,也可以表征一般的非线性对象,因此,构建在特征模型基础上的预测函数控制算法的适应性较好。

摘要：针对非线性预测函数控制，分析了基于智能模型的非线性预测模型的优缺点，提出基于特征模型的非线性预测模型。其结合被控对象的动力学特征和控制性能要求，用一个二阶的慢时变线性模型表征原先的被控对象，适用于高阶线性对象和一般的非线性对象。将特征模型作为非线性预测模型，即可获得基于特征模型的非线性预测函数控制算法。提出利用测试建模法获取特征模型，通过在不同的工作条件下测试非线性对象，获得一族曲线，利用系数区间表示特征方程中的系数，避免了特征模型慢时变参数的在线辨识问题，从而使该算法具有运算速度快、控制性能优、适用范围广的特点。结合连续搅拌式罐反应器的温度控制和电厂球磨机入口负压的控制开展了应用研究。

一种非线性函数线性化的处理方法篇7

解决非线性特性的方法有硬件电路校正和软件数据处理。现在自动检测仪表大都由单片机控制, 采用软件处理非线性, 方法有: (1) 根据函数关系式计算; (2) 列出在测量范围内所有取值, 用查表法求取; (3) 直线方程校正法, 本文讨论这一方法。

1 拟合原理与步骤

分段折线拟合是在允许误差范围内, 在函数曲线上取若干点, 连成几段直线段即折线, 来近似代替曲线。如果直线位于曲线上方, 则除了端点外, 精确值总是小于近似值, 误差为负值;反之, 如果直线位于曲线下方, 精确值总是大于近似值, 误差为正值。如图1所示, 以直线l1近似拟合曲线, 误差为负值。在A点处误差最大, 记为εm, 其余各点误差均小于εm。如果将l1向下平移εm/2, 至l2处, 以l2来拟合曲线, 则最大误差减少到一半, 误差有正有负。显然, 在相同的误差范围内, 这样的方法来拟合整条曲线分段数较少, 有利于简化数据处理。求解l2较为不便, 可以先求出l1的方程y=kx+d, 然后向上 (直线位于曲线下方) 或向下 (直线位于曲线上方) 平移εm/2,

即以代替, 下面以指数曲线为例来说明。氧化锆氧传感器在7200C温度下, 氧浓度y (%) 与其产生的氧电势x (m V) 之间成指数关系:

量程为0~10%。因y→0时, x将非常大且不准确, 实际测量下限取0.1%。y~x对照见表1。

用黄金分割法求解拟合直线方程。参见图2, 从测量上限y1开始。

x的取值上下限之差为l。第1黄金分割点为x2=x1+0.618l, 第2黄金分

割点为x2=x1+0.6182l……, 第i黄金分割点为x2=x1+0.618il。直线方程l1为:

yi=k (x+x1) +y1斜率为:

第i黄金分割点拟合的直线方程为:yl=ki (x-x1) +y1…… (1)

为表达简洁起见, 设曲线方程为:y=a10cx。直线与曲线的误差为:

(4) 代入 (3) 得:

以下来求第1段拟合方程。取最大误差0.05, 即0.05%氧浓度, 则εm=0.1 (见图1) 。由于曲线非现线程度大, 第1段拟合方程的i值不妨取大些试之, 设i=4, 代入 (2) :

, 将此值代入 (4) 得:

于是取i=5, 重复上述过程, 得最大误差εm=0.175。再设i=6, 得εm=0.0725, 已符合要求, k6=-0.4124。这样, 第1段方程为:

再向下平移εm/2, 得:

依上述方法, 解得:k6=-0.3 2 1 2 4, εm=0.05034。拟合方程为:

平移εm/2, 得:yl=-0.32124x+14.5562其余类推。

2 推广应用

以上提出的非线性函数的分段折线拟合处理方法, 简化了数据处理工作量, 在氧化锆氧传感器的氧浓度与氧电势之间转换得到应用。这一方法可以推广。传感器的非线性类型分为指数型和有理函数型, 前者除上述氧化锆氧传感器外, 还有半导体PN结伏安特性 (图3) 、热敏电阻的温度—阻值特性 (图4) , 可参考上述方法进行线性化处理。后者如铂热电阻, 在0~500OC范围内, 温度为T的电阻值为:RT=R0 (1+aT+bT2)

式中:R0为0℃时的电阻值;a、b为常数, 在0~500OC范围内a=3.9752×10-3/℃, b=-5.8880×10-7/℃。图5为铂热电阻温度特性, 其非线性程度小于指数型, 线性化处理的分段数少于指数型, 且较易设计。由图可见, 以一直线近似, 误差达2%, 若以上述方法处理, 误差降至1%;若分为两段误差可降至0.5%以下。

摘要：直线方程校正是常见的非线性函数的线性化处理方法。本文改进这一方法, 在一定误差允许范围内, 简化了数据处理。具体应用于指数函数的线性化数据处理。

关键词：直线方程校正法,数据处理,氧化锆氧传感器

参考文献

[1]季建华, 都志杰, 吴勤勤.智能仪表原理、设计及调试-8位、16位单片机应用技术[M].上海:华东理工大学出版社, 1997.

反函数模拟解算电路的非线性校正篇8

由于模拟解算电路在实际解算过程中存在严重失真, 在85°之后无法解算出正确的角度值。为解决饱和失真, 提高解算精度, 本文设计了校正电路, 通过对振幅控制电压的调节, 使输出角度的饱和失真得以改善, 以提高解算精度。

1.反函数模拟解算电路校正原理

通过分析模拟函数发生器AD639可以发现其内部电路基于双极性差分对管的电路, 利用线性段近似和代数逼近法, 通过叠加的方式合成连续函数, 因此其芯片内部电路在解算值达到85°附近就趋近于饱和, 因此解算角度在大角度时存在饱和现象, 出现了大角度时的非线性失真问题。

通过对AD639内部原理框图的分析, 发现可以利用AD639内部除法电路, 在不影响实际输入的前提下, 利用一个可变的外加振幅控制电压, 实现对模拟解算输出值的校正, 通过变化的振幅控制电压, 找到最佳的校正系数α。图1为校正电路总体原理框图。

2.反函数模拟解算电路校正设计

通过校正系数调节电路解决饱和失真的问题。在具体的调节电路中, 稳定的振幅控制电压是通过以AD584为主设计的精密基准电压源提供的, 因为芯片精度问题, 输出电压无法精确为10V, 实际测量输出电压为10.011V。再设计以TL084为主搭建的放大电路, 将AD584的输出端与AD639振幅控制电压的输入端通过放大电路相连, 通过改变振幅控制电压的大小, 使输出值得到校正。

其具体电路如图2所示。

3.数据分析

为测量数据精度, 本文采用离散测试分析, 这种方法属于断点测量, 将理论输入角度对应下的输入电压保留到小数点后第三位作为电路的实际输入。对校正前后数据进行实时采集并对数据进行了一定的处理之后, 能够清晰的看出, 校正后的数据与理论数据更为接近, 误差角度小于0.4°, 非线性失真得到了较好的校正。具体校正前后输出角度对比如图3所示。

4.结论

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