对偶问题

对偶问题（精选十篇）

对偶问题 篇1

房屋租赁价格简称为房租, 指零星出卖房屋使用权时的价格。通常认为, 房租的构成因素是由房屋折旧费、房屋经营管理成本及相应的嬴利和地租构成。也就是说, 房租由房屋的折旧费、维修费、管理费、利息、税金、保险费、利润、地租等八项构成, 并以此为依据形成补贴租金、成本租金、优惠租金、完全租金。而这类租金的确立只是从房屋出租者的角度, 从成本的角度出发所确立的定性的理论价格, 而房屋作为一种特殊的投资品种, 一旦为投资者所拥有, 将会产生一些与一般生产型企业不同的决策策略:首先, 在生产型企业中, 作为一个理性的企业决策人, 当产品销售价p小于生产的平均可变成本AVC时, 厂商无论如何应该停产, 并且如果这种状况长期得不到改善, 厂商还会退出该行业;对于房屋租赁者, 当其将拥有房产作为一项投资时, 即使在房屋租赁市场特别低迷的时期, 租赁价格极低, 房屋租赁者还是倾向于出租的。这是由于房屋投资的后续资金投入量少而耐磨性强, 折旧期限长, 甚至是由于房屋处在不同发展区 (迅速发展区、较快发展区、潜在发展区、缓慢发展区) , 存在自身增值可能性, 等等。当然, 作为理性的房屋出租者, 如果租金收入与租赁可变成本 (由管理费用、维修费用、税金) 之差大于房屋闲置时的维修费用, 房屋所有者则愿意出租;否则, 房屋出租者宁愿将房闲置或者自用。即使这种局面长期存在, 房地产投资者也不会退出这一行业, 因为退出意味着亏损更大, 投资者将会等待房地产升值的时机;其次, 作为一个理性的房地产投资者, 追求收益的最大化是其始终的目标, 对房屋租赁的理想最低价格是将与房屋投资等额的现金投资于其他行业所获得的平均利润, 即投资于其他行业的机会成本。如果房地产投资者具备以上两点, 我们称其为理性的。房屋的出租者必须是理性的, 便是房屋的租赁市场价格确立模型的第一个理论假设前提。

房屋租赁市场中, 供求理论是其核心理论, 房屋的租赁价格是市场上总供给与总需求相等时的均衡价格。在研究商品的供给与需求时, 我们对其流动性 (区域市场之间的转移) 是没有加以限制的, 是极其自由的, 然而在房屋租赁市场上, 某一区域或地段的房屋供给在短期内 (至少一年) 是难以改变的。这是由房屋的投资成本偏大、建设周期过长和土地资源的稀缺性所决定的。因此房屋租赁短期市场的供需的调节主要是通过需求的变化进行调节而不是通过供给变化达到均衡的, 也就是说, 在某一目标区域市场, 供需均衡是通过需求者退出或加入这一区域市场而形成的, 而不是通过供给者短期内增加或减少供给量达到的。同时作为房屋租赁的需求者, 追求租金的最小化是其目标, 而且房屋承租者将房屋承租后, 实际上是用于再生产, 以获取更高的收益, 而不是纯粹用于消费。区域租赁市场的短期均衡是通过需求者数量增减进行调节的, 追求成本的最小化是需求者的目标, 这便是房屋租赁市场价格确立模型的第二个理论假设前提。

2 原问题的提出

在房屋租赁决策过程中, 出租者希望获取尽可能多的租金。但是由于受其资源总量的限制, 总租金收益是有限的, 因此, 此时租金最大化实际上是在有限资源下的最大收益。在第一个假设前提中, 笔者认为, 作为一个理性的出租人, 他希望获得将其与房屋资产等额的现金投资于其他行业的尽可能高的收益。基于此, 笔者假设房屋租赁者还存在投资于其他行业的机会, 投资者可根据各行业风险进行投资组合, 最终的收益额就是房屋投资者选择投资房屋而损失的机会成本, 则投资者投资于其他行业的最大收益在有限资源约束条件下即可算出。所以, 笔者在此将房地产成本总量进行分解, 假设投资于不同的行业, 则不同的成本构成比例构成了不同的行业结构, 并有不同的利润额与之相对应, 而且每一项资源的分解, 还受资源总量的限制, 如表1所示。

3 对偶问题的提出

现在从另一角度考察房地产出租者的收益。房地产出租者目前是想把房地产出租出去, 只考虑出租时的收益, 则希望有不低于同等成本构成投资于其他行业的平均收益, 也就是说, 投资者应获得不少于机会成本的最低收益, 而且从承租人的角度来看, 在供方决定市场价格的格局中, 当然希望支付越少越好, 所以, 房地产出租者只能在满足大于所投资行业的平均利润的条件下, 使其总收入尽可能地小, 出租人才愿意。

以上构成了原问题的对偶问题。当min W=max Z时, 则原问题最优可行解所求出的最优可行解与房屋建筑面积相除, 即可求得房屋的出租价格。

房屋单位面积出租价格=原问题与对偶问题最优可行解

房屋的建筑面积

4 使用该模型需注意的问题

该模型的提出有其自身的局限性, 因此在应用该模型时, 为增加其可参考性和准确性, 应注意以下几方面问题:

第一, 短期的限制。由于房地产业建设周期长, 从而使得目标区域租赁市场的租赁价格基本上由供给方决定, 这是此模型产生的基础。因此, 在长期内, 必须对该模型中的系数作一定的调整, 才能予以使用。

第二, 目标区域市场的选择。不同区域具有不同的地价, 在折算为现金流时需区别对待。这项工作最好交给房地产评估事务所去完成, 但是这会增加房屋出租的附加成本。

第三, 数据资料的来源。目前尚无统一的标准和专门的部门去完成各行各业的资本构成结构比例和行业平均利润的调查和发布, 这就需要决策者长期的资料收集和积累并结合个人的经验予以决策。

第四, 参照行业的选择。在选择参照行业时, 不应选择一些与该行业相差太大的行业, 如电子信息、生物产业作为参照系, 应选择一些与企业行业特性相近的传统企业作为参照系, 如建筑业、电梯行业、建材行业等, 这主要是基于房地产租赁者应获取这一行业的其他参与者一样的利润而考虑的。同时在将成本进行分解时, 所分解行业不是无限的, 最好不要超过16个行业范围 (这主要是参照投资风险组合的最优策略而定的) , 因为行业范围大小, 无参考价值, 行业范围太大, 则易导致误差偏大。

第五, 模型的使用对象。该数学模型的使用者最好是大宗房地产项目的投资者。也就是说, 投资的资本额大的项目适合于使用该模型, 投资额太小的项目缺乏使用的意义和价值。

总的来讲, 该模型具有简单实用的特性, 并且一改过去理论价格只考虑定价方利益, 而不考虑定价方实际条件限制的缺点, 不仅可以定性地而且可以定量地进行房屋租赁价格的确定, 并且当原问题和对偶问题的同时存在, 使其模型的求解变得更为容易。

摘要：简要介绍了房地产租凭市场中的对偶问题。

对偶问题 篇2

求解随机凸规划概率约束问题的对偶算法

1 引言 随机规划中的概率约束问题在工程和管理中有广泛的应用.因为问题中包含非线性的概率约束,它们的.求解非常困难.如果目标函数是线性的,问题的求解就比较容易.[5]给出了一个求解随机线性规划概率约束问题的综述.原-对偶算法[3]和切平面算法[6]是比较有效的.

作 者：唐恒永 赵传立 Tang Hengyong Zhao Chuanli 作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳,110034刊 名：高等学校计算数学学报 ISTIC PKU英文刊名：NUMERICAL MATHEMATICS A JOURNAL OF CHINESE UNIVERSITIES年，卷(期)：30(2)分类号：O221.5关键词：

对偶问题 篇3

关键词： B-凸性    B-（E，F）-凸函数    多目标规划    对偶问题

数学规划问题在工农业、军事、交通运输、决策管理、工程计算与最优化等领域有着广泛的应用，而在实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，就是说问题本身难以用一个指标来衡量，衡量的指标越多，就越难以找到理想方案.因此，多目标规划作为新的分支而发展起来，成为最优化理论研究中最关注的问题之一，其理论成果具有重要的应用价值.本文对一类新型广义B-凸进行了研究，对极小化的多目标规划问题的目标函数和约束函数进行了B-（E，F）-凸性假设，研究其对偶问题的弱对偶和强对偶，得到了重要结论.

设R 为n维欧氏空间，向量

X=（x ，x ，…，x ）∈R ，y=（y ，y ，…，y ）∈R ，

定义：x=y？圳x =y （1≤i≤n）

X

x≦y？圳x ≦y （1≤i≤n）

x≤y？圳x ≦y （1≤i≤n）至少存在某个1≤j ≤n，使得x

考虑如下具有不等式约束的极小化多目标规划问题，记作（MP）：

（MP）minf（x）=[f （x），…，f （x）]

s.t.g （x）≤0（i=1，2，…，m）x∈R

（MP）的可行域记作：X={x∈R |g （x）}≤0，i=1，2，…，m}，f，g 均为X上的可微函数.

1.相关知识

定义1.1[1]    函数f：M→R称为M上的B-（E，F）-凸函数，如果存在点到集的映射E，F：M→R ，使得M是（E，F）-凸集，且存在函数b（x，y，λ）：M×M×[0，1]→R，使得函数满足

f（λ +（1-λ） ）≤λb（x，y，λ）f（ ）+（1-λb（x，y，λ））f（ ）

？坌x，y∈M，？坌 ∈E（x），？坌y F（y），λ∈[0，1].

定义1.2[2]    设 ∈X，对任意的j=1，2，…，p，若不存在任意的x∈X，满足f （x）≥f （ ）或f（x）≥f（ ），则称 为（MP）的一个有效解（或称pareto解）.

定理1.1[3]    （Kuhn-Tucher最优性必要条件）

设x 是问题（MP）的有效解，且满足K-T约束条件，即

（ⅰ） λ ？荦f （x ）+ u ？荦g （x ）=0

（ⅱ） u g （x ）=0

（ⅲ）g （x ）≤0

（ⅳ）λ（λ ，λ ，…，λ ）>0，u=（u ，u ，…，u ）≧0.

引理1.1    设f（x）是（E，F）-凸集M上关于函数b的连续可微的B-（E，F）-凸函数，存在函数 ：M×M→R ，记 b（x，y，λ）= （x，y），如果对？坌x，y∈M，则有

？荦f（F（y）） （E（x）-F（y））≤ （x，y）[f（E（x）-f（F（y））]

证明：由于f（x）是M上的B-（E，F）-凸数，因此有

f[λE（x）+（1-λ）F（y）]≤λb（x，y，λ）f（E（x））

+[1-λb（x，y，λ）f（F（y））]

=f（F（y））+λb（x，y，λ）[fE（x）]-f（F（y））]

函数f（x）连续可微，由微分中值定理得

f（F（y））+λ（E（x））-F（y）？荦f（F（y））+λθ（E（x））-F（y））））

≤f（F（y））+λb（x，y，λ）[f（E（x））-f（F（y））]

0<θ≤1

所以

（E（x））-F（y））？荦（f（F（y）））+λθ（E（x））-F（y）））≤

b（x，y，λ）[f（E（x））-f（F（y））]

将上式两边分别取当λ→0时的极限，由引理条件可得

？荦f（F（y）） （E（x））-F（y））≤ （x，y）[f（E（x））-f（F（y））].

2.主要结论

R.R.Egudo在文献[4]中阐述了规划问题在不变凸函数情况下的对偶问题，本文给出多目标规划问题在B-（E，F）凸性限制下的对偶模型，研究得到对偶问题的弱对偶和强对偶结果.

我们记下面的问题（MPD）为（MP）的對偶问题：

Maxf（u）+β g（u）e

（MPD）

s.t.？荦α f（u）+？荦β g（u）=0α>0β≥0α e=1

定理2.1    （弱对偶）：设为多目标规划问题（MP）的可行域，令（u，α，β）为对偶问题（MPD）的可行解，使得α f+β g为定义域上的B-（E，F）-凸函数，若对于多目标规划问题（MP）与对偶问题（MPD）的任意可行解与（u，α，β），有x∈E（x）∪F（x），u∈E（u）∪F（u），那么则有α f（x）≥α f（u）+β g（u）.

证明：因为α f+β g为B-（E，F）-凸函数，且对于多目标规划问题（MP）与对偶问题（MPD）的任意可行解x与（u，α，β），有x∈E（x）∪F（x），U∈E（u）∪F（u），故由引理1，有

（x，u）[（α f（x）+β g（x））-（α f（u））+β g（u）]

≥（x-u）？荦（α f（u）+β g（u））（2.1）

由于（u，α，β）为对偶问题（MPD）的可行解，因此有（x-u）（？荦α f（u）+？荦β g（u））=0

而x为多目标规划问题（MP）的可行解，故有

β g（x）≤0

因此式（2.1）可表示为

[α f（x）-（α f（u）+β g（u））]≥0

又 （x，u）≥0

所以有α f（x）≥α f（u）+β g（u）.

定理2.2（强对偶）：设x 为多目标规划问题（MP）的有效解，且满足K—T约束品性，那么存在（α ，β ）使得（x ，α ，β ）为对偶问题（MPD）的可行解，且有β  g（x ）=0，如果对于对偶问题（MPD）的任意可行解（u，α ，β ），α f+β g为定义域X上的B-（E，F）-凸函数，若对于多目标规划问题（MP）与对偶问题（MPD）的任意可行解x与（u，α ，β），有x∈E（x）∪F（x），u∈E∪F（u），那么（x ，α ，β ）为（MPD）的有效解.

证明：x 为多目标规划问题（MP）的有效解，且满足K-T约束品性，则存在（α ，β ）使得（x ，α ，β ）为（MPD）的可行解，且有β g（x ）=0，所以多目标规划问题（MP）与对偶问题（MPD）的目标函数值相等.

对于？坌x∈X及（MPD）的任意可行解（u，α ，β），α f+β g为可行域X上的B-（E，F）-凸函数，那么存在函数 （x，u），有

α f（x）+β g（x）≥α f（u）+β g（u）+

（x，u）？荦 （α f（u）+β g（u））？摇？摇（2.2）

=α f（u）+β g（u）

（2.2）式中，因為？荦 （α f（u）+β g（u））=0，

β≥0，g（x）≤0，所以有β g（x）≤0，因此对于对偶问题（MPD）的任一可行解（u，α ，β），有

α f（x）≥α f（u）+β g（u）？摇？摇（2.3）

由假设x 与（x ，α ，β ）分别为（MP）与（MDP）的有效解，由式（2.3）可得

α f（u）+β g（u））≤α f（ ）

因为α >0，根据文献[5]中相关结论，得到（x ，α ，β ）为多目标规划对偶问题（MPD）的有效解.

参考文献

[1]包福利，于宪伟.B-（E，F）-凸函数及其性质[J].辽宁师专学报（自然科学版），2014，03：4-7+10.

[2]魏权龄，王日爽，徐兵.数学规划引论.北京航空航天大学出版社，1991.

[3]林锉云，董加礼.多目标优化的方法与理论.北京：高等教育出版社，1992.

[4]R.R.Egudo， M.A. Hanson.Multiobjective Duality with Invexity.Journal of Mathematical Analysis and Application，126（1987）：469-477.

[5]A.M.Geoffrion.Proper efficiency and the theory of vector maximization.Journal of Mathematical Analysis and Application， 22（1968）：613-630.

[6]包福利，佟禺明，王鹏.一类广义B-（E，F）-凸规划问题及最优性条件[J].辽宁师专学报（自然科学版），2014，04：1-3+44.

对偶问题 篇4

线性规划问题的对偶性可以描述为:对给定的线性规划

及 (LP) 的一个可行解X0, 选取一个向量d, 使X0是

的最优解, 且使||d-c||尽可能小。这里A∈Rm×n实矩阵, c, d∈Rn, b∈Rm

2 最小费用流问题的数学描述

2.1 最小费用流问题。

首先介绍流。流是一个实数值的函数f:V×V→R, 它满足三个性质:容量限制、斜对称性、流守恒性。最小流是满足这些约束和最小化流量值的流, 其中流量值是从源流出的总流量。流满足线性约束, 且流的值是一个线性函数。

为了描述最小费用流问题, 我们首先介绍几个基本的概念。在以V为节点集, E为弧集的有向图G= (V, E) 上, 每条边 (i, j) ∈E有一个非负的容量cij叟0, 以及两个特别的顶点:源s和汇t。定义c和u, 分别表示弧上的单位流量的成本或费用、容量上界, 此时所构成的网络称为容量一费用网络, 可以记为N= (V, E, c, u) 。容量一费用网络也是一种流网络, 所以我们把容量一费用网络称为流网络或直接称为网络。最小费用流问题就是在这样的网络中, 寻找流的容量一定时, 总费用最小的可行流。

2.2 最小费用流问题的对偶性问题。

网络N= (V, E, c, u) 中由s到t的最小费用流可以表示为:

v为给定的流值。

设M是一个给定的网络N= (V, E, c, u) 中值为v的流。求一个向量d, 使M为:

的最优解, 且||d-c||最小。

2.3 最小费用流问题的对偶算法。

设网络的关联矩阵记为B, 流向量记为x, 则流量守恒条件可以写成Bx=d。容量约束条件可以写成-xij>-uij。对这两个约束分别引入对偶变量p和q。根据线性规划对偶理论, 如果x为原问题的可行解, p和q为对偶问题的可行解, 则它们分别是所对应的问题的最优解的充要条件是它们满足以下的互补松弛条件:

在这里, 只需要令qij=max{pi-pj-cij, 0}, (i, j) ∈E, 上面的条件可以等价地写成

当pi-pj

当pi-pj>cij时, xij=uij; (2)

当0

设x为最小费用流问题的可行解, 则x为最小费用流的重要条件是:存在节点的势p, 满足条件 (1) - (3) 。

对偶算法是从任意一个s-t可行流, 但流值不一定达到v的流开始迭代, 直到流值达到v为止。迭代过程包括两个方面:一是对弧上流的增广, 一是对节点上势的修改, 并且在迭代过程中始终保持最优性条件 (1) - (3) 成立。

通常将残量网络N (x) 中满足pi-pj=ci的弧组成的子网络称为允许网络, 对偶算法就是在允许网络N0 (x) 中寻找增广路并进行增广。当N0 (x) 中找不到增广路且流值小于v时, 必须进行下一个过程, 修改节点上的势。

对偶算法 (在网络N= (V, E, c, u) 中计算流值为v的最小费用流x)

1:取x为任一可行流 (如x=0) , 令初始势p=0。

2:若x的流值达到v, 计算结束;否则在残量网络N (x) 中, 以cpij=cij-pi+pj为 (i, j) 弧的弧长, 计算从节点s到所有节点i的最短路路长d (i) , 并令pi=pi-d (i) ,

继续3

3:在允许网络N0 (x) 中判别从s到t的最大流。若该最大流流值为0, 则原网络中的流值不可达到v, 计算结束;否则沿该最大流去定的增广路增广流量 (增广后的流值不超过v) , 转2。

2.4 对偶算法的正确性。

为了说明算法是正确的, 我们首先给出最优性条件 (1) - (3) 的等价条件:

最优性条件 (1) - (3) 等价于对于残量网络N (x) 中任意的 (i, j) 弧, cpij≥0。在算法运行过程中, 最优性条件 (1) - (3) 成立。对于残量网络N (x) 中任意的 (i, j) 弧, 如果它位于从起点s到某一节点的最短路上, 则cp'ij=0。因此将pi修改为p'i=pi-d (i) , 则将会有新的弧增加到允许网络N0 (x) 中。从而说明了对偶算法终止时一定得到了最小费用流。

3 实例说明

计算图a网络中的最小费用流, 图中弧上的前一个数字表示弧上的容量, 后一个数字表示弧上的单位费用, 节点上的数字表示节点的供需量。

下面根据对偶算法的具体步骤进行计算:首先引进两个新节点 (源s和汇t) , 可以把问题转化为计算单源单汇的流值为8的最小费用流问题。即网络N如图b。

令初始流x=0, 初始势p=0, 此时的残量网络N (x) =N。以cpij=cij-pi+pj=cij为 (i, j) 弧的弧长, 计算从s到各个节点的最短路路长为:d (s) =d (1) =d (2) =0, d (3) =2, d (4) =3, d (t) =2。写成向量的形式, 即d= (0, 0, 0, 2, 3, 2) 。修改p得到p= (0, 0, 0, -2, -3, -2) , 此时允许网络N0 (x) 如图c。

在此时允许网络N0 (x) 中, 计算从s到t的最大流流值为4 (沿s→1→3→t和s→2→3→t各发送两个单位的流量) 。此时残量网络N (x) 如图d。

以cpij=cij-pi+pj为 (i, j) 弧的弧长, 计算从s到各个节点的最短路路长为d= (0, 0, 0, 2, 0, 2) 。修改p得到p= (0, 0, 0, -4, -4, -4) , 此时允许网络N0 (x) 如图e。

在此时允许网络N0 (x) 中, 计算从s到t的最大流流值为4 (沿s→1→4→t和s→2→4→t各发送两个单位的流量) 。此时各节点流量达到平衡, 即已经得到最小费用流为x13=x14=x23=x24=2。

摘要：首先描述了线性规划对偶性和最小费用流问题, 提出了最小费用流的对偶算法。简单的证明了此算法的正确性, 并说明通过此算法可以获得最小费用流问题的最优解。最后通过一个实例说明了利用对偶算法求解最小费用流问题的步骤。

关键词：线性规划,对偶算法,最小费用流问题

参考文献

[1]Eugene L.Lawler.Combinatorial optimization networks and matroids[M].New York:Olt, Rine-hart and Winston, 1976.

[2]Calvete and Herminia I.Network simplex algo-rithm for the general equal flow problem[J].Eu-ropean Journal of Operational Research, 2003, 150 (Issue3) :585-600.

[3]Jensen P A, Barnes J W.孙东川译.网络流规划[M].北京:科学出版社, 1988.

[4]谢金星, 邢文训.网络优化[M].北京:清华大学出版社, 2000.

对偶诗句 篇5

2、满招损，谦受益

3、一弹流水一弹月，半入江风半入云。

4、水能性淡为吾友，竹解心虚是我师。

5、鸟宿池边树，僧敲月下门。

6、鸿门晏，桃园盟

7、屋漏更遭连夜雨船破又遇顶头风。

8、斯人千古少，此曲世间无。

9、竹喧归浣女，莲动下渔舟。

10、长江人钓月，旷野火烧风。

11、风吹云动星不动，水推船移岸不移

12、庄生晓梦迷蝴蝶，望帝春心托杜鹃。(伟涛与大家知道这是李商隐的名句)

13、志士惜日短，愁人嫌夜长。

14、夜饮客吞杯底月春游人醉水中天。

15、英雄气短，儿女情长。

16、言必信，行必果。

17、人生有乐地，流水无尽期。

18、东风恶，欢情薄

19、志士惜日短，愁人嫌夜长。

20、长江人钓月，旷野火烧风

21、惜花春起早，爱月夜眠迟

22、云衍中秋月，雨打上元中。

23、棋逢敌手，将遇良才。

24、成事不足，败事有余

25、驿寄梅花鱼传尺素。

26、浊者自浊，清者自清。

27、知不足者好学，耻下问者自满。

28、抽刀断水水更流，举杯浇愁愁更愁

29、不才明主弃，多病故人疏。

30、三杯竹叶穿心过，两朵桃花上脸来

31、浮云游子意，落日故人情。

32、人生有乐地，流水无尽期

33、寿比南山，福如东海。

34、斯人千古少，此曲世间无

对比？对偶？对举？ 篇6

《沁园春·长沙》是否采用了对比手法，人们对此争议很大。有教师认为采用了对比手法，并找出《教师教学用书》（人教版）对本文的解读为证。《教师教学用书》在“鉴赏要点”中认为本文采用了对比手法：“词中含有多种对比，使描绘的形象鲜明。如‘万山红遍与‘漫江碧透主要是颜色的对比；‘鹰击长空与‘鱼翔浅底，‘指点江山与‘激扬文字主要是动作的对比……”[1]

笔者认为此处“颜色对比”“动作对比”的解读并不妥当。对比分为两体对比和一体两面对比两类。两体对比是把两种根本对立的事物放在一起进行对照，使好的显得更好，坏的显得更坏，大的显得更大，小的显得更小；一体两面对比是把同一事物中矛盾对立的两个方面放在一起来说，把事物说得更透彻、更全面。[2]

这表明，对比手法实际上有两个内核，一是参与对比的事物或对比面必须是“对立”的，尤其在意义上是相反或相对的。二是对比中内含着人物鲜明的情感指向，在情感指向的标识下，比较只是一种手段，而真正的意图是要借助于参照点本身（对比物之一）的属性去凸显目标点（另一对比物）的属性。或为揭示好同坏、善同恶、美同丑的对立，使人们在比较中得到鉴别（两体对比）；或为揭示事物的对立面，反映事物内部既矛盾又统一的辩证关系，使人们全面地看问题（一体两面对比）。

《沁园春·长沙》中“万山红遍”与“漫江碧透”，“鹰击长空”与“鱼翔浅底”两句虽描写了两组不同的事物，但“山”与“江”，“鹰”与“鱼”并非对立的“两体”，它们只是相异而已。另外，就寄托人物情感而言，诗人是想通过“山、林、江、舸、鹰、鱼”这组意象群共同营造一种充满自由、活力的宏大意境，并为下文抒豪情蓄势。在此，各事物属性中内含的人物情感指向都是一致的，即同抒豪情。其间，毛泽东并没有厚此薄彼之意。

“指点江山”与“激扬文字”两句，情感指向也是一致的，都是在赞誉同学们的才情美，只不过前者侧重于纵论国家大事，后者侧重于文章的激浊扬清，二者密切相连，互为补充，并无褒贬之分。

所以，我们认为以上几句并没有采用对比修辞，而是采用了对偶修辞。

对偶与对比不同在于“对比的基本特点是内容上‘对立，对偶的基本特点是形式上‘对称。对比是从意义上说的，它要求意义相反或相对，而不管结构形式如何；对偶主要是从结构形式上说的，它要求结构对称、字数相等”[3]。而从形式上看，①“（看）万山红遍，层林尽染；漫江碧透，百舸争流。”②“鹰击长空，鱼翔浅底。”③“指点江山，激扬文字。”各句内部不仅字数相等，结构相同，音节也整齐匀称。从意义上看，正如前文所述，①②两句是通过意象群来共同营造一种充满自由、活力的宏大意境，为抒豪情蓄势。③句是从纵论、撰文两方面来赞扬同学们才情美，这又刚好吻合了对偶中正对的特点：“从两个角度、两个侧面说明同一事理，表示相似、相关的关系，在内容上是相互补充的，以并列关系的复句为表现形式。”[4]因此，这三个语句采用的不仅是对偶，而且还属于对偶中的正对。

以上是就修辞学角度而言。

从语义角度来看，①②句从远望、近看、仰视、俯看等不同角度来选取意象，从而实现对下文“万类霜天竞自由”的列举。句③则是分别说明同学们“语言上”怎么样，“行动上”怎么样。这正体现了非强制对举的语义特点：“或者用来表示列举，或者用来表示分说。表示列举的，常常伴有囊括的语义隐含其中；表分说的，一般是从不同的角度来说明同一个事物。”另外，①②句中处于对举格式两部分的“山”“江”“鹰”“鱼”，语义互相补充，互相拼合，从而大大地增加了表层语义的信息量。诗文由远近相间，动静结合来叙写大千世界万事万物竞相自由，生机勃勃的景象。句③“指点江山，激扬文字”也并非仅限于表现同学们“口头纵论”“笔端为文”的才情美，句中实则还隐含着同学们雄姿英发的战斗风貌和豪迈气概。这种现象也正是对举中的“语义增殖”，亦即“两个或两个以上的语言结构单位相互作用，扩大结构本身的表层语义信息量，增加语言信息量。”它“不是对举两部分表层语义的简单相加，而是语义的高度综合”。

从语用角度来看，①②句通过“红——碧”“击——翔”在色彩、力量上的相异来互相强调，互相凸显。句③则通过“指点——激扬，江山——文字”角度上的不同来互为强调，从而突显同学才华横溢，激情奔放。这也正吻合了“对举的语用功能则是通过对举中相异的词语来指示重点或焦点”这一特点。

综上所述，《教师教学用书》中所提及的“万山红遍”与“漫江碧透”，“鹰击长空”与“鱼翔浅底”，“指点江山”与“激扬文字”三句，从修辞学角度看并非对比而为对偶，且为对偶中的正对；从语法学角度看则为对举。

注释：

[1]人民教育出版社中学语文室.教师教学用书（高一册）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2][3][4]黄伯荣、廖序东.现代汉语（下册）[M].北京：高等教育出版社，2002.

对偶问题 篇7

电价问题是电力市场运营的核心问题之一。在一般经济活动中, 供给和需求曲线通常为两条接近光滑的曲线, 而在现货电力市场中, 供求曲线中的机组报价曲线和负荷报价曲线通常呈现明显的阶梯形。前者按照供电报价从低到高的顺序排列, 后者则按照购电报价从高到低的顺序排列。若阶梯形的供应曲线和需求曲线有唯一交点, 则该点为市场均衡点, 对应的价格为市场出清价格[1,2]。若交点并不唯一, 就会发生对偶问题多解 (multiple dual solutions, MDS) 情况。倘若市场参与者的报价单元足够小, 报价段数足够多的话, 那么原本阶梯形的供求曲线会接近于一般的光滑供求曲线, 可以尽量减小MDS问题的影响, 但这样的做法大大增加了市场出清的计算量和操作复杂度。因此, 在实际电力市场中, 通常有对最小报价单位或最多报价段数的要求。例如, 北欧电力市场 (Nord Pool) 要求最小的报价单位为1 (MW·h) /h[3], 美国PJM[4]和澳大利亚电力市场[5]要求一张标书中最多不超过10段报价, 丹麦、瑞典、挪威和芬兰的平衡市场要求最小的报价单位为10 (MW·h) /h[6]。

MDS情况并不少见, 尤其在规模效应显著的电力行业。一旦发生MDS情况, 基于拉格朗日乘子的经典边际定价方法只能给出电价的理论区间, 而无法确定一组唯一的节点电价, 需要有别的准则协助定价。

目前各国电力市场有一些特殊方法来处理MDS情况下的定价问题, 如美国PJM电力市场依据额外生产或者消费1 MW电能的报价来确定电价[4], 新英格兰[7]和伊比利亚半岛电力市场[8]则选择出清价格的理论区间的最大值作为定价依据[9], 还有一些电力市场则采取基于特定扰动的灵敏度分析来应对MDS情况的发生[10], 但这些方法所得的结果难以保证解的最优性。另外一些电力市场则制定了提高订单数值精度的相关规定, 认为这样可以降低MDS发生的概率[11]。

针对MDS情况, 本文对传统定价理论进行了合理延伸, 分析了问题产生的本质, 进而提出了一种基于激励的定价方法, 并详细阐述了该方法的激励相容特性。算例表明该定价方法能完成若干MDS情况下对社会剩余的合理分配。

1 电力市场出清问题

在双侧竞价模型中, 电力市场出清问题可以表述为[12,13,14,15,16]:

式中:i为系统机组的编号, i=1, 2, …, NG;λGi为机组i的报价;PGi为机组i的有功出力;j为系统负荷的编号, j=1, 2, …, ND;λDj为负荷j的报价;PDj为负荷j的有功消耗功率;b为系统节点的编号, b=1, 2, …, B;l为系统线路的编号, l=1, 2, …, Nl;Tlb为线路l关于节点b的功率传输分配系数;Fl-为线路l的容量;fG (i) 为机组i所在节点的编号;fD (j) 为负荷j所在节点的编号;P-Gi和PGi分别为机组i-的有功出力上下限;P-Dj和P-Dj分别为负荷j的有功消耗功率上下限。

为求解出清问题, 构造拉格朗日函数:

式中:λ, μl, 分别为对应约束条件 (式 (2) —式 (5) ) 的拉格朗日乘子。

若存在边际机组k, 其所在节点的编号记为fG (k) , 依据KKT条件, 可知, 从而, 节点fG (k) 上的电价直接由边际机组k的报价确定, 。类似地, 若存在边际负荷s, 则其所在节点fD (s) 上的电价由边际负荷s的报价确定, 。

若不存在边际机组或边际负荷, 那么乘子会出现多解情况, 传统的方法就无法给出明确定价, 需要新的方法来解决此时的定价问题。

2 基于激励的定价方法

在电力市场中, 如果存在大的参与者, 那么很有可能发生定价多解的情况。此时由于没有一组唯一确定的对偶解, 对社会剩余的分配是存在争议的。并且, 电力市场中供求双方的报价活动并不限于一次交易, 而是多次重复的。那么怎样定价才能获得供求双方的认同, 从而使双方都能保持如实报价, 而没有动机偏离其真实保留价格以获得更大收益呢?这就要求市场的定价方法是激励相容的[16,17]。因此, 本文从对供电方和购电方的激励出发来讨论MDS情况下的定价问题。

2.1 MDS情况下定价的理论区间

虽然定价求解可能出现多解情况, 但是所有合理的解都应该在理论区间内。

若机组i处于出力上限 (记做i∈GUL) , 则, 有

若负荷j处于消耗功率上限 (记做j∈LUL) , 则ξj=0, 又, 有

类似地, 机组i处于出力下限 (记做i∈GLL) , 应有

负荷j处于消耗功率下限 (记做j∈LLL) , 应有

为确定合理的定价区间, 需考虑所有参与调度的关键机组和负荷。因此, 除了处于出力 (消耗功率) 上下限的机组 (负荷) 外, 还需考虑由于线路约束从而出力 (消耗功率) 不完全的机组 (负荷) 对于定价区间的影响, 主要体现在下文定义的Sl和Dh中。

综上, 可以定义:

其中, 用以确定Sl的元素, 不止考虑了处于出力上限的机组 (i∈GUL) , 也包括了由于线路约束而出力不完全的机组, 故其计算范围应该是所有不处于出力下限的机组 (iGLL) 。类似地, 用以确定Dh的元素的计算范围则应该是所有不处于消耗功率下限的负荷 (jLLL) 。

在对MDS情况下的定价问题进行讨论时, Sh, Sl, Dh, Dl是4个重要的定价指标, 对应于一般情况下的边际报价, 为了表述的一致性, 称这4个指标为伪边际报价 (pseudo marginal bid, PMB) 。上述4个方程称为PMB方程, 而与PMB相关的机组和负荷, 则称为伪边际机组 (PMG) 和伪边际负荷 (PML) 。每一个PMB都由PMG (PML) 的报价和阻塞成本两部分组成。

平衡节点上的电价为ρ=-λ, 那么该节点上定价的理论区间即为:

后文将式 (12) 中的max (Dl, Sl) 称为定价下限, min (Dh, Sh) 称为定价上限。

2.2 MDS情况下基于激励的定价方法

PMG的Sl有动机去提高他的报价, 直到他的报价提高到只比min (Dh, Sh) 略低。PML的Dh也有动机去压低他的报价, 直到他的报价只比max (Dl, Sl) 略高。为杜绝市场出现操纵价格的现象, 必须使供电方和购电方都没有动机偏离其真实报价。对于供电方, 市场需要将价格定为min (Dh, Sh) , 而对于购电方, 市场则需要将价格定为max (Dl, Sl) 。在对偶问题存在唯一解时, 存在至少一个边际机组, 解得的定价为ρ=min (Dh, Sh) =max (Dl, Sl) , 能同时满足这两个要求。而存在多解时, 就没有定价能同时满足这两个要求了。针对MDS情况下的定价问题, 本文提出一种基于激励的定价方法。

在MDS情况下, 社会剩余量是确定的, 市场通过定价来实现对供求双方的剩余分配, 而其中有争议的部分也就是max (Dl, Sl) 和min (Dh, Sh) 之间的社会剩余, 称为可分配剩余。因此讨论社会剩余分配问题时, 不能仅仅局限于可分配剩余。为了方便表述, 先定义几个变量:

可以定义一个与可分配剩余密切联系的剩余量伪公共剩余。伪公共剩余的上下边界线分别为Dh和Sl, 若整个市场出清产量或总出力, 则有伪公共剩余值为:

由式 (14) 可知, 伪公共剩余既不等同于全部的社会剩余, 也不局限于可分配剩余。

若将SPC中的 (a+b) P*分配给那些报价已被接受的购电方, 定价为max (Dl, Sl) , 是购电方能购买到电能的最低价格, 此时购电方没有动机去压低报价。因此, 将SCI= (a+b) P*定义为对购电方的激励剩余。类似地, 若将SPC中的 (b+c) P*分配给那些报价已被接受的供电方, 定价为min (Dh, Sh) , 是供电方订单能达到的最高价格, 此时供电方也没有动机去抬高报价。类似地, 将SSI= (b+c) P*定义为对供电方的激励剩余。

如果SCI和SSI有重叠部分, 即可分配剩余部分不为0时, 无法实现理想的分配情况。不妨先增加可分配剩余大小的剩余量再进行分配, 这样的话, 购电方能分得SCI, 供电方能分得SSI, 双方都会满意。因此, 可以考虑以这种比例来分配SPC, 此时购电方分得SCISPC/ (SPC+SA) , 供电方分得SSISPC/ (SPC+SA) , 其中SA表示可分配剩余值。那么, 基于激励的定价形式应为:

化简后有

式 (16) 也就是平衡节点上的定价方程, 而任意节点b的电价则可由式 (17) 确定[12,13]:

下面继续讨论上述定价方法的激励相容特性, 为突出其性质, 本文取3种极端情况进行分析。

情况1:有一个PML为无弹性的负荷 (用电效益是无穷大的, 如医院) 的情况。此时的供求曲线如图1所示。

依据定价方法, 先计算PMB有:Sh=S3, Sl=S2, Dh→∞, Dl=D2。代入式 (13) , 有a→∞, b=S3-S2, c=0, d=S2。再代入式 (16) , 求得的定价为S3。

从激励的角度来分析这个定价:对报S2的参与方而言, 只要报价一直低于S3, 就不会影响收益, 若抬高报价到高于S3, 就会失去订单从而收益为0, 所以他没有动机去改变报价。对报S3的参与方而言, 若压低报价, 收益将会是负的, 若抬高报价, 也一样拿不到订单, 收益为0, 所以他也没有动机去改变报价。对报D1的参与方而言, 无论价格多高, 他都需要用电, 为一个价格接受者, 同样没有动机去改变报价。

从数学角度, 由于a→∞, c=0, SA=bP*对于SCI= (a+b) P*是可以忽略不计的, 而对于SSI= (b+c) P*则是全部, 故应将可分配剩余全部分配给供电方。此观点与依据定价方法所作分配是一致的。

不妨选用一种片面追求公平性的方法作对比, 如采用对等分配可分配剩余的方法ρ=c+d+2/b, 确定的定价为 (S2+S3) /2。由于 (S2+S3) /2

情况2:有限台机组供电, 其中有且仅有一台PMG的情况。此时的供求曲线如图2所示。

依据定价方法, 先计算PMB有:Sh→∞, Sl=S2, Dh=D2, Dl=D3。代入式 (13) , 有a=0, b=D2-S2, c=0, d=S2。再代入式 (16) , 求得的定价为 (D2+S2) /2。

从激励的角度来分析这个定价:对报S2的参与方而言, 他分得了可分配剩余SA=D2-S2的一半。他知道若抬高报价, 那下次交易中, 报D2的参与方也会相应压低报价, 双方若反复如此操作下去, 只是将可分配剩余依次变小, 直到双方报价都为 (D2+S2) /2, 此时可分配剩余为零, 而收益并没有发生变化, 所以他没有动机去改变报价。类似地, 报D2的参与方也没有动机去改变报价。对报D3的参与方而言, 除非抬高报价到高于 (D2+S2) /2, 否则一直购买不到电能, 但这样的话收益将会是负的, 所以他同样没有动机去改变报价。

从数学角度, 由于a=0, c=0, 此时有SA=SPC=SCI=SSI, SA=bP*对于SCI= (a+b) P*是全部, 对于SSI= (b+c) P*也是全部, 故应将可分配剩余平均分配给供电方和购电方。此观点与依据定价方法所作分配是一致的。

情况3:有限台机组中有一台PMG, 并且有一个PML为无弹性的负荷的情况。此时的供求曲线如图3所示。

依据定价方法, 先计算PMB有Sh→∞, Sl=S2, Dh→∞, Dl=D2。代入式 (13) , 有a=0, b→∞, c=0, d=S2。再代入式 (16) , 求得的定价为S2+b/2→∞。

从激励的角度来分析这个定价:类似于情况2, 对报S2和D1的参与方而言, 各分得了可分配剩余的一半, 都是满意的, 没有动机去改变各自报价。

从数学角度, 由于a=0, c=0, 有SA=SPC=SCI=SSI, 故应将可分配剩余平均分配给供电方和购电方。此观点与依据定价方法所作分配是一致的。

通过上述分析可知, 该定价方法具有激励相容性, 能促使市场中所有参与者保持其报价不偏离其真实成本或效用, 从而起到稳定市场价格的作用。

3 算例分析

本节采用一个3节点系统为例来验证所提出的定价方法。具体网络结构如图4所示, 机组和负荷的基本信息如表1所示。

首先, 利用经典线性规划方法求解式 (1) —式 (5) 。若线路容量足够大 (即不考虑线路阻塞的情况) , 那么系统所有节点上的电价是相同的, 又G31为边际机组, 出清电价由G31的报价确定为20元/MW。

若考虑线路阻塞的情况, 求得的优化调度方案会发生变化, 如表2所示。由表2可知, 由于线路L12的容量约束, 机组G21的有功出力从1 000 MW下降到了600 MW。利用出清模型 (式 (1) —式 (5) ) 依旧可以求得优化调度方案, 但如何确定各节点上的电价成为了一个难题。因为此时不存在严格意义上的边际机组 (负荷) , 所有参与调度的关键机组 (负荷) 都是PMG (PML) 。

选取节点3作为平衡节点, 依据式 (1) —式 (5) , 电力市场出清问题可以表述为 (为表述方便, 以下公式中变量统一取标幺值) :

利用经典线性规划方法求解的结果为: (PG21, PG31, PG32, PD11, PD12, PD13) *= (600, 300, 0, 700, 200, 0) , 线路L12出现了阻塞情况。

构造拉格朗日函数:

将原问题的解 (600, 300, 0, 700, 200, 0) 代入KKT条件, 有

根据KKT条件, 得到化简后的方程组为:

式 (30) —式 (35) 一共有6个方程, 其中有7个变量, 故这些乘子不能唯一确定, 存在MDS节点。

对所有节点进行分类。节点1和节点3为MDS节点, 节点2为非MDS节点。既然节点3是MDS节点, 不妨仍选取节点3作为平衡节点重新求解, 依据此时的KKT条件, 得到化简后的方程组 (式 (30) —式 (35) ) 。

检验已有方程和变量个数。方程个数Ne为6, 变量个数Nv为7, Ne-Nv=1, 需要构造关于PMB的附加方程。

又依据, 得到λ和μ1的取值范围, -35≤λ≤-20, 15≤μ1≤60。由PMB方程 (式 (11) ) 与式 (30) —式 (35) 得到:

将式 (36) 的结果代入式 (13) , 有

将式 (37) 的结果代入定价方程 (式 (16) ) , 得到一个关于乘子的附加方程:

通过式 (30) —式 (35) 和式 (38) 一共7个方程求⌒解变量, 求解结果为:

将上述结果代入式 (17) , 求得各节点电价:

在节点2上, 增加1 MW出力需增加的最小费用为15元, 减少1 MW出力可节省的最大费用为15元。两者相等, 故该节点上出清价格应该定为15元/MW。也就是说G12为严格意义上的边际机组, 出清价格直接由G12的报价确定为15元/MW。

若在节点1上增加1 MW出力, 考虑L12的线路约束, 存在唯一的出力调整方案是机组G21减少1 MW出力, 机组G32增加2 MW出力, 产生的额外费用为55 (35×2-15×1) 元, 即在节点1上增加1 MW出力需增加的最小费用为55元;相反, 若在节点1上减少1 MW出力, 考虑到L12的线路约束, 存在多种出力调整方案, 但其中节省费用最多的方案是机组G21增加1 MW出力, 机组G32减少2 MW出力, 产生的额外费用为-25 (15×1-20×2) 元, 即在节点1上减少1 MW出力可节省的最大费用为25元。两者不相等, 不存在严格意义上的边际机组, 出现多解情况。定价方法求得的节点1上电价为40元/MW, 在区间[25, 55]元/MW内, 是合理的。

将节点1上的电价定为40元/MW。对用户D12而言, 若压低报价, 将无法购得电能, 若抬高报价, 也不会影响收益, 所以他没有动机去改变报价。对用户D13而言, 除非将报价抬高到不低于40元/MW, 否则一直无法购得电能, 但这样的话收益将会是负的, 所以他同样没有动机去改变报价。

若在节点3上增加1 MW出力, 考虑L12的线路约束, 存在唯一的出力调整方案是机组G32增加1 MW出力, 产生的额外费用为35元, 即在节点3上增加1 MW出力需增加的最小费用为35元;相反, 若在节点3上减少1 MW出力, 考虑L12的线路约束, 存在多种出力调整方案, 但其中节省费用最多的方案是机组G31减少1 MW出力, 产生的额外费用为-20元, 即在节点3上减少1 MW出力可节省最大费用20元。两者不相等, 不存在严格意义上的边际机组, 出现多解情况。定价方法求得的节点3上电价为27.5元/MW, 在区间[20, 35]元/MW内, 是合理的。

将节点2上的电价定为27.5元/MW。对机组G31而言, 若抬高报价到高于27.5元/MW, 将无法获得订单, 而其他情况, 则不会影响收益, 所以他没有动机去改变报价。对机组G32而言, 除非压低报价到低于27.5元/MW, 否则一直拿不到订单, 但这样的话收益将会是负的, 所以他同样没有动机去改变报价。

为方便比较, 表3列出了考虑线路阻塞和不考虑线路阻塞两种情况下各节点上的电价。由于线路L12出现阻塞情况, 使得3个节点的电价各不相同, 负荷节点1的电价要明显高于接有发电机组的节点2和节点3。

4 结语

电路的对偶 篇8

对偶是自然界中普遍存在的一种特殊现象。在分析和研究自然规律中, 利用对偶现象, 可以有效地揭示元素之间一些相似或相对的内在联系, 简化认知事物的过程。

一、电路的对偶现象

在纯电阻电路中, 串联总电阻与各电阻的关系为:总电阻RS=R1+R2+R3+…+Rn;同样在纯电阻电路中, 并联总电导与各电导的关系为:总电导GS=G1+G2+G3+…+Gn。它们的数学表达形式很相似, 这种相似性表现为对偶。又如电容元件的电流与加在它两端的电压关系为:i=Cdu/dt;而电感元件的电压与流经它的电流关系为:u=Ldi/dt。这两种元件的电流电压关系表达式也呈现对偶现象。

二、电路的对偶关系

电路中某些元素之间的关系 (或方程) , 用它们的对偶元素对应地置换后, 所得的新关系 (新方程) 也一定成立, 后者与前者互为对偶。[1]电路元素之间的一些对偶关系如下表:

(一) 电路元件的对偶

组成电路的元件中, 两者之间互为对偶的元件有电阻R与电导G、电容C与电感L、电压源US与电流源IS等。下图是电源的对偶:

图1和图2是电压源和电流源的模型, 其对应的电压和电流表达式分别如下:U=US-RSI, I=IS-GSU, 它们互为对偶。

(二) 电路的结构对偶

由电路元件组成的不同结构之间的对偶有串联与并联、开路与短路、回路与节点等。

(三) 电路的定律对偶

基尔霍夫定律包含电流和电压两个定律, 这两个定律互为对偶。KCL指出:任一时刻, 流入电路中的任一节点的各支路电流代数和恒等于零, 即Σi=0。而KVL指出:任一时刻, 沿电路中的任一回路绕行一周, 所有支路电压代数和恒等于零, 即Σu=0。KCL与KVL是对偶关系。它的子元素如电流与电压、节点与回路、串联与并联也互为对偶。

(四) 电路参数的对偶

二端口网络是具有2个端口的电路, 端口与电路内部网络相连接。图3是反映二端口网络的阻抗参数的等效电路。

阻抗参数Z的矩阵方程形式为:

图4是反映二端口的导纳参数的等效电路。

导纳参数Y的矩阵方程的形式为:

以上二端口网路的开路阻抗参数Z和短路导纳参数Y互为对偶。

(五) 电路结论的对偶

电路中某些结论存在对偶, 如开路电流为零与短路电压为0互为对偶的结论;又如数字电路运算中A·A=A与A+A=A这两个结论也互为对偶。

三、电路对偶的分析

由于电路对偶的存在, 运用它来分析电路, 可同时获得电路及它的对偶电路的解, 一举两得。

(一) 无源网络的对偶

在单相交流电路中, 分析R-L串联电路 (图5) 和它的对偶电路 (图6) 的电压、电流的关系。

图5中RL串联电路的等效阻抗为Z=R+jωL;端电压U与电流I的关系为U=ZI。图6并联电路的等效导纳为Y=G+jωC。

端电流I与电压U的关系为I=YU。若参数R与G、C与L在数值上相等, 且接在频率相同的正弦交流电路中, 则两个电路的U与I数值相等。这个关系也可以用矢量图来表示:R-L串联电路的矢量关系为图7;G-C并联电路的矢量关系为图8。

两矢量对应重合, 即两电路互为对偶关系。

(二) 有源网络电路的对偶分析

如图9是一个有源网络的平面电路, 对它进行求解, 可使用网孔法, 方程组为:

根据对偶原理, 将对偶量相应地置换后, 可以转换成另一个电路 (图10) , 它的节点方程组:

电路分析方法的对偶是电路多种元素对偶的综合体现。上述对偶电路的对应元素有: (1) 回路电压法与支路电流法的对偶; (2) 电阻串联与并联的对偶; (3) 电压源与电流源的对偶; (4) 电流控制电压源 (CCVS) 与电压控制电流源VCCS的对偶。若对偶元素数值相等, 则在数值上两个电路同解:IL1=VN1;IL2=VN2。

小结:

1. 根据对偶原理, 如果导出电路中某一关系和结论, 就等于解出了与它相对偶的另一关系和结论。例如, 含源一端口电阻网络的两种等效:互为对偶, 只要论证了戴维南定理的正确性, 它的对偶———诺顿定理自然也成立。

2. 互为对偶电路的特征方程和特征值相同, 由对偶方程导出的各种公式和结果也是对偶的。

参考文献

[1]邱关源.电路[M].第4版.北京:高等教育出版社, 1999.

对偶空间的一些新性质 篇9

关键词：对偶空间,对偶基

1. 引言

求线性空间的基所对应的对偶基, 有时很麻烦, 特别是子空间所对应的对偶空间以及子空间之间的运算. 例如, 求V1 * ∩V2 * 的基, 首先要求V 1 , V 2 的基, 然后求出V1 * , V2 * , 最后取交集, 这样比较繁琐, 但求 ( V 1 ∩V 2 ) *的基, 则相对要方便一些. 下面我们看对偶空间的一些新性质, 以及用它们来简化对偶空间的运算.

2. 对偶空间的一些新性质

对偶空间的一些新性质:

证明 ( 1) 设V 1 的基为α 1 , α 2, …, αk , 将其扩充为V的一组基, 设为α 1 , α 2 , …, α k , α k +1 , α k +2 , …, α n . 所对应的对偶基为f 1 , f 2 , …, f k , f k +1 , f k +2 , …, f n . 易知f 1 , f 2 , …, f k 是α 1 , α 2 , …, α k 的对偶基.又因为

( 2) 如果V 1 或V 2 有一个是空集, 则结论显然成立. 如果V 1 , V 2 都非空, 设dimV 1 = n 1 , dimV 2 = n 2 , 则取V 1 的基α1 , α 2 , …, α n1 , 取V 2 的基β 1 , β 2 , …, β n2 因为V 1 ∩V 2 = , 则V 1 ∪V 2 的基为α 1 , α 2 , …, α n1 , β 1 , β 2 , …, β n2 , 将其也扩充为V的基的一组基

α1 , α 2 , …, α n1 , β 1 , β 2 , …, β n2 , γ 1 , γ 2 , …, γ n -n1-n2 .

由定理知, 存在唯一的对偶基

f 1 , f 2 , …, f n1 , g 1 , g 2 , …, g n2 , h 1 , h 2 , …, h n -n1-n2 .

由对偶基的定义知, f1 , f 2 , …, f n1是V1 * 的基, g1 , g 2 , …, g n2 是V2 * 的基, 显然可以看出

设的基为α1, α2, …, αm, 于是将其扩充V1的基α1 , α2 , …, αm , β1 , β2 , …, βn1-m , 将其也扩充为V2 的基α1 , α2 , …, αm , γ1 , γ2 , …, γn2-m , 也将其扩充为V的基α1 , α2 , …, αm , δ1 , δ 2 , …, δ n -m .

α1 , α2 , …, αm , β1 , β2 , …, βn1-m , 将其也扩充为V2 的基α1 , α2 , …, αm , γ1 , γ2 , …, γn2-m , 也将其扩充为V的基α1 , α2 , …, αm , δ1 , δ 2 , …, δ n -m .

由定理知, 存在唯一的一组对偶基f1, f2, …, fm, fm+1m +1, …, fn.

不妨设V 1 的对偶基为f 1 , f 2 , …, f m , f` m +1 , …, f` n1 , V 2 的对偶基为f 1 , f 2 , …, f m , g m +1 , …, g n2 .

证明 ( 1) 用数学归纳法来证明. 当n = 2时, 由上面的性质知道, 结论成立.

( 2) 也用数学归纳法来证明. 当n = 2时, 由上面性质知道, 结论显然是成立的.

参考文献

[1]徐振民.对偶空间的性质[J].太原师范学院学报 (自然科学版) , 2010 (1) .

[2]何锦荣.对偶空间的一些性质及其应用[J].广西师院学报 (自然科学版) , 1994 (2) .

[3]李容录.赋范线性空间的第二对偶空间[J].数学研究与评论, 1981 (2) .

[4]周光实. (op) 型空间的对偶空间[J].河北大学学报 (自然科学版) , 1984 (2) .

例谈构造对偶式解题 篇10

一、求三角函数值

例1计算:. (2) sin10°sin50°sin70°.

所以A=B=1/4.

即原式1/4.

( 2) 设x = sin10°sin50°sin70°, 构造x的对偶式y= cos10°cos50°cos70°, 得

又y≠0, 所以x=1/8.

例2 ( 1) 求cos52π + cos54π 的值;

( 2) 求sin220° + cos250° + sin20°cos50° 的值.

又B≠0, 所以.

从而可得, A = sin220° + cos250° + sin20°cos50° =3/4.

例3 ( 普通高中课程标准实验教科书《数学·A版·必修4》 ( 人民教育出版社2007 年第2 版) 第147 页复习参考题B组第4 题) 已知.

解法1: 由, 所以

解法2: 由cos (π/4+ x) =3/5, 得, 设cosx + sinx = m, 把这两式相加、相减可得

再把它们平方相加, 可得.

稍复杂的三角函数求值问题, 往往要多次使用三角函数的恒等变形公式, 甚至是积化和差、和差化积公式, 而使用构造对偶式求解, 却很简洁.

二、求函数值域或最值

例4求函数f ( x) = x +4/x ( 1 ≤ x ≤3) 的值域.

解: 构造函数f ( x) 的对偶函数 ( 1≤ x ≤ 3) , 得增函数g ( x) 的值域是[- 3, 5/3].

又f2 ( x) = g2 ( x) + 16, f ( x) > 0, 从而可得f ( x) 的值域是[4, 5].

例5 ( 1) 函数的值域是______.

( 2) ( 2013 年江西省高中数学联赛) 函数的值域是____.

( 3) ( 2010 年希望杯数学邀请赛高一试题) 函数的定义域为___, 值域为______.

解: ( 1) . 构造函数f ( x) 的对偶函数, 得增函数g ( x) 的值域是[- 2, 3], g2 ( x) 的值域是[0, 9].

又f2 ( x) + g2 ( x) = 13, f ( x) > 0, 从而可得f ( x) 的值域是.

( 2) [1, 2]. 构造函数的对偶函数, 得减函数g ( x) 的值域是, g2 ( x) 的值域是[0, 3].

又f2 ( x) + g2 ( x) = 4, f ( x) > 0, 从而可得f ( x) 的值域是[1, 2].

( 3) ( - ∞ , -6/5]∪[-3/4, + ∞) ;. 下面解答第二空.

构造函数F ( t) 的对偶函数, 得增函数G ( t) 的值域是, G2 ( t) 的值域是[0, 9].

又F2 ( t) + G2 ( t) = 18, F ( t) > 0, 从而可得F ( t) 即f ( x) 的值域是.

注: 运用此法可求出函数的值域.

例6 ( 2006 年全国高考卷 Ⅱ 理科数学第12 题) 函数的最小值为 ()

( A) 190 ( B) 171 ( C) 90 ( D) 45

解: ( C) 由f ( x) = | x - 1 | +| x - 2 | + … +| x -19 | , 得

f ( x) = | x - 19 | + | x - 18 | + … + | x - 1 | . 所以2f ( x) = ( | x - 1 | + | x - 19 | ) + ( | x - 2 | +| x - 18 | ) + … + ( | x - 19 | + | x - 1 | ) .

再由绝对值不等式, 可得

当且仅当x = 10 时, f ( x) 取到最小值, 且最小值是90.

例7若实数x, y满足x2- 3xy + y2= 2, 则x2+y2的取值范围是___.

解: 设x = u + v, y = u - v, 得5v2- u2= 2, 所以.

x2+y2=4 (3v2-1) ≥4/5, 所以x2+y2的取值范围是[4/5, +∞) .

用构造对偶式求解函数问题, 可达到简洁巧妙的效果, 可以避免换元、求导等复杂的计算.

三、解方程

例8解方程.

平方相减后可求得原方程的解为x = 2.

例9解方程.

因为x ≥ 0, 所以原方程的解是.

解无理方程, 常规的方法是乘方后化成有理方程再求解 ( 还需检验) . 而构造对偶式却可简洁求解.

例10 ( 2011 年希望杯数学邀请赛高二试题) 方程的解是x=__.

解:.构造等式的对偶等式

解这两个等式组成的“方程组”, 得

分别把它们平方相加、相减后, 可得

再解得.

注: 也可用此题的解法简洁推导出椭圆的标准方程; 还可用椭圆的相关知识解决此题.

四、二项展开式系数问题

例11求的展开式中x的整数次幂项的系数之和.

由二项式定理可得所求答案为.

例12若m ∈ N*, 求证: 大于的最小整数可被2m +1整除.

证明: 设, 得

由二项式定理展开后, 可得2m +1| I.

又, 所以欲证成立.

构造二项展开式的对偶式, 可以简洁求解相应的问题.

五、证明不等式

例13设x, y, z∈ (0, 1) , 求证.

由均值不等式, 可得A + B ≥6, 又B = 3, 所以A ≥3, 即要证结论成立.

构造A的对偶式.

由均值不等式, 得

可得A ≥1/2, 要证结论成立.

例15 ( 2007 年高考福建卷理科第22 ( Ⅲ) 题) 已知函数f ( x) = ex- kx, x ∈ R, 设函数F ( x) = f ( x) +f ( - x) , 求证: F ( 1) F ( 2) …F ( n) > ( en +1+ 2) 2n ( n∈N*) .

证明: 由F ( x) = f ( x) + f ( - x) = ex+ e- x, 得

所以F ( 1) F ( n) > en +1+ 2, F ( 2) F ( n - 1) > en +1+ 2, …, F (n) F (1) >en+1+2.

把它们相乘, 即得要证结论成立.

由0<A<B, 得, 所以

解答2009 年高考山东卷理科第20 题第 ( 2) 问、2009 年高考广东卷理科压轴题第 ( 2) 问的左边和2008年高考福建卷理科压轴题最后一问、2007 年高考重庆卷理科第21 题第 ( 2) 问、1998 年高考全国卷文、理科压轴题第 ( 2) 问、1985 年高考上海理科卷第8 题这七道高考题就是分别要证明 ( 本文中的n ∈ N*) :

下面用构造对偶式的方法给出不等式 ① ~ ⑥ 的简洁证明 ( 因为 ②、④、⑥ 等价, 所以只证 ①、②、③、⑤) :

因为A>B>0, 所以A2>AB=n+1, , 得欲证成立.

注: (1) 由该证明还可得B2<AB=n+1, .

(2) 设, 所以欲证成立.

( 3) 对于不等式 ①、②、③、⑤, 读者均可像 ( 1) 、 ( 2) 这样研究.

② 的证明同例15 的证明.

③的证明设.由A>B>C>0, 得, 所以欲证成立.

⑤的证明设, 得ABC=3n+1.由A>B>C>0, 得, 所以欲证成立.

众所周知, 不等式的证法变化无穷, 深不可测, 而构造对偶式也是一种可以掌握的技巧.

例16求证:2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.

证明:设对偶式A=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos45x, B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x.

可得A + B = 7 ( sin4x + cos4x) + 6sin2xcos2x =7 (sin2x+cos2x) 2-8sin2xcos2x=7-2sin22x=5+2cos22x.

把得到的两个等式相加后, 可得

例17 ( 2012 年全国高中数学联赛湖南省初赛试题) 设{an} 是正项递增的等差数列, 求证:

(1) 对任意的k, l∈N*, 当l>k≥2时, ;

(2) 对任意的k∈N*, 当k≥2时, .

证明: ( 1) 由数列{ an} 的公差d > 0, al> ak> 0及“糖水不等式”, 可得

所以欲证结论成立.

( 2) 由 ( 1) 的结论及题设, 可得

构造对偶式

可得A1> A2> A3> …Ak> 0, 所以, 即

再构造对偶式

可得0 < B1< B2< B3< … < Bk, 所以, 即