脉冲微分方程

脉冲微分方程（精选九篇）

脉冲微分方程 篇1

自然界中的周期现象通常导致人们去研究泛函微分方程周期解的存在性，特别是在一些生态模型中，由于现实意义的需要，往往还要求人们讨论周期正解的存在性。另一方面，脉冲现象在生态模型中也普遍存在着，并有着特别的意义，而脉冲微分方程正是这些脉冲现象最直接的反映，于是讨论脉冲微分方程的正周期解有着重要的意义[1,2,3,4,5]。其中文献[6]讨论了如下非自治时滞脉冲微分方程的周期解的存在性。

但是,这里研究的是滞量为一个定数的情形，对于更复杂的情况比如滞量依赖于未知函数，这类方程通常叫做时滞依赖于状态的微分方程。因此，对于脉冲微分方程周期解有待更进一步的研究，特别是在脉冲和时滞共存甚至更复杂的情形下，系统解的规律与特征尚需深入探讨。所以，在许多实际问题中，要对其准确地描述，就必须同时考虑时滞或脉冲对时滞的影响，这在研究脉冲时滞微分方程解的形态方面具有极为重要的现实意义。本文将进一步考虑如下具有状态依赖时滞的脉冲方程：

式(2)中a∈C(R,(0,∞)),a(t+T)=a(t),f∈C(R×[0,∞)),f(t+T,u)=f(t,u),τ,T>0为常数，tk为脉冲点，Ik∈C(R×[0,∞)，[0,∞))，△y(t)=y(t+k)-y(t-k),y(yk)-和y(t+k)分别是为y(tk)的左右极限，且y(t+k)=y(tk)，而且存在q∈N，使Ik+(qtk+qy)=I(ktk,y),tk+q=tk+T，且当k→∞时，tk→∞，时滞τ(y(t))是最大值存在的非负连续的T-周期函数。

令：

本文主要应用下面定理1来证明正周期解的存在性：

定理A：设E是Banach空间,K是E中的一个锥,让KT={u∈K∶‖x‖

(1)如果对,成立‖Tx‖≥‖x‖,那么(iT,Kr,K)=0

(2)如果对,成立‖Tx‖≤‖x‖,那么(iT,Kr,K)=1

1 预备知识

其中：

PC(R,R)={y:R→R│y(t)在t≠tk处连续，在t=tk处y(tk+)和,(tk-)存在且y(tk+)=y(tk)}，定义范数：

则E是一个Banach空间。

引理1对y∈PC(R,R)⌒C′(R′,R),令：

则方程(2)存在周期解当且仅当方程(3)存在周期解。

证明若y(t)是方程(1)的周期解,则t≠1时,

两边同时积分可得：

由于,

于是

另一方面，若y(t)是方程(3)的周期解，则有：

当t≠tk时,对上式微分，得到：

由于f(t+T,u)=f(t,u)，于是有：

当t=tk时,有：

因此△y(tk)=Ik(tk,y(tk-),t=tk。

令：

其中0<μ≤δ，则K奂E。

定义F∶E→E。

引理2 F(K)奂K。

证明取,则：

即有Fy∈K，所以F(K)奂K。

显然，由Arzela-Ascoli定理易知算子是全连续算子F∶K→K是全边疆算子。

2 主要结果

为行文简便，我们先设定如下假设：

定理1：若条件(H1)(H3)、(H2)(H3)、(H1)(H4)、(H2)(H4)其中之一满足，则方程(2)至少有一个T-周期解。

证明不妨假设(H2)(H3)成立，一方面，由于，则,使：

令,则对于任意的，我们有：

于是。故。

另一方面，由于maxf0,maxI0存在，则,对任意的

于是

所以.由定理A，方程(1)在上至少存在一周期解.其它情形可类似证明，这里从略。

定理2：假设存在两个正常数ρ3,ρ4，ρ3<δρ4且以下条件成立：

其中，r1,r2为正常数且满足，则方程(1)至少有一个T-周期解。

证明不妨假定，令则对任意的。

于是有

令,则对任意的,

于是‖Fy‖≥‖y‖，y∈Ωρ4⌒K,i(F，Ωρ4,K)=0所以由定理A，方程(1)在上至少存在一周期解。

注：若将定理1和定理2中的条件结合起来，我们还可以得到关于方程(1)周期解存在性的一些较好的推论。

参考文献

[1]Liu Bing.Positive periodic solution for a nonautonomous delay differential equation[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,English Series,2003,19(2):307-316.

[2]Jia Junguo,Wang Miansen,Li Meili.Periodic solutions for impulsive delay differential equations in the control model of plankton allelopathy[J].Chaos,Solitons and Fractals,2007,32:962-968.

[3]Yang Zhichun,Xu Daoyi.Existence and exponential stability of periodic solution for impulsive delay differential equations and applications[J].Nonlinear Analysis,2006,64:130-145.

[4]李建利,申建华.一类脉冲微分方程正周期解的存在性[J].应用数学,2004,17(3):456-463.

[5]张小芝,刘斌.一类非自治时滞脉冲微分方程正周期解的存在性[J].数学杂志,2007,27(2):157-163.

[6]刘文祥.具状态依赖时滞的微分方程的周期正解[J].高校应用数学学报A辑,2002,17(1):22-28.

[7]Han Fei,Wang Quanyi.Existence of multiple positive periodic solutions for differential equation with state-dependent delays[J].J.Math.Anal.Appl.,2006,324:908-920.

[8]Arino O.,Hadeler K.P.,Hbid M.L..Existence of periodic solutions for delay differential equations with statedependent delay[J].J.Differential Equations,1998,144,263-301.

[9]Lakshmikatham V.,Bainov D.D.,Simeonov P.S..Theory of Impulsive Differential Equations[M].Singapore:World Scientific,1989.

[10]Deimling K..Nonlinear Analysis[M],New York:Springer,1985.

脉冲微分方程 篇2

一类二阶非线性脉冲微分方程解的振动性

讨论了一类二阶非线性脉冲微分方程解的振动性质,并得到了这类方程解的`振动的一组充分条件.

作 者：徐化忠 张吉庆 XU Hua-zhong ZHANG Ji-qing  作者单位：滨州学院,数学与信息科学系,滨州,256604 刊 名：数学的实践与认识  ISTIC PKU英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 年，卷(期)：2007 37(17) 分类号：O1 关键词：二阶   非线性   脉冲微分方程   振动性  

脉冲微分方程 篇3

【关键词】脉冲泛函动力方程 时间标价 正周期解

A new existence of periodic positive solutions for impulsive functional

Dynamic equation on time scales

ZHANG Min， HONG Shi-huang， FENG Xia

（Institute of Applied Mathematics and Engineering Computations， Hangzhou Dianzi University， Zhejiang Hangzhou 310018 ， China）

【Abstract】This paper deals with a new existence theorem for periodic solutions to a class of non-autonomous impulsive functional dynamic equation with delays on time scale by employing a fixed point theorem in cones. Use a fixed point therorem to obtain a positive solution.To apply the derivative instead of the general derivative，we can obtain a positive solution.

【Key words】Impulsive functional dynamic equation； Time scale； Periodic solution.

脉冲微分系统脉动现象的研究 篇4

考虑以下脉冲微分系统

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=f(t,x),t\ne \tau {}_k(x),k=1,2,\cdots \\ \Delta x={\rm I}{}_k(x),t=\tau {}_k(x),\\ x(t{}_0^{+})=x{}_0,t{}_0\ge 0,\end{array}(1)$

(1) 式中f∈C[R+×Ω, Rn], Ω⊂Rn为开集。

定义1 系统 (1) 的一个解x (t) 碰相同的脉冲面Sk∶t=τk (x) 若干次, 则称这种现象为脉冲现象。无脉动现象意味着系统 (1) 的一个解x (t) 与脉冲面Sk∶t=τk (x) 至多碰一次。现假设系统 (1) 的解在[0, +∞]上存在[1]。

文献[1]给出了一些脉动现象发生和不发生的条件, 其中V.Lakshmikantham等人研究了系统 (1) 的解与每个脉冲面碰且只碰一次的情况。在其基础上, 给出系统 (1) 的解随时间t增加, 沿时间轴反方向依次脉冲面相碰的充分条件。脉动现象的发生在研究解的性质方面增加了困难, 因此要找到条件来保证或防止脉动现象的发生。

1 主要结果

定理1 假设

(ⅰ) f∈C[R+×Ω, Rn], Ik∈C[Ω, Rn], τk∈C′[Ω, (0, ∞) ], 对每个k有τk (x) <τk (x) +α≤τk+1 (x) , 且对每个k, τk都有界, α为正常数。

$(\mathrm{ⅱ})\forall (t,x)\in R{}_{+}\times \Omega ‚\frac{\partial \tau {}_k(x)}{\partial x}f(t,x)\le 1$。

(ⅲ) ∀x∈Ω, 有x+Ik (x) ∈Ω且

(b) τk (x+Ik (x) ) -τk-1 (x) <β;

$(\text{c})\frac{\partial \tau {}_{k-2}}{\partial x}(x+s{\rm I}{}_k(x))\le 2\alpha$。

其中0≤s≤1, β为正常数, 且α≤β。

则系统 (1) 满足τj-1 (x0) <t0<τj (x0) 的任一个解x (t) =x (t, t0, x0) 依次与每个脉冲面Sj-i相碰且只碰一次, 与脉冲面S1至少碰一次, i=0, 1, 2, …, j-2。

证明 令x (t) =x (t, t0, x0) 是系统 (1) 的任一个解且满足τj-1 (x0) <t0<τj (x0) , 由于τj (x) 在Ω上有界且连续, 故必存在唯一的时刻t1>t0使τj (x1) =t1且t<τj (x (t) ) , t<t1。因此解x (t) 碰脉冲面Sj在t=t1时。

现在令x1=x (t1) , x+1=x1+I1 (x1) 。再令σ1 (s) =τk (x+ (1-s) Ik (x) ) -τk-1 (x+sIk (x) ) -β (1-s) , 则σ1 (s) 连续且$\sigma {}_{1^{\prime }}(s)=-\frac{\partial \tau {}_x}{\partial x}(x+(1-s){\rm I}{}_k(x)){\rm I}{}_k(x)-\frac{\partial \tau {}_{k-1}}{\partial x}(x+s{\rm I}{}_k(x)){\rm I}{}_k(x)+\beta$。

由条件ⅲ (a) 知σ1′ (s) ≤0.即σ1 (s) 关于s单调非增。则σ1 (1) ≤σ1 (0) , 即τk (x) -τk-1×

(x+Ik (x) ) ≤τk (x+Ik (x) ) -τk-1 (x) -β。

由条件ⅲ (b) 知τk (x) -τk-1 (x+Ik (x) ) ≤τk (x+Ik (x) ) -τk-1 (x) -β<0, 即

$\tau {}_k(x)＜\tau {}_{k-1}(x+{\rm I}{}_k(x))(2)$

则t1=τj (x1) <τj-1 (x1+Ij (x1) ) =τj-1 (x+1) 。

另一方面, 令σ2 (s) =τk-2 (x+sIk (x) ) -2αs, 则σ2 (s) 连续且$\sigma {}_{2^{\prime }}(s)==\frac{\partial \tau {}_{k-2}}{\partial x}(x+s{\rm I}{}_k(x))\times$

Ik (x) 2α。由条件ⅲ (c) 知σ2′ (s) <0。即σ2 (s) 关于s单调非增。则σ2 (1) <σ2 (0) , 即τk-2 (x+Ik (x) ) -2α<τk-2 (x) +2α≤τk-1 (x) +α≤τk (x) , 故

$\tau {}_{k-2}(x+{\rm I}{}_k(x))＜\tau {}_k(x),(3)$

则τj-2 (x+1) =τj-2 (x1+Ij (x1) ) <τj (x1) =t1。因此τj-2 (x+1) <t1<τj-1 (x+0) 。

令σ3 (t) =τj-1 (x) -t, 则σ3 (t) 连续且$\sigma {}_{3^{\prime }}(t)=\frac{\partial \tau {}_{j-1}(x)}{\partial x}f(t,x)-1\le 0$, 故σ3 (t) 单调非增。又σ3 (t1) =τj-1 (x+1) -τ1>0, σ3 (t0) =τj-1 (x0) -t0<τj (x0) -t0=0。则必存在唯一t2>t1的使σ3 (t2) =τj-1 (x, (t2, t1, x+1) ) -t2=0,

即τj-1 (x, (t2, t1, x+1) ) =t2且t<τj-1 (x (t, t1, x+1) ) , t1<t<t2。

再令T (t) =τj-2 (x (t, t1, x+1) ) -t则${{\rm T}}^{\prime }(t)=\frac{\partial \tau {}_{j-2}}{\partial x}(x(t,t{}_1,x{}_1^{+}))f(t,x)-1\le 0$, 故T (t) 关于t在 (t1, t2) 上单调非增。又T (t1) =τj-2 (x (t1, t1,

x+1) ) -t1<0且τj-2 (x (t, t1, x+1) ) <t, t1≤t≤t2。因此解x (t) 在t1之后在t=t2时第一次碰脉冲面Sj-1。

再令x2=x (t2, t1x+1) , x+2=x2+Ij-1 (x2) , 一方面由式 (2) 可得τj-2 (x+2) =τj-2 (x2+Ij-1 (x2) ) >τj-1 (x2) =t2。另一方面, 由 (3) 可得t2=τj-1 (x2) >τj-3 (x2+Ij-1 (x2) ) =τj-3 (x+2) , 则有τj-3 (x+2) <t2<τj-2 (x+2) 。

同理可证存在唯一的t3>t2使解x (t) 在t2之后在t=t3时第一次碰脉冲面Sj-2。将这个过程继续下去即可得证。

2 应用

例 考虑以下脉冲微分系统

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=1,t\ne \tau {}_k(x),k=1,2,\cdots ,\\ \Delta x={\rm I}{}_k(x),t=\tau {}_k(x),\\ x(t{}_0^{+})=x{}_0,t{}_0＞0\end{array}(4)$

其中τk (x (t) ) =x+k, |x|<10, j=6, α=1, β=3且${\rm I}{}_k(x)=\frac{3}{2},1\le k\le 6,(t{}_0,x{}_0)=(0,-5.5)$则

$\begin{array}{l}\tau {}_5(x{}_0)\le t{}_0＜\tau {}_6(x{}_0),\frac{\partial \tau {}_k(x)}{\partial x}f(t,x)=1\le 1,\\ \frac{\partial \tau {}_k(x)}{\partial x}(x+(1-s){\rm I}{}_s(x)){\rm I}{}_k(x)+\\ \frac{\partial \tau {}_{k-1}(x)}{\partial x}(x+s{\rm I}{}_k(x)){\rm I}{}_k(x)=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\ge 3,\\ \tau {}_k(x+{\rm I}{}_k(x))-\tau {}_{k-1}(x)=\frac{3}{2}+1＜3,\\ \frac{\partial \tau {}_{k-2}(x)}{\partial x}(x+s{\rm I}{}_k(x)){\rm I}{}_k(x)=\frac{3}{2}＜2。\end{array}$

满足定理1的所有条件, 因此系统 (4) 满足τ5 (x0) <t0<τ6 (x0) 的解依次碰脉冲面S6, S5, S4, S3, S2, 且只碰一次, 碰脉冲面S1至少一次, 故系统 (4) 满足τ5 (x0) <t0<τ6 (x0) 的解只可能在脉冲面S1发生脉动现象, 在其他脉冲面不发生脉动现象。

参考文献

[1] Bainov D D, Dishliev AB.Conditions for the absence of phenomenonbeating for sys-tems of impulse differetial equations.Bull Inst MathAcad Sinica, 1985;13:237—256

[2] Hu S, Lakshmikantham V, Leela S, Impulsive differential systems andthe pulse phe-nomenon.J Math Anal Appl, 1989;137:605—612

[3] Lakshmikantham V, Bainov D D, Simecnov P S.Theory of impulsivedifferential equations.World Scientific, 1989:21—31

脉冲微分方程 篇5

具有依赖状态脉冲摄动微分系统的(h0,h)-最终稳定性质

利用变分Lyapunov方法给出具有依赖状态脉冲摄动微分系统(h0,h)-最终稳定性的`比较结果.

作 者：黄志霞 傅希林 HUANG Zhixia FU Xilin 作者单位：山东师范大学数学科学学院,济南,250014刊 名：科学技术与工程 ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING年，卷(期)：5(21)分类号：O175.13关键词：脉冲摄动微分系统 变分Lyapunov函数 最终稳定性质

一类脉冲泛函微分系统的稳定性 篇6

微分系统稳定性理论的一个主要问题就是找到系统解的一致稳定性条件。特别是给出系统解的一致渐近稳定性条件更加困难。近年来, 关于脉冲微分系统的稳定性研究有很大发展[1,2], 但是对脉冲函数在每一个脉冲时刻有同一时滞的系统稳定性研究尚不多见[3]。在本篇论文中, 现主要考虑脉冲条件依赖于时滞的系统, 通过Lyapunov函数以及Razumikhin技巧的应用, 得到了这类系统解的一致渐近稳定性的若干结果。

1 基本知识

考虑如下脉冲函数在每一个脉冲时刻有同一时滞的脉冲泛函微分系统

(1) 式中x∈Rn, f∈C[R+×D, Rn], Ik, Jk∈C[Rn, Rn], k=1, 2, …, D为PC ([-τ, 0], Rn) 中的开集, τ<inf{τk+1-τk}为常数, PC ([-τ, 0], Rn) ={ψ (t) :[-τ, 0]→Rn}, ψ为除去点τk外连续, 且ψ (τ+k) , ψ (τ-k) 存在, ψ (τ+k) =ψ (τk) }.定义$|\text{ϕ}|=\underset{-\tau \le s\le 0}{{\displaystyle \sup }}\parallel \text{ϕ}(s)\parallel$, 其中‖.‖为Rn中的范数。任意t≥t0, xt∈PC ([-τ, 0], Rn) , xt (s) =x (t+s) , -τ≤s≤0, 0=τ0<τ1<τ2<…<τk<…, 且当k→∞时$\tau {}_k\to \infty ,x(t{}^{+})=\underset{s\to t{}^{+}}{{\displaystyle \lim }}x(s),x(t{}^{-})=\underset{s\to t{}^{-}}{{\displaystyle \lim }}x(s),R{}_{\tau }^{+}=[-\tau ,\infty )$。

现假设以下条件成立:

(H1) 对任意t∈[σ-τ, σ], 解x (t;σ, φ) =φ (t-σ) ;

(H2) 对任意的函数x (s) :[σ-τ, ∞]→Rn, 在除去点τk外连续, 且x (τ+k) , x (τ-k) 存在, x (τ+k) =x (τk) , 对任意t∈[σ, ∞) , f (t, xt) 几乎处处连续, 在不连续点处f右连续;

(H3) f (t, φ) 对于φ在集合PC ([-τ, 0], Rn) 的紧子集上满足李普希兹条件;

(H4) 当x∈D时, Ik, Jk满足Ik≠0, Jk≠0且Ik (x) +Jk (x (t-τ) ) ∈D;

(H5) f (t, 0) ≡0, Ik (0) =Jk (0) ≡0, k=1, 2, …x (t) ≡0为系统 (1) 的零解。

在条件 (H1) — (H5) 下, 系统 (1) 的过 (σ, φ) 的解存在且唯一[4]。把满足脉冲泛函微分系统 (1) 的解记作x (t;σ, φ) 。

使用以下符号:

S (ρ) ={x∈Rn:‖x‖<ρ};

PC (ρ) ={ϕ∈PC ([-τ, 0], Rn) :|ϕ|<ρ};

集合K, K1, K2定义如下:

K={ω∈C (R+, R+) :严格梯增且ω (0) =0};

K1={ω∈C (R+, R+) :单调递增且满足φ (s) <s, s>0};

K2={ω∈C (R+, R+) :单调递增}。

给出以下定义。

定义1 称系统 (1) 的零解是:

(D1) 稳定的, 如果对于任意的σ≥t0和ε>0, 存在一个δ=δ (σ, ε) 满足当φ∈PC (δ) 时, 有‖x (t;σ, φ) ‖<ε, t≥σ;

(D2) 一致稳定的, 如果 (D1) 中的δ与σ无关;

(D3) 一致渐近稳定的, 如果它是一致稳定的且存在δ>0, 对于任意的ε>0, 存在T=T (δ, ε) >0满足当φ∈PC (δ) 时, 有‖x (t;σ, φ) ‖<ε, t≥σ+T。

定义2 如果下面的条件满足, 那么称函数V:[t0, ∞) ×s (ρ) →R+是属于v0函数类的;

(1) 函数V在集合[τk-1, τk) ×s (ρ) 上是连续的, 并且对任意的t≥t0, V (t, 0) ≡0;

(2) V (t, x) 在x∈s (ρ) 上满足局部李普希兹条件;

(3) 对每一个k=1, 2, ….下面的式子成立

$\underset{(t,y)\to (\tau {}_k^{-},x)}{{\displaystyle \lim }}V(t,y)=V(\tau {}_k^{-},x)‚\underset{(t,y)\to (\tau {}_k^{-},x)}{{\displaystyle \lim }}V(t,y)=V(\tau {}_k^{+},x)=V(\tau {}_k,x)$。

定义3 设V∈v0, D+V定义为

$D{}^{+}V(t,x(t))=\underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim }}\sup \frac{1}{h}\{V(t+h,x(t)+tf(t,x(t)))-V(t,x(t))\}$。

2 主要结果

定理1 如果存在a, b, c∈K, V∈v0, 使得

(i) a (‖x (t) ‖) ≤V (t, x) ≤b (‖x (t) ‖) ;

(ii) V (τk, Ik (x (τ-k) ) +Jk (x (τ-k-τ) ) ) ≤ (1+bk) V (τ-k, x (τ-k) ) +bkV (τ-k-τ, x (τ-k-τ) ) , 其中k∈Z+, bk≥0;

(iii) 存在ϕ∈PC (ρ) , 函数p (s) 为s≥0时的连续非减函数, 并且该函数满足当s>0时, p (s) >Ms, 其中M=${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(}1+2b{}_k)＜\infty$。对于系统 (1) 的解x (t) 满足, 当V (s, x (s) ) <p (V (t, xt) ) , t-τ≤s≤t时, 有

V′ (t, x (t) ) ≤-c (‖x (t) ‖) ,

则系统 (1) 的零解是一致渐近稳定的。

证明 不失一般性, 假设t0≤τ1。令σ≥t0, 对于任意给定的ε>0, 存在δ=δ (ε) >0, 使得Mb (δ) <a (ε) 。

令x (t) =x (t;σ, φ) 是系统 (1) 过 (σ, φ) 的解, 其中φ∈PC (δ) 。令V (t) =V (t, x (t) ) , 存在m∈Z+, 使得σ∈[τm-1, τm) 。显然, a (‖x (t) ‖) ≤V (t) ≤b (σ) ≤M-1a (ε) , σ-τ≤t≤σ。

首先证明系统 (1) 的零解是一致稳定的。即证

V (t) ≤M-1a (ε) , σ≤t≤τm。 (2)

否则若存在t*∈ (σ, τm) 使得

V (t*) >M-1a (ε) ≥b (δ) ≥V (σ) , (3)

则存在$\overline{t}\in (\sigma ,t{}^{*}]$使得$V^{\prime }(\overline{t})＞0,V(s)\le V(\overline{t}),\overline{t}-\tau \le s\le \overline{t}$, 又$p(V(\overline{t}))＞{\rm M}V(\overline{t})\ge V(s)$, 由条件 (iii) 可知:

$V^{\prime }(\overline{t})\le -c(\parallel x(t)\parallel )\le 0$。

矛盾, 故式 (3) 成立。结合条件 (ii) 可得

V (τm) =V (τm, Im (x (τ-m) ) +Jm (x (τ-m-τ) ) ) ≤

(1+bm) V (τ-m, x (τ-m) ) +bkV (τ-m-τ,

x (τ-m-τ) ) ≤M-1 (1+2bm) a (ε) 。

同理, 可以得到

V (t) ≤M-1 (1+2bm) a (ε) , τm≤t<τm+1,

V (τm+1) ≤M-1 (1+2bm) (1+2bm+1) a (ε) 。

通过上述推导过程, 一般地, 对任意的i=1, 2, …, 有

V (t) ≤M-1 (1+2bm) … (1+2bm+i) a (ε) ,

τm+i≤t<τm+i+1,

V (τm+i+1) ≤M-1 (1+2bm) … (1+2bm+i+1) a (ε) 。

进而可以得到

a (‖x (t) ‖) ≤V (t) ≤a (ε) , t≥σ。

即, ‖x (t) ‖≤ε, t≥σ。

下证系统 (1) 的零解是一致渐近稳定的。

对于任意给定ε1>0, 存在δ使得Mb (δ) =a (ε1) 。由一致稳定的证明过程知, 对任意的ϕ∈PC (δ) , 有

V (t) ≤a (ε1) , ‖x (t) ‖≤ε1, t≥σ。

对任意的ε∈ (0, ε1) , 下证存在T=T (ε) >0, 使得‖x (t) ‖≤ε, t≥σ。

取0<d<inf{p (s) -Ms:M-1a (ε) ≤s≤a (ε1) }, 存在N∈Z+使得a (ε1) ≤M-1[a (ε) +Nd]。

令

γ=inf{c (s) :b-1 (M-1a (ε) ) ≤s≤ε1},

$h=\frac{a(\epsilon {}_1)(1+{\rm M}{}^{*})}{\gamma },{\rm M}{}^{*}={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }2}b{}_k,$

ti=σ+ (2i+1) h, i=0, 1, …, N。

下证

V (t) ≤a (ε) + (N-i) d, t≥ti, i=1, …, N。 (4)

当i=0时, (4) 式显然成立。

假设对于0≤i≤N, 式 (4) 成立。

下证

V (t) ≤a (ε) + (N-i-1) d, t≥ti+1, i=0, 1, …, N。

首先证明存在$\widehat{t}\in {\rm I}{}_i=[t{}_i+h,t{}_{i+1}]$使得

$V(\widehat{t}\le {\rm M}{}^{-1}[a(\epsilon )+({\rm N}-i-1)d])$。 (5)

假设对于所有的t∈Ii, 都有V (t) >M-1[a (ε) +

(N-i-1) d], 则有

M-1a (ε) <V (t) ≤a (ε1) ,

进而有

b-1 (M-1a (ε) ) ≤‖x (t) ‖≤ε1,

p (V (t) ) >MV (t) +d>a (ε) + (N-i) d≥V (s) ,

由h的定义及条件 (iii) 可得

V′ (t) ≤-c (‖x (t) ‖) 。

在[ti+h, t]上对上式积分可得

$V(t)\le V(t{}_i+h)-{\displaystyle {\int }_{t{}_i+h}^{t}c}(\parallel x(t))\parallel \text{d}s+{\displaystyle \sum _{t{}_i+h\le \tau {}_k＜t}[}V(\tau {}_k)-V(\tau {}_k^{-})]\le a(\epsilon {}_1)-\gamma (t-t{}_i-h)+{\displaystyle \sum _{t{}_i+h\le \tau {}_k＜t}b}{}_k(V(\tau {}_k^{-})+V(\tau {}_k^{-}-\tau ))\le a(\epsilon {}_1)-\gamma (t-t{}_i-h)+{\displaystyle \sum _{t{}_i+h\le \tau {}_k＜t}2}b{}_{k}a(\epsilon {}_1)\le (1+{\rm M}{}^{*})a(\epsilon {}_1)-\gamma (t-t{}_i-h)$。

令t=ti+1则

$V(t{}_{i+1})\le (1+{\rm M}{}^{*})a(\epsilon {}_1)-\gamma \frac{(1+{\rm M}{}^{*})a(\epsilon {}_1)}{\gamma }=0$。

矛盾, 故式 (5) 成立。

令l=min{k∈Z+:$\tau {}_k\ge \widehat{t}\}$,

$V(t)\le {\rm M}{}^{-1}[a(\epsilon )+({\rm N}-i-1)d],\widehat{t}\le t\le \tau {}_l$。

否则若存在$\tilde{t}$∈ ($\widehat{t}$, τl) , 使得

$V(\tilde{t})＞{\rm M}{}^{-1}[a(\epsilon )+({\rm N}-i-1)d]\ge V(\widehat{t})$,

则存在$\underset{¯}{t}\in (\widehat{t},\tilde{t}]$使得

$V^{\prime }(\underset{¯}{t})＞0,V(\underset{¯}{t})\ge {\rm M}{}^{-1}[a(\epsilon )+({\rm N}-i-1)d]$。

另一方面, $\underset{¯}{t}-h\le s\le \underset{¯}{t}$,

$p(V(\underset{¯}{t}))＞{\rm M}V(\underset{¯}{t})+d＞a(\epsilon )+({\rm N}-i)d\ge V(s)$。

由条件 (iii) 可得

V′ (t) ≤-c (‖x (t) ‖) ≤0,

矛盾。所以

V (τl) ≤ (1+bl) V (τ-l) +blV (τ-l-τ) ]≤

M-1 (1+2bl) [a (ε) + (N-i-1) d]。

一般地有:

V (t) ≤M-1 (1+2bl) … (1+2bl+i) [a (ε) + (N-i-1) d], τl+i≤t≤τl+i+1,

V (τl+i+1) ≤M-1 (1+2bl) … (1+2bl+i) [a (ε) +

(N-i-1) d], τl+i≤t≤τl+i+1, i=0, 1, …

所以

$V(t)\le a(\epsilon )+({\rm N}-i-1)d,t\ge \widehat{t}$,

由数学归纳法知式 (4) 成立。

当i=N时有

a (‖x (t) ‖) ≤V (t) ≤a (ε) , t≥σ+ (2N+1) h。

令T= (2N+1) h, 则有‖x (t) ‖≤ε, t≥σ+T, 证毕。

由定理1的证明过程可得定理2。

定理2 如果存在a, b, c∈K, V∈v0, 使得

(i) a (‖x (t) ‖) ≤V (t, x) ≤b (‖x (t) ‖) ;

(ii) V (τk, Ik (x (τ-k) ) +Jk (x (τ-k-τ) ) ) ≤ (1+bk) V (τ-k, x (τ-k) ) +ckV (τ-k-τ, x (τ-k-τ) ) , 其中$k\in {\rm Z}{}^{+}‚b{}_k\ge 0,{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(}b{}_k+c{}_k)＜\infty$;

(iii) 存在ϕ∈PC (ρ) , 函数p (s) 为s≥0时的连续非减函数, 并且该函数满足当s>0时, p (s) >Ms, 其中${\rm M}={\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(}1+b{}_k+c{}_k)＜\infty$。对于系统 (1) 的解x (t) 满足, 当V (s, x (s) ) <p (V (t, xt) ) , t-τ≤s≤t时, 有

V′ (t, (x (t) ) ) ≤-c (‖x (t) ‖) ,

则系统 (1) 的零解是一致渐近稳定的。

例 考虑下面的脉冲微分系统

(6) 式中a, b:[0, ∞) →R为连续函数, $\tau ＞0,\parallel {\rm I}{}_k(x)\parallel \le (1+b{}_k)\parallel x\parallel ,\parallel J{}_k(x)\parallel \le b{}_k\parallel x\parallel ‚x\in R‚b{}_k＞0,{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b}{}_k＜\infty$。假设系统 (6) 的零解存在, 对于任意的λ>1, 存在L>0使得$-a(t)+\lambda {\rm M}\parallel b(t)\parallel \le -L,{\rm M}={\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(}1+2b{}_k)$。

令V (t, x (t) ) =‖x‖, 有

V (tk, x (tk) ) =‖Ik (x (t--k) ) +Jk (x (t-k-

τ) ) ‖≤‖Ik (x (t-k) ) ‖+

‖Jk (x (t-k-τ) ) ‖≤ (1+

bk) ‖x (t-k) ‖+bk‖x (t-k-

τ) ‖= (1+bk) V (tk) +bkV (t-k-τ) ,

令p (s) =λMs对于系统 (6) 的任一解x (t) =x (t, σ, φ) 若满足

p (V (t, x (t) ) ) >V (s, x (s) ) , t-τ≤s≤t,

即

λM‖x (t) ‖>‖x (t-τ) ‖,

此时有

V′ (t, x (t) ) ≤-a (t) ‖x (t) ‖+‖b (t) ‖‖x (t-

τ) ‖≤[-a (t) +λM‖b (t) ‖‖x (t) ‖≤

-L‖x (t) ‖。

由定理1可得系统 (6) 的零解是一致渐近稳定的。

参考文献

[1] Laksbmikantham V, Bainov D D, Simeonov P S.Theory of impulsive differential equations.Singapore:Word Scientific, 1989

[2] Bainov D D, Simeonov P S.Systems with impulse effect:stability and applications.Chichester, Ellis Horwood, 1989

[3] Luo Zhiguo.Stability Theorems of impulsive functional differential equations with infinite delays.Acta Sci Nat Univ Norm Hunan, 1999;

[4] Luo Zhiguo, Shen Jianhua.Stability and boundedness for impulsivefunctional differential equations with infinite delays.Nonlinear Analy-sis, 2001;46:475—493

[5] Zhang Yu, Sun Jitao.Stability of impulsive functional differential e-quations, Nonlinear Analysis, 2008;68:3665—3675

脉冲微分方程 篇7

近年来, 脉冲控制问题, 如卫星的轨道运行、神经网络的优化控制、经济系统的管理、金融市场的资本供求等, 引起了许多研究者的广泛关注[1,2,3,4,5,6]。本文考虑将锥值Lyapunov函数方法与变分Lyapunov函数方法有机地结合起来研究固定时刻脉冲微分控制系统的稳定性。考虑不带脉冲的常微分系统

作为比较系统, 将脉冲控制系统看做系统 (1) 的扰动系统, 建立一个新的比较原理, 从而由常微分系统式 (1) 的稳定性质, 得到脉冲微分控制系统相应的稳定性质。

1 预备知识

考虑如下固定时刻脉冲微分控制系统

式 (2) 中f∈C[R+×Rn×Rm, Rn], Ik∈C[Rn×Rm, Rn], t0<t1<…<tk<…为脉冲时刻且tk→∞时kk→∞。u为给定控制集Ω={u∈Rm:U (t, u) ≤r (t, t0, w0) , t≥t0}中任一控制向量, U∈PC[R+×Rm, RN+], 满足$\underset{(t,v)\to (t{}_k^{+},u)}{{\displaystyle \lim }}U(t,v)=U(t{}_k^{+},u),r(t,t{}_0,w{}_0)$是系统

过 (t0, w0) 在[t0, ∞) 上的最大解, 其中g (t, u, v) ∈PC[R+×RN+×RN+, RN+], g (t, 0, 0) =0, ψk (u, v) ∈PC[RN+×RN+, RN+], 对每一个k∈N+, ψk (u, v) 关于u, v分别拟单调非减。

定义1v0:R+×Rn→P, 称为系统 (1) 的锥值Lyapunov函数类, 若

(i) V∈v0, 对所有的k=1, 2, …, V在 (tk-1, tk]×Rn上连续且其一阶导数可积, 对任意的 (∈) , t≥t0, V (t, 0) =0;

(ii) 对所有的x∈Rn, 极限$\underset{(t,y)\to (t{}_k^{+},x)}{{\displaystyle \lim }}V(t,y)=V(t{}_k^{+},x)$存在;

(iii) V (t, x) 关于x在锥P上满足局部Lipschitz条件。

设V∈v0, 对于 (t, x) ∈ (tk-1, tk]×Rn, k=1, 2, …, 我们引入锥值变分Lyapunov函数V (s, y (t, s, x) ) 及其沿系统 (2) 的Dini导数为

$D{}^{+}V(s,y(t,s,x))=\underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}\frac{1}{h}[V(s+h,y(t,s+h,x+f(s,x,u)))-V(s,y(t,s,x))]$,

ΔV=V (t+k, y (t, t+k, x (tk) +Ik (x (tk) , u) ) ) -V (tk, y (t, tk, x (tk) ) ) 。

其中y (t, s, x) 是系统 (1) 满足y (s, s, x) =x的任意解。

2 主要结果

我们要用锥值变分方法建立一个新的比较原理, 在此之前首先给出如下引理。

引理1[3] 假设 (i) g∈PC[R+×P×P, RN], 对每一个 (t, v) , g (t, u, v) 关于u在锥P上拟单调非减, 对每一个 (t, u) , g (t, u, v) 关于v在锥P上非减;

(ii) ψk:P×P→P, 对每一个k=1, 2, …, ψk (u, v) 关于 (u, v) 在锥P上非减;

(iii) r (t) =r (t;t0, w0) 是系统 (3) 在锥P上的最大解;

(iv) R (t) =R (t;t0, w0) 是如下脉冲微分系统

在锥P上的最大解;

则 m (t) ≤pR (t) =pr (t) , t≥t0。

定理1 假设 (i) (ii) 同引理1;

(iii) r (t, s, t0, w0) 是系统

过 (t0, w0) 的最大解, 其中g1∈PC[R+×R+×P×P, RN], 对每一个 (t, s, v) , (t, s, u) , g1 (t, s, u, v) 关于u, v在锥P上拟单调非减, g1 (t, t, w, w) ≡g (t, w, w) ;

(iv) v, V∈PC[R+×Rn, P], V (t, x) ∈v0, 对每一个 (t, s) , |y (t, s, x) |关于x在锥P上满足局部Lipschitz条件, 且

则当V (t0, y (t, t0, x0) ) ≤pw0时, 有V (t, x (t) ) ≤pr0 (t, t0, w0) , ∀t≥t0, 其中x (t) =x (t, t0, x0, u) , y (t, t0, x0) 分别是系统 (2) 、系统 (1) 的解, r0 (t, t0, w0) 是系统 (3) 在锥P上的最大解且r0 (t, t0, w0) ≡r (t, t, t0, w0) 。

证明 设y (t, s, x (s) ) 是系统 (1) 在t0≤s≤t<∞上的以 (s, x (s) ) 为初值的任一解。

令m (t, s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) , 当s≠tk时, 对充分小的h>0, 由于对每一个 (t, s) , V (t, x) 及y (t, s, x) 关于x在锥P上满足局部Lipschitz条件, 假设Lipschitz常数分别为L1、L2, 有

$\begin{array}{l}D{}^{+}m(t,s)=\underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}\frac{1}{h}[m(t,s+h)-m(t,s)]=\\ \underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}\frac{1}{h}[V(s+h,y(t,s+h,x(s+h)))-V(s+h,y(t,s+h,x+hf(s,x‚u)))]+\underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}\frac{1}{h}[V(s+h,y(t,s+h,x+hf(s,x,u)))-V(s,y(t,s,x(s)))]\le \underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}\frac{1}{h}L{}_1|y(t,s+h,x(s+h))-y(t,s+h,x+hf(s,x,u)|+\underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}\frac{1}{h}[V(s+h,y(t,s+h,x+hf(s,x,u)))-V(s,y(t,s,x(s)))]\le \\ \underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}\frac{1}{h}L{}_{1}L{}_2|x(s+h)-x-hf(s,x,u)|+\underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}\frac{1}{h}[V(s+h,y(t,s+h,x+hf(s,x,u)))-V(s,y(t,s,x(s)))]\le \\ {}_{p}g(t,s,V(s,y(t,s,x)),v(s)),s\ne t{}_k,t{}_0\le s\le t。\end{array}$

当s=t+k时, 有

当V (t0, y (t, t0, x0) ) ≤pw0时, 易得m (t, t0) =V (t0, y (t, t0, x0) ) ≤pw0。

再由条件v (s) ≤pr (t, s, t0, w0) , t0≤s≤t<∞, 及引理1可知,

m (t, s) ≤pr (t, s, t0, w0) , t0≤s≤t。

特别地, 取s=t有m (t, t) =V (t, x (t) ) ≤pr (t, t, t0, w0) =pr0 (t, t0, w0) , ∀t≥t0。证毕。

由定理1易得如下推论, 证明不再赘述。

推论1 在定理1中, 取N=1, g (t, s, u, v) ≡0, w0=V (t0, y (t, t0, x0) ) , ψt (u, v) ≡u, k=1, 2, …, 则

V (t, x (t, t0, x0) ) ≤pV (t0, y (t, t0, x0) ) , ∀t≥t0。

给定可控集Ω={u∈Rm:U (s, u) ≤r (t, s, t0, w0) , t0≤s<t<∞}, 其中U:R+×Rm→R+, 在 (tk-1, tk]×Rm上连续, 对任意u∈Rm, k=1, 2, …, 极限$\underset{(t,v)\to (t{}_{k-1}^{+},u)}{{\displaystyle \lim }}U(t,v)=U(t{}_{k-1}^{+},u)$存在, r (t, s, t0, w0) 是系统 (5) 在t0≤s≤t<∞上的最大解。下面根据定理1给出非线性脉冲微分控制系统系统 (2) 稳定性的比较结果。

定理2 假设 (i) h0, h∈Γ, h0比h好, Q0, Q∈Σ, Q0比Q好;

(ii) V (t, x) ∈v0, 对每一个 (t, s) , y (t, s, x) 关于x在锥P上满足局部Lipschitz条件;

(iii) 对任意控制向量u∈Ω, 有

(iv) 存在a∈CK, b∈K, 使得

(v) 对任意控制向量u∈Ω, 当 (t, x) ∈

S (h, ρ) ∩S (h, ρ0) 时, 有

(t+, x+Ik (x, u) ) ∈S (h, ρ) 。

则由系统 (1) 的$(h{}_0,\stackrel{\sim }{{\displaystyle h}}{}_0)-$稳定性性质可推出对任意控制向量u∈Ω, 系统 (2) 具有相应的 (h0, h) -稳定性质。

证明 (10) 以稳定为例, 任取ϵ:0<ϵ<min{ρ, ρ0}, t0∈R+。

由h0比h好可知, 存在常数δ0>0及函数ψ∈CK, 使得

h (t, x) ≤ϕ (t, h0 (t, x) ) , (t, x) ∈S (h0, δ0) (2.1)

由Q0比Q好可知, 存在常数λ>0及函数ψ∈K, 使得当Q0 (w) <λ时, 有

Q (w) ≤ψ (Q0 (w) ) (2.2)

由α∈CK知, 存在ξ=ξ (t0, ϵ) >0, 满足ξ<ρ0, a (t0, ξ) <λ, 使得

a (t0, h0 (t0, y (t) ) ) <ψ-1 (b (ϵ) ) ,

(t0, y (t) ) ∈S (h0, ξ) , ∀t≥t0 (2.3)

假设系统 (1) 是$(h{}_0,\stackrel{\sim }{{\displaystyle h}}{}_0)-$稳定的, 对上述ξ>0, 存在δ1=δ1 (t0, ϵ) >0, 使得

h0 (t0, y (t) ) <ξ, (t0, x0) ∈S (h0, δ1) , ∀t≥t0 (2.4)

取δ=δ (t0, ϵ) <min{δ0, δ1}, 满足ϕ (t0, δ) <ϵ。由式 (2.1) 易得当h0 (t0, x0) <δ时, 有h (t0, x0) ≤ϕ (t0, h0 (t0, x0) ) <ϕ (t0, δ) <ϵ。下证:当h0 (t0, x0) <δ时, h (t, x (t) ) <ϵ, ∀t>t0。若不然, 则存在u0∈Ω, 存在系统 (2) 相应的解x (t) =x (t, t0, x0, u0) , 存在t*>t0, t*∈ (tk, tk+1]对某一k成立, 使得

h (t*, x (t*) ) ≥ϵ, h (t, x (t) ) <ϵ, t∈[t0, tk]。

由h (tk, x (tk) ) <ϵ<min{ρ, ρ0}及条件 (v) 可知

h (t+k, x (tk) +Ik (x (tk) , u0) ) <ρ。

所以∃$\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}}\in (t{}_k,t{}^{*}]$, 使得, $ϵ\le h(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}},x(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}}))＜\rho ,h(t,x(t))＜\rho ,t\in [t{}_0,\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}}]$。

取w0=V (t0, y (t, t0, x0) ) 。由条件 (iii) 及推论1可知

$V(t,x(t,t{}_0,x{}_0,u{}^0))\le V(t{}_0,y(t,t{}_0,x{}_0)),t\in [t{}_0,\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}}]$。

又由条件 (iv) 可知, $Q{}_0(V(t{}_0,y(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}})))\le a(t{}_0,h{}_0(t{}_0,y(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}})))＜a(t{}_0,\xi )＜\lambda$, 所以

$\begin{array}{l}b(ϵ)\le b(h(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}},x(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}})))\le Q(V(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}},x(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}})))\le \\ Q(V(t{}_0,y(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}})))\le \psi (Q{}_0(V(t{}_0,y(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}}))))\le \\ \psi (a(t{}_0,h{}_0(t{}_0,y(\stackrel{\sim }{{\displaystyle t}}))))＜\psi (\psi {}^{-1}(b(ϵ)))=\end{array}$

b (ϵ) 。

矛盾。由定义即证出系统 (2) 是 (h0, h) -稳定的。

(20) 以渐近稳定为例。

假设系统 (1) 是$(h{}_0,\stackrel{\sim }{{\displaystyle h}}{}_0)-$渐近稳定的, 由 (10) 可知系统 (2) 是 (h0, h) -稳定的。

取ϵ0=min{ρ, ρ0}, 任取t0∈R+, 存在δ*0=δ*0 (t0, ϵ0) >0。使得

h (t, x (t) ) <ϵ0, (t0, x0) ∈S (h0, δ*0) , ∀t≥t0 (2.5)

∀ϵ:0<ϵ<min{ρ, ρ0}, ∀t0∈R+, 由系统 (1) 是$(h{}_0,\stackrel{\sim }{{\displaystyle h}}{}_0)-$渐近稳定的, 可知

对于 (10) 中的ξ> 0, 存在δ*1> 0和T=T (t0, ϵ) , 使得

h0 (t0, y (t) ) <ξ, (t0, x0) ∈S (h0, δ*1) , ∀t≥t0+T (2.6)

取δ=δ (t0) <min{δ*0, δ*1}下证:当h0 (t0, x0) <δ时, h (t, x (t) ) <ϵ, ∀t≥t0+T。

若不然, 则存在u0∈Ω及系统 (2) 相应的解x (t) =x (t, t0, x0, u0) , 存在序列{t (n) }, t (n) ≥t0+T, 使得

ϵ≤h (t (n) , x (t (n) ) ) <ρ。

取w0=V (t0, y (t, t0, x0) ) , 由式 (2.5) 及推论1可知

V (t, x (t, t0, x0, u0) ) ≤V (t0, y (t, t0, x0) ) , ∀t≥t0。

又由式 (2.2) 、式 (2.6) 可知Q0 (V (t0, y (t (n) ) ) ) ≤a (t0, h0 (t0, y (t (n) ) ) ) <a (t0, ξ) <λ, 所以

矛盾。证毕。

参考文献

[1]傅希林, 闫宝强, 刘衍胜.脉冲微分系统引论.北京:科学出版社, 2005

[2]傅希林, 闫宝强, 刘衍胜.非线性脉冲微分系统.北京:科学出版社, 2008

[3] Mcrae F A.Practical stability of impulsive control systems.Mathemat-ical Analysis and Applications, 1994;181:656—672

[4] Akinyele O.Cone-valued Lyapunov functions and stability of impul-sive control systems.Nonlinear Analysis, 2000;39:247—259

[5] Liu Xinzhi, Liu Yanqun, Teo Kok Lay.Stability analysis of impulsivecontrol systems.Mathematical and Computer Modelling, 2003;37:1357—1370

[6]代新利.两类脉冲微分系统的稳定性研究.济南:山东师范大学硕士毕业论文, 2005

脉冲微分方程 篇8

近年来,由于脉冲泛函微分系统广泛的应用背景,对该系统的研究也逐渐成为一个热点[1,2,3]。一致稳定性质作为稳定性研究的一个重要方面,已经取得了许多成果,用变分Lyapunov函数结合Razumikhin技巧研究脉冲泛函微分系统的稳定性在文献[4]中已经给出若干直接结果。本文通过建立变分比较原理得到有界滞量脉冲泛函微分系统关于两个测度的一致稳定性质的比较结果。

1预备知识

考虑如下脉冲泛函微分系统

式(Ⅰ)中F∈C([t0,+∞)×D,Rn),D∈PC([-r,0],Rn),r>0,PC([-r,0],Rn)={ψ:[-r,0]→Rn,是除去点列tk的连续函数。在这些点处ψ(t${}_k^{+}$)和ψ(t-k )存在且ψ(t${}_k^{+}$) = ψ(tk )} ,f(t,0)=0,Ik∈C(Rn,Rn),Ik(0)=0,脉冲时刻tk满足:$0\le t{}_0<t{}_1<\cdots <t{}_k<\cdots ,\underset{k\to \infty }{{\displaystyle \lim }}t{}_k=+\infty ,k\in {\rm Z}{}_{+},F,{\rm I}{}_k$满足一定的条件以保证系统(I)的解整体存在唯一。

若把系统(I)看做是摄动系统,不考虑脉冲影响,则相应的非摄动系统为:

式(II)中F(t,xt)=f(t,x)+R(t,xt),x0=φ(0),f∈C([-r,+∞)×Rn,Rn),R∈C([t0,+∞)×D,Rn)。

为叙述方便,引入记号:

K={a∈C[R+,R+]:a(0)=0且a(u)关于u严格递增};

Ω1={φ(s)∈C[RN+,RN+]:φ(s)>s,s>0};

Γ={h:R+×Rn→R+:对每个x∈Rn,h(·,x)∈PC,对每个t∈R+,h(t,·)∈C[Rn,R+],且$\underset{x}{{\displaystyle \inf }}h(t,x)=0\}$。

定义1 称函数V:[t0 , + ∞)×Rn→R${}_{+}^{{\rm N}}$是v0函数类,若满足:

(i)对每一个k,V在(tk,tk+1]×Rn上连续,$\underset{(t,y)\to (t{}_k^{+},x)}{{\displaystyle \lim }}V(t,y)=V(t{}_k^{+},x)$存在;

(ii)V(t,x)关于x满足局部Lipschitz条件,V(t,0)=0。

定义2 对于V∈v0,t0≤s<t,s≠tk,k=1,2,…,令$D{}^{+}V(s,y(t,s,x(s)))=\underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim }}\sup \frac{1}{h}[V(s+h,y(t,s+h,x+hF(s,x{}_s)))-V(s,y(t,s,x(s)))]$。

其中y(t,s,x)为系统(II)满足y(s,s,x)=x的任一解。

定义3 令h0∈Γ,φ∈PC([-r,0],Rn),有

$\tilde{h}{}_0(t{}_0,\phi )=\underset{-r\le s\le 0}{{\displaystyle \sup }}\{h{}_0(t{}_0+s,\phi (s))\}$。

定义4 设h0,h∈Γ,x(t)=x(t,t0,φ)是系统(I)满足初始条件(t0,φ)的解,则称系统(I)为:

$(\text{i})(\tilde{h}{}_0,h)-$一致稳定:对任意的ε>0,t0∈R+,存在δ=δ(ε)>0,使当$\tilde{h}{}_0(t{}_0,\phi )<\delta$时,对任意的t≥t0,有h(t,x(t))<ε。

$(\text{i}\text{i})(\tilde{h}{}_0,h)-$一致渐近稳定:若(i)成立,且满足存在η>0,对任意的γ>0,t0∈R+存在T=T(γ)>0,使当$\tilde{h}{}_0(t{}_0,\phi )<\eta$时,对任意的t≥t0+T,有h(t,x(t))<γ。

2主要结果

引理1[1] 若V∈C(R×Rn,R),g∈C(R+×R,R+),且r(t)=r(t,t0,u0)为系统

$\{\begin{array}{l}{u}^{\prime }=g(t,u),\\ u(t{}_0)=u{}_0,\end{array}$

在[t0,+∞)上的最大解,满足当V(t+θ,φ(θ))≤V(t,φ(0)),θ∈[-r,0]时,有D+V(t,φ(0))≤g(t,V(t,φ(0)))。则当$\underset{-r\le \theta \le 0}{{\displaystyle \max }}V(t{}_0+\theta ,\phi (\theta ))\le u{}_0$时,有V(t,x(t))≤r(t,t0,u0),t≥t0,其中x(t)是系统(I)的解。

定理1 若:(i)g:R${}_{+}^2$×R${}_{+}^{{\rm N}}$→RN在(tk,tk+1]上关于s连续,对任意的t∈R+,u∈R${}_{+}^{{\rm N}}$,有

$\underset{(t,s,w)\to (t,t{}_k^{+},u)}{{\displaystyle \lim }}g(t,s,w)=g(t,t{}_k^{+},u),g(t,s,u)$关于u拟单调不减,且g(t,0,0)=0;

(ii)存在ψk∈Ω1,k=1,2,…,r(t,s,t0,u0)是系统

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}u(s)}{\text{d}s}=g(t,s,u),s\ne t{}_k,\\ u(t{}_k^{+})=\psi {}_k(u(t{}_k)),s=t{}_k,\\ u(t{}_0^{+})=u{}_0.\end{array}(\mathrm{Ⅲ})$

定义在[t0,t]上最大解;

(iii)存在函数V:[t0 -r, + ∞)×Rn→R${}_{+}^{{\rm N}}$,V∈v0,P,ψk∈Ω1,对任意的(t,s),s∈[t0,t],y(t,s,x)关于x满足局部Lipschitz条件,当

V(s+θ,y(t,s+θ,x(s+θ)))≤P(V(s,y(t,s,x(s)))),θ∈[-r,0]时,有D+V(s,y(t,s,x(s)))≤g(t,s,V(s,y(t,s,x(s)))),s≠tk。

V(t${}_k^{+}$,y(t,t${}_k^{+}$,x(t${}_k^{+}$)))≤ψk(V(tk,y(t,tk,x(tk))));

则当$\underset{-r\le \theta \le 0}{{\displaystyle \max }}V(t{}_0+\theta ,y(t,t{}_0+\theta ,\phi (\theta )))\le u{}_0$时,有

V(t,x(t))≤r0(t,t0,u0),t≥t0,其中

$\begin{array}{l}r{}_0(t,t{}_0,u{}_0)=\{\begin{array}{l}r{}_1(t,t{}_0,u{}_0),t\in [t{}_0,t{}_1],\\ r{}_2(t,t{}_1,r{}_1^{+}),t\in (t{}_1,t{}_2],\\ ⋮\\ r{}_k(t,t{}_{k-1},r{}_{k-1}^{+}),t\in (t{}_{k-1},t{}_k],\\ ⋮\end{array}\\ r{}_0(t,t{}_0,u{}_0)=r(t,t,t{}_0,u{}_0),y(t,t{}_0,x{}_0)\end{array}$

为系统(II)的解,x(t,t0,φ)为系统(I)的解。

定理2 若h0,h,h*∈Γ,V∈C([t0-r,+∞)×Rn,R+),且满足:

(i)h*比h一致好,h*(t,x)关于t非减;

(ii)V(t,x)是h*-渐小的,在S(h,ρ)上是h-正定;

$(\text{i}\text{i}\text{i})g\in C\left[R{}_{+}^3,R\right],{\rm P},\psi {}_k\in \text{Ω}{}_1$,对任意的(t,s),s∈[t0,t],V(t,x)、y(t,s,x)关于x满足局部Lipschitz条件,当:

V(s+θ,y(t,s+θ,x(s+θ)))≤

P(V(s,y(t,s,x(s)))),θ∈[-r,0]时,有

D+V(s,y(t,s,x(s)))≤

g(t,s,V(s,y(t,s,x(s)))),s≠tk,

V(t${}_k^{+}$,y(t,t${}_k^{+}$,x(t${}_k^{+}$)))≤

ψk(V(tk,y(t,tk,x(tk))));

(iv)存在ρ0∈(0,ρ),使当h(tk,x)<ρ0时,有

h(t${}_k^{+}$,x + Ik(x)) < ρ;

(v)系统(II)是(h0,h*)-一致稳定的则由系统(III)零解的一致稳定性可推出系统(I)相应的$(\tilde{h}{}_0,h)-$一致稳定性。

证明

1°先证:由系统(III)零解的一致稳定推出系统(I)相应的$(\tilde{h}{}_0,h)-$一致稳定。由条件(i), (ii)知:存在b∈K,有V(t,x)≥b(h(t,x)),(t,x)∈S(h,ρ);

存在δ0>0,a∈K,有

V(t,x)≤a(h*(t,x)),(t,x)∈S(h*,δ0);

存在δ1>0,φ∈K,有

h(t,x)≤φ(h*(t,x)),(t,x)∈S(h*,δ1);

φ(δ1)<ρ。对任意ε∈(0,ρ0),由系统(III)零解一致稳定知:对b(ε),存在0<δ2=δ2(ε)<min{a(δ0),φ(δ1),b(ε)},使当0<u0<δ2时,有u(t,t0,u0)<b(ε),t≥t0。

由系统(II)是(h0,h*)-一致稳定的知:对于a-1(δ2),存在δ=δ(ε)>0,使当h0(t0,x0)<δ时,有

h*(t,y(t,t0,x0))<a-1(δ2),t≥t0。

下证:对系统(I)的任意解x(t),当$\tilde{h}{}_0(t{}_0,\phi )<\delta$时,有h(t,x(t))<ε,t≥t0。

反证之,若不然,存在系统(I)满足$\tilde{h}{}_0(t{}_0,\phi )<\delta$的某个解x(t),存在t*>t0,tk<t*≤tk+1,h(t*,x(t*))≥ε,h(t,x(t))<ε,

t∈[t0,tk]。由条件(iv)知:h(t${}_k^{+}$,x + Ik (x))<ρ,从而存在t0∈(tk,t*],使得

ε≤h(t0,x(t0))<ρ,h(t,x(t))<ρ,t∈[t0,t0]。

由条件(iii)及定理1知:

V(t,x(t))≤r0(t,t0,u0),t∈[t0,t0],r0(t,t0,u0)是系统(III)的最大解。取$u{}_0=\underset{-r\le \theta \le 0}{{\displaystyle \max }}V(t{}_0+\theta ,y(t,t{}_0+\theta ,\phi (\theta )))$,由h*(t0+θ,y(t,t0+θ,φ(θ)))≤h*(t,y(t))<a-1(δ2),有

V(t0+θ,y(t,t0+θ,φ(θ)))≤a(h*(t0+θ,y(t,t0+θ,φ(θ))))<δ2从而有0<u0<δ2,此时r0(t,t0,u0)<b(ε),t∈[t0,t0],r0(t,t0,u0)是系统(III)的最大解。当t=t0时,有b(ε)≤b(h(t0,x(t0)))≤V(t0,x(t0))≤r0(t0,t0,u0)<b(ε),矛盾,从而有h(t,x(t))<ε,t≥t0。

2°再证:由系统(III)零解的一致渐近稳定可推出系统(I)相应的$(\tilde{h}{}_0,h)-$一致渐近稳定,只需证由系统(III)零解的一致吸引推出系统(I)相应的$(\tilde{h}{}_0,h)-$一致吸引。由系统(III)零解是一致吸引知:存在0 < δ*0 < min{ a(δ0 ),φ(δ1 )} ,当0 < u0 < δ*0 时,有$\underset{t\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}u(t,t{}_0,u{}_0)=0$。由系统(II)是(h0,h*)-一致稳定的知:对于a-1(δ*0 ),存在0 < δ*1 < a-1(δ*0 ),使当h0 (t0 ,x0 ) < δ*1 时,有

h*(t,y(t,t0 ,x0 )) < a-1(δ*0 ),t≥t0 。由1°知系统(I)是$(\tilde{h}{}_0,h)-$一致稳定的,对ρ>0,存在δ*2 = δ*2 (ρ) > 0,当$\tilde{h}{}_0(t{}_0,\phi )<\delta {}_2^{*}$时,有h(t,x(t))<ρ,t≥t0。令δ* = min{ δ*1 ,δ*2 } 。

下证,对系统(I)的任意解x(t),当$\tilde{h}{}_0(t{}_0,\phi )<\delta {}^{*}$时,有$\underset{t\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}h(t,x(t))=0$。

由条件(iii)及定理1知:V(t,x(t))≤r0(t,t0,u0),t∈[t0,t0]。取$u{}_0=\underset{-r\le \theta \le 0}{{\displaystyle \max }}V(t{}_0+\theta ,y(t,t{}_0+\theta ,\phi (\theta )))$,由1°得0 < u0 < δ*0 ,从而有$\underset{t\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}r{}_0(t,t{}_0,u{}_0)=0$,即$\underset{t\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}h(t,x(t))=0$,结论得证。

例:考虑如下脉冲时滞微分系统:

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=-x(t)+b(t)x(t-\tau )-a(t)x(t),t\ne t{}_k\\ x(t{}_k^{+})=c{}_{k}x(t{}_k),t=t{}_k,k=1,2,\cdots \\ x{}_{t{}^{+}}{}_0=\phi {}_0\end{array}(2.1)$

式(2.1)中$a(t)\ge a>0,|b(t)|\le b,|c{}_k|<1,{\rm M}={\displaystyle \prod _{k=1}^{+\infty }(}1+c{}_k)$且有a>bMeτ。考虑一般系统

$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(t)=-y,\\ y(t{}_0)=x{}_0=\phi {}_0(0)\end{array}(2.2)$

同时考虑比较系统:

$\{\begin{array}{l}{u}^{\prime }(t)=-u,t\ne t{}_k\\ u(t{}_k^{+})=(1+c{}_k)u(t{}_k),t=t{}_k\\ u(t{}_0^{+})=u{}_0\end{array}(2.3)$

易知系统(2.2)的解是y(t,t0,x0)=x0e-(t-t0),显然有

y(t,s,x(s))=x(s)e-(t-s)。取$V(x)=\frac{1}{2}x{}^2,h{}_0=h{}^{*}=h=|x|$,易证系统(2.2)是(h0,h*)-一致稳定,比较系统(2.3)零解是一致渐近稳定。取ψk(s) = (1 + c${}_k^2$)s,p(s) = M2s。

$V(t{}_k^{+},y(t,t{}_k^{+},x(t{}_k^{+})))=\frac{1}{2}c{}_k^{2}x{}^2(t{}_k)e{}^{-2(t-t{}_k)}=c{}_k^{2}V(t{}_k,y(t,t{}_k,x(t{}_k)))<$

ψk(V(tk,y(t,tk,x(tk))))。

当V(s+θ,y(t,s+θ,x(s+θ)))≤P(V(s,y(t,s,x(s)))),

θ∈[-r,0],s∈[t0,t]时,等价于x2(s+θ)≤M2x2(s)e2τ,

即当|x(s+θ)|≤M|x(s)|eτ时,有:

D+V(s,y(t,s,x(s)))=

x(s)x′(s)e-2(t-s)+x2(s)e-2(t-s)=[b(s)x2(s)×

Meτ-a(s)x2(s)]e-2(t-s)≤[bMeτ-a]×

x2(s)e-2(t-s)<0≤g(t,s,V(s,y(t,s,x(s))))。

由定理2知系统(2.1)是$(\tilde{h}{}_0,h)-$一致渐近稳定。

摘要：研究了一类具有界滞量的脉冲泛函微分系统,通过用变分Lyapunov函数结合Razumikhin技巧建立了一个变分比较原理。得到了脉冲泛函微分系统关于两个测度的一致稳定与一致渐近稳定的比较结果,并给出相关例子。

关键词：脉冲泛函微分系统,比较原理,变分,Lyapunov,函数,Razumikhin,技巧,一致稳定性

参考文献

[1]王照林,楚天广.非线性力学中的比较原理与应用.中国科学,1993;23(10):1070—1078

[2] Lakshimikantham V,Leela S.Differential and integral inequalities.Vol.1.NewYork:Academic Press,1969

[3] Lakshimikantham V,Liu X,Leela S.Variational lyapunov method andstability theory.Mathematical Problems in Engineering,1998;3:555—571

脉冲微分方程 篇9

众所周知,很多现象的数学模型都可以归结为具无穷延滞的脉冲泛函微分系统,但由于该系统的复杂性,关于它的研究还相对较少。在研究脉冲泛函微分系统的性质时,Lyapunov函数法和Razumikhin技巧是非常有效的[1,2]。但选取适当的Lyapunov函数是比较困难的,而构造只包含部分变元的Lyapunov函数则相对简单。本文将采用文献[3]中提出的部分Lyapunov函数方法,结合Razumikhin技巧,研究具无穷延滞的脉冲泛函微分系统。通过建立新的比较原理,得到比较系统为脉冲微分系统的稳定性比较结果。

本文主要考虑如下脉冲泛函微分系统

式(1)中N+表示全体正整数,xt(θ)=x(t+θ),t≥t0≥0≥a≥-∞,θ∈[a,0],a可以是-∞。

f∈C([tk-1,tk)×PC,Rn),Ik∈C(R+×PC,Rn),k∈N+,其中PC={ψ:[a,0]→Rn|ψ在除了点tk外连续,ψ(t+k)和ψ(t-k)存在且ψ(t+k)=ψ(t${}_k^{}$)}。tk满足$0<t{}_1<t{}_2<\cdots <t{}_k<t{}_{k+1}<\cdots ,\underset{k\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}t{}_k=+\infty$。

假设f,Ik满足适当的条件以保证系统(1)解的整体存在性和唯一性[1,4],且f(t,0)=0,Ik(t,0)=0,k∈N+,所以系统(1)存在零解。

记:${\rm P}CB{}_{\delta }=\{\psi \in {\rm P}C|\parallel \psi \parallel =\underset{a\le s\le 0}{{\displaystyle \sup }}|\psi (s)|<\delta \}$;

K0={g|g∈C(R+×R+,R+),g(t,0)=0};

K1={g∈C(R+,R+)|g(0)=0且g(s)对s单增};

K2={g∈C(R+,R+)|g(0)=0且g(s)对s非减}。

下面将x=(x1,x2,…,xn)T分成m个向量:

x(j)=(x${}_1^{(j)}$,x${}_2^{(j)}$,…,x${}_{n{}_j}^{(j)}$)T;j∈J={1,2,…,m}。

记|x(j)|=max{|x${}_k^{(j)}$|;1≤k≤nj},j∈J;

|x|=max{|x(j)|,j∈J}。

定义1 称函数V:[a,∞)×Rnj→R+(对某个j∈J)是系统(1)的部分Lyapunov函数,若满足:

(i) V在[tk-1,tk)×Rnj上连续,

$\underset{(t,y)\to (t{}_k^{-},x{}^{(j)})}{{\displaystyle \lim }}V(t,y)=V(t{}_k^{-},x{}^{(j)})$存在;

(ii) V(t,x(j))关于x(j)满足局部Lipschitz条件。

定义2V沿系统(1)的解的Dini右上导数定义为

$D{}^{+}V(t,x{}^{(j)}(t))=\underset{h\to 0{}^{+}}{{\displaystyle \lim \sup }}[V(t+h,x(j)(t+h))-V(t,x{}^{(j)}(t))]/h$,其中

x(t)=(x(1)(t),…,x(n)(t))T为系统(1)的任意解。

2主要结果

本节将利用部分Lyapunov函数和Razumikhin技巧建立一个新的比较原理,然后给出系统(1)零解稳定的比较定理。

定理1 假设

(i)存在部分Lyapunov函数Vj(t,y(j)),j∈J,满足:对任意t≥t0,t≠tk,当$V{}_i(t,x{}^{(i)}(t))=\underset{j\in J}{{\displaystyle \max }}V{}_j(t,x{}^{(j)}(t))$且Vi(t,x(i)(t))≥Vi(t+s,x(i)(t+s)),a≤s≤0时,

D+Vi(t,x(i)(t))≤g(t,Vi(t,x(i)(t)))。

其中g∈K0,x(t)=x(t,σ,φ)为系统(1)的任意解;

(ii)对k∈N+,

当$V{}_i(t{}_k^{-},x{}^{(i)}(t{}_k^{-}))=\underset{j\in J}{{\displaystyle \max }}V{}_j(t{}_k^{-},x{}^{(j)}(t{}_k^{-}))$时,

$\underset{j\in J}{{\displaystyle \max }}V{}_j(t{}_k,x{}^{(j)}(t{}_k))\le G{}_k(V{}_i(t{}_k^{-},x{}^{(i)}(t{}_k^{-}))$,

其中Gk∈K2,且Gk(s)≥s,s>0,k∈N+;

(iii)r(t)=r(t,σ,y0)为系统

在[σ,+∞)上的最大解;

则当$\underset{a\le s\le 0}{{\displaystyle \sup }}V(\sigma +s)\le y{}_0$时,有V(t)≤r(t),t≥σ,其中$V(t)=\underset{i\in J}{{\displaystyle \text{m}\text{a}\text{x}V{}_j(t),}}V{}_j(t)=V{}_j(t,x{}^{(j)}(t))$。

证明 不妨设σ∈[tl-1,tl),rl(t,σ,y0)是系统(2)在[σ,tl)上过(σ,y0)的最大解。先证

V(t)≤rl(t,σ,y0),t∈[σ,tl) (3)

对任意n∈N+,考虑系统

$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(t)=g(t,y)+\frac{1}{n}‚\\ y(\sigma )=y{}_0+\frac{1}{n}。\end{array}$

其解为$y{}_n(t)=y{}_n\left(t,\sigma ,y{}_0+\frac{1}{n}\right)$,在共同最大存在区间上有$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}y{}_n(t)=r{}_l(t,\sigma ,y{}_0)$。因此,只需证对任意n∈N+,有V(t)<yn(t),t∈[σ,tl)。

事实上,若不然,则存在${\rm N}\in {\rm N}{}_{+},i\in J,\overline{t}\in (\sigma ,t{}_l)$,使

$\begin{array}{l}V{}_i(\overline{t})=\underset{j\in J}{{\displaystyle \max }}V{}_j(\overline{t})‚V{}_i(\overline{t})=y{}_{{\rm N}}(\overline{t})‚\\ D{}^{+}V{}_i(\overline{t})\ge g(t,y{}_{{\rm N}}(\overline{t}))+\frac{1}{{\rm N}}‚V{}_i(t)<y{}_{{\rm N}}(t)‚\\ t\in [\sigma ,\overline{t})(4)\end{array}$

由g∈K0知$V{}_i(\overline{t}+s)<y{}_{{\rm N}}(\overline{t}+s)\le y{}_{{\rm N}}(\overline{t})=V{}_i(\overline{t}),\sigma -\overline{t}\le s\le 0$。又$V{}_i(\overline{t}+s)\le y{}_0\le y{}_{{\rm N}}(\overline{t})=V{}_i(\overline{t})‚a\le s\le \sigma -\overline{t}$。故$V{}_i(\overline{t}+s)\le V{}_i(\overline{t})‚a\le s\le 0$。

由(i)知$D{}^{+}V{}_i(\overline{t})\le g(\overline{t},V{}_i(\overline{t}))$。这与式(4)矛盾,因此式(3)成立。

对t=tl,设$V{}_i(t{}_l^{-})=\underset{j\in J}{{\displaystyle \max }}V{}_j(t{}_l^{-})$,则$V(t{}_l)\le G{}_l(V{}_i(t{}_l^{-}))=G{}_l(V(t{}_l^{-}))\le G{}_l(r(t{}_l^{-},\sigma ,y{}_0))\stackrel{\Delta }{{\displaystyle =}}r{}_l$。对任意t∈[σ,tl),有V(t)≤r(t,σ,y0)≤r(t-l,σ,y0)≤Gl(r(t-l,σ,y0))=rl。又V(t)≤y0≤rl,t∈[σ+a,σ],所以有$\underset{a\le s\le 0}{{\displaystyle \sup }}V(t{}_l+s)\le r{}_l$。

类似式(3)的证明可得

V(t)≤rl+1(t,tl,rl),t∈[tl,tl+1)。

其中rl+1(t,tl,rl)为系统(2)在[tl,tl+1)上过(tl,rl)的最大解。

按上述过程一直做下去,则可得

V(t)≤rk+1(t,tk,rk),t∈[tk,tk+1)。

其中rk+1(t,tk,rk)为系统(2)在[tk,tk+1)上过(tk,rk)的最大解。取

$r{}^{*}(t)=\{\begin{array}{l}y{}_0,t=t{}_{0,}\\ r{}_l(t,\sigma ,y{}_0),t\in [\sigma ,t{}_l),\\ ⋮⋮\\ r{}_{k+1}(t,t{}_k,r{}_k),t\in [t{}_k,t{}_{k+1}),k\ge l.\end{array}$

显然r*(t)是系统(2)在[σ,+∞)上过(σ,y0)的解,且有V(t)≤r*(t)。又因为r(t)=r(t,σ,y0)为系统(2)在[σ,+∞)上的最大解,所以有V(t)≤r(t),t≥σ。证毕。

定理2 假设存在部分Lyapunov函数Vj(t,y(j)),j∈J,满足:

(i) uj(|x(j)|)≤Vj(t,x(j))≤vj(|x(j)|),其中

uj,vj∈K1,j∈J;

(ii)对任意t≠tk,当$V{}_i(t,x{}^{(i)}(t))=\underset{j\in J}{{\displaystyle \max }}V{}_j(t,x{}^{(j)}(t))$,且Vi(t,x(i)(t))≥Vi(t+s,x(i)(t+s)),a≤s≤0时,D+Vi(t,x(i)(t))≤g(t,Vi(t,x(i)(t))),其中g∈K0,x(t)=x(t,σ,φ)为系统(1)的任意解;

其中Gk∈K2,且Gk(s)≥s,s>0,k∈N+。

则由比较系统(2)零解的稳定性可推出系统(1)零解具有相同稳定性。

证明 仅以证明系统(1)零解一致稳定为例。设比较系统(2)的零解是一致稳定的。

对任意ε>0,取$\epsilon {}^{*}=\underset{j\in J}{{\displaystyle \min }}u{}_j(\epsilon )$。此时,ε*>0,且存在δ1>0,使得当vj(δ1)<ε*,j∈J。

由系统(2)零解一致稳定知,对上述ε*>0,存在δ2=δ2(ε*)>0,使得当y0<δ2时,有

y(t,σ,y0)<ε*,t≥σ (5)

式(5)中y(t,σ,y0)为系统(2)过(σ,y0)的解。

对上述δ2>0,取δ3>0满足$v{}_j(\delta {}_3)<\frac{\delta {}_2}{2}‚j\in J$。取δ=min{δ1,δ3}。现证:对任意φ∈PCBδ(σ),有|x(t)|<ε,t≥σ。

事实上,由(i)知$\underset{a\le s\le 0}{{\displaystyle \sup }}V{}_j(\sigma +s)<v{}_j(\delta )<\frac{\delta {}_2}{2}‚j\in J$,所以,$\underset{a\le s\le 0}{{\displaystyle \sup }}V(\sigma +s)<\frac{\delta {}_2}{2}$。取$y{}_0=\frac{\delta {}_2}{2}$,由定理1知

V(t)≤r(t,σ,y0),t≥σ。

其中r(t,σ,y0)为系统(2)过(σ,y0)的最大解。结合式(5)可得

V(t)≤r(t,σ,y0)<ε*,t≥σ。

由(i)知

uj(|x(j)(t)|)≤Vj(t)≤V(t)<ε*≤uj(ε),t≥σ,j∈J。因而有|x(j)(t)|<ε,t≥σ,j∈J,即|x(t)|<ε,t≥σ。

所以系统(1)零解是一致稳定的。证毕。

3例

考虑如下脉冲泛函微分系统

式(6)中ai,bi是定义在R+上的连续函数,且a1,b2非负,cki,dki为非负常数,i=1,2,…,k∈N+。

假设|gi(t,u,v)|≤mi(u)|v|,t≥0,i=1,2,其中${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{0}m}{}_1(u)\text{d}u+|a{}_2(t)|\le a{}_1(t)+\frac{1}{1+t{}^2}$,

${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{0}m}{}_2(u)\text{d}u+|b{}_1(t)|\le b{}_2(t)+\frac{1}{1+t{}^2}$;

对k∈N+,存在βk≥0满足${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }\beta }{}_k<+\infty$,使得

max{(ck1+ck2)2,(dk1+dk2)2}≤1+βk。

取$V{}_i(t)=\frac{x{}_i^2(t)}{2}‚i=1,2$,则易验证满足定理2的条件,且比较系统

$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(t)=\frac{2}{1+t{}^2}y,t\ne t{}_k；\\ y(t{}_k)=(1+\beta {}_k)y(t{}_k^{-}),k\in {\rm N}{}_{+}；\\ y(\sigma )=y{}_0。\end{array}$

的解为$y(t)={\displaystyle \prod _{\sigma \le t{}_k\le t}(}1+\beta {}_k)y{}_{0}e{}^{2\text{a}\text{r}\text{c}\text{t}\text{a}\text{n}t-2\arctan \sigma }$,所以比较系统零解是一致稳定的。从而由定理2知,系统(6)零解是一致稳定的。

摘要：利用部分Lyapunov函数法和Razumikhin技巧,通过建立新的比较原理,得到了具无穷延滞的脉冲泛函微分系统零解稳定性的比较结果。

关键词：无穷延滞,脉冲泛函微分系统,比较原理,稳定性

参考文献

[1]傅希林,闫宝强,刘衍胜.非线性脉冲微分系统.北京:科学出版社,2008

[2] Luo Zhiguo,Shen Jianhua.Impulsive stability of functional differenti-al equations with infinite delays.Applied Mathematics Letters,2003;16:695—701

[3] Zhang Shunian.A new technique in stability of infinite delay equa-tions.Comput Math Appl,2002;44:1275—1287