中学数学常用数学思想

中学数学常用数学思想（精选十篇）

中学数学常用数学思想 篇1

一、函数与方程的思想方法

函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画.因此，函数思想的实质就是提取问题的数学特征，用联系的、变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时起着重要作用.

例：若关于x的方程9x2+ (4+a) 3x+4=0有正实根，求实数a的取值范围.

分析：若令3x=t，则t>0，原方程有解的充要条件是方程t2+ (4+a) t+4=0有正根，故解得：a≤-8.这种解法是根据一元二次方程解的讨论，思维方法是常规的、合理的，但很繁琐.若采取以下解法：因为a∈R，所以原方程有解的a的取值范围即为函数的值域，分离a，得，根据基本不等式得a≤-4-4=-8.可见若突破思维常规，充分利用函数与方程的转化，则可得灵活简捷的解法.

二、数形结合的思想方法

数性结合是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题与图形之间的相互转化.通过“以形助数，以数解形”使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

例：设|z1|=5，|z2|=2，，求的值.

分析：利用复数模、四则运算的几何意义，把复数问题转化为几何问题求解.

解：如图，设

由余弦定理得：

本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算与复数的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动性和活泼性.一般地，复数问题可以利用复数的几何意义将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解.

三、分类讨论的思想方法

分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原复杂问题的思维策略，即“化整为零，各个击破，再积零为整”.分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度.分类讨论时必须明确分类的依据，常见的有依据概念分类、依据运算需要分类、依据图形形状位置变化分类等;要做到分类对象确定，标准统一，不重不漏，不越级讨论.分类讨论是高中阶段最常用的思想方法之一.

四、等价转化的思想方法

等价转化思想是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题，或者归结为一个熟悉的具有确定解决方法和程序的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题解的一种重要的数学思想方法.转化思想贯穿于整个高中数学教学中，问题解答过程的实质就是转化的过程.

当然，不同的数学思想方法具有各自的优势与缺陷，不存在一种普遍有效能解决任何数学问题的数学思想方法，同时数学思想方法之间具有互补性，有时解决一个问题需要运用几种不同的数学思想方法.

例：直线L的方程为： (p>0)，椭圆中心D，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A.问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离?

分析：由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题(研究方程组解的情况).

解：由已知得：a=2, b=1, A (, 0)，设椭圆与抛物线方程并联立有消y得:

本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题.一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时就可以考虑应用“判别式法”，其中特别要注意解的范围.另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等在本题得到了综合运用.

初中数学常用数学思想方法典题赏析 篇2

德国著名数学家克莱因曾在他的《西方文化中的数学》中写道：数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

不仅数学家体悟到了数学的魔力，就连希腊著哲学家柏拉图都在号召：哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。

那么，作为初中生，如何才能学好数学呢？有人曾调侃：数学学霸和学渣最大的区别就在于是否会运用数学思想方法!数学思想方法是数学的灵魂和精髓。数学思想方法无论在数学专业领域、数学教育范围内，还是在其它科学中，都被广为使用。

所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，如建模思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想。所谓数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。初中学生应掌握的数学方法有配方法、换元法、待定系数法、参数法、构造法、特殊值法等。数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。

典例赏析

一、整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________

解析：把“a-b”看成一个整体代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7

二、方程思想

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

例2：一个凸多边形的内角和是外角和2倍，它是_________边形.解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和(n-2).180

设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n-2).180

=2*360，解得n=6

三、函数思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

例3:某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20kg。

（1）现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度看，这种水果每千克涨价多少元能使商场获利最多？

解析：（1）解：设每千克应涨价x元，根据题意得：

（10+x）*(500-20x)=6000

解得x1=5,x2=10

为了使顾客得到实惠，应取x=5(元)。

（2）设每千克涨价x元时，总利润为y元。

y=（10+x）*(500-20x)

=-20x^2+300x+5000

=-20(x-7.5)^2+6125

根据二次函数性质，当x=7.5时，ymax=6125

四、转化思想

所谓的转化思想就是指在求解数学问题时,如果对当前的问题感到生疏困惑,可以把它进行变换,使之化生疏为熟悉，化繁为简,化难为易，从而使问题得以解决的思想方法.例4;解分式方程。

解析：把分式方程去分母转化为整式方程即可。

两边乘（x+3）(x-1)

2(x-1)=(x+3)

2x-2=x+3

x=5

经检验：x=5是方程的解

五、类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

例5：类比正比例函数研究反比例函数。

解析：通过研究正比例函数的图像、性质及应用，类比研究反比例函数的图像、性质及应用。

六、数形结合思想

“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化、具体化.例6：证明勾股定理。

解析：美国第二十任总统伽菲尔德借助下列图形证明了勾股定理。

七、分类讨论思想

分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法.其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的的策略.例7：若等腰三角形的一个内角为70，则它的顶角为

度．

解析：分类讨论，（1）该内角为顶角时，顶角为70；

（2）该内角为底角时，则顶角为：180-70*2=40

故顶角为70或40.八、归纳与猜想的思想方法

所谓归纳与猜想,就是在解决数学问题时,从特殊的、简单的、局部的例子出发,探寻一般的规律,或者从现有的已知条件出发,通过观察、类比、联想，进而猜想出结果的思想方法.例8：观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为

（用含n的代数式表示）．

解析：

第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．

中学数学常用数学思想 篇3

关键词：小学数学；思想方法；渗透

数学思想方法的教学要求教师掌握深层的知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的。教师要针对不同的数学内容，灵活设计教法，积极引导学生在主动探究数学知识的过程中，领悟和掌握数学思想方法。在教学中，我经常深入地研究教材，发掘教材内容中隐含的数学思想方法，把它渗透到自己的备课中，渗透到学生思维过程的展示中，渗透到知识形成的过程中，渗透到课堂小结中，渗透到学生作业中，使学生在探究学习中渗透数学思想方法，在操作中亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学思想方法，让数学思想方法在与知识能力形成的过程中共同生成。

一、转化思想方法

转化思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。也就是说，转化方法的基本思想是在解决数学问题时，将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过问题乙还原解决复杂的问题甲。将有待解决或未解决的问题，转化为在已有知识的范围内可解决的问题，是解决数学问题的基本思路和途径之一，是一种重要的数学思想方法。转化是解决数学问题常用的思想方法。小学数学解题中，遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，可通过转化，使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。

在小学的教学内容中，很多知识点的教学都可以渗透转化的思想。如在五年级上册的《小数乘整数》教学中，教学的基准点就可以定位让学生通过“把小数乘整数”转化为“整数乘整数”，利用知识的迁移作用帮助学生掌握“小数乘整数”的运算方法，不仅使学生理解了算理感受了算法，同时也感受了“转化”的策略对于解决新问题的作用。再比如分数除法的教学，让学生知道分数除法应转化为分数乘法进行计算；按比例分配应用题转化为分数应用题解答；在三角形的面积计算公式推导时，转化为与它等底等高的平行四边形。

同时，转化的思想方法在很多小学应用题目中的解答也派上了重要的用场，例如，修一段公路，已修的米数是未修的1/3，如果再修10米，这样已修的米数是未修的2/5，问这段公路有多少米？在解答这个题目时，若从已知条件出发不易解决问题，因为题中1/3和2/5这两个分率的标准量不统一，解答起来比较复杂。这样，我们可设法转换这两个已知条件，把他们转换为标准量相同的分率，即把“已修的米数是未修的1/3”转化成“已修的是全长的1/3÷（1+1/3）=1/4”，同理，把“已修的米数是未修的2/5”转化成“已修的是全长的2/5÷（1+2/5）=2/7”，这时“1/4”和“2/7”这两个分率的标准量（全长米数）就相同了，这样10米所对应的分率由未知转化为已知了：（2/7-1/4），从而问题得解：10÷（2/7-1/4）=280（米）。

通过上述分析可以看出，转化的思想方法在小学教学实践中应用有一个基本的原则，就是将复杂的转化为简单的，将陌生的转化为熟悉的，将未知的转化为已知的。

二、分类思想方法

分类是根据教学对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段，在教学中如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有系统性和条理性。比如，自然数按能否被2整除为偶数和奇数，按自然数约数个数的多少，分为质数、1和合数，教师可以通过图示法帮助学生系统地理解知识。在教学分类时，可以组织学生讨论体验，进行分类，由简到繁，一步步得出，让学生充分体验这种思想方法。

除此以外，分类的思想在小学数学应用题的解答中还有着非常重要的应用，如有这样一道题目：一段长方体木料，长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。现在把它加工成一个最大的圆柱体模型，加工成的最大圆柱体模型的体积是多少？

分析与解：用这段长方体木料加工一个最大的圆柱体模型，可以有三种不同的加工方法，加工的圆柱体模型体积也不同，因此不能直接求解，可运用分类的思想方法来求解。

1.以长方体木料上下面为底，以长方体木料高为圆柱体的高，由此圆柱体底面直径为8厘米，高为6厘米。这样加工成的圆柱体模型体积是3.14×（8÷2）×（8÷2）×6=301.44（立方厘米）；

2.以长方体木料左右侧面为底，以长方体木料长为圆柱体高，由此圆柱体底面直径为6厘米，高为10厘米。这样加工成的圆柱体模型体积是3.14×（6÷2）×（6÷2）×10=282.6（立方厘米）；

3.以长方体木料前后面为底，以长方体木料宽为圆柱体高，由此圆柱体底面直径为6厘米，高为8厘米。这样加工成的圆柱体模型体积是3.14×（6÷2）×（6÷2）×8=226.08（立方厘米）。

由此求得加工成的最大圆柱体模型的体积是301.44立方厘米。

三、集合思想方法

把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，例如教学长方形、正方形之后，使学生明确正方形是长和宽相等的长方形，即正方形是一种特殊的长方形，用下来表示更形象。为加深学生对这集合图的理解，再举例说明：我们全班同学好比这个大圆，第一小组的同学是全班的一小部分，也就是里面的一个小圈。要让学生真正理解集合图的含义，并学会应用。集合的数学思想方法在小学1～6年级各阶段都有渗透。如数的整除中就渗透了子集和交集等数学思想。集合运算与逻辑运算之间可以建立起同构关系，因此集合思想可使数学与逻辑更趋于统一，从而有利于数学理论与应用的研究.利用集合思想解决问题，可以防止在分类过程中出现重复和遗漏，使抽象的数学问题具体化。

四、一般化与特殊化思想

从特殊到一般和从一般到特殊，这是人们正确认识客观事物的规律，在数学研究和数学学习中，我们既可以从一般问题的特殊情况出发寻找规律得出一般结论，又可以对一般问题研究而得出某些特殊问题的结论。

五、类比思想方法

数学上的类比思想方法是指依据两类数学对像的相似性，有可能将已知的一类数学对像的性质迁移到另一类数学对像上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分，有些类比十分明显、直接，比较简单，如由加法交换律a+b=b+a的学习迁移到乘法交换律a╳b=b╳a的学习；而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现，比较复杂。

高中数学中常用的数学思想例析 篇4

由于数学思想是以数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识, 是一种隐性的知识, 学习者要领悟、理解、掌握并运用数学思想, 就需要通过精心设计的内容与范例学习, 需要通过反复体验才能有所收获, 也就是我们提倡的要学后反思, 以达到举一反三, 融会贯通的学习目的, 高中数学中常用数学思想有:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、类比、转化与化归思想等.

下面以高中数学几个实例进行分析:

一、函数与方程思想

应用函数思想解题的关键是:如何从题目结构特征出发, 揭示内在关系, 挖掘隐蔽特性, 恰当地构造函数, 然后应用其性质解题.应用方程思想解题的关键是:如何根据题目的结构特点, 抓住关键变量, 构造出方程进行求解.

例1 已知A、B、C是△ABC的三个内角, x、y、z是实数, 求证:x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.

证明:构造二次函数

因为二次项系数a=1>0, 且

所以f (x) ≥0.

故x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.

说明:本题直接证明较困难, 构造二次函数, 利用二次函数f (x) =ax2+bx+c≥0对于任意x∈R恒成立的充要条件是a>0, 且Δ=b2-4ac≤0来证之, 就简便多了.

二、数形结合思想

数形结合应用甚广, 不仅在解选择题、填空题中显示它的优越性, 而且在解某些抽象数学问题时也起着事半功倍的效果, 以“数解形”是解析几何的主线, 以“形助数”是数形结合的研究重点, 如何把数转形是数形结合的关键;图解法是数形结合的具体体现.

例2 已知直线l过点M (0, 2) , 且与以A (1, 4) 、B (3, 1) 为端点的线段AB相交, 则直线l的斜率取值范围为____.

解:如图1所示, 设直线l的斜率为k, 当m绕点M (0, 2) 旋转时, 从MB沿逆时针方向旋转到MA时, 直线l与线段AB相交, 此时, 直线l的斜率k由kMB逐渐增大到kMA

又$k{}_{{\rm M}B}=\frac{1-2}{3-0}=-\frac{1}{3},k{}_{{\rm M}A}=\frac{4-2}{1-0}=2$, 所以$-\frac{1}{3}\le k\le 2$, 故所求直线l的斜率取值范围为$[-\frac{1}{3},2].$

说明:立体几何与解析几何诸多问题的解法中体现了“形助数”、“数解形”的数形结合思想方法.

三、分类讨论思想

有时将问题看成一个整体时, 则无从下手, 若分而治之, 各个击破, 则能柳暗花明, 分类讨论正是这一种思想, 也是一种重要是数学思想方法, 为了解决问题, 将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类问题, 然后逐一解决, 从而最终解决整个问题的目的.

例3 某人从A地乘坐出租车到B地, 有两种方案, 第一种方案:租用起步价10元, 每千米价为1.2元的汽车:第二种方案:租用起步价8元, 每千米价为1.4元的汽车.按出租车管理条例, 在起步价内, 不同型号车行驶的里程是相等的, 则此人从A到B地选择哪一种方案比较合适?

解:设起步价内行驶里程为a km, A到B地的距离为b km

当b≤a时, 选坐起步价8元的出租车比较合适:

当b>a时, 设b=a+x (x>0) , 乘坐起步价10元的出租车费用为P (x) , 乘坐起步价为8元的出租车费用为Q (x) 元, 则

P (x) =10+1.2x, Q (x) =8+1.4x

令P (x) =Q (x) 得10+1.2x=8+1.4x, 解得;x=10,

①当x=10时, 两种出租车任选;

②当x>10时, P (x) -Q (x) =2-0.2x<0, 即P (x) <Q (x) , 此时, 选起步价为10元的出租车合适;

③当x<10时, P (x) -Q (x) =2-0.2x>0, 即P (x) >Q (x) , 此时, 选起步价为8元的出租车合适.

说明:本题涉及两级讨论, 第一级讨论, 是由起步价内的行驶里程akm与A, B两地的距离bkm的大小关系的讨论;当b>a时, 由于行驶的里程不同, 两种方案下的费用也不同, 诱发了第二级讨论.

四、化归与转化思想

化归与转化的原则是化陌生为熟知, 化繁杂为简单, 且转化后的问题与原问题等价.函数与方程思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法都是化归与转化思想方法的具体体现, 变换法、分析法、反证法、待定系数法及构造法等都是化归与转化的手段, 数学中化归转化的途径是多样的, 有正面与反面的互相转化, 有数与形互相转化, 有客观与主观的互相转化, 有特殊与一般互相转化, 有升维与降维互相转化等, 总之是要将较难解决的问题化归为易解决的基本问题.

例4 如图2, 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3, 侧棱$AA{}_1=\frac{3\sqrt{3}}{2},D$是CB延长线上一点, 且BD=BC.

(1) 求证:直线BC1//平面AB1D;

(2) 求二面角B1-AD-B的大小;

(3) 求三棱锥C1-ABB1的体积.

解: (1) 因为CD//C1B1,

又BD=BC=B1C1,

所以四边形BDB1C1是平行四边形,

所以BC1//DB1.

又DB1在平面AB1D上, BC1不在平面AB1D上,

故BC1//平面AB1D.

(2) 过B作BE⊥AD于E, 连结B1E.

因为B1B⊥ABD, 则BE是B1E在平面ABD上的射影,

所以B1E⊥AD.

所以∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角.

因为BD=BC=AB,

所以E是AD的中点,

所以$BE=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}.$

在Rt△B1BE中, $\tan \angle B{}_{1}EB=\frac{B{}_{1}B}{BE}=\sqrt{3}$, 则∠B1EB=60°.

故二面角B1-AD-B为60°.

(3) 在三棱柱ABC-A1B1C1中,

因为S△ABB1=S△AA1B1,

所以$V{}_{\text{三}\text{棱}\text{柱}C{}_1-ABB{}_1}=V{}_{\text{三}\text{棱}\text{柱}C{}_1-AA{}_{1}B{}_1}=V{}_{\text{三}\text{棱}\text{柱}A-A{}_{1}B{}_{1}C{}_1}=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 3{}^2\times \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{27}{8}.$

故三棱柱C1-ABB1的体积为$\frac{27}{8}.$

说明:上述整个解题过程贯穿的就是化归与转化思想方法, 将线面平行问题转化为证明四边形是平行四边形, 这是一个降维化归.将抽象的二面角问题转化为解三角形问题, 是一种从抽象到具体的化归, 把不熟悉且复杂的三棱锥转化为熟悉易求的等积的三棱锥, 这是一熟悉化、具体化化归, 总而言之, 在立体几何中可以说化归无处不在.善于把空间问题转化为平面问题是解题的关键.

中学数学常用教学方法 篇5

一.讨论法

讨论法是在教师的指导下,学生以班级或小组为单位,围绕教材的中心问题,各抒己见,通过讨论或辩论活动,获得知识或巩固知识的一种教学方法。教师运用讨论法,应当注意以下几点:首先,选好讨论内容。首先,要选择那些有讨论价值的内容,一般来说,讨论内容应当是教学内容中比较重要的事实、概念、原理等。其次,要选择难度恰当的内容,一般来说,过于简单或过于复杂的内容都不适当,前者难以激起学生的学习热情,后者则容易挫伤学生的积极性。其次,肯定学生各种意见的价值。对于未知的东西,任何意见都是有价值的。学生总是从自己的逻辑出发去理解和思考,尽管各种不同意见可能离正确答案相去甚远,但却最真实地反映了学生的想法。 教师不应急于指出各种意见正确或错误,而要让学生畅所欲言,通过充分的讨论理解问题的本质。再次,善于引导。教师应当在学生讨论时注意倾听,善于捕捉讨论中反映出来的问题。在讨论遇到障碍、深入不下去时教师适当提示,在讨论脱离主题时加以提醒,在讨论结束时帮助学生整理结论和答案等等,这些对于讨论法的运用都是必不可少的。 讨论法的优点在于,能够比较充分地激发学生的主动思维,促进学生的独立思考,还有助于他们听取、比较、思考不同意见。此外,讨论法能够普遍而充分地给予每一个学生表达自己观点和意见的机会,调动所有学生的学习积极性,并且有效地促进学生口头语言表达能力的发展。其缺点在于,受到学生知识经验水平和能力发展的限制,容易出现讨论流于形式或者脱离主题的情况,教师应进行必要的引导和指导。

二.讲授法

讲授法是教师通过简明、生动的口头语言向学生传授知识、发展学生智力的方法。它是通过叙述、描绘、解释、推论来传递信息、传授知识、阐明概念、论证定律和公式,引导学生分析和认识问题。教师运用讲授法,应当注意以下几点:首先,讲授内容的科学性和思想性。教师讲授的概念、原理、事实、观点必须是正确的,这就要求教师认真备课和教学。其次,讲授要做到条理清楚、重点分明。讲授逻辑清楚,学生才能够理解清楚。再次,讲授要讲究语言艺术。教师的语言水平直接决定着讲授法的效果,因此必须不断注重和提升自己的语言修养。 首先要做到语言清晰、准确、精练,既逻辑严密又清楚明白;其次,要努力做到生动形象、富于感染力;再次,还应当注意语音的高低、语速的快慢,讲究抑扬顿挫。最后,注意与其他教学方法配合使用。在整节课中完全采用讲授法很难取得良好效果,教师应当善于将讲授法与其他教学方法和手段交叉替换使用,避免学生因长时间听讲出现疲劳和注意力涣散等现象。 讲授法的优点在于,可以使学生在比较短的时间内获得大量的、系统的知识,有利于发挥教师的主导作用,有利于教学活动有目的有计划地进行。但如果运用不好,学生学习的主动性、积极性不易发挥,就会出现教师满堂灌、学生被动听的局面。

三.阅读法

一个人在学校中学习时间有限，能在课堂中学到的知识也十分有限，重要的问题是培养起再学习的能力。因此，数学教学中对学生的阅读能力的培养最为紧迫。  只要不是教材中的难点，也不是例题分析型的新知识课，估计学生有能力自己理解其中的知识内涵及思想方法，这种类型的课可以让学生自己阅读，再运用“形数结合”的方法加以归纳，最后通过练习加以巩固。这可以称为“自学式阅读”。  再有，像新概念课“圆的方程”，内容平易。可让学生阅读后默写知识要点，这样做既巩固了所学的内容，又培养了概括能力。这是“复述式阅读”。  有的课堂集中学习一个公式。可以在课上先出示公式，并直接用以解简单题目，让学生初步领略公式的用途，从而激起求知的愿望，就会专心、自觉的去思考了。这种为“预告式阅读”  有的教材内容难度较高，单靠教师讲授或是单靠学生自己阅读都难奏效，则可以知道学生先对难点进行预习，再在课上进行分析、讨论。在此，预习阅读起到辅助教学的作用，此法称为“预习式阅读”法  总之，阅读形式可以多样化一些，这不仅是学习本身的需要，也有利于摆脱单调乏味的划一教学状态，提高学生学习兴趣。

四.问答法

问答法是教师有计划地提出问题，在学生已有知识的基础上，引导学生经过积极思维，能够独立作出结论的教学方法。  问答法可以起到传授知识、巩固知识、检查知识、活跃课堂气氛、改进教学的作用。  可以采用的问答方式有：提问、设问、疑问、留问、反问等等。  发问前要有周密的准备。问题应明确，且必须抓住重点。对于诸如：再审么地方发问?问什么?估计学生如何回答?对于可能有误答如何加以纠正等问题，教师都要考虑周全。

五.议论法

中学数学常用数学思想 篇6

一、 合理分类,逐类求解

分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想.分类讨论思想具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练思维的条理性和概括性.其中分类标准是关键,分类应该是互斥、不漏和最简的.但是分类标准应该视题意而定,可以根据不等式所对应方程的根而定;可以按判别式大于、小于或等于0而定;可以根据对数、指数的底与1的关系而定,等等.

例1 解关于x的不等式(x+4a)(x-6a)2a+1>0a为常数,a≠-12.

分析 这是一个含参数的不等式,参数a的值决定了2a+1的符号和两根-4a,6a的大小,故应对a>0,a=0, -12

解 当a>0时,2a+1>0,原不等式等价于(x+4a)(x-6a)>0,解得x<-4a或x>6a;

当a=0时,原不等式等价于x2>0,解得x≠0;

当-120,原不等式等价于(x+4a)(x-6a)>0,解得x<6a或x>-4a;

当a<-12时,2a+1<0,原不等式等价于(x+4a)(x-6a)<0,解得6a

所以当a>0时,不等式的解集为(-∞,-4a)∪(6a,+∞);

当a=0时,不等式的解集为-∞,0∪0,+∞;

当-12

当a<-12时,不等式的解集为6a, -4a.(这句总结性的话不可以省略.)

点评 合理分类是解题的关键,能够使得解题过程简单、明了.

二、 运用函数与方程思想,以简驭繁

1. 变换视角,主元与参数“互换”,从而得到新的函数解析式,再作处理.

例2 对于任意m≤2,函数fx=mx2-2x+1-m<0恒成立,求x的取值范围.

分析 若把x看成参变量,而把m看成自变量,将f(x)转化为关于m的函数来解,则问题就简单明了了.

解 设gm=x2-1m-2x+1,则函数gm=x2-1m-2x+1的图像是一条直线.由已知,得g-2<0,g2<0, 即-2x2-1-2x+1<0,2x2-1-2x+1<0,解得-1+72

点评 这里变更主元后,问题便迎刃而解了.这种方法在处理含参数不等式恒成立问题时经常应用.

2. 对于与二次函数fx=ax2+bx+c(a≠0)有关的问题,可以通过解三元方程组,将a,b,c用f(x)的三个值来表示,从而重新构造二次函数f(x)来处理,这样有时能收到事半功倍的效果.

例3 已知a,b,c是实数,函数fx=ax2+bx+c,gx=ax+b,当-1≤x≤1时,fx≤1,证明:当-1≤x≤1时,gx≤2.

分析 若用常规方法解,则必须先对a进行分类讨论,再借助函数g(x)的单调性来推证.若运用方程思想,将a,b,c用f0,f1,f-1表示出来,则不但思路清晰,而且过程简洁.

证明 由f0=c,f1=a+b+c,f-1=a-b+c,

解得a=f1+f-1-2f02,b=f1-f-12,c=f0.

因为-1≤x≤1,所以x+1≥0,x-1≤0,

故gx=f1+f-1-2f02x+

f1-f-12=12f1x+1+12f-1•x-1-f0x

≤12f1x+1+12f-1x-1+f0x≤12x+1+121-x+x

=1+x≤2.

点评 赋值法是解抽象函数问题时常用的方法.

三、 数形结合,巧用直观

利用图形可以使某些抽象的数学问题直观(形象)化、生动化,有助于把握数学问题的本质.运用数形结合思想,不仅能启发解题思路,而且能简化解题过程;在解选择题、填空题时,其优越性更明显.

例4 关于x的不等式x-4+x-3

A. (1, +∞)

B. 1, +∞

C.-∞, 1

D. 0, 1

解 设函数f(x)=x-4+x-3,

则

fx=7-2x,x≤3,1,3

画出f(x)的图像,

如下图,可知符合题意的a的取值范围是(1,+∞),故选A.

点评 数形结合的方法直观、简捷;但要求我们必须正确画出相关图形(如本题中的函数图像),才能找到问题的答案.

四、 等价转化,化难为易

把复杂问题转化为较简单问题,把未知问题转化为已知问题,把较生疏问题转化为熟悉问题,把抽象问题转化为具体问题.

例5 已知奇函数f(x)在R上是增函数,则是否存在实数m,使fcos2θ-3+f4m-2mcosθ>f0对所有θ∈0, π2都成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

分析 由f(x)为R上的奇函数,知f(0)=0,原不等式可化为fcos2θ-3>f2mcosθ-4m;然后由f(x)为R上的增函数,得cos2θ-3>2mcosθ-4m,即m>3-cos2θ4-2cosθ.从而转化为求3-cos2θ4-2cosθ在θ∈0,π2上的最大值.

解 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,所以fcos2θ-3+f4m-2mcosθ>f0可化为fcos2θ-3>f2mcosθ-4m.

又因为

f(x)在R上是增函数,所以cos2θ-3>2mcosθ-4m.

故m>3-cos2θ4-2cosθ在θ∈0,π2上恒成立.

而当θ∈0, π2时,3-cos2θ4-2cosθ=2-cos2θ2-cosθ=4-2-cosθ+22-cosθ

≤4-22,

当且仅当2-cosθ=2,即cosθ=2-2时取等号,

故存在满足题意的实数m,且m的取值范围是4-22, +∞.

巩固练习

1. 解关于x的不等式ax2-2a+1x+2<0.

2. 已知不等式2x-1>mx2-1.

(1) 若对于所有的x∈R,该不等式恒成立,求实数m的取值范围;

(2) 若对于任意的m∈-2, 2,该不等式恒成立,求实数x的取值范围.

3. 若不等式3x2-log ax<0在x∈0, 13内恒成立,求实数a的取值范围.

4. 要使函数y=1+2x+4x•a在x∈-∞, 1上恒为正,求实数a的取值范围.

数学解题中常用的几种思想方法 篇7

1. 数形结合的思想方法

数形结合思想是指将数 (量) 与 (图) 形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.著名数学家华罗庚先生说:“数与形本是相倚依, 怎能分作两边飞, 数缺形时少直觉, 形少数时难入微, 数形结合百般好, 隔离分家万事休.”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性.

2. 整体的思想方法

整体思想就是考虑问题时, 不是着眼于它的局部特征, 而是把注意点和着眼点放在问题的整体结构上, 通过对其全面深刻的观察和分析, 从宏观整体上把握问题实质, 把一些彼此独立但又紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法.整体思想在处理数学问题中有着广泛的应用.

例1:若x2+x-5=0, 求代数式2x2+2x-9的值.

分析:如果是先通过解一元二次方程x2+x-5=0求得x的值, 然后再代入2x2+2x-9从而求出代数式的值, 显然方程的解有两个, 且都为无理数, 因此在代入的时候要分情况讨论, 而且计算也容易出错.但是当我们把x2+x看成一个整体时, 这题就变得非常简单了.

解:因为x2+x-5=0, 所以x2+x=5, 所以2x2+2x-9=2 (x2+x) -9=2×5-9=10-9=1.

3. 分类讨论的思想方法

教材中进行分类的实例比较多, 分类教学不仅可以使学生明确分类的重要性:一是使有关的概念系统化、完整化;二是使被分概念的外延更清楚、更深刻、更具体;还能使学生掌握分数的要点方法.教材中进行分类的实例比较多, 这里就不再累述.

4. 类比联想的思想方法

数学教学在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设或猜想, 从而把已知事物的属性推广到与之相似的新的事物中去, 促进发现新结论.例如数学题中只要是要求在已知××上找一点, 使这点到已知两点的距离和最小, 我们的思路都是:找对称点, 把问题转化为两点之间线段最短的问题.

5. 逆向思维的思想方法

逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题.

例2:有10个不同的球, 其中4个为红球, 6个为白球, 若取一个红球记2分, 取一个白球记1分.现从这10个球中取出4个, 使总分不低于6分的取法有多少种?

解:若使取球4个, 只能是取得4个球中至少有2个是红球, 所以可以考虑先看问题的反面.由“取出4个球中至少有2个是红球”的否定事件是:一、没有一个是红球, 全是白球, 取法有C64种;二、有一个是红球, 三个是白球, 取法有C41C63种.

所以使总分不低于6分的取法有C410-C64-C14C63=105种.

6. 化归转化的思想方法

化归是指在解决问题的过程中, 对问题进行转化, 使之成为简单、熟知问题的基本解题模式, 它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想方法.我个人认为这种思想和类比的思想是孪生兄弟.

7. 构造性的思想方法

构造性的思想方法就是运用数学中的概念和方法构造出适当的数学模型从而达到解题的目的.这种思想方法在我们用数学知识解决实际问题时常用, 或许说必用更客观.

例4:某中学要印刷本校高中录取通知书, 有两个印刷厂前来联系制作业务.甲厂优惠条件是每份定价1.5元, 八折收费, 另收900元制版费;乙厂的收费条件是每份定价1.5元的价格不变, 而制版费900元则六折优惠, 且甲、乙都规定, 一次印刷数量至少是500份, 如何根据印数数量选择比较合算的方案?若印刷数量为2000份, 应选择哪个?费用是多少?

解:设印刷份数是x份, 收费为y元, 依题意得

y甲=1.2x+900, x≥500且为整数.

y乙=1.5x+900, x≥500且为整数.

若y甲>y乙, 即1.2x+900>1.5x+900, 解得500≤x<1200.

若y甲=y乙, 解得x=1200.

若y甲1200.

所以当500≤x<1200时, 选择乙厂, 当x>1200时选择甲厂, 当x=1200时, 两厂费用相同, 费用为3300元.

本文主要介绍了七种常用的数学解题的思想方法, 并相应给出一些例题加以说明.最后我要强调的是:学有法, 但学无定法, 贵在得法, 重在创造.

参考文献

[1]宁春芳.初中数学思想方法例举[J].山西教育 (半月刊) , 2004.02:34-35.

[2]贾元红.分类讨论思想的应用[J].山西教育 (高中理科版) , 2005.06:12-13.

[3]达正香.中学数学建模教学研究[J].甘肃科技纵横, 2006, VOL35, (6) :228.

[4]沈涛.化归思想及解题策略[J].四川教育学院学报, 2003.08:46-48.

[5]陈祥平.化归原则与数学分析教学[J].青海师专学报, 2000, (6) :43-45.

中学数学常用数学思想 篇8

一、培养整体思维, 渗透全局思想

研究数学问题首要的是着眼于整体, 从全局的角度来探寻问题的本质, 由此可见, 整体思维的形成, 对于中学生来说, 重要性不言自明。这要求我们在平时的教学中, 必须充分挖掘教材中的整体因素, 不失时机地渗透整体思想, 由浅入深地展开整体思维训练, 方能收到较好的教学效果。

(一) 全局整体法

把所求问题看成一个整体来考虑称为全局整体法。

例1:求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。

(二) 局部整体法

在解决问题的过程中, 我们可以采用局部整体法, 即把局部问题作为一个整体来模拟解决问题。

例3:4个男生、3个女生站在一排照相, 若3个女生必须站在一起, 共有多少种不同站法?

分析:把3个女生看成一个整体, 有A33种站法。再把3个女生全排列有A55种站法, 因而共有A55×A33=720种站法。

(三) 整体代换法

在解决某些问题时, 我们也可以把某些组合式子看做一个“整体”, 并把这个“整体”代入另一个式子, 这叫整体代换法。

对于一些看似需从局部入手的特例, 若从整体去把握这些量之间的关系, 则思路会更为清晰, 解题更为快捷。

例5:有甲、乙、丙三种货物, 若购甲3件, 乙7件, 丙1件, 共需3.15元。若购甲4件, 乙10件, 丙1件, 共需4.20元。现购甲、乙、丙各1件, 共需多少元?

分析:依题意不可能单独求出购甲、乙、丙各1件分别需要多少元, 因此, 必须从整体上去把握所要解决的问题。

解:设购买甲、乙、丙各1件各需x元, y元, z元, 则根据题意得方程组;

二、培养构造思维, 建构缜密思维

对于构思缜密、结构复杂的思考题, 如何发挥求异思维的探究效用从而顺利解题呢?

数学解题中, 需要利用构造思维的案例, 最常见的即是参数构造问题。

三、培养求异思维, 寻求发散路径

求异思维亦称发散思维, 是指人们沿着不同方向思考问题, 在思维中重新组织当前的信息和记忆系统中存储的信息, 产生出大量的新思想的过程。它是多方面寻求答案的心理过程。

(一) 一题多解

一题多解就是对问题提出多方设想和多种解决的途径。这既可拓宽解题思路, 又可使整个数学融为一体, 从而培养学生大胆探索、勇于创新的能力。

(二) 一题多变

一题多变常用的方法有:只变换条件, 既变换条件又变化结论, 变换题型, 变“封闭式”为“开放式”。

数学解题中常用解题方法 篇9

关键词：数学教育,解题方法,评价体系

随着现代社会经济不断的进步, 数学是现代学习科学技术不可缺少的最为基础的工具, 因此, 在我国教育中, 提高公民文化素养, 数学是必不可少的教育项目. 在多年数学的学习生涯中, 我也发现了数学的博大精深, 领悟到数学解题的奥妙和乐趣, 并非常有兴趣的总结了一些关于解题思路和方法的课题. 所以, 本文将根据我学习过程中数学解题经验, 总结出数学解题中常见的解题方法, 现具体总结如下.

1. 特例法

首先, 我分析一下关于特例法的解题思路. 数学题目有一类需要满足条件的特例带入数学题目中或者结论中, 从而排除错误的题目选项, 得出正确答案. 关于特例的选择可以是特殊值、函数、直线或者图形等. 特例法的运用常见于数学不等式、函数等用字母表示数的函数中.

如我曾经遇见一个题目如下: 已知X, a2+ b2≥4, Ya≥2, b≥2, 问Y是X的什么条件? 本题目使用了抽象特例法, 使问题变得简单易懂.

2. 排除法

我认为排除法就是排除其他错误选项, 选择正确选项.排除法首先需要对数学题的问题和条件与结论互相验证, 然后根据选择项目只有一个或几个正确答案的选择条件, 用各种验证方法排除掉错误的选项[1]. 排除法在数学题中经常适用于选择题中, 在做选择题时, 需要将题目关键内容和选项完整的浏览, 针对其问题而作出答案的选择, 可以对题目有完整的把握避免所选答案偏题的情况.

例如我错题集上有一道题目: 如a + 5≠0, 求a? 选项1为a > - 5, 选项2 为a < - 5, 选项3 为a≠ - 5. 使用排除法, 1 和2 选项虽符合题目需求但不够全面, 因此可排除, 选3.

3. 数形结合

翻看数学教材, 我简单将我国中学数学的基本知识分为三大类, 即一类是纯粹的数知识, 例如代数、方程、实数, 二则是关于图形立体几何等, 三是关于解析几何中数形结合的知识. 数形结合的知识在解题中常常遇到, 主要是找出数学题目中的问题条件和结论之间的隐形联系, 用图形直观的表达数学, 或者用数学来研究图形, 这样的转换可以找到简捷的解题方法, 是数学解题方法中一种基本的解题思想. 数形结合思想的应用主要体现在: 需要利用属性结合计算的题目; 利用数形结合解方程; 利用数形结合解答最值和不等式; 求值域; 求参数的取值范围; 解决几何问题; 复数问题; 集合问题等. 表现形式常为函数图, 图标等等.

4. 分类讨论

在数学问题中, 答案有时并不是唯一的, 因此有些数学题目需要分情况进行讨论. 如一道数学题目有多个答案, 解答时需要对答案进行分类, 按照一个既定标准分为几大类, 然后对每一类的答案进行分析, 最终总结出题目最后答案.为求数学分类讨论答案的严谨性, 需要遵照一定的原则: 分类的标准需统一; 分类的几何需要互相排斥; 分类必须归类完全无遗漏.

5. 化归与等价变换

除上述介绍的一些解题方法之外, 我发现化归与等价变换是数学研究的过程, 首先将数学中陌生的问题, 按照条件限制, 转换为熟悉的问题; 将复杂的问题转换为简单的问题; 抽象的问题可以转换为具体的问题, 数学中常见的转换方法为换元法、特殊化归法、一般转化法、正反转化法、语义转化法.

6. 函数与方程

函数可为实际的变量数据建立相应的函数图像和数据变换, 使复杂的问题直观化、简单化. 函数在数学解题中常用于解答数学不等式、方程之类的取值问题. 函数方程主要是利用数学题目中条件变量间的等量关系, 将这种关系以形式体现出来, 使问题简单化. 方程思想的实质是在变量中求等量关系. 函数和方程思想常被用于这几种类型的题目:用函数分析不等式、方程、最值、分析变量问题、分析数列问题等. 我仅针对上述几种方法发表个人己见, 希望以虔诚态度与大家学习交流.

7. 结论

综上所述, 为更好的学习和交流数学解题方法, 本文研究项目主要数学解题中常用解题方法作出分析, 针对各种类型的数学题, 针对其解题主要思想, 对解题方法提出自己的观点, 主要有: 特例法. 数学题目有一类需要满足条件的特例带入数学题目中或者结论中, 从而排除错误的题目选项, 得出正确答案; 排除法. 在数学中体现为: 排除其他错误选项, 选择正确选项; 数形结合. 找出数学题目中的问题条件和结论之间的隐形联系, 用图形直观的表达数学, 或者用数学来研究图形; 分类讨论. 在数学问题中, 答案有时并不是唯一的, 因此有些数学题目需要分情况进行讨论; 化归与等价变换. 将数学中复杂疑难陌生的问题简单化、具体化、熟悉化, 再进行解答; 函数与方程. 函数可为实际的变量数据建立相应的函数图像和数据变换, 方程思想的实质是在变量中求等量关系. 本文目的为在数学解题过程中需选择最佳解题思路和方法, 并将这种选择习惯作为一项技能和素质.

参考文献

[1]张洁.解析中学数学中常用的解题思想和解题方法[J].都市家教 (上半月) , 2013, (11) :149-149.

浅谈高中数学常用逻辑用语 篇10

题型一: 命题的四种形式及其真假

例1判断下列命题的真假.

( 1) 若 a > b,则 ac2> bc2;

( 2) 若x2+ y2= 0,则x,y全为零;

( 3) a,b,c∈R,若ac < 0,则方程ax2+ bx + c = 0有两个不相等的实数根.

解 ( 1) 假命题; ( 2) 真命题; ( 3) 真命题.

题型二: 充分条件、必要条件的判定

例2指出下列各组命题中,p是q的什么条件.

( 1) p: (x - 2)(x - 3) = 0,q: x - 2 = 0;

( 2) p: 四边形是平行四边形,q: 四边形的对角线相等;

( 3) 在△ABC 中,p: A > B,q: sin A > sin B.

解 ( 1) p是q的必要不充分条件;

( 2) p是q的充分不必要条件;

( 3) p是q的充要条件.

评注这类题型先分清条件与结论,在分析由前者能否推出后者,由后者能否推出前者,即可判断出是什么条件.

题型三: 充要性的证明

( 2) 证明: 数列{ an} 是公比为q的等比数列的充分必要条件是: 对任意n∈N*,三个数A( n) ,B( n) ,C( n) 组成公比为q的等比数列.

必要性: 若数列{ an} 是公比为q的等比数列,则对任意n∈N*,有

an + 1= qan由an> 0知,A ( n) ,B ( n) ,C ( n) 均大于0, 于是

充分性: 若对于任意n∈N*,三个数A( n) ,B( n) ,C( n) 组成公比为q的等比数列,

综上所述,数列{ an} 是公比为q的等比数列的充分必要条件是: 对任意n∈N*,三个数A( n) ,B( n) ,C( n) 组成公比为q的等比数列.

评注要分清条件与结论,证明分为两个环节: 一是充分性,二是必要性. 由条件推结论是证命题的充分性,由结论推条件是证命题的必要性. 再结合等比数列的定义及性质易得证.

题型四: 利用命题之间的关系求参数的取值范围

例4设命题p:2x2- 3x + 1≤0; 命题q: x2- ( 2a + 1) x + a( a + 1) ≤,若瓙p是瓙q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

解法1由题意知:

评注解决此类问题主要运用转化思想,将题中p与q的充分必要关系,转化为与之对应的集合之间的关系,如命题p对应集合A,命题q对应集合B,p是q的充分不必要条件就等价于AB,p是q的必要不充分条件就等价于B A,从而转化为一类与集合有关的问题.

题型五: 与逻辑联结词、全称( 存在性) 命题有关的参数的取值范围