方程组的解法

方程组的解法（精选十篇）

方程组的解法 篇1

若记X= (x1x2…xn) T, b= (b1b2…bn) T

则线性方程组 (1) 记为

若b的元素不全为零, 则称方程组 (1) 为非齐次线性方程组;

若b的元素全为零, 即b1=b2=…=bn=0, 则

并称方程组 (3) 为齐次线性方程组, 也称作方程组 (2) 的导出方程组, 称

为线性方程组 (1) 的增广矩阵, 记作A.

若在方程组 (1) 中, 当mn, 即方程的个数多于未知数的个数时, 方程组称为超定方程组.

二、线性方程组的解法

在线性代数课本中[1,2], 线性方程组的常见解法主要有:消元法、克莱姆 (Cramer) 法则、逆阵乘积法、初等行变换法等.下面将就以上各种方法予以总结说明.

(一) 消元法

消元法主要是初等数学中用来求解低阶线性方程组常用的方法, 方程组必须为适定方程组, 且方程组中未知量的个数有两个或三个, 当未知量的个数不断增大时, 计算量大幅增加, 解题效率降低以至于不能求解.消元的方法一般有两种即加减消元法和代入消元法.

(二) 克莱姆 (Cramer) 法则

对方程组 (1) , 当m=n, 且系数矩阵A的行列式D≠0时, 方程组 (1) 有唯一解, i=1, 2, 3, …, n.

其中Di是把系数矩阵A的第i列的元素换成 (b1b2…bn) T而得到的矩阵的行列式.

克莱姆 (Cramer) 法则仅适用于求解系数行列式不为零的适定方程组, 对于系数行列式为零的适定方程组、欠定方程组、超定方程组则是不适用的, 并且对于未知数多于4个的适定方程组, 用克莱姆 (Cramer) 法则笔算求解的运算量也是非常大的, 解题效率会非常低.

(三) 逆阵乘积法

把线性方程组 (1) 记为AX=b的形式后, 若m=n, 且系数矩阵A可逆, 则X=A-1b.

逆阵乘积法求解线性方程组的关键是要求出系数矩阵A的逆矩阵, 求逆矩阵的方法主要有伴随矩阵法和初等变换法两种, 初等变换法比伴随矩阵法在求逆矩阵时的运算量要小, 效率高, 特别是在求高阶矩阵的逆矩阵时初等变换法的效率更高.但遗憾的是逆阵乘积法也仅适用于求解系数矩阵可逆 (即行列式不为零) 的适定方程组, 对于行列式为零的适定方程组和欠定方程组、超定方程组则是不适用的.

(四) 初等行变换法

初等行变换法的具体做法是:对方程组AX=b的增广矩阵A做初等行变换变为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵, 得到增广矩阵A的等价矩阵, 从而得到与原方程组等价且容易求解的方程组.然后根据系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系讨论方程组的解的情况.当时, 方程组AX=b有唯一解;当, 方程组AX=b有无穷多解;当时, 方程组AX=b无解.

当根据系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系讨论方程组的解的情况后, 若方程组AX=b有唯一解, 则对增广矩阵A做初等行变换所得的行最简形矩阵的最后一列即为方程组的解;若方程组有无穷多组解, 则可以根据线性方程组解的结构求其通解.具体做法是:先求出齐次线性方程组的基础解系, 写出齐次线性方程组的通解, 再加上非齐次线性方程组的一个特解, 即可得非齐次线性方程组的通解.而所有求解过程只需解与增广矩阵等价的方程组即可.

用初等行变换法可以求解任何类型的线性方程组, 是求解线性方程组的普适方法, 和其他方法比起来具有更大的优越性.

三、用Matlab软件求解线性方程组

Matlab是由美国MathWorks公司开发的一种功能强大的科学及工程计算软件, 它的名字由“矩阵实验室”的英文Matrix Laboratory的缩写组合而来.用Matlab软件可以进行线性代数的各种运算, 包括诸如求行列式的值、求矩阵的秩、向量组的秩及极大线性无关组、解线性方程组、求方阵的特征值及特征向量、求二次型的标准型等问题;此外还可以通过绘图命令, 对线性代数中若干概念的几何意义进行分析和讨论, 使学生更好地理解线性代数的抽象概念.下面针对非齐次线性方程组解的三种情形, 通过例题给出Matlab求解的方法及求解过程.

(1) 当时, 非齐次线性方程组AX=b无解

例1判断下面的非齐次线性方程组是否有解, 若有解, 求其解.

解首先判断方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等, 在命令窗口输入:

回车后会出现rank (A) =2, rank=3由R (A) ≠R可知, 原方程组无解.

(2) 当时, 方程组AX=b有唯一解

例2判断下面的非齐次线性方程组是否有解, 若有解, 求其解.

解首先判断方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等.

直接在命令窗口输入:

计算结果是

此时rank (A) =rank=4=n, 从而方程组有唯一解.下面再求该方程组的解:

解法一逆阵乘积法

把原方程组写成矩阵形式为AX=b.

由于rank (A) =4, 故系数矩阵A可逆, 故可用逆阵乘积法求解.

在命令窗口输入:

回车后可得计算结果为

即原方程组的解为x1=3, x2=0, x3=-5, x4=11.解法二矩阵左除法

Matlab软件定义了矩阵的左除运算, 对形如AX=b的矩阵方程, 等式两端同时左除A, 得到X=Ab.

在命令窗口输入:

计算结果为X=

解法三初等行变换法

对方程组AX=b的增广矩阵做初等行变换变为行最简形矩阵, 则行最简形矩阵的最后一列即为方程组的解.

在命令窗口输入:

计算结果为

解法四用克莱姆 (Cramer) 法则求解在命令窗口输入:

方程组的解

计算结果为

(3) 当R (A) =R=r

例3判断下面的非齐次线性方程组是否有解, 若有解, 求其解.

解首先判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等.

直接在命令窗口输入:

计算结果是

由rank (A) =rank=2<4知, 原方程组有无穷多解.

由于非齐次线性方程组的通解等于齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解, 可直接使用nul命令求非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 从而可写出对应的齐次线性方程组的通解, 而特解可由矩阵左除法x0=Ab得到.故有下面的解法:

解法一直接在命令窗口输入:

故方程组的通解为:其中k1, k2为任意实数.

此外, 非齐次线性方程组的特解还可以通过对方程组AX=b的增广矩阵做初等行变换变为行最简形矩阵, 写出行最简形矩阵所对应的线性方程组, 令自由未知量的值等于零即可得非齐次线性方程组的一个特解.故有下面的解法:

解法二:

在Matlab的文本编辑窗口编写下面的程序:

故方程组的通解为:, 其中k1, k2为任意实数.

在两种解法中求出的特解不同是因为该方程组有无穷多组特解, 通解中只需要任取一个特解即可.

参考文献

[1]王尚平, 李艳丽.线性代数 (第2版) [M].北京:机械工业出版社, 2006.

[2]秦新强, 赵凤群.线性代数学习指导 (第2版) [M].北京:机械工业出版社, 2007.

一元二次方程的解法 篇2

课题名称

§13、3公式法

课型

新授课

课时安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预习

配方法

教学媒体

投影仪

教学程序

教学内容

教师活动

学生活动

备注

一、

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般的`一元二次方程aχ+bχ+c=0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程aχ+bχ+c=0(a≠0)吗?

小亮是这样做的：

aχ+bχ+c=0(a≠0)

两边都除以a

χ+b/aχ+c/a=0

配方

如果b-4ac≥0

一般的，对于一元二次方程aχ+bχ+c=0(a≠0)，当b-4ac≥0时，它的根是：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，利用他可以更为便捷的解一元二次方程。

公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。他的依据就是配方法。

学生可自主探索求根公式。

牢记公式

二、

例 解方程：χ-7χ-18=0

解：这里a=1，b=-7，c=-18

∵b-4ac=(-7)-4×1×(-18)=121>0

∴

即

随堂练习：

1、用公式法解下列方程：

(1)2χ-9χ+8=0

(2)9χ+6χ+1=0

(3)16χ+8χ=3

2、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。

作业：习题2.6 1、2

要求学生先找出a，b，c，对b-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤

解方程

课后记

根据公式会解一元二次方程

课题名称

§13、3公式法

课型

新授课

课时安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预习

配方法

教学媒体

投影仪

教学程序

教学内容

教师活动

学生活动

备注

一、

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程aχ+bχ+c=0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程aχ+bχ+c=0(a≠0)吗?

小亮是这样做的：

aχ+bχ+c=0(a≠0)

两边都除以a

χ+b/aχ+c/a=0

配方

如果b-4ac≥0

特别的方程组　特别的解法 篇3

一､引入参数法

例1 解方程组2x+3y=98,①9x=11y. ②

思路点拨:方程组中的②可变形为= ,由于是比例的形式,故可引入参数k.设 ==k,则x=11k,y=9k,再将它们代入①,求解较为简便.

解:由②可变形为=,设 ==k,则x=11k,y=9k.将它们代入①,得22k+27k=98,解得k=2.所以x=22,y=18.所以原方程组的解为x=22,y=18.

二､整体代换法

例2 解方程组2(x-3)=16-3(y+2),①4(x-3)=7(y-1)+1. ②

思路点拨:方程组中的两个方程都含有2(x-3),因此可以将2(x-3)视为一个整体,把①直接代入②中,解法较为简便.

解:将2(x-3)视为一个整体,把①代入②,得2[16-3(y+2)]=7(y-1)+1.

解得y=2.将y=2代入②,得x=5.所以原方程组的解为x=5,y=2.

三､简化系数法

例3 解方程组13x+21y=5, ①31x+23y=39.②

思路点拨:方程组中两个方程的相同未知数的系数之和及常数项之和恰好相同,于是可将两个方程相加,化简系数后再用代入消元法求解.

解: ①+②,得44x+44y=44,即 x+y=1,所以x=1-y.代入①,得13(1-y)+21y=5.解得y=-1.将y=-1代入x+y=1,得x=2.所以原方程组的解为x=2,y=-1.

四､消常数项法

例4 解方程组17x+7y=38, ①7x+23y=76. ②

思路点拨:方程组中两个方程的常数项恰好成倍数关系,不妨先消去常数项,再综合使用加减消元法和代入消元法求解.

解:①×2-②,得27x-9y=0,所以y=3x.代入①,得17x+21x=38,所以x=1.把x=1代入y=3x,得y=3.所以原方程组的解为x=1,y=3.

五､加减重组法

例5 解方程组175x+168y=301,①168x+175y=42.②

思路点拨:方程组中两个方程的未知数的系数恰好“对称”,将两个方程分别相加､相减后,未知数的系数相同或系数的绝对值相同,于是容易将系数化为1,求解比较简便.

解:①+②并化简,得x+y=1.③

①-②并化简,得x-y=37. ④

解由③､④组成的新方程组x+y=1,x-y=37,得x=19,y=-18,即为所求.

典型方程的积分因子的解法 篇4

一、变量分离方程的积分因子

二、齐次方程的积分因子

三、一阶线性方程的积分因子

四、伯努利方程的积分因子

参考文献

[1]伍卓群, 李勇.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]高雄, 周之铭, 朱思铭, 等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 1993.

一次同余方程的解法及应用 篇5

一、同余方程

设整系数多项式f（x）=anxn+…+a1x+a0（1）我们可讨论是否有整数值x满足同余式f（x）≡0（mod m）（2）我们要求解的这个同余式（2）称为是模 的同余方程。

若整数c满足f（c）≡0（mod m），则称c是同余方程（2）的解，我们把这个解记为x≡c（mod m）。这实际上是把同余类cmodm看作是满足同余方程（2）的一个解。当c1、c2均为同余方程（2）的解，且对模 不同余时，才把它们看作是不同解，我们把所有对模m两两不同余的（2）的解的个数（即满足“2”的模m的同余类的个数）称为是同余方程（2）的解数。因此，我们只要在模m的一组完全剩余系中来解模m的同余方程。显然，模m的同余方程的解数至多为 。

例1: 求同余方程4x2+27x-12≡0（mod 15）的解。

解：取模15的绝对最小完全剩余系：-7，-6，…，-1，0，1，2，…，7。直接计算知x=-6，3是解。所以，这个同余方程的解是x≡-6，3（mod 15）。

例2: 求同余方程4x2+27x-9≡0（mod 15）。直接计算知这个方程无解。

当f（x）的系数都是模m的倍数时，显见，任意的整数值x都是同余方程（2）的解，这样的同余方程（2）的解数为m，但并不是同余方程（2）的解数为m的必要条件，这可由下面的例子看出。

一般的,对素数p，同余方程xp-x≡0（mod p）的解数为p。

二、同余方程恒等变形

如同为了解代数方程进行恒等变形一样，为了解同余方程需要利用同余式的性质对同余方程进行恒等变形，即把它变为解完全相同的另一种同余方程，而后者要更简单易懂，最基本、最简单的有以下几种:

1.设s（x）是整系数多项式，同余方程（2）和同余方程 f（x）+m s（x）≡0（mod m）（3）等价，即它们的解和解数相同，这一恒等变形可表述为：若f（x）≡g（x）（mod m），则同余方程（2）和同余方程g（x）≡0（mod m）（4）的解和解数相同。

例如，例1中的同余方程和4x2+3x+3≡0（mod 15），或4x2+12x-12≡0（mod 15）都是等价的。

特别地，一个同余方程中的系数为模的倍数的项去掉后，同余方程的解不变。

例如，同余方程15x8+7x6+45x3-30x+6≡0（mod 15）可化简为7x6+6≡0（mod 15）。

由此，可引进模m的同余方程（2）的次数，即整系数多项式f（x）的模m的次数概念：若man,则称模m的同余方程（2）的次数及模m的次数为。当m｜aj，（0≤j≤n）时，我们就不能把二者一起说.要特别注意的是:模m的同余方程（2）的次数及f（x）模m的次数和多项式f（x）的次数不是一回事。

2.设s（x）是整系数多项式，同余方程（2）与同余方程f（x）+s（x）≡s（x）（mod m）（5）的解和解数相同。

例如,例1中的同余方程与4x2+27x≡12 （mod 15）是一樣的同余方程ax-b≡0（mod m）和同余方程ax≡b（mod m）是一样的。

定理1:若（an,m）=1及a■■an=1（mod m），则同余方程（2）与同余方程xn+a■■an-1xn-1+……+a■■a1x+a■■a0≡0（mod m （6）的解和解数一样。

3.设同余方程h（x）≡0（mod m）（7）的解数为m,即上式是恒等同余式。如果整系数多项式q（x）,r（x）满足f（x）=q（x）h（x）+r（x）或更一般地，f（x）≡q（x）h（x）+r（x）（mod m）（9）。那么，同余方程（2）与同余方程r（x）≡0（mod m）（10）的解和解数相同。如果 的最高次项系数为1，那么，一定存在整系数多项式q（x）与r（x）。r（x）的次数小于h（x）的次数，使得式（8）成立。

如何才能学好初等数论中的同余方程部分，我们的建议是多做、多实践。学习初等数论就像学习新的实用技术课程一样，必须多练习，甚至是一定理一练习，反复看书、反复看举例题或反复做练习题，或许您会豁然开朗。此篇论文只是对简单同余方程的解法进行论述，同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法。而同余方程是同余理论的重中之重，在数学领域中应用广泛。

参考文献：

[1] 闵嗣鹤，严士健编.初等数论.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 潘承洞，潘承彪编.初等数论.北京：北京大学出版社，2001.

论方程根的数值解法 篇6

1.1 首先确定有根区间

依据零点定理:若在连续, 且, 则方程在区间上至少有一个根。如果在上恒正或恒负, 则此根唯一。而有根区间的确定, 我们选择等步长扫描法。等步长扫描法原理:设h>0是给定的步长, 取x0=a, x1=a+h, 若f (x0) ·f (x1) <0则扫描成功;否则令x0=x1, x1=x0+h, 继续上述方法, 直到成功。如果x1>b则扫描失败。再将h缩小, 继续以上步骤。等步长扫描法算法步骤如下: (求方程f (x) 的有根区间) (1) 输入a, b, h; (2) f0=f (a) ; (3) x=a+h, f1=f (x) , 若x>b输出失败信息, 停机。 (4) 若f1=0。输出x, 已算出方程的一个根, 停机。 (5) 若f0f1<0。输出a, x, 则[a, x]为有根区间, 停机 (6) a=x, 转 (3) 。注:如果对足够小的步长h扫描失败。说明:在[a, b]内无根或在[a, b]内有偶重根。

1.2 确定方程的有根区间后, 我们利用二分法求根的近似值

首先用二分法 (将区间对平分) 求解。令undefined, 若f (a1) f (c1) <0, 则[a1, c1]为有根区间, 否则[c1, b1]为有根区间。记新的有根区间为[a2, b2], 则[a1, b1]⊃[a2, b2]且undefined对[a2, b2]重复上述做法得[a1, b1]⊃[a2, b2]⊃……⊃[an, bn]⫆……且undefined。设所求的根为x*, 则x*∈[an, bn], n=1, 2……即undefined取undefined为方程根的近似解。而对于求方程f (x) =0的根的二分法算法的具体步骤如下:

(1) 输入:有根区间[a, b]的a, b值及精度控制量ε; (2) if f (a) f (b) >0, then返回第一步, 重新输入a, b值else转第三步; (3) while|a-b|>ε时做:1) 令undefined, 计算f (x) ;2) if f (a) , f (x) <0 then [a, b]≜[a, x]; else [a, b]≜[x, b] endwhile; (4) 输出undefined。

例1 判断方程f (x) =x3-x-1, [a, b]=[1,2]根的情况。

解:取h=0.1, 扫描得

undefined

方程的有根区间为[1.3, 1.4] 又 ∵f′ (x) =3x2-1>0, x∈[1.3, 1.4]即f (x) =0在[1.3, 1.4]有唯一根。

2 迭代法

(1) 简单迭代法:

将f (x) 变为另一种等价形式x=φ (x) 选取x*的某一近似值x0∈[a, b], 则按递推关系xk+1=φ (xk) k=0, 1, …产生的迭代序列{xk}。这种方法称为简单迭代法。

(2) 定理1 (压缩映像原理) :

设迭代函数φ (x) 在闭区间[a, b]上满足: (1) x∈[a, b]⇒φ (x) ∈[a, b] (2) φ (x) 满足Lipschitz条件即∀x1, x2∈[a, b], 有|φ (x1) -φ (x2) |≤L|x1-x2|。则 (1) g在[a, b]上存在唯一不动点x*; (2) 任取x0∈[a, b], 由xk+1=φ (xk) 得到的序列{xk} (xk∈[a, b]) 收敛于x*。 (3) k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有误差。误差估计式:

(3) 简单迭代收敛情况的几何解释。

例2 试用迭代法求方程f (x) =x3-x-1=0在区间 (1, 2) 内的实根.

解:由undefined建立迭代关系undefined, 取初值x0=1.5

计算结果如表1所示:

精确到小数点后五位, 可得undefined但如果由x=x3-1建立迭代公式xk+1=xundefined-1, k=0, 1, 2, …仍取x0=1.5, 则有x1=2.375, x2=12.39, 显然{xk}是发散序列, 其结果越来越大无法求解。

3 Newton迭代法

(1) 牛顿迭代法的定义:设x*是方程f (x) =0的根, 又x0为x*附近的一个值, 将f (x) 在x0附近做泰勒展式undefined其中ξ在x和x0之间。

令x=x*, 则undefined, 略去x*-x0的二次项, 有:f (x0) +x*f′ (x0) -x0f″ (x0) ≈0, 即undefined。

以x1代替x0重复以上的过程, 继续下去得x*的一近似值序列undefined, 这种得到f (x) =0根的近似值的方法称为Newton法, 又叫切线法。

(2) Newton迭代法几何解释。

例3 用Newton法求f (x) =x-cosx=0的近似解。

解:由零点定理, x-cosx=0在undefined内有根。由f′ (x) =1+sinx及Newton迭代公式得

undefined, 取undefined得

undefined

故得x*≈x4=0.739085133

例4 用Newton法计算f (x) =x2-a=0的近似值, 其中undefined。

解:f (x) =x2-a=0其中undefined由f′ (x) =2x及Newton迭代公式得

undefined

取x0=1.5, 则x1=1.41666667, x2=1.414215686, x3=1.414213562, 与undefined的精确值相比, x3是已有十位有效数的近似值。

(3) Newton迭代法收敛性。

定理2 设函数f (x) ∈C2[a, b], 且满足

(1) f (a) f (b) <0;

(2) f′ (x) ≠0, (x∈[a, b]) ;

(3) f′ (x) 在[a, b]上恒正或恒负。

若初值x0∈[a, b], 且满足f (x0) f″ (x0) >0时, 则由Newton法产生的序列收敛到f (x) =0在[a, b]上的唯一根。

推论:在上述定理3条件下, Newton迭代法具有平方收敛速度。

证明:类似上述定理证明, 一般有undefined, 其中ξn介于xn与x*之间, 则undefined, 故结论成立。

4 割线法

(1) 我们要注意的是:Newton迭代法有一个较强的要求, 即f′ (x) =0且存在。在这点, 我们用弦的斜率来近似的替代f′ (x) 。

设f (x) 在[a, b]上有唯一零点x*, 取x0=a, x1=b, 则过P0 (x0, f (x0) ) 及P1 (x1, f (x1) ) 得弦的方程undefined令y=0, 解得弦与x轴的交点是坐标x2, 即undefined解得undefined, 再由x0, x2计算x3, 依次类推, 得x*的一个近似值序列undefined, 称之为定端点弦截法。

(3) 弦截法收敛定理。

定理3 设f (x) ∈C2[a, b], [a, b]≜[x*-δ, x*+δ], δ为足够小的正数, x*是足够小的正数, x*是f (x) =0的根, 如果undefined, 其中undefined, 则

(1) 由undefined确定的序列{xn}线性收敛到x*

例5 用快速弦截法求解方程xex-1=0在x=0.5附近的根 (ε=10-4) 。

解:取x0=0.5, x1=0.6,

由迭代公式求得下表2

故x*≈0.56714, 满足精度要求。

比较一下以上四种方法:

(1) 二分法方法比较简单, 只要求函数连续即可, 但敛速慢, 一般适用于为其他敛速快的方法提供初始值。

(2) 一般迭代法是数值计算中常用而有效的一种方法。选用这种迭代格式主要是判断它的收敛性以及了解敛速。

(3) 比较常用的Newton法, 其特点是在单根邻近敛速快, 具有至少二阶的敛速, 比一般迭代法敛速快得多, 但Newton法仅具有局部收敛性质。

(4) 初始值选取要求比较苛刻时, 一般可用二分法计算获取初值。当f′ (x) 的计算比较复杂时, 可用割线法求根, 相较而言, 这是一种实用的计算方法。

参考文献

[1]曹璎珞, 曹德欣.计算方法[M].徐州:中国矿业大学出版社, 1994.

[2]杨大地, 谈骏渝.实用数值分析[M].重庆:重庆大学出版社, 2000.

分式方程解法浅析 篇7

一、能化简时先化简

例1 解分式方程undefined

分析:在这个分式方程中, 左边能用2进行约分, 右边能用3进行约分, 应先化简再去分母。

解:化简, 得:undefined

方程两边同乘2x (x+3) , 得整式方程x+3=4x

解之得:x=1.

检验:把x=1代入2x (x+3) =8≠0.

所以x=1是原分式方程的解。

例2 求分式方程undefined的解。

分析:在这个分式方程中, 左边能用0.1进行约分, 右边能用0.01进行约分, 先化简再去分母, 大大降低运算量。

解:化简, 得:undefined

方程两边同乘 (x-3) (x-1) , 得整式方程:

x (x-1) = (x+1) (x-3)

解之得:x=-3.

检验:把x=-3代入 (x-3) (x-1) =24≠0.

所以x=-3是原分式方程的解。

二、不要通分应去分母

例3 解方程:undefined

分析:有的同学解此方程时, 常先把方程左边进行通分, 再去分母。

如:通分, 得undefined, 再去分母,

得: (x+1) 2+5x2=6x (x+1) .

这样就增加了一步运算, 还不如直接去分母。

解:方程两边同乘x (x+1) , 得:

(x+1) 2+5x2=6x (x+1)

解之得:undefined

检验:把undefined代入undefined

所以undefined是原分式方程的解。

三、分母中的因式应按降幂 (或升幂) 排列

例4 解方程:undefined

分析:先把因式 (2-x) 按降幂排列, 得:

undefined, 然后再去分母。

解:由原方程, 得:

undefined

方程两边同乘 (x-2) , 得:

x-3+ (x-2) =-3.

解之得:x=1.

检验:把x=1代入x-2=-1≠0.

所以x=1是原分式方程的解。

四、当分母能分解因式时, 要先分解因式

例5 解方程:undefined

分析:因为2x2+6x=2x (x+3) , x2-9= (x+3) (x-3) 所以最简公分母为2x (x+3) (x-3) .

解:由方程, 得:undefined

方程两边同乘2x (x+3) (x-3) , 得:x-3=4x.

解之得:x=-1.

检验:把x=-1代入2x (x+3) (x-3) =16≠0.

所以x=-1是原分式方程的解。

五、去分母时每项都要乘最简公分母

例6 求分式方程undefined的解。

分析:去分母时, -2也要乘最简公分母2 (x-1) .

解:由方程, 得:undefined

方程两边同乘2 (x-1) , 得:

2x=3-4 (x-1) .

解之得:undefined

检验:把undefined代入undefined

所以undefined是原分式方程的解。

六、分式方程都要检验

例7 解方程undefined

解:由方程, 得:undefined

方程两边同乘 (2x-1) (2x+1) , 得:2 (2x+1) =4.

解之得:undefined

检验:把undefined代入 (2x-1) (2x+1) =0.

所以undefined是原分式方程的增根, 应舍去。

浅谈一元二次方程的解法 篇8

(一) 直接开平方法

直接开平方法就是通过直接开平方求解一元二次方程。用直接开平方法解形式如: (x-m) 2=n (n≥0) 的方程, 其解为x=±√n+m。

例1.解方程 (3x+1) 2=7 分析:此方程显然用直接开平方法即可。

解:∵ (3x+1) 2=7

∴3x+1=±√7

∴x= (-1±√7) /3

∴原方程的解为x1= (√7-1) /3或x2= (-√7-1) /3

例2.解方程9x2-24x+16=11 分析:方程左边是完全平方式 (3x-4) 2, 右边=11>0, 所以此方程也可用直接开平方法解。

解:∵9x2-24x+16=11

∴ (3x-4) 2=11

∴3x-4=±√11

∴x= (4±√11) /3

∴原方程的解为x1= (4+√11) /3或x2= (4-√11) /3

(二) 配方法

配方法就是把方程配成一个完全平方式, 再用直接开平法求解, 配方时, 方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方。

用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) , 首先要项, 即常数c移到方程右边得ax2+bx=-c;再化二次项系数为1:x2+b/ax=-c/a;然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方:x2+b/ax+ (b/2a) 2=-c/a+ (b/2a) 2;此时方程左边成为一个完全平方式: (x+b/2a) 2=-c/a+ (b/2a) ²。当b²-4ac≥0时, x+b/2a=±√ (-c/a) + (b/2a) ²∴x=﹛-b±[√ (b²-4ac) ]﹜/2a。

故此, x=﹛-b±[√ (b²-4ac) ]﹜/2a即为配方法求解一元二次方程的求根公式。

例1.用配方法解方程3x2-4x-2=0

解:将常数项移到方程右边3x2-4x=2, 将二次项系数化为1:x2- (4/3) x=2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2- (4/3) x+ (4/6) 2=2/3+4/6) 2

配方: (x-4/6) 2=2/3+4/6) 2

直接开平方得:x-4/6=±√[2/3+ (4/6) ²]

∴x=4/6±√[2/3+ (4/6) ²]

∴原方程的解为x=4/6+√ (10/9) , x=4/6-√ (10/9) 。

即:x=2/3+√ (10/9) 或x=2/3-√ (10/9) 。

(三) 公式法

用公式法解一元二次方程时, 首先要化成一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) 。在公式法解一元二次方程中, △=b²-4ac称为根的判别式。当△>0方程有两个不相等的实数根, △=0方程有两个相等的实数根, △<0方程没有实数根。

所以, 当b2-4ac≥0时, 求解一元二次方程可直接用求根公式x=[-b±√ (b2-4ac) ]/ (2a) , 代入各项系数a, b, c的值得方程的根。一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想。公式法是解一元二次方程的万能方法。

例1.用公式法解方程2x²-x=1

解:将方程化为一般形式:2x²-x-1=0

∴a=2, b=-1, c=-1

又b²-4ac= (-1) ²-4×2× (-1) =9>0

∴x=[ (-b±√ (b²-4ac) ]/ (2a) , 代入各项系数a, b, c的值。

∴原方程的解为x=1或x=-1/2。

例2:用公式法解方程:4x²-3x+2=0

解:∵a=4, b=-3, c=2

∴b²-4ac= (-3) ²-4×4×2=9-32=-23<0

在实数范围负数不能开平方, 所以方程无实数根。

(四) 因式分解法

一元二次方程不是通过开方降次, 而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式, 再使这两个一次式分别等于0, 从而实现降次。这两个一元一次方程所得到的根, 就是原方程的两个根。这种解法称为一元二次方程的因式分解法。用因式分解法解下列方程: (x-2) ²=2-x

解: (x-2) ²=2-x移项得 (x-2) ²+x-2=0, 因式分解得 (x-2) (x-2+1) =0

∴所以x-2=0或x-1=0

∴x1=4, x2=-2是原方程的解。

二、结论与讨论

浅谈平面方程的五类解法 篇9

习题[1]: 求通过点P ( 2, 0, - 1) , 且又通过直线的平面方程。

一、由平面上一点与平面的方位向量决定平面的方程

二、由平面上一点与平面的法向量决定平面的方程

解: 由可知平面过点 M ( - 1, 0, 2) 以及平行于向量= { 2, - 1, 3} , 由于平面过点P ( 2, 0, - 1) , 所以= { - 3, 0, 3} , 则= { - 1, - 5, - 1} , 取所求平面的法向量= { 1, 5, 1} , 得所求平面的方程为 ( x - 2) + 5y + ( z) + 1 = 0, 即x + 5y + z - 1 = 0。

总结: 要求平面的方程可以从已知条件中找到平面上一点M0 ( x0, y0, z0) 和平面的法向量= { A, B, C} , 然后由平面的点法式方程A ( x -x0) + B ( y - y0) + C ( z - z0) = 0 经过化简得到平面的一般方程。也可以先设出所求平面的点法式方程A ( x - x0) + B ( y - y0) + C ( z - z0) = 0, 由于已知平面过P点, 那么要求平面的方程只需要求平面的法向量={ A, B, C} , 要求{ A, B, C} 只需在已知条件中再找出满足平面方程的两个条件就可得到A: B: C的比值, 这样就可得到平面的点法式方程。

三、直接求得平面的一般方程

总结: 设出所求平面的一般方程Ax + By + Cz = 0, 其中有A, B, C, D四个量未知, 从已知条件中只要找到三个条件, 就可得到A: B: C: D的比值, 那么就可得到平面的一般方程。

四、利用平面束理论求平面的方程

解: 把直线的标准方程。设所求平面方程为l ( x + 2y + 1) + m ( 3y + z - 2) = 0, 其中l, m为不全为零的实数。因为平面过P点, 所以l ( 2 + 2 × 0 + 1) +m[3 × 0 + ( - 1) - 2] = 0, 得l = m, 即l: m = 1: 1, 所以所求平面方程为 ( x + 2y + 1) + ( 3y + z - 2) = 0 即x + 5y + z - 1 = 0。

总结: 利用平面束理论求平面的方程是一类非常重要的方法, 通常可以简化计算。

五、利用轨迹与方程理论求平面的方程

总结: 利用轨迹与方程理论求平面的方程, 关键是要列出满足题意的等价关系。

总之, 在求解有关平面方程的题目时, 可以从这五个大的方向中任选一个方向来寻找解题思路, 这样就可以使学生从纷繁复杂的知识点中抽离出来, 使学生能够尽快找到解题方法。

摘要：根据平面的方程的相关知识, 以一道求平面方程的题目为例, 总结了求平面的方程的五类解题方法, 并从中总结出了一些规律, 从而能帮助学生更快的找到求平面的方程相关题目的解题思路。

关键词：平面的方程,总结,解题方法

参考文献

[1]吕林根, 许子道.解析几何 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]黄莉.空间过点与直线的平面方程的求法[J].职大学报, 2014, 09:73

一元一次方程的解法及常见思维辨析 篇10

关键词：一元一次方程；解方程；错解；分析原因；正解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-227-01

一元一次方程是初中数学最简单、最基本的重要内容之一，学习这一内容，即是对前面所学的巩固，更是为今后学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式的解法打下基础，而且对于后续的应用题、函数的学习有很深远的影响 ，所以要学好它，打好良好基础。

一、解一元一次方程的一般步骤及注意事项

方程变形名称具体做法注意事项

去分母方程两边同乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘，分子要用括号括起来

去括号利用乘法对加法的分配律去括号不要漏乘括号内的项，注意漏乘问题

把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边移项要变号

合并同类项利用合并同类项的法则，把同类项合并成一项合并同类项只把系数相加减，字母和指数都不变

系数化为1在方程两边同时都除以未知数的系数，便得到方程的解在方程右边中，未知数的系数永远做分母

二、解一元一次方程常见思维误区辨析

在学习解一元一次方程时，为了避免在解方程时发生错误，有以下几个注意点：

第一，注意分数线的作用。

分数线具有两层含义：其一代表是除号；其二可代表括号。因此，在去分母时必须将分子的多项式用括号括起来。

例1解方程：

错解： ……

分析原因：去分母时，分子x+1是多项式，它是一个整体，忘了添加括号

正解：

最好把方程中的每一数都画一个符号。如 ，看做四项，每一个数都要乘以15，要出现四次15乘以如

第二，注意去分母时出现的“漏乘”现象。

去分母是依据等式的性质2（即等式的两边乘以同一个数，或除以同一个不为零数，结果仍相等）对方程进行求解。去分母变形就是：方程两边的各项均乘以最简公分母。初学时有学生往往会漏乘不含分母的项（单个的数字或含字母的整数项）。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去分母时，不含分母的项漏乘了各系数的最小公倍数15。

正解：

第三，去括号时出现“漏乘”现象

去括号时应按照乘法分配律，将括号前的数连同符号与括号内的每一项相乘，初学时往往会将括号前的系数或符号漏乘括号中的某一项。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去括号时，运用乘法对加法的分配律时出现漏乘及去括号时的符号错误。

正解： ， ， ，∴ 。

第四，移项时不变号：

移项是依据等式的性质1[即等式两边加（或减）同一个数（或同一个式子），结果仍相等]进行方程求解的。因此，移项时必须注意变号。注意先写不移动的项，不变好；再写移动的项，要变号.

第六，注意解方程的格式。

解方程的每一步都必须是方程，因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的如方程： 或原式=

正解：

总之，会解一元一次方程是很重要的最基本，解题步骤较小学显得繁琐，学生容易出现错，就需要我们平时多细心，做适量的题，才能真真达到掌握的目的！

参考文献：人民教育出版社七年级上册