统一混沌系统

统一混沌系统（精选六篇）

统一混沌系统 篇1

关键词：统一混沌系统,Chen系统,虚拟仪器,LabVIEW,电路

软件LabVIEW(Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench,实验室虚拟仪器工程平台)是美国NI公司( National Instruments Company)研制的一种编程语言,由于LabVIEW采用基于流程图的图形化编程语言,因此也被称为G语言(Graphics Language)。G语言编写的程序称为虚拟仪器VI(Virtual Instrument),它的界面和功能与真实仪器十分相象,在LabVIEW环境下开发的应用程序都被冠以VI后缀,以表示虚拟仪器的含义。一个VI由三部分组成:程序前面板(Front Panel)、数据流框图程序(Diagram Program)和图标/连接端口(Icon/Terminal)。

随着现代测试与仪器技术的发展,目前虚拟仪器概念已经发展成为一种创新的仪器设计思想,成为设计复杂测试仪器和测试系统的主要方法和手段。本文通过统一混沌系统[1,2,3]所构造的一个新的三维自治混沌统一系统,其中参数α∈[0,1],当α取0,0.8,1时,分别是Lorenz系统、Lü系统和Chen系统,此系统只有一个参数α,随α的演化,系统产生复杂的动力学特性。

我们首先分析了随参数α∈[0,1]的演化时,求出了系统的三个平衡点以及每个平衡点的特征值实部的变化,可以看出各平衡点处在整个演化过程中是满足Shil'nikov不等式的,在定域内是保持混沌状态的。然后利用LabVIEW设计了这个统一混沌系统混沌吸引子信号产生器,通过调节参数α系统连续地过渡到各个系统。由于此仪器参数调节方便,易实现,可靠性高,实时性好,与传统的自治混沌系统相比,此仪器输出的混沌吸引子信号,更适合于作为混沌保密通信系统的信息载体,提高通信系统的安全性。然后设计了当α取0,0.8,1时,三个系统的电路图,并进行了电路仿真,给出了各个系统的相图,并进行了电路实验,结果是一致的。

1统一混沌系统的分析

由于Lorenz,Lü,Chen系统间有很多类似的定性特征,在2002年,一个统一混沌系统被构造出来[1,2],其三维自治混沌系统的数学模型为

(1)

其中,参数α∈[0,1],当α=0时,它是Lorenz系统;当α=0.8时,即是Lü系统;当α=1时,是Chen系统;且α在0与1之间变化时,所有的系统均保持混沌状态。

在系统(1)中, 系统状态变量分别为x , y , z。为了求解系统(1)的平衡点,我们令[4]

(2)

求解(2)式可得系统有三个平衡点,在平衡点O(0,0,0),对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵为[5]

(3)

求平衡点O(0,0,0)相应的特征值,令

det(J0-λI)=0 (4)

得相应的特征根

图1是平衡点O(0,0,0)时的三个特征值随α∈[0,1]的演化。由图1可以看出随α的演化,λ1,λ3为负,λ2为正,此平衡点O(0,0,0)是指标为1的鞍焦点,因此,在此点处系统(1)是不稳定的。

在另两个平衡点

同样对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵,求平衡点E±相应的特征根,其三个特征根实部随α的演化如图2所示。

由图2可以看出随α的演化两个平衡点的特征值λ1为负实部复根,λ2,λ3为正实部复根,此平衡点E±是指标为2的焦点,由此可见,在此点处系统(1)也是不稳定的。

此统一混沌系统(1)的三个平衡点[6],一个是指标为1的鞍焦点,另两个是指标为2的焦点,在α∈[0,1]的演化过程中,满足Shil'nikov不等式,都表现出混沌动力学行为。

2基于虚拟仪器统一混沌系统的设计

统一混沌系统混沌信号产生器采用美国NI公司开发的图形化设计语言LabVIEW 8.2进行设计[7,8],借助LabVIEW强大的数值计算功能,求解微分方程(1),在LabVIEW窗口,进行前面板设计,和后面板的流程图设计。运行后,通过调节旋钮α的值,即可通过虚拟仪器观察并输出统一混沌系统的混沌信号。此系统如图3,图4所示。

统一混沌系统混沌信号的输出,安装NI公司的PCI6014数据采集卡并设置参数,这样就可由数据采集卡输出状态变量X(或Y,Z)的混沌信号。

此统一混沌实验系统具有良好的实验效果,与传统的自治混沌系统相比,具有参数调节方便、易实现、可靠性高,实时性好等优点。此混沌信号更适合于作为加密混沌通信系统的信息载体,提高通信系统的安全性。

3统一混沌系统的电路仿真及硬件实验

3.1电路设计

采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633) 来设计统一混沌系统的电路,如图5所示,其中运算放大器是用来进行电路的加减运算,模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项。由于运算放大器(LM741)的容许电压仅为±18V ,对于乘法器(AD633) 来说,其容许电压仅为±10V。为了有效的进行电路实验,我们把混沌信号的输出电平调小为原来的1/10,设

u = 10 x , v = 10 y , w = 10 z (6)

又由于系统变量的变换,不影响系统的状态及性能,从而再令

x = u , y = v , z = w (7)

则式(1) 可变为

(8)

3.2 电路仿真结果及硬件实验

根据图5的电路在EWB的仿真结果如图6所示。硬件实验结果也是一样的,说明基于虚拟仪器技术的方案是可行的。

4结束语

本文首先对统一混沌系统的数学模型进行了分析,得出了在参数α∈[0,1]演化时,是一个连续的混沌系统,然后应用美国NI公司的LabVIEW虚拟仪器技术结合混沌理论设计了基于虚拟仪器统一混沌系统信号发生器,该系统最大的优点是:用户在操作时感觉同操作真实的仪器设备一样,参数调节方便,易实现,可靠性高,实时性好,更适合于作为加密混沌通信系统的信息载体,提高通信系统的安全性。也提供了一种研究非线性混沌系统的新途径。最后进行了三个特例Lorenz,Lü,Chen系统的电路设计,仿真及其硬件实验,结果是一致的。

参考文献

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[5]王建根,赵怡.Chen系统和一类统一混沌系统的同步控制.电路与系统学报,2004,09(6):0057~0061

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[7]李智.基于虚拟仪器的无人机综合检测系统.微计算机应用,2006,27(2):215~217

统一混沌系统同步及其保密通信 篇2

研究了混沌系统的广义同步和基于状态观测器同步.利用这两种同步方法,研究了统一混沌系统的同步控制.研究发现:同步后的`响应系统能保持混沌状态.在此基础上,提出了全双工保密混沌通信系统,理论分析和仿真实验表明了该通信方案的可行性和有效性.

作 者：刘洋 彭良玉 董胡 LIU Yang PENG Liang-yu DONG Hu 作者单位：刘洋,董胡,LIU Yang,DONG Hu(湖南师范大学,物理与信息科学学院,长沙,410081)

彭良玉,PENG Liang-yu(湖南师范大学,物理与信息科学学院,长沙,410081;北京航空航天大学,仪器科学与光电工程学院,北京,100083)

一类混沌系统的Hopf分岔控制 篇3

关键词：带参数混沌系统;渐近稳定性;Hopf分岔;Hopf分岔控制

中图分类号：O231.2                文献标识码：A

Hopf bifurcation control of a chaotic system

CAO Yi-fan，WU Feng-Jiao

（College of Water Resources and Architectural Engineering;Northwest A&F University，Yangling，Shanxi 712100，China）

Abstract： Using Routh-Hurwitz criterion and hopf bifurcation theory，the dynamical behaviors of a chaotic system with parameters are investigated in this paper and also a feedback controller is designed to stabilize the system.The effects of the system parameters and controller parameters on the system stability and hopf bifurcation type are discussed，and then the system parameter conditions that the system is stable with no hopf bifurcation are found out.The results indicate that both of the linear control part and nonlinear control part in the controller can change the bifurcation behaviors of the system，which make the system asymptotically stable. Finally the numerical simulation proves the effectiveness of the controller.

Key words：Chaotic system with parameters; Asymptotic stability; Hopf bifurcation; Hopf bifurcation control

0  引言

混沌是非线性系统的一种特殊的运动状态，对初始条件敏感，又具有随机性但又不是真正的或完全的随机运动。往往混沌运动是有害的，人们尽量回避混沌行为，并设法抑制混沌的出现。混沌控制是当前混沌运动研究的一个新领域，是实现混沌应用的关键环节，目前，其控制尚无统一的理论和方法。文献[1-8]用自适应控制、滑模控制方法实现混沌系统有限时间稳定控制。Abdelkader Senouci等（2014）[10]对一混沌系统设计了T-S（Takagi-Sugeno）模糊模型及模糊控制器，进行了仿真验证。Jun Yoneyama（2013）[11]提出了一种并行分布补偿算法（PDC）的非线性控制设计，仿真验证了方法可行性。贾培艳等（2013）[12]采用并行分布补偿算法，结合线性矩阵不等式给出了一类离散混沌系统稳定的充分条件。Yibei Nian等（2012）[13]提出了基于T-S模糊模型及自适应控制的一类混沌系统控制模型，Henon图验证了方法的实效性。Li Yi-Min等（2012）[14]提出了控制非线性系统的一新的模糊逻辑系统，正确性得到仿真验证。Yang Liu等（2011）[15，16]提出了基于T-S模型的混沌系统脉冲控制方法，并进行了数字模拟验证。如何选择系统参数或控制参数来规避混沌或抑制混沌，上述文献未作探讨，有鉴于此，本文设计状态反馈控制器对系统进行分岔控制，实现系统稳定。首先利用Routh-Hurwitz判据及Hopf分岔理论研究系统动力学行为;然后设计状态反馈控制器对系统进行Hopf分岔控制，避免系统混沌的发生。

1  系统及动力学特征

考察带参数含两个平方项的三维混沌系统[17]

（1）

式中，a、b、c、l、h、k为实数，且bcl（h+k）>0。

1.1 平衡点及稳定性

1.1.1 O（0，0，0）点的稳定性

定理1  对于a2+4bc>0，若a>0，b<0，c>0，平衡点O（0，0，0）为稳定结点;若a<0，b>0，c<0，平衡点O（0，0，0）为不稳定结点;若a>0，b<0，c<0，平衡点O（0，0，0）为不稳定鞍点。

证明  系统（1）在O（0，0，0）点的特征方程为

（λ+c）（ λ2+aλ-ab）=0

因a2+4bc>0，则该方程有3个实根λ1= -c，。

若a>0，b<0，c>0，有λ1<0，λ2<0，λ3<0，故平衡点O（0，0，0）为稳定结点。

若a<0，b>0，c<0，有λ1>0，λ2>0，λ3>0，故平衡点O（0，0，0）为不稳定结点。

若a>0，b<0，c<0，有λ1>0，λ2>0，λ3<0，故平衡点O（0，0，0）为不稳定鞍点。

证毕。

1.1.2 F1与F2点的稳定性

因系统（1）关于Z轴对称，只需讨论F1点的稳定性。

对于平衡点O（0，0，0）处系统（1）Jacobian矩阵的特征方程（λ+c）（ λ2+aλ-ab）=0，不论参数a，b，c如何变化，特征方程只会出现零根，始终无纯虚根，因而平衡点O（0，0，0）处不会发生Hopf分岔，下面讨论其他平衡点的分岔问题。

因F1与F2关于Z轴对称，同时系统（1）又是关于Z轴对称的，下面只考虑F1点的Hopf分岔。为方便讨论，作坐标平移变换，使F1点为新坐标系的原点。

证明   因h=k≠0，系统（4）在O1（0，0，0）点的特征方程为

λ3+（a+c）λ2+（ac+bc）λ+2abc=0                                                            （4）

设式（5）有一对纯虚根±iβ，β>0，代入（4）式得

2abc-（a+c）β2±i（β2-ac-bc）β=0                                                             （5）

从（5）式得到

β2=ac+bc>0                                                                           （6）

（a+c）β2-2abc=0                                                                        （7）

，满足横切条件。系统（3）在O1（0，0，0）点Hopf分岔。

证毕。

取a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1，满足Hopf分岔条件，系统（1）在平衡点处时间历程呈现增幅振荡，其为亚临界Hopf分岔。

取a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1，同样满足Hopf分岔条件，系统（1）在平衡点F1（0.05，0.05，2）处时间历程呈等幅振荡，为超临界Hopf分岔。

2  Hopf分岔控制与分析

对于系统参数无法远离分岔面式（7）的情形，系统（1）将产生Hopf分岔，下面就a=2、b=6、c=1、h=1、k=1、l=1及a=1.995、b=2、c=0.0025、h=1、k=1、l=1两种情形进行Hopf分岔控制与分析。设计包含线性与非线性两个部分的控制器分别为

对受控系统（10）、（11）进行计算机仿真，图1、2分别为系统参数取a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1及a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1时系统的相轨线与时间历程，前者为亚临界Hopf分岔，后者为超临界Hopf分岔。

（a）相轨线（k1=-1，k2=0，k3=0）

（b） z-t历程（k1=-1，k2=0，k3=0）

（c）相轨线（k1=0，k2=-1，k3=0）

（d） z-t历程（k1=0，k2=-1，k3=0）

（e）相轨线（k1=0，k2=0，k3=-1）

（f） z-t历程（k1=0，k2=0，k3=-1）

（g）相轨线（k1=1，k2=1，k3=-1）

（h） z-t历程（k1=1，k2=1，k3=-1）

图1  a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1的相轨线与时间历程

Fig.1  Track of x-z and waveform for t-z of （11） with a=2，b=6，c=1，h=1，k=1，l=1

当k3=0，k1与k2一个不为0，即施加单一线性控制时，如图1（a）、1（b）和1（c）、1（d）所示，系统渐近稳定;当k3<0，即施加非线性控制时，无论有无线性控制，只要k1+ k3与k2+ k3足够小，如图1（e）、1（f）和1（g）、1（h）所示，系统同样渐近稳定。表明选取线性或非线性控制增益对系统施加控制（8）后，亚临界Hopf分岔行为消失，系统趋于稳定。

（a）相轨线（k1=-1，k2=0，k3=0）

（b） z-t历程（k1=-1，k2=0，k3=0）

（c）相轨线（k1=0，k2=-1，k3=0）

（d） z-t历程（k1=0，k2=-1，k3=0）

（e）相轨线（k1=0，k2=0，k3=-1）

（f） z-t历程（k1=0，k2=0，k3=-1）

（g）相轨线（k1=0.5，k2=0.5，k3=-1）

（h） z-t历程（k1=0.5，k2=0.5，k3=-1）

（i）相轨线（k1=255/128，k2=-8，k3=-1）

（j） z-t历程（k1=255/128，k2=-8，k3=-1）

图2  a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1的相轨线与时间历程

Fig.2  Track of x-z and waveform plot for t-z of （12） with a=1.995，b=2，c=0.0025，h=1，k=1，l=1

考察超临界Hopf分岔情形，从图2（a）～2（d）可以看出，对于k3=0，系统仅加线性控制，与图1相似，超临界Hopf分岔行为消失，系统渐近稳定，此时k1+k3=-1或k2+k3=-1，k1+k3或k2+k3较小;当k1=0，k2=0，k3=-1时，系统仅加非线性控制，如图2（e）、2（f）所示，同样超临界Hopf分岔行为消失，系统渐近稳定，此时k1+k3=-1，k2+k3=-1，k1+k3均k2+k3较小;当k1=0.5，k2=0.5，k3=-1时，受控系统（11）特征值λ=[0.8348， -2.3475， 0.0077]，平衡点为不稳定鞍结点，Hopf分岔未得到控制，如图所示2（g）、2（h），此时k1+k3=-0.5，k2+k3=-0.5，k1+k3与k2+k3都较大;保持k3=-1不变，调整k1和k2，使k1=255/128，k2=-8，此时，受控系统（11）特征值λ=[-0.0116，-0.0006+3.4714i，-0.0006-3.4714i]，平衡点渐近稳定，超临界Hopf分岔行为消失，如图2（i）、2（j）所示，此时k2+k3=-9，k2+k3较小。表明施加单一线性、非线性控制增益或同时施加线性与非线性控制增益，只要线性与非线性控制增益的和足够小，系统超临界Hopf分岔行为消失，系统趋于稳定。

以上表明选取适宜线性或非线性控制增益对系统施加控制后，系统Hopf分岔行为消失，系统有限时间稳定。

3  结论

针对带参数的非线性动力系统，研究了系统参数对系统稳定性的影响及Hopf分岔行为产生的条件;设计了控制器对系统进行Hopf分岔及稳定性控制。研究表明，系统参数及控制参数能规避与控制系统Hopf分岔行为。该方法为带参数非线性系统Hopf分岔分析及控制提供了借鉴。

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