统一混沌系统(精选六篇)
统一混沌系统 篇1
关键词:统一混沌系统,Chen系统,虚拟仪器,LabVIEW,电路
软件LabVIEW(Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench,实验室虚拟仪器工程平台)是美国NI公司( National Instruments Company)研制的一种编程语言,由于LabVIEW采用基于流程图的图形化编程语言,因此也被称为G语言(Graphics Language)。G语言编写的程序称为虚拟仪器VI(Virtual Instrument),它的界面和功能与真实仪器十分相象,在LabVIEW环境下开发的应用程序都被冠以VI后缀,以表示虚拟仪器的含义。一个VI由三部分组成:程序前面板(Front Panel)、数据流框图程序(Diagram Program)和图标/连接端口(Icon/Terminal)。
随着现代测试与仪器技术的发展,目前虚拟仪器概念已经发展成为一种创新的仪器设计思想,成为设计复杂测试仪器和测试系统的主要方法和手段。本文通过统一混沌系统[1,2,3]所构造的一个新的三维自治混沌统一系统,其中参数α∈[0,1],当α取0,0.8,1时,分别是Lorenz系统、Lü系统和Chen系统,此系统只有一个参数α,随α的演化,系统产生复杂的动力学特性。
我们首先分析了随参数α∈[0,1]的演化时,求出了系统的三个平衡点以及每个平衡点的特征值实部的变化,可以看出各平衡点处在整个演化过程中是满足Shil'nikov不等式的,在定域内是保持混沌状态的。然后利用LabVIEW设计了这个统一混沌系统混沌吸引子信号产生器,通过调节参数α系统连续地过渡到各个系统。由于此仪器参数调节方便,易实现,可靠性高,实时性好,与传统的自治混沌系统相比,此仪器输出的混沌吸引子信号,更适合于作为混沌保密通信系统的信息载体,提高通信系统的安全性。然后设计了当α取0,0.8,1时,三个系统的电路图,并进行了电路仿真,给出了各个系统的相图,并进行了电路实验,结果是一致的。
1统一混沌系统的分析
由于Lorenz,Lü,Chen系统间有很多类似的定性特征,在2002年,一个统一混沌系统被构造出来[1,2],其三维自治混沌系统的数学模型为
(1)
其中,参数α∈[0,1],当α=0时,它是Lorenz系统;当α=0.8时,即是Lü系统;当α=1时,是Chen系统;且α在0与1之间变化时,所有的系统均保持混沌状态。
在系统(1)中, 系统状态变量分别为x , y , z。为了求解系统(1)的平衡点,我们令[4]
(2)
求解(2)式可得系统有三个平衡点,在平衡点O(0,0,0),对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵为[5]
(3)
求平衡点O(0,0,0)相应的特征值,令
det(J0-λI)=0 (4)
得相应的特征根
图1是平衡点O(0,0,0)时的三个特征值随α∈[0,1]的演化。由图1可以看出随α的演化,λ1,λ3为负,λ2为正,此平衡点O(0,0,0)是指标为1的鞍焦点,因此,在此点处系统(1)是不稳定的。
在另两个平衡点
同样对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵,求平衡点E±相应的特征根,其三个特征根实部随α的演化如图2所示。
由图2可以看出随α的演化两个平衡点的特征值λ1为负实部复根,λ2,λ3为正实部复根,此平衡点E±是指标为2的焦点,由此可见,在此点处系统(1)也是不稳定的。
此统一混沌系统(1)的三个平衡点[6],一个是指标为1的鞍焦点,另两个是指标为2的焦点,在α∈[0,1]的演化过程中,满足Shil'nikov不等式,都表现出混沌动力学行为。
2基于虚拟仪器统一混沌系统的设计
统一混沌系统混沌信号产生器采用美国NI公司开发的图形化设计语言LabVIEW 8.2进行设计[7,8],借助LabVIEW强大的数值计算功能,求解微分方程(1),在LabVIEW窗口,进行前面板设计,和后面板的流程图设计。运行后,通过调节旋钮α的值,即可通过虚拟仪器观察并输出统一混沌系统的混沌信号。此系统如图3,图4所示。
统一混沌系统混沌信号的输出,安装NI公司的PCI6014数据采集卡并设置参数,这样就可由数据采集卡输出状态变量X(或Y,Z)的混沌信号。
此统一混沌实验系统具有良好的实验效果,与传统的自治混沌系统相比,具有参数调节方便、易实现、可靠性高,实时性好等优点。此混沌信号更适合于作为加密混沌通信系统的信息载体,提高通信系统的安全性。
3统一混沌系统的电路仿真及硬件实验
3.1电路设计
采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633) 来设计统一混沌系统的电路,如图5所示,其中运算放大器是用来进行电路的加减运算,模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项。由于运算放大器(LM741)的容许电压仅为±18V ,对于乘法器(AD633) 来说,其容许电压仅为±10V。为了有效的进行电路实验,我们把混沌信号的输出电平调小为原来的1/10,设
u = 10 x , v = 10 y , w = 10 z (6)
又由于系统变量的变换,不影响系统的状态及性能,从而再令
x = u , y = v , z = w (7)
则式(1) 可变为
(8)
3.2 电路仿真结果及硬件实验
根据图5的电路在EWB的仿真结果如图6所示。硬件实验结果也是一样的,说明基于虚拟仪器技术的方案是可行的。
4结束语
本文首先对统一混沌系统的数学模型进行了分析,得出了在参数α∈[0,1]演化时,是一个连续的混沌系统,然后应用美国NI公司的LabVIEW虚拟仪器技术结合混沌理论设计了基于虚拟仪器统一混沌系统信号发生器,该系统最大的优点是:用户在操作时感觉同操作真实的仪器设备一样,参数调节方便,易实现,可靠性高,实时性好,更适合于作为加密混沌通信系统的信息载体,提高通信系统的安全性。也提供了一种研究非线性混沌系统的新途径。最后进行了三个特例Lorenz,Lü,Chen系统的电路设计,仿真及其硬件实验,结果是一致的。
参考文献
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统一混沌系统同步及其保密通信 篇2
研究了混沌系统的广义同步和基于状态观测器同步.利用这两种同步方法,研究了统一混沌系统的同步控制.研究发现:同步后的`响应系统能保持混沌状态.在此基础上,提出了全双工保密混沌通信系统,理论分析和仿真实验表明了该通信方案的可行性和有效性.
作 者:刘洋 彭良玉 董胡 LIU Yang PENG Liang-yu DONG Hu 作者单位:刘洋,董胡,LIU Yang,DONG Hu(湖南师范大学,物理与信息科学学院,长沙,410081)
彭良玉,PENG Liang-yu(湖南师范大学,物理与信息科学学院,长沙,410081;北京航空航天大学,仪器科学与光电工程学院,北京,100083)
一类混沌系统的Hopf分岔控制 篇3
关键词:带参数混沌系统;渐近稳定性;Hopf分岔;Hopf分岔控制
中图分类号:O231.2 文献标识码:A
Hopf bifurcation control of a chaotic system
CAO Yi-fan,WU Feng-Jiao
(College of Water Resources and Architectural Engineering;Northwest A&F University,Yangling,Shanxi 712100,China)
Abstract: Using Routh-Hurwitz criterion and hopf bifurcation theory,the dynamical behaviors of a chaotic system with parameters are investigated in this paper and also a feedback controller is designed to stabilize the system.The effects of the system parameters and controller parameters on the system stability and hopf bifurcation type are discussed,and then the system parameter conditions that the system is stable with no hopf bifurcation are found out.The results indicate that both of the linear control part and nonlinear control part in the controller can change the bifurcation behaviors of the system,which make the system asymptotically stable. Finally the numerical simulation proves the effectiveness of the controller.
Key words:Chaotic system with parameters; Asymptotic stability; Hopf bifurcation; Hopf bifurcation control
0 引言
混沌是非线性系统的一种特殊的运动状态,对初始条件敏感,又具有随机性但又不是真正的或完全的随机运动。往往混沌运动是有害的,人们尽量回避混沌行为,并设法抑制混沌的出现。混沌控制是当前混沌运动研究的一个新领域,是实现混沌应用的关键环节,目前,其控制尚无统一的理论和方法。文献[1-8]用自适应控制、滑模控制方法实现混沌系统有限时间稳定控制。Abdelkader Senouci等(2014)[10]对一混沌系统设计了T-S(Takagi-Sugeno)模糊模型及模糊控制器,进行了仿真验证。Jun Yoneyama(2013)[11]提出了一种并行分布补偿算法(PDC)的非线性控制设计,仿真验证了方法可行性。贾培艳等(2013)[12]采用并行分布补偿算法,结合线性矩阵不等式给出了一类离散混沌系统稳定的充分条件。Yibei Nian等(2012)[13]提出了基于T-S模糊模型及自适应控制的一类混沌系统控制模型,Henon图验证了方法的实效性。Li Yi-Min等(2012)[14]提出了控制非线性系统的一新的模糊逻辑系统,正确性得到仿真验证。Yang Liu等(2011)[15,16]提出了基于T-S模型的混沌系统脉冲控制方法,并进行了数字模拟验证。如何选择系统参数或控制参数来规避混沌或抑制混沌,上述文献未作探讨,有鉴于此,本文设计状态反馈控制器对系统进行分岔控制,实现系统稳定。首先利用Routh-Hurwitz判据及Hopf分岔理论研究系统动力学行为;然后设计状态反馈控制器对系统进行Hopf分岔控制,避免系统混沌的发生。
1 系统及动力学特征
考察带参数含两个平方项的三维混沌系统[17]
(1)
式中,a、b、c、l、h、k为实数,且bcl(h+k)>0。
1.1 平衡点及稳定性
1.1.1 O(0,0,0)点的稳定性
定理1 对于a2+4bc>0,若a>0,b<0,c>0,平衡点O(0,0,0)为稳定结点;若a<0,b>0,c<0,平衡点O(0,0,0)为不稳定结点;若a>0,b<0,c<0,平衡点O(0,0,0)为不稳定鞍点。
证明 系统(1)在O(0,0,0)点的特征方程为
(λ+c)( λ2+aλ-ab)=0
因a2+4bc>0,则该方程有3个实根λ1= -c,。
若a>0,b<0,c>0,有λ1<0,λ2<0,λ3<0,故平衡点O(0,0,0)为稳定结点。
若a<0,b>0,c<0,有λ1>0,λ2>0,λ3>0,故平衡点O(0,0,0)为不稳定结点。
若a>0,b<0,c<0,有λ1>0,λ2>0,λ3<0,故平衡点O(0,0,0)为不稳定鞍点。
证毕。
1.1.2 F1与F2点的稳定性
因系统(1)关于Z轴对称,只需讨论F1点的稳定性。
对于平衡点O(0,0,0)处系统(1)Jacobian矩阵的特征方程(λ+c)( λ2+aλ-ab)=0,不论参数a,b,c如何变化,特征方程只会出现零根,始终无纯虚根,因而平衡点O(0,0,0)处不会发生Hopf分岔,下面讨论其他平衡点的分岔问题。
因F1与F2关于Z轴对称,同时系统(1)又是关于Z轴对称的,下面只考虑F1点的Hopf分岔。为方便讨论,作坐标平移变换,使F1点为新坐标系的原点。
证明 因h=k≠0,系统(4)在O1(0,0,0)点的特征方程为
λ3+(a+c)λ2+(ac+bc)λ+2abc=0 (4)
设式(5)有一对纯虚根±iβ,β>0,代入(4)式得
2abc-(a+c)β2±i(β2-ac-bc)β=0 (5)
从(5)式得到
β2=ac+bc>0 (6)
(a+c)β2-2abc=0 (7)
,满足横切条件。系统(3)在O1(0,0,0)点Hopf分岔。
证毕。
取a=2,b=6,c=1,h=1,k=1,l=1,满足Hopf分岔条件,系统(1)在平衡点处时间历程呈现增幅振荡,其为亚临界Hopf分岔。
取a=1.995,b=2,c=0.0025,h=1,k=1,l=1,同样满足Hopf分岔条件,系统(1)在平衡点F1(0.05,0.05,2)处时间历程呈等幅振荡,为超临界Hopf分岔。
2 Hopf分岔控制与分析
对于系统参数无法远离分岔面式(7)的情形,系统(1)将产生Hopf分岔,下面就a=2、b=6、c=1、h=1、k=1、l=1及a=1.995、b=2、c=0.0025、h=1、k=1、l=1两种情形进行Hopf分岔控制与分析。设计包含线性与非线性两个部分的控制器分别为
对受控系统(10)、(11)进行计算机仿真,图1、2分别为系统参数取a=2,b=6,c=1,h=1,k=1,l=1及a=1.995,b=2,c=0.0025,h=1,k=1,l=1时系统的相轨线与时间历程,前者为亚临界Hopf分岔,后者为超临界Hopf分岔。
(a)相轨线(k1=-1,k2=0,k3=0)
(b) z-t历程(k1=-1,k2=0,k3=0)
(c)相轨线(k1=0,k2=-1,k3=0)
(d) z-t历程(k1=0,k2=-1,k3=0)
(e)相轨线(k1=0,k2=0,k3=-1)
(f) z-t历程(k1=0,k2=0,k3=-1)
(g)相轨线(k1=1,k2=1,k3=-1)
(h) z-t历程(k1=1,k2=1,k3=-1)
图1 a=2,b=6,c=1,h=1,k=1,l=1的相轨线与时间历程
Fig.1 Track of x-z and waveform for t-z of (11) with a=2,b=6,c=1,h=1,k=1,l=1
当k3=0,k1与k2一个不为0,即施加单一线性控制时,如图1(a)、1(b)和1(c)、1(d)所示,系统渐近稳定;当k3<0,即施加非线性控制时,无论有无线性控制,只要k1+ k3与k2+ k3足够小,如图1(e)、1(f)和1(g)、1(h)所示,系统同样渐近稳定。表明选取线性或非线性控制增益对系统施加控制(8)后,亚临界Hopf分岔行为消失,系统趋于稳定。
(a)相轨线(k1=-1,k2=0,k3=0)
(b) z-t历程(k1=-1,k2=0,k3=0)
(c)相轨线(k1=0,k2=-1,k3=0)
(d) z-t历程(k1=0,k2=-1,k3=0)
(e)相轨线(k1=0,k2=0,k3=-1)
(f) z-t历程(k1=0,k2=0,k3=-1)
(g)相轨线(k1=0.5,k2=0.5,k3=-1)
(h) z-t历程(k1=0.5,k2=0.5,k3=-1)
(i)相轨线(k1=255/128,k2=-8,k3=-1)
(j) z-t历程(k1=255/128,k2=-8,k3=-1)
图2 a=1.995,b=2,c=0.0025,h=1,k=1,l=1的相轨线与时间历程
Fig.2 Track of x-z and waveform plot for t-z of (12) with a=1.995,b=2,c=0.0025,h=1,k=1,l=1
考察超临界Hopf分岔情形,从图2(a)~2(d)可以看出,对于k3=0,系统仅加线性控制,与图1相似,超临界Hopf分岔行为消失,系统渐近稳定,此时k1+k3=-1或k2+k3=-1,k1+k3或k2+k3较小;当k1=0,k2=0,k3=-1时,系统仅加非线性控制,如图2(e)、2(f)所示,同样超临界Hopf分岔行为消失,系统渐近稳定,此时k1+k3=-1,k2+k3=-1,k1+k3均k2+k3较小;当k1=0.5,k2=0.5,k3=-1时,受控系统(11)特征值λ=[0.8348, -2.3475, 0.0077],平衡点为不稳定鞍结点,Hopf分岔未得到控制,如图所示2(g)、2(h),此时k1+k3=-0.5,k2+k3=-0.5,k1+k3与k2+k3都较大;保持k3=-1不变,调整k1和k2,使k1=255/128,k2=-8,此时,受控系统(11)特征值λ=[-0.0116,-0.0006+3.4714i,-0.0006-3.4714i],平衡点渐近稳定,超临界Hopf分岔行为消失,如图2(i)、2(j)所示,此时k2+k3=-9,k2+k3较小。表明施加单一线性、非线性控制增益或同时施加线性与非线性控制增益,只要线性与非线性控制增益的和足够小,系统超临界Hopf分岔行为消失,系统趋于稳定。
以上表明选取适宜线性或非线性控制增益对系统施加控制后,系统Hopf分岔行为消失,系统有限时间稳定。
3 结论
针对带参数的非线性动力系统,研究了系统参数对系统稳定性的影响及Hopf分岔行为产生的条件;设计了控制器对系统进行Hopf分岔及稳定性控制。研究表明,系统参数及控制参数能规避与控制系统Hopf分岔行为。该方法为带参数非线性系统Hopf分岔分析及控制提供了借鉴。
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Rossler系统的混沌控制 篇4
近年来国内外科研工作者对Rossler系统进行了深入的研究,Rossler系统是Rossler在对气象学家Lorenz研究大气热对流时得到的一个数值解产生奇特混沌现象的非线性微分方程组进行简化,最终得到的只含一个非线性项且能产生混沌运动的微分方程组。Rossler系统的最小时间同步[1]、异结构同步[2]及非线性耦合[3]都有研究,有学者研究了新的Rossler混沌序列图像加密算法[4]和ROSSLER系统平衡点集的镇定[5],与此同时,科学工作者对系统的动力学行为研究[6]及混沌控制[7]也有一定的成果。本文根据Rossler系统的动力学方程,数值仿真了系统随自身参数变化的全局分岔图,分析了系统随自身参数变化的动力学行为,针对系统混沌状态,分别用自适应控制法和x x控制法两种控制方法对系统进行了控制,对比了两种控制方法对系统控制的结果,得到了两种控制法均能将系统控制在稳定的周期轨道,但在两种控制方法中,系统随控制参数变化,动力学行为有明显区别的丰富现象,为进一步Rossler系统的动力学行为研究和混沌控制提供了理论支持,为Rossler系统在工程领域的应用及控制提供了参数选择区域,为其它系统的混沌控制及动力学行为研究提供了经验和方法。
1 Rossler系统
1.1 系统动力学模型
Rossler系统的动力学方程为:
这是三变量非线性微分方程组,a,b,c为参数。
1.2 系统混沌状态
选取系统参数,当a=0.2,b=0.2,c=4.6时,系统有两个平衡点S1=(0.003,-0.02,0.02),S2=(10.00,-66.65,66.65),其中S1是不稳定的焦点,S2是不稳定的中心点,此时系统处于混沌状态。对系统用变步长Runge-Kutta法进行数值仿真,取平衡点(0,0,0),选取系统的初始值(0.003,0.02,0.02),可得系统随自身参数变化的全局分岔图,如图1所示。在图1中,随着系统参数a的增大,系统发生倍化分岔,当系统参数a不断增大时,系统发生倍化分岔序列,最终通向混沌状态。图2、图3给出了系统处在混沌状态的相图。
2 混沌控制
2.1 自适应控制
自适应控制算法旨在设计一状态反馈控制器u,使得所构成的闭环系统稳定。显然,简单的状态反馈控制器应该是控制器u仅仅是状态X的线性函数,即u=-k X,其中k为反馈增益。另外,如果控制器u仅仅是状态X中某一变量的函数,即u可表述为u=-kx1,或u=-kx2,或u=-kx3的形式,则控制器的结构会更加简单。为不失一般性,本文只对状态X中的变量y施加控制作用,且控制器的结构为u=-ky。首先构造如下的Lyapunov函数:
对V求导,则:
若k>c,则P(k)正定,故:
其中λmin(P(k))为矩阵P(k)的最小特征值。又因为V=‖x‖2,则:
所以:
其中V(0)为Lyapunov函数的初始值。因V(0)是有界的,所以当反馈增益k>c时,状态X指数趋于稳定。选择变量y施加控制作用,且控制器的结构为u=-ky。于是受控的Rossler混沌系统可写为:
通过数值仿真,得到系统在受控后随控制参数k变化的全局分岔图如图4所示。在图4中,随着控制参数k的减小,系统由单周期运动经倍化分岔为双周期运动,随着控制参数k的进一步减小,系统再次发生倍化分岔,最终由倍化分岔序列通向混沌。当控制参数k=0.08,系统处于单周期运动轨道,图5、图6为系统处在单周期状态时的相图,图7为系统在单周期时的时间历程图;减小控制参数,当k=0.04时,系统处于周期二运动轨道,图8、图9为系统处在周期二运动状态时的相图,图10为系统在周期二时的时间历程图;进一步减小控制参数,当k=0.025时,系统处于周期四运动轨道,图11、图12为系统在周期四运动状态时的相图,图13为系统在周期四时的时间历程图。由此可见,自适应控制算法能将系统控制在单周期、多周期运动轨道上。
2.2 x| x|控制
考虑如下定义的n维非线性混沌系统
其中F为非线性光滑向量函数,X为系统的状态X=[x1,x2,…,xn]T,y为系统的输出,c为1×n的常数矩阵。设系统的非线性反馈控制器为:
其中K为反馈增益矩阵。将该非线性反馈控制器负反馈加到混沌动力系统中,则受控系统为
这样形成的非线性控制器简单且只需要稍微改变参数,相对小的反馈增益,就能够将混沌运动控制到各种规则的运动。
在式(1)中加入负反馈变量,就可以得到受控的方程如下:
通过数值仿真,得到系统在受控后随控制参数k变化的全局分岔图如图14所示。在图14中,随着控制参数k的增大,系统由混沌状态转变为周期三运动,随着控制参数k的继续增大,系统发生了倍化分岔,当控制参数k进一步增大时,系统通过倍化分岔序列最终通向混沌。当控制参数k=0.03时,系统处在稳定的周期三轨道,图15是周期三轨道的相图,图16是系统在周期三轨道的时间历程图。由此可见,x| x控制法能将系统控制在稳定的三周期轨道、多周期轨道上,这种控制法为系统被控制在周期轨道提供了可供选择的参数区域。
3 结束语
本文根据Rossler系统的动力学方程,选取了恰当的系统参数,当a=0.2,b=0.2,c=4.6时,选取系统平衡点(0,0,0)及初始值(0.003,0.02,0.02),用变步长Runge-Kutta法对系统进行数值仿真,得系统随自身参数变化的全局分岔图,分析了系统随自身参数变化的动力学行为,给出了系统处在混沌态时的相图和时间历程图。基于系统的混沌状态,构建了自适应控制法和x| x控制法两种控制方法对系统进行了控制,通过数值仿真显示:两种控制法均能将系统控制在稳定的周期轨道,在自适应控制中,随着控制参数k逐步减小,系统由单周期运动经倍化分岔为双周期运动,再经倍化分岔序列最终通向混沌,系统动力学行为规则,对应控制参数选择区域连续;在x| x控制中,系统由混沌状态转变为三周期运动,随着控制参数k的逐步增大,周期运动发生倍化分岔,再经倍化分岔序列通向混沌,系统动力学行为丰富,对应控制参数选择区域范围明确。本文工作为Rossler系统的动力学行为研究和混沌控制提供了理论支持,为Rossler系统在工程领域的应用及控制提供了参数选择区域,为其它系统的混沌控制及动力学行为研究提供了经验和方法。
摘要:根据Rossler系统的动力学方程,数值仿真了系统随自身参数变化的全局分岔图,分析了参数变化引起系统动力学行为的变化。针对系统混沌状态,分别用自适应控制法和控制法两种方法对系统进行控制,仿真结果显示:两种控制法均能将系统控制在稳定的周期轨道。对比了两种控制法对系统控制的结果,在自适应控制中,随着控制参数逐步减小,系统由单周期运动经倍化分岔为双周期运动,再经倍化分岔序列最终通向混沌,动力学行为规则,对应控制参数选择区域连续;在控制中,系统由混沌状态转变为三周期运动,随着控制参数逐步增大,周期运动发生倍化分岔,再经倍化分岔序列通向混沌,系统动力学行为丰富,对应控制参数选择区域范围明确。为Rossler系统的动力学行为研究和混沌控制提供了理论支持,为Rossler系统在工程领域的应用及控制提供了参数选择区域,为其它系统的混沌控制及动力学行为研究提供了经验和方法。
关键词:Rossler系统,动力学行为,周期运动,分岔,混沌,混沌控制
参考文献
[1]马明,郑永爱,胡冯仪,等.Rossler系统的最小时间同步[J].动力学与控制学报,2008,6(3):249-253.
[2]吴先用,万钧力.Rossler系统与统一混沌系统的异结构同步[J].系统工程与电子技术,2008,30(4):715-718.
[3]李佳.Rossler混沌系统间的非线性耦合同步[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2013,29(5):22-24.
[4]邓玥,王光义,袁方.一种新的Rossler混沌序列图像加密算法[J].杭州电子科技大学学报,2011,31(5):9-12.
[5]陈彭年,秦化淑.ROSSLER系统平衡点集的镇定[J].系统科学与数学,2010,30(6):869-876.
[6]FABIO SCALCO DIAS,LUIS FERNANDO MELLO,JIANGANG ZHANG.Nonlinear analysis in a Lorenz-like system[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010,(11):3491-3500.
一类耦合超混沌系统同步控制 篇5
近年来, 混沌系统的同步控制及其在保密通信中的应用研究得到了广泛的关注, 混沌同步技术更是其中的关键问题 ([1][2][3]) 。对混沌同步控制的研究有以下主要结论:
定理1[3]给定两个混沌系统
这种方法主要通过计算Lyapunov指数来整定反馈系数矩阵, 这就存在几个问题。首先, 在计算Lyapunov指数时计算量大且右端项 () 必须可微;其次, 必须保证初值相差很小。这些都为实际应用带来了很多不便, 特别是对高维超混沌系统就不太适用了。
由于高维超混沌系统能产生更复杂的动态特性, 因此成为了研究的重点, 在文献[4][5]基础上, 通过分析两类典型的耦合混沌系统的同步控制, 给出了基于Lyapunov函数的一种中给出了一种基于观测器的方法, 给出了对任意初值的同步控制方法, 本文在文献[5]的基同步控制方法, 并且这种方法对任意初值都是有效的。
1 耦合超混沌同步控制
本文基于保密通信的实际应用背景, 结合文献中已有的方法, 给出了一种可行的混沌同步定义, 下文主要基于此定义进行讨论:
定义1设有下面两个系统:
1.1线性耦合超混沌系统的同步控制
我们考虑Chua系统[6]:
代入 (9) 得
1.2非线性耦合超混沌系统同步控制
本节我们考虑系统[7]:
下面我们对K进行整定, 使系统 (12) 是对系统 (11) 的全局观测, 即实现系统同步。
2 结束语
上述方法主要针对不同的耦合形式, 构造不同的同步系统, 使得以误差方程为线性系统, 通过构造相应的Lyapunov函数, 利用稳定性判别方法, 理论分析证明了其有效性, 并且可以得到同步控制参数的估计, 从而实现混沌系统的同步控制, 并且在实际应用中也是可行的, 从计算机模拟结果可以看出本文的方法是有效的。另外, 这种方法可以类似的推广到一般的耦合超混沌系统。
摘要:本文主要研究了一类耦合超混沌系统的同步控制问题, 基于实际应用背景给出了一种可行的同步控制定义, 在此定义下分别对两个典型耦合超混沌系统的同步控制进行了研究, 利用全局Lyapunov函数稳定性理论分析方法, 分别给出了针对不同耦合方式的耦合超混沌系统的同步控制方法, 并且这种方法对所有初值都是成立的。
关键词:超混沌系统,同步控制,Lyapunov函数
参考文献
[1]T.L.Carroll and L.M.Pecora, “Synchronization chaotic circuits, ”IEEE Trans.Circuit Systems, vol 38, pp.456.Apr.1991.
[2]L.kocarev, K.S.Halle, K.Eckert, L.O.Chua.Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization[J].Int.J.Bifurc.Chaos, 1992.2 (3) :709-713.
[3]L.Kocarev, A.Shang, and L.O.Chua, “Transtitions in dynamical regimes by driving:a unified method of control and synchronization of chaos, ”Int.J.Bifurc.Chaos, 1993:479-483.
[4]O.Morgul and E.Solak, “Observer based synchronization of chaotic systems, ”Phys.Rev.E, vol.54, no.5, pp.4803~4811, 1996.
[5]Giuseppe Grassi and Saverio Mascolo, “Nonlinear Observer Design to Synchronize Hyperchaotic Systems via a Scalar Signal, ”IEEE Trans.Circuits Systems, vol.44, NO.10, Oct.1997:1011~1014.
[6]T.Matsumoto, L.O.Chua, and K.Kobayashi, “Hyperchaos:Laboratory experiment and numerical confirmation, ”IEEE Trans.Circuits Systems, vol.CAS-38, no.11, pp.1143-1147, Nov.1986.
电路实现lorenz混沌系统同步 篇6
该文仅就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的介绍。
1 Lorenz吸引子
一个系统的同步是以其条件李雅普诺夫指数来衡量的, 当一个系统的条件李雅普诺夫指数为负时, 称系统是同步的。Lorenz吸引子是一种典型的混沌系统, 利用它可以证实以上的结论。
Lorenz系统是气象学家lorenz在研究流体是提出的动力学模型, 随后人们给出了它的电路实现。其电路图如图1所示。
在电路中, 由R1、R2、R3、R4以及运算放大器1构成了一个减法器。R5、C2以及运算放大器2构成一个积分器。R6、R7以及运算放大器3构成了一个倍乘器。乘法器9实现了U和W的相乘。乘法器10实现了U和V的相乘。R8、R9、R10、R11、R12以及运算放大器4构成了一个加法器。R13、R14以及运算放大器5构成了一个反向器。R15、C2以及运算放大器6构成积分器。R16、R17、R18、R19以及运算放大器7构成了一个减法器。R20、C3以及运算放大器8构成了一个积分器。
其输出V (T) —T, 关系如图2所示。
2 线性状态反馈同步
下面讨论利用线性反馈的控制方法实现两个全同系统混沌运动的同步化。所谓两个全同系统, 这里是指一个n维动力系统
对它的复制品
两式中的函数有完全相同的形式, 只是用带撇的变量代替了不带撇的变量 (参数u可以有微小的差别) 。系统可称为原系统, 系统可称为复制系统, 为利用线性反馈方法使原系统与复制系统同步化, 在复制系统方程中增加一反馈项, 即
通过选择合适的使得t→∞时, , 就是说使式 (9) 的解渐进稳定地趋向方程 (7) 的解, 从而使系统 (9) 与系统 (7) 同步化。
这样做的好处在于:一般来说是与的性质有关的一大类函数, 使得有多种选择方法来实现这两个混沌系统的同步化, 从而使应用这一现象的可行性更大。
下面对lorenz方程的反馈混沌同步进行说明。驱动系统为:.
反馈加在响应系统的第二个方程上
其中的参数值与原系统的相同, σ=16, r=45.6, b=4。
电路图中需要在lorenz基本混沌电路的基础上, 完全复制一套u、v、w, 再加入一个由电阻及运算放大器组成的减法器, 一个由电阻及运算放大器组成的倍乘器, 驱动信号加在v’中。
在驱动系统中, 取电容的初始值为0.1v, 响应系统中, 取电容的初始值为0.11v。此时, 研究者关心的是v、v’随着时间的推移, 是否能达到同步的问题。
该文还是利用pspice软件来检验v与v’是否同步的问题, 用与u驱动同样的方法来观察v与v’的关系曲线。
3 结语
该文研究了两种实现两个系统混沌同步的方法, 最终一个系统是可以达到同步的。
参考文献
[1]陈关荣, 吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京:科学出版社, 2003.
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