直线与椭圆位置关系

直线与椭圆位置关系（精选十篇）

直线与椭圆位置关系 篇1

我们知道在判断直线与圆的位置关系时有两种方法:判别法、公式法 (判别d与R的关系) 显然公式法来得简捷方便.而在判断直线与椭圆的位置关系时一般用判别法来求解, 此时运算量往往比较大且容易出错, 给学生造成了一定的压力, 特别在含有参变量的时候.那么由圆通过压缩而来的椭圆, 在判断直线与椭圆的位置关系时能否与圆一样具有一定的公式呢?回答是肯定的!

二、解决问题

考虑到圆与椭圆之间的变换关系, 我们从图形变换的角度加以研究.图形的伸缩变换具有变换前后直线与曲线的位置关系不变的性质.

现有椭圆:与直线L:Ax+By+C=0 (不妨设A≠0, B≠0) .

作如下变换:, 则椭圆C变换为圆:x12+y12=a2, 直线方程L变为Aax1+Bby1+Ca=0.

由图形伸缩变换的性质可知:判断直线Ax+By+C=0与椭圆的位置关系问题就等价于判断直线Aax1+Bby1+Ca=0与圆x12+y12=a2的位置关系问题.

这样就有:

对于判断椭圆C:与直线L:Ax+By+C=0的位置关系时也有类似的结论:

由于a, b是约定俗成的符号, 其有大小关系.为了便于记忆和使用的方便, 现对上述结论做如下改进:椭圆C: (m>0, n>0) 与直线Ax+By+C=0,

三、应用

有了以上结论可以避免过多的计算, 使问题的解答方便易求.现举例说明:

例1直线3x+4y-12=0与椭圆C:相交于A、B两点, C上的点P使得△PAB的面积等于3, 这样的点P共有 () .

(A) 1个 (B) 2个

(B) 3个 (D) 4个

解析:显然在直线3x+4y-12=0的左下方有两个点满足题意.于是只要考虑直线右上方的情况, 此时在椭圆上与直线3x+4y-12=0距离最远的点为直线3x+4y-12=0与椭圆相切的切点.

例2直线y=kx+b与椭圆恒有交点, 试求b的取值范围.16

直线与圆的位置关系教案 篇2

2．掌握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。

3．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。

重点难点：

1．重点：直线与圆的三种位置关系的概念。

2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。

教学过程：

一．复习引入

1．提问：复习点和圆的三种位置关系。

（目的：让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比，以便更好的掌握直线和圆的位置关系）

2．由日出升起过程中的三个特殊位置引入直线与圆的位置关系问题。

（目的：让学生感知直线和圆的位置关系，并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力）

二．定义、性质和判定

1．结合关于日出的三幅图形，通过学生讨论，给出直线与圆的三种位置关系的定义。

（1）线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。

（2）直线和圆有唯一的公点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2．直线和圆三种位置关系的性质和判定：

如果⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）线l与⊙O相交 d＜r

（2）直线l与⊙O相切d=r

（3）直线l与⊙O相离d＞r

三．例题分析：

例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径。

①当r= 时，圆与AB相切。

②当r=2cm时，圆与AB有怎样的位置关系，为什么？

③当r=3cm时，圆与AB又是怎样的位置关系，为什么？

④思考：当r满足什么条件时圆与斜边AB有一个交点？

四．小结（学生完成）

五、随堂练习：

（1）直线和圆有种位置关系，是用直线和圆的个数来定义的；这也是判断直线和圆的位置关系的重要方法。

（2）已知⊙O的直径为13cm，直线L与圆心O的距离为d。

①当d=5cm时，直线L与圆的位置关系是；

②当d=13cm时，直线L与圆的位置关系是；

③当d=6。5cm时，直线L与圆的位置关系是；

（目的：直线和圆的位置关系的判定的应用）

（3）⊙O的半径r=3cm，点O到直线L的距离为d，若直线L 与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）

（A）d=3（B）d≤3（C）d<3 d="">

3（目的：直线和圆的位置关系的性质的应用）

（4）⊙O半径=3cm。点P在直线L上，若OP=5 cm，则直线L与⊙O的位置关系是（）

（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交

（目的：点和圆，直线和圆的位置关系的结合，提高学生的综合、开放性思维）

想一想：

在平面直角坐标系中有一点A（—3，—4），以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况。（有五种情况）

六、作业：P100—

直线与椭圆位置关系 篇3

本文就《空间直线与直线之间的位置关系》一课的磨课、授课和课后反思小议概念教学中的一些问题。

一、课题：空间直线与直线之间的位置关系

参考很多教学设计发现其设计流程基本是大同小异：

1.课题引入：从立交桥、教室内部的线条（根据教材上所给）引出空间直线间的几种关系。

2.概念一：由引入得到不平行、不相交的两直线，提问：“给个怎样的名称好？”让学生自主给出异面的名称和定义。教师板书，对空间直线间的位置关系进行两类分类，并完成教材上的思考。

3.从初中学习的线线间平行的可传递性出发推广到空间，即给出公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4.利用公理4完成例2的教学内容。

5.给出等角定理、异面直线所成角的定义及相关的概念。

6.小结。

二、质疑

质疑一：上述流程是一个中规中矩的过程，整个教学设计看似完成了教学内容，但就教学的四维目标和重难点的突破来看，实在很难达到预期的效果。

质疑二：关于教材思考一的处理，这是一个关于平面翻折的问题，而平面翻折问题是培养学生空间想象能力的一个重要载体。但是经过分析后决定把这个例题简化处理，因为学生的思维水平和空间想象能力在这个时候还处于直观感知的阶段，让他们做理性的分析显然是超前的。

质疑三：异面直线的定义中“不同在任何一个平面”怎么讲。对刚接触立体几何的学生来说，由于缺少足够的理论体系的支持，这个问题对他们而言其实也是一个说不清、道不明的概念。所以处理成了“既不平行，也不相交”的一种空间直观。

质疑四：等角定理的顺序，教材中是先给出等角定理后给出异面直线所成角的概念。讨论后认为，这个定理是为了说明角的唯一性而给出的，它起到的其实相当于“引理”的作用，但是，高等数学中的一种严密的逻辑结构，对高中生来说却不是那么好接受的，因此将定理后移，使之成为一个唯一性的必要定理。

三、定课

针对这些情况，在对教材内容做了详细研究后做出了一系列的改动。设计如下：

1.课题引入：平面中的直线与直线之间的位置关系有哪几种？其关系其实在平面的一个非常基本的图形——正方形中可以清楚直观地表示。（平行和相交）通过类比空间，我们用正方体来研究，看看空间的直线到底有哪些关系。

2.提出问题：平面中的两直线有几种位置关系？（例如正方形中）那么空间中的两条直线呢？（将正方形空间化成立方体）对比正方形中的关系：平行和相交。对剩下的直线提出问题。还有一类既不平行也不相交的直线，给出异面直线名称，师生共同完成异面直线的定义。利用上面给出的问题，通过直观感知和操作确认，完成定义中的“不同在任何一平面”的难点突破。

空间直线的分类：（1）从共面异面角度来区分，分异面直线和共面直线。其中共面直线又包含平行直线、相交直线。（2）从交点的个数角度来分：没有交点和有且只有一个交点的情况。其中没有交点包含平行直线、异面直线；有且只有一个交点的情况是相交直线。

3.公理4：

回顾例1中找平行直线的方法，得出平行公理。引导学生形成理性地发现问题及解决问题的能力。（板书平行公理，平行公理的数学表示，平行的可传递性）利用平行公理完成课本例2的证明。接着追问：当空间四边形对角线相等的时候，四边形是一个什么四边形？再进一步创设问题：怎样再增加条件，使四边形成为一个正方形？（学生直观给出，引出异面直线所成角的概念）

4.异面直线所成角。

由例2的追问引发了学生的思考，并提出了异面直线所成角的概念。在平面中角是用來度量直线倾斜程度的量，那么空间两直线是不是也有这样的量呢？（学生直观感知空间角的存在）给出空间角的概念。从角的唯一性出发，给出等角定理。（直观感知，不证明。）由点0的任意性，最简单的找角的办法就是在一条直线上找一个点，定为0，将另一条直线平移过来，从而完成异面直线所成角的作法。

5.知能提升。

在我们的学生了解并掌握了如何找异面直线所成角这个方法之后，完成例3这个问题。学生不管是知识方面还是能力方面都得到了真真的提升。

6.小结升华。

学生小结本节课的主要内容及相应要注意的事项。

7.作业。

四、反思

以建构主义理论为指导，我们的课堂应当从学生已有知识出发进行一系列的设计，我们的问题不能高于也不能低于学生的既有知识，要设计一个最近发展区，这也是一种有效的预设，本文从学生已有的平面几何中的线线关系进行设问，并通过平面几何问题空间化，引出空间中的直线与直线之间的位置关系的问题，这既契合学生的思维发展规律，也符合课堂教学的要求，是一种华丽的生成，教材和课标的问题设置都是以长方体为载体，也为课例的设计提供了一个很好的思路。

教学有法，但教无定法，只有结合实际，从学生的认知规律和思维发展出发，细细地研读教材和课标，仔细地磨课，很多课虽然看上去山穷水尽，但是转眼间又会柳暗花明。

直线与椭圆位置关系 篇4

安全多方计算SMC(Secure multi-party Computation)近年来成为密码学界的研究热点。它是研究互不信任的参与方之间通过保护各自的私有信息进行合作计算，从而解决一些信息安全中的问题。SMC最早在文献[1]中提出，文献[2]进一步做了理论研究。该问题的研究目前已经涵盖了很多领域，如:计算几何、统计分析、数据挖掘、电子选举、科学计算等。

保护隐私的计算几何PPCG(Privacy Preserving Computational Geometry)是安全多方计算的一个重要研究领域，它主要研究的是分布式网络中合作计算的用户通过保护各自的私有几何信息来解决计算和判定等问题。保护隐私的计算几何这一概念最早由文献[3]Atallah等提出。目前计算几何方面已经取得了一系列的研究成果。文献[4]利用保密点积协议和百万富翁协议，解决了安全判定点和圆的位置关系的问题;文献[5]利用铅垂线段与给定线段相交计算及不经意传输协议，解决了点与多边形位置关系判定问题;文献[6]利用比较相等协议和点积协议解决了秘密判定多边形相似问题;文献[7]利用Paillier同态加密技术提出了安全两方线段求交协议，解决了判定两方线段是否相交的问题;文献[8]利用不经意传输协议解决了保留隐私的计算最近点对的问题;文献[9]利用点积协议与加到乘变换协议设计新的协议来计算两相交圆的精确面积。

考虑实际问题，会用到保护隐私的计算几何的情况。甲乙双方是敌国，甲方运输货物时，可能会通过乙方的区域，一旦进入区域，将面临风险。甲方不愿提前透露自己的行驶线路，又打算判断自己的线路是否会通过乙方区域;乙方不愿透露自己的区域信息，也不愿让甲方接近自己的区域。基于这样的实际问题，需要判断甲方的运送行驶线路是否安全以及是否和乙方的区域相交。将这个问题转换为保护隐私的计算几何问题:甲乙双方在不泄露自己的几何信息的情况下，合作判定一条曲线和一个几何图形是否会相交的问题。把这个问题进一步特殊化:将这样的曲线特殊化为一条直线，而几何图形特殊化为一个椭圆，来进行两者是否会相交的安全判定。本文从几何的角度来安全判定直线与椭圆之间的位置关系，用一种几何方法更加直观地分析两者之间的位置关系。

1 预备知识

1.1 半诚实模型

半诚实参与方是指协议的各参与方会严格按照协议的规定执行每一个步骤，并且在协议的执行过程中，不会中途退出或恶意输入虚假数据，但可能会通过保留和分析协议执行过程中各自得到的中间结果来推导出其他各参与方的私有输入信息。半诚实模型是指所有参与方均为半诚实或诚实的模型。

1.2 协议1:百万富翁协议

假设Alice和Bob各有一个私有数据，双方希望在不透露给对方各自的私有数据的情况下，比较两个私有数据的大小。可以解决这类问题的协议称为百万富翁协议。文献[10]给出了常数复杂性的百万富翁协议，分别基于可随机化比特加密以及同态加密这两种方案。文献[11]提出了无信息泄露的比较协议，它基于Φ-隐藏假设以及同态公钥加密体制的语义安全性假设。文献[12]给出了一个基于乘法同态加密的百万富翁改进协议。文献[13]则利用所设计的F函数和加法同态加密体制将两方比较相等问题推广至多方。

1.3 协议2:保密点积协议

假设Alice有一私有输入向量X=(x1,x2，…，xn),Bob有一私有输入向量Y=(y1,y2，…，yn)，两者在进行协作计算后，Alice得到u=X·Y-v=∑xi yi-v，其中v为Bob选取的一个随机值，同时满足Alice不能从u中得到X·Y的值，也无法从结果推导出有关yi的信息;Bob不能得到u的值，也不能推导出有关xi的信息。

保密点积协议最早由文献[3]Atallah提出，近年来已经成为安全多方计算中的基本协议，来协助计算。文献[3]分别基于茫然传输协议和同态加密方案，设计了两个点积协议，其安全性极高，但时间复杂性与通信复杂性很高，不实用。

1.4 协议3:保护私有信息的点线关系判定协议[14]

输入:A知道一个点P(x1,y1),B知道一条直线L:ax+by+c=0(其中x1,y1的符号为sx1,sy1,a、b、c的符号为sa,sb,sc)。

输出:点P在线L上，输出0;点P不在线L上，而是在L的正方，输出1;点P不在线L上，而是在L的负方，输出-1。

步骤1 A、B商定一个具有加法同态性的加密算法，B选定算法的公私密钥对(pk,sk)，并将公钥pk告诉A，私钥sk保密。

步骤2 B用pk加密直线方程系数的绝对值|a|、|b|、|c|，得到Epk(|a|)、Epk(|b|)、Epk(|c|)，将结果传给A。

步骤3 A选择2个正随机数r1、r2，计算r1Y(|x1|YEpk(|a|))、r1Y(|y1|YEpk(|b|))、(r1YEpk(|c|))⊕Epk(|r2|)，将计算结果和数x1,y1的符号传给B。

若A参与比较的数大于B参与比较的数，则点P不在线L上，而是在L的负方，输出-1;若A参与比较的数小于B参与比较的数，则点P不在线L上，而是在L的正方，输出1;若A参与比较的数等于B参与比较的数，则点P在线L上，输出0。

1.5 命题[15]:直线与椭圆位置关系判定的几何方法

设点P为直线L上任意一点，椭圆C的两个焦点分别为F1、F2，且PF1+PF2的最小值为d，椭圆C的长轴长为2a则:当d>2a时，直线与椭圆相离;d<2a时，直线与椭圆相交;d=2a时，直线与椭圆相切。

下面给出直线与椭圆相离情况的证明:

已知直线L:Ax+By+C=0，椭圆，焦点为F1(x1,y1)、F2(x2,y2)，长轴长为2a,P为L上的任意一点，且PF1+PF2的最小值为d。

证:当d>2a时，直线与椭圆相离。

对图1进行说明:F1、F2为椭圆C的两个焦点，F'1为F1关于直线L的对称点，M为通过F'1、F1两点的直线与L的交点，P为F2F'1与直线L的交点，P'为在直线L上任取的一点。

证明:(1)若两焦点在直线两侧时，只会是椭圆和直线相交，不会出现相离情况，故只讨论两焦点位于直线同侧的情况。

(2)当两焦点F1、F2位于直线L同侧时，若要证明直线L与椭圆C相离，先分析相离时直线方程与椭圆方程的关系。

根据仿射变换，对直线L和椭圆C方程进行变换后得到:

直线L':Aax+Bby+Ax0+By0+C=0，椭圆E':x2+y2=1，两者相离时，，即:(Ax0+By0+C)2>(Aa)2+(Bb)2。故已知d>2a，证明直线与椭圆相离的情况，只需求证(Ax0+By0+C)2>(Aa)2+(Bb)2。

先确定d，当F1、F2在L同侧时，点P的位置即为图中的情况，因PF1+PF2=PF'1+PF2=F2F'1<P'F'1+P'F2=+(根据三角形两边之和大于第三边)，故d=PF1+PF2=F2F'1。

然后求解d:(即求解)说明:因为求解出来的距离值为根号形式，为处理简便，直接求d2。因点F1、F'1所在直线垂直于L,F1(x1,y1)，所以F1F'1所在直线方程可确定为:

可以得到L与上述直线的交点:

根据中点计算公式求出:

所以:

最后将上式做变形处理:因为a>b>0，故:

又因，可以得到:

以及因:

x0-c=x1(其中c为椭圆的焦半径)(5)

将式(2)-式(5)代入式(1)得到:

令d>2a，即d2>4a2，则有:

整理得:

由于a2=b2+c2，则c2=a2-b2代入上式得:

所以当d>2a时，直线与椭圆相离。同理可证，d=2a时，直线与椭圆相切;d<2a时，直线与椭圆相交。

2 直线与椭圆位置关系的安全判定

本节首先设计一个计算平面上给定两点到直线上任意一点距离之和的最小值平方的安全协议，即协议4;接下来利用该协议与协议3保护私有信息的点线关系判定协议共同设计协议5直线与椭圆位置关系的保密判定协议。协议3用来先分析椭圆焦点与给定直线的位置关系，进行第一次判定;根据第一次判定情况，来决定是否使用协议4计算d2，若第一次判定结果为相交，则结束协议，若不相交，则利用协议4进行计算，并将计算结果与2 a利用百万富翁协议进行第二次判定，从而得出结果，从而完成协议5的设计。

2.1 协议4:计算平面上给定两点到直线上任意一点距离之和的最小值平方的安全协议

说明:由于给定两点在直线两侧时，两点到直线上任意一点距离之和的最小值即为两点间的距离，计算较为简便，且只需要单方计算即可得出结果，故本协议只讨论两点位于直线同侧的情况。

2.1.1 问题描述

假设Alice有两个保密点(x1,y1)、(x2,y2),Bob有一条保密直线Ax+By+C=0,Alice和Bob希望在不泄露各自信息的情况下，计算两个保密点(均位于直线同侧)到直线上任意一点距离之和的最小值平方:

2.1.2 协议内容

步骤1 Alice求解:

a1=x21+y21+x22+y22,a2=x1x2-y1y2,a3=x1y2+x2y1,a4=x1+y1,a5=x1+x2,a6=y2-y1,a7=x2-x1,a8=y1+y2，构造向量X=(a1,a2，…，a8)。

步骤2 Bob求解:

步骤3 Alice和Bob合作执行一次保密点积协议，Alice得到SA,Bob得到SB，且根据点积协议的内容可得:SA+SB=X·Y，其中SA=X·Y-SB，而SB为Bob选取的一个随机值。

步骤4 Bob求S'B=SB+4(A2+B2)C2，并将r=A2+B2发送给Alice。

2.1.3 协议分析

正确性本协议的正确性依赖于所采用的保密点积协议的正确性。

根据步骤4得到S'B=SB+4(A2+B2)C2代入可得:

并且SA+SB=X·Y代入上式，即可得到d2=S'A+S″B。所以协议的正确性主要还是取决于SA+SB=X·Y这一步使用点积协议做计算的正确性。

安全性在步骤1、步骤2中，Alice和Bob分别进行各自的向量计算，没有信息的交互，所以安全;在步骤3中，因使用了保密点积协议进行协作计算，点积协议其本身就具有安全性;在步骤4中，Alice和Bob进行了信息传递，且Bob将(A2+B2)泄露给Alice，对泄露信息做进一步分析，判断是否Alice会得到Bob的私有信息:

Alice已经得到SA=X·Y-SB，其中SB是Bob任选的随机值，所以Alice无法推出X·Y的值。

因Alice对X·Y的值未知，所以即便得到(A2+B2)的值，也很难推出各个bi的值，也无法得到更多关于A、B、C的方程，从而无法解出A、B、C对应的值，所以步骤4安全。

复杂性在本协议中主要考虑步骤4中使用的点积协议的复杂性，作为安全多方计算的一个基本协议，存在很多不同复杂度的点积协议，如果能选择常数级点积协议，那么本协议的复杂度也可以达到常数级。

2.2 协议5:直线与椭圆位置关系的保密判定协议

2.2.1 问题描述

Alice有一个椭圆,Bob有一条直线L:Ax+By+C=0，双方希望在不泄露各自信息的情况下，判定直线L与椭圆C的位置关系。Alice和Bob只能知道判定结果，无法从结果中推导出对方的任何私有数据信息。

2.2.2 协议内容

步骤1 Alice根据椭圆C的方程给出其焦点坐标(x1,y1)、(x2,y2);Bob根据直线L的方程构造向量(A,B,C)。

步骤2利用协议3保护私有信息的点线关系判定协议分别判定两焦点(x1,y1)、(x2,y2)与直线Ax+By+C=0的位置关系，若输出结果至少有一个为0，则判定结果为直线L与椭圆C相交，结束协议;若输出结果有一个为1，另一个为-1，则判定结果为直线L与椭圆C相交，结束协议。否则，转向下一步。

步骤3 Alice和Bob利用协议4安全计算d2，计算结束后，Alice得到S'A,Bob得到S″B，且S'A+S″B=d2。

步骤4 Alice求解S″A=4a2-S'A。

步骤5 Alice和Bob协同使用一次百万富翁协议，比较S″A和S″B的大小，若S″A>S″B，输出1，则说明直线L和椭圆C相交，结束协议。若S″A=S″B，输出0，则说明直线L和椭圆C相切，结束协议。若S″A<S″B，输出-1，则说明直线L和椭圆C相离，结束协议。

2.2.3 协议分析

正确性当S″A>S″B时，由步骤4可知:

由步骤3可知:S'A+S″B=d2，得到4a2>d2，即d<2a。根据前面对命题的证明可知，d<2a时，直线L与椭圆C相交，故协议正确性得证。同理可证其他两种情况的位置关系。

安全性步骤1中，双方各自进行计算，无信息交互;步骤2中，由于保护隐私的点线关系判定协议被证明是安全的[14]，故该步骤安全;步骤3中，主要用到了协议4来进行计算，其安全性已在前面证明;步骤5中，双方协作使用了百万富翁协议，在半诚实模型下，该协议不会泄露对方私密数据的任何信息，所以是安全的。由此可知，本协议在半诚实模型下是安全的。

复杂性对于步骤2，主要考虑其加密、解密的次数以及百万富翁协议的使用;对于步骤3和步骤5，主要考虑保密点积协议、百万富翁协议的计算量，因为这两个协议均为安全多方计算的基本协议，现在有很多基于不同安全性和复杂度的成熟协议，如果都能选择常数级的协议，那么最终本协议的复杂性也会保持在常数级。

3 结语

直线与双曲线的位置关系教案 篇5

教学目标:

1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。

2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。

3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。

教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。教学难点: 学生解题综合能力的培养。教学时数: 两课时 教学方法: 启发式 教学过程:

一、课题导入

回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。

二、讲授新课

通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系：

相离:没有公共点。相切:有一个公共点。相交:有两个公共点。

通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。

练习：判断直线y1x与双曲线x2y23的位置关系。

2例：已知直线l:ykx1,双曲线x2y24。问k取何值时，直

线与双曲线相交、相切、相离？

分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将 直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。解：

ykx1由2得2xy4（1k2）x22kx50(1)：当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交，但是它们只有一个公共点。(2):当1k20，即k1时(2k)220(1k2)16k22016k220055a:，即k且k1时，直2221k0线与双曲线相交，有两个公共点。16k22005b:，即k时，直线与双曲线相221k0切，只有一个公共点。16k220055c:，即k或k时，直线与双2221k0曲线相离，无公共点。综合以上得：当k（55，1）（1，1）（1，）时，直线与双曲线相交，22

5有两个公共点；当k1时，直线与双曲线相交，有一个公共点；k 255（，）（，）时，时,直线与双曲线相切，有一个公共点；当k22 直线与双曲线相离，没有公共点。结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程

联立，消去x（或y）后得到一个方程。若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。

三、课堂练习

练习:

1、（辨析题）直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的

充要条件。

y22、过点P（0，3）的直线l与双曲线x1有一个公共点，42求直线l的方程。

四、小结

1、直线与双曲线的位置关系

2、直线与双曲线的位置关系的判断方法

3、高考热点：运用方程研究直线与双曲线的位置关系，以及相

交时的弦长、中点弦。最值、范围等有关问题。

五、作业

221、斜率存在且过点P（1，0）的直线l与双曲线xy2

有公共点，求直线l的斜率的取值范围。

2、课本复习题A组第5、6题

六、板书设计

直线与双曲线的位置关系

1、直线与双曲线的位置关系

3、例题

2、直线与双曲线的位置关系的

4、练习 判断方法

直线与圆位置关系的解题教学 篇6

[摘要]在数学学习中，学生对于概念的的获得、定理的运用通常通过解题来实现。为促进学生解题能力的形成，教师在实际教学中要善于运用解题思想进行教学。本研究利用波利亚的“怎样解题表”探究圆的标准方程，以期对教育者们有有一定的启示作用。

[关键词]解题教学；波利亚；启发性

【中图分类号】G633.6

波利亚的《怎样解题》以注重研究数学解题的思维过程为特色，在解题方面是数学启发法现代研究的先驱。波利亚认为学生不需要获得解决所有问题的万能方法，他强调数学思想和方法的教学，期望学生在分析解题的过程中形成自己的模式，以便在以后的解题过程中可以运用。根据之前成功的的模式和方法，波利亚总结出了一份“怎样解题表”，表中将解决问题分为四个阶段：

首先，我们必须了解问题，我们必须清楚的看到要求的是什么？

其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系？未知数和数据之间有什么关系？为了得到解题的思路，我们应该制定一个具体的方案。

再次，实现我们的计划。

最后，回顾所完成的解答，对它进行检查和记忆。

直线与圆的位置关系这一内容，蕴含着丰富的数学思想.首先，直线与圆的位置这一几何特征，是通过点的坐标和直线、圆的方程来研究，体现了数形结合的思想方法.其次，从本节课知识的研究过程来看，由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用.本研究中，教师借助《直线与圆的位置关系》的教学对解题表中的四个阶段进行详细阐述，以供参考。

问题：一个小岛的周围有很多暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，30千米为半径的圆形区域内。现在，小岛位于轮船正西70千米处港口位于小岛正北40千米处，如果轮船沿直线回港口，是否会触礁？

一、弄清题目

师：在这个问题中，已知条件有哪些？要求的问题是什么？

生：已知条件是小岛和轮船，小岛和港口的相对位置及暗礁的分布区域，要求的是轮船直线返回会不会触礁。

师：怎么判断轮船会不会触礁？

生：看轮船的航线与暗礁所在的圆形区域有没有交点，若有交点则会触礁，若无交点则不会触礁。

二、拟定计划

师：这就转化为了判断直线与圆的位置关系的问题，但是这道题里没有具体的点的坐标和圆的方程，你能把它转化为数学语言吗？

生：建立以小岛为中心的直角坐标系，取正北方向为 轴的正方向，正东方向为 轴的正方向，则可以得到港口的坐标为 ，轮船的坐标为 ，圆的方程即为 。

师：那我们怎么判断直线与圆有无交点呢，我们之前解决过类似的问题没？

生：前面学两条直线的位置关系时，联立两直线的方程，看有无公共解，若有，则有交点；若无，则无公共点。

师：我们这里要联立哪些图形的方程？

生：轮船航线所在的直线方程和暗礁所在圆形区域的方程。

师：我们的已知条件是否充分，若不充分，还缺少什么？你能求得缺少的条件吗？

生：已知条件不充分，缺少航线所在直线的方程，但是我们可以通过轮船和港口的位置获得所需直线的方程。

师：很好，有了直线和圆的方程之后，联系起来，我们就可以根据公共解的有无判断直线和圆的位置关系了，这是我们设想的计划。

三、執行计划

生：建立如图所示的直角坐标系，已知直线过点 和 ，则可以得到直线的方程为： ，联立直线与圆的方程：

求解即可。

四、回顾

师：你能从其它角度验证你的答案是否正确吗？

生：我们还可以求圆心到直线的距离，根据距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系。

师：很好，这位同学从几何的角度对这个问题做了处理，这两种方法都是可行的，同学们可以课下进行检验两种方法做出的结果是否相同。同学们思考一下，若再碰到判断图形是否相交的问题，我们怎样进行解决？

生：求出图形的解析式，联立起来，看是否有公共解即可。

波利亚解题表中最重视的是对学生思维的启发，主张苏格拉底的产婆式问答法。教师在教学过程中，不要基于表达自己的想法，要尽可能的使学生表达他们的想法。在这堂课中，教师使用的语言主要为提示语，如：已知条件有哪些？我们之前解决过类似的问题没？这些提示语的使用实际上是使解题者自我反思，自我诘问，有利于培养学生良好的解题习惯和反思习惯。因此，这种教学方法，无论是对激发学生学数学的兴趣，还是培养学生数学思维能力都具有重要的意义。

参考文献

[1]波利亚.怎样解题[M].科学出版社，1982.

直线与椭圆位置关系 篇7

高考目标:掌握直线与圆锥曲线的位置关系,运用函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法,解决有关定点、定值、最值、参数范围等简单的实际问题等.

高考重点:直线与圆锥曲线中的弦长,面积,角度,最值、值域、参数范围问题,定点、定值,以及探究性问题等.

高考难点:圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的综合应用.

要点梳理:

1.直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法 :

将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程. 若Δ>0, 则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法 :

将直线方程与双曲线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程

1若a≠0,当Δ>0时,直线与双曲线相交;当Δ=0时,直线与双曲线相切;当Δ<0时,直线与双曲线相离.

2若a=0时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法 :

将直线方程与抛物线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程

1当a≠0时,用Δ判定,方法同上.

2当a=0时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.

2.有关弦长问题

有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”; 有关焦点弦长问题 , 要重视圆锥曲线定义的运用,简化运算.

(2)当斜率k不存在时 ,可求出交点坐标 ,直接运算 (利用两点间距离公式).

3.弦的中点问题

有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,韦达定理,中点坐标公式“设而不求法”简化运算.

题型一:直线与圆锥曲线的位置关系

【例1】若曲线与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点 ,求实数a的值.

探究提高 :在探求最 值时 ,常结合图 像的几何 直观 ,充分利用平几结论, 借助函数的单调性或基本不等式或三角代换使问题得解. 同时要注意 未知数的 取值范围 及最值存在的条件.

直线与椭圆位置关系 篇8

一、求直线斜率的范围

已知直线和圆有公共点时, 即直线和圆相交或相切时, 求解直线的斜率.

例1 若过点A (4, 0) 的直线l与曲线 (x-2) 2+y2=1有公共点, 则直线l的斜率的取值范围为 ( ) .

undefined

解析 利用数形易求出l与圆相切时的倾斜角分别为150°和30°, 然后再由直线l绕A点在两切线间转动时, 始终保持与曲线 (x-2) 2+y2=1有公共点, 得知符合条件的直线的倾斜角的范围为[0°, 30°]∪[150°, 180°) , 故答案为C.

评注 本例的求解方法是数形结合法, 它的优点是形象直观.事实上, 该例的求解除了数形结合法外, 还可以用代数法解, 解时可将l的点斜式方程与题中曲线方程联立方程组, 由方程组有解便可得该题答案为C.

二、求直线方程

已知直线和圆相交, 所得弦中点满足一定条件时, 求解直线方程.

例2 直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a<3) 相交于两点A, B, 弦AB的中点为 (0, 1) , 则直线l的方程为.

解析 记圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a<3) 的圆心为C, 则C的坐标为 (-1, 2) .又弦AB的中点D为 (0, 1) , ∴kCD=-1, 由平面几何性质知直线l垂直CD, ∴直线l的斜率k1=1, ∴由点斜式可得直线l的方程为y-1=1· (x-0) , 即x-y+1=0.

评注 解决此类题的关键是要正确地求解直线l的斜率, 然后用点斜式写出直线方程.在该题的求解过程中利用了弦的中点与圆心的连线垂直于弦这一性质加以求解.

三、求圆方程

已知直线和圆相交, 所得弦长满足一定条件时, 求圆的方程.

例3 已知圆C的圆心与点P (-2, 1) 关于直线y=x+1对称, 直线3x+4y-11=0与圆C相交于A, B两点, 且|AB|=6, 则圆C的方程为.

解析 由于点P (-2, 0) 关于直线y=x对称的点为 (0, -2) , ∴点P (-2, 1) 关于直线y=x+1的对称点坐标为 (0, -1) , 即所求圆心为 (0, -1) .此点到直线3x+4y-11=0的距离为undefined, 由勾股定理求出圆的半径为undefined的方程为x2+ (y+1) 2=18.

评注 解决这类问题的关键在于正确地求解圆心坐标和圆的半径, 然后写出所求圆的标准方程.

四、求相关参数的值或范围

已知直线和圆的位置关系, 求解直线方程或圆方程中的参数的值或范围.

例4 已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0 (a为实数) 上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上, 则a=.

解析 圆C的圆心坐标为undefined, 依题意知圆心在直线l上, 则有undefined, 所以a=-2.

评注 该题利用了圆上任意一点关于一直线的对称点都在该圆上, 则该圆关于这一直线对称这一性质加以求解的.

五、求圆内接四边形的面积

已知两直线和圆相交得到的四交点连接而成圆的内接四边形, 求此圆的内接四边形的面积的最大值.

例5 已知AC, BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦, 垂足为undefined, 则四边形ABCD的面积的最大值为.

解析 ∵四边形ABCD的面积等于undefined, 又AB与CD均是过M点的弦, 它们的最大长度是直径4, 最小长度等于过M点且垂直OM的弦的长undefined, 只有当|AB|=|CD|时, undefined取得最大值, 这时, 弦AB与CD关于线段OM对称, 过点O作弦AB的垂线段ON, 则△ONM为等腰直角三角形.又undefined, 在Rt△OAN中, undefined

∴四边形ABCD的面积的最大值为undefined

评注 解决此类问题的关键是要正确找出圆的内接四边形的面积取得最大值的条件.在该题的求解过程中, 利用了弦AB与CD关于线段OM对称加以求解的.

六、求解直线存在性问题

已知直线和圆的方程形式, 讨论题中符合条件的直线的存在性.

例6 已知圆C:x2+y2-8x+4y+16=0, 是否存在直线l:mx- (m2+1) y=4m, m∈R, 使得直线l将圆C分割成弧长的比值为undefined的两段圆弧?为什么?

解 假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为undefined的两段圆弧.设直线l与圆C交于A, B两点, 则∠ACB=120°.

∵圆C: (x-4) 2+ (y+2) 2=4,

∴圆心C (4, -2) 到l的距离为1.

故有undefined, 整理得3m4+5m2+3=0.

∵Δ=52-4×3×3<0, ∴3m4+5m2+3=0无实数解.

因此满足该题条件的直线l不存在.

直线与椭圆位置关系 篇9

( 1) 研究目的

通过对教师具体的课堂教学行为进行观察比较,了解数学教师在课堂教学方式、知识的讲授、课堂提问、技能训练以及如何与学生进行认知和情感交流等方面的差异,寻找和比较教师教学行为的相同和不同之处.

( 2) 研究对象

我们研究的对象是普通高中课程标准实验教科书( 必修) 第二册中直线与圆的位置关系的两节录像课. 这两节课,一个是我校一位青年教师汇报课( 教师A) ,另一节采自在衢州高级中学举行的全国核心概念、思想方法教学黄显忠老师的研究课( 教师B) .

( 3) 研究方法

本研究主要采用直接和间接的课堂观察法( 录像课) ,来获得课堂行为差异研究的第一手资料. 对课堂教学现象进行观察,记录被观察对象行为出现的频率,描述被观察对象的行为. 并预先设计了“有效课堂教学课堂提问登记表”、“有效课堂教学时间登记表”.

二、分析与结果

1. 教学的整体结构分析

相似之处:

从两堂课的概况来看,它们的基本要素和教学策略很类似: 课题一样,具体教学内容相同,有些例题,练习题也都是一样的: 他们也采用了类同的活动形式: 师生互动: 这两节课都非常重视培养学生浓厚的学习兴趣,旺盛的求知欲,积极的探索精神. 体现了学生主动参与,乐于探究,勤于动手的精神理念; 而且在教学中教师们都控制着课堂的整个进程( 如表1 - 1所示) .

不同之处:

在看到类似方面的同时,我们也从教学细节方面找到了差别( 如表1 - 1所示) ,甚至可以认为这些差别是十分重要的,体现了教师所持有的不同本质的指导思想:

( 1) 情境设计比较. 教师A: 通过实际问题台风引入、让学生稍作讨论,然后提出问题: “前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题. 请问,直线与圆的位置关系有几种? 在平面几何中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?”教师B: 在概念引入前任意画一个圆和一条直线,请判断它们之间的位置关系. 学生已有的初中知识回答,老师引导并整理出了直线与圆的位置关系的几种情形. 到此两人的差别还不是很大,接下来差别就很大.

( 2) 研究直线与圆的位置关系判断比较. 教师A: 问题3: 方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系,你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗? 老师直接提出了“形”向“数”转化的问题. 教师B: 用几何画板给出图像,判断直线CD与圆O的位置关系? 学生: 相切. 教师放大图像,直线与圆并不相切,是相离,此时如何说明直线与圆相离? 学生: 利用圆心到直线的距离与半径之间的关系. 教师B: 除此方法,还有其他方法吗? 学生: 把直线与圆用方程来表示,利用方程组的解的个数来判断. 教师B利用几何画板不同的单位长度造成的错觉,置疑设惑,实现直线与圆的位置关系的“形”向“数”转化的问题. 这种教学从人认识事物的规律出发,揭示数学的本质,是有效的教学.

( 3) 直线与圆的位置关系判断比较

教师A: 问题4: 这是利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判别直线与圆的位置关系( 称此法为“dr法”) .请问用“dr法”的一般步骤如何? 教师对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结,对知识进行梳理,试图使学生以后看到直线与圆的位置关系问题就联系到dr法及其步骤,显然这里有灌输和应试之嫌. 我们知道数学是理解的数学,任何死记硬背,生搬硬套都是不行的. 教师B: 请你写出一条直线和一个已知点为圆心的圆的方程,判断它们之间的位置关系并说明理由. 教师B让学生自己命题,画图并说明是怎样来命题的. 他们必然考虑图形之间的关系与相应方程的关系,促使他们加强数与形的结合. 这样教符合解析几何的本质,也激发了学生的兴趣.

2. 课堂教学时间分布比较

从表2-1中,我们可以看出两位教师的操作的一些不同之处,例如在引入新课、研究直线与圆的位置关系的关系、直线与圆的位置关系的判断以及课堂小结四个方面时间差别较大. 从前三项的差异我们可以看出两位教师处理教材内容的主导思想,教师A只是用实际问题台风引入研究直线与圆的位置关系,教师B由错觉悬疑引入,层次预设,注重研究直线与圆的位置关系的合理生成,把大部分时间用在直线与圆的位置关系判断方法的探讨上; 巩固与运用用时的差别是教师A尤其注重了学生的技能训练,出现了两道例题,第一题教师讲解,第二道题学生独立完成,课堂还做了三道练习. 教师B只给出两道例题,两道题都是由学生自己完成,教师只是把学生做好的题目拿来投影,先听听学生怎么说明,再老师分析讲解. 第一题让学生自己出题,并判断直线与圆的位置关系. 而后老师再拿出题目,师生共同完成. 第二题是课本例题,在得到了结论后,老师并不满足,不断挖掘. 师生共同得出求弦长的公式,此公式在以后直线与圆锥曲线关系中会用到. 求出斜率k后,老师问了个问题: 为什么会有两个k,是不是过圆内定点截得弦长为定值的直线都有两条? 这样做提高了学生一题多解的能力,发展了学生的变式思维,也关注了几何关系的代数表示,代数结果的几何意义.

3. 师生活动时间分布

整个课堂教学中,两节课在师生活动的时间上有较大差别( 如表2 - 2) : 教师A和教师B的讲授时间所占比例分别为41% 和27. 3% ,二者之比约为14∶9; 教师A和教师B在师生交流互动( 提问、指导、学生管理) 上所占比例分别为4% 和14. 2% ,两者之比约为2∶7; 师A和教师B在留给学生思考、讨论的时间所占比例分别为17. 8% 和25. 6% ,二者之比约为9∶13.

4. 课堂有效提问的比较

尽管有无数的教师与研究人员对于课堂提问作过无数次的观察与研究,但是,课堂提问有效性的研究依然是课堂研究的永久性课题,对每节课的提问进行观察研究永远是有价值的. 我们对直线与圆的位置关系这一节课的课堂提问观察的主题是“关于教师课堂提问的有效性”,我们根据观察主题对两位教师的课堂提问进行了深入的分析,以期获得更多的启迪.

我们对两教师的提问进行了定量的汇总与定性的思考,获得了“教师A与教师B有效课堂教学提问的观察分析汇总表”( 见表2 - 3) 和教师A与教师B的课堂提问有效性分析表( 见表2 - 4)

综合两表,我们得出的基本结论是:

( 1) 从总体来说,在这两节课教学中,教师提问较富效度,具体表现在:

“有效的提问”所占的比例较高,“低效的提问”所占的比例较低,而“无效的提问”所占比例最低,同时,我们也发现,有效提问中占主要地位的是知识性提问、分析性提问和推理性提问. 但就这两节课比较而言,教师B的分析性提问和推理性提问所占比例总共为64. 6% ,而教师A只为25% ,远远低于教师B. 教师B有元认知提问,教师A没有元认知提问. 在这两节课的观察中,我们没有发现一例“过难”的低效提问,过易的提问也只有两个,这说明教师对学生学习情况的基本把握是正确的. 但在具体的提问及回答中,我们也发现教师A把握还不够深刻,心里装着自己的“备课答案”,对学生的倾听不够,出现了代学生回答的情况. 因此,教师B的课堂提问的有效度要高于教师A.

( 2) 从量上来看,教师A总的提问数量明显比教师B多,在整节课45分钟内教师A提问了40次,而提问数增多的原因,最主要的就是无效提问和低效提问的增多,在整堂课的低效提问中,“无意义重复”的提问占了大头,占低效提问总数的66. 796.

( 3) 从质上来看,教师A表现出提问的浅层化,在本节课上反映出来的对问题的设计及追问能力有待加强. 比如研究直线和圆的位置关系判断时的提问,教师与学生共同复习直线和圆的位置关系后,教师A: 现在我们有了直线和圆的方程,那么把它们放在坐标系中该如何去研究它们的位置关系呢? 这样的问题太直接,缺乏深度,牵制学生的思维; 教师B: 教师放大图像,直线与圆并不相切,是相离,此时如何说明直线与圆相离? 学生: 利用圆心到直线的距离与半径之间的关系. 教师B: 除此方法,还有其他方法吗? 学生: 把直线与圆用方程来表示,利用方程组的解的个数来判断. 教师B: 如何建立直角坐标系来研究直线与圆的位置关系呢? 学生: 已圆心为原点,水平直线为x轴,……这样可供学生发挥想象力的空间比较大,问题里面所包含的方法性的选择很多. 这两个提问是不在一个水平上的两种问题,教师B: 提的问题具有开放性和思考性. 教师A: 例2学生先独立解决,然后看课本,规范解题. 师: 设直线方程为y + 3 =k( x + 3) ,它的前提是斜率存在. 对于斜率不存在的情形几何画板演示. 教师B: 学生先独立解决,然后. 你是如何求解例2的? 讲一下你的解题思路? 学生要回答这个问题,他首先就会想圆心及半径,根据弦长,再求弦心距,求k,……我要找它们有什么关系,那我怎么去寻找呢? 接着,要寻找它们的关系,该从哪几个方面去寻找呢? 这就属于“教学生怎么学”了. 这个是涉及方法论的问题,而不是像教师A直接问上面所说的那种问题,那是直白的问题. 更可贵的是,教师B,在巡视的过程中发现有的同学是设直线方程,代人圆的方程消去变量y得到关于x的方程,并设A( x1,y1) ,B( x2,y2) ,老师及时总结学生的思路,追问此时如何求AB的长呢? 提出了求弦长的另外的一种方法. 而不像教师A自己去讲第二种方法.

( 4) 从回答情况来看,在教师A的教学中,对于提问的处理,其中有两处布置了“同桌互说”,但两处的同桌互说基本上都流于形式,属于“表面繁华”,因而是一种“虚假学习”; 二是一些问题留给学生思考时间不够充分,教师往往把问题抛出后就让学生回答,这样就导致学生的回答不能如意.

直线与椭圆位置关系 篇10

二、课程量化比较

1. 广度比较

通过对比《大纲》与《标准》下直线与圆的位置关系, 可知, 相比于《大纲》, 《标准》增加的知识点有: 作圆的切线; 减少的知识点有: 弦切角、弦切角定理、相交弦定理及其推论、切割线及其推理. 总体上说, 《大纲》中直线与圆的位置关系的知识点个数合计为8 个, 也即综合的课程广度系数G1= 8; 《标准》中直线与圆的位置关系的知识点个数合计为5 个, 也即综合的课程广度系数G2= 5.

2. 深度比较

总体上, 对比《大纲》, 《标准》对该模型内容深度要求普遍降低, 例如, 圆的切线的判定、切线长定理. 通过上述对比, 逐一对《大纲》和《标准》的每个知识点的课程深度进行赋值, 即《大纲》的知识点赋值合计20, 取综合的课程深度系数为20, 即S1= 20; 《标准》的知识点赋值合计12, 取综合的课程深度系数为12, 即S2= 12.

3. 课程实施时间比较

分析《大纲》与《标准》中直线与圆的位置关系的知识点的课程实施时间, 得出两者之间存在着较大的差异, 《大纲》下课程实施时间为六课时, 即T1= 6; 《标准》下课程实施时间为四课时, 即T2= 4.

4. 难度比较

基于上面对课程广度、课程深度、课程实施时间的比较, 把所得到的数值代入课程难度模型, 计算得出《大纲》中相应的课程难度N1= 2. 13, 《标准》中相应的课程难度为N2= 1. 95. 由此可见, 与《大纲》中直线与圆的位置关系的内容相比, 《标准》中圆的相应内容的课程难度系数减少了0. 18, 即相应内容的课程的难度有所降低.

三、教学启发

对以上的所得的数据进行分析, 可知《标准》相较于《大纲》课程难度有所降低, 其影响因素归结于课程广度、课程深度、课程实施时间都有所减少, 下面将逐一分析这三个影响因素的变化对教师的教学实践的指导.

1. 课程广度变化对教学实践的指导

基于上述的分析, 可知《标准》相较于《大纲》, 直线与圆的位置关系这部分删除了较多的内容, 几乎都是不常用的知识点.例如, 切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理. 但是另一方面, 课本也增加了诸如作圆的切线的知识点, 这也是对圆的切线的判定这个知识点的补充应用. 因此, 教师在讲课的时候就要多注重学生对画图的敏感度和动手能力, 因为在几何题中多数题目都要求必须作辅助线才能解答.

例1如图1, 过圆O外一点B作圆O的切线BM, M为切点, BO交圆O于点A, 过点A作BO的垂线, 交BM于点P, BO = 3, 圆O的半径为1.求MP的长.

从这一道题目, 我们可以很明显的看出, 如果没有作辅助线的话, 按照初中生所学过的知识, 是没有办法解答出来的, 但是如果当我们连接OM的话, 答案就显而易见了.例如, 我们可以利用相似三角形的判定, 证明△BAP与△BMO相似, 根据相似三角形的性质求出答案;也可以利用切线长定理、切线的性质求出答案.从解题方法可以看出, 作辅助线辅助解答题目十分重要, 所以《标准》中引入作圆的切线这个知识点也是有一定道理的, 不仅更加强调圆的切线的重要性, 而且又能锻炼初中生的动手画图能力.

2. 课程深度变化对教学实践的指导

基于上述对课程深度的分析, 我们可以知道, 《标准》中对圆的切线的判定和切线长定理这两个知识点对应的课程深度的赋值都有所降低, 在课本的例题中也不再把这两个知识点各自放在一道题目中让学生解答, 而是把两三个知识点结合起来作为一道题目, 这样子可以适当降低题目的难度, 又能使学生对知识有一个更加系统清晰的理解, 下面我还是用上面的题目进行说明. 从上面的分析我们可以知道, 借助辅助线可以是使解题更加清晰、容易, 当我们连接OM之后, 根据切线长定理可以看出, MP = AP, 半径0A = OM = 1, 根据勾股定理求出BM的长度, 再继续使用勾股定理求出答案. 从这道题目可以看出, 解答题目, 需要运用较多的知识点, 不仅联系了以前学习过的知识, 也结合了新课的内容, 使学生对知识有一个系统化理解. 换句话说, 如果只是单独的把切线长定理作为一个题目, 那会使题目变得刁钻或者枯燥无味, 也不能检查到学生对知识的掌握程度, 因此, 课程深度的降低对学生的学习是有一定的意义的.

3. 课程实施时间的变化对教学实践的指导

从以上对课程实施时间的分析数据, 可以看出, 课程的实施时间减少了两个课时, 课时的减少其实也有课程广度的减少这一个原因, 《标准》删减了一些不常用的知识点, 这样子也可以使教师在授课的时候多注重对那些重点知识的讲解, 另一方面, 课程实施时间的减少也使得教师不会过多补充难题和怪题, 而是多注重新的知识点的讲解, 和与旧的知识点的联系, 帮助学生逐步构建一个系统的知识网.

4. 课程难度变化对教学实践的指导

据分析, 可得出, 《标准》比《大纲》的课程难度系数减少了0. 18, 由文献[1]可知, 与课程广度、课程深度、课程实施时间都存在着联系. 由上述分析可知, 直线与圆的位置关系的课程广度、课程深度、课程实施时间都相应的降低了, 可见《标准》越来越注重对基础知识与常见知识的掌握. 从课程广度来说, “知识点个数”减少了, 删除了不常用的知识, 其他的知识点的联系也更加的紧密; 从课程深度来讲, 从直线与圆的位置关系分析, 降低了对一些判定、定理的深度赋值, 因为判定、定理都是比较简单的知识, 我们只需要记住即可, 而对于性质的应用就显得更为的重要, 就比如例题或练习题, 解答题目的时候多数是运用性质进行解答, 那如果只是单单的一个知识点的性质, 如圆的切线的性质, 就显得题目过于简单, 而出题人为了考察学生对知识的掌握, 不会仅仅在一道题中只出现直线与圆的位置关系这部分的知识点, 还会出现前面我们学习过的内容, 这就使学生必须温故知新, 经常性的复习旧知识, 并与新知识进行联系, 形成一个系统的知识网; 再从课程的实施时间来说, 课时的减少, 使教师的授课多注重课本的知识点, 由于课时的限制也不会补充过多的课外知识和一些难题、怪题.

因此, 《标准》中直线与圆的位置关系的课程难度的降低, 与课程广度、课程深度、课程实施时间都存在着联系, 而这三者的降低, 对教师的教学实践也存在很大的挑战.

参考文献

[1]郑泽娜.圆课程难度的定量分析比较[J].数学学习与研究, 2015 (9) :38-39.