方程函数

方程函数（精选十篇）

方程函数 篇1

赏析一 利用函数与方程思想求字母 (或式子) 的取值或范围.

【典型例题】 (1) 已知a, b, c∈R, a+b+c=0, abc=1求a, b, c中最大者的取值范围.

(2) 设a, b∈R, 且 (a-1) 3+2002 (a-1) =-1, (b-1) 3+2002 (b-1) =1.求a+b的值.

思路点拨: (1) 本题由题设可知a, b, c中必有一个为正数, 另两个为负数, 不妨设其中最大者为a>0.根据题设条件将b, c的和与积用a表示, 构造一元二次方程, 然后利用一元二次方程有解, 其判别式Δ≥0求解. (2) 由已知两式结构的相似性, 联想到相应函数f (x) =x3+2002x, 再利用f (x) 的单调性和奇偶性求解.

尝试解答: (1) (方程思想) 本题由题设可知a, b, c中必有一个为正数, 另两个为负数, 不妨设其中最大者为a>0.因为undefined, 所以b, c是undefined的两个负实数根, 有undefined, 所以a, b, c中最大者的取值范围是undefined

(2) (函数思想) 由已知两式结构的相似性, 联想到相应函数f (x) =x3+2002x, 则由两式有f (a-1) =-f (b-1) .又易知f (x) 是奇函数, 则有f (a-1) =f (1-b) .但f (x) 在R上是增函数, 故有a-1=1-b, 从而有a+b=2.

方法突破: (1) 当问题中出现两数积与这两数和时, 是构建一元二次方程的明显信号, 构建方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决. (2) 当问题中出现相似方程, 构造函数, 再巧用奇偶性和单调性知识可使问题巧妙解决.

赏析二 利用函数与方程思想解决不等式问题【典型例题】 已知x, y∈R, 且2x+3y>2-y+3-x, 求证:x+y>0.

思路点拨 :先把它变成等价形式2x-3-x>2-y-3y, 再构造辅助函数f (x) =2x-3-x, 利用函数单调性比较.

尝试解答:设f (x) =2x-3-x, 易知f (x) =2x-3-x是R上的增函数, 又由2x-3-x>2-y-3y, 即f (x) >f (-y) , 所以x>-y, 即x+y>0.

赏析三 利用函数与方程思想解决数列问题

【典型例题】 已知数列{an}中, a1=1且点P (an, -an+1) (n∈N*) 在直线x+y+1=0上, 数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=n2+2n, 若函数undefined, 求f (n) 的最小值.

思路点拨:先利用函数与方程的思想研究f (n) 所对应的函数f (x) 的单调性, 从而求得

f (n) 的最小值, 然后求解.

尝试解答:易知由an=n, bn=2n+1, 所以

undefined, 又undefined, 所以undefined.

赏析四 利用函数与方程思想解决几何问题

【典型例题】 已知椭圆方程为undefined, 在椭圆上是否存在点P (x, y) 到定点A (a, 0) (其中0

思路点拨:本题属于探索性问题, 应先建立目标函数, 转化为求函数最值.

尝试解答:设存在P (x, y) 满足题设条件, 所以undefined.

所以当undefined, 即undefined时有undefined, 解得undefined.

当undefined, 即undefined时, 有AP2取最小值 (3-a) 2 (此时x=3) , 解得a=2, P点坐标 (3, 0) .

函数与方程教案 篇2

§1：函数与方程

教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：

1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。

2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：

同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0)这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－.②ax2+bx+c=0(a0)这是一个一元二次方程，在对一ab元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2－4ac来判断方程是否有实解。当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x1≠x2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当△＜0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=

bb4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0

函数的零点。

说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。

②零点是一个实数，并不是一个点。③函数的零点就是相应方程的根。

④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。

学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。

2． 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。

那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？

观察例1中第一个方程的对应图像：f(x)= x2-2x-3 从图像上看，我们知道函数f(x)= x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0;f(2)=-3＜0, f(4)=5＞0, f(2)×f(4)＜0.可以发现f(-2)×f(0)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根；同样地，f(2)×f(4)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：

3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲

5，一个小于2。

分析：转化判断函数f(x)=（x-2）（x-5）-1在区间（-∞，2）和(5, +∞)内各有一个零点。

解：考虑函数f(x)=（x-2）（x-5）-1，有f(2)=（2-2）（2-5）-1=-1＜0，f(5)=（5-2）（5-5）-1=-1＜0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（-∞，2）内存在一点a，使f(a)＞0；在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)＞0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程（x-2）（x-5）=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。

四、零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)×f(b)＞0时，问题：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)＞0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内是否有零点?可能有几个零点？

函数与方程 篇3

方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。

一、 构造方程求未知数

【例1】 (2011江苏11)已知实数a≠0,函数f(x)=2x+a,x<1

-x-2a,x≥1,若f(1-a)=f(1+a),则a的值为．

解析 ∵a≠0.直接把f(1-a)=f(1+a)代入解析式构造方程

a>0,2-2a+a=-1-a-2a,a=-32,不符合；a<0,-1+a-2a=2+2a+a,a=-34.

【例2】 (2011福建文16)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0

经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得,最佳乐观系数x的值等于.

解析 由c=a+x(b-a)得x=c-ab-a,

设c-a=m,b-a=n,b-c=p.

则p=n-m.由题设,m2=np,

则m2=np=n(n-m),即m2+mn-n2=0,

m2n2+mn-1=0,又x=c-ab-a=mn,所以可得x2+x-1=0,x=-1±52,因为0

二、 数与形的相互转化解决问题

【例3】 (2011江苏8)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2x的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是.

解析 设经过原点的直线与函数的交点为x,2x,-x,-2x,则

PQ=(2x)2+4x2≥4．

点评 本题主要考查幂函数,函数图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式,属中档题．

【例4】 (2011北京理13)已知函数f(x)=2x,x≥2，

(x-1)3,x<2.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是.

解析 该题可转化为函数y=f(x)和函数y=k的图象交点有两个.

f(x)=2x(x≥2)单调递减且值域为（0,1］,f(x)=(x-1)3(x<2)单调递增且值域为(-∞,1),所以要想f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1)．

三、 二分法求函数的零点

【例5】 已知函数f(x)=x3,g(x)=x+x.求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由.

分析 由h(x)=x3-x-x知,x∈［0,+∞),而h(0)=0,且h(1)=-1<0,h(2)=6-2>0,则x=0为h(x)的一个零点,且h(x)在（1,2）内有零点,因此h(x)至少有两个零点．

解法一 h′(x)=3x2-1-12x-12,记φ(x)=3x2-1-12x-12,则φ′(x)=6x+14x-32.

当x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,因此φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.又因为φ(1)>0,φ33<0,则φ(x)在33,1内有零点,所以φ(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点.记此零点为x1,则当x∈(0,x1)时,φ(x)<φ(x1)=0；当x∈(x1,+∞)时,φ(x)>φ(x1)=0；

所以,当x∈(0,x1)时,h(x)单调递减,而h(0)=0,则h(x)在(0,x1］内无零点；

当x∈(x1,+∞)时,h(x)单调递增,则h(x)在(x1,+∞)内至多只有一个零点；

从而h(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点,又h(0)=0.综上所述,h(x)在［0,+∞)上有且仅有两个零点．

解法二 h(x)=x(x2-1-x-12),记φ(x)=x2-1-x-12,则φ′(x)=2x+12x-32．

当x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,因此φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)内也至多只有一个零点,又h(0)=0,h(1)h(2)<0．

综上所述,h(x)有且只有两个零点．

实战演练

1. 方程x2+1=2x的解共有个．

2. 直角三角形三边成等比数列,公比为q,则q2的值为．

3. 若关于x的方程x2-6x=k(x+1)恰有3个根,则实数k的值是．

4. 设函数f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得fx0<0与gx0<0同时成立,则实数a的取值范围是．

5. 已知函数f(x)=x3-3axa∈R,g(x)=lnx.

(1) 当a=1时,求f(x)在区间［-2,2］上的最小值；

(2) 若在区间［1,2］上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求a的取值范围.

6. 已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2,(e=2.718 28…是自然对数的底数)．

(1) 求实数b的值；

(2) 当a=1时,是否同时存在实数m和M(m

【参考答案】

1. 3个 2. 5±12 3. 8-27 4. a>7

5. (1) ∵f′(x)=3x2-3=0,∴x=±1,列表得f(x)min=-2.

(2) ∵在区间［1,2］上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,

∴x3-3ax≥lnx在［1,2］上恒成立得3a≤x2-lnxx在［1,2］上恒成立.设h(x)=x2-lnxx则h′(x)=2x-1-lnxx2=2x3+lnx-1x2.

∵2x3-1≥0,lnx≥0,∴h′(x)≥0.

∴h(x)min=h(1)=1,∴a≤13．

方程与函数的关系 篇4

定义1:等式f(x,y,…,z)=g(x,y,…,z)称为方程,其中,f(x,y,…,z),g(x,y,…,z)都是定义在数组集m上的函数,m是这两个函数的定义域的交集.并且把m称为这个方程的定义域.

定义2:如果数组集m是方程f(x,y,…,z)=g(x,y,…,z)的定义域,m内的一组数a,b,…,c满足这个方程,即有

f (a,b,…,c)=g(a,b,…,c)

那么称这一组数为这个方程的解.

作为方程f(x,y,…,z)=g(x,y,…,z)的解的数组的集合s称为这个方程的解集.

当s=m时,方程f(x,y…,x)=g(x,y,…,z)又称为是恒等方程,可表示成

f(x,y,…,z)≡g(x,y,…,z).

当s是空集时,方程f(x,y,…,z)=g(x,y,…,x)称为矛盾方程.

对于一个函数y=f(x1,x2…,xn),设定义域为A,取值域为B,则可将函数y=f(x1,x2…,xn)记作:

f:A→B这时f⊆A×B,

显然f={[(x1,x2…,xn),f(x1,x2…,xn)]|(x1,x2…,xn)∈A}⊆A×B,将y=f(x1,x2…,…)变形为

f(x1,x2…,xn)-y=0

由此可构造出函数

Y=f(x1,x2…,xn)-y,

于是

f(x1,x2…,xn)-y=0.

便是一个方程了,这个方程的解集就是函数

f={[(x1,…,xn),f(x1,x2…,xn)]|(x1,x2,…,xn)∈A}⊆A×B,

也就是说f可以用来表示方程.

可见,函数可看作是方程.

对于一个方程f'(x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn),设其定义域为M,解集为A.

构造一个新集合f={[(x1,x2,…,xn-1),xk]|(x1,x2,…,xn)∈A,1≤k≤n}

得函数xk=f(x1,x2,…,xn-1),

当然,这个函数有可能是多值函数.

方程f'(x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn)的解集也可以写成f={[(x1,x2,…,xn-1),xk]|(x1,x2,…,xn)∈A,1≤k≤n}

微分方程传递函数的定义 篇5

一、传递函数的概念及意义

（1）传递函数的定义：

线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。

线性定常系统微分方程的一般表达式:

其中 xc 为系统输出量，xr 为系统输入量

在初始情况为零时，两端取拉氏变换：

移项后得：

上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(s)输入量的 拉氏变换； W(s)为系统或环节的传递系数。

（2）传递函数的两种表达形式

a.传递函数的零极点表示形式

b.传递函数的时间常数表示形式

（3）关于传递函数的几点说明

a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。

b.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。

d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。

二、典型环节的传递函数及其暂态特性

无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。

（1）比例环节（放大环节/无惯性环节）

特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系（见下图）。

（2）惯性环节

特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟（见下图）。

（3）积分环节

特点：输出量随时间成正比地无限增加（见下图）。

(4）振荡环节

特点：振荡的程度与阻尼系数有关（见下图）。

（5）微分环节

特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势（见下图）。

实践中，理想的微分环节难以实现。

（6）延迟环节（时滞环节、滞后环节）

方程函数 篇6

□ 缪 林

1. （必修1第2章第5节例2）判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）内是否存在零点.

1-1. （改编）判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）内是否存在零点.若存在，求个数；若不存在，请说明理由.

1-2. （改编）就实数a讨论函数f（x）=ax2-2x+1在区间（0，3）内零点的个数.

1-3. （改编）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c.

（1） 若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；

（2） 若对?坌x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=［f（x1）+f（x2）］成立；

（3） 是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：① 对?坌x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）的最小值是0；② 对?坌x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）2？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由.

2. （必修1第2章第5节思考题）如果x0是二次函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，那么f（m）f（n）＜0一定成立吗？

2-1. （改编）已知下列命题：

（1） 函数y=f（x）在区间［a，b］上有定义，若f（a）·

f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内一定有零点；

（2） 函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有且只有一个零点；

（3） 函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）≤0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点；

（4） 函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）＞0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内没有零点；

（5）函数y=f（x）在区间［a，b］内的图像是不间断的一条曲线，若y=f（x）在区间（a，b）内存在零点x0，那么f（a）·f（b）＜0；

（6） 函数y=f（x）在区间［a，b］上单调，其图像是不间断的一条曲线，若y=f（x）在区间（a，b）内存在零点x0，那么f（a）·f（b）＜0.

其中正确命题的个数为.

第Ⅱ部分（人教版教材）

□ 任宪伟

1. （A版必修1第三章3.1.1例1）求函数f（x）=lnx+2x-6的零点的个数.

1-1. （改编）函数f（x）=lnx+2x-6的零点为x0，则满足n≤x0的最大的整数n为.

1-2. （改编）方程lgx+x2-6x=0的实数根的个数为.

1-3. （改编）函数f（x）=lg（x+3）+x2-6x的零点的个数为.

1-4. （改编）方程lnx-x2+2x=0的实数根的个数为

.

1-5. （改编）若函数f（x）=logax+x-a（a＞0，且a≠1）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.

2. （A版必修1第三章3.1.2例2）借助计算器或计算机，用二分法求方程2x+3x=7的近似解.（精确到0.1）

2-1. （改编）若函数f（x）=3x-x-4，其函数值的一些参考数据为：

根据所给数据，利用二分法，可确定方程3x-x-4=0的一个实数根的近似值为.（精确到0.01）

2-2. （改编）利用二分法研究函数f（x）=x3+3x-1的零点时，第一次经计算可知f（0）＜0，f（0.5）＞0，于是可知函数f（x）的一个零点x0∈，为了进一步确定函数f（x）的零点x0的近似值，则第二次应计算

.

3. （A版必修1第三章习题3.1A组2）已知函数f（x）的图像是连续的，且有如下对应值表：

根据所给数据确定函数f（x）在哪个区间内有零点？为什么？

3-1. （改编）根据下列对应值表中的数据，可判断函数f（x）=ex-x-3的一个零点所在的区间是（）

A. （-1，0）B. （0，1）

C. （1，2）D. （2，3）

3-2. （改编）若函数f（x）=x2+（1-m）x-m的一个零点在区间（2，3）内，则实数m的取值范围是.

3-3. （改编）若方程3x-0.618=0在区间［k，k+1），k∈Z内有解，则k的值为.

4. （B版必修1第二章习题2-4B组1）已知y=f（x）是偶函数，其图像与x轴有4个交点，试求方程f（x）=0的所有实数根的和.

4-1. （改编）已知y=f（x）是R上的奇函数，其图像与x轴有2011个交点，则函数f（x）的所有零点的和为

.

4-2. （改编）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x，有f（x-2）=-f（x），且在区间［0，1］上是增函数.若方程f（x）=a（a＞0）在区间［-4，4］上有四个根，则这四个根之和为.

5. （A版必修1第三章3.2.1例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？

5-1. （改编）为了帮助上高中的孩子学习，爸爸打算去电信公司开户上网，经询问，记录了可供选择的三种上网方式与相应价格的资料：① 每小时2元；② 每月50元，可上网50小时，超过50小时的部分每小时2元；③ 每月70元，时间不限（其他因素均忽略不计）.请你利用所学的函数知识对上网方式与费用问题进行研究，对这位爸爸的选择给一个合理的建议.

5-2. （改编）某经营者将甲、乙两种商品在六个月试销期内逐月的投资与纯利润列表如下：

该经营者准备在下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入甲、乙两种商品各多少万元才合算.请你帮助该经营者制定一个投资方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者可获得的最大纯利润.（结果保留两位有效数字）

6. （A版必修1第三章3.2.1例2）某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log2x+1，y=1.002x.其中哪个模型能符合公司的要求？

方程函数 篇7

我们在高中数学中经常可以见到函数方程式与函数图像,二者之间的相互转化可能是某些数学大题的主要解题思路之一,掌握和熟悉这二者之间的关系,对学好数学具有重大意义。数学问题的解决,必然伴随着主观能动性的提高,必然伴随着对数学知识本质理解的加深。高中数学作为一门必修的基础学科,必然是初中数学的延伸,比初中数学需要更高的理解能力。数学能力的提高不仅仅是对数学课本知识的熟悉和掌握,更是数学思维的培养。函数方程式与函数图象的关系一直以来都是考试和高考的重要考点,熟悉并掌握函数方程式与函数图象的相互关系,并能学以致用,解决与之有关的题目和应用非常必要。

2. 函数方程式与函数图象之间的关系

在数学领域内,函数是这样被定义的:若M、N都为非空的集合,若还存在一种对应关系为y,使得M中的每一个个体x,都对应N中的唯一一个个体,那么我们就称y为集合M到集合N的一个函数。对于函数方程式y=ax+b(a≠0)这个二元一次函数方程来说,它的函数图象是一条直线,方程式是那条之现在数学上的代数表达,直线图像是函数方程式直观的表现。对这个函数方程式来说,x是自变量,而y是因变量,也是函数值,y随x的变化而变化。若设y=0,函数方程式变成了ax+b=0,原二元一次方程就变成了一元一次方程,该方程的解就是直线与x轴的交点。若令x=0,原方程就变成了y=b,b即为直线与y轴的交点,b值也被称为截距。比如,函数方程式y=3x-3。该函数图像是一条直线,令y=0,即将原二元一次函数方程式变为一元一次函数方程式3x-3=0,解出x=1,即图像与x轴的交点是(1,0);同理,令x=0,我们可以求出图像与y轴的交点为(0,-3),这样我们就可以在脑中构思出该函数的图像。同样,我们可以将之推广到二元二次函数方程式。

对于二元二次函数方程y=2x2-5x+2,因为2为正数,我们可以知道该函数的图像是开口向上的一个抛物线。该方程的解就是图像与x轴的两个交点,这两个交点我们可以通过十字相乘法来求:(2x-1)(x-2)=0,方程的解分别为0.5和2。又知道了方程的两个解,方程的图像我们就可以很容易得出。在由函数方程式画出的函数曲线上所有的点都是这个函数方程式的解;同时若一条曲线上所有的点都是某个函数方程式的解,那么这个曲线就是这个函数方程式的函数图象。

3. 函数方程式的解的妙用

3.1 函数方程式的解与函数图像切线

对于函数方程式y=x3+6x2-9x来说,假如经过点A(-1,n)能够做函数y图像的切线数量是3个,那么求n的取值范围是多少?这道题首先看起来很有难度,不知如何解题,那我们就先来找寻一个突破点,既然这道题与函数图象的切线有关,那么就先来求函数y的导数,y′=3x2+12x-9,所以切线的斜率就是3x2+12x-9。对于A点来说,其可能是切点,也可能不是切点,所以我们可以设切点为N(x0,y0),那么点A和点N都在切线上,由这二点求斜率,与上式连立,可得到一个关于n的有3个解的函数方程,既然要保证有3个解,那么我们通过作图,我们就可以得到n的取值范围在-5和-4之间。

3.2 函数方程式的解与函数的值域

对于函数方程式y1=(1/3)x3-x2-x与函数方程式y2=2x+b在x属于[-3,4]上有2交点,求x的取值范围?我们要大概画出二者函数的图像,有些困难。由题目知,(1/3)x3-x2-x=2x+b这个等式在[-3,4]上有两个解,那么我们就转化得到的等式,将转化的等式作为一个新的方程来求解,再根据导数、极值和单调性做出大概函数图象,来解决题目。

4. 结语

综上所述,函数方程式与函数图象是数学领域内的重要知识点,是高中学习阶段期末考试和高考的常见题目和拔高类题目。函数方程式与函数图象问题的解决,不仅可以提升同学做出一道大题的成就感,更可以加强对学习数学的自信心。熟悉、掌握和应用函数方程式与函数图象的相关知识,还可以了解数学从简入难的发展规律,促进认真思考、勤于动脑良好品德的形成,培养严谨、认真数学思维的形成,使同学们日后对数学的学习和复习更加得心应手。高考作为一个选拔性考试,不光考察表面的数学知识,更多的是考验同学对数学本质的了解,这就要求我们不仅要掌握基本知识,还要深入挖掘,领会数学知识点的本质。函数方程式与函数图象的关系是高中数学的重要部分,我们要从本质上了解函数,用函数的思想去做题,才能从根本上提高解决函数方程式与函数图象这类题目乃至整个数学的能力。

摘要：函数方程式和函数图像是高中数学上常见的两个数学概念,二者互不相同,又相互关联、相互渗透,在特殊的条件下,这两者还可以相互转化,这就是函数方程式与函数图像二者之间的辩证关系。正确掌握和利用二者之间的关系,对以后做题具有重大意义。本文就来简单论述函数方程式与函数图象之间的关系,希望通过分享本人的学习经验能对同学们数学成绩的提高,提供微薄之力。

关键词：函数方程式,函数图像,关系

参考文献

[1]尚强,胡炳生.函数与其图像的关系——初中数学解疑释惑系列十五[J].福建教育,2013(Z6)

[2]刘震.例析函数的三种应用[J].中学生数理化(高一版),2012(09)

用方程思想解函数问题 篇8

实践表明:用方程思想去解函数问题不但有利于解题思路的寻求与优化, 而且有利于沟通知识的纵横联系, 对培养学生的创造性思维是十分有益的。现举例说明如下:

1. 用方程思想求函数的解析式

例1:已知mf (2x-3) +nf (3-2x) =2x, m2-n2≠0, 求f (x) 。

解:设t=2x-3, 则-t=3-2x, 代入已知条件得:

联立 (1) (2) 解得,

2. 用方程思想求函数的值域

例2:求函数的值域。

由此可见, 原方程在函数定义域内有解的充要条件是, 即-1

3. 用方程思想求函数的最值

例3:若x, y是实数, 且x2+y2+2xy+x-y=0,

证明:由已知得关于x的二次方程:

∵x是实数, ∴Δ= (2y+1) 2-4 (y2-1) ≥0

再由已知, 得关于y的二次方程:y2+ (2x-1) y+ (x2+x) =0

∵y是实数, ∴Δ= (2x-1) 2-4 (x2+x) 叟0

4. 用方程思想求函数的单调区间

例4:设函数f (x) 满足, 其中x≠0, 试确定函数f (x) 的单调区间。

此与原等式可组成关于的方程组

5. 用方程思想求三角函数值

解:构造三角方程,

6. 用方程思想求函数待定系数的取值范围

例6:已知f (x) =ax2+bx+c (a>b>c) , 满足f (1) =0, 又函数f (x) 图像上有两点, P1 (x1, f (x1) ) , P2 (x2, f (x2) ) 满足a2+[f (x1) +f (x2) ]a+f (x1) f (x2) =0,

求证:b≥0。

证明:因为f (1) =0, 故a+b+c=0

由a>b>c知a>0, 且c<0, b=-a-c

由a2+[f (x1) +f (x2) ]a+f (x1) f (x2) =0得

[a+f (x1) ][a+f (x2) ]=0

所以有ax12+bx1+c+a=0或ax22+bx1+c+a=0

即x1或x2是方程ax2+bx+c+a=0的一个实根, 所以

Δ=b2-4a (a+c)

=b2+4ab

=b (b+4a)

=b (3a-c) 叟0, 因为3a-c>0, 所以b叟0。

例7:若抛物线y=-x2+mx-1和两端点为A (0, 3) , B (3, 0) 的线段AB有两个不同的交点, 求m的取值范围。

解:先由方程思想将曲线的交点问题转化为方程的解的问题, 再由“方程有解”转化为二次方程实数根的分布问题, 最后通过解不等式 (组) 得到所求的取值范围。由题意可得线段AB的方程为:

故m的取值范围是。

应用方程思想解决函数问题是一个综合运用知识、数学思想的思维过程, 只有掌握了数学思想, 领悟了问题实质, 才能使学生的解题水平有较高、较快的发展。同时利用方程思想处理某些函数问题时, 简洁明快, 方法新颖, 能给人一种创造性的享受, 得到数学美的升华。

摘要：方程思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 通过解方程或解方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题得以解决。方程思想具有很丰富的含义, 其核心体现在建模思想和化归思想。

数形结合让方程函数化 篇9

【引例】二次函数y=ax2+bx的图像如图1,若一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根,则m的最大值为().

A.-3 B.3

C.-6 D.9

【常规思路】题说“二次函数y=ax2+bx的图像如图”,理应先看图,由二次函数的图像可知:抛物线的开口向上,顶点纵坐标为-3,由此可得a>0 和,即b2=12a,再看题目中有“一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根”,这话告诉我们 Δ=b2-4am≥0 ,即12a-4am≥0,12-4m≥0,解得m≤3,从而问题得解:m的最大值为3. 故选B.

【题后反思】答案不是解题的终结,回头再看题目条件:一元二次方程ax2+bx+m=0 中有ax2+bx,二次函数y=ax2+bx中也有ax2+bx,感觉两者应该有关联,当然上面的解答正是借助关联的式子b2=12a得解的,让我们换个角度思考一下. 我们知道方程研究的是“数”,二次函数的图像是抛物线,研究的是图形的性质,更多地关注“形”,但二者联系起来看,其实方程是函数的特殊情形,一元二次方程是二次函数解析式中y=0 的特殊情形,一元二次方程的根的讨论问题对于二次函数来说则是抛物线与x轴的交点问题. 为此,我们把一元二次方程ax2+bx+m=0 变形为ax2+bx=-m,从函数的角度来看,一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根就是抛物线y=ax2+bx与直线y=-m有交点. 根据二次函数y=ax2+bx的图像开口向上,有最小值-3,直线y=-m经过(0,-m),平行于x轴,当-m≥-3,即m≤3 时抛物线y=ax2+bx与直线y=-m有交点,一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,所以m的最大值为3.

【方法提炼】常规思路是顺其自然的解答,题后反思得到的数形结合的方法直观简单. 数形结合是根据数学问题的条件与结论的内在联系、数量与图形之间的对应关系,既分析问题的代数含义,又揭示其几何意义,把数量关系与空间图形巧妙、和谐地结合起来,并利用“结合点”寻找解题思路,使问题得到圆满解决.

【应用实例】

例1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图2 所示,若|ax2+bx+c| =k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是().

A.k<-3 B.k>-3

C.k<3 D.k>3

【思路分析】根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像可得二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图像(如图3),由于ax2+bx+c =k(k≠0)有两个不相等的实数根,所以k的取值范围是k>3,选择D.

例2 设一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两实根分别为α、β,则α、β满足().

A.1<α<β<2 B.1<α<2<β

C.α<1<β<2 D.α<1且β>2

【思路分析】画出二次函数y=(x-1)(x-2)和直线y=m的草图4,由图像可知α<1 且β>2,选择D.

例3若x1、x2(x1<x2)是方程(x-a)(xb)=1(a<b)的两个根,则实数x1、x2、a、b的大小关系为().

A.x1<x2<a<b

B.x1<a<x2<b

C.x1<a<b<x2

D.a<x1<b<x2

【思路分析】画出二次函数y=(x-a)(xb)和直线y=1 的草图5,由图像可知x1<a<b<x2,选择C.

浅析函数与方程思想及其应用 篇10

函数与方程思想体现出的是数学知识、能力、及其本质,同时它也体现了数学的学科特点。函数与方程思想在中学数学解题中是最基本的思想,所以对于中学数学的学习,十分有必要加强这种思想方法的训练,不断地提高学生思维的灵活性。

函数思想即为把问题中的量分化为变量和常量,并把这些量用字母表示出其相互关系,再利用函数的性质解决问题;而方程思想是把问题中的量分化为已知量和未知量,并把这些量用字母表示出其关系,利用方程、不等式的性质解决问题。总之一句话,函数与方程思想就是把数学问题都利用函数与方程去解决问题。

二、函数与方程思想的应用

在本文,我们将通过四种方法具体阐述函数与方程思想在解决数学问题中的重要应用。

(一)交轨法

交轨法也是方程组法的几何解释,在列成的方程组中每一个方程均表示一条轨迹,要求这些轨迹的“交”也就是求方程组的解。利用交轨法的解题步骤一般为先把问题化归为求一个“点”;再把已知条件分成几部分,使得每一个条件都形成一个轨迹;最后利用几何法或代数法求得轨迹的“交点”。

例1:A1,A2是椭圆的长轴的两个端点,P1,P2是垂直于A1,A2的弦的两个端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程。

解:设交点P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)A1,P1,P共线,则有

A2,P2,P共线,则有

(1)(2)联立,解得

代入(1)得到轨迹方程

评论:本例题是交轨法在解析几何中的典型应用,动点的约束分为两部分,即得到(1)(2)构成的方程组,解开得到的即为交点的轨迹方程。此题也是典型的条件组问题,是高考的重点。

(二)判别式法

判别式法就是利用方程的系数来判断根的情况,在解决问题时,将问题转化为二次方程,再利用判别式法和方程的性质解决问题。

例2:(1979年高考题)若(z-x)-4(x-y)(y-z)=0,

求证:x,y,z成等差数列。

解析:分两种情况

(1)当x=y时,由张定条件易得z=x,因此x=y=z,所以x,y,z成等差数列。

(2)当x≠y时,构造判别式为Δ=(z-x)2-4(x-y)(y-z)的一元二次方程:

∵方程(3)有相等的实根t1=t2

又直接观察可知方程(3)有根t=1

∴t1=t2=1由违达定理得

∴x-y=y-z,即x,y,z成等差数列。

评论:此题虽是早年的高考题,但其体现出判别式法的本质。本题也是构造方程的例子,利用Δ构造方程,然后解决问题。需要注意的是二次方程的二次系数不能为零,故本题应分类别解答。

(三)构造函数与方程

构造函数与方程的思想就是根据问题给出的条件和结论所具有的特点,构造出条件和结论的函数与方程,借助函数或方程去解决问题。

例3:(上海高考)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点。

已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)

(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;

(2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有一个不动点,求a的值。

解析:(1)依题意得x02-x0-3=x0,

∴x02-2x0-3=0,∴x0=-1或x0=3

∴函数的不动点为-1或-3。

(2)由函数f(x)恒有一个不动点可知ax2+(b+1)x+b-1=x

即ax2+bx+b-1=0,

于是Δ=b2-4a(b-1)=0

b2-4ab+4a=0恒成立,

评论:本题中的新情境———不动点,其实质是方程f(x)=x的根。构造函数ax2+(b+1)x+b-1=x这是利用变量相对的观点来构造辅助函数,从中也可以看到数学的自由思考特点。

(四)换元法

在问题解决过程中,引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”,这样便使关于新元的问题能够得到解决;再将新元的结果带回原题,即可得出旧元问题的结果,这种方法叫做换元法。

常用的三角代换:

(1)二次根式的三角代换(a>0)

(2)二次曲线的三角代换:

(3)万能置换:

例4:求函数的值域

∴,即函数值域是

评论:此题为典型的圆代换,这类换元是根号里面的整体换元,代换时要注意换元后的取值范围,确保前后一致。

总之,函数与方程思想所涉及的知识点多面广。它不仅是中学数学学习中十分重要的思想,也是各地高考的重点。学生如能熟练地利用一些函数与方程思想去解题,将会起到事半功倍的效果,也会常有“柳暗花明又一村”“一览众山小”的情况出现。因此,我们要掌握函数与方程思想在解题中的各种方法和要点,要重视和学会运用各种方法去分析问题、转化问题达到最后的解决问题。

参考文献

[1]张同君.中学数学解题研究[M].长春:东北师范大学出版社,2002.

[2]燕培雄.一元二次方程的根的判别式及其应用[J].中学生数理化(教与学),2011,(9):59.

[3]于江洪.点击函数与方程思想[J].中学生数理化(高中版),2011,(5):9-10.

[4]曹庆.浅谈换元法在求解某高中数学问题中的应用[J].都是家教:上半月,2011,(12):226-227.