曲线函数的导数

曲线函数的导数（精选十篇）

曲线函数的导数 篇1

低渗透油藏由于启动压力梯度的影响, 压力导数曲线具有典型的特征, 即出现“上翘”[1,2]。但是, 由于断层的影响, 压力导数曲线也会出现“上翘”[3,4]。因此, 仅仅从压力及压力导数曲线的“上翘”很难辨别出启动压力梯度和断层的影响。如果对该“上翘”识别错误, 相应的试井解释模型选择就会错误, 解释结果就大相径庭了, 所以如何对该“上翘”的类型进行识别, 在试井解释过程中是十分重要和迫切的。为此, 本文利用二阶导数法研究了启动压力梯度和断层引起的压力导数曲线“上翘”的识别问题, 这对正确地进行试井解释和减少试井解释的多解性具有重要意义。

1 考虑启动压力梯度影响的二阶导数计算理论基础

考虑无限大地层中心一口井, 假设井以定产量

式 (3) 中,

2 考虑断层影响的二阶导数计算理论基础

考虑直线断层附近有一口井, 假设井以定产量生产, 同时考虑井筒储集效应和表皮效应的影响。当井底压力未受断层影响时, 有[6]

利用镜像反映原理, 当井底压力受断层的影响之后, 有

式 (5) 中, d为井到断层的距离, m。

当井底压力未受断层影响时, 对式 (4) 变形并对tD/CD求导得:

对式 (6) 两边取对数, 然后对lg (tD/CD) 求导得:

当井底压力受断层影响之后, 对式 (5) 变形并对tD/CD求导得:

对式 (8) 两边取对数, 然后对lg (tD/CD) 求导得:

3 压力导数曲线“上翘”类型的识别

建立考虑启动压力梯度影响的渗流模型进行模拟计算, 选取参数为:渗透率为3.0mD, 井筒储集系数为0.02m 3/MPa, 表皮系数为-2.5, 启动压力梯度为0.02MPa。图1为模拟计算的曲线示意图。

从图1中可以看出, 启动压力梯度的存在增大了流体的渗流阻力, 井底的压力变化速度加快, 随着时间的增加, 压力和压力导数曲线的数值逐渐增大, 且压力导数曲线数值高于0.5, 压力和压力导数曲线发生“上翘”, 表现出类似于达西渗流存在不渗透边界的情形, 同时二阶导数曲线的数值也逐渐增大, 但介于0和0.5之间, 二阶导数曲线也发生“上翘”, 这一特点也可以从式 (1) 、式 (2) 和式 (3) 中看出来。

为了分析启动压力梯度大小对压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的影响, 取不同的启动压力梯度进行模拟计算。图2为模拟计算的压力及其导数曲线, 图3为模拟计算的二阶导数曲线。从图2和图3中可以看出, 启动压力梯度越大, 压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的数值越大, 其偏离达西渗流曲线的幅度也越大, 这一特点也可以从式 (1) 、式 (2) 和式 (3) 中看出来。

建立考虑断层影响的渗流模型进行模拟计算, 选取参数为:渗透率为3.0mD, 井筒储集系数为0.005m 3/MPa, 表皮系数为-2.0, 井到断层的距离为10.0m。图4为模拟计算的曲线示意图, 从图4中可以看出, 当井距断层的距离比较远时, 在压力传播到断层之前, 若地层内流体流动达到径向流, 在压力导数曲线上表现为一水平直线段;当压力传播到断层后, 受断层的影响, 井底压力变化速度加快, 表现为压力和压力导数曲线发生“上翘”;当系统达到总的径向流动以后, 压力导数曲线表现出另一水平直线段, 这一点可以从式 (6) 和式 (8) 中看出来。与启动压力梯度影响的二阶导数曲线不同, 断层影响前后, 二阶导数曲线的数值为0, 受断层的影响, 在二阶导数曲线上出现“凸起”, 这一点可以从式 (7) 和式 (9) 中看出来。

为了分析断层距离对压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的影响, 取不同的断层距离进行模拟计算。图5为模拟计算的压力及其导数曲线, 图6为模拟计算的二阶导数曲线。从图5中可以看出, 井到断层的距离越近, 压力导数曲线发生“上翘”的时间越早;从图6中可以看出, 井到断层的距离越近, “凸起”出现的时间也越早。

通过二者影响在二阶导数曲线上的明显差别, 可以对实际测试中遇到的类似情况进行正确的识别。

4 结论

(1) 启动压力梯度在压力导数曲线上引起的“上翘”与断层在压力导数曲线上引起的“上翘”十分相似, 仅从压力及压力导数曲线上很难对其进行有效的识别。

(2) 受启动压力梯度的影响, 随着时间的增加, 压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线发生“上翘”, 启动压力梯度越大, “上翘”的幅度越大。

(3) 受断层的影响, 压力导数曲线发生“上翘”, 二阶导数曲线上出现“凸起”, 井到断层的距离越近, “上翘”和“凸起”出现的时间越早。

(4) 二阶导数法可以对上述两种不同类型的“上翘”进行有效的识别, 同时该方法特征明显, 简单易用。

参考文献

[1]李凡华, 刘慈群.含启动压力梯度的不定常渗流的压力动态分析.油气井测试, 1997;6 (1) :1—4

[2]郭永存, 卢德唐, 曾清红, 等.有启动压力梯度渗流的数学模型.中国科学技术大学学报, 2005;35 (4) :492—498

[3]赵秀才, 衣艳静, 姚军.两夹角不渗透断层对油井压力及压力导数的影响研究.断块油气田, 2005;12 (6) :41—43

[4]张公社.试井解释中识别直线断层的新方法.江汉石油学院学报, 1994;16 (4) :58—63

[5]程时清, 徐论勋, 张德超.低速非达西渗流试井典型曲线拟合法.石油勘探与开发, 1996;23 (4) :50—54

[6]刘能强.实用现代试井解释方法.北京:石油工业出版社, 2007:15—40

导数在圆锥曲线中的应用 篇2

利用导数的几何意义求切线方程的步骤是：（1）先求[y=f（x）]在点[x0]处的导数，即为曲线[y=f（x）]在[x=x0]处的切线斜率；（2）再利用点斜式，写出切线方程.

例1 设[P（x0，y0）]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意一点（[x]轴上的两个顶点除外），椭圆的左、右焦点为[F1，F2]，过点[P]作椭圆的切线，则切线方程为[y-y0=-b2x0a2y0（x-x0）].

解析 对椭圆方程求导得[2xa2+2yyb2=0]，则[y=-b2xa2y]，

∴切线的斜率[k=yx=x0y=y0=-b2x0a2y0].

故过点[P]的切线方程为[y-y0=-b2x0a2y0（x-x0）].

例2 设[P（x0，y0）]是双曲线[x2a2-y2b2=1（a>b>0）]上任意一点（顶点除外），双曲线的左、右焦点为[F1，F2]，过点[P]作双曲线的切线，则切线方程为[y-y0=b2x0a2y0（x-x0）].

解析 对双曲线方程求导得[2xa2-2yyb2=0]，则[y=b2xa2y.]

∴ 切线的斜率[k=yx=x0y=y0=b2x0a2y0]，

故过点[P]的切线方程为[y-y0=b2x0a2y0（x-x0）].

例3 设[P（x0，y0）]是抛物线[y2=2px（p>0）]上任意一点（顶点除外），抛物线的焦点为[F]，过点[P]作抛物线的切线，则切线方程为[y-y0=py0（x-x0）].

解析 对抛物线方程求导得[2yy=2p]，则[y=py]

∴ 切线的斜率[k=yy=y0=py0]

故过点[P]的切线方程为[y-y0=py0（x-x0）.]

二、利用导数求圆锥曲线的弦中点的轨迹方程

定理：若圆锥曲线的平行弦的斜率为[k]，则平行弦的中点轨迹方程为[y=k].

下面以椭圆为例给出证明.

证明 设椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]

对其求导得[2xa2+2yyb2=0]，则[y=-b2xa2y.]

设平行弦所在的直线方程为[y=kx+c]（[c]为参数），

联立直线与椭圆得，

[（b2+a2k2）x2+2kca2x+a2c2-a2b2=0.]

设两根为[x1，x2]，由韦达定理有

[x=x1+x22=-kca2b2+a2k2，]

而[y=kx+c=k（-kca2b2+a2k2）+c=cb2b2+a2k2，]

消去参数[c]即得平行弦的中点轨迹方程[yx=-b2ka2.]

变形有[k=-b2xa2y=y]，即证.

读者可自己完成双曲线、抛物线情况的证明.

导数与函数的单调性 篇3

一、导数与函数的单调性的关系

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性.下面以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数y=f (x)在某个区间内可导.

（一）f′（x）>0与f (x）为增函数的关系.

f′(x)>0能推出f (x)为增函数，反之则不一定.如函数f (x)=x3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(x)≥0，∴f′(x)>0是f (x)为增函数的充分不必要条件.

（二）f′（x）≠0时，f′（x）>0与f (x）为增函数的关系.

若将f′(x)=0的根作为分界点，因为规定f′(x)≠0，即抠去了分界点，此时f (x)为增函数，就一定有f′(x)>0.∴当f′(x)≠0时，f′(x)>0是f (x)为增函数的充分必要条件.

（三）f′（x）≥0与f (x）为增函数的关系.

f (x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，反之则不一定，因为f′(x)≥0，即为f′(x)>0或f′(x)=0.当函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f (x)为常数，函数不具有单调性.∴f′(x)≥0是f (x)为增函数的必要不充分条件.

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性.因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题.但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理.

对于f′(x)<0与函数单调递减关系，仿照上面的三点即可得到答案.

二、单调区间的求解过程

已知函数y=f (x)，其单调区间的求解过程如下：

(1)分析函数y=f (x)的定义域;

(2)求函数y=f (x)的导数y′=f′(x);

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间;

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间.

三、函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数f (x)在(a, b)单调递增，在(b, c)(其中a

四、应用举例

例：求下列函数单调区间

注意:此题的单调递增区间不能表示为

(2) ∵∴当x≠0时都有y′>0,

令y′>0，解得x<-k或x>k;

常用函数的导数教学设计 篇4

一、课题引入

情境一：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？ 问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）

问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）

问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？ 情境二：

1.利用定义求出函数①yc的导数

2.若yc表示速度关于时间的函数，则y0可以如何解释？如何描述物体的运动状态？ 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但这种方法在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授

1．函数yf(x)c的导数 知识点

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0 xxxylim00 所以ylimx0xx0y0表示函数yc图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数yf(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx1 因为xxxylim11 所以ylimx0xx0y1表示函数yx图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 练习：在同一直角坐标系中，分别画出函数y2x,y3x,y4x的图象，求出它们的导数。

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么?（2）这三个函数，哪一个增加得最快，哪一个增加的最慢？（3）函数ykxk0增（减）的快慢与什么有关？

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为 xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0y2x表示函数yx2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 4．函数yf(x)21的导数 x11yf(xx)f(x)xxx因为 xxxx(xx)12

x(xx)xxxxy11lim(2)2

x0xx0xxxx1练习作出函数y的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出其在点（1，1）处的切x所以ylim线方程

5．函数yfxx的导数

xxx

x因为yf(xx)fxxx

=xxxxxxx1xxx xxx

=所以ylimy11 limx0xx0xxx2xnn16.推广：若fxxnQ，则f(x)nx

练习求下列函数的导数

（1）yx3（2）y1 x2（3）y三．例题讲解 3x（4）yx2x

3例1．曲线yx上哪一点的切线与直线y3x1平行？

解：设点P(x0,y0)为所求，则 它的切线斜率为k3，∵f(x)3x，∴3x03，x01，∴P(1,1)或P(1,1)．

例2．证明：曲线xy1上的任何一点P(x0,y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数． 解：由xy1，得y∴y()221，x1x1，x2

∴kf(x0)1，2x0过点P(x0,y0)的切线方程为

yy01(xx0)，2x02，x0令x0得y令y0得x2x0，∴过P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积

S122x02是一个常数． 2x0四．课时小结

C0，xn

五、作业 nxnQ n

1六、板书设计

导数在函数中的应用 篇5

有关导数在函数中的应用主要类型有：利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值。利用函数的单调性证明不等式，这些题型成为近几年来高中数学学习的重点，也是高考的热点，高考的重点。

一、导数的几何意义——求函数的切线

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0， y=f（x0））处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0） ，相应的切线方程为y- f（x0）= f′（x0）（x- x0）。

例1. 已知曲线 ，过点（1，-3）做其切线，求切线方程。

解： y′ = ，当x=1时y′= - 3，即所求切线的斜率为-3.

故所求切线的方程为 y+3 = -3（x-1），

即为：y = -3x.

二、用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性的步骤是：

1. 确定f（x）的定义域；

2. 求导数f′（x）；

3. 在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；

4. 确定f（x）的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

例2.求函数 的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解： y′ = ，由y′>0得 >0，解得x<0或x>2。

由y′<0 得 <0，解得0

故所求单调增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调减区间为 （0 ，2 ）。

三、用导数求函数的极值

求可导函数极值的步骤是：

1.确定函数定义域，求导数f′（x）；

2. 求f′（x）= 0的所有实数根；

3. 对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′（x）的符号如何变化，如果f′（x）的符号由正变负，则f（x0）是极大值；如果f′（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值.。注意：如果f′（x）= 0的根x =x0的左右侧符号不变，则f（x0）不是极值。转贴于 中国论文下载中心

例3.求函数 的极值

由 ，解得x=2或x=-2.

当x变化时根据f′（x）、f（x）的变化情况可知：

当x=-2时，f（x）有极大值f（-2）= ，当x=2时，f（x）有极小值f（2）=- .

四、用导数求函数的最值

求f（x）在[a，b]内的最大值和最小值的步骤：

1.求f（x）在（a，b）内的极值；

2.求f（x）在区间端点的值f（a）与f（b）；

3. 将函数f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

例4. 已知a为实数，函数 求函数

上的最大值和最小值；

解： f′（-1）=0 ∴3-2a+1=0，即a=2

单调减区间为 [-1 ，- ]

总之，导数作为一种工具，它的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。因此，在教学中，要突出导数的应用。

【参考文献】

[1] 初等数学研究/李长明，周焕山编. 北京：高等教育出版社. 2007.

导数在函数中的应用 篇6

有关导数在函数中的应用主要类型有:求函数的切线, 判断函数的单调性, 求函数的极值和最值, 利用单调性和极值求参数的取值或取值范围, 求方程的根的个数 (或曲线和直线的交点个数) .利用函数的单调性证明不等式, 这些类型成为近两年热门的考点之一, 是高中数学学习的重点之一, 预计也是“新课标”下高考的重点.

一、用导数求函数的切线

例1.已知曲线y=x3-3x2-1, 过点 (1, -3) 作其切线, 求切线方程.

分析:根据导数的几何意义求解.

解:y′=3x2-6x, 当x=1时y′=-3, 即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3 (x-1) , 即为:y=-3x.

方法总结:函数y=f (x) 在点x0处的导数的几何意义, 就是曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) 处的切线的斜率.也就是说, 曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) , 处的切线的斜率是f′ (x0) , 相应的切线方程为y-y0=f′ (x0) (x-x0) .

二、用导数判断函数的单调性

例2.求函数y=x3-3x2-1的单调区间.

分析:求出导数y′, 令y′>0或y′<0, 解出x的取值范围即可.

解:y′=3x2-6x, 由y′>0得3x2-6x﹥0, 解得x﹤0或x﹥2.

由y′<0得3x2-6x﹤0, 解得0﹤x<2.

故所求单调增区间为 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) , 单调减区间为 (0, 2) .

方法提升:利用导数判断函数的单调性的步骤是: (1) 确定f (x) 的定义域; (2) 求导数f′ (x) ; (3) 在函数f (x) 的定义域内解不等式f′ (x) >0和f′ (x) <0; (4) 确定f (x) 的单调区间.若在函数式中含字母系数, 往往要分类讨论.

三、用导数求函数的极值

例3.求函数f (x) = (1/3) x3-4x+4的极值.

解:由f′ (x) =x2-4=0, 解得x=2或x=-2.

当x变化时, y′、y的变化情况如下:

当x=-2时, y有极大值, 当x=2时, y有极小值.

方法提升:求可导函数极值的步骤是: (1) 确定函数定义域, 求导数f′ (x) ; (2) 求f′ (x) =0的所有实数根; (3) 对每个实数根进行检验, 判断在每个根 (如x0) 的左右侧, 导函数f′ (x) 的符号如何变化, 如果f′ (x) 的符号由正变负, 则f (x0) 是极大值;如果f′ (x) 的符号由负变正, 则f (x0) 是极小值.注意:如果f′ (x) =0的根x=x0的左右侧符号不变, 则f (x0) 不是极值.

四、用导数求函数的最值

例4. (2005年全国卷Ⅱ) 已知a≥0, 函数f (x) = (x2-2ax) ex. (1) 当x为何值时, f (x) 取得最小值?证明你的结论; (2) 设f (x) 在[-1, 1]上是单调函数, 求a的取值范围.

分析与解: (1) 对函数f (x) 求导数, 得f′ (x) = (x2+2x-2ax-2a) ex.

令f′ (x) =0, 得x2+2 (1-a) x-2a=0.

解得, 其中x1

当x变化时, f (x) , f′ (x) 的值变化如下表:

∴f (x) 在x=x1处取得极大值, 在x=x2处取得极小值.

∵a≥0, x1<-1, x2≥0, f (x) 在 (x1, x2) 上为减函数, 在 (x2, +∞) 上为增函数.

而当x<0时, f (x) =x (x-2a) ex>0;当x=0时, f (x) =0.

所以当, f (x) 取得最小值.

(2) 当a≥0时, f (x) 在[-1, 1]上为单调函数的充要条件是x2≥1, 即, 解得a≥3/4.

于是f (x) 在[-1, 1]上为单调函数的充要条件是a≥3/4, 即a的取值范围是[3/4, +∞].

五、证明不等式

例5. (2004年高考天津卷) 已知函数f (x) =ax3+cx+d (a≠0) 是R上的奇函数, 当x=1时, f (x) 取得极值-2.

(1) 求f (x) 的单调区间和极大值;

(2) 证明对任意x1, x2∈ (-1, 1) , 不等式|f (x1) -f (x2) |<4恒成立.

分析与解:从函数的性质及导数与函数极值的关系着手.

(1) 由题意f (-x) =-f (x) , x∈R, 得d=0.

由f′ (x) =3ax2+c, f (x) 在x=1处取得极值, 必有f′ (1) =0,

联立 (1) (2) , 得a=1, c=-3, 因此f (x) =x3-3x.

求出f′ (x) 后, 经判断知f (x) 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上是增函数, 在 (-1, 1) 上是减函数.其极大值为f (-1) =2.

(2) 由 (1) 知, f (x) =x3-3x在x∈[-1, 1]上是减函数, 且f (x) 在[-1, 1]上的最大值M=f (-1) =2, 最小值m=f (1) =-2.所以, 对任意x1, x2∈ (-1, 1) , 恒有|f (x1) -f (x2) |

方法提升:利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型.其方法可以归纳为“构造函数, 利用导数研究函数最值”.

六、求方程的根的个数

例6.已知函数的定义域为[-2, t] (t∈N) , 设f (-2) =m, f (t) =n.

(1) 若函数f (x) 在[-2, t] (t∈N) 上为单调函数, 求t的值;

(2) 求证:n>m;

(3) 当t取哪些值时, 方程f (x) =p (p∈R) 在[-2, t] (t∈N) 上有三个不相等的实根?并求出相应的实数p的取值范围.

分析与解: (1) ∵f′ (x) =x (x-2) , 由f′ (x) >0得x<0或x>2, ∴ (x) 在 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 上递增, 在 (0, 2) 上递减, 所以t≤0, 又t∈N, 故t=0;

(2) 因为f (x) 在 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 上递增, 在 (0, 2) 上递减, 所以f (x) 在x=2处取得极小值f (2) =2/3, 又, 所以f (x) 定x=-2在处取得最小值, 从而当t∈N时, f (-2) < (t) , 即n>m;

(3) 由 (1) 知f (x) 在 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 上递增, 在 (0, 2) 上递减, 故当t=0或t=2时, 方程f (x) =p (p∈R) 在[-2, t] (t∈N) 最多只有两个实根, 所以t≥3, 且t∈N.当t≥3, 且t∈N时, 方程f (x) =p (p∈R) 在[-2, t] (t∈N) 上有三个不相等的实根, 只需满足p∈ (max{f (-2) , f (2) }, min{f (0) , f (t) }) 即可.如下图所示, 因为, f (2) =2/3, f (0) =2, f (3) =2, 且f (t) ≥f (3) =2, 因而p∈ (2/3, 2) .

方法提升:研究方程的根的个数 (或y=f (x) 图像与直线y=p的交点个数) 的问题实质上是研究函数的单调性和最值的问题.如能画出图像来分析, 则更加直观.

总之, 导数作为一种工具, 在解决数学问题时使用非常方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值, 以及切线问题.在导数的应用过程中, 要加强对基础知识的理解, 重视数学思想方法的应用, 达到优化解题思维, 简化解题过程的目的, 更在于使学生掌握一种科学的语言和工具, 进一步加深对函数的深刻理解和直观认识.

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书 (北京师范大学出版社) .

[2]高中数学教学参考.

导数在函数中的应用 篇7

1. 求曲线y=f (x)在点(x0, y0)处的切线的斜率，运用导数的几何意义.

函数在某点的导数，其几何意义是曲线在该点处切线的斜率，利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题.

(2010湖北文)设函数f (x)=x3+2ax2+bx+a, g (x)=x2-3x+2，其中x∈R, a、b为常数，已知曲线y=f (x)与y=g (x)在点(2, 0)处有相同的切线l.求a、b的值，并写出切线l的方程.

【解析】f′(x)=3x2+4ax+b, g′(x)=2x-3，由于曲线y=f (x)与y=g (x)在点(2, 0)处有相同的切线，故有f (2)=g (2)=0, f′(2)=g′(2)=1，由此解得：a=-2, b=5，切线l的方程：x-y-2=0.

2. 利用导数求函数极(最)值.

解答这类问题的方法是： (1) 根据求导法则求出函数的导数; (2) 令导数等于0，解出导函数的零点; (3) 分区间讨论，得出函数的单调区间; (4) 判断极值点，求出极值; (5) 求出区间端点值与极值进行比较，求出最值.

(2010江西理) 设.当0

所以f (x)在(-∞，x1)， (x2，+∞)上单调递减，在(x1, x2)上单调递增.

当0

3. 以导数知识为工具研究函数单调性，对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍性的可操作方法.

(2010辽宁卷)已知函数f (x)=(a+1) lnx+ax2+1.讨论函数f (x)的单调性.

当a≥0时, f′ (x) >0, 故f (x) 在 (0, +∞) 单调递增;

当a≤-1时, f′ (x) <0, 故f (x) 在 (0, +) 单调递减;

4. 证明不等式彰显导数方法运用的灵活性.

把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f (x)>0(<0)，再通过求f (x)的最值，实现对不等式证明.导数为解决此类问题开辟了新的路子，使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法，彰显导数方法运用的灵活性、普适性.

(2010全国卷2)设函数f (x)=1-e-x，证明：当x>-1时，

【解析】当x>-1时, , 当且仅当e x≥1+x

令g (x) =e x-x-1, 则g′ (x) =e x-1.

当x≥0时，g′(x)≥0，则g (x)在[0，+∞)是增函数;

当x≤0时，g′(x)≤0，则g (x)在(-∞，0]是减函数,

于是g (x)在x=0处取得最小值，因而当x∈R时，g (x)≥g (0)，即ex≥1+x，所以当x>-1时，.

总之，导数作为解决数学问题的有力工具，全面体现了数学的价值，既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是利用导数来解决函数的单调性，极值，最值，以及切线问题.在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的.

摘要：导数的广泛应用, 为我们解决函数问题提供了有力的工具, 用导数可以解决函数中的最值问题, 不等式问题, 还可以与解析几何相联系, 在知识的网络交汇处设计问题.因此, 在教学中, 要突出导数的应用.

曲线函数的导数 篇8

一、函数的导数在经济学的应用范围分析

1．产量变化函数分析

产品产量的增加带动着单位成本的增加的同时，在经济学中可以称之为产量变化分析，如果产量发生了变化，那么相应的产品也会发生着很大的变化．例如，单位产品的每个月的产量和利益收入之间的函数导数之间的关系为:L(x)=400-20x，求解出当每一个月的产量为5 t,10 t,20 t时的产量利益

答:产量变化的概念是:产量利益和全部利益函数之间的一个导数，表示出产品产量为X吨的时候，全部利益的一个变化情况，根据题目中交代的数据，可知以下情况:

L(x)=400-20x，则:当x为5,10,20时，

当每一个月产品的产量为5吨时，如果在多生产1吨的产量的话，利益将会减少100元，当每一个月的产量为10吨时，如果在多生产1吨的话，利益将增加100元，当每月的产量为20吨时，利益保持不变．

2．产量弹性函数分析

弹性函数主要是对两个变量之间的某一个变量在变化时所进行的一种变化，该函数主要显示出两个变量中另一个变量在相应的进行数值变化着，因此，可以说弹性函数主要是描写了一个变量对另一个变量之间所进行的相对应的一种变化数值．加入设弹性函数关系为Y=400-4x，在这个函数关系中Y为产品的需要数，产品的单价为x，笔者主要通过这个函数关系来分析弹性数值的一个变化．笔者通过对这个弹性函数的关系进行了理论意义上的一个深层次的解析，在解析过程中发现当产品的单价x在降低的时候，产品的需要数量Y就会发生很大的变化，即如果单位对产品的价格做一系列的改动，那么相应的利益也会发生很大的变化，因此，笔者认为产量弹性函数对产量的增加变动直接影响到产量价格的变化．当产量随着价格的变化而发生变化时，单位的效益也发生着大面积的变化．综上所述，产品产量价格的变化对产品在市场上的需求产生一定的影响，同时对生产的产地也会带来相应的影响，这些影响主要表现为:使得提供原材料地方进行生产方式的调价或者变化;从而促使当地的产品生产率获得更大的提高，从而为产品提供出更好的生产空间;企业在制造、生产时可以及时的获得市场经济中适合销售的高质量产品．因此通过对产量变化函数和产量弹性函数之间的一个分析，对单位产品价格的变化影响效益的增加有着很重要的实践作用．

二、函数的偏导数在经济学中的应用分析

1．产品边际生产效益

笔者在实践中采用W=W(H,M)来表示出单位生产某一种产品的生产函数，在这个函数中产品的产量为W,H为单位在产品生产中具体投入的劳动力情况，M为单位生产启动资金，因此单位在生产中投入的劳动力H具体情况的产品边际生产效益就是W(H,M)所对应的H的偏导数为W'(H,M),W'(H,M)偏导数主要含义是资金M和单位产品劳动力H在相同的情况下如果在多投入一定的单位产品劳动力时W(H,M)发生的变化范围，因此W'(H,M)偏导数是单位产品产量中W(H,M)对单位生产启动资金M的一个产品边际生产效益，即在单位投入一定生产劳动力H和启动资金M在相同点的情况下同时投入一定的产品启动资金是对单位产品W(H,M)之间的一个变化数值的范围．

2．产品边际效益的需要

X,Y两种不一样的产品的边际需要量为X1,Y1，价格分别为X2,Y2，产品边际效益需求量的函数为X1=X1·(X1·X2),Y1=Y1·(Y1·Y2),X和Y这两种不一样的产品的边际效益的需要量为X1和Y1关于X2和Y2的一种偏导数的方式来表达，此时产品X的边际效益的需要量X1的各种变化范围和Y产品的边际效益需要量之间发生着相应的数值范围内的变化，当这两个不相同的产品中有一个产品的价格有变化，都将使得其中一个产品的边际效益需要量减少，则另一个需要量增加，所以这两个产品的边际效益的需要量是可以相互取代的，当两个不相同的产品中价格在降低的同时，他们两者的产品需要量都会增加，因此边际效益的需要量是可以互相进行补助的．因此，研究单位产品的边际效益的需要量为经济学以后的发展提供着重要的作用．

结束语

在本篇文章中，笔者通过以上这些方法来阐述了函数的导数和偏导数在经济学中的应用范围，该解决方式在数学领域的发展中起到了很重要的促进作用，从而发挥了经济学科在高等数学学科中越来越重要的知识实践性作用，因此，数学中的函数的导数和偏导数在经济学中的应用范围为经济学管理专业的学生以后的学习提供了很大的发展和思维空间，已经成为了经济学科发展的一个不可少的知识内容．

参考文献

[1]刘双.多元函数连续性、偏导数和可微性关系的研究[J].才智,2014(2).

[2]龚江涛.函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析[J].魅力中国,2014(4).

解析导数与函数 篇9

关键词：导数与函数,交汇,命题

数学是一门具有独特魅力的学科。在高中数学里我们会学到很多有趣的数学符号以及复杂的函数,当然还有很多复杂的数学问题。高中数学主干知识包括函数与导数、数列、三角函数、证体几何、解析几何、概率与统计,这些主干知识足以支撑高中数学知识体系的主要内容,构成了高考数学试卷的主体。在函数与导数这一重点模块当中便有许多值得探究的问题,为了认清这一模块,我们将从导数与函数的思想概念、地位以及它们在数学中的应用着手,仔细分析导数与函数间的关系,为此我们作了研究并从例子中分析导数与函数的融会以及它们的作用。本文主要分成两部分,第一部分在参考了文献的基础上对导数与函数的概念及其关系做出了解答,并且详细地阐释了导数的思想及其在高中数学中的工具性地位。第二部分是论文的重点部分,在对导数与函数的运用中,通过导数解决单调性问题,通过导数求最值、证明不等式等展开对导数应用方面的诠释,包括了通过历年的高考例题来解析导数与函数在高考中的重大作用。

一、理解导数,掌握导数的思想和概念

1.高中数学中的导数概念。导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它是由平均变化率到瞬时变化率引出和定义的,导数的几何意义是曲线的割线逼近曲线的切线,它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数可以说是新课程改革与旧课程的一个区分点,也是新教材的一个亮点。因为导数的应用非常广泛,它是连接高中数学与大学数学的纽带,用它可以解决许多数学问题。目前,随着新课程改革的不断推进,对导数知识考查的能力要求也逐渐提高,而且对导数的考查已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析问题和解决问题时的有力工具。

2.高中数学中导数的思想及工具性地位。函数与导数是高中数学的核心内容,在导数应用过程中,要加强对基础知识的理解,重视数学思想方法的应用,达到优化解题思维、简化解题过程的目的。而导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,在解决数学问题时使用非常方便,尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题。

二、函数解题需要导数

1.函数中运用导数的思想。函数中运用导数的思想主要有四种:等阶转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想。等阶转化就是“把要解的题转化为已经解过的题”就是把未知解的题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要思想方法。等阶转化在导数及其应用中主要用来解决有关恒成立、函数的单调性等问题。函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、解决问题。方程问题是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程或不等式),然后通过解方程或不等式来使问题获解。而函数与方程的思想在导数及其应用中主要用来解决生活中的优化问题以及构造函数证明不等式问题。在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。它在导数及其应用中主要用来求解单调区间、参数问题、极值、最值及恒成立问题等。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来。数形结合思想在导数及其应用中主要用来解决方程根的问题。因为函数是贯穿中学数学的一条主线,是数学高考考查的重点。而函数是中学数学研究导数的一个重要载体。通常遇到复杂函数的时候难以利用普通的手段进行求解,所以采用对函数求导的方式可以克服此类问题,从而达到从繁化简的效果。

2.函数中导数的应用。高中数学中导数有很大的作用,主要表现在三个方面。(1)导数解决单调性问题,当函数表达形式比较复杂,并且用初等函数不能求解的时候,可以考虑使用导数求解的方法,通常可以求出函数的导数,然后再求解导数的不等式。函数f(x)=-(a+1)ln(x+1)其中a≥-f'(x)=ax-1/x+1,a≥-1,可以求f(x)的单调区间。函数f(x)的定义域是(-1,+∞)且函数的导数是f'(x)=ax-1/x+1.可以分成两个分进行求解,一部分是-1≤a≤0时,f(x)<0,函数在(-1,+∞)是递减的。当a>0时,f(x)=0,则无论是导数还是函数,都会随着x的变化而变化。根据x的取值变化可以化一个表来看函数和导数的变化范围和区间,由此可见,当a在(-1,+∞)区间变化时,函数是单调递减的,余下的部分是单调递增。导数在解题时出现最多的就是分类讨论的问题,解决此类问题,需要找到分类点和画表,根据表格x值得走向来判断函数是递增还是递减。(2)导数求解函数的最值问题,函数最值的问题也是常考的题型之一,对于闭区间的可导函数求其最值可以先求极值,根据极值与函数进行比较,确定最大值与最小值。函数f(x)=-x3+9x+a,闭区间[-2,2],最大值为20,给出函数式子求最值。这种问题一般都会有两个问题:第一个问题,会对函数的单调增减区间进行探讨,然后给定一个闭区间求最值,最值包括最大值和最小值。第二个问题,闭区间会给你固定值,并且还会有最大的取值,从计算的过程中看,可以将闭区间两端的值代入导函数中,求出一个公式,f(x)=-24+a,f(x)=10+a,然后,根据第一问讨论的单调递增与递减区间的确定,确定其大小值,求解a的值。(3)导数证明不等式问题,导数证明不等式的问题,最关键的步骤要构造函数,利用导数判断单调性,来证明不等式。利用函数的单调性证明不等式,最关键需要构造一个函数,利用相应区间上证明不等式的知识来判断其单调性。根据以上的分析,可以解决数学的问题,并且也是有效的手段之一,思路很清晰,过程比较简单,能够加强导数的教学任务,可以提供一个清晰的思想,一个新的解题方法。

三、从高考命题来解析导数

1.导数在高考上的运用趋势。近几年来利用导数与函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查学生应用数学知识解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点。因此,在命题上导数充分突显出其“工具性”的作用,在处理各类交汇性问题上,在处理曲线的切线、函数的最值(极值)及单调性、参数的范围、实际生活中的优化等问题方面,导数发挥着重大作用,所以导数是高考解答题命题的热点内容。例1:(重庆·理·16)f(x)=a ln x+1/(2x)+3/2 x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值。解:(1)对f(x)求导,故f'(x)=a/x-1/(2x2)+3/2;由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,所以该切线的斜率为0,即f'(1)=0,所以a-1/2+3/2=0,解得a=-1。(2)由(1)知f(x)=ln x+1/(2x)+3/2 x+1,(x>0),则f'(x)=1/x-1/(2x2)+3/2=(3x2-2x-1)/(2x2)=(3x+1)(x-1)/(2x2),x>0,令f'(x)=0,得x1=1,(x2=-1/3,不在定义域,舍去),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数,故函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.点评:此题的解题思路就在于理解导数的定义,即处于该点切线的斜率就是该点的导数值,第二问就是运用导数求极值的变换,所以关键是理解和运用导数。

2.运用导数的解题技巧。(1)求导后导数的几个固定形式:a.含分母的导数形式f(x)=(mx2+nx+p)/x,此类导数由含lnx的函数求导得到,所以定义域为(0,+∞),此时导数的正负与分母无关,只要研究g(x)=mx2+nx+p,分m=0及m≠0时Δ与0的关系即可;b.含ex的导数形式,此类导数的正负与ex无关;c.含三角函数的导数形式,利用三角函数的有界性。(2)二次求导的使用:当遇到含ex的复杂形式函数时可以采用二次求导的方法,例如设函数f(x)=ex-1-x-ax2。若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围。一阶求导f'(x)=ex-1-2ax,二阶求导f''(x)=ex-2a,由于x≥0,所以ex≥1,即2a与1的大小与二阶导数与0的关系,而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性,若一阶导数单调则必有f'(x)≥f'(0)=0成立,从而获得原函数的单调性。(3)恒成立的应用:恒成立是导数问题中永恒的话题,归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题,所以是导数应用的一个最重要的体现。在导数问题中,几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题。

四、结论

1.重视导数方面的学习,弄清导数的概念。

2.有必要强调导数的工具作用。

3.进一步加深对函数的理解和直观认识。总之,导数引入中学数学教材后,使传统中学教学内容注入了新的生机与活力,如何更好地利用导数这一工具来重新认识原中学课程中的有关问题并为解题提供新的途径和方法已经成为当今中学数学教学要面对的崭新课题。

随着时代的发展,特别是适应课程改革和考试改革的需要,数学教学应“与时俱进”,重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵导数作为新增内容,在研究函数的性质中发挥了重要的作用。函数是高中数学的主线,因此导数与高中数学的融会关系将会更近一步。高中数学是高中课堂极为重要的一门功课,在高考中占据很大的分量。导数作为高中数学的重要知识,不仅蕴含着丰富的数学思想,也是一种简捷而有效的解题工具,对于解决数学问题有极大的帮助,因此本文希望通过导数与函数间解题研究能够帮助广大同学更好地学数学。

参考文献

[1]王锦.导数在中学数学中的应用[J].学科建设,2012,(8).

[2]胡明涛,葛倩.高中数学教材“导数”部分数学文化的渗透[J].科技信息,2011,(9).

函数问题导数解决 篇10

【例1】 已知函数f(x)=x2+lnx-ax．

(1) 若f(x)在(0,1)上是增函数,求a得取值范围；

(2) 在(1)的结论下,设g(x)=e2x+|ex-a|,x∈［0,ln3］,求函数g(x)的最小值．

解析 (1) f′(x)=2x+1x-a,∵f(x)在(0,1)上是增函数,

∴2x+1x-a>0在(0,1)上恒成立,即a<2x+1x恒成立．

∵2x+1x≥22(当且仅当x=22时取等号),所以a<22．

当a=22时,易知f(x)在(0,1)上也是增函数,所以a≤22．

(2) 设t=ex,则h(t)=t2+|t-a|,∵0≤x≤ln3,∴1≤t≤3．

当a≤1时,h(t)=t2+t-a在区间［1,3］上是增函数,所以h(t)的最小值为h(1)=2-a．

当1

t2+t-a (a≤t≤3)．

因为函数h(t)在区间［a,3］上是增函数,在区间［1,a］上也是增函数,所以h(t)在［1,3］上为增函数,

所以h(t)的最小值为h(1)=a．

所以,当a≤1时,g(x)的最小值为2-a；当1<a≤22时,g(x)的最小值为a．

点评 本题是借助导数方法解决函数单调性、最值问题的基本综合性问题,导数方法的引入,给函数背景的高考试题增添了活力,也极大地拓展了试题的外延,增强了函数的应用功能。

【例2】 设工厂A到铁路线的垂直距离为20 km,垂足为B.铁路线上距离B为100 km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？

解析 设BD之间的距离为x km,则|AD|=x2+202,|CD|=100-x.如果公路运费为a元/km,那么铁路运费为3a5元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费y为:y=3a5(100-x)+ax2+400,(0≤x≤100).对该式求导,得y′=-3a5+axx2+400=a(5x-3x2+400)5x2+400,令y′=0,即得25x2=9(x2+400),解之得

x1=15,x2=-15(不符合实际意义,舍去).当00,

所以x1=15是函数y的极小值点,而且也是函数y的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15 km处时,运费最省．

点评 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有简便的方法。而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单。

实战演练

1. 已知函数f(x)=x3-ax2-x,抛物线C:x2=y,当x∈(1,2)时,函数f(x)的图象在抛物线C:x2=y的上方,求a的取值范围．

2. 用总长148 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m,那么高为多少时,容器的容积最大？并求出它的最大容积．

3. 设函数y=f(x)在(0,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK(x)=f(x),f(x)≤K,

K,f(x)>K,

其中函数f(x)=52x2-3x2lnx,若x∈(0,+∞),恒有fK(x)=f(x),则K的取值范围为．

4. 若关于x的方程|ex-3x|=kx有四个实数根,则实数k的取值范围为．

5. 已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax,(a∈R)．

(1) 当a=2时,求函数p(x)=f(x)+g(x)的单调区间；

(2) 若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1,e］上的最小值为3,求a的值；

(3) 若存在x0∈［1,+∞),使得f(x0)>x20+g(x0)能成立,求a的取值范围．

【参考答案】

1. 由题意知不等式x3-(a+1)x2-x>0在(1,2)上恒成立不等式a+10,所以a+1≤0,a≤-1.

2. 设底面一边长为x,另一边长为x+05,V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x) (0

利用导数解得x=1 m时,体积V最大,即高为12 m时,容积最大为95 m3.

3. 由题意知不等式52x2-3x2lnx≤K(x>0)恒成立,令g(x)=52x2-3x2lnx,

由导数解得x=e13时,g(x)有最大值为32e23,所以K的取值范围为32e23,+∞．

4. g(x)=ex-3x,x=ln3时g(x)有最小值3-3ln3<0,设h(x)=3x-ex,当直线y=kx与h(x)=3x-ex相切时,k=3-e,所以答案为(0,3-e)．

5. (1) 当a=2时,由题意：p(x)的定义域为(0,+∞),且p′(x)=1x-2x2=x-2x2,

∴在区间(0,2)上p′(x)<0,在(2,+∞)上p′(x)>0,

故p(x)的单调增区间是（2,+∞）,单调减区间是(0,2).

(2) 由题意可知：h′(x)=x+ax2．

①若a≥-1,则x+a≥0,即h′(x)≥0在［1，e］上恒成立,此时h(x)在［1，e］上为增函数,［h(x)］min=h(1)=-a=3,∴a=-3(舍去).

②若a≤-e,则x+a≤0,即h′(x)≤0在［1，e］上恒成立,此时h(x)在［1，e］上为减函数,［h(x)］min=h(e)=1-ae=3,∴a=-2e.

③若-e

当1

当-a0,h(x)在(-a,e)上为增函数,

［h(x)］min=h(-a)=ln(-a)+1=3,

∴a=-e2(舍去)

综上可知：a=-2e.

(3) ∵由f(x0)>x20+g(x0)

∴lnx0>x20+ax0.又x0>1,∴a

令M(x)=xlnx-x3,只需a

再令N（x)=M′(x)=1+lnx-3x2,

N′(x)=1x-6x=1-6x2x

∵N′(x)在［1,+∞)上小于0,

∴N(x)在［1,+∞)上是减函数,N(x)≤N(1)=-2即M′(x)<0,

故M(x)在［1,+∞)上也是减函数,M(x)≤M(1)=-1.

∴a<-1,