数学问题的解决

2024-07-25

数学问题的解决（精选十篇）

数学问题的解决篇1

一、缕析问题信息

1. 理清数学问题信息。

数学问题作为一种有待加工的信息系统, 它主要由条件信息、目标信息和运算信息三部分构成。理解和感知数学问题中的信息元素是解决问题的第一步。这一步主要是要求实施者明确问题所提供的条件信息和目标信息。

对数学问题基本信息的感知要做到全面而完整, 特别是对那些综合性强、关系复杂的问题, 要注意发现问题中的隐性信息, 充分挖掘有用的信息, 这对问题解决的顺利实施具有重要的意义。例如, 在问题“大数和小数的差是80.1, 小数的小数点向右移一位, 刚好与大数相等。大数和小数各是多少”中, 大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息没给出, 而隐藏在“小数点向右移”一句话中, 需要学生自己去发现。

二、确定求解方案

在第一步理解分析条件信息、目标信息的前提下, 在头脑中已初步形成了数学问题的初始状态, 及要解决的问题的目标状态。这时, 解决者的思维就要进一步深入, 提炼数学问题中存在的显性的或隐性的有用信息, 链接各信息间的运算信息, 选择解题方法, 制定合理的求解计划, 这是实现问题解决的最关键一步。这一过程由一组复杂的心理活动组成, 一般要连续完成以下几方面的任务。

1. 类化问题信息。

一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题不断地转化成已知的问题的过程, 这是解决数学问题的基本策略。在这一环节就是把数学问题中呈现的主要信息同解决者原有认知结构中的相关知识和方法连接起来, 并以这些已认知的知识和方法作为解决新问题的依据和基础, 重新组合演化成解决新问题所需的新策略。

2. 寻找解题起点。

解决问题的切入点往往有所不同, 具有因人而异的相对灵活性。如在解决例1时, 学生一般都会想到从求科技书入手, 求出前后科技书本数之差即可;另外, 学生想到问题中隐含着文艺书的本数是一个稳定的不变量, 只要抓住文艺书这一拐棍, 求出前后总本数的差, 此问题就能顺利获解。这一思路的解题起点就要从求出原来文艺书有多少本开始。如果学生只能顺着已知信息的思路, 顺向思维来解决问题, 这时学生的思维起点就会想到设出未知数, 用方程解。具体从什么地方入手去解决问题, 要根据不同数学问题的性状和学生擅长的思维习惯及个体思维能力而定, 不能定式地一概而论。

3. 确定解题步骤。

确定解题步骤是指学生在头脑里整理出解决问题的详细操作程序, 即确定先求什么, 再求什么, 最后求什么, 这里只要求学生能在头脑中初拟即可, 无需写出书面的解题计划。这一环节, 放在整个解决问题的思维过程中来审视, 主要是完成如何确定解题思维发展脉络的问题, 在前面已确定的解题起点的基础上, 进一步理清完善整个解题思维沿着什么方向进展下去, 以保证解题时思维能朝着数学问题目标信息的方向顺利进行, 而不至于偏离思维的主航道, 影响目标信息的最后获解。

三、实施问题解答

实施问题解答就是将前面制定的解题计划付诸实施, 使问题达到目标状态。这里提倡学生能用不同的方法来解决问题, 数学新课标中提及:“学生要能探索出解决问题的有效办法, 并试图寻找其他方法。”所以, 这一环节学生承接第二步骤的思考, 运用已类化的策略, 从某一思维起点出发, 按照既定的解题思路, 对数学问题实施有序地推导、运算, 直到得出正确的问题目标结果为止。

这一步既是一个执行解题计划的过程, 同时也是一个检验和修正解题计划的过程。解题时若发现前面制定的求解方案和解题思路不当或不简便, 在实施解答的过程中要及时加以修正, 尽量靠近合理的路子, 以减少解题过程的失误, 使问题能较顺利地达成目标状态。

四、反思解题过程

数学问题获得求解, 并不代表整个解题过程的终结, 还需对上述整个解决问题的过程作明晰的反思, 看解题过程是否合理、简便, 结果是否正确。更要从解决问题的策略方面来整理思路、提升认识, 让合理、有效的解题策略丰富自身解决问题的策略库。这一环节, 可做好下面两方面内容。

1. 检验求解结果。

将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验, 看它是否与实际问题情形相吻合, 从而更加确定求解结果的准确性。

2. 评价解题策略。

《数学新课标》提出:“学生要具有回顾与分析解决问题过程的意识。”所以在问题解决以后, 还要主动对求解过程进行反思, 特别是对问题解决过程中的思维策略进行评价, 分析甑别多种策略中较为合理的方法, 提炼解决同类问题常用的一般策略。如果解决过的问题是一个具体问题 (如例1) , 就可引导学生通过归纳、类比和演化, 得到普遍的思维方式, 形成解决问题的新策略, 以期成为解决其它数学问题的又一源动力。

解决问题的过程, 是从条件信息应用一定的运算信息寻求目标信息的过程, 由于问题解决中的问题是学习者从未遇到过的新问题, 在学生看来, 数学信息间的内在联系是错综复杂的, 所以必须依据一定的思维路径, 有序地探寻新的问题解决的方法与途径, 至少要对已知的解题方法、途径重新组合, 即要寻求合适的新策略。问题一旦得到解决, 学生又可以通过问题解决的过程学到新的解决问题的策略, 这些新的策略又成为解决其它新问题的已知策略, 在这一解决问题的过程中, 学生的潜能无形中得到了充分发挥。

参考文献

[1]刘兼, 孙晓天.数学课程标准解读[M].北京师范大学出版社, 2001.

[2]刘元宗.数学问题解决及其教学[J].课程.教材.教法, 2004 (2) .

[3]丁琛.数学问题的解决[M].东北师范大学出版社, 2000.

小学数学解决问题的教案篇2

一、积累铺垫

1.引入：刚才的游戏有意思吗?我们再来玩个游戏好吗?(课前游戏：你来比划我来猜)

2.要求：刚刚我们根据比划来猜测是什么事物，现在请同学们在纸上画出题目的意思。

3.出示第一关：中山路小学原有一个花圃是长方形，长4米，宽3米。校园扩建时，长增加了2米。(1)学生画图(2)对比交流

4.从图中你能求出什么?

二、初步感知

1.出示第二关：中山路小学原来操场是一个长方形，长40米。在扩建校园时，长增加了20米，这样操场面积就增加了600平方米。原来操场面积是多少平方米?。

2.审题激需：你能想个办法让大部分同学都能理解题意顺利闯关呢?(画图)

3.看谁能把题目中的条件和问题都在图中表示出来?(1)学生画图， (2)对比交流：

4.现在图有了，你能根据图来求出原来操场的面积吗?

(1)学生尝试，教师巡视。(2)讨论交流：

5.小结：从开始审题我们觉得有点困难，至现在大部分同学都能做出来，你有什么感受?(画图是解决问题的好办法，画图能帮助我们思考……)

三、再次体验

1.出示第三关：中山路小学原来有一个宽30米的前操场。因为要造“牡丹公寓”，宽减少了10米，这样前操场面积就减少了400平方米。现在前操场的面积是多少平方米?

2.审题后问：长方形操场是怎样变化的?(宽减少)你能把宽减少在图上表示出来吗?

3.学生画图，尝试解答后交流：把题意表示清楚了吗?能指着图说一说自己是怎么想的吗?(可能会有几种方法，重点指出宽减少了，长不变，减少的长方形的长就是现在长方形的长。)

4.小结揭题：我们顺利闯过了第三关，你能谈谈画图对我们解决问题有什么帮助吗?(清楚地找到数量之间的关系)这就是我们今天学习的“解决问题的策略”之一画图(板书)。

四、深入体验

(一)第四关：

1.引入：应用画图的策略，我们来闯第四关。

2.分层出示：

(1)中山路小学原来有一个长方形操场，长40米，宽30米。扩建校园时，操场长增加了20米。这个操场面积增加了多少平方米?(学生口答，再出图列式)

(2)中山路小学原来有一个长方形操场，长40米，宽30米。扩建校园时，操场宽增加了15米。这个操场面积增加了多少平方米?(学生口答，再出图列式)

(3)中山路小学原来有一个长方形操场，长40米，宽30米。扩建校园时，操场长增加了20米，宽增加了15米。这个操场面积增加了多少平方米?

学生猜测。先独立画图，再讨论验证。(得出不是增加1200平方米，应该大于1200平方米)

到底增加了多少?学生解答后交流。(交流“整体”和“分块”两种思路)

3.反思小结：从用经验猜测，到画图验证，最后到解决问题，你有什么启发吗?

(二)第五关：

1.引入：第四关我们都闯过了，下面我们要挑战――第五关!

2.出示第五关：中山路小学原来有一个长方形操场。如果这个操场的长增加20米，或者宽增加15米，面积都比原来增加600平方米。你知道原来操场的面积是多少平方米吗?

(1)审题后问：与第四关有什么区别?(一个是“同时”，一个是“或者”)

(2)学生画图解答后交流：(让学生指了图来说思路。重点交流长增加出来的长方形的长就是原来长方形的宽;宽增加出来的长方形的宽就是原来长方形的长)

五、全课总结

解决小学数学中解决问题的策略篇3

关键词：小学数学解决策略例题方法

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1672-8882（2014）02-129-01

解决问题，顾名思义，就是旧教材里常说的“应用题”。对小学生而言，虽然接触的多数解决问题，都来自于生活，与身边的生活息息相关。但是对于年幼的学生而言，由于逻辑思维和辨别能力的不够完善，导致对题型的分析能力和做题技巧不够成熟，往往出现一些不该出现的问题。针对这些问题，本人结合多年来从事数学教学工作的经验，来探讨其《解决小学数学中解决问题的策略》，仅供同仁参考。

一、读懂题目是掌握解决问题的前提

众所周知，读题的目的就是读懂题意，找出相应的“已知”和“未知”来解决问题。但在课堂运作过程中，并非所有的学生能够做到这一点。虽然他们也在读题，但其根本注意力不在题目上，而其天马行空，敷衍了事。不能读懂题目，就无法找到相关的数量关系和等量关系，从而也无法做到真正意义上的解题策略。

二、不能死记硬背，该用灵活多样的方法来寻找解决问题的策略

一时受教，终身受益，是学习本领的基本要旨。学习数学知识也是为了解决实际问题而学之、用之，这样才学懂了所学知识的要点。在授课过程中，我们不难发现这样的一部分学生，如果讲解的题目内容与习题的内容完全吻合，他们就能做到得心应手，运用自如，否则则反之。对于这样的学生，其实他们并没有弄懂题目的含义，只是采取一种猜测、遐想的推理方式求得准确的结果。老实说，即便他们做对了，对题目的认识和理解未曾剖析透彻。

做到举一反三，灵活运用，这才弄懂了解决问题的策略，对其个人而言，真乃受用终生。

从一些例题中，我们不难发现，用好各种不同的数量关系，是解决问题的根本。掌握了一定的基础知识，才能很好地解决应用题中常出现的一般问题。多数学生之所以对解决应用题感到茫然，是因为缺少寻根问题的好习惯。当然，这些好的解题习惯，并非在于一朝一夕，需要平时的积累和努力。有了一定的基础，解决应用题的疑难问题，也并非难事。

三、遇题要处处冷静，切莫操之过急，影响解题的思路

古人有云：“欲速则不达。”此话不假。对于一名求知者而言，更应该知道此话的分量。多数学生在学习数学知识过程中，极易操之过急，结果未能把基础的知识掌握透彻而反受其害，失去对数学的兴趣。

例如：“甲、乙两辆车从相距324千米的两地相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的4/5。甲车每小时行多少千米？？

碰到此题时，部分学生虽然掌握了：时间、速度以及路程之间相关的等量关系。但由于未曾解读“甲车的速度是乙车的4/5”这句此题中关键的等量关系，结果不知从何下手，更不要说如何去解决了。

如果面对此题，心儿平静下来，冷静地对之，不难发现解决此题的一般过程，那就是：甲车行的路程+乙车行的路程=324千米。又因为：甲车行的路程=甲车的速度×6，乙车的路程=乙车的速度×6，这样就能确定二者之间的等量关系了。如果设乙车每小时行X千米，则甲车每小时行4/5千米。从而得出方程：4/5X×6+6X=324。

当然，不同的等量关系，可以列出不同的方程，等量是根据题意而定。因此，并非是一成不变的。

以上题为例，我们也可以根据速度和×相遇的时间=相遇路程列方程为：（4/5X+X）×6=324。最终能够求出甲车每小时行多少千米？

冷静思考是解决问题的基础，缺少冷静的态度凡事都无法做好。我在从事五年级数学教学时，把“鸡兔同笼”应用题讲解给在座的众生，并加以强化练习。当我把此题展现在屏幕上，并要求学生去解题时，发现多数学生束手无措而又惊慌失措。甚至，每当多数学生遇到比较繁琐的题目时，由于惧怕而表现出不知所措的表情。

解决问题的策略体现数学思想篇4

一、图形之间的转换, 体现了化归思想

化归使有些按常规解法无法解决的数学问题得以解决, 使复杂问题简单化, 使未知问题已知化。

“转化”是平行四边形面积公式推导的核心思想。我为学生提供了一个问题情竟:选取两个特殊图形平行四边形和长方形引导学生思考, 努力凸现出“转化”的动因, 学生体验到用“转化”的思想来解决问题, 问学生“怎样比较它们的面积大小”, 学生提出多种方案, 用剪拼法的时候, 学生对转化的本质有更深的体验。学生虽然确认“底*高=面积”是正确的。我又让学生通过拉易变形的平行四边形来进行验证, 使每位学生的认识提高一个新的水平。因此在解决了特例问题后, 又设计了“类推其他平行四边形的割补过程”, 让学生学会默默想象, 并通过“规范”的电脑动作来准确引导动作思维的走向, 促使学生在“特殊化归为一般”的深刻体会中逐步内化思维方式, 上升为数学思维策略, 从而实现学生数学思维的提升。

在教学中, 我重视学生探索空间与图形的问题, 通过观察、实验、猜测、验证、操作、推理、交流等手段进行学习, 有效地发展学生的空间观念, 培养学生的探索精神。掌握了转化的思想和方法, 把圆柱转化成和它等体积的长方体, 从而得出圆柱的体积=底面积*高。“活动、体验、探索、建构”是创造的学习过程。

二、式与图的转化, 体现了数形结合思想

数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象表示出来, 即通过一些线段图、树形图、长方形面积图来帮助学生正确理解数量关系, 使问题简明直观。著名数学家华罗庚先生说:“数与形, 本是相倚依, 数缺形时少直觉, 形少数时难人微。“以形助数”可使抽象概念和关系直观而形象, “以数解形”用数去研究形可获得一般化的解法。

如:一杯果汁, 第一次喝里半杯, 第二次有喝剩下的一半, 就这样每次都喝了上次剩下的一半, 四次一共喝了多少果汁?

学生分析后列出算式1/2+1/4+1/8+1/16, 学生先独立计算, 我在出示正方形图, 让学生认识到正方形的涂色部分的大小表示的就是该算式的和, 用1减去空白部分的大小就得到涂色部分的大小, 转化成1-1/16计算。先“式”后“图”地呈现, 使学生体验算式转化必要性。使学生意识到“转化在思想本质上是相同, 但是在具体方法上却有优劣之分”, 引导学生自主反思, 在纠正学生错误的转化方法上求真务实;激发学生内在的探索欲望, 引导学生在更高的层面上感悟转化的精髓。

三、式与式之间的转化, 体现了变换思想

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想, 如解方程中的同解变换, 定律、公式中命题等价变换, 几何形体中的等积变换, 理解数学问题中的逆向变换等等。

如:求1/2+1/6+1/12+1/20+、、、、、、+1/210的和

学生独立计算后, 发现通分是一种繁且易出错的方法, 产生思维上的困惑, 要调动学生学习兴趣, 要调动学生学习兴趣, 从而进一步探索和思考这道题的解题思路, 引导学生仔细观察这些分母, 不难发现2=1*2, 6=2*3, 12=3*4, ……

异分母分数相加减转化成同分母的分数相加减的计算法则;做除法时, 则利用倒数概念变换为乘法来做, 即除以一个数等于乘以这个数的倒数, 都体现了变换思想。在前面的具体研究的基础上, 让学生具体说说自己对转化策略的认识, 突出转化策略的价值。

四、复杂的分数、百分数的应用题教学, 体现了对应转化思想

数学思想方法是在思维过程中逐步积累和形成的, 在教学中, 强调解决问题以后的“反思”, 因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法是易于体会的, 如通过分数和百分数应用题有规律的对比, 指导学生找到具体数量的对应分率, 从而使学生自己体验到对应转化思想。

如:青少年每分钟约跳75次, 婴儿每分钟心跳的次数比青少年多4/5, 婴儿每分钟心脏跳动了多少次?

想一想:婴儿每分钟心跳的次数比青少年多4/5的含义是什么?引导学生充分利用线段图分析题中数量的关系。既给学生独立思考的空间, 也为学生提供合作探究的机会。也可先求出婴儿每分钟心跳次数比青少年多多少次, 再求出婴儿每分钟心跳次数。整个的教学过程, 使学生从直觉思维飞跃到了抽象思维。教材精心安排了一些富有变化的问题, 让学生体验转化策略实施方法的多样性, 为学生创造完整表述转化过程的机会, 培养学生的推理能力和数学表达能力。

总而言之, 转化既不同于枚举、假设这些运用于特定问题情境的策略, 也不同于画图、列表这些一般策略, 它是一种化繁为简, 转未知为已知, 化难为易的广泛运用的策略, 有意识地引导学生逐步体会这些方法的实用性以及创造出的价值, 培养良好的使用“策略”能力。

摘要：解决问题中的转化策略, 与数学思想密切相关。从四方面来阐述:一图形之间的转换;二式与图的转化;三式与式之间的转化;四复杂的分数、百分数的应用题教学。

谈谈初中数学问题解决的对策篇5

摘要数学是初中义务教育过程中比较重要的一个学科，与我们的日常生活密不可分，其不仅可以培养初中学生养成严谨理性的思维，而且还能不断提升他们的综合能力，从而推动他们自身素质的全方面发展。因此，在进行初中数学教学过程中，问题解决教学是一个比较重要的过程中，其可以有效的培养学生的逻辑能力和应变能力，而且还能有效提高初中学生分析问题和解决问题的能力，为以后的学习和工作奠定良好的基础。

关键词初中数学问题解决教学策略

在平时的学习中，我们比较重视数学思想方法的领悟和使用，而对解题策略总结和关注得较少，这种情况导致部分同学尽管数学基础较好，可拿到一个新问题时却无从下手，不知所措。本文就问题解决的对策略谈几点认识：

1以“多类”求“平衡化”的对策

我们经常看到许多教师和学校在“两难”情境中徘徊：当他们力促学生能力和创造性的发展时，发现学生的基础知识水平下降；在狠抓了学生的升学率时，却发现学生的整体素质在降低；在关注教学的生动活泼和个性化时，就顾及不了教学质量的全面优质化。没有好的教学成绩的老师领导让你下课，没有高考升学率和重点率的学校社会不满意，难道“熊掌和鱼不可兼得”？

“问题解决”教学中，一个重要的策略或原则是要求教师必须为学生提供一系列多种多样多层次的“问题”，使学生既有解决封闭性问题的机会、更有解决半开放性的、全开放性问题的机会，不同类型的问题体现不同的认知水平和教学价值观，指向不同的具体的教学目标（包括掌握传统教学所重视的基础知识，也包括培养学生的实践能力与创造性，发展学生的情感、态度和价值观），教学中提供系列不同类型的问题供学生解决，是实现教学“平衡”和达成教学整体性目标的一个重要保证。

2以“多元”求“个性化”的对策

“一个也不能被忽略”，即教育要面向每一个学生，是新课程所要实现的素质教育理念。在我国大班教学的基本现状没能全面改变的情况下，如果要求教师在教学过程中“针对每一个学生的个性特点进行个别的教育”来实现这个理念，那么“个性化”教学只能是一个难圆的“梦”。“分层教学”对于“一刀切”的教学来说，是一个极大的进步，但它只是一个不到位的“因材施教”。在“问题解决”教学中，“个性化”理念的实现是通过学习情境的“多元”与学生的“自主”这两个方面的结合来实现的。这就好比是要把教学情境变成一个“自选超市”，而不是“配给制下的专卖店”。一个超市能满足成千上万的有着千差万别需求、购买能力和个性差异的顾客，靠的就是其商品的丰富多样和顾客的自主选择。教学的对象也是千差万别的，“问题解决”的主体都是独特的，仅就其智能和认知方面来说，他们之间的差异，不只存在智能或认知水平的差异，每个人的智能构型不同，智能的强项不同，认知风格和认知兴趣等也各不相同，因此他们理解、处理、利用信息、解决问题的方法、思路及策略等都各有差异。为了实现教学的“个性化”，就要给学生提供丰富多样的“多元”化的学习情境，允许学生以自己的智能强项，根据自己的认知特点去认识事物。允许学生自主选择适合自己的智能特点的方式去解决问题。教师对学生个性特征、智能特点的尊重和认可，对学生的主体性的充分肯定，是实现个性化教学的前提，而教师提供可供学生自由选择的多样化的学习环境，多元的可供利用的、充分的学习资源则是实现教学个性化的重要保证。

3以“整体”求“结构化”的对策

“问题解决”教学模式的实施从某种意义上说是一个系统工程，因此它要立足整体，从整体出发规划、组织和实施教学进程。要学整个知识体系而不是一个个零散的点。“问题解决”教学的一个突出特点是从“封闭走向开放”，这里不仅是“问题”形式的变化，更重要的是反映整个教育从只着眼于学生的知识掌握到?P注学生的整体发展的价值观念的变化。观念的变化要求有相应的机制相配合，从教师角度来说，立足整体意味着“问题解决”教学不要求每一个知识点，每一节课都要覆盖各种问题类型，但是从整体上必须确保学生有机会解决从封闭到全开放的每一类型的问题，这是实现学生的整体发展的重要保证。通过学生聚焦性的、反省性的探究，把学生引导到对其中的基本结构的理解上，并全面开发学生的潜能，成为有效的问题解决者。在核心内容上，要使学生有机会解决完整的系列的各种类型的问题。

4以“建构”求“特色化”的对策

每个教师都是携带着多元的背景、差异的理念投入教学改革的漩涡之中。我们要透过改革实践来演练自己的心智，明确自己的理念，找到自己的位置，重建自己的教学模式。当走进“问题解决”教学领域时，我们也并不是空着脑袋而来的。每位教师在自己的教学实践中都积累了一些经验，我们要重新审视自己的经验，把这些经验与新的要求相对照，并在这些经验基础上，建立起已有的经验与新模式的联系，对自己的经验系统进行调整、扩充和重组，发挥自己的聪明才智和创造性，建构有自己特色的“问题解决”教学。换言之，程序性的知识不是被“教”会的，而是在“学中用”、“用中做”，在解决问题的过程中被“悟”出来的。他们的综合运用知识的能力、实践能力和创造能力也因此更有机会得到提升。

小学数学解决问题的教学篇6

一、结合生活情景解决问题

低年级的学生认识汉字数量有限，生活经验也欠缺，因此，学习 “解决问题”比较困难。教师要引导学生读题，让学生通过“读”加深对题目的理解，可以利用多媒体设备，结合生活情景教学，会收到事半功倍的效果。如教学“坐车问题”：车上原来有30人，下去了15人，又上来了12人，车上现在有多少人？我们可以充分利用多媒体进行教学，设计生活中乘车的情景，当到达第一个站后，多媒体展示陆续下来15人。这时，引导学生观察并思考，一直乘车到第一站，有人下了车，现在车上还有30人吗？生动的多媒体吸引着学生的眼球，学生通过观察、思考，认识到下了车的人就不在车上啦，那么车上就比原来少了15人，应该用原来的总人数减去下了车的人数，即30-15，还有15人。这时再看多媒体展示：有大人小孩共12人又上了车。老师可以提问：现在又上来了12人，现在车上是不是就只有12人？学生们会观察，会思考了，他们会很快回答：不是，因为车上原来还有一些人没下车，他们仍然留在车上。这时引导学生思考，既然原来还有一些人没下车而留在车上，又上来了12人，那么把原来第一站下车后仍然留在车上的人数和后来上来的人数加起来，就是现在车上的人数，列式为：30-15+12。审题清楚了，思路清晰了，明确了数理关系，解决问题的方法就出来了。

二、结合生活经历解决问题

随着学生生活经验的不断积累，学生要学会运用数学知识解决生活中的数学问题，体验解决问题策略的多样化。教学中，教师要注意鼓励学生结合自己的学习经验和生活经验，采取独立尝试、讨论等方式，让学生主动探索解决问题的方法，激发学生探索的欲望，增强自信心，使学生逐步形成从多角度观察问题，多收集数学信息，分析信息，寻找方法，逐步提高解决问题的能力。

中年级 “解决问题”的教学，教师要逐渐放手，让学生独立尝试，小组讨论解决问题。生活中有许多数学问题，学生身边的生活事例有利于学生从不同的角度观察，选择信息，采用不同的方法解决问题。例如，教学到水上乐园租船游玩的问题：双人船每小时4元，四人船每小时7元，我们7个人租船，玩1个小时，每人要花多少钱？采用多媒体展示生动的情景，激发学生解决问题的欲望。接着让学生独立观察画面，自己读题目，收集解决问题的信息数据，思考解决问题的方法。再让学生在小组中交流，说说自己发现的数学信息，要解决什么问题，采用什么方法解决，让每个学生都参与解决问题过程和结果的学习活动。让学生明白该题要解决的问题是“玩1个小时，每人要花多少钱”。有的学生会这样思考：一条四人船玩1小时要7元，两条四人船玩1小时就要7×2=14元，这14元是7个人需要出的总价钱，那么，一个人就要花14÷7=2元，也就是每人要花2元。另外，也有学生会这样思考：一条双人船每小时4元，7人要租4条，4条双人船玩1小时就要4×4=16元，这16元是7个人需要出的总价钱，16÷7=2（元）……2（元），显然第二种租船方法用的钱比第一种多。搞清楚了总价钱和总人数的关系，并结合生活实际情况，问题就能解答出来了。

生活中的数学问题要根据生活经验思考，由于每个学生观察事物的角度不同，收集到的数学信息不同，解决的方法也就不同。如：小明每天早上8时到校，11时25分放学回家。下午2时30分到校，16时20分放学回家。他全天在校多长时间？审题时要找出已知信息和要解决的问题。要解决的问题是小明全天在校的时间，因为是两个时间段，所以是上午在校的时间加下午在校的时间。从题目给出的信息，要弄清二十四时计时法，如下午2时30分即是二十四时计时法的14时30分，而16时20分即是下午4时20分。上午在校时间用11时25分减8时，共3时25分。根据二十四时计时法，下午在校时间可以用16时20分减14时10分，得2时10分，又可以用十二时计时法计算，用4时20分减2时10分，得2时10分。上午在校时间和下午在校时间的和，就是全天在校时间，即3时25分+2时10分=5时35分。解决这道题，需要运用多方面的知识，学生根据自己在校的学习经历灵活思考，解决问题。

三、综合运用数学知识解决实际问题

高年级 “解决问题”的教学，让学生自主探索与合作交流，从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题，体验解决问题策略的多样性，感受化繁为简的数学思想方法，培养学生观察、分析、推理和综合运用数学知识解决实际问题的能力，培养探索问题的兴趣。

如：学校组织远足活动。原计划每小时走3.8km，2小时到达目的地。实际1.5小时走完了原定路程，平均每小时走了多少千米？首先让学生通过审题，理解题目，搞清楚是哪一类型题，要解决什么问题。学生通过审题，找准关键词，明白是属于行程问题。确定是行程问题了，就可以确定两种相关联的量：路程=速度×时间。从“原计划每小时走3.8km，2小时到达目的地”，可以知道总路程，因为s=vt，所以总路程为3.8×2（km）。实际走完原定路程并没有用2小时，而只用了1.5小时，通过小组讨论、交流，使学生明确：总路程一定， s=vt，可以用3.8×2÷1.5列式解答，还可以通过列方程和解方程来解决问题。设平均每小时走的路程为x千米，列方程1.5x=3.8×2，解方程，解决问题。

在解决问题的教学中，指导学生审题是关键。通过审题，提高学生发现问题、分析问题的能力，从而培养学生运用多方面的知识，运用数学思想方法解决生活中的实际问题，提高解题能力。

小学数学解决问题的教学策略篇7

一解决问题

小学生综合已掌握的数学知识创造性地利用知识解决面临的实际生活问题, 这便是解决问题。它具有特定的工具性和应用性, 在解决问题的过程中, 能培养学生解决问题的思路和水平, 健全其数学知识和技能, 赋予相关创新精神, 从而使其掌握解决实际问题的思路和能力。

二应用题与解决问题的教学区别

应用题的教材编排一般采用文字、语言和图形对已知或未知量及其相间关系加以阐述。应用题是用文字加以叙述, 学生通过计算求出未知量的数学题目, 从而其外在形式较为单一。在应用题教学中, 老师往往运用综合法和分析法, 引导学生进行数量关系的树立, 继而依照两间关系的运算关系寻找相应的解题办法。而这类通过分类体系及其相关数量关系式进行相应的列式计算的应用题的出题和解题过程相对简单。

解决问题的教材以实际生活问题为背景, 提供信息资源给学生, 采用图文并茂的形式使得题目生动形象。丰富的内容, 大量的信息, 其问题多样、答案多变。解决问题教学没有生硬的解题措施, 它需要老师的引导使学生进行相关探究, 极具时代性和挑战性, 能让学生积极参与到问题的探究中, 刺激学生学习兴趣和探索情怀。在解决问题的过程中, 能更好地培养学生具有独立见解的能力, 培养其思维方式、学习思路以及实践能力。

三数学解决问题教学方式

在社会信息化不断发展的形势下, 数学在各领域的运用都得以深入。在数学教学过程中, 不仅需要解决数学题以掌握知识点, 更需要将这些知识点运用于实际生活中来, 切实实现解决问题教学的内在价值。

新课标要求学生从周边熟悉的生活环境中, 以更多的机会参与数学学习和理解, 使其体会到数学源于生活, 与生活息息相关。对此, 教学应贴近学生生活, 使其体会到数学知识具有生活性, 于自身而言具有重要作用。课堂初期, 老师应充分利用教材主题图或教学课件, 设立生动想象的教学情景, 结合实际生活将抽象的数学知识得以形象化。继而引导学生收集与问题相关的图文信息并加以文字叙述, 再提出有效的数学问题。通过这种方式, 能有效地提升学生思维方式, 使其善于结合图文相关信息, 意识信息间的关系性, 利于学生发现问题。

在第九册解决问题的“一一例举”中, 教材结合生活实际设立情景:在北京奥运会女子10m气枪射击比赛上, 我国选手郭文珺摘得金牌 (展出相关图片) , 继而贴近生活设立飞镖游戏 (拿出游戏道具) , 询问学生谁想尝试游戏?投中内圈、中圈、外圈以及未中分别计10、7、4、0分, 各人3次机会, 谁更厉害?小学生天性贪玩, 借助该类游戏学生必会摩拳擦掌, 跃跃欲试, 游戏初始阶段, 老师抓住时机提出问题:同学们, 每个人会有多少种分数结果呢?继而引导学生收集相关信息, 由于学生没有相关分析的生活经验, 学生可能不能标准作答, 这时老师应借机提问:怎么样才能快速地给出准确答案呢?然后引出主题教学:王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈, 有多少种不同的围法?

只有先对问题进行表征, 充分理解问题, 才能有效地解决问题;问题表征的正确性和适宜性, 是解决问题的关键。围羊圈看似简单, 但信息具有深度, 学生难以理解, 所以相互沟通的作用也就得以体现。在教学中, 老师结合实际重抓“如何围”, 羊圈的情景往往脱离学生的生活实际, 所以没有生活经验作为衬托, 可展开相互沟通, 使其产生“如何围”的概念, 明确问题表征。老师继续引导思考:有多少种不同的围法?利用小棒边摆边记, 渐渐积累经验形成策略, 辅以合作交流, 给予合理的时间, 让学生根据自身状态尽力发现解题策略, 老师同时积极引导学生掌握解题思路, 使问题得以解决。这种方式不但加深了学生对问题的理解, 也提升了学生的交流意识和沟通能力, 更利于学生运用数学知识解决实际问题。

四结束语

培养学生解决问题的能力, 应从低年级抓起, 让学生学好数学, 知晓数学对于生活的重要性, 掌握解决问题的能力。利用数学知识与生活实际的相关性, 通过简单的解决方法, 使学生能学以致用, 这都有利于学生综合素质的提升。

参考文献

[1]张桂芳.小学数学解决问题方法多样化的研究[D].西南大学, 2013

[2]衷万明.小学数学解决问题策略教学的思考与实践[J].新课程:教师 (下) , 2012 (2) :181~182

小学数学解决问题的教学策略篇8

《数学课程标准》中相对于内容方面所提出的“问题”不仅仅限制于一般的纯粹的数学题, 尤其针对那些只是通过非思维性活动加以解决的问题, 如“模仿问题、套用解题、回忆解题”, 而这里所提到的问题仅仅是问题, 换句话说就是以非数学形式出现的问题。无论是什么样的问题, 都要求教师能够在教学的同时, 着重培养学生的生活经验及实践能力, 使学生的视野更开阔, 拓展学生的有效学习空间, 努力挖掘学生内在的潜能, 培养学生在生活中发现数学问题, 并且运用数学的知识解决实际问题的能力。其核心就是锻炼学生通过对问题的观察、思考、推测等有思维活动解决问题的能力。

解决问题策略的教育价值在于: 学生在解决问题的同时不仅能提高分析能力, 还能掌握数学基础知识及理解数学中的数量关系, 对发展综合应用意识和加深对数学价值的体会创造了有利条件。解决问题是培养学生的实践能力和创新意识重要手段, 培养学生在解决问题的过程中学会与别人进行交流与合作, 使学生对学习数学产生浓厚的兴趣, 深入了解实际生活中数学的应用。解决问题的核心价值并不只是通过对具体问题的解答而产生的结果, 其更多的是体现在学生在解决问题的过程中得到全面、有效的发展, 最重要的是学生在掌握数学知识的基础上形成自己的解决问题的策略。

策略是解决问题的指南针, 它具有引导性、灵活性和运用性。解决问题的策略形式是多样的, 要大力发展学生运用解决数学问题的策略的能力, 使得解决问题的过程更有条理性。下面探讨解决问题的策略。

1.小学数学解决问题的方式大部分都是以情景图画的形式或者是文字讲述的形式出现的。在解决数学问题时, 往往先排除一些非数学内容及不相关的数据, 留下更有思考价值的数据及内容, 将零散的数据内容及文字结合起来, 找出其中所蕴含的关系。通过图画或者图形能够更直观地了解一些比较难以理解的问题, 也能够对一些问题中所存在的复杂关系一目了然。所以对问题的整理有利于理解题义, 帮助学生分析及思考问题, 也是解决问题的重要策略。

2.解决问题的重要策略———化归。这种解决问题的方式对于一些复杂的、新型的题目来讲是非常有用的。化归中有很多具体的方法, 如静和动之间的转化、一般和特殊之间的转化、顺和逆之间的转化等。现在的小学数学教材联系了小学生已经掌握的数学知识的经验、能力及思维发展水平, 注重由新知向旧知的转变, 在教材中将复杂问题向简单问题转变。在一些数学问题中, 有两个相等的量, 而我们就可以通过已知条件及数量关系, 用一个未知的数量代替另一个未知的数量, 这样就会找出解题方法, 这种解题的策略就是化归策略。这种解题的方式在于不能改变题的原意, 将说法变换一下或者换一种形式, 使问题或者是条件变得更加清晰明朗。“曹冲称象”就是运用了这种策略。

3.解决问题的基本策略———枚举策略。将问题中事情的发展各种可能情况逐一用列表或者操作的方式列举出来, 找出解决该问题的结果及策略。

4.解决问题策略———倒推法。这是一个应用于特定问题的解决问题策略。一般在问题中某种数量是已知的, 或者事物都是按照一定的方法或者是明确的步骤进行发展的, 因此要追溯到问题刚开始的状态, 这样的问题比较适合运用“倒推”策略解决。

5.最后一种解决问题的策略 , 也是可以经常考虑并且能够用到的策略就是尝试。这种策略可以用于从来没有见过的问题, 以往的做题经验中并没有现成的问题解决模式可以运用。对问题的猜测及估计是解决问题的一个方法, 将新问题出现的情景联系已经存在的图式。但是估计和猜猜得到的答案不一定是问题的最终答案, 还需要对问题的答案进行验证。在现在的教学中, 尝试可以作为解决问题的一种方式, 验证作为一种科学运用, 将两者进行有效结合, 是一种快速解决问题的方法。在教材中, 尝试这种策略符合课程标准的“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程, 发展合力推理和初步演绎推理能力”的精神。

灵活运用解决问题的策略对解决问题具有很重大的意义, 不仅能快速找到解决问题的突破口, 还能启发学生解决问题时的思路, 所以, 在小学数学教学中, 教师一定要注重对学生解决问题的指导。解决问题前, 教师可以积极鼓励学生思考, 使学生学会运用解决问题策略;在解决问题的过程中, 教师要注意学生是否需要转换解决问题策略; 解决问题之后, 让学生之间进行交流, 思考自己的解题策略。教师要注重每个学生的想法, 因材施教, 使每个学生都理解解题策略, 慢慢掌握解题技巧, 在不断运用多样化的解决问题策略过程中, 体会到思维的乐趣及成功的喜悦, 充分展现数学存在的价值。

摘要：培养学生解决问题的能力有利于学生掌握数学基础知识, 还有助于增强学生在学习过程中的应用意识, 对数学有更多的有价值的认识。本文以解决问题为中心, 探讨在数学学习过程中培养学生应用能力的策略。

关键词：小学数学教学,解决问题策略,应用能力培养

参考文献

[1]柴林喜.学数学课堂教学的55个细节[M].四川教育出版社, 2006, 8.

[2]李钺, 刘先捍.新课程教学问题解决实践研究—小学数学[M].中央民族大学出版社, 2006, 2.

数学元认知在数学问题解决中的作用篇9

关键词:数学元认知问题解决作用

一、数学元认知及在数学问题解决中的作用

数学元认知是指人们在数学活动中, 对自己学习活动的过程、结果及与之有关事项的认识和控制.它包括三个方面的内容, 即数学元认知知识、数学元认知体验以及数学元认知监控.

数学元认知在数学问题解决中具有统摄、调节和监控的作用.

1. 数学元认知的统摄作用.

在数学问题解决中, 当情境稍有变化时, 学生常会感到束手无策, 如果有数学元认知的策略来统摄数学方法, 则往往可以超越特定的情境, 或变化情境以适应模式或变化模式以适应情境.

例:若一元二次方程x2+4x-4=0, 求代数式3x2+12x-5的值.

评析:观察已知学生易草率用求根公式解出x的值, 再代入所求代数式 (这其实是元认知的认知体验和认知策略起作用) , 但发现运算量较大, 我们只要转换一下思路 (元认知监控起了作用) , 由已知条件移项得:x2+4x=4, 把x2+4x看成整体, 代入代数式:

3x2+1 2x-5=3 (x2+4x) -5=3×4-5=7, 体现了数学整体思想的简洁美.

2. 数学元认知体验的调节作用.

在数学问题解决的过程中, 学生会对一些问题提出疑问, 这就会促使学生产生联想, 想到以前与之相同或相似的题, 即一种提出疑问的元认知情绪体验, 它会激活学生原有的数学认知结构, 促使学生选择合适的解题策略.

3. 数学元认知的监控作用.

控制即对问题解决进程进行监控.对思维进程不断地进行自我激励, 自我评价, 是进一步对思维进程进行控制的根据.思维进程的控制表现为对正确的思维活动要给予激励, 对多余的干扰信息要排除;对思维活动中的错误要及时觉察、纠正和弥补.我们对思维进程要不断地进行自我估价.

例:如图2是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图, 则其最高点与地面的距离是_________米.

分析:学生甲在主视图中设三个圆相切时圆上最高点为A, 与地面的切点分别为B、C如图 (认知体验起作用) , 学生会发现, AB、AC不一定过两圆的切点, 即AB、AC不一定是两圆的直径之和, AB、AC的长无法确定, 此方法不行, 需另想其它方法;经过再思考他又有新的发现, 连接三个圆的圆心, 发现这个圆一定是等边三角形, 其边长为两个半径之和, 即2米, 可求出这个等边三角形的高为米, 再加两个半径, 即为所求答案米.

解本题时, 有些学生按题目要求, 作出图3所示图形, 此时, 学生思维活动产生疑虑, 发现了困难 (此时需及时实施调控) , 通过联想到两圆相切时, 需作圆心距, 使思维活动走上正确的轨道. (注:本题为宁夏2010年中考第15题)

二、数学元认知在数学问题解决中的作用举例

已知, E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点, AE=CF, BE=DF, BE∥DF.求证:四边形ABCD是平行四边形.

(注:本题为宁夏2011年中考第22题)

解答此题的困难是:如何从判定平行四边形的五个方法中迅速确定用哪一个判定定理.因此选择使用哪个判定定理是首要任务 (一种元认知体验) , 就是要明确目标.目标是否确定, 将影响和制约解题的进程, 元认知的统摄、调节和监控作用, 就是围绕目标展开的.

根据题目的特点, 我们采用“从已知入手”的策略 (数学策略性知识的启发作用) , 采用的数学方法是逻辑推理 (体现了认知策略的作用) .

评析:由已知得:AE=CF, BE=DF, 观察所给图5, 可知AE、BE和CF、DF, 分别是两个△AEB与△CFD的对应边, 若要证明这两个三角形全等还差一个条件 (一组对应夹角或一组对应边) , 这时元认知调节和监控起了作用 (自我提问:回到题目中, 还有哪个条件没有用到, 发现BE∥DF没用到) .由BE∥DF可得∠BEF=∠DFE, 再由等角的补角相等可知:∠BEA=∠DFC, 此时可证得:△AEB≌△CFD, 所以AB=CD, ∠BAE=∠DCF, 所以AB∥CD, 由一组对边平行且相等的四边形是平等四边形, 得四边形ABCD是平行四边形.

做完此题, 回顾反思, 自我提问:还有其他方法吗?再重新读题, 发现由AE=CF, 等式两边再加上公共线段EF, 即AE+EF=CF+EF, 得AF=CE, 又因为DF=BE, 它们分别是两个△AFD与△CEB的对应边, 再由BE∥DF得∠DFE=∠BEF, 得:△AFD≌△CEB, 所以AD=CB, ∠DAF=∠BCE, 所以AD∥CB, 由一组对边平行且相等的四边形是平等四边形, 得四边形ABCD是平行四边形.

数学问题的解决篇10

一、信息转化的方向与原则

转信息化就是运用运动、变化、联系、发展等辩证的观点去认识和分析问题, 是理性的带有明确指向性的推理演化过程, 通常把握好方向与原则:

熟悉化原则:从生到熟;从暗到明;从未知到已知。

简单化原则:从难到易、从繁到简。

和谐化原则:从不匀称到匀称;从不统一到统一, 从不协调到协调。

具体化原则:从抽象到形象、直观、具体;从一般到特殊;从综合 (非基本) 问题到基本问题。

逆向化原则:从正到反;从顺到逆;从进到退。

数学化原则:从现实情境到数学情境;从非数学符号化到数学符号化。

二、信息转化的方式与方法

1. 从现实到数学的信息转化

从现实到数学的信息转化其实就是通过对问题的分析, 抽象建立数学模型, 把现实生活中的问题情境转化成“纯粹”的数学化的问题情境, 体现“问题情景———建立模型———解释、应用、拓展与反思”的数学学习模式。

例1. (2011, 河北中考) 已知A、B两地的路程为240千米。某经销商每天都要用汽车或火车将x (吨) 的保鲜品一次性由A地运往B地。受各种因素限制, 下一周只能采用汽车和火车中的一种运输工具进行运输, 且须提前预订。现有货运收费项目及收费标准表 (如表1) 、行驶路程s (千米) 与行驶时间t (时) 的函数图像 (如图1-1) 、上周货运量折线统计图 (如图1-2) 等信息如下:

(1) 汽车的速度为________千米/时, 火车的速度为_________千米/时;

(2) 设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽 (元) 和y火 (元) , 分别求y汽、y火与x的函数关系式 (不必写出x的取值范围;总费用=运输费+冷藏费+其他费用) , 并指出x为何值时, y汽>y火;

(3) 从平均数、折线图走势两个角度分析, 该经销商应提前为下周预定哪种运输工具, 才能使每天的运输总费用较省?

分析:本例是一例典型的数学建模应用的问题 (详解不赘) , 题目整合了方案设计与统计决策问题, 在呈现方式上做出了创新, 试题贴近当前社会经济热点, 能让学生真切地感受到“数学来源于生活, 又返回来指导生活”的价值。题目信息在表格、图像间交叉呈现, 便于考查学生从图表中获取信息、建立数学模型并应用它解决 (解释) 现实问题的能力, 深入贯彻了课标所提倡的数学学习模式。事实上, 解决此类问题多以“函数、方程 (组) 和不等式 (组) ”作为工具。由于题目中含有从“不确定中找确定”的因素, 所以关联了函数、方程与不等式等数学模型的建立与应用。

一般地, 刻画变量之间关系的问题都可以转化为函数问题, 确定一个量的值的问题都可以转化为方程问题, 而要确定一个量的范围的问题, 往往要转化为不等式的问题。

例2. (2008, 太原中考) 在某次人才交流会上, 应聘人数和招聘人数分别居前5位的行业列表如下:

如果用同一行业应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况, 那么根据表中数据, 对上述行业的就业情况判断正确的是 () 。

A.计算机行业好于其他行业

B.贸易行业好于化工行业

C.机械行业好于营销行业

D.建筑行业好于物流行业

分析:能否领悟就业情况的决定性因素, 从图表中迅速抓取有用信息, 建立数学模型, 并借之作出判断, 显然体现了数学智慧。由表格信息可知, 物流和贸易行业的招聘人数均少于725人, 而建筑和化工行业应聘人数均少于659人。“用同一行业应聘人数与招聘人数比值 (设用P表示) 的大小来衡量该行业的就业情况”这句话的含义就是多少个人去应聘一个岗位, 故比值P越小, 就业形势越好。

例3. (2003年, 淄博中考) 如图2-1是一张可折叠的钢丝床的示意图, 这是展开后支撑起来放在地面上的情况, 如果折叠起来, 床头部分被折到了床面之下 (这里的A、B、C、D各点都是活动的) , 活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的, 其折叠过程可由图2-2的变化反映出来。

(1) 活动床头的固定折叠是根据_______而设计的;

(2) 如果已知四边形ABCD中, AB=6cm, CD=15cm, 那么BC、AD取多长时, 才能实现上述的折叠变化?

分析:显然, 活动床头的固定与折叠是根据“三角形的稳定性和四边形的不稳定性”来设计的。而能够实现上述的折叠变化的前提是相关数据间所具有的内在联系, 这个联系要通过“线段重合”和“直角三角形三边之间的关系 (即勾股定理) ”这两个数学模型的特征来揭示:设BC=x, AD=y, 在RtΔACD中, 有AC2+CD2=AD2, 即 (6+x) 2+152=y2 (I) ;在线段BD上, 有:CD+CB=AB+AD, 即15+x=6+y (II) ;由 (I) 、 (II) 得:36+12x+x2+225=81+18x+x2, 解得:x=30, y=39, 故BC、AD的长分别为30cm、39cm时, 钢丝床方可折叠。

点评:《数学课程标准》强调数学背景的现实性。以“现实的、有意义的、富有挑战性的”内容为背景命题, 让学生从具体的问题情境中抽象出数学模型, 经历“问题情境———建立模型———解释、应用、拓展与反思”的基本过程。近几年中考命题在此方面颇费匠心, 试题取材于学生身边的生活, 新颖有趣, 值得玩味。

课标强调“数学地思考”, 即面对一个问题时, 能主动尝试着从不同的角度, 开动大脑机器, 寻求解决问题的突破口。从现实到数学的建模问题很好地体现了这一点。学生们只有经过一番细致分析和丰富联想后, 产生了“顿悟”, 方法 (数学模型) 才能浮出水面。

2. 从数学到数学的信息转化

从生活到数学是一个水平 (横向) 数学化的过程, 而从数学到数学则是一个纵向数学化的过程。

(1) 变更问题表述方式

同样的数学问题背景, 采用不同的表述方式, 对解题者, 难度是有区别的。了解了这一点, 就可以在解题时, 不断转化问题信息的给予方式 (包括已知信息和待知信息) , 从而降低问题难度。

例4. (2011, 扬州中考) 如图3-1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图, 乙槽中有一圆柱形铁块立放其中 (圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上) 。现将甲槽的水匀速注入乙槽, 甲、乙两个水槽中水的深度 (厘米) 与注水时间 (分钟) 之间的关系如图3-2所示。根据图像提供的信息, 解答下列问题:

(1) 图3-2中折线表示_______槽中水的深度与注水时间的关系, 线段表示________槽中水的深度与注水时间之间的关系 (以上两空选填“甲”或“乙”) , 点的纵坐标表示的实际意义是__________________;

(2) 注水多长时间时, 甲、乙两个水槽中水的深度相同?

(3) 若乙槽底面积为36平方厘米 (壁厚不计) , 求乙槽中铁块的体积;

(4) 若乙槽中铁块的体积为112立方厘米, 求甲槽底面积 (壁厚不计) 。 (直接写出结果)

分析:我们知道: (1) “匀速变化”在坐标系中表现为一条“直线” (反之亦然) ; (2) “速度大小”在坐标系中表现为图像改善的“陡峭程度”:图像改善越陡峭, 则对应时段的速度越大;图像改善越平缓, 则对应时段的速度越小。在此基础上, 观察乙槽的特征可知, 水面上升速度应是先快后慢, 但每一段上是匀速上升的, 图像改善的“转折点”即对应容器的“水面刚好没过铁块”这个时刻。由此, 确定了图像改善与器具的对应关系, 再把图像改善中的信息翻译成文字信息 (或其他数学符号形式等学生可以“内部”处理的信息) , 题目就变得较为容易了。

点评:函数图像改善以其形象、直观的特征囊括了众多隐含与显在的信息。解决问题的过程就是释放图像改善内涵的过程。只有准确、全面、有针对性地识读图像改善, 从中捕捉“数据”信息与“数量关系”信息, 将这些信息还原到问题情境之中, 或对这些信息进行有效梳理、综合运用, 才能转化问题, 顺利获解。完成“图形”与“图像”的“数据互补与互释”。这对学生的能力是一个巨大的挑战。其实, 所有复杂数学问题的解决都有这样一个“转化信息表述方式”, 使之更适合自己思考与应用的过程。

(2) 降低问题抽象程度

在解决数学问题时, 如果能实现数学语言之间的等价转换, 就可以降低问题的抽象程度, 化生为熟, 使问题的解决途径多元化。

例5. (2011, 四川绵阳中考) 若x1, x2 (x1

分析:问题很抽象, 无从下手。但从待定结论上看, 无论选择哪一个答案, 都意味着x1, x2, a, b的大小排列有一个固定顺序。由此可令a=-1, b=1, 则原方程变为 (x+1) (x-1) =1, 即x2=2, 解之, 得:故有x1

例6. (2011, 呼和浩特中考) 若x2-3x+1=0, 则的值为__________。

分析:显然, 通过求解一元二次方程得出x值, 再代入式中求值是不可取的。观察题设和待求式的联系, 可得如下方法:方法 (1) :结合待求式中存在众多的“x2”, 可调整x2-3x+1=0, 得x2=3x-1, 则方法 (2) :欲求的值, 可转为求的值;把方程x2-3x+1=0两边都除以x, 得

点评:例5的处理策略把一个相当抽象的问题转化成一个非常具体的问题, 大大降低了思考难度;例6中, 法 (1) 运用“逐步降次法”, 法 (2) 运用“取倒数法”, 看似玄妙, 其实并非无中生有, 都是建立在对已知条件和待求式充分观察、比较的基础上, 巧妙降低了问题的抽象程度。

(3) 调整问题解决策略

调整问题解决策略往往遵循“问题→新问题→解决新问题→解决原问题”的路子走, 是一个逐步缩小已知与求解的差异的过程, 是求解系统趋近于目标系统的过程, 目的在于通过采用某种手段转化信息, 使之容易展开联想, 方便思考与解决。

例7. (2011, 四川泸州中考) 如图4-1, 点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点。

求∠BPC的度数;

求证:PA=PB+PC;