理想弹塑性

理想弹塑性（精选三篇）

理想弹塑性 篇1

固体力学是研究可变形固体在外界因素作用下所产生的应力、应变、位移和破坏等，弹性力学与塑性力学是固体力学的两个重要分支[1]。目前，弹性力学与塑性力学问题的各种求解方法都非常复杂。笔者根据广义虎克定律和叠加原理，提出了一种各向同性的线弹性固体的新单元模型[2]，然后推广到特殊的正交各向异性线弹性材料[3]，即材料的工程弹性常数需要满足一定的条件，而在文献[4]将新单元模型进一步推广到一般正交各向异性线弹性材料。此外，在文献[2,3,4]中没有说明根据新单元模型如何确定弹性体的应力、应变。

本文将新单元模型应用到各向同性的理想弹塑性材料用来求解塑性力学问题，并且将说明如何利用新单元求解固体受外力作用而发生的位移、应力和应变。

1 理想弹塑性问题的新单元模型

各向同性的塑性力学与弹性力学一样包括三类问题:空间问题、平面应力问题、平面应变问题，因此下面分别说明这三类问题的新单元模型。各向同性的理想弹塑性固体的新单元模型与文献[2]相似，只有两个区别:1)新单元在各坐标轴方向的尺寸必须相等;2)新单元中的杆件增加了屈服应力。下面分别说明这三类问题的新单元模型中杆件的屈服应力的取值，设固体材料的单向拉伸(压缩)屈服应力为σ0。

对于空间问题，新单元模型中与坐标轴平行的12个杆件的屈服应力为σ0，而另外12个交叉斜杆的屈服应力为3σ0/8，当新单元模型发生剪切屈服时所对应的材料剪切屈服应力为τ0=0.3σ0;对于平面应力问题，新单元模型中与坐标轴平行的4个杆件的屈服应力为σ0，而另外2个交叉斜杆的屈服应力为σ0/3，当新单元模型发生剪切屈服时所对应的材料剪切屈服应力为τ0=0.25σ0;对于平面应变问题，新单元模型中与坐标轴平行的4个杆件的屈服应力为σ0，而另外2个交叉斜杆的屈服应力为5σ0/16，当新单元模型发生剪切屈服时所对应的材料剪切屈服应力为τ0=0.25σ0。

2 基于新单元模型的应力及应变计算

通过计算由新单元组成的桁架结构，可以得到结点的位移，这些结点位移就作为固体内各点的位移，而怎么计算固体在外力作用下的应力、应变，下面笔者给出两种简单的方法。

方法一:材料处于弹性阶段才适用。通过计算由新单元组成的桁架结构，可以得到各杆件的线应变，这些线应变就作为弹性体各点不同方向的线应变，弹性体的剪应变则根据与线应变的关系确定，为了提高应变解的精度，可采用绕结点平均法，即把环绕某一结点的各新单元在该结点处的正应变(或剪应变)加以平均，用来表示该结点处的正应变(或剪应变);或者弹性体在一结点处的应变由相邻结点位移计算得出;最后根据广义虎克定律由应变计算应力。一点处的剪应变与线应变的关系如下[1]。

对于平面问题为:

对于空间问题为:

其中，εPN为点P处沿PN方向的线应变;ε1，ε2，ε3，γ23，γ31，γ12分别为点P处的3个正应变及3个剪应变;l,m,n分别为线段PN与1,2,3坐标轴的夹角余弦。

方法二:材料处于弹性或塑性阶段都适用。通过计算由新单元组成的桁架结构，可以得到各杆件的轴力，要得到固体内某一点在一个平面的正应力(或剪应力)，可以通过该平面一侧相交于该点的各杆件轴力的合力在该平面法线方向(或切线方向)的分力除以该点的从属面积，就可以得到该点的正应力(或剪应力);应变的确定与“方法一”相同，若处于弹性阶段，还可以根据广义虎克定律由应力计算应变。

3 计算实例

一个悬臂梁(见图1)，长度L=320 mm，高度H=80 mm，厚度t=1 mm，在自由端承受向下的集中荷载F=10 000 N，弹性模量E=2×105N/mm2，泊松比v=1/3。新单元计算模型一共包含256个新单元(见图2)，新单元在x,y方向的尺寸均为10 mm，三种杆件的截面面积分别为:A1=A2=3.75 mm2,A3=5.303 3 mm2。有限元计算模型采用平面应力单元，单元尺寸与新单元相同，由256个平面应力单元组成。

基于ABAQUS软件分别采用新单元模型与平面应力单元模型计算该悬臂梁，而且还采用解析法计算，得到的三种方法的计算结果见表1～表5。

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mm

由表1～表5可知，在边界点和荷载作用点，三种方法的计算结果偏差较大，而在离开边界点和荷载作用点稍远的地方，三种方法的计算结果吻合良好，新单元法求得的结果与解析解相比，x方向位移最大偏差为3.84%,y方向位移最大偏差为6.54%，正应力σx最大偏差为1.94%，正应力σy最大偏差为0.0%，剪应力τxy最大偏差为1.92%，而有限元法求得的结果与解析解相比，x方向位移最大偏差为5.20%,y方向位移最大偏差为7.78%，正应力σx最大偏差为0.78%，正应力σy最大偏差为0.0%，剪应力τxy最大偏差为3.91%。

若假定该悬臂梁材料的单向拉伸(压缩)屈服应力为3 000 N/mm2(见图1)，则采用新单元模型计算，取新单元的平行于x,y方向的杆件屈服应力为3 000 N/mm2，交叉斜杆的屈服应力为1 000 N/mm2，用ANSYS软件则可求得该悬臂梁的屈服极限荷载为F=15 k N，与塑性力学精确解一致。

4 结语

目前，正交各向异性材料的弹性力学问题和各向同性的理想弹塑性问题的求解异常繁杂，而根据固体新单元模型可以很容易的分析固体在外力作用下的位移、应力及应变，而且计算精度良好。

摘要：基于一种固体新单元模型来分析固体受外力作用而发生的位移、应力和应变,并将新单元模型推广到理想弹塑性问题,通过具体算例的分析可以发现新单元法的计算精度良好,值得推广。

关键词：固体,理想弹塑性,应力,单元模型,桁架

参考文献

[1]徐芝伦.弹性力学[M].第4版.北京:高等教育出版社,2006.

[2]柯江.实体结构求解的新方法[J].山西建筑,2008,34(9):112-113.

[3]柯江.弹性固体的新单元模型[J].山西建筑,2012,38(19):58-59.

弹塑性力学总结(精华) 篇2

1、定义：是固体力学的一个重要分支学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学。

2、研究对象：也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。

3、分析问题的基本思路：受力分析及静力平衡条件(力的分析)；变形分析及几何相容条件

(几何分析)；力与变形间的本构关系(物理分析)。

4、研究问题的基本方法：以受力物体内某一点（单元体）为研究对象→单元体的受力—应力理论；单元体的变形——变形几何理论；单元体受力与变形间的关系——本构理论；（特点：

1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。）

5、基本假设：物理假设:（连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部空间，不留下任何空隙；均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。力学模型的简化假设：（A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设）。几何假设——小变形条件（假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而且应变(包括线应变与角应变)均远远小于1。在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。）

6、解题方法（1）静力平衡条件分析；（2）几何变形协调条件分析；（3）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决

7、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度=limFnAAOdFndAn=limFnAAOdFndAnt。正应力，剪应力，必须指明两点：是哪

xx一点的应力；是该点哪个微截面的应力。

7、应力的表示及符号规则：xx、xy、x：第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行，第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。

理想弹塑性 篇3

本研究以含外倒角薄弱环节复合材料圆管的耐撞性分析为例,详细阐述了采用理想弹塑性本构模型对复合材料结构进行耐撞性分析的可行性及相关等效参数的确定策略,并利用这些等效参数将复合材料圆管等效为各向同性材料圆管(简称为等效圆管)进行耐撞性分析,以便能快速高效地预报复合材料圆管的吸能能力。

1 复合材料圆管有效弹性常数的确定

选用文献[4]中炭纤维T700增强双马来酰亚胺树脂QY8911预浸带-热压罐成型的复合材料圆管作为研究对象。由于圆管的厚度与直径相比非常小,其有效弹性常数可由经典的层合板理论计算得到。如图1所示,取整体坐标系的x轴沿圆管的轴线指向薄弱端,y轴沿圆管的周向,z轴沿圆管的径向朝外;各单层的局部坐标系(材料坐标系)的1方向为纤维方向,2方向为与纤维垂直的方向,3方向为圆管的外法线方向;整体坐标系旋转θ角度后与局部坐标系重合。沿着轴向和周向取一代表性体积单元,由于该代表性体积单元的尺寸很小,因此可以近似看作层合平板。在平面应力状态下,正交各向异性单层板在材料主方向的应力-应变关系为:

通过坐标系旋转可得整体坐标系下的应力-应变关系:

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其中,[T]为坐标变换矩阵:

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对于所考虑的对称层合板,其面内力与应变之间的关系为:

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式中,Nx,Ny,Nxy分别为层合板横截面上单位宽度(或长度)上的内力(拉、压力或剪切力)。由式(4)可得层合板横截面上的平均应力表达式:

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式中拉伸矩阵undefined,t为管壁的厚度,n为铺层数。

将铺层角度和单层板的弹性常数代入式(1) ～(5),可得:

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从而有:

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求解方程组(7)可得:Ex=70.98GPa,Ey=53.41GPa,Gxy=14.0GPa,νxy=0.20,νyx=0.15。

2 复合材料圆管临界屈曲载荷的计算

众所周知,初始缺陷对复合材料圆柱壳的总体稳定性有很大的影响,尤其是那些与失稳波形相吻合的初始缺陷。对于完整的圆柱壳,稳定性分析时一般采用Donnell的初始缺陷因子来表征随机分布的几何初始缺陷。但是,试件端部的倒角与那些在制造过程中产生的几何初始缺陷相比,在几何尺寸上要大几个数量级,并且位置是固定的。从文献[5,6]可知,含外倒角薄弱环节的复合材料圆管在轴向压缩载荷的作用下,其破坏机理十分复杂,这里近似认为首先在倒角端局部屈曲破坏,而且其临界屈曲载荷与倒角的几何尺寸密切相关。下面利用ABAQUS/Standard中的线性特征值屈曲分析来确定考虑端部倒角影响的复合材料圆管的临界屈曲载荷,分析模型中不考虑因制造产生的几何初始缺陷的影响。

线性特性值屈曲分析的有限元模型如图2所示。其中,移动刚性平板和固定刚性平板分别与实验机的移动压盘和固定压盘对应,移动刚性平板只有铅垂方向的平动自由度。复合材料圆管的下端用粘贴(Tie)约束与固定刚性平板粘接在一起,上端与移动刚性平板间的相互作用采用Surface-to-Surface Contact (Standard)界面接触模拟。为了研究外倒角薄弱环节对临界屈曲载荷的影响,采用5层相同高度逐渐变厚的壳单元模拟复合材料圆管上端的倒角,如图3所示。这五层壳单元的厚度分别为:0.1t,0.3t,0.5t,0.7t,0.9t。移动刚性平板的参考点上施加的参考压缩载荷为500N。由于模型中涉及接触问题,而Lanczos法不适用于含有接触的屈曲分析,所以选用子空间迭代法(Subspace)进行求解。

为了研究单元类型、移动刚性平板与圆管间的界面摩擦对临界屈曲载荷的影响,分别计算了以下8种工况的前10阶特征值和特征模态。

工况1:不含界面摩擦+全积分单元S4;

工况2:不含界面摩擦+减缩积分单元S4R;

工况3:界面摩擦因数取0.2+全积分单元S4;

工况4:界面摩擦因数取0.2+减缩积分单元S4R;

工况5:界面摩擦因数取0.1+全积分单元S4;

工况6:界面摩擦因数取0.1+减缩积分单元S4R;

工况7:界面摩擦因数取0.3+全积分单元S4;

工况8:界面摩擦因数取0.3+减缩积分单元S4R。

表1列出了这8种工况下的前10阶特征值(无量纲载荷比例因子)。从该表可以看出,工况3、工况5和工况7的前10阶特征值完全一样,工况4、工况6和工况8的前10阶特征值也完全一样,这说明摩擦因数的大小对临界屈曲载荷没有影响;工况3和工况4的前10阶特征值基本一样,这表明考虑了移动刚性平板与复合材料圆管的界面摩擦后,可以采用减缩积分单元计算临界屈曲载荷;而工况1和工况2的前10阶特征值却相差很大,并且工况2在计算完前8阶特征值后,分析中断,结果不收敛,可见在不考虑界面摩擦的情况下,应采用全积分单元S4进行计算。

Note: “-”denotes analysis interruption.

图4～7为复合材料圆管在典型工况下的最低阶屈曲模态。图4中由于没有考虑界面摩擦的影响,圆管端部的单元在压缩载荷作用下全部向外张开。图6和图7所示的最低阶屈曲模态完全一样,与图4相比,不同之处在于模拟外倒角的第1层单元在界面摩擦的作用下朝内弯曲,这种变形与实验观察到的初始压溃变形相类似。而图5的最低阶屈曲模态与其余工况下的最低阶屈曲模态截然不同,并且外倒角薄弱环节及其附近的单元出现了显著的沙漏现象,这或许是导致计算不收敛的原因。而考虑了界面摩擦后,可以限制或减弱减缩积分单元S4R的零能沙漏变形,因而能得到比较理想的特征值和特征模态。

可见,在计算临界屈曲载荷时要考虑界面摩擦的作用。但是分析结果显示,摩擦因数的大小似乎对前10阶的屈曲特征值没有影响。因此,计算临界屈曲载荷时,取考虑界面摩擦和不考虑界面摩擦两种工况下最低阶特征值的平均值,即最低阶特征值取120,与之对应的临界屈曲载荷Pcr和临界屈曲应力σcr分别为:

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式中:A为圆管的横截面积;undefined为圆管的平均半径;t为管壁的厚度。

3 等效圆管的轴向吸能特性分析

3.1 理想弹塑性本构模型

在弹性阶段,材料满足胡克定律,即

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其增量形式为:

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当材料满足屈服条件时,单元将从初始弹性状态进入塑性状态。一般来说,屈服条件是应力σij、应变εij、时间t和温度T的函数,可以写成:

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但在不考虑时间效应和接近常温的情况下,时间t和温度T对塑性状态没有影响,那么在Φ中将不包含t和T。另外,材料在初始屈服前是处于弹性状态的,应力与应变之间是一一对应的关系,可将Φ中的εij用σij表示,这样,屈服条件就仅仅是应力分量的函数了,将其表示为:

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根据初始各向同性的假定,屈服条件应与坐标轴方向的选取无关,因此可以简化为应力不变量的函数:

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另外,根据静水应力不影响塑性状态的假定,屈服条件只和应力偏量的不变量有关,即

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对于理想弹塑性材料,单元的加载面始终与初始屈服面一致,屈服条件可以表示为:

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式中:σeq为等效应力;σs为材料单轴拉伸屈服强度。本研究的理想弹塑性数值模型采用Von-Mises屈服准则计算σeq,即

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其中应力偏量Sij由偏应变增量Δeij确定

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当材料屈服后,塑性流动法则定义为:

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其中Δεpl为等效塑性应变增量,可以从单向拉伸实验的应力-应变曲线得到。

采用理想弹塑性本构模型对复合材料结构进行耐撞性设计分析中,等效的材料屈服强度σs可以由基于理想弹塑性本构关系的数值模拟得到的峰值载荷与准静态轴向压缩实验得到的峰值载荷相等来确定[2,3]。但是,复合材料是可设计材料,在复合材料结构耐撞性的初步设计阶段,对每种铺层的设计方案均要制作试件进行实验既费时也费力;并且,从准静态轴向压缩实验得到的载荷-位移曲线来看,初始峰值载荷后载荷有较大的减少,这与极值点失稳的载荷-位移曲线相似,而柱壳是极值点失稳。基于这样的考虑,本研究采用等效的材料屈服强度σs与轴向压缩临界屈曲应力σcr相等的方法,即假设外倒角试件首先在倒角部位发生局部屈曲破坏,这样做的好处是省去了试件制作和实验研究的费用和麻烦,也缩短了设计周期。需要说明的是,实际情况非常复杂,试件端部机加工造成的损伤和外倒角部位的应力集中等都有可能使局部材料先压碎破坏,这里仅仅是给出在采用理想弹塑性本构模型进行结构耐撞性设计分析中等效参数的一种确定方法。

3.2 等效圆管轴向压缩的有限元模型

在ABAQUS/Explicit中,基于理想弹塑性本构关系建立等效圆管的准静态轴向压缩有限元模型,如图8所示。该模型主要由移动刚性平板、等效圆管和固定刚性平板组成。其中,等效圆管的密度、屈服强度、弹性模量和泊松比分别取复合材料圆管的密度ρ、轴向压缩临界屈曲应力σcr、轴向压缩模量Ex和纵向泊松比νxy,具体数值见表2。在显式分析中,机时消耗与单元数量成正比,并且大致与最小单元的尺寸成反比,所以模型中的最小单元尺寸在满足收敛性的情况下应尽可能取大些。为了提高计算效率,等效圆管采用四节点减缩积分壳单元S4R离散,配合增强沙漏控制,单元尺寸为2mm×2mm。外倒角薄弱环节由一层单元模拟,厚度取0.5t,如图9所示。移动刚性平板只保留了铅垂方向的平动自由度,用于施加轴向位移载荷。移动刚性平板与等效圆管间的相互作用,以及等效圆管的自接触由通用接触算法模拟,界面间的摩擦因数取0.2[4]。另外,为了防止在压缩过程中等效圆管的下端失效破坏而穿透固定刚性平板,除了将等效圆管的下端用粘贴(Tie)约束与固定刚性平板粘接在一起外,固定刚性平板和等效圆管间也考虑了主从接触,界面间的摩擦因数取0.2[4]。虽然可以采用质量缩放和提高加载速率等方法来降低计算成本,但是应确保动态效应比较小,故一般应将结构的动能与内能的比值控制在5%左右[7,8]。模拟中位移加载速率取100mm/s,等效圆管的密度放大1000倍。

3.3 结果与讨论

数值模拟得到的载荷-位移曲线如图10所示。与文献[9,10]相比,计算曲线在初始压缩阶段峰值载荷值略微偏高,在稳态压缩阶段曲线呈正弦波形,尽管波动幅度比较大,但是大致围绕实验曲线上下波动。根据载荷-位移曲线,可以计算得到主要的吸能参数[6,10]:初始峰值载荷Ppeak、平均压溃载荷Pmean、引发比应力STS、比吸能SEA和压溃载荷效率CLE,如表3所示。通过比较这些吸能参数可知,有限元模型计算得到的Ppeak比实验结果高出23%,Pmean和SEA与实验结果相当,过高的Ppeak导致CLE偏低。

图11为有限元模型计算得到的复合材料圆管轴向压溃破坏模式,表现为从薄弱端开始稳定渐进的塑性折叠破坏。尽管该破坏模式与外倒角试件在实验中呈现出的脆性断裂破坏模式[4,10]差别较大,但是这种渐进的叠缩模式在宏观上与脆性断裂破坏模式类似,所以相应的计算载荷-位移曲线也与实验曲线的形态相似。

4 结论

(1)利用复合材料宏观力学理论计算得到复合材料圆柱壳的等效弹性常数,并结合有限元软件计算得到的临界屈曲应力,可以将复合材料圆管等效为各向同性材料圆管进行耐撞性设计分析。与现有报道的方法不同之处在于等效参数的确定没有涉及实验,这样,避免了对每个设计方案必须制造试件并进行实验来确定等效参数的既费工又费时的做法。

(2)采用合理的等效参数,结合理想弹塑性本构模型,不仅能快速预报复合材料结构的吸能特性,而且预报得到的破坏模式、载荷-位移曲线与实验结果基本相似,预报的平均载荷、比吸能与实验结果相当。这说明只要等效参数选取适当,采用理想弹塑性本构模型进行复合材料结构的耐撞性设计分析是可行的。

摘要：以含外倒角薄弱环节复合材料圆管的耐撞性分析为例,提出了基于理想弹塑性模型进行耐撞性设计分析的方法,并给出了等效参数的确定策略。研究表明:利用复合材料宏观力学理论计算得到复合材料圆柱壳的等效弹性常数,并结合有限元软件计算得到的临界屈曲应力,可以将复合材料圆管等效为各向同性材料圆管进行耐撞性设计分析;采用该数值模拟策略,能够以较少的计算量来预报复合材料圆管的耐撞性能,并使得在普通的计算机上进行全尺度复合材料飞行器结构的耐撞性设计分析成为可能。

关键词：复合材料,耐撞性,能量吸收,理想弹塑性模型,等效参数

参考文献

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